Matematicas Simplificadas-457

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3 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1344
Integrales de la forma: senmv dv , cosn v dv , con m y n impar
En aquellas integrales cuya función seno o coseno sea una potencia impar, se realiza la separación en potencias pares 
y siempre sobra una lineal, la cual funcionará como diferencial; el resto se transforma mediante las siguientes iden-
tidades trigonométricas:
sen2 21x xcos cos2 21x xsen
Determina el resultado de sen3x dx 
Solución
Se separa la potencia de la siguiente manera:
sen sen sen3 2x dx x x dx
Se sustituye sen2 21x xcos , de esta forma: 
v cos x, dv sen x dx, dv sen x dx
 sen sen sen3 2x dx x x dx ( ) sen1 2cos x x dx ( )( )1 2v dv dv v dv2
 v v C
1
3
3
 cos cosx x C
1
3
3
 
1
3
3cos cosx x C
Por consiguiente, sen3 31
3
x dx x x Ccos cos 
Precisa el resultado de 
cos3
4
x dx
xsen
 
Solución
cos cos cos3
4
2
4
x dx
x
x x dx
xsen sen
 
( )cos1 2
4
sen
sen
x x dx
x
 
Se realiza el cambio de variable, v sen x y dv cos x dx,
1 2
4 4 2
v dv
v
dv
v
dv
v
 v dv v dv4 2 
v v3 1
3 1
 
1
3
1
3v v
C
Pero v sen x, entonces,
1 1
3
1
33
3
sen sen
 
x x
C x x Ccsc csc 
Finalmente, 
cos
csc csc
3
4
31
3
x dx
x
x x C
sen
 
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
1
2
 CAPÍTULO 3
 CÁLCULO INTEGRAL Integrales de diferenciales trigonométricas
1345
Encuentra el resultado de 
sen5y dy
ycos
 
Solución
sen sen sen sen sen5 4 2 2y
y
dy
y y dy
y
y y d
cos cos
( ) yy
ycos
Se sustituye sen2 21y ycos en la integral:
( cos )
cos
1 2 2y y dy
y
sen
se realiza el cambio de variable, v cos y, dv sen y dy, dv sen y dy 
 
1 1 22 2 2 4v dv
v
v v dv
v
 
dv
v
v dv v dv2
3
2
7
2
 2
4
5
2
9
5
2
9
2v v v C
Al factorizar 2 v de la expresión se obtiene:
2 1
2
5
1
9
2 4v v v C , pero v cos y
Finalmente,
sen5
2 42 1
2
5
1
9
y dy
y
y y y C
cos
cos cos cos
3
Resuelve las siguientes integrales:
 1. sen3 4 4x x dxcos 9. cos3
3
x
dx
 2. cos5 3 3x x dxsen 10. sen5x dx
 3. sen3ax dx 11. sen5ax dx
 4. sen35x dx 12. sen5 4x dx
 5. sen3
4
x
dx 13. sen5
2
x
dx
 6. cos3 x dx 14. cos5 y dy
 7. cos3 ax dx 15. cos5 bx dx
 8. cos3 6x dx 16. cos5
3
x
dx
EJERCICIO 8
 3 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1346
17. sen7 d 21. sen3 54 4x x dxcos
18. sen7 3x dx 22. cos3 5x x dxsen
19. cos7 y dy 23. 
cos5 2
2
x
x
dx
sen
20. cos7 4x dx
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Integrales de la forma: tann v dv , cotnv dv con n par o impar
En este tipo de integrales se separan potencias pares y se sustituye por la identidad trigonométrica respectiva:
tan sec2 2 1x x cot2 2 1x xcsc
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
1
2
Encuentra el resultado de tan3 x dx 
Solución
Se realiza la separación de la potencia: 
tan tan tan3 2x dx x x dx
Se sustituye tan2 2 1x xsec ,
tan tan tanx x dx x x dx x dx(sec ) sec2 21 
Al aplicar v tan x, dv sec2 x dx, para la primera integral, entonces:
tan3 x dx tan tanx x dx x dxsec2 v dv x dx
v
x Ctan
2
2
( ln cos )
 
1
2
2tan x x Cln cos
Obtén el resultado de (sec tan )3 3 2x x dx 
Solución
Se desarrolla el binomio al cuadrado y se obtiene:
(sec sec tan tan )2 23 2 3 3 3x x x x dx
se realiza el cambio tan sec2 2 1x x 
(sec sec tan sec )2 23 2 3 3 3 1x x x x dx
Se simplifican términos semejantes y resulta:
( sec sec tan )2 3 2 3 3 12 x x x dx