Calculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 2-423

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Convertendo para coordenadas polares, obtemos
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912 CÁLCULO
15.6 Exercícios
1–12 Determine a área da superfície.
1. A parte do plano z � 2 � 3x � 4y que está acima do retângulo
[0, 5] � [1, 4]
2. A parte do plano 2x � 5y � z � 10 que está dentro do cilindro
x2 � y2 � 9
3. A parte do plano 3x � 2y � z � 6 que está no primeiro octante
4. A parte da superfície z � 1 � 3x � 2y2 que está acima do triân-
gulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (2, 1)
5. A parte do cilindro y2 � z2 � 9 que está acima do retângulo com
vértices (0, 0), (4, 0), (0, 2) e (4, 2)
6. A parte do paraboloide z � 4 � x2 � y2 que está acima do plano
xy
7. A parte do paraboloide hiperbólico z � y2 � x2 que está entre os
cilindros x2 � y2 � 1 e x2 � y2 � 4
8. A superfície 0 � x � 1, 0 � y � 1
9. A parte da superfície z � xy que está dentro do cilindro 
x2 � y2 � 1
10. A parte da esfera x2 � y2 � z2 � 4 que está acima do plano z � 1
11. A parte da esfera x2 � y2 � z2 � a2 que está dentro do cilindro 
x2 � y2 � ax e acima do plano xy
12. A parte da esfera x2 � y2 � z2 � 4z que está dentro do paraboloide
z � x2 � y2
13–14 Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas de-
cimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e
usando sua calculadora para estimar a integral.
13. A parte da superfície que está acima do círculo
x2 � y2 � 4
14. A parte da superfície z � cos (x2 � y2) que está dentro do cilin-
dro x2 � y2 � 1
15. (a) Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas (veja a Se-
ção 15.1) com quatro quadrados para estimar a área da su-
perfície da porção do paraboloide z � x2 � y2 que está acima
do quadrado [0, 1] � [0, 1].
(b) Use um sistema de computação algébrica para aproximar a
área de superfície da parte (a) até a quarta casa decimal.
Compare com sua resposta para a parte (a).
16. (a) Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas com 
m � n � 2 para estimar a área da superfície z � xy � x2 �
y2, 0 � x � 2, 0 � y � 2.
(b) Use um sistema de computação algébrica para aproximar a
área de superfície da parte (a) até a quarta casa decimal.
Compare com sua resposta para a parte (a).
17. Determine a área exata da superfície z � 1 � 2x � 3y � 4y2, 
1 � x � 4, 0 � y � 1.
18. Determine a área exata da superfície
z � 1 � x � y � x2 �2 � x � 1 �1 � y � 1
Ilustre, traçando o gráfico da superfície.
19. Determine, com precisão de quatro casas decimais, a área da parte
da superfície z � 1 � x2y2 que está acima do disco x2 � y2 � 1.
20. Determine, com precisão de quatro casas decimais, a área da parte
da superfície z � (1 � x2)/ (1 � y2) que está acima do quadrado
. Ilustre, traçando o gráfico dessa parte de super-
fície.
21. Mostre que a área da parte do plano z � ax � by � c que projeta
sobre uma região D no plano xy com área A(D) é
.
22. Se você tentar usar a Fórmula 2 para encontrar a área da metade
superior da esfera x2 � y2 � z2 � a2, você terá um pequeno pro-
blema, pois a integral dupla é imprópria. De fato, o integrando tem
uma descontinuidade infinita em cada ponto do limite circular 
x2 � y2 � a2. No entanto, a integral pode ser calculada como o li-
mite da integral sobre o disco x2 � y2 � t2 quando t l a�. Uti-
lize este método para mostrar que a área de uma esfera de raio a
é 4pa2.
23. Determine a área da parte finita do paraboloide y � x2 � z2 limi-
tada pelo plano y � 25. [Sugestão: Projete a superfície sobre o
plano xy.]
24. A figura mostra a superfície criada quando o cilindro y2 � z2 � 1
intercepta o cilindro x2 � z2 � 1. Encontre a área desta superfície.
z
y
x
sa2 � b2 � 1A(D)
� x � � � y � � 1
z � e�x2�y2
z � 2
3(x3/2 � y3/2),
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com É necessário usar um sistema de computação algébricaSCA
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