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Profª Maria Cecilia
Probabilidade
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Introdução
 No nosso cotidiano, lidamos sempre com
situações nas quais nos defrontamos com a
incerteza do resultado, embora, muitas vezes, os
possíveis resultados sejam conhecidos
 É preciso, então, dispormos de uma medida que
exprima a incerteza presente em cada um destes
acontecimentos. Tal medida é a probabilidade.
Conceitos Básicos
 Um experimento aleatório é um processo que acusa
variabilidade em seus resultados, isto é, repetindo-se o
experimento sob as mesmas condições, os resultados
poderão ser diferentes
 O espaço amostral de um experimento aleatório é o
conjunto de todos os resultados possíveis desse
experimento. Aqui, usaremos a letra grega Ω (ômega)
para representá-lo.
Notação
P: denota probabilidade (ou Pr)
A, B, C: denotam eventos específicos
P(A): a probabilidade de ocorrência do 
evento A (ou Pr(A))
A = “evento” lâmpada funcionando
P(A) = 0,999 → probabilidade da lâmpada 
estar funcionando
Conceito clássico
 Seja A evento de um espaço amostral Ω
finito, cujos elementos são igualmente
prováveis. Define-se probabilidade do
evento A como:
𝑃 𝐴 =
#𝐴
#Ω
Propriedades da Probabilidade
1. P(A) ≥ 0 para qualquer evento A.
2. Qualquer espaço amostral tem probabilidade 1,
P(Ω) = 1 para qualquer espaço amostral Ω.
3. Se dois eventos são mutuamente excludentes, a
probabilidade de ocorrência de um ou do outro é
igual à soma de suas probabilidades.
Simbolicamente, P(A U B) = P(A) + P(B)
4. P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
Propriedades
5. P () = 0 , a probabilidade de ocorrência do
conjunto vazio é nula. O conjunto vazio é
também chamado evento impossível.
6. P(A – B) = P(A) – P(A  B)
7. Se A  B, P(A) ≤ P(B)
8. P(Ei) + P( ത𝐸𝑖) = 1 , a soma da probabilidade de
um evento com a probabilidade de seu
evento complementar é sempre igual a 1.
Exemplos:
1) Qual a probabilidade de se extrair um ás de baralho bem
misturado de 52 cartas?
2) Qual a probabilidade de obter um 3 ou um 4 em uma jogada
de um dado equilibrado?
3) Qual a probabilidade de obtermos 7 jogando duas vezes um
dado?
4) Numa gaveta, há dez pares distintos de meias. Em um dos
pares, ambos os pés estão furados. Se tiramos um pé de
meia por vez, ao acaso, qual a probabilidade de tirarmos
dois pés de meia, do mesmo par, NÃO furados, em duas
retiradas ?
5) Um número é escolhido entre os 20 primeiros
inteiros, 1 a 20. Qual é a probabilidade de que
o número escolhido seja (i) par? (ii) primo? (iii)
quadrado perfeito?
6) Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas
brancas e 8 bolas verdes. Uma bola é
escolhida ao acaso desta urna. Qual é a
probabilidade de que (i) a bola não seja verde?
(ii) a bola seja branca? (iii) a bola não seja
nem branca nem verde?
7) Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se
que 132 alunos acertaram o primeiro, 86 erraram
o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram
apenas um. Sorteando-se ao acaso um desses
alunos, qual é a probabilidade de que (i) não
tenha acertado qualquer um dos dois problema?
(ii) tenha acertado apenas o segundo problema?
Regra da Multiplicação
Exemplo introdutório
i. Num teste, são aplicadas 2 questões de
múltipla escolha. Na primeira questão, as
respostas possíveis são V ou F. Na segunda, a, b,
c, d ou e. Se um aluno decidir “chutar” a
respostas, quantas alternativas terá? Qual a
probabilidade de gabaritar a prova?
ii. Um fabricante produz um lote de 50 peças,
das quais 6 são defeituosas. Se escolhermos
duas peças aleatoriamente, qual a probabilidade
de ambas serem boas?
iii. Um fabricante produz um lote de 50
transistores, dos quais 6 são defeituosos. Se
realizarmos duas retiradas de peças
aleatoriamente e em sequência, com reposição–
considerar que o transistor da primeira retirada
é reposto ao lote antes da segunda retirada –
qual a probabilidade de ambas serem boas?
Conclusão
Antes de aplicarmos a regra da
multiplicação, devemos identificar se o
experimento seguinte é dependente da
ocorrência do evento anterior.
Notação:
se P (B | A) ≠ P (B)
Lê-se: P (B | A) Probabilidade de B tal que A 
tenha ocorrido (ou dado que A tenha 
ocorrido) 
Portanto, a Regra da Multiplicação é: 
P (A e B) = P (A) x P (B | A)
8) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 
30 anos é 2/5; a de sua mulher, 2/3. Calcular a 
probabilidade de que daqui a 30 anos:
i. Ambos estejam vivos
ii. Somente o homem esteja vivo
iii. Nenhum esteja vivo
iv. Pelo menos um esteja vivo
Eventos independentes
Dois eventos A e B são
independentes se a ocorrência
de um deles NÃO afeta a
probabilidade de ocorrência do
outro.
Eventos Independentes
REGRA INTUITIVA
Multiplicamos a probabilidade de ocorrência
de A pela probabilidade de ocorrência de B,
que deve ser calculada considerando a
ocorrência prévia de A
REGRA FORMAL
P (A e B) = P(A) x P(B) Somente se A e B são
independentes
P (A e B) = P(A) x P(B|A) Regra da
Multiplicação
Definição axiomática
Seja Ω um espaço amostral associado a um
experimento aleatório.
Probabilidade é uma função, denotada por P, que
associa a cada evento A de Ω um número real P(A)
que satisfaz os seguintes axiomas:
Axioma 1 : P(A)≥ 0
Axioma 2 : P(Ω) = 1
Axioma 3 : A∩B = ∅ ⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B)
9. Em uma urna há 15 bolas numeradas de 1 a 15.
Três bolas são tiradas da urna sem reposição. Qual
a probabilidade de:
a) O menor número seja 7?
b) O maior número seja 7?
10. Um lote é formado por 10 artigos bons, 4 com
defeitos menores e 2 com defeitos graves. Um
artigo é escolhido ao acaso. Ache a probabilidade
de que:
a) ele não tenha defeitos;
b) ele não tenha defeitos graves;
c) ele seja perfeito ou tenha defeitos graves.
Probabilidade Condicional
1ª situação:
Lançamento de um dado equilibrado;
Qual a probabilidade de sair a face 3?
2ª situação:
Lançamento de um dado equilibrado;
Saiu uma face ímpar. Qual a
probabilidade de sair a face 3?
Probabilidade Condicional
 P(AB) = 
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
 B passa a ser o novo espaço amostral, 
concentrar no evento B, os demais já 
estão descartados.
Exemplos:
11. De um total de 500 empregados, 200 possuem plano pessoal de
aposentadoria complementar, 400 contam com o plano de
aposentadoria complementar oferecido pela empresa e 200
empregados possuem ambos os planos. Sorteia-se aleatoriamente
um empregado dessa empresa.
a) Qual é a probabilidade de que ele tenha algum plano de
aposentadoria complementar?
b) Qual é a probabilidade de que ele não possua qualquer plano
de aposentadoria complementar?
c) Se o empregado conta com o plano de aposentadoria
complementar oferecido pela empresa, qual é a probabilidade
de que ele tenha plano pessoal de aposentadoria
complementar?
d) Se o empregado tem plano pessoal de aposentadoria
complementar, qual é a probabilidade de que ele conte com o
plano de aposentadoria complementar da empresa?
12. Uma escola de ensino médio tem 400 alunos em seu
cadastro, sendo que:
I. 140 são rapazes;
II. 200 são moças que já concluíram o curso; e
III. 30 rapazes ainda não concluíram o curso.
Ao se selecionar aleatoriamente um nome desse cadastro e
sabendo-se que o nome retirado foi o de um rapaz, qual a
probabilidade de ele já ter concluído o ensino médio?
13. Em uma escola o 20% dos alunos tem problemas visuais,
o 8% problemas auditivos e 4% tem problemas visuais e
auditivos. Selecionamos um aluno desta escola ao acaso:
a) se aluno selecionado tem problemas visuais, qual é a
probabilidade de que tenha problemas auditivos?
b) qual é a probabilidade de não ter problemas visuais ou
ter problema auditivos ?
14. Uma equipe de Fórmula1 estima que seu piloto tem
50% de chances de vencer a corrida quando esta se realiza
sob chuva. Caso não chova durante a corrida, suas chances
de vitória cai para 25%. Os meteorologistas estimam em
30% as chances de chover durante a corrida, qual a
probabilidade desse piloto vencer?
15)Numa certa escola de primeiro grau, a
probabilidade de um aluno selecionado
aleatoriamente provir de um lar com
somente o pai ou a mãe presente é 0,36 e
a probabilidade de ele provir de um lar
com somente o pai ou a mãe presente e
ser um estudante fraco (que geralmente é
reprovado) é 0,27. Qual é a probabilidade
de um aluno selecionado aleatoriamente
ser um estudante fraco, dado que ele
provém de um lar com somente o pai ou a
mãe presente?
Teorema de Bayes
Há casos em que há mais de duas “causas”
possíveis para o evento A, ou seja, mais de dois
caminhos que levam ao evento A.
Podemos dizer que P(Bi | A) é a probabilidade de
o evento A ter sido alcançado através do i-ésimo
ramo da árvore (com i = 1, 2, ..., k) e pode ser
mostrado da árvore (com i = 1, 2, ..., k) que
essa probabilidade é igual à razão da
probabilidade associada ao i-ésimo ramo pela
soma das probabilidades associadas com todos os
k ramos que alcançam A.
16) Uma montadora trabalha com 2 fornecedores (A e
B) de uma determinada peça. As chances de que uma
peça proveniente dos fornecedores A e B esteja fora
das especificações são 10% e 5% respectivamente. A
montadora recebe 30% das peças do fornecedor A e
70% de B. Se uma peça do estoque inteiro é escolhido
ao acaso:
(a) Calcule a probabilidade de que ela esteja fora das
especificações.
(b) Se uma peça escolhida ao acaso está fora das
especificações, qual é a probabilidade que venha do
fornecedor fornecedor A ?
17) Um gerente de banco tem que decidir se
concede ou não empréstimo aos clientes que o
solicitam. Ele analisa diversos dados para
estudar a possibilidade de o cliente vir a ficar
inadimplente. Com base em dados passados, ele
estima em 15% a taxa de inadimplência. Dentre
os inadimplentes, ele tem 80% de chance de
tomar a decisão certa, enquanto essa chance
aumenta para 90% entre os clientes
adimplentes.
Esse gerente acaba de recusar um empréstimo.
Qual é a probabilidade de ele ter tomado a
decisão correta?
18) Numa fábrica de enlatados, as linhas de
produção I, II e III respondem por 50, 30 e
20% da produção total. Se 0,4% das latas da
linha I são lacradas inadequadamente e as
percentagens correspondentes às linhas II e
III são de 0,6% e 1,2%, respectivamente,
qual é a probabilidade de uma lata lacrada
impropriamente (e descoberta na inspeção
final de produtos prontos) provir da linha de
produção I?
19) Uma caixa contém três moedas. A moeda 
1 é honesta, a moeda 2 tem duas caras e a 
moeda 3 é viciada de tal modo que cara é 
duas vezes mais provável que coroa. Uma 
moeda é escolhida ao acaso e lançada.
a) Qual é a probabilidade de observarmos
cara e moeda 1?
b) Qual é a probabilidade de observarmos
cara?
c) Se o resultado foi cara, qual a
probabilidade de que a moeda lançada
tenha sido a moeda 1?