3 MATRIZES E DETERMINANTES

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MATRIZES E DETERMINANTES 
 OPERAÇÕES COM MATRIZES 
(ADIÇÃO, MULTIPLICAÇÃO POR 
ESCALAR E PRODUTO) 
 
Dadas duas matrizes A = (aij )m ⨉ n e B 
= (bij )m ⨉ n, chamamos soma de A + B 
a matriz C = (cij) Dadas duas matrizes A 
= (aij )m ⨉ n e B = (bij )m ⨉ n )m ⨉n, tal 
que cij =aij +bij, , para todo i e todo j. 
significa que a soma de duas matrizes A 
e B do tipo m ⨉ n é uma matriz C do 
mesmo tipo, em que cada elemento é a 
soma dos elementos correspondentes 
em A e B 
 
 
 
 
 
♥ Propriedades da Adição de 
Matrizes 
 
A adição de matrizes do tipo admite as 
seguintes propriedades 
 
 
ASSOCIATIVA 
(A + B) + C = A + (B + C) 
COMUTATIVA 
A + B = B + A 
ELEMENTO NEUTRO 
A + 0 = A 
(em que 0 é a matriz nula) 
ELEMENTO SIMÉTRICO 
A + (- A) = 0 
(em que -A é a matriz oposta de A) 
 
 PRODUTO DE ESCALAR POR MATRIZ 
 
Dado um número k e uma matriz A = (aij 
)m ⨉ n , chama-se produto kA a matriz B 
= (bij )m ⨉ n tal que bij = kaij , para 
todo i e todo j. Isso significa que 
multiplicar uma matriz A por um número 
k é construir uma matriz B formada por 
todos os elementos de A multiplicados 
por k. 
 
 
 
 
♥ Propriedade do produto de um 
número por uma matriz 
 
Admite as seguintes propriedades 
 
 
 
a . (b.A) = (a . b) . A 
a . (A + B) = a . A + a . B 
(a + b) . A = a . A + b . A 
1 . A = A 
 
 
 PRODUTOS DE MATRIZES 
 
existência do produto AB somente se o 
número de colunas de A for igual ao 
número de linhas de B, pois A é do tipo m 
⨉ n e B é do tipo n ⨉ p. 
 
 
 
 
 
A definição dada afirma que o produto 
AB é uma matriz que tem o número de 
linhas de A e o número de colunas de B, 
pois AB é do tipo m ⨉ p 
 
 
 
 
 
♥ Propriedades do Produto de 
Matrizes 
 
O produto de matrizes admite as 
seguintes propriedades 
 
 
 
ASSOCIATIVA 
(A · B) · C = A · (B · C) 
DISTRIBUTIVA Á DIREITA 
à direita em relação à adição 
(A + B) · C = A · C + B ·C 
DISTRIBUTIVA Á ESQUERDA 
C · (A + B) = C· A + C · B z (k · A) ·B = A · 
(k · B) = k · (A · B) 
 
a multiplicação de matrizes não é 
comutativa, para duas matrizes 
quaisquer A e B 
 
uma condição necessária para A e B 
comutarem é que sejam matrizes 
quadradas e de mesma ordem 
 
é possível encontrar duas matrizes não 
nulas cujo produto é a matriz nula. 
 
 
 
 MATRIZ TRANSPOSTA 
(TRANSPOSIÇÃO) 
 
Seja a Matriz M 
 
 
 
 
 
 
O det M = - 10 
 
 
 
 
 
 
E o det Mt = - 10 
 
 MATRIZ INVERSA 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. 
Dizemos que A é uma matriz invertível se 
existir uma matriz A-1 tal que A · A^-1 = 
A^-1 · A = In, onde In é a matriz 
identidade de ordem n 
 
Se A não é invertível, dizemos que A é 
uma matriz singular 
 
Se A é invertível, então é única a matriz 
A^-1 
 
 
 
 
 
♥ Propriedades de uma Matriz 
Inversa 
 
Admite as seguintes propriedades 
 
 
 
(A^-1)^-1 = A 
(A . B)^-1 = B^-1 . A^-1 
(A^t)^-1 = (A^-1)^t 
 
 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ: 
DEFINIÇÃO (TEOREMA DE LAPLACE) 
 
O determinante de uma matriz de ordem 
n ≥ 2 é a soma dos produtos dos 
elementos de uma fila qualquer (linha ou 
coluna) pelos respectivos cofatores 
 
 
 
 
 
De preferência, escolha sempre a fila 
com a maior quantidade de elementos 
iguais a zero. Esse procedimento facilita 
os cálculos do determinante. 
 
 PROPRIEDADES DOS 
DETERMINANTES 
 
é possível simplificar o cálculo com a 
aplicação de certas propriedades 
 
♥ Matriz Transposta 
 
Se M é a matriz de ordem n e Mt sua 
transposta, então det Mt = det M 
 
 
 
 
 
♥ Fila Nula 
 
Se os elementos de uma fila (linha ou 
coluna) qualquer de uma matriz M de 
ordem n forem todos nulos, então det M 
= 0 
 
 
 
♥ Multiplicação de uma Fila por uma 
Constante 
 
Se multiplicarmos uma fila qualquer de 
uma matriz M de ordem n por um 
número k, o determinante da nova matriz 
M’ obtida será o produto de k pelo 
determinante de M, isto é det M’ = k· det 
M 
 
 
 
 
 
Se multiplicarmos a primeira linha da 
matriz por 2, teremos 
 
 
 
 
 
det M, o det de M’ = - 56, ou seja, caso 
fosse multiplicada a primeira coluna da 
matriz M por 2, o determinante da nova 
matriz M’ seria o dobro do det M 
 
 
 
 
 
♥ Multiplicação da Matriz por uma 
Constante 
 
Se A é uma matriz de ordem n, então det 
(ɑ · A) = ɑn · det A 
 
 
 
 
 
Se quiséssemos descobrir o 
determinante de 3 
det 3 · A = (3)2 · det A = 9 · 14 = 126 A 
 
♥ Filas Paralelas Iguais 
 
Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem 
duas filas paralelas formadas por 
elementos respectivamente iguais, então 
det M = 0. 
 
 
♥ Filas Paralelas Proporcionais 
 
Se uma matriz de ordem n ≥ 2 tem duas 
filas paralelas formadas por elementos 
respectivamente proporcionais, então 
det M = 0 
 
 
 
 
 
♥ Combinação Linear de Filas 
Paralelas 
 
Se uma matriz quadrada M, de ordem n, 
tem uma linha (ou coluna) que é 
combinação linear de outras linhas (ou 
colunas), então det M = 0 
 
 
 
♥ Teorema de Binet 
 
Se A e B são matrizes quadradas de 
ordem n, então det (AB) = det A · det B 
 
 
 
 
 
Logo, pelo Teorema de Binet, o det (A · B) 
= det A · det B = 5 · 3 = 15 
 
 
Observação: decorre a seguinte relação 
do Teorema de Binet 
 
 
 
 
 
 
♥ Matriz Triangular 
 
O determinante de uma matriz triangular 
(aquela cujos elementos acima ou 
abaixo da diagonal principal são todos 
iguais a zero) é dado pelo produto dos 
elementos da diagonal principal 
 
 
 
 
 
Como temos uma matriz triangular 
superior, ou seja, todos os elementos 
acima da diagonal principal são nulos, 
logo o determinante de A será dado pelo 
produto dos elementos da diagonal 
principal da matriz A 
 
Portanto: det A = ( - 3) · 2 · ( - 1) = 6 
 
 
 
 
 
 
Como temos uma matriz triangular 
inferior, ou seja, todos os elementos 
acima da diagonal principal são nulos, 
logo o determinante de B será dado pelo 
produto dos elementos da diagonal 
principal da matriz B 
 
 
 
Portanto: det B = 1 · 4 · ( - 3) = - 12