Aula 13 - Exercícios

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MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
PROFESSOR(A): JORGE JÚNIOR
ASSUNTO: TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO
FRENTE: MATEMÁTICA I
OSG.: 122197/17
AULA 13 – PARTE I
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Transformação em Produto
Fórmulas de Werner
Sabemos que:
• sen(a + b) = sen a · cos b + cos a · sen b
• sen(a – b) = sen a · cos b – cos a · sen b
• cos(a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b 
• cos(a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b
consequentemente,
• sen(a + b) + sen(a – b) = 2 · sen a · cos b
• sen(a + b) – sen(a – b) = 2 · cos a · sen b
• cos(a + b) + cos(a – b) = 2 · cos a · cos b
• cos(a + b) – cos(a – b) = – 2 · sen a · sen b
que são conhecidas como fórmulas de Werner.
FORMA ALTERNATIVA
 Nas fórmulas acima, faça a = 
p q+
2
 e b = 
p q−
2
:
sen p sen q sen
p q p q
sen p sen q
p q
sen
p q
p
+ = ⋅ + ⋅ −
− = ⋅ + ⋅ −
2
2 2
2
2 2
cos
cos
cos ++ = ⋅ + ⋅ −
− = − ⋅ + ⋅ −
cos cos cos
cos cos
q
p q p q
p q sen
p q
sen
p q
2
2 2
2
2 2
 Veja também:
• tg p tg q
sen p
p
sen q
q
sen p q p sen q
p q
± = ± = ⋅ ± ⋅
⋅cos cos
cos cos
cos cos
Portanto: tg p tg q
sen p q
p q
± =
±( )
⋅cos cos
Exercícios
01. O maior valor inteiro menor que 
sen sen sen10 15 20
10 15 20
º º º
cos º cos º cos º
+ +
+ + é 
igual a:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
02. Se x, y e z são os ângulos internos de um triângulo ABC e 
sen x = 
sen y sen z
y z
+
+cos cos
, é correto afirmar que:
A) o triângulo é isósceles.
B) o triângulo é escaleno.
C) o triângulo é acutângulo.
D) o triângulo é retângulo.
E) o triângulo é obtusângulo.
03. Se cos(2x) = 1
3
, em que x ∈ (0, p), então o valor de 
y
sen x sen x
x
= −3
2cos
 é:
A) – 1 B) 
3
3 
C) 
3
3
 D) 
2 3
3
E) 1
04. (Insper/2012) Em relação a um sistema de coordenadas 
cartesianas, os vértices de um tetraedro OABC são tais que 
O = (0,0, 0) e A, B e C pertencem, respectivamente, aos eixos 
x, y e z. Seja a a medida do ângulo OBA! com 0 < a < π
2
. 
Se AB = 1 e OC = cos 2a, então o volume do tetraedro OABC 
é igual a:
A) cos 2
12
α B) sen 4
12
α
C) sen
2 2
18
α αcos D) cos 2
24
α
E) sen 4α
24
2F B O N L I N E . C O M . B R
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MÓDULO DE ESTUDO
OSG.: 122197/17
05. O valor numérico da expressão trigonométrica 
y = sen
13
12
11
12
π π
cos é igual a:
A) – 1 B) – 
1
2
C) 1 D) 
1
2
E) 
1
4
06. (Fuvest/2010) A figura representa um 
quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em 
BC, BF mede 
5
4
, o ponto E está em CD e AF 
é bissetriz do ângulo BÂE. Nessas condições, o 
segmento DE mede:
A) 
3 5
40
 B) 
7 5
40
C) 
9 5
40
 D) 
11 5
40
E) 
13 5
40
07. (Uece/2010) Se f e g são as funções definidas por f(x) = sen x 
e g(x) = cos x, podemos afirmar corretamente que a expressão 
log[(f(x) + g(x))2 – f(2x)] é igual a:
A) f(x) · g(x) B) 0
C) 1 D) log(f(x) + 2) + log(g(x) + 2)
08. (Fuvest/2012) O número real x, com 0 < x < p, satisfaz a equação 
log ( cos ) log ( cos )3 31 1 2− + + = −x x .
Então, cos 2x + sen x vale:
A) 
1
3
 B) 
2
3
C) 
7
9
 D) 
8
9
E) 
10
9
09. A expressão trigonométrica 
cos cos
cos cos
40 50
40 50
o o
o o
+
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 · tg 5º é igual a:
A) – 1 B) –
1
2
C) 1 D) 
1
2
E) 
1
4
10. (Udesc/2012) A expressão cotg(2x) + cossec(2x) pode ser escrita 
como: 
A) 
cos( ) ( )
cos( ) ( )
x sen x
x sen x
+
 B) tg(x)
C) cotg(x) D) 
2 2 2
4
2cos ( ) ( )
( )
x sen x
sen x
+⎡⎣ ⎤⎦
E) 
2 2 2
4
2cos( ) ( )
( )
x sen x
sen x
+⎡⎣ ⎤⎦
11. O acesso a uma loja é feito através de uma rampa com o formato 
da figura abaixo, onde d e h são dados em metros:
a
h
d
 Sabendo-se que cos α = 3
4
 e d sen sen= ⋅ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
16
2
3
2
α α
, 
podemos afirmar que a altura h da rampa, em metros, é:
A) 
7 11
2
 
B) 
3 5
10
C) 
5 7
4 
D) 
3
14
E) 4 2
7
12. O valor numérico da expressão trigonométrica 
26
10sen o
 – 104sen 70º é igual a:
A) 48
B) 49
C) 50
D) 51
E) 52
13. O valor numérico da expressão trigonométrica 
y =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
10
13 13
4
13
2
13
cos . cos
cos cos
π π
π π
é igual a:
A) – 1 B) – 
1
2
C) 1 D) 
1
2
E) 
1
4
14. A simplificação da expressão y = 
cos cos3
3
x x
sen x sen x
−
−
 equivale a:
A) sen 2x
B) cos sec 2x
C) sec 2x
D) cotg 2x 
E) tg 2x
15. A simplificação da expressão 
sen x sen x sen x sen x
x x x x
3 5 7 9
3 5 7 9
+ + +
+ + +cos cos cos cosequivale a:
A) tg 2x
B) tg 3x
C) tg 4x
D) tg 5x 
E) tg 6x
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MÓDULO DE ESTUDO
Resoluções 
01. Temos:
E
sen sen sen= + +
+ +
15 20 10
15 20 10
º º º
cos º cos º cos º
 ⇒ E
sen sen= + ⋅
+
15 2 15 5
15 2 15 5
º º cos º
cos º cos º cos º
 ⇒ E
sen= +
+
15 1 2 5
15 1 2 5
º ( cos º )
cos º ( cos º )
 ⇒ E = tg 15º = tg (45° – 30°)
E
tg tg
tg tg
= −
+ ⋅
=
−
+
45 30
1 45 30
1
3
3
1
3
3
º º
º º
 ⇒ E = −
+
= −3 3
3 3
2 3 0 27" ,
Resposta: A
02. 
 Temos que:
• x + y + z = 180º → y + z = 180º – x
• sen x = 
sen y sen z
y z
+
+cos cos
sen x = 
2
2 2
2
2 2
sen
y z y z
y z y z
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
cos
cos cos
sen x = 
sen
x
x
x
sen
x
90
2
90
2
2
2
º
cos º
cos−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2sen x x
x
sen
x2 2
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
cos
cos
Daí,
se cos
x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 = 0 → 
x
2
= 90º → x = 180º (absurdo);
se cos
x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ≠ 0 → 2 sen2
x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 = 1→ sen
x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 = 
2
2
.
 Logo:
x
2
 = 45º → x = 90º → ∆ é retâgulo
 Resposta: D
03. Temos:
y
sen x sen x
x
y
sen x x
x
y sen x
Se x
= −
= ( ) ( )
=
= →
3
2
2 2
2
2
2
1
3
1
cos
cos
cos
cosi −− = → =
∈ ( ) → = =
2
1
3
1
3
0
1
3
3
3
2 2sen x sen x
Como x sen xi ,π
Logo:
y = 2sen x =
2 3
3
Resposta: D
4F B O N L I N E . C O M . B R
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MÓDULO DE ESTUDO
OSG.: 122197/17
04. 
cos =
y
1
y = cos 
sen =
x
1
x = sen 
B
B
A
A
α α
α α
⇔
⇔
V =
1
3
cos sen
2
cos 2
V =
1
3
2cos sen
4
cos 2
V =
1
3
sen 2
4
cos
∙
∙
∙
α α α
α α α
α
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ 22
V =
1
3
2 sen 2
8
cos 2
V =
sen 4
24
α
α α
α
∙ ⋅ ⋅
 Resposta: E
05. Temos:
y = sen 13
12
π · cos 11
12
π
 Veja: 
13
12
11
12
2
11
12
13
12
π π π π π+ = → =cos cos
 Desse modo, encontramos:
 y = sen 13
12
π · cos 13
12
π ⇒ 2y = sen 26
12
π = sen 2
12
π ⇒ 2y = sen π
6
 = 1
2
 ⇒ y = 1
4
 Resposta: E
06. 
tg
tg
tg
tg
t
α
α α
α
= =
= ⋅
−
=
⋅
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= =
5
4
1
5
4
2
2
1
2
5
4
1
5
4
2 5
4
11
16
8 5
112 2
( )
gg
tg
o( )
( )
90 2
1
2
1
8 5
11
11
8 5
− = = =α
α
No triângulo ADE, temos:
11
8 5 1
11 5
40
= ⇔ =DE DE
Resposta: D
07. log[(f(x) + g(x))2 – f(2x)] = log[(senx + cosx)2 – sen(2x)] = log(sen2x + 2·senx·cosx + cos2x – 2·senx·cosx) = log(sen2x + cos2x) = log 1 = 0
Resposta: B
08. log ( cos ) log ( cos )3 31 1 2− + + = −x x
log ( cos )3
21 2− = −x
1 32 2− = −cos x
1
1
9
2− = cos x
cos2
8
9
x =
z
C
A
B
OxA
yB
zc = cos 2a
y
1
a
x
A B1
E
F
90º – 2a1
?
a
a
D C
5
4
5 F B O N L I N E . C O M . B R
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MÓDULO DE ESTUDO
Portanto:
sen2 21
8
9
1
9
1
3
0x sen x sen x x= − ⇔ = ⇔ = < <( )π
Calculando o valor pedido, temos:
cos cos2
8
9
1
9
1
3
10
9
2 2x sen x x sen x sen x+ = − + = − + =
Resposta: E
09. Temos:
Exp
sen sen
sen sen
tg
Exp
sen
.
.
co
= ° + °
° − °
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ °
=
°( )
50 40
50 40
5
2 45 ss
cos
.
5
2 5 45
5
5 5 1
°( )
°( ) °( ) ⋅ °
= ° ⋅ ° =
sen
tg
Exp tgcotg
Resposta: C
10. Sabendo que cos2x 2cos= −2 1x e sen2x 2sen= x xcos , vem 
cotg2x cossec2x
2cos
2
+ = +
= +
= + −
cos
sen sen
cos
sen
2
2
1
2
1 2
2
1 12
x
x x
x
x
x
ssen x x
x
x
x
cos
cos
sen
cotg .
=
=
Resposta: C
11. Temos que:
3
4
α
7
I. cos a = 
3
4
 → sen a = 
7
4
II. d sen sen= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
16
3
2 2
α α ⇒
 − = ⋅ − ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥d sen sen8 2
3
2 2
α α ⇒ 
 − = ⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟d
werner
8 2cos cosα α# $%% &%% ⇒ – d = 8 · (cos
2 a – sen2 a – cos a)
 ⇒ − =⋅ − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→ =d d8 9
16
7
16
3
4
5
III. Veja:
 
sen
hα = =
5
7
4
 Logo:
 
h m= 5 7
4
 Resposta: C
d
α
h
6F B O N L I N E . C O M . B R
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MÓDULO DE ESTUDO
OSG.: 122197/17
12. Temos:
E
sen
sen E
sen sen
sen
E= − ⇒ = − ⇒ =
+ −26
10
104 70
26 104 70 10
10
26 52 2
º
º
º º
º
· ssen sen
sen
E
sen
E
70 10
10
26 52 80 60
10
26
º º
º
· cos º cos º
º
( ) ⇒
⇒ =
+ −( ) ⇒ = + 552cos 52cos80 60
10
52 80
10
52
º º
º
cos º
º
− ⇒ = =
sen
E
sen
 Resposta: E
13. Temos:
y
y
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2cos
10
13 13
4
13
2
13
π π
π π
cos
cos cos
==
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
2cos
2cos
10
13 13
3
13 13
π π
π π
cos
cos
c
y
oos
cos
cos
10
13
3
13
10
13
3
13
10
13
π
π
π π π π
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ = → ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Como == − ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
cos
3
13
1
π
Logo:
y
Resposta: A
14. Temos:
y
x
sen x sen x
= −
−
cos3x cos
3
Transformando em produto
y
sen
x x
sen
x x
sen
x x x x
=
− +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+⎛
⎝⎜
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
cos ⎞⎞⎠⎟
 ⇒ y
sen x sen x
sen x x
=
− ( ) ( )
−( ) ( )
2
2
·
· cos
 ⇒ y
sen x sen x
sen x x
=
− ( ) ( )
− ( ) ( )
2
2
·
· cos
 ⇒ y = tg(2x)
 Resposta: E
15. Temos:
E
sen x sen x sen x sen x
x
E
sen x
= + + +
+ + +
= ( )
3 5 7 9
9
2 4
cos 3x cos 5x cos 7x cos
⋅⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )
( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )
=
cos cos
cos cos
x sen x x
x x x x
E
2 8
4 82cos 2cos
2ccos
2cos
2co
x sen x sen x
x x x
E
sen x x
⋅ +( )
⋅ +( )
= ( ) ( )
4 8
4 8
2 6 2
cos cos
cos
ss 6 2
6
6
6
x x
E
sen x
x
E tg x
( ) ( )
= ( )( )
= ( )
cos
cos
Resposta: E
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: JORGE JÚNIOR
DIG.: GEORGENES – 12/12/17 – REV.: JARINA
MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
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PROFESSOR(A): JORGE JÚNIOR
ASSUNTO: EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FRENTE: MATEMÁTICA I
OSG.: 123017/17
AULA 13 – PARTE II
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Equações Trigonométricas
Introdução
Equações e inequações são sentenças matemáticas abertas 
expressas por uma igualdade ou desigualdades, respectivamente. 
Então, uma equação ou inequação trigonométrica, é uma sentença 
matemática aberta que em sua composição aparecem as funções seno, 
cosseno, tangente, cotangente, secante ou cossecante. Resolvê-la, 
consiste em encontrar os valores do ângulo que verifica a sentença.
Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis 
do 1º quadrante
q Seno (q) Cos(q) Tg(q)
0 0 1 0
π
6
1
2
3
2
3
3
π
4
2
2
2
2
1
π
3
3
2
1
2
3
π
2
1 0 3
Com o auxílio do ciclo trigonométrico, podemos resolver 
algumas equações trigonométricas de maneira simples, confira:
• Se cos(u) = cos(v) ⇒ u = ± v + k · 2p, com k inteiro.
• Se sen(u) = sen(v) ⇒ u = v + k · 2p ou u = p – v + k · 2p, com k inteiro.
• Se tg(u) = tg(v) ⇒ u = v + k · p, com k inteiro.
Exercícios
01. Uma empresa exporta certo produto. Estima-se que a 
quantidade exportada Q, expressa em toneladas, para cada 
mês do ano 2011, seja dada pela função Q = 40 + 4sen
πx
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, 
em que x = 1 representa janeiro de 2011, x = 2 representa fevereiro 
de 2011, e assim por diante.
Em que meses a exportação será de 38 toneladas?
(Utilize os valores: 3 = 1,7 e 2 = 1,4)
A) Abril e agosto. 
B) Maio e setembro.
C) Junho e outubro. 
D) Julho e novembro.
E) Agosto e dezembro.
02. Prosseguindo no estudo, Camila e Davi resolveram, corretamente 
o seguinte problema: “Sabendo-se que a + b + q = p, 
cos(a + b) = – 
1
2
e 0 ≤ q ≤ p, qual é o valor de q?”
A resposta encontrada foi:
A) 
5
3
π
B) 
2
3
π
C) 
π
3
D) 
π
4
E) 
π
6
03. Se f, g: R → R são funções definidas por f(x) = 2x e g(x) = sen x, 
e se G é a interseção do gráfico de f com o gráfico de g, então 
podemos afirmar corretamente que:
A) G possui apenas um número finito de pontos.
B) G possui infinitos pontos e para tais pontos tem-se, 
obrigatoriamente, x > 0.
C) G possui infinitos pontos e para tais pontos tem-se, 
obrigatoriamente, x < 0.
D) G possui infinitos pontos, quando x pertence ao intervalo 
fechado [–2p, 2p].
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04. (UFRGS/2016) Considere as funções f e g definidas por f(x) = sen x 
e g(x) = cos x.
 O número de raízes da equação f(x) = g(x) no intervalo [ , ]−2 2π π 
é:
A) 3 B) 4
C) 5 D) 6
E) 7
05. Considere a função real f, de variável real x, definida por 
f(x) = 4 cos2 x – 2, para 0 ≤ x ≤ p:
Observe o gráfico da função f. 
1
1
2
2
3
y
–1
–2
x
p
 Determine os valores de x para os quais f(x) = 1. 
A) S = {0, p} 
B) S = {p/6, p}
C) S = {p/6, 5p/6} 
D) S = {p/6, 2p}
E) S = {p/6, 11p/6}
06. Para a equação trigonométrica 3 1⋅ − =sen x xcos no intervalo 
0 ≤ x ≤ 2p, pode-se dizer que seu conjunto solução satisfaz a 
seguinte afirmação:
A) Está contido no intervalo 0
3
,
π⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
.
B) Está contido no intervalo 
π π
4 3
,⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
.
C) Está contido no intervalo 
π π
2
,⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
.
D) Tem apenas um elemento.
E) Tem dois elementos.
07. Se x é um arco do primeiro quadrante e sen4 x – cos4 x = 
1
2
, então 
tg x é igual a:
A) 1 B) 3
2
C) 
3
3
 D) 3
08. Para x ∈ [0, 2p], a soma das abscissas dos pontos de intersecção 
dos gráficos das funções definidas por f(x) = sen x e g(x) = cos x 
é igual a:
A) 
π
4
 B) 
3
4
π
C) p D) 
3
2
π
E) 3p
09. (Mackenzie/2015) A soma das raízes da equação cos cos ,2 4 0x x+ = 
no intervalo [0, p], é:
A) 0
B) 
π
2
C) p
D) 
3
2
π
E) 
2
3
π
10. Sabe-se que uma das raízes da equação y y2 9 8 0− + = pode 
ser representada pela expressão e
sen x sen x sen x n2 4 6 2+ + +( )... .ℓ Sendo 
0
2
< <x π , o valor da razão 
cos
cos
x
x sen x+ é
 Observação: ℓn2 representa o logaritmo neperiano de 2.
A) 
3 1
2
−
B) 3 1−
C) 3
D) 
3 1
2
+
E) 3 1+
11. O número de soluções da equação 3sen2 x – 3|sen x| + cos2 x = 0 
que estão no intervalo [0, 2p] é:
A) 2 
B) 8
C) 4 
D) 6
12. A equação x2 + 2x + cos q = 0, com 0 ≤ q ≤ p, não admite raízes 
reais se, e somente se:
A) 0
3
≤ <θ π
B) 
π θ π
3 2
< ≤
C) 
π θ π
2
≤ ≤
D) 
π θ π
6
2
3
< <
E) π θ π
6 4
≤ ≤
13. Se x ∈ 0
2
;
π⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
, então a soma das raízes da equação 
1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0 é:
A) 11
12
π
B) 0
C) 1
D) p
E) 
13
12
π
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14. Uma máquina produz diariamente x dezenas de um certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são 
dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas seguintes leis: C
x
(x) cos= − ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
6
π
e V sen
x
(x) = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3 2
12
π
, 0 6≤ ≤x .
 O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é:
A) 500
B) 750
C) 1000
D) 2000
E) 3000
15. Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g. Se g(x) = sen(px) e f é uma função polinomial do segundo grau, então f(3) é 
igual a:
y
x
A) 22
B) 24
C) 26
D) 28
E) 30
Resoluções
01. Temos:
 Q(x) = 40 + 4sen
πx
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 Condição:
38 = 40 + 4sen
πx
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
sen
πx
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 = – 
1
2
 → sen −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
πx
6
 = 
1
2
 Então:
 – 
πx
6
 = 
π
6
 + k · 2p, k ∈ z → x = –1 – 12k ou – 
πx
6
 = 
5
6
π
 + k · 2p, k ∈ z → x = – 5 – 12k
Assim, para k = – 1, temos:
x = 11 (novembro) ou x = 7 → (julho)
Resposta: D
02. Temos: 
a + b + q = 180º → cos(a + b) = – cos q
Então:
– 
1
2
 = – cos q → cos q = 
1
2
 Como q ∈ [0, p], encontramos:
q = 
π
3
rad.
Resposta: C
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03. 
I. Gráfico de f(x)
 
y
1
x (assíntota)
II. Gráfico de g(x)
x
1
III. Representando f e g em um único plano, veremos o gráfico de f interceptando o gráfico de g em infinitos pontos com x < 0.
y
x
 Resposta: C
04. 
 f x g x x x
x
x
x( ) ( ) sen cos
sen
cos
tg= ⇒ = ⇒ = ⇒ =1 1
 Considerando o intervalo [ , ],−2 2π π temos as seguintes soluções:
x x x e x= − = − = =5
4 4 4
5
4
π π π π
, ,Logo, o número de soluções é 4.
Resposta: B
05. Temos que f x x( ) cos= −4 22 .
Fazendo f(x) = 1, obtemos:
1 4 22= −cos x
4 32cos x =
cos x x= ± ⇒ = =3
2 6
π π
ou x
5
6
Resposta: C
06. Temos:
3 1sen x x− =cos
3
2
1
2
1
2
6 6
1
2
6
1
2
sen x x
sen x sen x
sen x
− =
− =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
cos
cos cos
π π
π
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6 2
Entãoo
x k x k
ou
x k x k
:
,− = + ⋅ → = + ⋅
− = + ⋅ → = + ⋅
π π π π π
π π π π π
6 6
2
3
2
6
5
6
2 2
k inteiro
,,
:
,
k inteiro
Logo
S = ⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
π π
3
Resposta: E
07. Temos:
sen x x4 4
2 2
1
2 2
2
1
2
1
2
1
− =
+ ⋅ − =
−
cos
(sen x cos x) (sen x cos x)
cos
" #$$ %$$
xx x
x sen x
Ent o
x
sen x
x
Como x
− =
= → =
= =
∈
cos
cos
:
tg
cos
2
2 2
2
2
2
1
2
1
2
3
4
3
1
ã
ººQ → =tg x 3
 Resposta: D
08. Temos: f interseção g → sen x = cos x, x ∈ [0, 2p]
 Então: tg x = 1
S
tg
1
0
p—4
5 p——4
C
Logo: x e x x x1 2 1 24
5
4
3
2
= = → + =π π π
 Resposta: D
09. Lembrando que cos cos ,4 2 2 12k k= − vem
cos 2x cos 4x 2cos
 ou 
 e
+ = ⇔ + − =
⇔
= = −
0 2 2 1 0
2
1
2
2 1
2 x x
x x
cos
cos cos
xx
x x
∈
⇔ = =
[ , ]
.
0
6 2
π
π π
 ou 
Por conseguinte, a resposta é 
π π π
6 2
2
3
+ = .
Resposta: E
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10. 
 e e
sen x sen x sen x sen x sen x sen x2 4 6 2 4 62 2 2
+ +( ) ⋅ + +( )= ( ) =... n n ...ℓ ℓ
ssen x
sen x tg x
2
2 21 2− =
Como as raízes da equação y2 – 9y + 8 = 0 são 1 e 8, temos:
2 1 0
2tg x tg x= ⇒ =
ou
2 8 3
2tg x tg x= ⇒ = ±
Como 0
2
< <x π ,
tg x x= ⇒ =3
3
π
Logo, 
cos
cos
.
x
x sen x+
=
+
=
+
= −
1
2
1
2
3
2
1
1 3
3 1
2
Resposta: A
11. 
1º caso: se sen x ≥ 0, temos:
3 3 0
3 3 1 0
2 3 1 0
2 2
2 2
2
sen x sen x x
sen x sen x sen x
sen x sen x
− + =
− + − =
− + =
cos
ssen x x
ou
sen x x
= → =
= → =
1
2
1
2 6
5
6
π
π π
,
2 0
3 3 0
3 3 1
2 2
2
°
+ + =
+ + −
caso se sen x temos
sen x sen x x
sen x sen x s
: , :
cos
<
een x
sen x sen x
sen x x
ou
sen x x
L
2
2
0
2 3 1 0
1
2
7
6
11
6
1
3
2
=
+ + =
= − → =
= − → =
π π
π
,
oogo
S
:
, , , , ,= ⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
π π π π π π
2 6
5
6
7
6
11
6
3
2
 Resposta: D
12. 
Equação inicial: x2 + 2x + cos q = 0, com 0 ≤ q ≤ p
 Para que a equação acima não admita raízes reais, devemos impor: ∆ < 0
2
2( ) – 4 · 1 · cos q < 0 → – 4 cos q < – 2 → cos q > 1
2
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p
—
3
1
—
2
S
C0
1
Logo: 0 ≤ q < 
π
3
 Resposta: A
13. 
Temos: 1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0, x ∈ 0
2
,
π⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
cos cos cos cos6 4 2 0 0x x x+ + + =" #$$$ %$$$ " #$$ %$$
2 5 2 0
2 5 0
2 2
cos cos cos cos
cos cos cos
cos c
x x x x
x x x
x
( ) ( ) + ( ) ( ) =
⋅ +( ) =
⋅ oos cos3 2 0x x( ) ⋅ ( ) =
Então:
cos
cos ,
cos
x x
ou
x x x ou x repetida
ou
x
= → =
= → = → = = ( )
0
2
3 0 3
2
3
2 6 2
2
π
π π π π
== → = → =0 2
2 4
x x
π π
 Encontramos as raízes a seguir: π π π
2 6 4
, ,
 Logo: x x x1 2 3 2 6 4
11
12
+ + = + + =π π π π
 Resposta: A
14. 
O lucro é dado por:
L(x) V(x) C(x)= −
L sen( ) cos3 3 2
3
12
2
3
6
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− − ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
π π
L sen( ) cos3 3 2
4
2
2
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− − ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
π π
L( )3 3 2
2
2
2 0 3 2 1= ⋅ − + ⇒ − +
 Logo L(3) = 1, ou seja, 1000 reais.
Resposta: C
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15. 
Temos: g(x) = sen(px)
–1 –23
2
1
1
y
0
–1
2
1
1
2
3
2 2
1
x
 De acordo com o gráfico de f apresentado no enunciado, encontramos: 
 Pontos de f: (0, 0) 
1
2
1,−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, (1, 0) 
 Se f é uma função do 2º grau → f(x) = a(x – 0) · (x – 1)
1
2
1
1
2
1
2
1 4,−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
∈ → ⋅ ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − → =f a a
 Então: f(x) = 4 · (x) · (x – 1)
 Logo: f(3) = 4 · 3 · (3 – 1) = 24
 Resposta: B
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: JORGE JÚNIOR
DIG.: GEORGENES – 12/12/17 – REV.: JARINA