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ügg. Tr 2! 3! Total
Mulher a b c a + b + c
Homem d e f d + e + f
Total a + d b + e c + f 250
a) Determine a. b, c. d, e. f
b) Escolhendo ao acaso um aluno da escola, qual é a probabilidade de que 
seja mulher e esteja cursando a 3- série?
c) Escolhe-se ao acaso um aluno da escola e verifica-se que ele pertence à 
1? série. Qual é a probabilidade de que seja homem?
72 (FGV-SP) Uma com­
panhia de seguros co­
letou uma amostra de 
2 000 motoristas de 
uma cidade a fim de 
determinar a relação 
entre o número de 
acidentes (>») em certo 
período e a idade em 
anos (x) dos motoris­
tas. Os resultados es­
tão na tabela abaixo:
i l É i L y = i y = 2 i f e " y> 2
x < 20 200 50 20 10
20 « x < 30 390 120 50 10
30 =s x < 40 385 80 10 5
x & 40 540 105 20 5
Adotando a freqüência relativa observada como probabilidade de 
cada evento, obtenha:
a) a probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exatamente um 
acidente no período considerado.
b) a probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no período 
considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.
1’ kUliAim .lUAUL 3 6 7
73 (FGV-SP) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são 
suspeitas e submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 
20% são fraudulentas.
Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas.
a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser 
suspeita e fraudulenta?
b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de ela ter sido 
suspeita?
O Probabilidade de dois eventos simultâneos 
(ou sucessivos)
Da fórmula p(A | B) = , encontrada para probabilidade condicional, segue que;
p(A n B) = p(A | B) ■ p(B)
Isso significa que, para se avaliar a probabilidade de ocorrerem 2 eventos simultâneos 
(ou sucessivos),que é p(A n B), basta multiplicara probabilidade de ocorrer um deles (p{B)) 
pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu (p(A | B)).
A utilização dessa fórmula fica clara nos exemplos seguintes.
- G B --------------------------------------------
Numa caixa estão guardados 20 livros,sendo 12 de Biologia e 8 de Geografia. Dois deles 
são retirados sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de terem sido es­
colhidos 2 livros de Biologia?
Vamos construir um diagrama de árvore para esse experimento e associar probabili­
dades a cada um de seus galhos. Observe que as probabilidades referentes à 2? extração . 
são condicionais.
MATEMÁTICA: ClfNClA £ APMCAÇftES
Estamos interessados em calcular:
p(B D B) =
probabilidade de o 1? livro ser de Biologia
1220
J
= 33 
~95~
probabilidade de o 2° livro ser de Biologia, 
dado que o I? também é
Qual será, então, a probabilidade de escolhermos livros de assuntos diferentes? 
Há 2 casos que nos interessam. Assim:
OUp = p(B n G) + p(G n B) => p = 12
20
8_ _ 8 _ _l2 . = 2 12_____8
19 20 ' 19 20 ’ 19
48
95
Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Duas delas são retiradas sucessiva­
mente e sem reposição. Qual é a probabilidade de terem saído 2 bolas brancas?
p(B n B) = — • — 8 7
3_
28
Vamos resolver o mesmo exercício, supondo que as extrações sejam feitas com 
reposição.
Observe que 0 fato de sair branca na 1? extração não 
muda a probabilidade de sair branca na 2á- extração, uma 
vez que a bola é reposta após a D retirada. Nesse caso, 
dizemos que há independência entre os eventos.
A probabilidade pedida é:
p = p(B n B) =
Conclusão
De modo geral, quando p(A | B) = p(A) — isto é, o fato de ter ocorrido o evento 
B não altera a probabilidade de ocorrer o evento A —.dizemos que A e 6 são eventos 
independentes e o teorema da multiplicação se reduz a:
p(A D B) - p(A) • p(B)
pRnnAnuidade 369