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Universidade Federal da Bahia Escola Politécnica Departamento de Construção e Estruturas AÇÕES VERTICAIS: CARREGAMENTO DE PAVIMENTOS ENG 298 – Estática das Construções Prof. Pós-Dr. Alex Alves Bandeira Professor DE©Copyright 2021: Apostila desenvolvida pelos professores Daniel de Souza Machado, Tatiana Bittencourt Dumêt e Alex Alves Bandeira. ENG 298 Estática das Construções 2/ 66 Uma estrutura convencional é constituída de lajes, vigas e pilares ENG 298 Estática das Construções 3/ 66 Os esforços são transmitidos das lajes para vigas e das vigas para os pilares Carga total incidente na edificação ENG 298 Estática das Construções 4/ 66 DETERMINAÇÃO DE CARREGAMENTO VERTICAL DE UM PAVIMENTO DE EDIFÍCIO ENG 298 Estática das Construções 5/ 66 Descrição do edifício estudado Edifício destinado à salas de escritórios com pé-direito de 2,8m Sala 2Sala 1 Sala 3 Terraço 15 1515 347317 3 9 7 4 0 0 1 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 Mureta (H=100cm) WC WC 15 15151 15115 2 8 2 1 5 1 0 0 Planta de Arquitetura ENG 298 Estática das Construções 6/ 66 L3 h=10 L2 h=10 L4 h=10 L5 h=10 L1 h=8 P1 (20x40) P2 (20x40) P3 (40x20) P5 (40x20) P6 (20x40) P7 (20x40) P4 (20x20) V1(12x60) V2(12x60) V3(12x60) V4(12x60) V5 (1 2x 60 ) V6 (1 2x 60 ) V7 (1 2x 60 ) 12 1212 350320 4 0 0 4 0 0 1 1 8 1 2 1 2 1 2 1 2 B B A A 2 0 3 01 0 1 0 5 0 5 28 5 0 1 0 3 0 2 0 1 0 Planta de forma Voltar para L4 Voltar para V1 ENG 298 Estática das Construções 7/ 66 Dados Pisos L1 e L4, Lajotas cerâmicas, com 1cm de espessura L2, L3 e L5, tabuado em ipê róseo, com 2cm de espessura Camada de regularização Argamassa de cimento e areia, 2,5cm de espessura Forro Argamassa de cal, cimento e areia, com 1 cm de espessura Parede Tijolos maciços com 15cm de espessura Enchimento L4, entulho (peso específico 15kN/m³) ENG 298 Estática das Construções 8/ 66 Carregamento das lajes Atuam nas lajes as ações permentes diretas: PP do concreto armado e materiais de acabamento Ações variáveis normais, decorrentes da utilização de cada ambientes Ações dadas por m² ENG 298 Estática das Construções 9/ 66 Ações permanentes diretas Laje L1 Conforme informações fornecidas 1.0 2.5 8.0 1.0 LAJE FORRO – CAL, CIMENTO E AREIA CAMADA DE REGULARIZAÇÃO – ARG CIMENTO E AREIA PISO DE LAJOTA CERÂMICA Camadas da laje L1 ENG 298 Estática das Construções 10/ 66 1.0 2.5 8.0 1.0 LAJE FORRO – CAL, CIMENTO E AREIA CAMADA DE REGULARIZAÇÃO – ARG CIMENTO E AREIA PISO DE LAJOTA CERÂMICA Peso Próprio da laje: 0,08m x 25kN/m³ = 2kN/m² PP da camada de regularização: 0,025m x 21kN/m³ = 0,525kN/m² PP do piso (lajota cerâmica): 0,01m x 18kN/m³ = 0,18kN/m² PP do forro: 0,01m x 19kN/m³ = 0,19kN/m² Carga total na L1 = 2,895kN/m² Tabela Pesos ENG 298 Estática das Construções 11/ 66 Ações permanentes diretas Laje L2, L3 e L5 Conforme informações fornecidas 2.0 2.5 10.0 1.0 LAJE FORRO – CAL, CIMENTO E AREIA CAMADA DE REGULARIZAÇÃO – ARG CIMENTO E AREIA PISO DE IPÊ RÓSEO ENG 298 Estática das Construções 12/ 66 2.0 2.5 10.0 1.0 LAJE FORRO – CAL, CIMENTO E AREIA CAMADA DE REGULARIZAÇÃO – ARG CIMENTO E AREIA PISO DE IPÊ RÓSEO Peso Próprio da laje: 0,1m x 25kN/m³ = 2,5kN/m² PP da camada de regularização: 0,025m x 21kN/m³ = 0,525kN/m² PP do piso (ipê róseo): 0,02m x 10kN/m³ = 0,2kN/m² PP do forro: 0,01m x 19kN/m³ = 0,19kN/m² Carga total nas lajes L3, L3 e L5 = 3,415kN/m² Tabela Pesos ENG 298 Estática das Construções 13/ 66 Ações permanentes diretas Laje L4 Conforme informações fornecidas 1.0 2.5 10.0 1.0 LAJE L4 FORRO – CAL, CIMENTO E AREIA CAMADA DE REGULARIZAÇÃO – ARG CIMENTO E AREIA PISO DE LAJOTA CERÂMICA ENCHIMENTO 20.0 ALVENARIA V6 Planta Formas L4 ENG 298 Estática das Construções 14/ 66 1.0 2.5 10.0 1.0 LAJE L4 FORRO – CAL, CIMENTO E AREIA CAMADA DE REGULARIZAÇÃO – ARG CIMENTO E AREIA PISO DE LAJOTA CERÂMICA ENCHIMENTO 20.0 ALVENARIA V6 Laje L4 Tabela Pesos Peso Próprio da laje: 0,1m x 25kN/m³ = 2,5kN/m² PP da camada de regularização: 0,025m x 21kN/m³ = 0,525kN/m² PP do piso (lajota cerâmica): 0,01m x 18kN/m³ = 0,18kN/m² PP do forro: 0,01m x 19kN/m³ = 0,19kN/m² Enchimento: 0,20m x 15kN/m³ = 3,0kN/m² ENG 298 Estática das Construções 15/ 66 1.0 2.5 10.0 1.0 LAJE L4 FORRO – CAL, CIMENTO E AREIA CAMADA DE REGULARIZAÇÃO – ARG CIMENTO E AREIA PISO DE LAJOTA CERÂMICA ENCHIMENTO 20.0 ALVENARIA V6 Planta Formas L4 (3,17m+2,82m) x (2,80m – 0,10m) x 2,5kN/m² = 2,96kN/m² 3,32m x 4,12m Vão teórico: Lx = 3,2+(2x0,06) = 3,32m Ly = 4+(2x0,06)=4,12m Comprimento das paredes sobre a laje É a altura da parede descontando lajes Peso por unidade de área Área da laje Carga total na laje L4 = 9,355kN/m² Carga total na laje L4 = (2,5+0,525+0,18+0,19+3,0+2,96) kN/m² ENG 298 Estática das Construções 16/ 66 Ações variáveis normais nas lajes Destinação: escritórios Ação a ser considerada = 2,0kN/m², segundo a NBR 6120 Tabela ações variáveis Ações verticais totais Cálculo de lajes nervuradas ENG 298 Estática das Construções 17/ 66 ENG 298 Estática das Construções 18/ 66 4 0 0 700 Forro do teto Vista inferior da laje Bl oc os 4 12 Detalhes das nervuras 12 36 12 48 Peso Próprio da mesa: 0,04m x 25kN/m³ x 1m = 1,0kN/m² Peso Próprio das nervuras: 0,12m x 0,12m x 25kN/m³ x 1m x (100/48) = 0,75kN/m² Peso Próprio do enchimento com isopor: (Considerar γisopor=0,4kN/m³) 0,12m x 0,36m x 0,4kN/m³ x 1m x (100/48) = 0,036kN/m² Total: 1,0+0,75+0,036=1,786kN/m² ENG 298 Estática das Construções 19/ 66 Carregamento nas vigas Ações atuantes: Peso próprio Paredes que se apoiam diretamente sobre as vigas Reações de apoio das lajes Reações de apoio das lajes maciças Permite-se calcular as reações de apoio das lajes retangulares maciças considerando-se o método das charneiras plásticas. ENG 298 Estática das Construções 20/ 66 Reações de apoio das lajes maciças Para calcular as reações de apoio das lajes retangulares, considera-se, em cada apoio, a ação correpondente aos triângulos ou trapézios obtidos traçando- se retas inclinadas a partir dos vértices. ENG 298 Estática das Construções 21/ 66 Reações de apoio das lajes maciças ENG 298 Estática das Construções 22/ 66 Configuração de ruína composta vigas-lajes (PARK & GAMBLE, 1980) ENG 298 Estática das Construções 23/ 66 Reações de apoio das lajes Na prática, 45 graus para mesmo tipo de apoio Engaste En ga st e 45o 45o ENG 298 Estática das Construções 24/ 66 Reações de apoio das lajes Na prática, 45 graus para mesmo tipo de apoio Apoiada Ap oi ad a 45o 45o ENG 298 Estática das Construções 25/ 66 Reações de apoio das lajes Em geral, pode-se adotar 30/60 graus para condições de contorno diferentes. Engastada Ap oi ad a 60o 30o Engastada Ap oi ad a 26/ 66 Algumas configurações ENG 298 Estática das Construções 27/ 66 Algumas configurações (1/8) Engastada Ap oi ad a 60o 30o Engastada Ap oi ad a 60o 30o 30o 30o 60o60o ENG 298 Estática das Construções 28/ 66 Algumas configurações (2/8) Engastada En ga st ad a 45o 45o Engastada Ap oi ad a 60o 45o 30o 30o 60o45o ENG 298 Estática das Construções 29/ 66 Algumas configurações (3/8) Engastada En ga st ad a 45o 45o Apoiada Ap oi ad a 60o 60o 30o 45o 45o30o ENG 298 Estática das Construções 30/ 66 Algumas configurações (4/8)Apoiada En ga st ad a 30o 60o Apoiada Ap oi ad a 45o 60o 45o 45o 45o30o ENG 298 Estática das Construções 31/ 66 Algumas configurações (5/8) Engastada Ap oi ad a 60o 30o Apoiada Ap oi ad a 60o 45o 30o 45o 45o45o ENG 298 Estática das Construções 32/ 66 Algumas configurações (6/8) Apoiada Ap oi ad a 45o 45o Apoiada Ap oi ad a 45o 45o 45o 45o 45o45o ENG 298 Estática das Construções 33/ 66 Algumas configurações (7/8) Engastada En ga st ad a 45o 45o Engastada En ga st ad a 45o 45o 45o 45o 45o45o ENG 298 Estática das Construções 34/ 66 Algumas configurações (8/8) Engastada En ga st ad a 45o 45o Engastada Bo rd a liv re 45o 90o 45o ENG 298 Estática das Construções 35/ 66 Lei dos senos 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = ℎ 𝑙 ; ℎ = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛽 ; 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = ℎ 𝑙 ; Considerando o triângulo : Considerando o triângulo : ℎ = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ; Igualando as expressões: 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ; 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛽 . 𝛼𝛽 𝑙 ℎ 𝑙 𝑙 T T 𝛾 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛾 . Utilizando outro par de lados para demonstração, se chega nas relações: ENG 298 Estática das Construções 36/ 66 𝛼 90 − 𝛼 𝛽 90 − 𝛽 90 − 𝜃 𝜃 𝛾 90 − 𝛾 𝑙 ℎ ℎ 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 ℎ ℎ 𝑏 𝑙 Cálculo de áreas ENG 298 Estática das Construções 37/ 66 𝛼 90 − 𝛼 𝛽 90 − 𝛽 90 − 𝜃 𝜃 𝛾 90 − 𝛾 𝑙 ℎ ℎ 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 ℎ ℎ 𝑏 𝑙 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 180 − 𝛼 − 𝛽 ; Pela lei dos senos: 𝑙 = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 180 − 𝛼 − 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛽 ; Pela lei dos senos: ℎ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 90 ; ℎ = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ; ℎ = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 180 − 𝛼 − 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ; 𝐴 = 𝑙 ℎ 2 ; 𝐴 = 𝑙 2𝑠𝑒𝑛 180 − 𝛼 − 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛼 . Cálculo de ENG 298 Estática das Construções 38/ 66 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝛾 = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 180 − 𝜃 − 𝛾 ; Pela lei dos senos: 𝑙 = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 180 − 𝜃 − 𝛾 𝑠𝑒𝑛 𝛾 ; Pela lei dos senos: ℎ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 90 ; ℎ = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ; ℎ = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 180 − 𝜃 − 𝛾 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ; 𝐴 = 𝑙 ℎ 2 ; 𝐴 = 𝑙 2𝑠𝑒𝑛 180 − 𝜃 − 𝛾 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑠𝑒𝑛 𝜃 . Cálculo de 𝛼 90 − 𝛼 𝛽 90 − 𝛽 90 − 𝜃 𝜃 𝛾 90 − 𝛾 𝑙 ℎ ℎ 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 ℎ ℎ 𝑏 𝑙 ENG 298 Estática das Construções 39/ 66 Cálculo de e ℎ 𝑠𝑒𝑛 90 − 𝛼 = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 90 ; Pela lei dos senos: ℎ = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 90 − 𝛼 ; 𝑏 = 𝑙 − ℎ − ℎ ; 𝐴 = 𝑙 + 𝑏 ℎ 2 ; 𝐴 = 2𝑙 − ℎ − ℎ 𝑙 𝑠𝑒𝑛 90 − 𝛼 2 ; 𝐴 = 𝐴 − 𝐴 − 𝐴 − 𝐴 ; 𝐴 = 𝐿 𝐿 − 𝐴 − 𝐴 − 𝐴 . 𝛼 90 − 𝛼 𝛽 90 − 𝛽 90 − 𝜃 𝜃 𝛾 90 − 𝛾 𝑙 ℎ ℎ 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 ℎ ℎ 𝑏 𝑙 ENG 298 Estática das Construções 40/ 66 Cálculo de reações na laje As reações serão dadas pela equação: 𝛼 90 − 𝛼 𝛽 90 − 𝛽 90 − 𝜃 𝜃 𝛾 90 − 𝛾 𝑙 ℎ ℎ 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 ℎ ℎ 𝑏 𝑙 Sendo: Área analisada; P Carga de pressão atuando na laje; comprimento do lado da laje sendo analisado. ENG 298 Estática das Construções 41/ 66 Engastada En ga st ad a 45o Ap oi ad a 60o 60o45o Exemplo Engastada 87263150 500 3 0 0 1 5 0 1 5 0 A1 A2 A3 A4 ENG 298 Estática das Construções 42/ 66 Engastada En ga st ad a 45o Ap oi ad a 60o 60o45o Engastada 87263150 500 3 0 0 1 5 0 1 5 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A1=A2=(5+2,63)x1,5/2=5,72m² A3=(3x1,5) /2=2,25m² A4=(3x0,87) /2=1,305m² R1=R2=5,72m² x 6kN/m² / 5m = 6,87kN/m R3=2,25m² x 6kN/m² / 3m = 4,5kN/m R4=1,305m² x 6kN/m² / 3m = 2,61kN/m R = A x p / l Reações das lajes nas vigas ENG 298 Estática das Construções 43/ 66 Viga 6,87kN/m 4,5kN/m 2,61kN/m Viga Viga R1 = R2 R3 R4 Como determinar as condições de apoio das lajes? ENG 298 Estática das Construções 44/ 66 ENG 298 Estática das Construções 45/ 66 Reações de apoio das lajes Na prática – Lajes engastadas L2L1 L1 < L2 qL2qL1 EIV2 > EIV1 V1 V2qv2 > qv1 ENG 298 Estática das Construções 46/ 66 Reações de apoio das lajes Lajes apoiadas (ex.: tampa de reservatório, elementos pré-moldados) L2L1 L1 = L2 qL2qL1 V1 V2 qv2 = qv1 ENG 298 Estática das Construções 47/ 66 Reações de apoio das lajes Espessuras diferentes das lajes adjacentes L2L1 L1 < L2 qL2qL1 V1 V2 qv1 < qv2 h1 h2 h1 < h2 EIV1<EIV2 ENG 298 Estática das Construções 48/ 66 Determinação das condições de contorno VERIFICAÇÃO DA CONDIÇÃO DE ENGASTAMENTO DA LAJE L1 VERIFICAÇÃO DA CONDIÇÃO DE ENGASTAMENTO DA LAJE L2 ENG 298 Estática das Construções 49/ 66 Níveis de engastamento ENG 298 Estática das Construções 50/ 66 Exemplo L1 L2 L3 H G F E D B C A B QUAIS VERIFICAÇÕES DEVEM SER FEITAS PARA DEFINIR AS CONDIÇÕES DE CONTORNO DE CADA LAJE ABAIXO? Classificação das lajes As lajes maciças podem ser classificadas em: ENG 298 Estática das Construções 51/ 66 a = menor vão b = maior vão a b • Armadas em cruz: l > 0,5 • Laje corredor: l < 0,5 • l = a/b b a • Armadas em cruz • Corredor Tabelas de Kalmanok Permite avaliar de forma rápida a distribuição do carregamento por metro linear nas vigas, utilizando o conceito de grau de engastamento. ENG 298 Estática das Construções 52/ 66 •l = a/b a = menor vão b = maior vão ENG 298 Estática das Construções 53/ 66 ENG 298 Estática das Construções 54/ 66 ENG 298 Estática das Construções 55/ 66 Determinar o carregamento nas vigas para a laje cuja ação incidente é 5kN/m² Apoiada En ga st ad a Engastada Ap oi ad a 470 280 ENG 298 Estática das Construções 56/ 66 Determinar o carregamento nas vigas para a laje cuja ação incidente é 5,5kN/m² 1200 500 Peso próprio das vigas ENG 298 Estática das Construções 57/ 66 Para encontrar o pp da viga por metro linear, deve-se apenas multiplicar a área da seção pelo peso específico do concreto 15 60 g concreto = 25kN/m³ 25kN/m³ x 0,15m x 0,60m = 2,25kN/m ENG 298 Estática das Construções 58/ 66 Determinar o Peso próprio da viga pré- moldada abaixo. 40 g Concreto armado = 25kN/m³ 15 15 45 15 15 20 Peso próprio de paredes ENG 298 Estática das Construções 59/ 66 Para encontrar o peso próprio das paredes por metro linear basta multiplicar a altura da parede pelo peso por unidade de área (ver próximo slide). Esse processo é equivalente a calcular da mesma forma como foi calculado para as lajes, no entanto, dividindo, neste caso, apenas pelo vão da viga, obtendo uma carga em kN/m. ENG 298 Estática das Construções 60/ 66 3,5m 2,7m 1,98 kN/m² 1,98kN/m² x 2,7m = 5,35kN/m q = 5,35kN/m ENG 298 Estática das Construções 61/ 66 CÁLCULO DO CARREGAMENTO DAS VIGAS DO EDIFÍCIO ESTUDADO Peso específico (kN/m³) Arenito 26 Basalto 30 Gnaiss 30 Granito 28 Mármore e calcário 28 Blocos de argamassa 22 Cimento amianto 20 Lajotas cerâmicas 18 Tijolos furados 13 Tijolos maciços 18 Tijolos sílico-calcários 20 Argamassa de cal, cimento amianto e areia 19 Argamassa de cimento e areia 21 Argamassa de gesso 12.5 Concreto simples 24 Concreto armado 25 Pinho, Cedro 5 Louro, imbuia, pau óleo 6.5 Guajuvirá, guatambu, grápia 8 Angico, cabriúva, ip6e róseo 10 Materiais Rochas Blocos artificiais Revestimentos e concretos Madeiras 62/ 66 L2, L3, e L5 L1 ENG 298 Estática das Construções 63/ 66 Angico, cabriúva, ip6e róseo 10 Aço 78.5 Alumínio e ligas 28 Bronze 85 Chumbo 114 Cobre 89 Ferro fundido 72.5 Estanho 74 Latão85 Zinco 72 Alcatrão 12 Asfalto 13 Borracha 17 Papel 15 Plástico em folhas 21 Vidro plano 26 Metais Materiais diversos ENG 298 Estática das Construções 64/ 66 Ítem Material Ação (kN/m²) Tojolos maciços, com 25cm de espessura 4.0 Tojolos maciços, com 15cm de espessura 2.5 Tojolos furados, com 23cm de espessura 3.2 Tojolos furados, com 13cm de espessura 2.2 Tojolos de concreto, com 13cm de espessura 3.5 Tojolos de concreto, com 23cm de espessura 2.2 Tojolos de concreto celular, com 23cm de espessura 0.8 Tojolos de concreto celular, com 13cm de espessura 0.5 Com telhas cerâmicas, com madeiramento 1.2 Com telhas de fibrocimento, com madeiramento 0.4 Com telhas de alumínio e estrutura de aço 0.3 Com telhas de alumínio e estrutura de alumínio 0.2 Com painéis de gesso, com estrutura de madeira e aço 0.5 Com blocos sólidos de gesso 0.7 Com estruturas de alumínio, com vidros 0.2 Com estruturas de aço, com vidros 0.3 De fibrocimento tipo canalete 43 0.3 De fibrocimento tipo canalete 90 0.3 Paredes Telhas Caixilhos Forros Coberturas ENG 298 Estática das Construções 65/ 66 Ação (kN/m²) Casa de máquinas (Incluindo a massa das máquinas) a ser determinada em cada caso , porém com valor mínimo de 7.5 Com acesso ao público 3.0 Sem acesso ao público 2.5 Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro 1.5 Dispensa, área de serviço e lavanderia 2.0 Com acesso ao público 3.0 Sem acesso ao público 2.5 Anfiteatro com assentos fixos, corredor e sala de aula 3.0 Outras salas 2.0 Escritórios Salas de uso geral e banheiros 2.0 Forros Sem acesso à pessoas 0.5 Galerias de arte A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3.0 Galerias de lojas A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3.0 Garagens e Pra veículo de passageiros ou semelhantes com carga máxima de 25kN por 3.0 Ginásio de esportes 5.0 Sem acesso ao público 2.0 Com acesso ao público 3.0 Inacessível a pessoas 0.5 Terraços Corredores Edifícios residenciais Escadas Escolas Ambiente arquitetônico FIM Escola Politécnica - Universidade Federal da Bahia Departamento de Construção e Estruturas