IBEP - EM - Volume Único-133-135

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19. (UFVIÇOSA-MG) Dada a matriz mostrada adiante:
A = [~ ~ ~ldetermine:
-1 1 -1
a)N b)A· A'
20. Assinale a alternativa correta:
1) (UEl:PR) A soma de todos os elementos da inversa da matriz M
mostrada na figura é igual a:
M=[ ~ -~]
".
a) -2
b) -1
c) O
d) 1
c) 2
2) (FEI-SP) Considere as matrizes A e B.
A=[ ~
2a]2a B=[ ~
Se a inversa da matriz A é a matriz B, então:
a) a = O ou b = O
b) ab = 1
c) ab = 1/2
d) a = O e b = O
e) a + b = 1/2
3').(PUCCAMP-SP) Os números reais x, ye z que satisfazem a equa-
ção matricial mostrada a seguir, são tais que sua soma é igual a:
a) -3
b)-2
c) -1
d)2
e)3.
c) 2A + 3A'
4) (UECE) Sejam as matrizes:
M = [~ ;] e P = [: : lse M· Mt = P.
Sendo M' a matriz transposta de M, então n2 + n . q é igual a:
a) 6
b)9
c) 12
d) 18
5) (UFF) Toda matriz de ordem 2 X 2, que é igual à sua transposta,
possui:
a) pelo menos dois elementos iguais.
b) os elementos da diagonal principal iguais a zero.
c) determinante nulo.
d) linhas proporcionais.
e) todos os elementos iguais a zero.
6) (UFPR-adaptado) Dadas as matrizes A e B mostradas na adiante:
A=[~ ~]eB=[~ ~]
É incorreto afirmar:
a) B· A = B
b) Todos os elementos da matriz A + B são números ímpares.
c) O conjunto formado pelos elementos da matriz A . B é igual ao
conjunto formado pelos elementos da matriz B.
d) B· 12= B
e) A matriz inversa de A é a própria matriz A.
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11 Determinantes
A qualquer matriz quadrada, de ordem n, podemos associar um único número chamado determinante da matriz.
Assim sendo, dada a matriz quadrada:
a11 a12 aln
A=
a21 a22 a2n
an1 an2 a
nn
O seu determinante será representado por:
a11 a12 a1n
det A = a21 a22 a2n
an1 an2 a
nn
Perceba que representamos o determinante por barras verticais.
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 1~ ORDEM
A = [all] => det A = I all I= all
CÁLCULO DO DETERMINANTE.DE UMA MATRIZ DE 2i ORDEM
[
a a 1 à" r:A = 11 12 ~ det A = 11 v 12 = a . a -
// -, 11 22
a21 a22 %1 élZiJ( ~8 c±)
Ou seja, o determinante da matriz de 2~ ordem é igual ao produto dos elementos da diagonal prindpal menos o produto dos elementos
da diagonal secundária.
Observação
Logo: I det A' = det A I
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 3i ORDEM
(Regra de Sarrus)
['u
a12
A = a21 a22
a31 a32
• Acrescentar as 2 primeiras colunas à direita da 3~.
• Adicionar os produtos dos elementos da diagonal principal e das diagonais paralelas.
• Subtrair os produtos dos elementos da diagonal secundária e das diagonais paralelas.
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CÁLCULO DO DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 4' ORDEM
ali a12 a13 a14
A=
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
Utilizando-se a 1ª linha, temos:
a22 a23 a24 a21 a23 a24 a21 a22 a24 a21 a22 a23
det A = alI' a32 a33 a34 - a
12
. a31 a33 a34 + a
13
• a31 a32 a34 - a
14
• a31 a32 a33
a42 a43 a44 a41 a43 a44 a41 a42 a44 a41 a42 a43
Regra de Chió: é geralmente usada no cálculo de determinantes de matrizes de ordem n ~ 3 e consiste em baixar a ordem da matriz.
Assim, para uma matriz A de ordem n, obteremos outra matriz B de ordem n-1 de tal forma que det A= det B.
Para esta regra ser usada, é necessário que algum elemento da matriz seja igual a 1. Caso contrário, colocamos um elemento qualquer em
evidência para que o 1 apareça:
1~) Suprimimos a linha e a coluna que se cruzam no elemento aii = 1.
2~) De cada elemento restante subtraimos o produto dos dois elementos suprimidos situados, respectivamente, na mesma linha e coluna.
3~) Calculamos o determinante da matriz obtida e o multiplicamos por (-l)i+i, onde i é a linha suprimida e j é a coluna suprimida.
Exemplos:
1. 2 O -1
-3 ...•.1 3
4 2 2
a"
2 o- -1
-3 1 3J
4 2 2-
2
4
0.(-3)
2.(-3)
-1-0·3
2- 2·3 ~(-1)'·l;:<!}-8+10~2
8 ffi
2. 1 2 3 4 5-2· 2 7-2·3 9-2·4 1 1 1 (Sarrus)
2 5 7 9 _( (1 10-3·2 12-3·3 15-3·4 = (-lr . 4 3 3 =(-lr ·2=2.- -1 .
3 10 12 15 21-5·2 15-5·3 18-5·4 11 O -2
~ 21 15 18
Observação
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Seja B = k . A, com k E IR, outra matriz de mesma ordem n. Se se conhecer o determinante da
matriz A (det A), o determinante da matriz B (det B) será dado pela expressão
det B = kn • det A (n: é a ordem das matrizes)
EXERCíCIOS
b) I-51 c) 12a I
b) 1
1
316 -2 d) 110 -21-3 4
1. Calcule os determinantes: 2. Calcule o valor de cada determinante abaixo:
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