111_APOSTILA_MECÂNICA_GERAL_II (v11_22022021)-150

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Prof.: Carlos Arthur Cavalcante 150 
𝑑𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝑑𝑧 
 
Resulta: 
 
𝐹𝑥 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
 𝐹𝑦 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑦
 𝐹𝑧 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑧
 
 
Fica claro que as componentes da força conservativa �⃗� devem ser funções das coordenadas 
𝑥, 𝑦, 𝑧 e a condição necessária (mas não suficiente) para que uma força seja conservativa é que 
ela dependa apenas do seu ponto de aplicação. 
 
As relações 
 
𝐹𝑥 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
 𝐹𝑦 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑦
 𝐹𝑧 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑧
 
 
Podem ser expressas de modo mais conciso como 
 
�⃗� = 𝐹𝑥𝑖 + 𝐹𝑦𝑗 + 𝐹𝑧 �⃗⃗� = − (
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧
�⃗⃗�) 
 
O vetor entre parênteses é conhecido como gradiente de uma função escalar 𝑉 e é representado 
por 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑉 
 
Assim, para qualquer força conservativa, escrevemos 
 
�⃗� = 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑉