Resolução de Equações Polinomiais

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23. Resolver: 2X3 - X2 - 18x + 9 = O, sabendo que ela possui duas
raízes simétricas.
24. Resolva: 3x3 - 16x2 + 23x - 6 = O, sabendo que a soma de duas
raízes é igual a 5.
"
25. Resolva a equação x3 - 9x2 + 26x - 24 = O, sabendo que suas
raízes são números naturais consecutivos.
26. Sabendo que -1 e 4 são duas raízes da equação x3 - 5X2 + kx +
+ P = O, determine:
a) o conjunto solução;
b) os valores de k e p.
Se uma equação polinomial apresenta coeficientes reais, então a soma de suas raízes será também um número' real. Portanto, se a + bi for
uma raiz complexa não real da equação, seu conjugado a - bi também o será, pois a soma das raízes é real (já que os coeficientes são reais),
ou seja: r, + r2 + r) + ... + a + )Si + a - '?t E. IR. .
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RAÍZES RACIONAIS/PESQUISA DE RAÍZES
Se a equação anxn+ an_1xn-1+ an_2xn-2 +... + ao = O de coeftdentes inteiros, admitir como raízes números racionais (expressos na
forma .E., onde p e q são primos entre si), então p é divisar de ao e q é divisar de an'
q
Bxemplo:
Determine as possíveis raízes racionais da equação 2x3 - 3x2 - llx + 6 = O.
P é divisar de 6 => p E {±1, ±2, ±3, ±6}
q é divisar de 2 => q E {±1, ±2}
A "., .. P {+1 +2 +3 +6 + 1 + 3}s posslVels raIzes raClOnalS - E _ ,_ r r-r- ,_ ,_ -, _ - •
q 2 2
Fazendo a verificação dos eLementos do conjunto acima, encontramos P( - 2) = O, P(3) = O e p(t) = o.
Logo, as raízes racionais são - 2, 3 e 1..
2
EXERCíCIOS
27. Voltemos à equação encontrada porYago e Ycaro:
2X3 - 14x2 + 33x - 36 = O
• pé divisor de -36 ~ p E (±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18,
± 36)
• q é divisor de 2 ~ q E (±1, ±2)
• % E {±1, ±2, ±%, ±t' ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36}
Fazendo a verificação dos elementos do conjunto anterior, en-
contramos:
P(4) = 2 .43 - 14.42 + 33 ·4 - 36
P(4) = 128 - 224 + 132 - 36
P(4) = O.
Logo 4 é uma raiz. Encontre as outras duas.
28. Determine as raízes racionais da equação 15x3 + 7x2 - 7x + 1 = O.
230
29. Resolva em O: 3x3 + 9x2 + X - 3 = O. Se não for possível, apre-
sente os cálculos.
30. Resolva emC: x3 + 3x2 - 4x - 12 = O.
31. Assinale a alternativa correta:
1) (FGV-SP) Sobre as raízes da equação 2X3 - x2 - 2x + 1 = O, é
verdade que:
a) nenhuma delas é real.
b) exatamente duas delas são negativas.
c) somente uma delas é irracional.
d) as três são números inteiros.
e) pertencem ao intervalo [-1, 1J.
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2) (FUVEST - GV-SP) A equação:
x5 - cx" + x3 + (3a - 4b)x2 + (a - 2b - 1)x + (ab - 3) = O
admite x = 1 como raiz, x = O como raiz dupla e duas outras
raízes diferentes de zero. Os valores de a, b, c são respectiva-
mente iguais a:
3
a) -2'-2,2
b)-1,-3,15
3
c) 2'2,0
d) 3,1,7
3
e) 3, -2' 17
3) (PUC-SP) Sabe-se que -1 é raiz do polinõmio f = x3 + x2 -
- 2x - 2. As demais raízes desse polinõmio são números:
a) irracionais.
b) não reais.
c) racionais não inteiros.
d) inteiros positivos.
e) inteiros e opostos entre si.
4) (FUVEST-SP) Sabe-se que -2 é raiz do polinõmio f = x4 + 4x3 +
+ x2 - 6x. A forma fatorada de f é:
a) x . (x + 2) . (x - 1) . (x + 3)
b) x . (x + 2) . (x - 1) . (x - 3)
c) x . (x + 2) . (x + 1) . (x - 3)
d) x . (x - 2) . (x - 1) . (x + 3)
e) x . (x - 2) . (x + 1) . (x - 3)
5) (VUNESP-SP) Um dos fatores de P(x) = 2x3 + 11x2 + 17x + 6
é (2x + 1). A maior raiz de P(x) é:
a) -3
b) -2
c) -~
d) 1
2
e)2
6) (UFMG) A soma de todas as raízes de
f(x) = (2x2 + 4x - 30)· (3x - 1) é:
5a) -
3
b) -ª-
5
3
c) --
5
5d) --
3 e) 1
7) (PUC - PR)Ao calcular a soma das duas maiores raízes da equa-
ção x3 + 7x2 + 14x + 8 = O, sabendo que as três raízes estão
em PG, obtemos:
a)+2 d)+5
b) +3 e) +6
c)+4
8. (FUVEST-SP) Sabe-se que o produto de duas raízes da equação
algébrica 2X3 - x2 + kx + 4 = O é igual a 1.Então, o valor de k é:
a) -8 d)4
b)-4 e)8
c)O