Matematicas Simplificadas-290

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CAPÍTULO 14
 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
843
 1. Utiliza las identidades del ángulo mitad para obtener las funciones trigonométricas de los ángulos
π
8
, 
3
8
π , 
5
8
π y 
7
8
π .
 2. Obtén las funciones trigonométricas de (2a) y 
α
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ , si se sabe que csc a = 4 para 
π α π
2
≤ ≤ .
 3. Si se sabe que tan b = 
12
5
, para π β π≤ ≤ 3
2
, halla las funciones trigonométricas de (2b) y 
β
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
 4. Dada la función trigonométrica cos v = 
5
8
 donde
3
2
2π ω π≤ ≤ , encuentra las funciones trigonométricas de
(2v) y 
ω
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
 5. Obtén las funciones trigonométricas de (2a) y 
α
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ si se sabe que: sec a = − 7
2
 para 
π α π
2
≤ ≤ .
 6. Si sen 
α
2
 = 
3 5
6
+
 y 
π α π
2
≤ ≤ , determina sen a, cos a y tan a.
 7. Si cos 2b = 
15
17
 y π β π≤ ≤ 3
2
, encuentra las funciones trigonométricas de b y 
β
2
.
 8. Si sen 
1
4
α = 
10 50 10 5
20
− +
, determina las funciones trigonométricas de a si 0
2
≤ ≤α π
.
 9. Si csc
1
4
β =
6
3 6−
 y 0
2
≤ ≤β π
, halla las funciones trigonométricas de b y 
β
2
.
10. Si ctg 
ω
2
 = – 3 y 
3
2
2π ω π≤ ≤ , halla las funciones trigonométricas de v, 2v y 4v.
Demuestra las siguientes identidades:
11. 
 2 
 1 
 
2
2
+
=
cos
sec
α
α
12. cos x sen x sen x 2 2 1 4−[ ] − = −( )2
13. cos 8x + cos 4x = 2cos 2x – 4sen2 3x � cos 2x
14. sen x sen x sen x cos x 4 6 2 5 + = ⋅( )
15. ctg
sen
cos
 
1 2
 2
π ω ω
ω4
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = +
16. cos sen cos cos8 8 
1
4
 2 3 4β β β β− = ⋅ +( )
17. 2
1
 
4
 
2 
 
sec
sen cos
α π α α
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
+( )
+ 2sen α
18. cos 12° cos 24° cos 48° cos 96° = –
1
16
19. 
2
2
2
3 3cos x sen x
cos x
cos x
sen x− = −
sen x cos x
sen x
+( ) +
 EJERCICIO 45
 14 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
844
20. 
 1 
 1 
 
 1 
2
 
 
2
2
2+
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
sen
tan
tan
ϕ
ϕ
ϕ
 1 
2
 ⋅ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ctg
ϕ 2
21. 2
2 2 2 2
cos
y
sen
y
sen
y
cos
y
cos x co−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⋅ +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= ss x y cos x y+( ) + −( )
22. sen x y sen x sen y cos x y+( ) − = ⋅ +( )2 2
23. 4 
2
 
2
2 2 2csc cos ctg tanβ β β β⋅ = −
24. 3 
2
 
2
 
2
 
2
cos sen cos sen
θ θ θ θ−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⋅ +
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥
= + + 2 1cos senθ θ
25. 1
3
4
26 6 2sen x cos x sen x+ = −
 Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Identidades trigonométricas para transformar un producto en suma o resta 
De las identidades:
 sen (x + y) = (sen x) (cos y) + (sen y) (cos x) se realiza la suma con
 + sen (x – y) = (sen x) (cos y) – (sen y) (cos x) 
 sen (x + y) + sen (x – y) = 2 (sen x)(cos y)
Al despejar,
(sen x) (cos y) = 
1
2
sen x y sen x y+( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦
De forma semejante se obtiene:
 (cos x) (sen y) = 
1
2
sen x y sen x y+( ) − −( )⎡⎣ ⎤⎦
De las identidades: 
 cos (x + y) = (cos x) (cos y) – (sen x) (sen y) se realiza la suma con
 + cos (x – y) = (cos x) (cos y) + (sen x) (sen y) 
 cos (x + y) + cos (x – y) = 2 (cos x)(cos y)
Al despejar, 
(cos x) (cos y) = 
1
2
cos x y cos x y+( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦
De la misma manera se obtiene:
(sen x) (sen y) = − +( ) − −( )⎡⎣ ⎤⎦
1
2
cos x y cos x y
 CAPÍTULO 14
 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
845
Expresa el siguiente producto en forma de suma o resta:
cos (8x) cos (2x)
Solución
Se emplea la identidad (cos x) (cos y) = 
1
2
cos x y cos x y+( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦ y se obtiene:
 cos (8x) cos (2x) = 
1
2
8 2 8 2cos x x cos x x( ) ( )+ + −[ ]
 cos (8x) cos (2x) = 
1
2
10 6cos x cos x( )+ ( )⎡⎣ ⎤⎦
Encuentra el valor del siguiente producto: 
sen cos
3
4 12
π π⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Solución
Se emplea la identidad (sen x) (cos y) = 
1
2
sen x y sen x y+( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦
 
sen cos
3
4 12
π π⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 
1
2
3
4 12
3
4 12
sen sen
π π π π+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
 
sen cos
3
4 12
π π⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 
1
2
9
12
9
12
sen sen
π π π π+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
 
sen cos
3
4 12
π π⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 
1
2
5
6
2
3
sen sen
π π⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Al sustituir el valor de las funciones trigonométricas de ángulos notables:
 
sen cos
3
4 12
π π⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 1
2
1
2
3
2
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = 1
2
1 3
2
+⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = 
1 3
4
+
22
1
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Convierte los siguientes productos en sumas o diferencias de funciones trigonométricas:
 1. sen(a + b) cos(a – b)
 
11. 4 sen(3a) sen(a)
 2. cos(45°) sen(60°)
 
12. 5cos(2a)
 
sen(6a)
 3. sen(y + b) sen(y – b)
 
13. cos(47°) sen(43°)
 4. cos cos
5
12 4
π π⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 
14. cos 2
3
α⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
cos 5
3
β⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 5. sen(82° 309) cos(37° 309)
 
15. 3sen(9a) cos 1
2
α⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 6. sen(37° 309) sen(7° 309)
 
16. sec sec
π π
3 6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 7. cos(x + a) sen(x – a)
 
17. tan 2a ctg a
 8. cos cos
7
12
5
12
π π⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 
18. sec 3
4
π⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
csc π
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 9. sen(187° 309) cos(217° 309) 19. tan(x + a) tan(x – a)
10. cos cos
7
4 12
π π⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 
20. 
sen
sec
2
2
α β
α β
+( )
−( )
 EJERCICIO 46
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