Matemática Ciências e Aplicações V2-166-168

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i | x e m p y >
A inversa de A = í 2 ° 'U -3,
é A’ 1 = í 1/2 0 I, pois:
1,2/3 - I / 3J
A • A“' = 2 0 
4 -3
' 1/2 0 ' e A-’ -A = í 1/2 0 ' (2 O' _ ' 1 0 '
,2/3 -1/3 , to i j 1,2/3 -1/3, ■ U - 3J lo V
exemplo 2
Vamos encontrar, se existir, a inversa
a b
c d
Devemos determinar A'1 =
Temos:
(4 - 5 l (a b l 0 Ol
de A = (3
tal que A • A-1 = I,.
3 1 M c à) 1,0 i j
Do conceito de igualdade, seguem os sistemas:
4a - 5c 4b - 5d' _ Q\ 
3a + c 3b + d , 1,0 i j
4a - 5c = 1 1=> a = — - 3a + c = 0 19 " - Ü -
f 4b - 5d = 0 , 5i => b = ----
[ 3b + d = 1 19
( 1/19 5/191
e d =
Assim, A ' U — í 1 51.ij 19 1,-3 4 J1-3/19 4/19,1
É fácil verificar que a outra condição, A-' ■ A = l2, está satisfeita.
Exemplo 3
Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis.
Como podemos "isolar" a matriz X em A • X = B?
• Multiplicamos os dois membros, à esquerda, por A-':
A’ ’ • (A ■ X) = A”’ • B
• Usamos a associativa, a definição de matriz inversa e o elemento neutro:
(A-1 • A) • X = A"1 ■ B
^ I • X = A '1 • B => X = A-' • B
MA1LMÁTIÇA: Ç lfN riA F APIirAÇfiFS
Q D O O G O O O O G
(3/5 - 2/5'\ f 1 263 Verifique se L y - y - j é a inversa de ^
( —2 1/ 2 )64 Determine, se existir, a inversa da matriz ^ ̂ y
( - 1 2)65 Seja A = | , Determine 10 ■ A .
"3 2) - b = í ° : ]i 1\ 1-3 d
66 Sejam as matrizes A = 
a) A’ 1 + B
67 Determine, se existir, a matriz inversa de
. Determine:
b) A"1 • B
f 2 4 '
- 1 - 2
_ f-9 4 >
68 Seja A 1 a inversa de A = I I. Determine:
a.) A + A b) (A '1)2 + A 2
69 ( v -3 'A inversa de i ; é a matriz X X -
1-2 x j vx - 5 1
'i 0 0'
70 Determine a matriz inversa de X = 0 -2 0
0 3
(1 -1 0 '
71 Qual é a inversa da matriz X = 0 1 -1 p
1° 0 1,
. Determine x e y.
72 (UC-GO) Detennine x a fim de que a matriz A = ” I seja igual a sua inversa.
n 2
0 x
1 2 - 1 
0 - 3 2
3 -1 -2
73 (1TA-SF) Sendo A = 
de A"'.
74 Usando a inversão de matrizes, resolva a equação A • X = B, se A =
e B =
'3 -41 
2
, determine o elemento da 3a linha e Ia coluna
D 0
l - l 2
75 Supondo invertíveis e de mesma ordem todas as matrizes envolvidas, isolar a 
matriz X em:
a) X • B + A = C b) A"1 - X = B"‘
M A lK I/ fS 167
O B B O B B O B B O O Q Q B O Q B B
(UA-AM) Sendo as matrizes 4 (UF-A1) O elemento localizado na se­gunda linha e terceira coluna da matriz A = (3̂ )3 x 3 definida porVT, se i < j log j, se i = j é i1, se i > j
(-1 0 -4 ' A " l 3 - 6 1 , . B (-8 2 ~ { 0 4 -1 '10/( 6 -8 7' e C = j , 1-^ - 2 6, , a matriz
—2A + 1 B — zrC 2 2 é igual a:a> (-11 13 -5\ d) —̂17 18 -3 '
1 0 17 —6 J ^-12 11 - 6,b) (-17 18 19 ' e) '1 -11 6 ' ̂ 0 17 -12c) (-11 13 19' 
1-12 11 - 6
118 0 -12
2 (Ucsal-BA) A igualdade matricial
X x 2 - 1 x 2 + 6x 30 '2 . —-1 - X -2 - 2xem que x G R .é verdadeira se. e somen­te se, x* é igual a:a ) -6 4b) 64c) 0
d) -6 4 011 64e) -6 4 , 0 ou 64
3 (PIJC Pelotas-RS) Seja a matriz0 se i = jA = (a„), x 3. na qual a(| = ■ 1 se i > j ;-1 se i < jentão A - A1 + I, resulta na matriz:a)
b)
c)
'l 0 0' 
0 1 0 
0 0'0 -2 
2 0 
2 2
'1 - 2 
2 17 7
-2
-2
0
- 2'
-2
d)
e)
1 2 -2
_2 0 -1
0 1 —7“/
(-1 0 0
0 -1 0
<0 0 -1,
d) V3e) '!2
a) 8b) log 3c) log 2(Unificado-RJ) Resolvendo-se a equa­ção matricial 4 3 X 5
y 10 .encon­tramos para x e y valores respecti­vamente iguais a:a) -2 e 1 d) 1 e 2b) -1 e 2 e) 2 e -1c) 1 e -2
B99 (UA-AM) Se 1 4 1 0' 1 2
1 2 0 X 1 1então o valor de 2x é: a) 1 c) 2 e) 0d) 4
7 (UF-SE) A matriz A = (2 2 2 '3 .3 38 7 4pode ser descrita como a matriz A = (a,i), * , tal que o,, é igual a:
a)
b)
1 + i se i =£ j i“ — j se i > j1 + i se i j
d)
e)s2(i + j) se i > j l i2 - j se i = 3
1 + i se i =£ 2 i2 - 1 se i = 3í 1 + j se i =£ 2
c) (Í1 + i se i < 2l4(i - j) se i = 31
M ATEM ÁTICA: CIÊNCIA £ APLICAÇÕES