Trabalhando com Arcos Côngruos

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10. TRABALHANDO COM ARCOS CÔNGRUOS 
Conhecidos os valores de sen x e cos x da 1a volta positiva e usando a medida angular dos arcos côngruos, 
podemos calcular os valores de sen x e cos x para qualquer valor de x.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Calcule o valor do seno dado em cada item.
a) sen 390° d) sen 870°
b) sen
13
4
p
 e) sen
17
3
p
c) sen
21
2
p
 f) sen (2120°)
Resolução
a) 390° 5 360° 1 30°
1 volta
↓
y
x
O
390¡ (c™ngruo a 30¡)
 Temos que sen 390° é igual a sen 30°. Logo, 
sen 390° 5 
1
2
.
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
b) 5 1
13
4
8
4
5
4
p p p
1 volta
↓
5
4
p
 5 225°
 Temos que sen 
p13
4
 
é igual a sen 
p5
4
,
côngruo a
y
x
O
13π
4
5π
4
] [ 
π
4
 que é igual a 
2
2
2 , pois sen 
p
4
2
2
5 . 
 Logo, 52sen
13
4
2
2
p
.
c) 5 1
21
2
20
2 2
p p p
10p voltas (5 voltas)
↓
Logo, sen
21
2
p
 5 1.
y
x
O
21π
2
17. Calcule o valor indicado em cada item.
a) sen
5
6
p
 f) cos
2
3
p
 
b) sen
4
3
p
 g) tan 210° 
c) sen 330° h) tan
3
4
p
 
d) cos 315° i) tan
4
3
p
 
e) cos
5
4
p
 
18. Use a tabela da página 373 e calcule os valores 
dados fazendo a redução ao 1o quadrante.
a) sen 100° e) cos 310° 
b) sen 205° f) tan 244° 
c) sen 310° g) tan 200° 
d) cos 185° 
19. Determine o valor de x em cada caso.
a) 0° < x , 360° e sen x 5 21 
b) 0 < x < 2p e sen x 5 
1
2
 
c) < < 50 x
2
e sen x
3
2
p
 
d) 0° < x , 360° e cos x 5 
1
2
 
e) 0 < x , 2p e cos x 5 2
2
2
 
f) 0 , x , p e tan x 5 21 
20. Determine o valor de cos x sabendo que 
, , 5
2
x e sen x
3
5
p
p . (Lembre-se de
que sen2 x 1 cos2 x 5 1.) 
21. Sabendo que tan x 5 2 e p , x , 
3
2
p
, determine 
os valores de sen x e cos x.
22. Sabendo que tan x ? 2 ? 1tan
3
x tan
3
x
p



p



 5
5 tan 3x, qual é o valor de
tan 10° ? tan 50° ? tan 110°? 
23. Qual o valor da expressão A 5 cos 12° 1 cos 25° 1
1 … 1 cos 142° 1 cos 155° 1 cos 168°? 
CAPêTULO 13 • CONCEITOS TRIGONOMÉTRICOS BÁSICOS 413
Contexto e Aplicacoes Matematica_U6_C13_395a423.indd 413 8/22/18 2:33 PM
d) 870° 5 720° 1 150°
2 voltas
↓
Logo, sen 870° 5 
1
2
.
y
x
O
870° 30°
e)
4p voltas (2 voltas)
17
3
12
3
5
3
p p p
5 1
↓
Logo,
52sen
17
3
3
2
p
.
y
x
O
17π
3
π
3
f) O arco de medida angular de 2120° é côngruo 
ao arco de medida angular de 240°.
y
x
O
60°
2120°
 Logo, sen (2120°) 5 2
3
2
.
2. Determine todos os valores reais de x para os 
quais sen x 5 
3
2
.
Resolução
Sabemos que 5sen
3
3
2
p
 e, pela figura, vemos 
que também 5sen
2
3
3
2
p
.
y
x
O
(120°)
2π
3
(60°)
π
3
Então, os valores reais de x podem ser 
3
e
2
3
p p
 e 
todos os arcos côngruos a eles, ou seja, 
x 5 
3
p
 1 2kp ou x 5 
2
3
p
 1 2kp, com k [ Z.
3. Calcule o valor de cada cosseno.
a) cos 750° b) 2cos
5
4
p



Resolução
a)
 
750° 5 720° 1 30°
2 voltas
↓
 Logo, cos 750° é 
igual a cos 30°, isto 
é, cos 750° 5 
3
2
.
b) O arco de medida angular de 2
5
4
p
 (225°) é 
côngruo ao arco de medida angular de 
3
4
p
.
y
x
O
2
 5π
4
π
4
 Se 5cos
4
2
2
p
, então 2 52cos
5
4
2
2
p


 .
y
x
O
750° 
(côngruo
a 30°)
24. Use os valores notáveis do seno e calcule o valor de cada item.
a) sen
37
6
p
 
b) sen (2225°) 
c) sen 6p 
d) sen
19
4
p
 
e) sen 630° 
f) 2sen
3
p



 
g) sen
13
2
p
 
h) sen 930° 
25. Use a tabela da página 373 e calcule o valor de cada seno.
a) sen 580° b) sen (214°) c) sen
34
9
p
 d) sen
24
5
p
 
Il
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B
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o
ra
EXERCêCIOS
UNIDADE 6 ¥ TRIGONOMETRIA414
Contexto e Aplicacoes Matematica_U6_C13_395a423.indd 414 8/22/18 2:33 PM
26. Calcule os possíveis valores reais de x em cada 
item.
a) sen x 5 21 
b) 5sen x
2
2
 
c) 52sen x
1
2
 
d) sen x 5 0 
27. Calcule o valor de cada cosseno usando arcos 
côngruos.
a) cos
9
4
p
 e) cos
25
6
p
 
b) cos (2330°) f) 2cos
15
4
p


 
c) cos
9
2
p
 g) cos 11p 
d) cos 1 140° h) cos 570° 
28. Use a tabela da página 373 e calcule o valor de 
cada cosseno.
 PARA REFLETIR: 
Confira os resultados deste exercício usando uma 
calculadora científica.
a) cos
7
9
p
 c) cos (283°) 
b) cos 730° d) cos 1 125° 
29. Determine o valor de x em cada caso.
a) 0° < x , 360° tal que cos x 5 
2
2
.
b) 0° < x , 2p tal que cos x 5 0. 
c) x [ R tal que cos x 5 2
3
2
.
d) x [ R tal que cos x 5 21.
30. Calcule o valor de cada tangente usando arcos 
côngruos.
a) tan 870° e) tan
17
3
p
 
b) tan 2 160° f) tan
31
6
p
 
c) tan 260° g) 
p


2tan
7
4
 
d) tan 21 200° 
31. Usando a tabela da página 373, calcule o valor de 
cada tangente.
a) tan 500° d) tan
37
18
p
 
b) tan (2310°) e) 
p


2tan
7
18
 
c) tan
40
9
p
 
32. Qual é maior: cos 2 ou cos 2°? Justifique.
33. Qual é o sinal de sen 3? 
34. Para quais valores de a, 0 < a , 2p, temos
cos a 5 2? 
35. Determine o valor de 
S 5 1 1 1 1sen
3
sen
2
3
sen
3
3
... sen
24
3
p p p p
. 
36. Dado M 5 
?sen 2460° cos1110°
tan 2205°
, podemos dizer 
que:
a) M 5 23. d) 52M
1
8
.
b) 52M
3
4
. e) 5M
3
4
.
c) 52M
3
8
.
37. Para todo x real, a expressão
1 ? 2cos
2
x sen (3 x)
p


 p é equivalente a:
a) 2sen x ? cos x.
b) sen x ? cos x.
c) 2 ? sen2 x.
d) 2sen2 x.
e) sen2 x.
38. Dado sen x 5 
1
2
, o valor da expressão
1 1
1
2sen (10 x) cos
9
2
xp



 é:
a) 
1
4
. d) 
1
2
.
b) 0. e) 21.
c) 1.
39. Determine o valor da expressão 
sen760° cos1130°
tan 2 174°
2
 sem usar uma tabela ou 
uma calculadora. 
40. Transforme cada medida em radianos ou em 
graus.
a) 330° f) 
5
3
p
 
b) 225° g) 
5
9
p
 
c) 15° h) 
2
3
p
 
d) 
7
6
p
 
e) 
7
4
p
 
CAPêTULO 13 • CONCEITOS TRIGONOMÉTRICOS BÁSICOS 415
Contexto e Aplicacoes Matematica_U6_C13_395a423.indd 415 8/22/18 2:33 PM