Calculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 2-57

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546 CÁLCULO
54. De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a
força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lan-
çado verticalmente para cima da superfície da Terra é 
onde x � x(t) é a distância do objeto acima da superfície no 
instante t; R, o raio da Terra; e t, a aceleração da gravidade. 
Também, pela Segunda Lei de Newton, F � ma � m(dv/dt), e
dessa forma
(a) Suponha que um foguete seja lançado verticalmente para cima
com uma velocidade inicial v0. Seja h a altura máxima acima
da superfície alcançada pelo objeto. Mostre que
[Dica: Pela Regra da Cadeia, m(dv/dt) � mv (dv/dx).]
(b) Calcule ve � limh m ∞ v0. Esse limite é chamado velocidade de
escape da Terra.
(c) Use R � 6.370 km e t � 9,8 m/s2 para calcular ve em quilô-
metros por segundo.
v0 � � 2tRh
R � h
m
dv
dt
� �
mtR 2
�x � R�2
F �
mtR 2
�x � R�2
PROJETO APLICADO QUÃO RAPIDAMENTE UM TANQUE ESVAZIA?
Se água (ou outro líquido) está vazando de um tanque, esperamos que o escoamento
seja maior no começo (quando o tanque estiver mais cheio) e que vá gradualmente
diminuindo à medida que o nível de água do tanque diminui. Mas queremos uma des-
crição matemática mais precisa de como o escoamento decresce a fim de responder
às perguntas que os engenheiros fazem: quanto tempo demora para que o tanque seja
esvaziado completamente? Quão cheio o tanque deve estar para garantir uma pressão
mínima a um sistema de irrigação?
Sejam h(t) e V(t) o volume de água no tanque e a altura da água no tanque num
dado momento t. Se a água escorre por um furo de área a no fundo do tanque, então
a Lei de Torricelli diz que
onde t é a aceleração devido à gravidade. Logo, a taxa na qual a água escoa do tan-
que é proporcional à raiz quadrada da altura da água.
1. (a) Suponha que o tanque seja cilíndrico com altura igual a 2 m e raio igual a 1 m
e que o buraco seja um círculo com raio igual a 2 cm. Se tomarmos t � 10 m/s2,
mostre que h satisfaz a equação diferencial 
(b) Resolva esta equação para encontrar a altura da água no instante t, supondo que
o tanque esteja cheio em t � 0. 
(c) Quanto tempo iria demorar para o tanque ficar completamente vazio?
2. O modelo teórico dado pela Equação 1 não é muito preciso, se levarmos em conta
a rotação e viscosidade do líquido. Em vez disso, o modelo 
é em geral usado e a constante k (que depende das propriedades físicas do líquido) é
determinada a partir dos dados relacionados com o vazamento do tanque.
(a) Suponha que o buraco esteja posicionado na lateral de uma garrafa e que a al-
tura h da água (acima do buraco) decresça de 10 cm para 3 cm em 68 segundos.
Use a Equação 2 para encontrar uma expressão para h(t). Avalie h(t) para t � 10,
20, 30, 40, 50, 60.
(b) Perfure um buraco de 4 mm perto do fundo de uma garrafa plástica de um re-
frigerante de 2 litros. Faça marcas de 0 a 10, com “0” correspondendo ao topo
do buraco. Com um dedo tampando o buraco, encha a garrafa com água até a
dh
dt
� ksh
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