Matematicas Simplificadas-287

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14 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
834
Determina el cos 75° y expresa 75° como una suma de ángulos notables.
Solución
El ángulo de 75°, como la suma de ángulos notables, es 75° = 30° + 45°
Entonces,
cos 75° = cos (30° + 45°)
Se emplea la identidad cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b
cos (75°) = cos (30°+ 45°) = (cos 30°)(cos 45°) – (sen 30°)(sen 45°)
Al sustituir el valor de cada función trigonométrica, se determina que:
cos 75° = 
3
2
2
2
1
2
2
2
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⋅
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = 
6
4
2
4
− = 
6 2
4
−
Por tanto, cos 75° = 
6 2
4
−
Determina tan 15° y expresa 15° como una diferencia de ángulos notables.
Solución
El ángulo de 15° se expresa como 60° – 45°, entonces:
tan (15°) = tan (60°– 45°)
Se emplea la identidad tan (a – b) = 
tan
tan tan
α β
α β
−
+ ⋅
tan
1
 en la que se sustituyen los valores de los ángulos a = 60° y 
b = 45°,
tan (15°) = tan (60°– 45°) = 
tan tan
tan tan
60 45
1 60 45
° − °
+ ° ⋅ °
Se sustituyen los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables: 
tan (15°) = tan (60°– 45°) = 
3 1
1 3 1
−
+ ( )( )
 = 
3 1
3 1
−
+
Al racionalizar el denominador, se obtiene:
tan 15° = 2 – 3
Calcula las funciones trigonométricas básicas de (a + b) si sabes que sen a = 
3
5
 para 
π
2
 ≤ a ≤ p y tan b = 
5
12
 para 
p ≤ b ≤ 3
2
π
.
Solución
Se obtienen las funciones de los ángulos a y b, con el teorema de Pitágoras y se respetan los signos de las funciones 
en los cuadrantes indicados.
 Para sen a, el segundo cuadrante Para tan b, el tercer cuadrante
 
3
Y
X 
 5 
 – 4 
 a
 
Y 
X 
13 
– 12 
– 5 
 b
Funciones del ángulo a: sen a =
3
5
, cos a = − 4
5
 y tan a = − 3
4
 
Funciones del ángulo b: sen b = − 5
13
, cos b = − 12
13
 y tan b = 
5
12
22
33
1
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
 CAPÍTULO 14
 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
835
Por consiguiente, estos valores se sustituyen en las identidades de sumas de ángulos. 
sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a) = 
3
5
12
13
5
13
4
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 = − + = −36
65
20
65
16
65
cos (a + b) = (cos a)(cos b) – (sen a)(sen b) = −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
4
5
12
13
3
5
5
13
 =
48
65
15
65
63
65
+ =
 tan (a + b) = tan tan
tan tan
α β
α β
+
− ⋅1
 = 
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
− −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
4
5
12
1
3
4
5
12
=
−
= −
4
12
63
48
16
63
Por tanto, los resultados son:
sen (a + b) = − 16
65
, cos (a + b) = 
63
65
 y tan (a + b) = − 16
63
Demuestra la siguiente identidad:
arc tan 
2
1
t
t −
 – arc ctg t = arc sen 
1
1t +Solución
Sean u = arc tan 
2
1
t
t −
 y a = arc ctg t , entonces u – a = arc sen 
1
1t +
 que es la identidad a demostrar donde
tan u = 
2
1
t
t −
 y ctg a = t
Se construyen los triángulos respectivamente,
Para el ángulo u 
Para el ángulo a
 
 
Por el teorema de Pitágoras 
 
h2 = ( 2 t )2 + (t – 1)2 
h = 4t + t 2 − 2t +1 
h = t 2 + 2t +1 
h = t +1( )2
 = t + 1 
 
2 t 
 
t – 1 
h = t + 1 
 
u 
 
 
Por el teorema de Pitágoras 
 
h2 = ( t )2 + (1)2 
 
h = t +1 1 
 
t 
h = t +1 
a 
Se realiza la demostración aplicando seno a (u – a)
sen (u – a) = sen u cos a – sen a cos u
Pero sen u =
2
1
t
t +
, cos u =
t
t
−
+
1
1
, cos a = 
t
t +1
 y sen a =
1
1t +
, entonces
sen (u – a) =
2
1
t
t +
⋅ t
t +1
 – 
1
1t +
⋅ t
t
−
+
1
1 
= 
2 1
1 1
t t
t t
− +
+( ) + 
= 
t
t t
+( )
+( ) +
1
1 1 
= 
1
1t +Donde,
sen (u – a) =
1
1t +
 S u – a = arc sen 
1
1t +
Así queda demostrada la identidad.
44
 14 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
836
Determina los valores de las siguientes funciones trigonométricas y expresa los ángulos como suma o diferencia:
 1. tan 105° 3. csc 15° 5. tan 255° 7. tan 345° 9. csc 255°
 2. cot 75° 4. sec 105° 6. cos 285° 8. sec 165° 10. sen 165°
11. Si cos α = − 4
5
 con 
π α π
2
≤ ≤ y tan β = 2
3
 con 0
2
≤ ≤β π
, halla sen(a + b), cos(a + b) y tan(a + b).
12. Si tan a = 1 con π α π≤ ≤ 3
2
 y sec b = 2 con
3
2
2π β π≤ ≤ , halla sen(a – b), cos(a – b) y tan(a – b).
13. Si sec a = − 3
2
 con π α π≤ ≤ 3
2
 y ctg b = 2 con 0
2
≤ ≤β π
, halla las seis funciones trigonométricas de (a + b) 
y (a – b).
Demuestra las siguientes identidades:
14. sen x sen x sen xπ π−( ) + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
−
2
1 2 2cos x cos x[ ] ≡ −
15. cos x cos x
3
2
π π+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − −( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
−
2 2
sen x cos x
π π+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
≡ 2 sen x
16. cos x sen x co
π π
2
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − +( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− ss x cos x sen xπ π
2
3+( ) + +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
≡ + ccos x
17. 
sen
sec
cos
csc
β π
β
π β3
2 2
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
ββ
1≡
18. tan sen senπ α α π π α 
3
2
 −( ) ⋅ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ −( ) 1 2≡ − cos α
19. sen sen cos cos cosα β α β α β2−[ ] − +( ) + +2 [[ ] ≡2
2
20. 
sec
csc
sen
cos
π ω
π ω
π ω−( )
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ +( )
2
ππ ω
ω 1
+( ) ≡ −tan
21. csc y
cos y
tan y
sen yπ
π
π
−( ) +
+( )
+( ) ≡
22. 
csc x
cos x
tan x
π
π
π2
2
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− −(( ) ≡ ⋅ +( )
sen x
sec x csc x 1
23. sen x cos x 2 
2
 
2
+( ) + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+π π 44 2
2
 
 4 
cos x
csc x
−( )
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≡
π
π
24. 
sen sen
cos
α β γ α β γ
α β γ
+ +( ) + − −( )
+ +( ) + cos
tan
α β γ
α
− −( ) ≡
 EJERCICIO 44