1 Lista de EDO

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1ª Lista de EDO 
1) Verifique que a função dada é solução da equação dada. 
a) 𝑥(𝑡) = 𝑡𝑔(𝑡), −
𝜋
2
< 𝑡 <
𝜋
2
, e 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 1 + 𝑥2 
b) 𝑦(𝑥) = 4 e 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥(𝑦2 − 16) 
c) 𝑦(𝑥) = 1, 𝑥 > 0, e 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦2−1
𝑥
 
d) 𝑦(𝑥) = 𝑒
𝑥2
2 e 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥𝑦 
e) 𝑦(𝑡) = 𝑒−3𝑡 e 𝑦′′ + 2𝑦′ − 3𝑦 = 0 
f) 𝑦(𝑡) = 3𝑡 + 𝑡2 e 𝑡𝑦′ − 𝑦 = 𝑡2 
g) 𝑦(𝑡) = 𝑒−𝑡 + 𝑡/3 e 𝑦′′′′ + 4𝑦′′′ + 3𝑦 = 𝑡 
h) 𝑦(𝑡) = 𝑡−2𝑙𝑛(𝑡) e 𝑡2𝑦′′ + 5𝑡𝑦′ + 4𝑦 = 0 
 
2) Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥+𝑦 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 𝑥2 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥+𝑦
𝑥2+1
 
d) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= cos(𝑥𝑦) 
e) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 + 𝑥𝑦 
f) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ln(𝑥𝑦) 
 
3) Resolva as EDO, utilizando o método das variáveis separáveis: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥2 + 1 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ln(𝑥) 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒−𝑦 
d) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
, 𝑥 > 0 
e) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥𝑒−𝑦 
f) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2(𝑦 − 10) 
g) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= cos2(𝑦) , −
𝜋
2
< 𝑦 <
𝜋
2
 
h) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥
cos(𝑦)
, −
𝜋
2
< 𝑦 <
𝜋
2
 
 
4) Determine 𝑦 = 𝑦(𝑥) que satisfaça as condições dadas: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒𝑦 e 𝑦(0) = 1 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2 − 4 e 𝑦(1) = 2 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑦2 e 𝑦(0) =
1
2
 
d) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2 − 4 e 𝑦(0) = 1 
 
5) (Quão rapidamente um tanque esvazia?) Se água está vazando de um 
tanque, esperamos que o escoamento seja maior no começo (quando o 
tanque estiver mais cheio) e que vá gradualmente diminuindo à medida 
que o nível de água do tanque diminui. Mas queremos uma descrição 
matemática mais precisa de como o escoamento decresce a fim de 
responder às perguntas que os engenheiros fazem: quanto tempo 
demora para que o tanque seja esvaziado completamente? 
 
Seja ℎ(𝑡) e 𝑉(𝑡) o volume de água no tanque e a altura da água no tanque 
num dado momento. Se a água escorre por um furo de área 𝑎 no fundo do 
tanque, então a Lei de Torricelli diz que 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑎√2𝑔ℎ 
onde 𝑔 é a aceleração devido à gravidade. Logo, a taxa na qual a água 
escoa do tanque é proporcional à raiz quadrada da altura da água. 
 
a) Suponha que o tanque seja cilíndrico com altura igual a 2 m e raio igual 
a 1 m e que o buraco seja um círculo com raio igual a 2 cm. Se 
tomarmos 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2, mostre que ℎ satisfaz a equação diferencial 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −0,0004 √20ℎ 
 
b) Resolva esta equação para encontrar a altura da água no instante 𝑡, 
supondo que o tanque esteja cheio em 𝑡 = 0. 
c) Quanto tempo iria demorar para o tanque ficar completamente vazio? 
 
 
6) Determine o tempo necessário para se esvaziar um tanque cilíndrico de 
raio 3 m e altura 7 m, cheio de água, admitindo que a água se escoe 
através de um orifício, situado na base do tanque, de raio 0,4 m, com uma 
velocidade 𝑣 = √2𝑔ℎ m/s, sendo ℎ a altura da água no tanque e 𝑔 =
10 𝑚/𝑠2 a aceleração gravitacional. 
 
7) No instante 𝑡 = 0, um tanque contém 50 gramas de sal dissolvido em 100 
litros de água. Suponha que água contendo 0,25 gramas de sal por litro 
está entrando no tanque a uma taxa de 3 litros por minuto e que o líquido, 
bem misturado, está saindo do tanque à mesma taxa. A EDO que descreve 
a quantidade de sal 𝑄(𝑡) no tanque em qualquer instante 𝑡 é dada por 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
=
3
4
−
3𝑄
100
 
onde estamos supondo que o sal não é criado nem destruído no tanque. 
Encontre a função 𝑄(𝑡). 
 
8) Uma pessoa faz hoje uma aplicação de R$ 5 000,00 em uma instituição 
financeira que remunera o capital aplicado de acordo com a equação 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
= 0,02𝐶 
onde 𝐶(𝑡) = 𝐶 é o valor da aplicação no instante 𝑡 , sendo 𝑡 dado em 
meses e 𝐶 em reais. 
a) Qual o valor do capital aplicado no instante 𝑡? 
b) Qual o valor da aplicação daqui a um mês? E daqui a 2 meses? 
 
9) Um objeto aquecido a 100°C é colocado em um quarto a uma temperatura 
ambiente de 20°C. Um minuto após, a temperatura do objeto passa a 
90°C. Admitindo a lei de resfriamento de Newton que a temperatura 𝑇 =
𝑇(𝑡) do objeto esteja variando a uma taxa proporcional à diferença entre 
a temperatura do objeto e a do quarto, isto é, 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑎(𝑇 − 20) 
onde 𝑎 é uma constante, determine a temperatura do objeto no instante 
𝑡. Suponha 𝑡 em minutos. 
 
10) (Circuito elétrico simples) A figura abaixo mostra um um circuito 
elétrico que contém uma força eletromotriz (geralmente uma pilha ou 
gerador) que produz uma voltagem de 𝐸(𝑡) volts (V) e uma corrente de 
𝐼(𝑡) amperes (A) em um instante 𝑡. O circuito também possui um resistor 
com resistência de 𝑅 ohms (Ω) e um indutor com indutância de 𝐿 henrys 
(H). 
 
A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é 𝑅𝐼. A 
queda de voltagem por causa do indutor é 𝐿(𝑑𝐼/𝑑𝑡). Uma das Leis de 
Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem 
fornecida 𝐸(𝑡). Então, temos 
𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝑅𝐼 = 𝐸(𝑡) 
que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente 
𝐼 no instante 𝑡. 
a) Suponha que em um circuito a resistência seja de 12 Ω, a indutância 
seja de 4 H e uma pilha forneça uma voltagem constante de 60 V. Se 
𝐼(0) = 0 encontre 𝐼(𝑡). 
b) Mostre que depois de um segundo a corrente é de aproximadamente 
4,75 A 
 
11) Suponha que em um circuito uma pilha forneça uma voltagem constante 
de 40 V, a indutância seja de 2 H e a resistência seja de 10 Ω. Se 𝐼(0) = 0, 
encontre 𝐼(𝑡). 
 
12) As equações diferenciais são usadas para construir modelos 
matemáticos de fenômenos físicos tais como na dinâmica de fluidos e em 
mecânica celeste. Deste modo, o estudo de equações diferenciais é um 
campo extenso na matemática aplicada. Considere as seguintes equações 
diferenciais: 
 
I. 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑚𝑔 − 𝛾𝑣 que modela a velocidade 𝑣(𝑡) de um objeto em 
queda, com massa 𝑚, coeficiente de resistência do ar 𝛾 e onde 𝑔 é 
constante gravitacional. 
II. 
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= −𝛼(𝑢4 − 𝑇4), que modela a transferência de calor de um 
corpo para o ambiente que o rodeia por radiação, onde 𝑢(𝑡) é a 
temperatura absoluta do corpo no instante 𝑡, 𝑇 é a temperatura 
absoluta do ambiente e 𝛼 é uma constante que depende dos 
parâmetros físicos do corpo. 
III. 𝑚𝑢′′ + 𝛾𝑢′ + 𝑘𝑢 = 0, que modela o movimento de uma massa 
presa a uma mola, onde 𝑢(𝑡) denota a função posição da massa e 
as constantes 𝑚, 𝛾 e 𝑘 são positivas. 
 
Assinale a alternativa correta: 
 
a) Apenas as equações em I e II são EDOs lineares. 
b) Apenas as equações em I e III são EDOs lineares. 
c) Todas as equações em I, II e III são EDOs lineares. 
d) Apenas a equação em III é não linear. 
e) Apenas a equação em I é não linear. 
 
13) (Objeto em queda) Um objeto de massa 𝑚 é solto a partir do repouso e 
presumimos que a resistência do ar seja proporcional à velocidade do 
objeto. Se 𝑠(𝑡) for a distância percorrida depois de 𝑡 segundo, então a 
velocidade é 𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) e a aceleração é 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡). 
 
a) Se 𝑔 for a aceleração da gravidade, então mostre que a força para 
baixo no objeto é dado por 
�⃗� = 𝑚𝑔 − 𝑐𝑣 
onde 𝑐 é uma constante positiva. 
b) Use a 2ª lei de Newton para deduzir a equação diferencial 
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑚𝑔 − 𝑐𝑣 
c) Resolva essa equação linear para mostrar que 
𝑣(𝑡) =
𝑚𝑔
𝑐
(1 − 𝑒−𝑐𝑡/𝑚) 
d) Qual é a velocidade limite? 
e) Calcule a distância que o objeto caiu depois de 𝑡 segundos. 
 
14) Um corpo de massa 10 kg é abandonado a uma certa altura. Sabe-se que 
as únicas forças atuando sobre ele são o seu peso e uma força de 
resistência proporcional à velocidade. Admitindo-se que 1 segundo após 
ter sido abandonado a sua velocidade é de 8 m/s, determine a velocidade 
no instante t. Suponha que a aceleração gravitacional seja de 10 𝑚/𝑠2 e 
que o coeficiente de resistência do ar do corpo seja 𝑐 = 2 𝑘𝑔/𝑠. Qual a 
velocidade do corpo após 3 segundos de queda? Qual a aceleração desse 
corpo no instante 𝑡? 
 
15) Um corpode massa 10 kg é abandonado a uma certa altura. Sabe-se que 
a única força atuando sobre ele é seu peso. Admitindo-se que 1 segundo 
após ter sido abandonado a sua velocidade é de 8 m/s, determine a 
velocidade no instante t. Suponha que a aceleração gravitacional seja de 
10 𝑚/𝑠2. 
 
16) Em relação a proteção de linhas condutoras de fluidos sobre pressão, as 
válvulas de segurança e alívio de pressão são consideradas os 
dispositivos mais importante instalados. Tais válvulas garantem que a 
pressão de operação não exceda o valor limite projetado. Seu 
funcionamento ocorre, basicamente, da seguinte forma: suponha uma 
linha hidráulica projetada para uma pressão de 10 𝑏𝑎𝑟 e caso ocorra uma 
avaria qualquer na linha e essa pressão aumentar para 11 𝑏𝑎𝑟 , por 
exemplo, a válvula de alívio de pressão, automaticamente, agirá de modo 
que o excesso de fluido na linha faça pressão na mola e saia por uma 
descarga na própria válvula e com isso a pressão volta a ser equilibrada. 
 
Considere uma válvula de alívio de pressão do tipo mola montada em 
uma rede hidráulica, sendo diâmetro de entrada do fluido na válvula 
𝐷𝑒 = 25 𝑚𝑚, com diâmetro de saída 𝐷𝑠 = 50 𝑚𝑚 e pressão de trabalho 
𝑃 = 10 (𝑘𝑔𝑓)/𝑚2. Suponhamos que houve uma varia na linha e a pressão 
aumentou fazendo com que a mola deslocasse no mesmo valor que o 
diâmetro de saída, ou seja, 𝑥(0) = 0,050 𝑚, para que aliviasse a pressão 
e equilibrasse novamente o sistema. A EDO que descreve o movimento 
dessa mola (criticamente amortecida), é a seguinte: 
𝑥′′(𝑡) + 28𝑥′(𝑡) + 196𝑥(𝑡) = 0 
Mostre que 𝑥(𝑡) = 𝑒−14𝑡(0,050 + 0,7𝑡) é uma solução da EDO acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Em sala, vimos os problemas de misturas nos quais o volume de fluido 
permanecia constante e vimos que estes fornecem equações diferenciais. 
Se as taxas de entrada e de saída do sistema forem diferentes, então o 
volume não é constante e a equação diferencial resultante é linear, mas 
não separável. 
Um tanque contém 100 L de água. Uma solução com uma concentração 
salina de 0,4 kg/L é adicionada à taxa de 5 L/min. A solução é mantida 
misturada e é retirada do tanque na taxa de 3 L/min. Se 𝑦(𝑡) é a 
quantidade de sal (quilogramas) após 𝑡 minutos, mostre que 𝑦 satisfaz a 
equação diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 −
3𝑦
100 + 2𝑡
 
Resolva essa equação e calcule a concentração depois de 20 minutos.