Matematicas Simplificadas-174

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CAPÍTULO 11
 ÁLGEBRA • Números complejos
495
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
El denominador de cada término es el mismo, entonces se tiene que: 
1
z
 = 
a bi
a b
−
+2 2 
Pero z = a − bi y z
2
 = a2 + b2, entonces se obtiene:
1
z
= 
z
z
2
1 Si z = 2 + 3i y w = − 1 + i, determina 
z w
z w
+
⋅
.
Solución
Se aplican las propiedades de los complejos:
z w+ = z w+ = (2 − 3i) + (− 1 − i) = (2 − 1) + (− 3 − 1)i = 1 − 4i
z w• = z w• = (2 − 3i)(− 1 − i) = − 5 + i
Luego, 
z w
z w
+
⋅
 = 
1 4
5
9
26
19
26
−
− +
= − +i
i
i
2 Si z = − 4 + i y w = − 2 + 5i, determina 
z z
w w z z
•
+( ) −( )
Solución
Se aplican las propiedades de los complejos y se obtiene:
z z
w w z z
•
+( ) −( ) = 
z
w z
2
2 2Re Im( )⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ − ( )⎡⎣ ⎤⎦
Se sustituyen el valor absoluto de z, el número real de w y el número imaginario de z:
z
w z
2
2 2Re Im( )⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ − ( )⎡⎣ ⎤⎦
 = 
−( ) + ( )
−( )⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ − ( )⎡⎣ ⎤⎦
4 1
2 2 2
2 2
i
 = 
17
4 2−( ) −( )i = 
17
8i
Se realiza la división:
17
8i
 = 
17
8
1⋅
i
Pero 
1
0 1
2 2 2i
i
i
i
i= = −
( ) + ( )
= − , entonces se obtiene::
= 
17
8
−( )i = − 17
8
i
 11 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
496
EJERCICIO 119
Encuentra el valor absoluto o módulo de los siguientes números complejos:
 1. 2 + 3i 4. 3i 7. 
1
2
2+ i 10. 
2
3
5,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 2. 5 − 4i 5. 1 − 2i 8. 2 3,( ) 11. 
4
3
 − 2i
 3. 4 − 5i 6. 6 − 7i 9. 2 0,( ) 12. 2 3− i
Determina el conjugado de los siguientes números complejos:
 13. 5 + 4i 16. 5i 19. 0 3,−( ) 22. − −( )1 1,
 14. −( )5 0, 17. 
1
2
i 20. − −3
7
2
5
i 23. − +2
11
4
i
 15. 1 + i 18. 2 1,( ) 21. − 2 + 6i 24. −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2
1
3
,
Sean los números complejos z = 2i + 1, z1 = 4 − 2i y z2 = (5,1) demuestra que:
 25. z z+ 1 ≤ z z+ 1 28. z z z1 2+( )( ) = z z z1 2+ ⋅
 26. z z⋅ 1 = z z⋅ 1 29. z z z⋅ ⋅1 2 = z z z⋅ ⋅1 2
 27. z z z1 2+ + ≤ z z z1 2+ + 30. z z z z1 2 2⋅ + ⋅ ≤ z z z2 1 +( )
Nota: Estas demostraciones no se incluyen en las soluciones.
Sean los complejos z = 2 − 3i, w = 1 + i y v = 2 − i, determina:
 31. z w+ 36. z z w w⋅( ) − ⋅( ) 41. 
z w
z w
⋅
+
 32. w v z w+ − − 37. v v z w−( ) +( ) 42. 
v
v
2
 33. z v⋅ 38. z w w v−( ) −( ) 43. 
v w
v w
+
+ 2
 34. w v z v⋅ − ⋅ 39. 
z w
w v
+
+
 44. 
v v
w w z z
⋅
−( ) −( )
 35. w w v v−( ) −( ) 40. 
v v
z z
⋅
−
 45. 
w z v w
z z v v
+ − +
⋅( ) − ⋅( )
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
 CAPÍTULO 12
 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
En la reseña del capítulo 2 se mencionó a 
al-Khwarizmi y su método geométrico para 
resolver ecuaciones de segundo grado, 
que se conoce como método de completar el 
cuadrado y consiste en lo siguiente:
Ejemplo
Sea la ecuación x 2 + 4x = 45
⁄ Se comienza por construir un cuadrado de lado x, ABCD, cuya área 
será x 2.
⁄ Se prolonga el lado AB y AD en 2 unidades, resultan 2 rectángulos; 
la suma de dichas áreas es 2x + 2x = 4x, que da como resultado el 
segundo término de la ecuación.
⁄ La fi gura se completa con un cuadrado de 2 unidades por lado, cuya 
área es 2 ⋅ 2 = 4 unidades cuadradas.
⁄ El área total del cuadrado es x 2 + 4x + 4.
⁄ Se suman 4 unidades cuadradas en ambos términos y se resuelve la 
ecuación.
 x 2 + 4x = 45
 x 2 + 4x + 4 = 45 + 4
 (x + 2)2 = 49
Por tanto, una solución es x = 5.
Re
se
ña
HISTÓRICA
x
2
 x2
x 2
2x
2x
 4
D C
BA
 Área = x 2 + 2x + 2x + 4
 = x 2 + 4x + 4