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x
O A
a
y
P
P'
a 2 π
cos a 5 2cos (a 2 p)
x
O A
a
a 2 π
y t
P'
P
tan a 5 tan (a 2 p)
3o caso: a está no 4o quadrante p p


, a ,
3
2
2 
O ponto P' é o simétrico de P em relação ao eixo x.
O A
a
y
x
P
P'
2π 2 a
sen a 5 2sen (2p 2 a)
x
O A
a
2π2a
y
P
P'
cos a 5 cos (2p 2 a)
x
O A
a 2π2a
y t
P'
P
tan a 5 2tan (2p 2 a)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 FIQUE ATENTO!
Vamos considerar os arcos com medida angular em 
graus para facilitar a compreensão inicial do proces-
so. Lembre-se de que é perfeitamente adequado o 
uso de graus para se referir às medidas de abertura 
de ângulos e às medidas angulares de arcos no cír-
culo trigonométrico.
O melhor procedimento é evitar as fórmulas e, em 
cada caso particular, fazer a construção que fizemos 
anteriormente.
1. Determine os valores dados em cada item.
a) sen 120°, cos 120° e tan 120°.
b) sen 240°, cos 240° e tan 240°.
c) sen 315°, cos 315° e tan 315°.
Resolução
a) 180° 2 120° 5 60°
 sen 120° 5 sen 60° 5 
3
2
 cos 120° 5 2cos 60° 5 2
1
2
x
O
A180°
120°
60°
90°
270°
0°
y
P
x
O
A180°
120°
60°
90°
270°
y
P
t
 tan 120° 5 2tan 60° 5 2 3
b) 240° 2 180° 5 60°
xA
P
180°
240°
60°
90°
270°
y
O
 sen 240° 5 2sen 60° 5 2
3
2
 cos 240° 5 2cos 60° 5 2
1
2
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
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n
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rq
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iv
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 d
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Il
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: 
B
a
n
c
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e
 
im
a
g
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n
s
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rq
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iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
UNIDADE 6 ¥ TRIGONOMETRIA410
Contexto e Aplicacoes Matematica_U6_C13_395a423.indd 410 8/22/18 2:32 PM
x
O
P
A180°
240°
60°
√3
90°
270°
y t
 tan 240° 5 tan 60° 5 3
c) 360° 2 315° 5 45°
xA
P
180°
45°
90°
270°
315°
360°
y
O
 sen 315° 5 2sen 45° 5 2
2
2
 cos 315° 5 cos 45° 5 
2
2
xA
P
180°
45°
90°
270°
315°
y t
O
 tan 315° 5 2tan 45° 5 21
2. Agora, com as aberturas dos ângulos medidas 
em radianos, determine os valores dados em ca-
da item.
a) sen
4
3
,cos
4
3
e tan
4
3
p p p
.
b) sen
5
6
,cos
5
6
e tan
5
6
p p p
.
Resolução 
a) 2 5
2
5
4
3
4 3
3 3
p
p
p p p
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
 52 52sen
4
3
sen
3
3
2
p p
 52 52cos
4
3
cos
3
1
2
p p
 5 5tan
4
3
tan
3
3
p p
x
y
t
π
3
4π
3 P
3π
2
2π
π
2
Aπ
O
b) 2 5
2
5
5
6
6 5
6 6
p
p p p p
 5 5sen
5
6
sen
6
1
2
p p
 5 5cos
5
6
cos
6
3
2
p p
 52 52tan
5
6
tan
6
3
3
p p
x
y t
π
6
5π
6
3π
2
2πO
π
2
P
π
3. Determine o valor de x em cada item, conside-
rando 0 < x , 2p.
a) sen x 5 2
1
2
b) sen x 5 sen 
7
9
p
Resolução
a) Sabemos que 5sen
6
1
2
p
. Então, fazendo as 
simetrias necessárias, descobrimos os possí-
veis valores de x, que são 
7
6
e
11
6
p p
.
 PARA REFLETIR: 
5 1
4
3 3
p
p
p
 PARA REFLETIR: 
5 2
5
6 6
p
p
p
CAPêTULO 13 • CONCEITOS TRIGONOMÉTRICOS BÁSICOS 411
Contexto e Aplicacoes Matematica_U6_C13_395a423.indd 411 8/22/18 2:32 PM
y
x
O
1
2
1
2
2
7π
6
(210°) 11π
6
(330°)
π
6
(30°)
b) Um dos valores de x é o próprio 
7
9
p
 (140°). O 
outro é 
2
9
p
 (40°), descoberto ao se fazer a si-
metria em relação ao eixo y. Logo, 
 5 5x
7
9
ou x
2
9
p p
.
y
x
O
7π
9
(140°) 40°
2π
9
] [ 
4. Simplifique cada expressão.
a) cos (90° 1 x)
b) sen (270° 2 x)
Resolução
a) No capítulo 11, vimos que, para ângulos com-
plementares, como os de medida de abertura 
90°  2 x e x, temos sen (90° 2 x) 5 cos x e 
cos (90° 2 x) 5 sen x. Vamos considerar, sem 
perda de generalidade, que 0 , x , 
2
p
; portan-
to, 90° 1 x pertence ao 2o quadrante:
 180° 2 (90° 1 x) 5 90° 2 x
 cos (90° 1 x) 5 2cos (90° 2 x) ⇒
 ⇒ cos (90° 1 x) 5 2sen x
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
y
x
O
90° 1 x 90° 2 x
b) 270° 2 x pertence ao 3o quadrante:
 (270° 2 x) 2 180° 5 90° 2 x
 sen (270° 2 x) 5 2sen (90° 2 x) ⇒
 ⇒ sen (270° 2 x) 5 2cos x
y
x
O
270° 2 x
90° 2 x
5. Determine os valores de sen x e tan x sabendo 
que p , x , 
3
2
p
 e cos x 5 2
1
3
.
Resolução
Aplicando a relação fundamental, obtemos:
sen2 x 1 cos2 x 5 1 ⇒ sen2 x 1 




1
3
2
2 5 1 ⇒
⇒ sen2 5 1 2 
1
9
 ⇒ sen2 x 5 
8
9
 ⇒
⇒ sen2 x 5 ±
8
9
 ⇒ sen x 5 ±
2 2
3
Como p , x , 
3
2
p
, temos sen x 5 2
2 2
3
.
Aplicando a definição de tangente, obtemos:
5 5
2
2
5tan x
sen x
cos x
2 2
3
1
3
2 2
EXERCêCIOS
15. Em qual quadrante temos simultaneamente:
a) sen a , 0 e cos a , 0? 
b) sen a . 0 e cos a . 0? 
c) sen a , 0 e cos a . 0? 
d) tan a , 0 e cos a . 0? 
e) sen a . 0 e tan a . 0? 
16. A qual quadrante pode pertencer a se:
a) a 52sen
1
4
? d) a 5sen
5
3
?
b) a 52cos
3
3
? e) tan a 5 23? 
c) a 5cos
2
5
?
UNIDADE 6 ¥ TRIGONOMETRIA412
Contexto e Aplicacoes Matematica_U6_C13_395a423.indd 412 8/22/18 2:32 PM