Calculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 2-380

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DERIVADAS PARCIAIS 869
Exercícios
1–2 Determine e esboce o domínio da função. 
1. f (x, y) � ln(x � y � 1) 
2. 
3–4 Esboce o gráfico da função.
3. f (x, y) � 1 � y 2 
4. f (x, y) � x2 � (y � 2)2
5–6 Esboce várias curvas de nível da função. 
5. 6. f (x, y) � ex � y 
7. Faça um esboço de um mapa de contorno da função cujo gráfico
está mostrado.
8. Um mapa de contorno de uma função f é apresentado. Use-o
para fazer um esboço do gráfico de f.
9–10 Calcule o limite ou mostre que ele não existe. 
9. 10. 
11. Uma placa de metal está situada no plano xy e ocupa o retân-
gulo 0 � x � 10, 0 � y � 8, onde x e y são medidos em me-
tros. A temperatura no ponto (x, y) do plano é T(x, y), onde T é
medido em graus Celsius. Temperaturas em pontos igualmente
espaçados foram medidas e registradas na tabela.
(a) Estime o valor das derivadas parciais Tx(6, 4) e Ty(6, 4). Quais
são as unidades?
(b) Estime o valor de DuT(6, 4), onde .
Interprete o resultado.
(c) Estime o valor de Txy(6, 4).
12. Determine uma aproximação linear para a função temperatura
T(x, y) do Exercício 11 perto do ponto (6, 4). Em seguida use-a
para estimar a temperatura no ponto (5, 3,8).
13–17 Determine as derivadas parciais de primeira ordem. 
13. f (x, y) � (5y3 � 2x2y)8 14.
15. F (a, b) � a2 ln(a2 � b2 ) 16. G (x, y, z) � exzsen(y/z)
17. S (u, v, w) � u arctg
18. A velocidade da propagação da onda sonora no oceano é uma
função da temperatura, da salinidade e da pressão. Foi mode-
lada como
C � 1.449,2 � 4,6T � 0,055T 2 � 0,00029T 3 
� (1,34 � 0,01T)(S � 35) � 0,016D
onde C é a velocidade do som (em metros por segundo), T é a
temperatura (em graus Celsius), S é a salinidade (concentração
de sal em partes por milhar, o que significa o número de gra
mas de sólidos dissolvidos por 1 000 g de água) e D é a pro-
fundidade abaixo da superfície do oceano (em metros). Calcule
�C/�T, �C/�S, �C/�D, quando T � 10 ºC, S � 35 partes por mi-
lhar e D � 100 m. Explique o significado físico dessas deriva-
das parciais.
19–22 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem de f.
19. f (x, y) � 4x3 � xy2 20. z � xe�2y
21. f (x, y, z) � xkylzm 22. v � r cos(s � 2t)
23. Se z � xy � xey/x, mostre que .
24. Se z � sen(x � sen t), mostre que 
25–29 Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta nor-
mal à superfície dada no ponto especificado. 
25. z � 3x2 � y2 � 2x,MM(1, �2, 1) 
26. z � ex cos y,MM(0, 0, 1) 
27. x2 � 2y2 � 3z2 � 3,MM(2, �1, 1) 
28. xy � yz � zx � 3,MM(1, 1, 1) 
29. sen(xyz) � x � 2y � 3z,MM(2, �1, 0) 
�z
�x
�2z
�x �t
�
�z
�t
�2z
�x 2
x
�z
�x
� y
�z
�y
� xy � z
(vsw)
t(u, v) �
u � 2v
u2 � v2
u � �i � j��s2
lim
�x, y� l �0, 0�
2xy
x 2 � 2y 2lim
�x, y� l �1, 1�
2xy
x 2 � 2y 2
f �x, y� � s4x 2 � y 2
f �x, y� � s4 � x 2 � y 2 � s1 � x 2
30
52
78
98
96
92
38
56
74
87
90
92
45
60
72
80
86
91
51
62
68
75
80
87
55
61
66
71
75
78
x
y
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8
y
x
1
1,5
2
4
2
x
z
2
y
; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador
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