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b) Seja o triângulo ABC, obtusângulo em A, e CH a altura relativa ao lado AB.
ACAH: sen (180o- A) = CH = sen A => C.H = b sen A
ACBH: sen B = CH CH = a sen B
b sen A = a sen B sen A sen B
Procedendo de modo análogo: — 2— = —sen A sen C
Podemos escrever, então: — —̂ = — Í2— = — Ç—
sen A sen B sen C
c) Seja o triângulo ABC, retângulo.Temos:
sen B
sen C = — 
a
a c b
Por outro lado, sen A = sen 90° = 1 e
a = 
a =
b
sen B 
c
sen C
b
sen B
a _ b a _ b _ c
1 sen B sen A sen B sen C
Como pudemos perceber nos três casos, em qualquer triângulo ABC temos:
a _ b _ c 
sen A sen B sen C
No triângulo ABC da figura, vamos calcular BC e AB.
C = 180° - (45° + 30°) = 105° => sen C = sen 105° = sen 75° = 0,9659
384 MATFMATICA- nFN C IA F APIICAÇnFS
C
sen C
Escrevemos:
6 __ BC = AB => _ 6 _ = BC = AB =>
sen 30° sen 45° sen 105° 0,5 0,7071 0,9659
=> BC = 8,4852 e AB = 11,5908
E x e m p lo 2
Na figura, sendo x a medida do lado ÊF do triângulo, D 
podemos determinar os outros dois lados em função de 
x; basta utilizar a lei dos senos.
Assim: x
X DE DF _ 50°sen 60° sen 50° ' sen 70°
Jl O m II X
sen 50° 
sen 60°. - e DF = x • sen 60 ,
F
FDE = 180°- (70'
0,3845 I.0S50
G O G Q G O O O O Q
Consulte a tabela quando necessário.1 Num triângulo ABC são dados B = 60°, C = 45° e AB = 8 cm. Determine o comprimento de A C .
2
3
4
Resolva o triângulo ABC, retângulo em A, com hipotenusa de medida 5 cm e ângulo B de 35o-
Determine a medida do ângulo x.
av2 x a
45'/No triângulo ABC da figura, determine as medidas de AB e BC.B
A , 14° 140'
12 C
ktSCUUÇÃÜ 0£ TRlAKCiUinS
5 Encontre os ângulos B e C de um triângulo ARC em que A = 15°, 
'3 2sen B - — e sen C = v~ . Em seguida, determine a medida do ladoAB, sendo AC = 3 cm.
6 Calcule o perímetro do quadrilátero ABCD abaixo.
D
7 (Mauá-SP) Num triângulo ABC, temos AC = 3 m, BC = 4 m e a = BAC.a) Se AB = 3 m. calcule cos a.b) Noutra hipótese, sendo 3 = 6ü", calcule sen u.
C
3 m 4 m
O Lei dos eossenos ou teorema dos eossenos
Em todo triângulo, o quadrado de qualquer um dos lados é igual 
à soma dos quadrados dos outros dois, diminuída do dobro do pro­
duto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado.
Demonstração:
a) Seja o triângulo ABC, acutângulo, e CH = h a altura relativa ao lado AB.
Mas m = b cos A.
Assim: a2 = b + c2 - 2bc cos A 
Analogamente, podemos escrever: 
b = a; + c2 - 2ac cos B
A BCH: a2 = h2 + (c - m)2l =>
A ACH: h2 = b2 - nv J
=> a2 = b2 - rrv + c2 - 2cm + nv =>
=> a2 = b2 + c2 - 2cm
e c2 = a2 + b ' - 2ab cos C
M M tM A U C A : l'IFN D A E APU C a ÇÚLS