Matemática Interligada Trigonometria e programação (25)

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4 2
C
A B
 45
o
 120
o
 30
o
 70
o
 20
 x y
C
A B
 54
o
 37
o
16
 x y
D E
F
 60
o
x
α
5 3
50
o
100
o
A 
B
C 
30 m
 45
o
AC
 5
B
10 2
x60
o
45
o
30
o
60
o4 2
E
D
BA
α β
C
120 m A C
30 32
oo
B
46
 62. Sabendo que sen α 5
2―
3
 , determine o valor de x
no triângulo.
 63. Sobre um rio, cujas margens são irregulares, dese-
ja-se construir uma ponte que ligue os pontos A
e B . Um topógrafo realizou as medições necessá-
rias, obtendo o seguinte esquema:
 64. Determine sen  no triângulo.
 67. Na figura estão representadas cinco cidades, A, B, 
C, D, E e as rodovias ‾AC , ‾AB e ‾BC .
Com o auxílio da tabela trigonométrica ou de uma 
calculadora científica, determine o comprimento 
aproximado que a ponte deverá ter.
Será construída uma rodovia ligando as cidades D
e E, que devido à posição dessas cidades, será pa-
ralela a ‾BC .
Sabendo que AC 5 75 km , AD 5 50 km , sen α 5 
4―
5
e sen β 5 
5―
8
 , determine quantos quilô metros:
a ) tem a rodovia ‾BC . b ) terá a rodovia ‾DE .
 60. Determine o comprimento de ‾AB no triângulo.
 61. Utilizando a tabela trigonométrica ou uma calcula-
dora científica, calcule os valores de x e y nos triân-
gulos.
 65. Qual é o valor de x na figura?
66. De acordo com o esquema, elabore e escre-
va um problema envolvendo as leis dos se-
nos ou dos cossenos. Em seguida, troque o 
problema que você inventou com um cole-
ga. Por fim, resolvam os problemas e verifi-
quem se as respostas estão corretas.
x . 37,59 e y . 39,39 x . 12,95 e y . 9,63 
AB 5 4 √
―
 3 
x 5 4 
66. Resposta pessoal. Possível resposta: no esquema estão representadas as medições realizadas por 
um topógrafo de certa cidade, a fim de realizar um projeto de melhoria na pavimentação desse local. 
De acordo com o esquema, determine os comprimentos de ‾AB e ‾BC obtidos pelo topógrafo. 
x 5 
45―
4
 45,96 m 
 sen å 5 
1―
4
 96 km 64 km 
R
a
fa
e
l L
. G
a
io
n
R
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47
165 m 
200 m 
A
C
B
65o
 
Área de um triângulo qualquer
Agora, vamos demonstrar a fórmula S 5 
a ?? b ?? sen ̂ C 
 ― 
2
 para um triângulo acutângulo.
• A área S do triângulo é dada por:
Vimos a demonstração para um 
triângulo acutângulo; porém, as 
relações apresentadas também 
são válidas para triângulos 
retângulos e obtusângulos.
No entanto, há situações em que não são fornecidos o comprimento 
da base nem o da altura do triângulo, como ocorre na situação a seguir.
Daniel vai fazer uma cerca de forma triangular para criar algumas 
cabeças de gado. Veja, no esquema ao lado, como será esse cercado.
Com base nesse esquema, podemos determinar a área da região cer-
cada utilizando uma fórmula, definida da seguinte maneira:
Certamente você já estudou que a área de um triângulo pode ser calculada por meio da 
expressão:
 b : comprimento da base do triângulo
S : área do triângulo
 h : comprimento da altura do triângulo
 S 5 
b ?? h
 ― 
2
 
A área de qualquer triângulo é igual ao semiproduto dos comprimentos de 
dois lados pelo seno do ângulo por eles formado.
Considerando o n ABC e sua área S , temos:
 S 5 
a ?? b ?? sen ̂ C 
 ― 
2
 
 S 5 
a ?? c ?? sen ̂ B 
 ― 
2
 
 S 5 
b ?? c ?? sen ̂ A 
 ― 
2
 
 S 5 
a ?? h
 ― 
2
 (I)
• No triângulo retângulo AHC , temos:
 sen ̂ C 5 
h
 ― 
b
 ä h 5 b ?? sen ̂ C (II)
Substituindo II em I, temos:
 S 5 
a ?? ( b ?? sen ̂ C ) 
 ― 
2
 5 
a ?? b ?? sen ̂ C 
 ― 
2
 
De maneira análoga, para ̂ A e ̂ B , temos:
 S 5 
b ?? c ?? sen ̂ A 
 ― 
2
 e S 5 
a ?? c ?? sen ̂ B 
 ― 
2
 
Agora, vamos determinar a área da região cercada.
 S 5 
AB ?? AC ?? sen ̂ A 
 ― 
2
 5 
165 ?? 200 ?? sen 658
 ― 
2
 . 14 954 é aproximadamente 14 954 m 
2
 
A B 
C 
 b a
 c
B C H 
A 
 c
 h
 b
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s:
 R
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