Funções Trigonométricas

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DESCRIÇÃO
Apresentação das funções trigonométricas e suas aplicações.
PROPÓSITO
Compreender e utilizar as características e os gráficos das funções trigonométricas.
PREPARAÇÃO
Para realizar o estudo deste conteúdo, recomendamos que utilize uma calculadora.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer as principais características de uma função real
MÓDULO 2
Identificar os gráficos das funções trigonométricas básicas
MÓDULO 3
Identificar as funções trigonométricas inversas
A IMPORTÂNCIA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
AVISO: orientações sobre unidades de medida.
AVISO: ORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE
MEDIDA.
javascript:void(0)
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por
questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um
espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais
materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e
das unidades.
MÓDULO 1
 Reconhecer as principais características de uma função real
CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES REAIS
CARACTERÍSTICAS DE UMA FUNÇÃO
REAL
DISCUSSÃO PRELIMINAR
Como já estudado nos ensinos fundamental e médio, uma abordagem intuitiva para o conceito
de função é identificar essa importante entidade matemática como uma correspondência
entre os elementos de um conjunto A, chamado de domínio da função, e os elementos de um
conjunto B, chamado de seu contradomínio. Escrevemos:
𝑓:𝐴 → 𝐵
Assim, uma função f se caracteriza, objetivamente, por uma lei de associação entre objetos de
seu domínio A e seu conjunto contradomínio B.
 ATENÇÃO
Naturalmente que as funções reais — as que possuem domínio e contradomínio constituídos
apenas de números reais, ou seja, ambos são subconjuntos do conjunto dos números reais —
são as funções de nosso maior interesse.
A figura ao lado é uma forma esquemática extremamente útil para a compreensão dos
principais conceitos e a terminologia utilizada no estudo das funções.
Por meio de setas, está indicada a correspondência entre objetos de seu conjunto domínio
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} e seu contradomínio 𝐵 = 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 𝑡.
NOTE QUE CADA ELEMENTO DO CONJUNTO A ESTÁ
RELACIONADO A UM E APENAS UM OBJETO DO
CONJUNTO B, MAS É POSSÍVEL, ENTRETANTO, QUE
DOIS ELEMENTOS DIFERENTES DO CONJUNTO A
ESTEJAM ASSOCIADOS AO MESMO OBJETO DO
CONJUNTO B. SE UM OBJETO X DE A ESTÁ
RELACIONADO AO OBJETO Y DE B, ESCREVEMOS
𝑦 = 𝑓𝑥 E LEMOS QUE: “ÍPSILON É IGUAL A F DE XIS”.
Então, no exemplo, temos:
𝑝 = 𝑓(𝑎),
𝑟 = 𝑓𝑏 = 𝑓
(
𝑐
)
𝑞 = 𝑓(𝑑)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, p é a imagem de a pela função f; r é a imagem de b e de c pela função f; e, finalmente,
q é a imagem de d pela função f.
Se, em dada função, dois objetos do domínio não possuírem a mesma imagem, dizemos que a
função f é injetora. Isso ocorre, então, quando não há duas setas partindo de A e chegando ao
mesmo objeto de B. Assim, no presente exemplo, f não é uma função injetora.
Note que a definição de uma função não exige que todos os objetos de B sejam associados a
algum objeto de A.
Na verdade, quando isso ocorre, dizemos que a função é sobrejetora. Intuitivamente, quando
sobram elementos de B, a função não é sobrejetora.
Nesse exemplo, os elementos s e t do conjunto contradomínio B não estão associados a
nenhum dos elementos do conjunto domínio A. Logo, f não é sobrejetora.
OS OBJETOS DE B QUE SÃO IMAGEM DE ALGUM
OBJETO DE A PELA FUNÇÃO F CONSTITUEM UM
CONJUNTO QUE CHAMAMOS DE IMAGEM DA
FUNÇÃO F E USAMOS A NOTAÇÃO 𝐼𝑚𝑓. PORTANTO, A
FUNÇÃO F DO EXEMPLO NÃO É SOBREJETORA, POIS
𝐼𝑚(𝑓) = {𝑝, 𝑞, 𝑟} ≠ 𝐵. ENTÃO, UMA FUNÇÃO É
SOBREJETORA QUANDO 𝐼𝑚(𝑓) — SEU CONJUNTO
IMAGEM — É IGUAL A SEU CONTRADOMÍNIO, ISTO É,
QUANDO 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵.
Outra representação curiosa e muito útil é associar funções a máquinas que, digamos,
transformam objetos de seu domínio A em objetos de seu contradomínio B.
Assim, se x entra na máquina f, x é transformado no objeto y, de B.
É claro que, nessa analogia, se todos os elementos de A entrarem na máquina f, o conjunto
dos objetos transformados, que saem da máquina f — seu conjunto imagem, que está
representado na cor laranja — não será, em geral, igual ao conjunto contradomínio B, em
verde.
 ATENÇÃO
Essa representação é extremamente útil para ilustrarmos os conceitos de composição de
funções e de função inversa, a serem abordados em outro momento em nosso estudo.
EXEMPLO 1
Considere a função 𝑓:𝑅 → 𝑅, definida por 𝑓𝑥 = 𝑥2 - 1.
Em seguida:
Determine a imagem, por f de x = -2, -1, 0, 1 e 2.
Determine o conjunto imagem de f.
Verifique se a função dada é injetora e se é sobrejetora.
SOLUÇÃO
Como a associação entre os elementos do domínio de f e contradomínio de f se dá por meio de
uma expressão algébrica — um polinômio do segundo grau —, é simples analisar os itens
solicitados.
Vejamos:
a. A imagem de cada um dos valores do domínio pode ser analisada na tabela a seguir, que
associa cada valor dado do domínio de f, sua imagem.
𝑥 𝑓(𝑥)
-2 𝑓-2 = -22 - 1 = 4 - 1 = 3
-1 𝑓-1 = -12 - 1 = 1 - 1 = 0
0 𝑓0 = 02 - 1 = 0 - 1 = - 1
1 𝑓1 = 12 - 1 = 1 - 1 = 0
2 𝑓2 = 22 - 1 = 4 - 1 = 3
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Valores do domínio.
Elaborada por Carlos Nehab.
b. Embora tenhamos calculado a imagem de apenas alguns valores do domínio de f, parece
natural perceber que, por elevarmos x ao quadrado e depois subtrairmos 1, só obteremos
valores positivos ou o zero, subtraídos de 1! E, como x percorre todos os números reais, pois
seu domínio é R, parece claro que o conjunto imagem de f é constituído de todos os números
reais maiores ou iguais a -1, ou seja, o intervalo fechado em -1 e aberto em +∞, isto é,
[ - 1; + ∞[.
c. Para determinar se uma função é injetora, podemos investigar a seguinte situação: se
𝑓𝑥1 = 𝑓𝑥2 , podemos garantir que 𝑥1 = 𝑥2 ? Se a resposta for afirmativa, a função será injetora;
do contrário, a função não será injetora.
Vejamos, então: 𝑓𝑥1 = 𝑓𝑥2 é equivalente a 𝑥1
2 - 1 = 𝑥2
2 - 1, ou seja, 𝑥1
2 = 𝑥2
2 .
A resposta se resume a investigar a seguinte questão: podemos garantir que 𝑥1
2 = 𝑥2
2 acarreta
𝑥1 = 𝑥2 ? A resposta é negativa, pois, nesse caso, podemos ter 𝑥1 = 𝑥2 ou 𝑥1 = -𝑥2 e, desse
modo, de fato 𝑥1 pode ser negativo. Aliás, poderíamos ter respondido de imediato que f não é
injetora simplesmente percebendo, na tabela montada, no item a anterior, que já tínhamos
observado dois valores diferentes de x que possuíam a mesma imagem…
Como o conjunto imagem da função dada não coincide com o contradomínio escolhido — veja
o item b —, segue-se que a função f também não é sobrejetora.
Observação
Note que, se tivéssemos escolhido como domínio apenas os números reais entre 1 e 2,
estritamente, mantendo o contradomínio como R, por exemplo, a função dada seria injetora.
Pense a esse respeito…
Procure analisar, também, a situação em que: o domínio é o intervalo entre 1 e 2
(estritamente); e o contradomínio, o intervalo entre 1 e 4, também estritamente. Perceba que,
nesse caso, a função seria tanto injetora quanto sobrejetora e, nessa situação, utilizamos a
terminologia bijetora!
Portanto, para uma mesma regra de associação entre os valores do domínio e do
contradomínio de uma função, ou seja, uma mesma regra que ligue x a y, é fundamental
perceber que a injetividade ou sobrejetividade de uma função depende, diretamente, do
domínio e do contradomínio escolhidos.
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO REAL
O conceito de gráfico de uma função real de variável real, estudado nos ensinos fundamental
e médio, possui extrema utilidade para analisarmos, via geometria, as características de uma
função real — especialmente as características das funções trigonométricas, que são nosso
especial interesse nesse tema.
Relembremos a engenhosa estratégia que nos possibilita essa associaçãoentre a álgebra e a
geometria, atribuída aos estudos de Descartes e de Pascal.
Dada uma função f arbitrária real de variável real, podemos associar a cada valor x de seu
domínio e sua correspondente imagem 𝑦 = 𝑓𝑥 um ponto do plano cartesiano, cuja abscissa
vale x e cuja ordenada vale y.
Essa estratégia possibilita que qualquer expressão matemática que relacione xizes do
domínio aos correspondentes ipsilons do contradomínio seja associada a uma curva que se
relacione à expressão utilizada.
javascript:void(0)
DESCARTES E DE PASCAL
René Descartes foi um filósofo, físico e matemático francês considerado o fundador da
filosófica moderna e pai da matemática moderna.
Blaise Pascal foi um Filósofo, físico, matemático e teólogo francês. Dedicou-se ao estudo de
ciências naturais e ciências aplicadas.
 RELEMBRANDO
Se a regra que associa os elementos do domínio aos elementos do contra-domínio de uma
função for um polinômio do primeiro grau, o gráfico obtido será uma reta; se for um polinômio
do segundo grau, será uma parábola.
EXEMPLO 2
As imagens a seguir mostram os gráficos das funções f e g, de R em R definidas pelo
polinômio do primeiro grau 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 - 1, respectivamente, exibindo, portanto,
uma reta e uma parábola. Note que, se restringirmos o domínio das funções f e g a intervalos,
naturalmente os gráficos da função serão apenas um “trecho” do gráfico da parábola e da reta.
Do mesmo modo, os conjuntos imagem, nessas situações, também serão alterados.
 𝑓𝑥 = 2𝑥 - 1
 𝑔𝑥 = 𝑥2 - 1
Note na imagem que os conjuntos imagem de f e g, caso os domínios sejam R, são,
respectivamente, R e o intervalo [ - 1; + ∞[. Entretanto, se restringirmos o domínio de f e de g
ao intervalo fechado [ - 1; 2], por exemplo, seus conjuntos imagem serão, respectivamente, os
intervalos também fechados [ - 2; 3] e [ - 1; + ∞[.
FUNÇÕES PERIÓDICAS
O conceito de função periódica — nome que sugere algum aspecto relacionado à repetição de
comportamento — é essencial para o estudo das funções trigonométricas. Veja, no exemplo
que se segue, o desenvolvimento intuitivo desse importante conceito.
EXEMPLO 3
Analise a função da Figura A, cujo gráfico é suposto repetir um padrão indefinidamente.
 Figura A
 Figura B
SOLUÇÃO:
Note que se os dois retângulos em laranja na imagem B fossem interpretados como carimbos,
tais carimbos, usados indefinidamente, permitiriam gerar o gráfico da função indicada. A
menor largura do carimbo capaz de realizar essa tarefa é chamada de período principal.
Alguns atores chamam de período simplesmente a largura de qualquer carimbo capaz de
replicar a função. Assim, 2, 4, 6, 20 etc. são períodos da função, mas o período principal da
função vale 2.
Assim como no exemplo anterior, a imagem a seguir também possui aspecto repetitivo, e seu
período (principal) vale 2𝜋. Na verdade, conforme veremos no próximo módulo, trata-se do
gráfico da função definida em R por 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Note que o seno de múltiplos inteiros de π
vale zero (x entendido em radianos).
Veja que interessante! Uma vez determinada a largura do menor carimbo associado a uma
função periódica (seu período), qualquer trecho do gráfico com a mesma largura desse
carimbo servirá como modelo de outro carimbo que também gera a função…
Veja nas imagens a seguir que os dois carimbos claramente indicados em laranja geram o
gráfico de f!
MONOTONISMO DE FUNÇÕES
A terminologia monotonismo, quando aplicada a funções reais, refere-se ao comportamento de
seu gráfico, quanto ao crescimento ou decrescimento em determinado intervalo.
EXEMPLO 4
Observe o gráfico abaixo. Ele sugere que a função f possui um comportamento de crescimento
ou de decrescimento, dependendo do intervalo considerado:
Note que no intervalo:
Entre 2 e 3, à medida que x cresce, 𝑓(𝑥) também cresce — dizemos então que a função f
é crescente nesse intervalo 2; 3.
De -∞ até -3 / 2, o gráfico sugere que a função f também é crescente nesse intervalo.
[ - 3 / 2; 2], claramente o comportamento da função f é decrescente.
[0; 3], a função não apresenta um monotonismo, ou seja, não é nem crescente nem
decrescente nesse intervalo.
NOTE ENTÃO A TERMINOLOGIA UTILIZADA, EM QUE I
É UM INTERVALO CONTIDO NO DOMÍNIO DE F.
DIZEMOS QUE F É:
• CRESCENTE NO INTERVALO I SE, DADOS
QUAISQUER 𝑥1 < 𝑥2 EM I, 𝑓𝑥1 < 𝑓𝑥1 .
• DECRESCENTE NO INTERVALO I SE, DADOS
QUAISQUER 𝑥1 < 𝑥2 EM I, TIVERMOS 𝑓𝑥1 > 𝑓𝑥1 .
Há ainda duas situações que alguns autores privilegiam. Dizemos que f é:
Não crescente no intervalo I se, dados quaisquer 𝑥1 < 𝑥2 em I, tivermos 𝑓𝑥1 ≥ 𝑓𝑥2 — ou
seja, é constante ou decrescente.
Não decrescente no intervalo I se, dados quaisquer 𝑥1 < 𝑥2 em I, tivermos 𝑓𝑥1 ≤ 𝑓𝑥2 —
ou seja, é constante ou crescente.
PARIDADE DE UMA FUNÇÃO
O conceito de paridade está relacionado a características de simetria de seu gráfico. Assim,
dizemos que uma função f é:
Par, se seu gráfico é simétrico com relação ao eixo vertical, ou seja, se para todo valor de
x de seu domínio vale a relação 𝑓(𝑥) = 𝑓( - 𝑥).
Ímpar, se seu gráfico é simétrico com relação à origem.
EXEMPLO 5
Veja a imagem ao lado, que ilustra essas situações.
A função em azul, uma função de R em R, é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e é claramente uma função
par. Na verdade, qualquer polinômio na variável x que só contenha expoentes pares será uma
função par.
Analogamente, a função em verde, também de R em R, é definida por 𝑔(𝑥) = 2𝑥. Note que
polinômios em que só ocorrem expoentes ímpares são funções ímpares.
Percebeu de onde vem essa nomenclatura?
EXEMPLO 6
Observe a imagem ao lado, que ilustra o gráfico das funções f, de R em R, tais que 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 ,
em que n = 1 a 5.
Identifique “quem é quem” analisando o comportamento de 𝑥𝑛 para 𝑥 < 1 e para 𝑥 > 1.
Perceba que, se 𝑥 > 1, então quanto maior o valor de n, maior o resultado; se 𝑥 > 1, quanto
maior o valor de n, maior o resultado!
EXEMPLO 7
Você concorda que 𝑠𝑒𝑛-𝑥 = - 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e 𝑐𝑜𝑠( - 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥), em que x é um arco arbitrário medido
em radianos? Pois é. Adiantamos, então, que as funções de R em R definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
e 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) são, respectivamente, ímpar e par. Veja a imagem a seguir:
Qual a cor do gráfico da função seno? Pense em quanto vale sen(0)…
QUAL A COR DO GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO?
javascript:void(0)
A função seno é aquela que está na cor azul, e 𝑠𝑒𝑛0 = 0, como notamos no gráfico.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
a) Mostre que a soma de duas funções periódicas cujos períodos valem 4 e 6 é,
necessariamente, uma função periódica.
b) A soma de duas funções periódicas é sempre periódica? Justifique.
RESOLUÇÃO
SOMA DE FUNÇÕES PERIÓDICAS
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Identificar os gráficos das funções trigonométricas básicas
RECONHECENDO O GRÁFICO DAS FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
GRÁFICO DAS FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
GRÁFICO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO
Vamos analisar as características gráficas das funções trigonométricas seno e cosseno.
Tais funções são definidas de R em R. Desse modo, se x é um número real, sen(x) e cos(x)
são, respectivamente, o seno e o cosseno do arco de medida x (interpretado como medido em
radianos).
O seno e o cosseno de um arco de medida x é definido pela ordenada e pela abscissa do
ponto extremidade P desse arco. A imagem ao lado ilustra essa situação, em que sen(x) e
cos(x) são, respectivamente, a medida dos segmentos orientados →
𝑄𝑃 e →
𝑂𝑄.
 ATENÇÃO
Mas o seno e o cosseno de arcos côngruos são iguais. Então, é imediato perceber que essas
funções são cíclicas, ou seja, periódicas: de 2𝜋 em 2𝜋 radianos. Os arcos possuem mesma
extremidade e, portanto, os valores de seus senos e cossenos se repetem.
Logo, o gráfico das funções seno e cosseno possuem o aspecto indicado na imagem
(acompanhe no círculo trigonométrico, imaginando o ponto P se deslocando do ponto A, no
sentido trigonométrico, até atingir outra vez o pontoA, o que corresponde ao arco 2𝜋).
Analisando o seno e o cosseno dos arcos com extremidades nos pontos A, A’, B e B’ é simples
esboçar o gráfico desejado. Veja:
Observe que os dois gráficos possuem o mesmo aspecto, mas defasados horizontalmente.
Essa característica é facilmente justificada porque:
cos𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + π
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, os valores do cosseno de um arco de medida x são iguais aos valores do seno do arco
que está na frente π2𝑟𝑑, ou seja, que lhe é superior em π2𝑟𝑑...
Esse fato pode ser observado nas imagens a seguir, em que exibimos situações com x em
cada um dos quatro quadrantes:
QUADRANTE 1
QUADRANTE 2
QUADRANTE 3
QUADRANTE 4
Na próxima imagem, destacamos, em verde, pontos correspondentes dos gráficos da função
seno e da função cosseno, ou seja, pontos para ressaltar o deslocamento ‘seno’ com relação
ao ‘cosseno’ de 𝜋 / 2.
EXEMPLO 1
Considere a função f, de R em R, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎 . 𝑥) para a, variando de 0,5 até 3, de
0,5 em 0,5. Para analisar os gráficos de f associados a cada um dos valores de a, é
interessante observar que tudo se passa como se “espichássemos” ou “contraíssemos” o
gráfico básico de
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
como se fosse um elástico e, como consequência, o período seria reduzido ou aumentado (a
escala do eixo sendo mantida). Se dispomos do gráfico de sen x e desejamos obter o gráfico
de sen ax, basta observarmos que estamos mudando a unidade u da escala do eixo x.
NA VERDADE, O PERÍODO DA FUNÇÃO DEFINIDA POR
SEN(AX) VALE 2 / 𝑎, QUE É UMA SIMPLES
CONTRAÇÃO OU EXPANSÃO DO VALOR 2π, VALOR
DO PERÍODO DE SEN(X): CONTRAÇÃO, SE |a| É
MAIOR DO QUE 1; EXPANSÃO, SE |a| É MENOR DO
QUE 1.
A animação ilustra as considerações realizadas. Perceba o carimbo, em verde, que sugere o
período para cada valor de a.
GRÁFICO DAS FUNÇÕES TANGENTE E
COTANGENTE
O comportamento das linhas trigonométricas tangente e cotangente é essencial para
definirmos adequadamente as funções tangente e cotangente.
A próxima imagem exibe o círculo trigonométrico e os seguintes elementos:
Os eixos das tangentes e das cotangentes, que são tangentes ao círculo trigonométrico
nos pontos A e B.
Um arco x, cuja extremidade é o ponto P.
Os valores da tangente e cotangente do arco x, que são as medidas dos segmentos
orientados 𝐴𝑇 e 𝐵𝑇', em que T e T’ são as interseções dos eixos das tangentes e das
cotangentes com o prolongamento do raio OP.
Assim, fica claro que não existe tangente de arcos com extremidade em B e B’ e não existe
cotangente de arcos com extremidade em A e A’.
Como consequência, temos que o domínio da função:
Tangente, a ser definida pela linha trigonométrica tangente, não possui arcos da forma 𝑘 + π / 2
, k inteiro.
Cotangente, a ser definida pela linha trigonométrica cotangente, não possui arcos da forma π𝑘
, k inteiro.
Além disso, como arcos côngruos (de mesma extremidade) possuem as mesmas linhas
trigonométricas, fica claro que as funções tangente e cotangente serão periódicas e de período
π.
Observando as próximas imagens, simultaneamente, com o círculo trigonométrico e o gráfico
indicado, percebe-se o seguinte comportamento, variando x de 0 a π / 2:
Aumentando o arco x a partir de 0 até π / 4, tg(x) vai aumentando e, quando atinge o valor π / 4,
vale 1.

À medida que x cresce a partir de π / 4 e vai se aproximando de π / 2, o valor da tangente vai
crescendo indefinidamente.

Repetindo a análise quando x varia de 0 até -π / 2, o comportamento é análogo, com a
tangente assumindo valores negativos.
Então, como a linha trigonométrica tangente é cíclica, o gráfico da função tg(x) possui o
aspecto indicado na imagem B, em que seu período vale π (ou seja, um carimbo de largura π
nos permitiria gerar o gráfico da função tangente).
Note que os ramos do gráfico da função tangente intersectam o eixo horizontal para valores de
x da forma kπ, k inteiro.
Uma discussão análoga pode ser desenvolvida para a função cotangente. Como:
cotgx = tgπ
2 - x = - tgx - π
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Segue-se que o gráfico da cotangente é o “simétrico” ao gráfico da tangente com relação ao
eixo das abscissas, deslocado de π / 2.
Veja na próxima imagem:
O gráfico de tg(x), em verde.
O gráfico de tgx - π
2,em azul, é o gráfico de tg(x) deslocado para a direita de π / 2.
O gráfico de -tgx - π
2 é o simétrico do gráfico de -tgx - π
2 com relação ao eixo horizontal e
coincide com o gráfico de cotx — em laranja: veja as setas com azul e laranja, em
gradiente de cor.
EXEMPLO 2
Dadas as funções definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥), 𝑔(𝑥) = 𝑡𝑔(2𝑥) e ℎ(𝑥) = 𝑡𝑔(3𝑥), perceba que os
gráficos de g e h possuem a mesma forma que o gráfico de f, a menos de uma contração
horizontal nas proporções 1: 2 e 1: 3. Isso significa que, se o gráfico de f tivesse sido
desenhado em um papel elástico, bastaria reduzir à metade e à terça parte a “largura” do
gráfico de f para obtermos os gráficos de g e de h.
Veja na imagem a seguir que, para certo valor de x que acarreta certo valor de 𝑓(𝑥), 𝑥 / 2 e 𝑥 / 3
acarretariam o mesmo valor para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥), respectivamente.
EXEMPLO 3
Analise o gráfico da função f, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥. Imediato: basta rebater a parte negativa
de 𝑡𝑔(𝑥) com relação ao eixo horizontal. Como consequência, a imagem ilustra o gráfico
solicitado, em que o 𝑡𝑔(𝑥) está em verde, tracejado, e f, em laranja.
GRÁFICO DAS FUNÇÕES SECANTE E
COSSECANTE
Por serem, respectivamente, o inverso do cosseno e do seno, as linhas trigonométricas
secante e cossecante não são definidas onde cosseno e seno se anulam, respectivamente.
Logo, temos que a função:
SECANTE
A ser definida pela linha trigonométrica secante, não possui arcos da forma 𝑘π + π / 2, k inteiro,
em seu domínio (arcos em que cosseno se anula).
COSSECANTE
A ser definida pela linha trigonométrica cossecante, não possui arcos da forma 𝑘π, k inteiro, em
seu domínio (arcos em que seno se anula).
Podemos perceber a forma dos gráficos de secante e de cossecante de duas maneiras:
analisando as relações sec(x) = 1 / cos(x) e cos𝑠𝑒𝑐(𝑥) = 1 / 𝑠𝑒𝑛(𝑥); ou, alternativamente,
analisando a definição geométrica de secante e cossecante. Observe as próximas imagens.
Em ambos os casos, é fácil observar que os gráficos das funções secante e cossecante
possuem o aspecto explicitado na imagem a seguir.
Note que, como seno e cosseno possuem valores entre -1 e +1, as funções secante (em
laranja) e cossecante (em verde), em módulo, só admitem valores maiores ou iguais a 1.
Naturalmente, a função secante é par e a função cossecante é ímpar, porque seus inversos –
cosseno e seno — o são, respectivamente.
 ATENÇÃO
Note que, como 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 - π
2, então 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥 - π / 2), ou seja, o gráfico da
cossecante é deslocado horizontalmente do gráfico da secante em um valor 𝜋 / 2.
EXEMPLO 4
Analise a função definida por 𝑓(𝑥) = 2 . 𝑠𝑒𝑐(𝑥 - 𝜋 / 3) e perceba que as seguintes observações
facilitam a obtenção de seu gráfico, quando o comparamos ao gráfico da função secante:
Há uma expansão vertical por conta do fator multiplicativo 2.
Há um deslocamento horizontal considerando o argumento 𝑥 - 𝜋 / 3, em comparação com o
argumento x da função secante.
Assim, a próxima figura ilustra o gráfico de secante — em laranja —, e o de f — em azul.
Analise-os cuidadosamente:
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Dada a função definida de R em R por 𝑓(𝑥) = 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛(𝑥), esboce seu gráfico e informe se é uma
função periódica, justificando sua resposta.
RESOLUÇÃO
FUNÇÃO PERIÓDICA DE R EM R
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Identificar as funções trigonométricas inversas
AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
CONCEITO DE FUNÇÃO INVERSA.
Considere a funçãorepresentada, na imagem seguir, por seu diagrama de setas e por sua
representação como máquina.
A interpretação de uma função como máquina nos instiga a perguntar: o que seria outra
máquina que funcionasse ao contrário de f, ou seja, que revertesse a ação de f? Imagine
como seria uma máquina que, nesse caso, transformasse p em a e q em d, por exemplo — ao
invés de transformar a em p, d em q etc.
Note que a definição de função exige uma condição fundamental: “A cada elemento do domínio
da função associamos um e apenas um elemento do contradomínio”.
Na situação aqui analisada, se revertermos a ação dessa função f, obteremos um diagrama
como o mostrado na imagem ao lado, que não atende à condição de “ser função” por duas
razões:
Há objetos de B (que agora é o domínio dessa máquina invertida) — por exemplo, s e t — não
associados a nenhum elemento de A (que agora é o contradomínio).
Há um elemento de B que está associado a dois objetos de A: por exemplo, r!
Essa análise sugere que inverter o funcionamento de uma máquina só faz sentido quando ela
for bijetora; pois, assim, situações como as descritas em I e II não ocorreriam.
COMO CONSEQUÊNCIA, DADA UMA FUNÇÃO DE A EM
B, BIJETORA, É POSSÍVEL DEFINIR UMA FUNÇÃO
QUE CHAMAREMOS DE FUNÇÃO INVERSA DE F, QUE
SERÁ REPRESENTADA POR 𝑓-1 E CUJO
FUNCIONAMENTO É ASSIM DEFINIDO: DADO UM X EM
B, 𝑓-1 𝑥 = 𝑦 EXATAMENTE QUANDO 𝑓(𝑦) = 𝑥.
Interpretando intuitivamente: a imagem de um objeto x de B, que entra nessa máquina, é o
objeto y; tal que, se x entra na máquina f, sai y.
EXEMPLO 1
Considere a função f, de R em R, definida por 𝑓𝑥 = 3𝑥 + 1.
Determine a função inversa de f, caso exista.
SOLUÇÃO
A primeira pergunta a ser respondida é: f é bijetora?
• Para ser injetora: é impossível dois argumentos diferentes terem mesma imagem pela
função f? Ou seja, 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) exige que 𝑥1 = 𝑥2 ?
• Para ser sobrejetora: dado um elemento y qualquer do contradomínio, sempre há algum x
do domínio cuja imagem seja y?
Nesse caso as respostas são afirmativas: pense na reta gráfico da sentença 𝑦 = 3𝑥 + 1.
Mas qual seria uma estratégia simples para obter uma expressão para o funcionamento da
máquina 𝑓-1 ?
Na verdade, devemos determinar uma expressão que ligue um xis que entra máquina
inversão correspondente ípsilon que sai da máquina 𝑓-1 . Porém, se invertermos as letras x e
y na expressão original de f,quando explicitarmos o atual y (antigo x) em função do atual x
(antigo y), já obteremos a “associação entre entrada e saída da função inversa”.
Veja a imagem:
Assim, na expressão que define f, trocamos as letras x e y e explicitamos o próprio y, que será
a “saída” da máquina 𝑓-1 .
Eis os passos:
𝑓:𝑦 = 3𝑥 + 1 ⇒ 𝑓: 𝑥 = 3𝑦 + 1 ⇒ 𝑓-1 : 𝑥 = 3𝑦 + 1.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Explicitando y, obtemos: 𝑦 = 𝑥 - 1
3 . Ou seja, 𝑓-1 :𝑅 ⇒ 𝑅 e 𝑓-1 𝑥 = 𝑥 - 1
3 .
EXEMPLO 2
Dada a função 𝑔:𝑅 ⇒ 𝑅, definida por 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), restrinja o domínio e o contradomínio de g a
intervalos adequados, para que a função g seja inversível.
SOLUÇÃO
Analisando o gráfico da função seno, percebemos que qualquer um dos três retângulos
exibidos restringe o domínio e o contradomínio de maneira adequada para obtermos uma
função bijetora. Claro que poderíamos fazer escolhas ainda mais restritas, mas não haveria
grande utilidade.
Parece mais interessante, entretanto, por uma questão de simetria, escolhermos a região
laranja, ou seja, os intervalos [ - π; π] e [ - 1; 1].
Nesse caso, designando por arcsen a função inversa dessa seno restrita (lê-se arcoseno),
temos:
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛: [ - 1; 1] ⇒ [ - π; π]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A pergunta “qual é o arco cujo seno vale 12?” passa a fazer sentido, pois estamos restritos a
arcos entre -π e π, ou seja, estamos pensando apenas em x = π / 6 e podemos escrever
arcsen(1 / 2) = π / 6.
Então, a imagem mostra o gráfico de arcsen.
FUNÇÕES INVERSAS DE SENO, COSSENO
E TANGENTE
O exemplo anterior sugere que a estratégia de restringir o domínio das funções trigonométricas
usuais, em especial as funções seno, cosseno e tangente, permite obter a função inversa, cuja
utilidade é se referir ao arco cujo seno, cosseno ou tangente é um valor dado, sem
ambiguidade.
As imagens a seguir consolidam as restrições adequadas para definimos as funções arcsen,
arccos e arctgt.
Restrição de Seno
[ - π / 2; π / 2] ⇒ [ - 1; + 1]
Arcsen
[ - 1; + 1] ⇒ [ - π / 2; π / 2]
Restrição de Cosseno
[0; π] ⇒ [ - 1; + 1]
Arccos
[ - 1; + 1] ⇒ [ - π / 2; π / 2]
Restrição de Tangente
] - π / 2, π / 2[ ⇒ ] - ∞ ; + ∞ [
Arctg
] - 1; + 1[ ⇒ ] - π / 2; π / 2[
Assim, sintetizando, os gráficos das funções arcsen, arccos e arctg estão esboçados nas
próximas imagens:
 Figura A
 Figura B
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Esboce o gráfico das funções definidas por $$f(x)=\operatorname{arcsen}(\operatorname{sen}
(x))$$ e $$g(x)=\operatorname{sen}(\operatorname{arcsen}(x))$$.
RESOLUÇÃO
GRÁFICOS COM FUNÇÕES ARCO SENO E ARCO
COSSENO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Aprendemos em nosso estudo os conceitos de função real, dentre os quais está o de função
inversa. Com esses conceitos, demos início ao entendimento das funções trigonométricas.
Vimos que, de acordo com a função trigonométrica, os gráficos plotados apresentam
características bem distintas: podem variar de -1 a 1, caso de funções seno e cosseno, por
exemplo; também podem variar de menos infinito a mais infinito, que é o caso de funções
tangente e cotangente, por exemplo. Por conta disso, verificamos a importância da análise do
domínio da função e a grande importância da análise do círculo trigonométrico. Todas essas
informações são essenciais para a modelagem de problemas periódicos nas ciências em geral.
REFERÊNCIAS
CARMO M. P. do; MORGADO A. C.; WAGNER E. Trigonometria e números complexos. Rio
de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática, 2004
EXPLORE+
Uma fonte inestimável de consulta é o Portal da Matemática da OBMEP, no qual você
pode rever qualquer tema de seu interesse.
CONTEUDISTA
Carlos Eddy Esaguy Nehab