Matemática Ciências e Aplicações V3-298-300

Prévia do material em texto

Escrevendo a primeira relação de Girard, vem:
r, + rj + r_, = 6 =>■ (2 - 3i) + (2 + 3i) + r3 = 6 => r3 = 2 
Assim, S = {2 - 3i, 2 + 3i, 2}.
ObservaçãoCompare esse problema com o exemplo 2 da página 289 e note que a resolução fica muiro mais simplificada.
Vamos encontrar o conjunto solução da equação 4x3 - 20x? + I7x - 4 = 0, sabendo 
que ela admite uma raiz dupla.
Chamemos as raizes de r, r e s. Escrevendo as relações de Girard, vem:
r + r + s = 5=>2r + s = 5=>s = 5 - 2 r (I) .
• r • r + r ■ s + r ■ s = — =* r2 + 2rs = (II)4 4
r -r ■ s = 1 => r2-s = 1 (III)
Substituindo (I) em (II), vem:
r + 2r(5 - 2r) = •¥— => 12r - 40r + 17 = 0 => r = — ou r =4 2 6
a)
b)
Se r = — , temos •
(I) s = 5 — 2 - ; =>s = 4
(| | ) - j- + 2 - ^ - s = -]J =» s = 4 4 2 4
Note que r = — e s = 4 satisfazem (III).
be r = , temoso
Mas r
Assim, S = j - | , 4 J*
(0 s = 5 - 2 6 3
(II) ^ + ü •S = ^ -36 6 4
2 .■ — nao satisfazem (III)
2
3
tíJUA(,0CS 1'tlLINÜMIAlS ÜL ALÜIHRICAS
□ □ □ □ □ □ □ D D D
48 Sejam q e r, as raízes da equação 3x~ - x + 5 = 0. Determine:a) r, + r,b) r,r2
49 Sejam q, r, e q as raízes da equação x ( - 3x? + 2x + 1 = 0. Calcule:a) q + r, + q c) r, r, qb) r, r, + r, q + r2 q
50 Em relação ã equação do exercício anierior. calcule:
\ 2 , 2 . 2c) r, + q + ha) - L + - L + - Lb r, r,
h) 1 + ■ + Ir,r, r,r, r,r,(Sugestão: utilize a identidade (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc).)
51 Sendo q e r2 as raízes da equação 2x2 + 3x - 1 = 0, calcule o valor de y = (r, + 2) (q + 2).
52 Determine a soma e o produto das raízes da equação x4 + 1 = 0.
53 Resolva a equação x" - 9x2 + 2x + 48 = 0, sabendo cjue uma das raízes é a média aritmética das outras duas.
54 Resolva a equação 2x4 - 13x2 + 22x - 8 = U, sabendo que suas raízes são positivas e uma delas é igual ao produto das outras duas.
55 (UF-CE) Se a, b e c são as raízes da equação x? - 6x2 + 10x - 8 = 0, encontreo valor numérico de í — + -4- + —v a b c
56 Resolva a ec[uação x1 + 5x2 — 2x - 24 = ü, sabendo que uma das raízes é o quádruplo da soma das outras duas.
57 (Vunesp-SP) Dada a equação x2 + x - v2 = 0 , calcule a soma dos inversos de suas raízes.
M AÍLM ATICA : U ÍN C lA t A l'l |l.'AÇÚk$
58 (Unicamp-SP) A soma de dois números posirivos é igual ao triplo da diferen­ça entre esses mesmos dois números. Essa diferença, por sua vez, é igual ao dobro do quocienie do maior pelo menor.a) Encontre esses dois números.b) Escreva uma equação do tipo \2 + bx + c = 0 cujas raízes são aqueles dois números.
59 Resolva a equação x ’ - 9x2 + 26x - 24 = 0, sabendo que suas raízes são números inteiros e consecutivos.
60 Resolva a equação - 2 x ‘ + l l x 2 — u x - 25 = 0, sabendo que uma de suas raízes é 3 + 4i.
61 Resolva a equação x"1 - 3x3 + 5x' — 15x"’ + íx — 12 = 0. sabendo que duas de suas raízes são i e 2i.
62 Resolva a equação x' + 9x’ + 23x + 15 = 0, sabendo que suas raízes formam uma EA. de razão 2.
63 (FGV-SP) Considere a seguinte equação polinomial:x ‘ - 3x2 - kx + 12 = 0a ) Determine k de modo que haja duas raízes opostas.b) Determine k de modo que 1 seja raiz da equação; nesse caso, determine também as outras raízes.
64 Resolva a equação x3 — lax2 + 56x - 64 = 0, sabendo que suas raízes formam uma R G. de razão 2.
65 (CF-PA) As raízes da equação x3 - 7x2 — 21x + d = 0 estão em P.G. Encontre nessa equação:a) o valor do termo independente de .v:b) as raízes.
66 (Unifor-CE. adaptado) A equação x3 - 15x2 + (7k + 4)x - t = 0. de variável x, tem três raízes que são números inteiros consecutivos. Determine k e t.
67 (UF-MA) Sabendo que P(x) é um polinômio de terceiro grau divisível por x - 3, e que P(x) = P(x - 3) - x2 - 3. determine o produto das raízes de Pfx).
68 Resolva a equação 2x3 + 3x2 - 1 = 0 , sabendo que ela admite uma raiz de multiplicidade 2.
EÜUAÇÜES PÜLINÜMIAIS ÜU ALGfUhICAS