1A LISTA MATRIZES - SISTEMAS - DEPENDANCIA LINEAR

Prévia do material em texto

<p>POLI PROF. CLÁUDIO MACIEL</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>1ª LISTA DE EXERCÍCIOS : MATRIZES – SISTEMAS LINEARES</p><p>1ª Parte: Matrizes</p><p>Exemplos: Observe as seguintes tabelas:</p><p>4x23x32x2 CeB,A</p><p>:colunasdenúmero"n"elinhasdenúmero"m"onde,"nxm"ordemdeMatrizes</p><p>3412</p><p>5123</p><p>C,</p><p>124</p><p>330</p><p>251</p><p>B,</p><p>30</p><p>41</p><p>A </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Espaço matricial:</p><p>Notações: nxmjiaAouAouRMAouRA nxmnxmnxm )()()( </p><p>Representação geral para matrizes</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>nm.......4m3m2m1m</p><p>.............................................</p><p>n3........34333231</p><p>n2........24232221</p><p>n1.......14131211</p><p>M</p><p>Observação:</p><p>333</p><p>nnn</p><p>3x22x33x2</p><p>nxmnxmnxm</p><p>nxm</p><p>Aou)R(Aou)R(MA:Exemplos</p><p>Aou)R(Aou)R(MA:Notações</p><p>:"n"ordemdequadradamatrizAnmSe)2</p><p>Aou)R(AouMA:Exemplos</p><p>Aou)R(Aou)R(MA:Notações</p><p>:n x m ordem de retangularmatrizumaéAnmSe)1</p><p>)R(MASeja</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Operações e Propriedades operacionais das matrizes</p><p>1º) Adição: nxmnxm MBAMBA  )(,</p><p>Propriedades da Adição:</p><p>Usando a definição da adição, verifique as seguintes propriedades.</p><p>1) (A + B) = B + A (propriedade Comutativa)</p><p>2) (A + B) + C = A + ( B + C) (propriedade Associativa)</p><p>3) A + 0 = 0 + A = A (propriedade do Elemento Neutro, onde 0 é a matriz nula)</p><p>4) A + ( – A ) = 0 (propriedade do Elemento Oposto (– A) e 0 a matriz nula)</p><p>2º) Produto de uma escalar por uma matriz: nxmnxm MAMAeR  )(</p><p>Propriedades do Produto por um escalar:</p><p>Usando a definição do produto de um escalar por uma matriz, verifique as seguintes propriedades.</p><p>Sejam k, k1 Є R (sugestão: atribuir um valor qualquer para k e k1)</p><p>1) ( k.k1) = k ( k1.A) (propriedade associativa)</p><p>2) ( k + k1).A = k.A + k1.A (propriedade distributiva)</p><p>3) k.( A + B ) = k.A + k.B (propriedade distributiva)</p><p>4) 1.A = A, (propriedade do elemento neutro (1) )</p><p>3º) Produto de matrizes: pxmpxnnxm MBAMBeMA  ).(</p><p>Obs: comutativonãoABBA .. </p><p>Propriedade do Produto de Matrizes:</p><p>Usando a definição do produto de matrizes, verifique as seguintes propriedades. Seja k Є R (sugestão: atribuir</p><p>um valor qualquer para k )</p><p>1) (A.B).C = A.(B.C) (propriedade associativa, onde a ordem das matrizes devem ser mantidas)</p><p>2) A.(B + C) = A.B + A.C (propriedade distributiva)</p><p>3) (B + C).A = B.A + C.A (propriedade distributiva)</p><p>4) k.(A.B) = (k.A).B = A.(kB) (propriedade associativa, onde k Є R e a ordem das matrizes mantidas)</p><p>5) A.B ≠ B.A , ou seja, o Produto de Matrizes é não comutativo.</p><p>4º) Propriedades da Potência (verificar usando o produto de matrizes)</p><p>1) A</p><p>2</p><p>= A.A</p><p>2) A</p><p>3</p><p>= A</p><p>2</p><p>.A</p><p>3) A</p><p>4</p><p>= A</p><p>3</p><p>.A..........ou seja A</p><p>n+1</p><p>= A</p><p>n</p><p>.A</p><p>Classificação de Matrizes</p><p>Algumas matrizes são classificadas a partir de propriedades específicas que apresentam.</p><p>1ª) Matriz diagonal</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>500</p><p>030</p><p>002</p><p>Bou)5,3,2(diagB.</p><p>30</p><p>02</p><p>Aou)3,2(diagA:Exemplo</p><p>nna.............000</p><p>0..................0</p><p>0.......33a00</p><p>0.........022a0</p><p>0..........0011a</p><p>Aou)nna...,,33a,.22a,11a(diagA:Notação</p><p>.jise0ija,quetal,quadrada)ija(Amatriztodaé:diagonalMatriz</p><p>)R(nMASeja</p><p>2ª) Matriz Identidade ou Unitária (usaremos In para sua notação)</p><p>É toda matriz quadrada, de ordem n, que apresenta a seguinte característica:</p><p>In = (aij) tal que</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>jise</p><p>jise</p><p>aij</p><p>1</p><p>0</p><p>Exemplos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1000</p><p>0100</p><p>0010</p><p>0001</p><p>C,</p><p>100</p><p>010</p><p>001</p><p>B,</p><p>10</p><p>01</p><p>A</p><p>Ou seja, são matrizes diagonais e podem ser representadas da seguinte forma:</p><p>A= diag (1,1) , B= diag (1,1,1) , C= diag (1,1,1,1).......... (usando os exemplos A, B e C)</p><p>Propriedades da Matriz Identidade:</p><p>1) A</p><p>0</p><p>= In ( potência zero)</p><p>2) Matriz Escalar</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>jisek</p><p>jise</p><p>kakI ijn</p><p>0</p><p>Exemplos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>5000</p><p>0500</p><p>0050</p><p>0005</p><p>M......</p><p>200</p><p>020</p><p>002</p><p>3I.2,</p><p>30</p><p>03</p><p>10</p><p>01</p><p>.32I3</p><p>3ª) Matriz Transposta: notações usadas: AouAAA tT ',,</p><p>Considere uma matriz Am x n = (aij) , a sua Transposta é definida por A</p><p>T</p><p>n x m= (aji) , ou seja, o que</p><p>era linha (i) passou a ser coluna (j) e o que era coluna (j) passou a ser linha (i). Observe que a ordem da matriz</p><p>A</p><p>T</p><p>é invertida em relação a matriz A.</p><p>Propriedades da Transposta:</p><p>TTT</p><p>TT</p><p>ABBAII</p><p>AAI</p><p>.).()</p><p>)()</p><p></p><p></p><p>Aplicação de matrizes aos polinômios.</p><p>Considere o Polinômio P(x) definido por:</p><p>n</p><p>xnaxaxaxaxaxaaxP</p><p>ou</p><p>n</p><p>xnaxaxaxaxaxaxaxP</p><p>....</p><p>5</p><p>.5</p><p>4</p><p>.4</p><p>3</p><p>.3</p><p>2</p><p>.2</p><p>1</p><p>.11.0)(</p><p>....</p><p>5</p><p>.5</p><p>4</p><p>.4</p><p>3</p><p>.3</p><p>2</p><p>.2</p><p>1</p><p>.1</p><p>0</p><p>.0)(</p><p></p><p></p><p>Considerando o Polinômio P(x) e a Matriz A, temos:</p><p>Polinômios de uma matriz ( polinômios matriciais): P(A)</p><p>n</p><p>AnaAaAaAaAaAa</p><p>n</p><p>IaAP</p><p>ou</p><p>n</p><p>AnaAaAaAaAaAaAaAP</p><p>....</p><p>5</p><p>.5</p><p>4</p><p>.4</p><p>3</p><p>.3</p><p>2</p><p>.2</p><p>1</p><p>.1.0)(</p><p>....</p><p>5</p><p>.5</p><p>4</p><p>.4</p><p>3</p><p>.3</p><p>2</p><p>.2</p><p>1</p><p>.1</p><p>0</p><p>.0)(</p><p></p><p></p><p>Obs: Foram considerada nos dois casos as convenções : x</p><p>0</p><p>= 1 e A</p><p>0</p><p>= In</p><p>Exemplos: Dadas os polinômios P(x) e as matrizes </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>11</p><p>24</p><p>,</p><p>13</p><p>52</p><p>BA</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>32</p><p>47</p><p>30</p><p>03</p><p>11</p><p>24</p><p>13</p><p>614</p><p>10</p><p>01</p><p>3</p><p>11</p><p>24</p><p>11</p><p>24</p><p>.</p><p>11</p><p>24</p><p>23</p><p>2</p><p>)(</p><p>3</p><p>2</p><p>)()2</p><p>59</p><p>158</p><p>20</p><p>02</p><p>39</p><p>156</p><p>10</p><p>01</p><p>2</p><p>13</p><p>52</p><p>3223)(</p><p>23)()1</p><p>IBBBP</p><p>xxxP</p><p>IAAP</p><p>xxP</p><p>Matrizes Quadradas Reais Especiais.</p><p>Matriz Simétrica.</p><p>Uma matriz A é simétrica se A = AT</p><p>, isto é, os seus elementos simétricos são iguais aij = aji.</p><p>Exemplo:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>754</p><p>513</p><p>432</p><p>A</p><p>Matriz Antissimétrica.</p><p>Uma matriz A é antissimétrica se A = – AT</p><p>, isto é, se cada aij = – aji e isto implica que aii = 0</p><p>( os elementos da diagonal principal são todos nulos).</p><p>Exemplo:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>074</p><p>703</p><p>430</p><p>A</p><p>Matriz Ortogonal.</p><p>Uma matriz inversível A é ortogonal se AT = A-1</p><p>, isto é AAT = AA-1 = In.</p><p>Exemplo:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>0</p><p>001</p><p>A</p><p>Matriz Normal.</p><p>Uma matriz real A é normal se comuta com sua transposta, isto é, AAT = ATA.</p><p>Obs: Se A é simétrica, ortogonal ou antissimétrica então A é normal.</p><p>Exemplo: </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>63</p><p>36</p><p>A .</p><p>Exercícios resolvidos: operações com matrizes.</p><p>EXEMPLOS: Sejam </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>76</p><p>05</p><p>43</p><p>21</p><p>BeA .</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>33</p><p>26</p><p>7463</p><p>0251</p><p>76</p><p>05</p><p>43</p><p>21</p><p>)º1 BA</p><p>Obs: A + B = B + A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>129</p><p>63</p><p>)4.(33.3</p><p>2.31.3</p><p>43</p><p>21</p><p>.33)º2 A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>43</p><p>21</p><p>)4.(13.1</p><p>2.11.1</p><p>43</p><p>21</p><p>.1.1)º3 AA , Matriz Oposta de A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2839</p><p>147</p><p>7.40.3)6.(45.3</p><p>7.20.1)6.(25.1</p><p>76</p><p>05</p><p>.</p><p>43</p><p>21</p><p>.)º4 BA</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>229</p><p>67</p><p>)4.(42.33.41.3</p><p>)4.(22.13.21.1</p><p>43</p><p>21</p><p>.</p><p>43</p><p>21</p><p>)º5 2A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>10</p><p>47</p><p>76</p><p>05</p><p>86</p><p>42</p><p>76</p><p>05</p><p>43</p><p>21</p><p>.2</p><p>222</p><p>44</p><p>).(2</p><p>42</p><p>)()º6 2</p><p>X</p><p>BAXBXXA</p><p>BXXA</p><p>BXXA</p><p>quetalRMXCalcular</p><p>Outras propriedades das matrizes:</p><p>1) Traço de A: tr(A) = a11+a22+a33+ ... + ann.</p><p>Propriedades: 1) tr(A + B) = tr(A) + tr(B)</p><p>2) tr(kA) = k tr(A)</p><p>3) tr (A</p><p>T</p><p>) = tr (A),</p><p>4) tr (AB) = tr (BA).</p><p>2) Matriz nula: Seja A =(aij)m x n , aij = 0 qualquer que sejam i e j.</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS.</p><p>1º) Considere as matrizes</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>984</p><p>173</p><p>562</p><p>431</p><p>,</p><p>76</p><p>05</p><p>,</p><p>43</p><p>21</p><p>DeCBA .</p><p>Calcule:</p><p>a) A + B b) 2C – 3D c) AB d) BA e) A</p><p>2</p><p>f) AD g) A</p><p>T</p><p>e B</p><p>T</p><p>h) (AB)</p><p>T</p><p>i) B</p><p>T</p><p>A</p><p>T</p><p>j) (A+B)</p><p>T</p><p>l) A</p><p>T</p><p>+ B</p><p>T</p><p>m) (2.C)</p><p>T</p><p>n) 2.C</p><p>T</p><p>o) (D</p><p>T</p><p>)</p><p>T</p><p>2º) Sejam </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>61</p><p>24</p><p>,</p><p>13</p><p>52</p><p>BA</p><p>a) P (x) = x</p><p>3</p><p>– 2x</p><p>2</p><p>– 5 calcule P (A) b) Q (x) = x</p><p>2</p><p>– 3x + 17 calcule Q(A)</p><p>c) R (x) = x</p><p>2</p><p>+ 2x – 22 calcule R (B) d) G(x) = x</p><p>2</p><p>– 3x – 6 calcule G(B)</p><p>3º) Seja </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>k</p><p>A</p><p>0</p><p>25</p><p>. Determine os valores de k para os quais A é uma raiz de:</p><p>a) P(x) = x</p><p>2</p><p>– 7x + 10 b) Q(x) = x</p><p>2</p><p>– 25 c) R(x) = x</p><p>2</p><p>– 4</p><p>4º) No conjunto M3x2 ( R ) , considere as matrizes.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>10</p><p>01</p><p>21</p><p>11</p><p>12</p><p>10</p><p>,</p><p>00</p><p>00</p><p>11</p><p>CeBA .</p><p>Calcular C</p><p>BXXA</p><p>quetalRMX x </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>32</p><p>)(23</p><p>5º) Sejam A = diag(1,2, -3) , B = diag( 2, -5, 0). Calcule:</p><p>a) AB, A</p><p>2</p><p>e B</p><p>2</p><p>b) P(x) = x</p><p>2</p><p>+ 4x – 3 calcule P(A)</p><p>6º) Calcule x e B, sabendo que </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>132</p><p>24</p><p>xx</p><p>x</p><p>B é simétrica.</p><p>7º) Calcule x,y,z para que A seja simétrica.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>52</p><p>2</p><p>267</p><p>)</p><p>71</p><p>54</p><p>32</p><p>)</p><p>x</p><p>zy</p><p>x</p><p>Bb</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>Aa</p><p>8º) Para cada número real α consideremos a matriz </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>cos</p><p>cos</p><p>sen</p><p>sen</p><p>T</p><p>a) Mostrar que   TTT b) Calcular T</p><p>9º) Determinar se possível x e y em R a fim de que a matriz</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>y</p><p>x</p><p>seja ortogonal</p><p>10º) Determinar “k” em R a fim de que a matriz real</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>k</p><p>A</p><p>21</p><p>212</p><p>111</p><p>seja inversível em M3(R).</p><p>11º) Dada a matriz</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>111</p><p>210</p><p>121</p><p>A , determine a matriz 33 )( IAXquetalRMX </p><p>12º) Determinar x , y e z de modo que a matriz A seja ortogonal : A</p><p>x y z</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1 0 0</p><p>0 1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>13º) Polinômios</p><p>Sejam </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>31</p><p>32</p><p>B</p><p>24</p><p>35</p><p>A</p><p>a) P (x) = 2x – 5 , calcule P(A) e P(B)</p><p>b) P(x) = x</p><p>2</p><p>– 3x + 7 , calcule P(A) e P(B)</p><p>c) P (x) = x</p><p>3</p><p>+ x</p><p>2</p><p>– 2, calcule P(A) e P(B)</p><p>d) P (x) = x</p><p>2</p><p>– x – 6 , calcule P(A) e P(B)</p><p>e) P(x) = x</p><p>2</p><p>– 4, calcule P(A) e P(B)</p><p>f) P(x) = x</p><p>4</p><p>+ x + 1, calcule P(A) e P(B)</p><p>g) P(x) = x</p><p>3</p><p>– 2x + x , calcule P(A) e P(B)</p><p>h) P(x) = x</p><p>5</p><p>– 3x</p><p>2</p><p>– 2 , calcule P(A) e P(B)</p><p>i) P(x) = x</p><p>3</p><p>– x</p><p>2</p><p>+ x +1, calcule P(A) e P(B)</p><p>j) P(x) = x</p><p>2</p><p>– 2x + 3, calcule P(A) e P(B)</p><p>Obs: para as potências use a propriedade An+1</p><p>= A</p><p>n</p><p>.A</p><p>14º) Sejam CXB</p><p>AX</p><p>quetalXcalcularCeBdiagA </p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>,</p><p>43</p><p>12</p><p>32</p><p>01</p><p>,)3,2(</p><p>15º) Sejam )(,112</p><p>2</p><p>)(</p><p>34</p><p>01</p><p>BfcalcularxxxfeB </p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>16º) )(,1122)()4,7( AfcalcularxxxfediagASejam </p><p>17ª) Sejam o polinômio P(x) = x</p><p>2</p><p>– 4 e as matrizes</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>11</p><p>32</p><p>Be</p><p>21</p><p>30</p><p>A</p><p>a) Verificar se são verdadeiras ou falsas as seguintes igualdades:</p><p>P(A + B) = P(A) + P(B) e P(2.A) = 2.P(A).</p><p>b) Verificar se a matriz A é ortogonal.</p><p>18º) Dada a matriz</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>695</p><p>243</p><p>172</p><p>M calcular</p><p>TMM . e classificar a matriz M.</p><p>19º) Dada a matriz</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>100</p><p>0cos</p><p>0cos</p><p>xxsen</p><p>xsenx</p><p>M calcular</p><p>TMM . e classificar a matriz M.</p><p>2ª Parte: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES</p><p>I ) Inicialmente vamos considerar os seguintes exemplos de “Expressões” e de “Sentenças”</p><p>Expressão: 321 643643 xxxouzyx </p><p>Fazendo uma leitura sobre ela, podemos observar a existência das operações “ soma e</p><p>produto”, as variáveis x , y e z ou também representadas por x1 , x2 e x3 (estas notações são mais</p><p>usadas nas generalizações) e as constantes 3, 4 e 6 que multiplicam essas variáveis, nomeadas</p><p>de coeficientes.</p><p>Sentença: 06430643 321  xxxouzyx</p><p>Seguindo a mesma leitura feita na Expressão anterior, observa-se outra constante em um</p><p>termo independente das variáveis e a igualdade ( = ) que caracteriza uma Sentença como</p><p>Equação.</p><p>Generalizando esses exemplos, vamos considerar:</p><p>As variáveis reais nxxxxx ,.......,,,, 4321 , as constantes reais  en,.......,,,, 4321 .</p><p>1º) Combinação Linear: é toda expressão definida por:</p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>1i</p><p>iinn44332211 x.oux....xxxx</p><p>2º) Equação linear: é toda sentença definida por:</p><p> </p><p></p><p>n</p><p>1i</p><p>iinn44332211 x.oux....xxxx</p><p>Definições de Sistemas de Equações Lineares</p><p>3º) Sistema de Equações Lineares:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>mnnmmmmm</p><p>nn</p><p>nn</p><p>nn</p><p>xxxxx</p><p>xxxxx</p><p>xxxxx</p><p>xxxxx</p><p>S</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>....</p><p>......................................................................</p><p>....</p><p>....</p><p>....</p><p>44332211</p><p>33434333232131</p><p>22424323222121</p><p>11414313212111</p><p>Sistemas de Equações Lineares: Exemplos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>t</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>.</p><p>2000</p><p>3100</p><p>2110</p><p>2121</p><p>2t2</p><p>2t3z</p><p>1t2zy</p><p>0t2zy2x</p><p>M</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>.</p><p>100</p><p>310</p><p>121</p><p>4z</p><p>1z3y</p><p>2zy2x</p><p>R</p><p>0</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>.</p><p>30</p><p>52</p><p>1y3</p><p>2y5x2</p><p>Q</p><p>SESCALONADO</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>.</p><p>212</p><p>323</p><p>111</p><p>0z2yx2</p><p>0z3y2x3</p><p>0zyx</p><p>P</p><p>0</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>.</p><p>13</p><p>21</p><p>1yx3</p><p>4y2x</p><p>S</p><p>MatricialNotaçãoe AlgébricaNotação</p><p>Observações:</p><p>1ª) No sistema P, todos os termos independentes são iguais a zero. São</p><p>ditos Sistemas Homogêneos. Estes sistemas vão sempre admitir uma única</p><p>solução (Sistema possível determinado) ou infinitas soluções (Sistemas</p><p>possíveis indeterminados)</p><p>2ª) Nos sistemas Q, R e M, pode-se observar que a cada equação aumenta-se</p><p>a quantidade de coeficientes iguais à zero. Também, podemos observar</p><p>o</p><p>mesmo, nas tabelas de seus coeficientes, onde todos os seus valores,</p><p>abaixo da diagonal, são iguais à zero. Os sistemas Q, R e M são sistemas</p><p>ditos Escalonados.</p><p>Resolução de sistemas por Escalonamento.</p><p>Exercícios resolvidos</p><p> </p><p>)(</p><p>3</p><p>1</p><p>,</p><p>9</p><p>25</p><p>,</p><p>9</p><p>4</p><p>D).P.(S oDeterminad</p><p>3/113</p><p>9/251053</p><p>9/4732</p><p>1183</p><p>1053</p><p>732</p><p>1033</p><p>42</p><p>732</p><p>),,(:º1</p><p>)32.1()313212(</p><p>soluçãoúnicaSPossívelSistema</p><p>zz</p><p>yzy</p><p>xzyx</p><p>A</p><p>zy</p><p>zy</p><p>zyx</p><p>A</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>A</p><p>zyxSSoluçãoConjuntoresolverExemplo</p><p>EEEEeEE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>   ) soluções infinitas(,,1,(S.P.I)adoIndetermin</p><p>0</p><p>1143</p><p>00</p><p>0</p><p>143</p><p>0</p><p>0</p><p>143</p><p>01313</p><p>01111</p><p>143</p><p>343</p><p>2352</p><p>143</p><p>334</p><p>143</p><p>2325</p><p>:º2</p><p>)32.1()13/311/2()313212()21(</p><p>RxxxxSPossívelSistema</p><p>xzzx</p><p>xyzxy</p><p>Bzx</p><p>zxy</p><p>B</p><p>zx</p><p>zx</p><p>zxy</p><p>B</p><p>zx</p><p>zx</p><p>zxy</p><p>B</p><p>zxy</p><p>zxy</p><p>zxy</p><p>B</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>B</p><p>resolverExemplo</p><p>EEEeEEEeEEyCxCeEE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>  )(S.I)(Impossíve</p><p>solução) sem(O20</p><p>03</p><p>12</p><p>23</p><p>03</p><p>12</p><p>6554</p><p>232</p><p>12</p><p>:º3</p><p>)32.1()314212(</p><p>vazioSSistema</p><p>FALS</p><p>zy</p><p>zyx</p><p>C</p><p>zy</p><p>zy</p><p>zyx</p><p>C</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>C</p><p>resolverExemplo</p><p>EEEEeEE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> )0,0,0(</p><p>007</p><p>003</p><p>00222</p><p>04</p><p>03</p><p>0222</p><p>04</p><p>0353</p><p>022</p><p>S.P.I)ouP.D(S,homogêneo:º4</p><p>)32.1()212( </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> S</p><p>zz</p><p>yzy</p><p>xzyx</p><p>D</p><p>zy</p><p>zy</p><p>zyx</p><p>D</p><p>zy</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>D</p><p>sistemaresolverExemplo</p><p>EEEE</p><p>Exercícios propostos:</p><p>Resolver os sistemas, usando o escalonamento.</p><p>1)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1334</p><p>323</p><p>332</p><p>632</p><p>tzyx</p><p>tzyx</p><p>tzyx</p><p>tzyx</p><p>2)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3zy3x4</p><p>1z4yx3</p><p>2z3y2x5</p><p>3)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>10435</p><p>4453</p><p>223</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>4)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>455</p><p>023</p><p>4</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>5)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>423</p><p>32</p><p>92</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>6)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>12</p><p>22</p><p>1</p><p>1</p><p>tzx</p><p>tzy</p><p>tzyx</p><p>tzyx</p><p>7)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>22</p><p>2</p><p>12</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>8)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1232</p><p>223</p><p>1</p><p>tzyx</p><p>tzyx</p><p>tzyx</p><p>9)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>022</p><p>232</p><p>12</p><p>tzyx</p><p>tyx</p><p>zyx</p><p>10)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>7232</p><p>534</p><p>72</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>11)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>6556</p><p>12</p><p>323</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>12)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>02</p><p>62</p><p>423</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>13)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>02</p><p>02</p><p>0</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>14)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>yzx</p><p>xzy</p><p>zyx</p><p>322</p><p>23</p><p>2</p><p>15)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0462</p><p>0324</p><p>0</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>16)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>023</p><p>04</p><p>032</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>17)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>034</p><p>032</p><p>02</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>18)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>02</p><p>028</p><p>0245</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>19º) Considere </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>14</p><p>83</p><p>Y2X3e</p><p>72</p><p>61</p><p>Y4X , determine X e verifique se X</p><p>é ortogonal</p><p>20º ) Resolver o sistema</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>1</p><p>4.16.4</p><p>4</p><p>2.2</p><p>2</p><p>13.3.3</p><p>zyx</p><p>zy</p><p>x</p><p>zyx</p><p>21º Discutir os sistemas nas variáveis x , y , z .</p><p>a)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>025</p><p>02</p><p>03</p><p>zyx</p><p>zymx</p><p>zyx</p><p>b)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>12</p><p>2</p><p>0</p><p>zyxm</p><p>zmyx</p><p>zyx</p><p>c)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>qpzyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>4</p><p>6</p><p>1037</p><p>d)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>322</p><p>122</p><p>2</p><p>zyx</p><p>zyax</p><p>bzyax</p><p>e)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>073</p><p>052</p><p>023</p><p>zyx</p><p>kzyx</p><p>zyx</p><p>e)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0462</p><p>0324</p><p>0</p><p>kzyx</p><p>zkyx</p><p>zyx</p><p>Sistema homogêneo – aplicação: Dependência Linear</p><p>Considere os vetores Vvvvvv n ,.......,,,, 4321 , as constantes reais</p><p>n ,.......,,,, 4321 e a equação 0....44332211  nnvvvvv </p><p>I) Se 0......4321  n , os vetores nvvvvv ,.......,,,, 4321</p><p>são Linearmente Independentes (L.I)</p><p>II) Se pelo menos um 0i , os vetores nvvvvv ,.......,,,, 4321</p><p>são Linearmente Dependentes (L.D)</p><p>Exemplos:</p><p>1º) Dados os vetores do R</p><p>3</p><p>, u = (1, 1, 2) , v = (1 , –2 , 1) e w = ( –1, 1 , 1), verificar se são LI ou LD</p><p>  LIsãowev,u)0,0,0(S</p><p>0c0c7</p><p>0b0c3b</p><p>0a0cba</p><p>0c2b3</p><p>0c3b</p><p>0cba</p><p>0c3b</p><p>0c2b3</p><p>0cba</p><p>0cba2</p><p>0cb2a</p><p>0cba</p><p>)0,0,0()cba2,cb2a,cba(</p><p>)0,0,0()c,c,c()b,b2,b()a2,a,a()0,0,0()1,1,1.(c)1,2,1.(b)2,1,1.(a</p><p>0d.cv.bu.a</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2º) Dados os vetores do R</p><p>3</p><p>, u = (1, 1, 2) , v = (1 , –2 , 1) e w = ( 2, –2, 4), verificar se são LI ou LD</p><p>LDsãowev,uRc,)c,c.</p><p>3</p><p>4</p><p>,c</p><p>3</p><p>2</p><p>(S</p><p>c.</p><p>3</p><p>4</p><p>b0c4b3</p><p>c.</p><p>3</p><p>2</p><p>a0c2ba</p><p>00</p><p>0c4b3</p><p>0c2ba</p><p>0c4b2a2</p><p>0c2b2a</p><p>0c2ba</p><p>)0,0,0()c4b2a2,c2b2a,c2ba(</p><p>)0,0,0()c4,c2,c2()b2,b2,b()a2,a,a()0,0,0()4,2,2.(c)1,2,1.(b)2,1,1.(a</p><p>0d.cv.bu.a</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Exercícios propostos: Dependência Linear</p><p>1º) Verificar se os vetores são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independente (LI) nos casos:</p><p>a) u =(1,2) e v =(3,6)</p><p>b) u =(6,8) e v =(-2,-3)</p><p>c) u =(4,-6) e v =(-2,3)</p><p>d) u =(0,0) e v = (1,5)</p><p>e) u =( 2,-1,3) , v =(6,-3,9) e w = (1,2,1)</p><p>f) u =(2,1,3), v =(4,2,5) e w = (0,3,2)</p><p>g) u = (5,6,7), v =(6,7,8) e w = (1,2,2)</p><p> </p><p> 2x3,1x2x,4xx2T)m</p><p>6x3x,22x2x,17x3x,5x2xW)l</p><p>4xw,25xv,10x7xu)j</p><p>11</p><p>32</p><p>,</p><p>02</p><p>14</p><p>,</p><p>11</p><p>20</p><p>,</p><p>23</p><p>11</p><p>M)i</p><p>60</p><p>00</p><p>,</p><p>21</p><p>00</p><p>,</p><p>30</p><p>02</p><p>,</p><p>20</p><p>01</p><p>S)h</p><p>13</p><p>52</p><p>ze</p><p>93</p><p>62</p><p>w,</p><p>31</p><p>32</p><p>v,</p><p>24</p><p>35</p><p>u)g</p><p>22</p><p>22223</p><p>222</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2º) Para que valores de k os vetores</p><p>a) u =(2,3) e v =(4,k) são LI</p><p>b) u =(1,k) e v =(k,1) são LD</p><p>c) u = (k,1,0) , v =(2,2,3) e w =(-1,0,2) são LI</p><p>Matriz Inversa (ou não singular):</p><p>Definição: nnn IAAMAinversasuaeMASejam   11 .</p><p>Propriedade:</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>11</p><p>321 ....).....(   AAAAAAAA nn . Ak são inversíveis.</p><p>1º) Exemplo: Dada a matriz </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>33</p><p>21</p><p>A , determinar sua inversa, se existir.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>133</p><p>02</p><p>033</p><p>12</p><p>10</p><p>01</p><p>3333</p><p>22</p><p>10</p><p>01</p><p>.</p><p>33</p><p>21</p><p>.</p><p>.,</p><p>33</p><p>21</p><p>)º1</p><p>2</p><p>1</p><p>11</p><p>A</p><p>db</p><p>db</p><p>e</p><p>ca</p><p>ca</p><p>temossistemasosresolvendoeigualdadePela</p><p>dbca</p><p>dbca</p><p>dc</p><p>ba</p><p>IAAdefiniçãoPela</p><p>dc</p><p>ba</p><p>AConsidereAcalculeASeja</p><p>,</p><p>2º) Exemplo: Dada a matriz </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>63</p><p>21</p><p>A , determinar sua inversa, se existir.</p><p>.</p><p>,</p><p>10</p><p>02</p><p>163</p><p>02</p><p>,</p><p>30</p><p>12</p><p>063</p><p>12</p><p>10</p><p>01</p><p>6363</p><p>22</p><p>10</p><p>01</p><p>.</p><p>63</p><p>21</p><p>.</p><p>.,</p><p>63</p><p>21</p><p>)º2</p><p>2</p><p>1</p><p>11</p><p>inversaadmitenãoAmatrizaLogo</p><p>impossíveltambém</p><p>db</p><p>db</p><p>db</p><p>impossívelsistema</p><p>ca</p><p>ca</p><p>ca</p><p>temossistemasosresolvendoeigualdadePela</p><p>dbca</p><p>dbca</p><p>dc</p><p>ba</p><p>IAAdefiniçãoPela</p><p>dc</p><p>ba</p><p>AConsidereAcalculeASeja</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>,</p><p>Determinante de uma matriz</p><p>A partir de um cálculo padrão, associamos uma matriz a um número chamado de Determinante de uma</p><p>matriz, cuja notação é dada por: det A ou Adet</p><p>Cálculo do determinante de numa matriz 2x2</p><p>).().(det 1221</p><p>21</p><p>21</p><p>babaA</p><p>bb</p><p>aa</p><p>A </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Produto dos elementos da diagonal principal, menos, o produto dos elementos da diagonal</p><p>secundária.</p><p>Exemplo 1 – matriz 2x2</p><p>22det</p><p>21210)3.4()2.5(det</p><p>24</p><p>35</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ouA</p><p>AA</p><p>Cálculo do determinante de numa matriz 3x3</p><p>Regra de Sarrus:</p><p>)3c1b2a2c3b1a1c2b3a()2c1b3a1c3b2a3c2b1a(Adet</p><p>)colunasprimeirasduasasosreescrevem(</p><p>2c1c3c2c1c</p><p>2b1b3b2b1b</p><p>2a1a3a2a1a</p><p>Adet</p><p>3c2c1c</p><p>3b2b1b</p><p>3a2a1a</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Exemplo:</p><p>11ou11Adet</p><p>11)6()17()1.0.21.2.14.1.1()1.0.14.2.21.1.1(Adet</p><p>14114</p><p>10210</p><p>21121</p><p>Adet</p><p>114</p><p>210</p><p>121</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Regra de Laplace: cálculo do determinante de numa matriz nxn</p><p>Primeiro vejamos os Cofatores.</p><p>arcomplementmenoroé</p><p>ij</p><p>Donde,</p><p>ij</p><p>D.</p><p>ji</p><p>)1(</p><p>ij</p><p>ACofator</p><p>nn.......4n3n2n1n</p><p>.......................................................</p><p>n3........34333231</p><p>n2........24232221</p><p>n1.......14131211</p><p>M)R(nMSeja</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>a.</p><p>2c1c</p><p>2b1b</p><p>2</p><p>a.</p><p>3c1c</p><p>3b1b</p><p>1</p><p>a.</p><p>3c2c</p><p>3b2b</p><p>ADet3a.13A2a.12A1a.11AADet</p><p>2c1c</p><p>2b1b</p><p>13A13D.</p><p>31</p><p>)1(13A</p><p>3c1c</p><p>3b1b</p><p>12A12D.</p><p>21</p><p>)1(12A</p><p>3c2c</p><p>3b2b</p><p>11A11D.</p><p>11</p><p>)1(11A</p><p>Dij.</p><p>ji</p><p>)1(Aij</p><p>3c2c1c</p><p>3b2b1b</p><p>3a2a1a</p><p>A)R(MAConsidere</p><p>Laplace de Regra</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Exemplo da Regra de Laplace - Considerando A3(R).</p><p>1141611).4(2).8(1).1(ADet</p><p>1.</p><p>14</p><p>10</p><p>2.</p><p>14</p><p>20</p><p>1.</p><p>11</p><p>21</p><p>ADet</p><p>a.Aa.Aa.AADet</p><p>14</p><p>10</p><p>AD.)1(A</p><p>14</p><p>20</p><p>AD.)1(A</p><p>11</p><p>21</p><p>AD.)1(A</p><p>Dij.)1(Aij</p><p>114</p><p>210</p><p>121</p><p>ASeja</p><p>313212111</p><p>1313</p><p>31</p><p>13</p><p>1212</p><p>21</p><p>12</p><p>1111</p><p>11</p><p>11</p><p>ji</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Propriedade da Matriz Inversa:</p><p>OBS: O interesse em mostrar Determinantes, é simplesmente para apresentar a</p><p>propriedade de que uma matriz só admite inversa, se o seu determinando por</p><p>diferente de zero.</p><p>inversaadmitenãoPentãoPP</p><p>inversaadmiteMentãoMM</p><p>,00)6()6(det</p><p>13</p><p>26</p><p>,017)15()2(det</p><p>13</p><p>52</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>Exemplo geral de matriz inversa</p><p>Dada a matriz</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>113</p><p>212</p><p>131</p><p>E , determine a sua inversa E</p><p>-1</p><p>, se existir.</p><p>Verificando o seu determinante ( isto não é obrigatório para determinar a inversa, apenas opcional )</p><p>existeE,0, 1</p><p>13113</p><p>12212</p><p>31131</p><p>113</p><p>212</p><p>131</p><p>14)623()2181(E</p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Então vamos determinando a inversa: E</p><p>-1</p><p>:temosdefiniçãoausando,Dada</p><p>ihg</p><p>fed</p><p>cba</p><p>113</p><p>212</p><p>131</p><p>1</p><p>EaE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>1</p><p>7</p><p>4</p><p>14</p><p>5</p><p>0</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>14</p><p>3</p><p>1</p><p>Etemossistemasosresolvendo</p><p>1ifc3</p><p>0i2fc2</p><p>0if3c</p><p>0heb3</p><p>1h2eb2</p><p>0he3b</p><p>0gda3</p><p>0g2da2</p><p>1gd3a</p><p>:setemigualdadedesta,</p><p>100</p><p>010</p><p>001</p><p>ifc3heb3gda3</p><p>i2fc2h2eb2g2da2</p><p>if3che3bgd3a</p><p>100</p><p>010</p><p>001</p><p>ihg</p><p>fed</p><p>cba</p><p>.</p><p>113</p><p>212</p><p>131</p><p>I</p><p>1</p><p>E.E</p><p>Método prático para determinar a matriz inversa, de orem 2x2, usando o</p><p>Determinante.</p><p>Regra: inverter os termos da diagonal principal e o opor os termos da diagonal</p><p>secundária, dividindo todos pelo Det A.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>17</p><p>2</p><p>17</p><p>3</p><p>17</p><p>5</p><p>17</p><p>1</p><p>1</p><p>A</p><p>.inversaadmiteAentão,017)15()2(Adet</p><p>13</p><p>52</p><p>A</p><p>Exemplo</p><p>ac</p><p>bd</p><p>1</p><p>A:quetemos,0paraAdete</p><p>dc</p><p>ba</p><p>A</p><p>:Logo</p><p>Seja</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1º) Determine a Matriz Inversa, se existir, para as seguintes matrizes:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>93</p><p>62</p><p>31</p><p>32</p><p>24</p><p>35</p><p>CBA</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>61</p><p>24</p><p>13</p><p>52</p><p>PM</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>111</p><p>210</p><p>121</p><p>R</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>113</p><p>212</p><p>131</p><p>E</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>100</p><p>430</p><p>121</p><p>O</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>111</p><p>213</p><p>121</p><p>S</p><p>2º) Sejam </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>12</p><p>11</p><p>22</p><p>13</p><p>PeA . Determine a matriz D tal que APPD 1</p><p>3º) Sendo </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>13</p><p>24</p><p>A e 2I a matriz identidade de ordem 2.</p><p>a) Calcule os valores de R , de modo que 0)(det 2  IA </p><p>b) Determine a matriz D tal que APPD 1 , onde a matriz P = </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>i</p><p>i</p><p></p><p></p><p>62</p><p>43</p><p>para</p><p>o menor dos i calculado no item ( a ).</p><p>4º) Dada a matriz A = </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 12</p><p>61</p><p>e 2I a matriz identidade.</p><p>a) Determine a matriz 22 IAXquetal)R(MX </p><p>b) Calcule os valores de 0)I.tA(detquetal,Rt 2</p><p>2  ,</p><p>5º) Dada a matriz </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>11</p><p>24</p><p>A e 2I a matriz identidade.</p><p>a) Determine a matriz 22 IAXquetal)R(MX </p><p>b) Calcule os valores de 0)I.tA2A(detquetal,Rt 2</p><p>2  ,</p><p>6º) Dada a matriz A = </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>13</p><p>21</p><p>e 2I a matriz identidade.</p><p>a) Determine a matriz inversa de A, usando a definição.</p><p>b) Calcule os valores de 0)I.tA(detquetal,Rt 2  ,</p><p>7º) Dada a matriz</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>110</p><p>110</p><p>121</p><p>A</p><p>a) Calcule os valores de R de modo que 0)AI.(det  . Onde I é a matriz identidade</p><p>de ordem da matriz A.</p><p>b) Determine a matriz P.A.PD 1 , se possível, onde </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>11</p><p>24</p><p>P para o maior dos</p><p>R , calculado no item a)</p><p>8º) Dada a matriz</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>210</p><p>011</p><p>024</p><p>A e 3I é a matriz identidade de ordem 3.</p><p>c) a) Determine a matriz 33 )( IAXquetalRMX </p><p>d) b) Calcule os valores de 0)I.tA(detquetal,Rt 3  ,</p>