REVER E APRENDER_MAT_EM_2SERIE_PROFESSOR_REV5

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MATEMÁTICA
Ensino médio
2a SÉRIE
M
A
TETM
Á
TIC
A
2
a SÉRIE
PROFESSOR
CAPAS_LOMBADA_MATEMATICA_PROFESSOR.indd 10CAPAS_LOMBADA_MATEMATICA_PROFESSOR.indd 10 27/12/23 15:3327/12/23 15:33
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–
–
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–
Uma produção
MATEMÁTICA | 2ª SÉRIE - PROFESSOR - EM
Direção Editorial
Tiago Braga
Organização
Antonio Nicolau Youssef
Colaboradores 
Angel Honorato
Conceição Longo
Revisão
Ana Cristina Mendes Perfetti
Giovanna Petrólio
Miriam de Carvalho Abões
Victor Pugliese
Ilustrações
Dawidson França
Projeto Gráfico
Amplitude.PP
Diagramação
Fórmula Produções
Imagens
Adobe Stock
Shutterstock
Produção Executiva
Antonio Braga Filho
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MA
CATI
MÁTE
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Sumário
Funções �������������������������������� 7
Produto cartesiano ����������������������������� 8 
Representação gráfica ��������������������������� 8 
Funções: principais conceitos ��������������������� 10 
Gráfico de uma função ������������������������ 11 
Zero ou raiz de uma função ��������������������� 13 
Estudo do sinal de uma função ������������������ 15 
Funções crescentes e funções decrescentes �������� 17
A função afim �������������������������������� 19 
Videoaula ����������������������������������� 19 
Função linear ������������������������������� 20 
Função constante ��������������������������� 21 
Estudo do sinal da função afim ������������������ 24 
Inequações de 1º grau ������������������������ 27 
Inequação produto e inequação quociente ���������� 28 
Videoaula ����������������������������������� 28 
Função quadrática ����������������������������� 31 
Coordenadas do vértice da parábola �������������� 31 
Estudo do sinal da função quadrática �������������� 35 
Videoaula ����������������������������������� 35 
Inequações de 2º grau ������������������������ 38 
Módulo ������������������������������������� 39 
Equação modular ���������������������������� 39 
Função modular ������������������������������ 40 
Função exponencial ��������������������������� 41 
Videoaula ����������������������������������� 41 
Função logarítmica ���������������������������� 49 
Videoaula ����������������������������������� 49
Geometria ����������������������������� 53
Triângulos retângulos ��������������������������54
Relações métricas no triângulo retângulo ����������54
Razões trigonométricas em um triângulo retângulo ��� 57
Videoaula �����������������������������������57
Ângulos notáveis ����������������������������59
Relação entre seno, cosseno e tangente �����������62
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5
Relação fundamental �������������������������64
Sequências numéricas �������������������� 65
Sequência ou sucessão �������������������������66
Termo geral de uma sequência ������������������66
Progressões aritméticas �������������������������67
Termo geral de uma progressão aritmética ���������� 69
Videoaula �����������������������������������69
Propriedades das progressões aritméticas ���������72
Progressões geométricas ������������������������74
Termo geral de uma progressão geométrica ���������� 77
Videoaula �����������������������������������77
Matemática financeira �������������������� 81
Porcentagem ��������������������������������82
Cálculos com porcentagem ��������������������82
Juros simples ��������������������������������83
Cálculo de juros simples e montante ��������������� 84
Videoaula �����������������������������������84
Desconto comercial simples ��������������������86
Cálculo de juros compostos e montante ������������ 88
Videoaula �����������������������������������88
Cálculo do montante no sistema de juros compostos � 89
Probabilidades �������������������������� 93
Experimentos aleatórios ������������������������94
Espaço amostral e evento �����������������������94
Regra da soma �������������������������������96
Regra do produto �����������������������������99
Eventos independentes �������������������������99
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Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
Este é um material cuidadosamente desenvolvido para auxiliá-lo na recomposição de 
aprendizagem dos alunos do Ensino Médio. Reconhecemos o desafio constante de 
proporcionar um ambiente educacional motivador, estimulando e criando oportunidade 
de aprendizagem eficaz numa sala de aula sempre muito heterogênea, principalmente 
quando nos reportamos ao ensino de conceitos e práticas matemáticas, e é com esse 
propósito que este material foi concebido. Por isso, estamos felizes em estar com você 
nessa jornada de redescoberta e fortalecimento do conhecimento matemático dos seus 
alunos. Esperamos que o Rever e Aprender Matemática possa ser um aliado valioso para 
reforçar os alicerces da aprendizagem, fornecendo ferramentas práticas e estratégias 
pedagógicas para resgatar o interesse e a confiança dos alunos.
Sabemos que a Matemática, não é apenas um conjunto de conceitos abstratos, mas uma 
inguagem que possibilita a compreensão e a relação diária com o mundo ao nosso redor. 
Ao dominar as habilidades matemáticas desde os primeiros anos escolares, os alunos 
não apenas adquirem competências técnicas, mas também desenvolvem o pensamento 
lógico, a resolução de problemas e a capacidade de raciocínio crítico.
O letramento matemático deve ser estruturado de acordo com as diretrizes estabelecidas 
pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC). A BNCC propõe uma abordagem 
interdisciplinar, valorizando a contextualização dos conteúdos e a aplicação prática 
dos conceitos. Nesse sentido, nosso material busca alinhar-se com tais princípios, 
apresentando atividades e recursos que promovem a aprendizagem significativa e 
conectada ao cotidiano dos estudantes.
Uma palavra inicial
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Funções
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão estu-
dados e suplantar as dificuldades de aprendizagem na 1ª série, va-
mos revisar nesta unidade temática: 
• Produto cartesiano 
• Representação gráfica 
• Funções: principais conceitos 
• Função afim
• Função quadrática
• Função modular
• Função exponencial
• Função logarítmica
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PROFESSOR
UNIDADE 1
1. Produto cartesiano e funções
2. Função afim
3. Função quadrática
4. Função modular
5. Função exponencial
6. Função logarítmica
Neste tópico, abordaremos as características dos produtos cartesianos e exploraremos os principais 
conceitos relacionados às funções. O estudo da Matemática envolve, frequentemente, uma análise 
de relações entre conjuntos, e a teoria dos produtos cartesianos desempenha um papel importante 
nesse contexto. Além disso, as funções estão presentes em muitos aspectos da vida, bem como em 
aplicações práticas em diversasdisciplinas, como Matemática, Física, Economia, Engenharia e Ciên-
cias da Computação.
Desenvolvimento 
em 6 temas
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Tema 1: Produto cartesiano e funções
Comece explicando para os estudantes a definição de produto cartesiano. Chamamos de produto 
cartesiano o conjunto de pares ordenados formados pelo produto de outros dois conjuntos. Use como 
exemplo dois conjuntos, A = {1, 3, 5} e B = {6, 7}. Ao multiplicar A por B, geramos um novo conjunto, 
o conjunto A x B (A cartesiano B). O procedimento é simples: basta montar pares ordenados 
(x; y) onde os valores de x correspondem aos elementos de A, e y corresponde aos elementos de B. 
Exemplo.:
 A x B = {(1; 6), (1; 7), (3; 6), (3; 7), (5; 6), (5; 7)}
Ao observar A x B, percebe-se que A tem três elementos, e B possui 2. Logo, AxB terá 3x2, igual a 
seis elementos. Então, o número de elementos de um produto cartesiano é igual ao produto entre o total 
de elementos dos conjuntos aos quais ele é formado. Se preferir, utilize diagramas para representar os 
conjuntos – isso poderá facilitar a visualização dos estudantes. 
1 6
7
3
5
A B
Observe que AxB = {(1; 6), (1; 7), (3; 6), (3; 7), (5; 6), (5; 7)} contém seis pares ordenados (x; y) e, 
portanto, pode ser representado em um plano cartesiano. Demonstre isso aos estudantes, 
desenhando um plano cartesiano na lousa e incluindo cada ponto no plano, como ilustra a figura 
a seguir. Para facilitar, nomeie os pares ordenados e aproveite para reforçar com os alunos que o 
ponto usa como nomenclatura as letras maiúsculas do nosso alfabeto. Logo, teremos os pontos A(1; 
6), B(1; 7), C(3; 6), D(3; 7), E(5; 6), F(5; 7).
1
1
2
3
4
5
6
7
B D F
A C E
02122 2 3 4 5 6 7
Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 1
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Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 1
Funções
Destaque que existem outras relações entre dois conjuntos: uma delas é a função. Ela ocorre 
quando, dados dois conjuntos A e B, para todo o elemento de um conjunto A, há um único correspondente 
em B. Podemos dizer que temos uma função de A em B, que pode ser expressa como: f: A → B. Utilize 
diagramas para demonstrar.
6
84
Domínio
Conjunto
imagem
3
2
A B
9
4
f: A → B 
Ao demonstrar o diagrama, explore outros conceitos como Domínio (D), Contradomínio (CD) 
e Imagem (Im) de uma função. Observe que Domínio são todos os elementos do conjunto A, 
D = {2; 3; 4}; o Contradomínio são todos os elementos do Conjunto B, CD = {4; 6; 8; 9}; já a Imagem, é 
formada pelos correspondentes de A em B, Im = {4; 6; 8}. Utilize, também, os diagramas fornecidos 
pelo livro neste tópico para ampliar os exemplos fornecidos aos estudantes.
Assim como os produtos cartesianos, toda função pode ser representada em gráficos com o par 
ordenado (x, y). Para representá-las em pares ordenados, utilize como valor de x um valor do 
Domínio; e para y, seu correspondente no Conjunto Imagem. Desenhe na lousa esta relação:
Domínio
Conjunto
imagem
3
6
5
4
2
1
X Y
f: x → y 
Nessa imagem, temos os pares ordenados (1; 4), (2; 5) e (3; 6).
As funções podem ser definidas por leis (equações). Ao observar a figura, podemos verificar 
que para cada valor de x, o valor de y corresponde a x + 3, e podemos escrever como y = x + 3.
Quando o x = 1, temos (1; x + 3), logo: (1; 1 + 3) = (1; 4).
Quando o x = 2, temos (2; x + 3), logo: (2; 2 + 3) = (2; 5).
Podemos, então, falar que o valor de y está em f(x). Lê-se “função de x”. 
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Utilizando esta mesma lei, explique que y é igual a f(x), e demonstre isso tirando dúvidas e 
convidando os estudantes a participar propondo soluções. Na lousa, escreva: y = x + 3, se y = f(x), logo 
f(x) = x + 3. Peça para que os alunos substituam o valor de x pelos valores da figura e encontrem o 
valor de f(x). Faça um exemplo: f(x) = x + 3, se x=1, substitua x por 1, f(1) = 1 + 3, logo f(1) = 4. Desenhe 
um quadro que possibilite a visualização dessa relação e a formação do par ordenado para melhor 
entendimento do estudante. Em seguida, peça para calcularem os valores de f(2) e f(3).
x f(x) = x + 3 y (x ; y)
1 f(1) = 1 + 3 4 (1;3)
2 f(2) = 2 + 3 5 (2;5)
3 f(3) = 3 + 3 6 (3;6)
f: x → y
Ao concluírem, solicite que representassem os pares ordenados no plano cartesiano. Aproveite para 
reforçar que os valores de x estão na abscissa e os valores de y na ordenada.
6
8
4
(1,3)
(2,5)
(3,6)
2
–2
–2 20 4 6 8
Sabendo que em uma função, para todo elemento de um conjunto x, há um único correspondente 
em y. Analise os possíveis valores de x e y em gráficos para verificar qual atende esta definição. Essa 
análise é importante para identificar gráficos de uma função. Se possível, utilize recursos digitais, 
como o Geogebra, para verificar essa característica. 
Zero da função
Chamamos de zero da função o valor de x que resulta em f(x)=0.
Por exemplo, dada a função f(x) = x - 3, onde f: R → R (com solução no conjunto dos reais), o zero da 
função será o valor de x quando f(x) = 0. Logo, substituindo f(x) por zero, temos: x – 3 = 0 → x = 3. 
Esclareça que, para x = 3 e y = 0, temos um par ordenado (3; 0), que ao ser inserido no gráfico, será 
exatamente no ponto em que o gráfico intercepta o eixo das abcissas (x). Utilize o gráfico do exemplo 
da página 13 para demonstrar tal característica.
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Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 1
Há diversas leis que representam uma função, por exemplo, a função pode ser expressa por 
f(x) = 2x² - 8. Para encontrar os zeros da função (raízes), você poderá igualá-la a zero, obtendo uma 
equação do 2° grau: 2x² - 8 = 0. Nesse caso, você terá dois valores (raízes).
Tema 2: Função afim
Uma função afim é um tipo de função matemática que descreve uma relação entre duas variáveis, 
geralmente representadas como x e y, onde a variável y é diretamente proporcional à variável x. 
Em outras palavras, uma função afim é uma função linear que segue a forma geral y = mx + b, onde:
y é a variável dependente (a que queremos calcular).
x é a variável independente (a variável da qual depende y).
m é o coeficiente angular, que representa a inclinação da linha reta que representa a função. 
Indica o quanto y aumenta ou diminui para cada unidade de variação em x.
b é o coeficiente linear, que representa o valor de y quando x é igual a zero. É o ponto onde a 
linha cruza o eixo vertical (eixo y).
Em termos gráficos, uma função afim é representada por uma linha reta no plano cartesiano, onde a 
inclinação (m) determina o ângulo da linha em relação ao eixo x, e o coeficiente linear (b) determina 
a interseção da linha com o eixo y.
Durante o debate, apresente funções lineares nas quais os alunos possam identificar o coeficiente 
angular e o coeficiente linear e analisar o comportamento do gráfico da função. É importante que 
ele investigue
• A linearidade da função: a relação entre x e y é linear, ou seja, a taxa de mudança em y é 
constante para cada unidade de mudança em x.
• A representação gráfica: a representação gráfica de uma função afim é uma linha reta.
• A inclinação: o coeficiente angular (m) da reta determina se a função é crescente 
(quando m > 0), decrescente (quando m < 0), ou linha horizontal (quando m = 0). Exemplo: 
y = 3x + 4 é uma função crescente pois m > 0; y = -5x + 2 é uma função decrescente pois m < 0.
• O intercepto: o coeficiente linear (b) determina onde a linha cruza o eixo y. É chamado de 
“intercepto y.”
Após o debate, apresente para os alunos situações reais onde as funções afins são utilizadas, tais 
como em contextos econômicos, sociais e matemáticos.REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 12REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 12 29/12/23 11:5229/12/23 11:52
Estudo do sinal da função afim
Ao introduzir o estudo do sinal da função afim, explore com os estudantes o comportamento da 
função e a posição do seu gráfico em relação aos eixos coordenados, particularmente em relação 
ao eixo x. Enfatize que esse estudo é fundamental para compreender a natureza das raízes (ou 
soluções) da função e para identificar intervalos em que a função é positiva ou negativa. Para tais 
análises, solicite que os alunos encontrem:
1. A raiz da função: a raiz (ou solução) da função é o valor de x para o qual f(x) = 0. Isso pode ser 
encontrado resolvendo a equação ax + b = 0. O valor de x que torna a função igual a zero é 
chamado de "raiz" ou "zero" da função.
2. Identifique o coeficiente angular (a): O coeficiente a na função afim determina a inclinação 
da reta no gráfico. Se a > 0, a reta inclina para cima (positiva); se a < 0, a reta inclina para baixo 
(negativa).
3. Os intervalos: o estudo do sinal envolve a análise dos intervalos em que a função é positiva, 
negativa ou igual a zero. Se a > 0, a função é positiva nos valores de x à direita da raiz (zero) e 
negativa nos valores de x à esquerda da raiz. Se a < 0, a função é negativa nos valores de x à 
direita da raiz e positiva nos valores de x à esquerda da raiz.
O estudo do sinal de uma função afim é útil para entender quando a função é crescente ou decrescente 
e quando cruza o eixo x (raiz). Essa análise é fundamental em muitas áreas da Matemática, Física e 
Engenharia, especialmente quando se trata de otimização de problemas, análise de funções de custo e 
receita, e muitos outros contextos em que as informações sobre o sinal da função são essenciais.
Inequação do primeiro grau
Ao iniciar o estudo sobre inequação linear do primeiro grau, contextualize o uso dessas inequações 
em diferentes tipos de situações, como planejamento financeiro, análise de dados, programação linear 
e otimização de recursos. Nesse ponto, é importante que o estudante compreenda como interpretar 
e resolver as inequações corretamente, de modo a entender as informações que elas representam.
Introduza o conceito estimulando os alunos a compreenderem que uma inequação do primeiro grau, 
também chamada de desigualdade linear, é uma expressão matemática que envolve variáveis e 
operadores de desigualdade (como “<,” “<=”,” >,” ou “>=”). Essas inequações descrevem relações entre 
variáveis que podem ser resolvidas para encontrar intervalos de valores que satisfaçam a desigualdade. 
A forma geral de uma inequação do primeiro grau é ax + b < c. Onde:
ax representa uma expressão linear envolvendo uma variável x multiplicada por uma constante a.
b é um termo constante.
c é um número real.
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Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 1
Resolvendo uma inequação do primeiro grau, o aluno encontra o conjunto de valores que tornam 
a inequação verdadeira. Isso envolve operações algébricas para isolar a variável x em um lado da 
inequação. Exemplo de inequação do primeiro grau: 3x – 4 > 5. Então, x > 3.
Inequação produto e inequação quociente
Nesse tópico, vamos analisar os dois tipos de inequações (desigualdades) que envolvem operações 
matemáticas entre variáveis. Explique de forma dinâmica cada uma delas salientando que:
Inequação produto: é uma desigualdade que envolve a multiplicação de duas expressões ou 
fatores. Geralmente, é representada na forma ab > 0. Nesse caso, a e b são expressões ou valores 
que podem ser números reais, variáveis ou funções. A inequação afirma que o produto de a e b é 
maior que zero. Isso significa que a solução para essa inequação incluirá os valores de a e b que 
fazem com que o produto seja positivo. Esses valores podem estar em um dos seguintes casos:
Ambos a e b são positivos.
Ambos a e b são negativos.
Um deles é positivo e o outro é negativo.
Proponha que os alunos resolvam uma inequação produto, para identificar esses casos e as 
soluções correspondentes.
Inequação quociente: é uma desigualdade que envolve a divisão de duas expressões ou fatores. 
Ela é representada na forma: ba < c. Nessa expressão, a e b são expressões, variáveis ou valores, 
enquanto c é um número real. A inequação declara que o quociente de a dividido por b é menor 
que c. Isso significa que a solução para essa inequação incluirá os valores de a e b que fazem com 
que o quociente seja menor do que c.
Ao resolver uma inequação quociente, é importante lembrar de considerar possíveis restrições, 
como evitar divisão por zero. Portanto, é necessário garantir que o denominador (neste caso, b) 
não seja igual a zero, já que a divisão por zero não é definida em Matemática.
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Tema 3: Função quadrática
Inicie a aula questionando os estudantes sobre o que entendem por função do 2° grau. Ouça seus 
relatos e complemente quando necessário, modelando as respostas e promovendo a participação 
dos estudantes. Conclua a introdução, explicando que uma função do 2° grau é uma função f: R → x 
em que x possui grau 2 (x²). Pode ser escrita na forma genérica:
f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c e a ≠ 0. Como f(x) = 0 temos:
y = ax² + bx + c
Essas funções têm como características um gráfico em forma de uma parábola, sendo possível 
identificar o lado da concavidade pela observação do valor de a. Se a > 0 a concavidade fica para 
cima, quando a < 0 a concavidade está para baixo. Para ficar mais claro peça para os estudantes 
representarem o gráfico das funções: y = x² - 2x e y = -x² + 2x, use para x = {-1; 0; 1; 2; 3}
Faça junto com os estudantes a 1° equação. Demonstre que para y = x² - 2x, a = 1, isto implica que 
a > 0 e a concavidade da parábola estará para cima.
x y = x2 - 2x
-1 3
0 0
1 -1
2 0
3 3 43210–1
–1
x1 x2
–2
1
2
4
A E
C
5
3
Durante a correção da atividade com a 2° equação, faça a mesma verificação. Em y = -x² + 2x, o valor 
de a < 0, logo, a concavidade está para baixo.
Aproveite os gráficos e destaque que os locais onde a parábola intercepta o eixo das abscissas são os 
pontos que correspondem às raízes da equação; e que o ponto que está na extremidade da parábola 
é chamado de vértice da parábola.
As raízes ou zeros da função podem ser encontrados utilizando a fórmula de Bhaskara, x = -b ± Δ 
2a , 
onde ∆ = b2 - 4ac .
Para descobrir o vértice de uma parábola, não é necessário construir um gráfico da equação. 
Sabendo que o vértice da parábola é um par ordenado (xv; xy), você pode encontrá-lo usando para 
xv = -b 
2a
, e para yv = -Δ 
4a
 . Use a demonstração na página 37 para que os estudantes possam compreender 
a origem dessas fórmulas.
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Desenvolvimentos em 5 temasUNIDADE 1
Interpretar as informações contidas no gráfico é uma habilidade muito importante quando lidamos 
com funções, visto que os gráficos podem representar inúmeras situações cotidianas, como, por 
exemplo, a saúde financeira de uma empresa e a projeção de vendas. Por isso, é importante entender 
seu comportamento, seus vértices e, principalmente, os sinais de uma função. A imagem da página 
42 será muito útil para demonstrar esta característica e como o valor da descriminante (∆) e do 
coeficiente a podem influenciar neste estudo.
Inequações do 2° Grau
Para identificar uma inequação do 2° grau, podemos seguir semelhante aos procedimentos da 
inequação do 1° grau. Trata-se de uma expressão matemática que envolve variáveis e operadores 
de desigualdade (>, <, ≠, ≥ e ≤) no lugar da igualdade (=). Escreva na lousa exemplos de inequações 
do 2° grau como, (-x² + x + 2 ≥ 0) e (x² + 4x – 3 < 0), e aolado delas, escreva-as como uma equação, 
substituindo a desigualdade pelo sinal de igualdade.
Inequação Equação
-x² + x + 2 ≥ 0 -x² + x + 2 = 0
x² + 4x – 3 < 0 x² + 4x – 3 = 0
Essa comparação auxiliará na compreensão e entendimento das diferenças entre equação e inequação.
Proponha uma reflexão aos estudantes: dadas uma equação do 2° grau do tipo ax² + bx + c = 0 e uma 
inequação do 2° do tipo ax² + bx + c > 0, sendo os valores de a, b e c iguais para cada uma delas, podemos 
afirmar que os valores de x que resultem em zero — ou seja, são raízes da equação do 2° grau — servem 
como raízes para a inequação do 2° grau? Espera-se que os alunos entendam que as raízes são os 
valores de x que satisfazem f(x) = 0, e as inequações são desigualdades. No caso, para a inequação 
ax² + bx + c > 0, a solução são os valores de x que satisfaçam a situação maior que zero.
Após a reflexão utilize o exemplo da página 44 para explicar como encontrar o conjunto solução de 
uma inequação do 2° grau. 
Tema 4: Função modular
Introduza o tópico apresentando as características do módulo de um número real, de modo que os 
alunos compreendam que o módulo de um número real é uma função matemática que retorna a 
distância absoluta de um número até zero na reta numérica. O módulo de um número é representado 
por barras verticais duplas, como |x|, onde x é o número real cujo valor absoluto queremos encontrar.
Para estimular os estudantes a compreenderem o conceito de valor absoluto, apresente as seguintes 
situações:
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1–1
–a a
|1| = 1
|–1| = 1
|a| = a
|–a| = a
0
0
1. O valor absoluto de um número positivo é o próprio número. Por exemplo, |5| = 5, porque a 
distância de 5 a zero na reta numérica é de 5 unidades.
2. O valor absoluto de zero é zero, pois zero já está a uma distância de zero unidades de si mesmo.
3. O valor absoluto de um número negativo é o número com o sinal trocado. Por exemplo, 
|-3| = 3, porque a distância de -3 a zero na reta numérica é de 3 unidades.
Amplie essa abordagem, propondo investigações de como seria a resolução de uma equação modular. 
Equações modulares
Saliente que as equações modulares são comuns em Matemática, especialmente na teoria dos 
números e em problemas de otimização. A forma geral de uma equação modular é a seguinte: 
|f(x)| = g. Onde: 
f(x) é uma expressão que pode ser qualquer função, variável ou expressão matemática.
g é um número real não negativo (ou uma expressão) que representa a distância desejada.
Exemplo de equação modular: |2x – 3| = 5
 
2x – 3 = 5 2x – 3 = - 5 
2x = 8 2x = -2 
 x = 4 x = - 1
Debata acerca da solução de uma equação modular, apresentando o conjunto de valores de x que 
fazem com que a expressão |f(x)| tenha uma distância (ou valor absoluto) igual a g. Essas soluções 
podem ser encontradas analisando os casos em que f(x) é igual a g ou a “-g” (pois o valor absoluto de 
uma quantidade é igual ao seu negativo).
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Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 1
Resolvendo cada as equações acima, os alunos encontram os valores de x que satisfazem a equação 
modular. A função modular é geralmente representada por f(x) = |g(x)|, onde g(x) é a expressão cujo 
valor absoluto estamos tomando. Indique as ideias envolvidas no cálculo de uma função nas quais 
se mede a distância de g(x) até zero na reta numérica, independentemente do sinal de g(x). Neste 
sentido, o resultado de f(x) é sempre não negativo, já que o valor absoluto de qualquer número real 
é sempre não negativo. Elucide os conceitos apresentando exemplos práticos e demonstrações 
gráficas de como o gráfico de uma função modular se comporta.
f(x) = |x|
3
3
2
2
1
1
–1–2–3 0
f(x) = | x – 3 |
2 43
1
0
Explore a construção de gráficos de outras funções modulares como as ilustradas a seguir:
y
x
t(x) = |x – 3| + 1
f(x) = |x|
u(x) = |x + 1| – 3
–3
–1
3
1
0 1
Faça o fechamento do tópico, indicando como as funções modulares são úteis na Matemática e em 
outras áreas do conhecimento, incluindo otimização, análise de intervalos, análise de equações e 
desigualdades, teoria dos números e Física. 
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Tema 6: Função exponencial
Nesse tópico, abordaremos as características das funções exponenciais e equações exponenciais. 
Os gráficos de função exponencial fazem parte de nosso cotidiano: facilmente podemos identificá-lo 
nos telejornais e notícias, além de estarem presentes em diversas áreas do conhecimento, como na 
Matemática, Física, Economia, Engenharia, Ciências da Computação, Química e Biologia. 
Destaque que, recentemente, as pessoas ficaram isoladas devido a uma pandemia. Durante esse 
período, diariamente, os telejornais e as mídias jornalísticas “bombardeavam” as pessoas com 
informações, e muitas delas com gráficos exponenciais, Vemos, assim, a necessidade de compreender 
as características de uma função exponencial e seu comportamento, a fim de entender as informações 
cotidianas.
Inicie o trabalho, comentando sobre as situações cotidianas nas quais podemos encontrar funções 
exponenciais e seus gráficos. Questione os estudantes se conhecem alguma situação e comente 
sobre a propagação de vírus que ocorre de forma exponencial, como taxas de juros. Essa reflexão 
contribuirá para que os estudantes compreendam que a função exponencial está ligada ao 
crescimento muito rápido, o que, de certa maneira, contribuirá para entender o comportamento 
deste tipo de função. Assista ao videoaula "A função exponencial" e, se possível, faça uma projeção 
para os estudantes durante a aula.
Para resolver problemas referentes à função exponencial, é importante recordar as propriedades 
de potenciação. Coloque-as na lousa e, ao lado delas, faça um exemplo.
an. am = a(n+m) = 25. 22 = 2(5+2) = 27
an: am = a(n-m) = 37 . 34 = 3(7-4) = 33 
(an)m = anm = (5)4 = 5(2 .4) = 58
a
b 
n
= 
an
bn = 
2
3 
2
 = 
22
32 
(ab)n = an bn = (2x)2 = 22 x2
Esclareça que a função exponencial é uma f: R → R, e que tem como característica a variável no 
expoente: f(x) = ax, onde a ∈ R+
* e a ≠ 1. O valor de a é muito importante na função exponencial. Na lousa, 
escreva a função f(x) = 1x e peça para que os alunos encontrem os valores correspondentes, quando 
x = 2 e x = 10. O resultado sempre será 1. Desse exemplo, ficará claro para os alunos a definição de a ≠ 1. 
Ainda na lousa, escreva duas funções: uma com valor de a > 0 e outra com 0 < a < 1. Exemplo: 
f(x) = 2x e f(x) = 
1x
2 . Deixe claro que não há situação com a < 0, e que isso se deve à definição 
dada no início, onde a ∈ R+
*. Logo, a não pode ser negativo. Peça para que construam os gráficos, 
utilizando como valores x = (-2; -1; 0; 1; 2), e para os inserirem em um mesmo plano cartesiano. Isso 
facilitará a visualização, a comparação e o entendimento do que ocorre com uma função crescente 
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Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 1
e uma função decrescente. O gráfico da função f(x) = 
1x
2 com a > 0, será crescente, enquanto o 
gráfico da função f(x) = 
1x
2 com 0 < a < 1 será decrescente.
Equações exponenciais
Comece a aula esclarecendo que, diferentemente das funções exponenciais, nas equações não nos 
preocupamos muito com os gráficos, mas sim com encontrar valores de x que satisfaçam a equação. 
Questione os estudantes sobre o que recordam sobre fatoração de um número e, depois de ouvi-los, 
explique o que é fatorar/decompor um número em fatores primos.
Na lousa, faça a fatoração de alguns números, como, por exemplo, 8, 12 e 27. Ao concluir, escrevaos 
valores encontrados na forma de potência, obtendo 8 = 2³, 12 = 2².3 e 20 = 2².5. 
Esclareça que reescrever alguns números na forma de potência facilitará os cálculos com exponenciais; 
e que isso ocorre porque, na maioria dos casos, trata-se de uma comparação de potências da 
mesma base. Escreva na lousa exemplos de equações exponenciais: use (2x = 8), (4x+5 = 45) e 
(2x-3 = 32). Resolva passo a passo, tirando dúvidas e esclarecendo os procedimentos realizados. 
Comece pela equação (2x = 8):
a. 2X = 8, decomponha o 8 em fatores primos (23).
b. 2X = 8 ⇒ 2X = 23 ⇒ x = 3
c. 4(X+5) = 4(5) (cancela as bases) ⇒ x + 5 = 5 ⇒ x = 5 - 5 ⇒ x = 0
d. 2(X-3) = 32 ⇒ 2(X-3) = 25 ⇒ x - 3 = 5 ⇒ x = 5 + 3 ⇒ x = 8
Para complementar, utilize também os exemplos e imagens contidas na página 55 do livro e 
acompanhe a resolução das atividades propostas.
Tema 7: Função logarítmica
Introduzir funções logarítmicas requer prática na manipulação de logaritmos e compreensão de 
como eles são usados para representar relações matemáticas. À medida em que o aluno ganha 
experiência no desenvolvimento de atividades envolvendo logaritmos, aprofunde as aprendizagens 
na construção e na interpretação de funções logarítmicas. 
Inicialmente, solicite que os estudantes construam gráficos de funções logarítmicas e que analisem 
o comportamento de sua representação gráfica. Chame a atenção para funções crescentes e 
decrescentes, analisando a base da função. 
Assim, em uma função logarítmica f: R* + → R com lei de formação x, se sua base é a > 1, a função 
é crescente. Quando 0 < a < 1, a função será decrescente.
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x1
a > 1
y
x1
0 < a < 1
y
Apresente quantos exemplos julgar necessário para que a turma compreenda a construção de uma 
função logarítmica. Amplie as discussões, apresentando situações reais nas quais as operações 
logarítmicas são úteis para obter a solução, tais como finanças e investimentos; medição de escalas e 
decibéis; medição de pH; cálculo da meia vida de uma substância química; Computação e algoritmos 
de compactação; engenharias e economias.
REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 21REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 21 29/12/23 11:5229/12/23 11:52
8
Produto cartesiano
A ideia de utilizar coordenadas para localizar um ponto é a mesma utilizada no conceito de par orde-
nado.
Dizemos que um par ordenado (x, y) de um ponto P é formado por um valor x, chamado abscissa de 
P, e por um valor y, chamado ordenada de P.
Dizemos também que dois pares ordenados (x, y) e (a, b) serão iguais quando x = a e y = b. É conveniente 
notar que o par (x, y) é diferente do par (y, x), a não ser que x = y.
Com os elementos que vimos, podemos definir o produto cartesiano de dois conjuntos, A e B.
O produto cartesiano de A por B (A e B, não vazios) é o conjunto formado por todos os pares 
ordenados (x, y), tais que x ∈ A e y ∈ B.
A × B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}
Considere, por exemplo, os conjuntos A = {0,3,7} e B = {5,1}. Para esses dois conjuntos, podemos 
fazer:
A × B = {(0,5); (0,1); (3,5); (3,1); (7,5); (7,1)}
B × A = {(5,0); (5,3); (5,7); (1,0); (1,3); (1,7)}
Veja que A × B ≠ B × A pela ordem em que as coordenadas dos pares ordenados se apresentam.
Representação gráfica 
A representação gráfica do produto cartesiano de dois conjuntos numéricos é realizada utilizando-
-se o sistema cartesiano ortogonal, também chamado de plano cartesiano. Esse sistema é constitu-
ído por dois eixos (retas orientadas) perpendiculares, como mostra a figura a seguir:
xP0
yP
2˚ quadrante 1˚ quadrante
3˚ quadrante 4˚ quadrante
y
P
x
No plano cartesiano, convencionamos:
• O = origem
• Ox
� ��
 = eixo das abscissas xP: abscissa de P
• Oy
� ��
 = eixo das ordenadas yP: ordenada de P
Dizemos que (x, y) é o par ordenado do ponto P em relação ao sistema de eixos Oxy. Os eixos Ox e 
Oy dividem o plano em quatro regiões, chamadas de quadrantes, caracterizadas pelos sinais das 
coordenadas de seus pontos.
EM13MAT301
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9
1. Dados os conjuntos A = {0, 1, –1}, B = {–2, 3} e C = {4}, escreva o conjunto dos pares ordenados 
dos produtos:
a) A × B
A × B = {(0, -2), (0, 3), (1, -2), (1, 3), (-1, -2), (-1, 3)}
b) B × A
B × A = {(-2, 0), (-2, 1), (-2, -1), (3, 0), (3, 1), (3, -1)}
c) B2
B² = {(-2, -2), (-2, 3), (3, -2), (3, 3)}
d) C × B
C × B = {(4, - 2), (4, 3)}
2. O número de elementos de um conjunto P é 2p, e o de um conjunto Q é 2q. Calcule o número 
de elementos de Q × P nos seguintes casos:
a) p = q = 3
64
b) p = 2 e q = 5
128
3. Dados A = [2; 4] e B = [1; 4], represente no plano cartesiano os produtos indicados:
a) A × B
b) B × A
c) A × A
d) B × B
Atividades
0
1
2
3
4
1 2 3 4
y
A x B
x 0
1
2
3
4
1 2 3 4
y
B x A
x
0
1
2
3
4
1 2 3 4
y
A x A
x 0
1
2
3
4
1 2 3 4
y
B x B
x
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10
Funções: principais conceitos
Dados os conjuntos A e B, uma função f: A → B (lê-se “uma função de A em B”) é uma lei, regra (ou 
conjunto de instruções) que diz como associar a cada elemento x ∈ A um único elemento y = f(x) ∈ B. 
O conjunto A chama-se domínio, e B é o contradomínio da função f.
Veja alguns exemplos de representação de funções de A em B em diagramas:
A
f
B
3
2
3
1
2
4
1
4
A f B
3
0
–1
2
4
1
1
A f B
2
3
4
5
1
2
0
1
6
0
3
Observe que em cada diagrama, todo elemento de A tem um único correspondente em B.
A
f BIm
4
–1
1
2
2
1
3
5–2
O conjunto formado pelos correspondentes de A em B é chamado de conjunto imagem (Im).
Representamos assim os conjuntos Domínio (D), Contradomínio (CD) e Imagem (Im):
D = {–2, –1, 1, 2}
CD = {1, 2, 3, 4, 5}
Im = {1, 2}
EM13MAT302 
EM13MAT404
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11
Gráfico de uma função
O gráfico de uma função f: A → B é o subconjunto G do produto cartesiano A × B, formado por todos 
os pares ordenados (x, y), em que x é um ponto qualquer de A e y = f(x) pertence a B.
G = {(x, y) ∈ A × B | y = f(x)}
Para obtermos gráficos de funções definidas por leis y = f(x), podemos construir uma tabela a partir 
de alguns valores x do domínio, obtendo y. A cada par (x, y) associamos um ponto no plano cartesiano. 
O conjunto de todos os pontos (x, y) será o gráfico de f(x). O domínio será representado no eixo x e o 
contradomínio, no eixo y.
xP0
yP
y
P
x
Representação do ponto P no plano cartesiano.
Atividades
4. Seja f: R → R uma função definida pela lei f(x) = x2 – x + 1. Determine:
a) f(0)
f(0) = 1
b) 



f 1
2
f = 1 
2
 = 3 
4
c) f( 2 )
f( 2 ) = 3 - 2
5. Determine o conjunto imagem da função f: A → B, sendo A = {–2, 0, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e 
f(x) = x2.
Im = {0, 4}
6. Dados os conjuntos A = {x ∈ Z | –3 ≤ x ≤ 2} e B = {x ∈ Z | –5 ≤ x ≤ 5}, determine o conjunto 
imagem das funções f: A → B definidas pelas leis:
a) f(x) = x
Im = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}
b) f(x) = 2x + 1
Im = {-5, -3, -1, 1, 3, 5}
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12
7. Sabendo que f: R → R é definida por f(x) = 2x – 8, determine quais elementos do domínio têm 
as seguintes imagens:
a) –2
x = 3
b) 2
5
x = 21 
5
8. Construa o gráfico das seguintes funções de domínio real:
a) f(x) = x + 2 b) f(x) = 2x + 1
2
9. Verifique quais dos gráficos representam funções de variáveis reais:
a) 
b) 
c) 
d) 
Representam funções os gráficos dos itens a e c.
10. Qual é o maior subconjunto D ⊂ R em que sejam definidas as funções reais:
a) f(x) = x2 – 3x + 2
D = R
b) f(x) = x3
D = R
c) f(x) =x
1
D = R*
d) f(x) = x2 7−
D = x ∈ R| x ≥ 7 
2
0
1
–1
5
2
1
2
3
2
1–1 2
y
x
0
3
2
1
1–1
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
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13
5–
2
5–
2
0
–7
–4
7
5
y
x
0
2–2
4
y
x
0
y
x
11. Qual é o domínio e a imagem de cada uma das funções representadas pelos gráficos?
a) b) c)
D = {x ∈ R | -7 ≤ x ≤ 7} e
Im = {y ∈ R | -4 ≤ y ≤ 5}
D = R e Im = {y ∈ R | y ≤ 4} D = R* e Im = R*+
Zero ou raiz de uma função
Denomina-se zero de uma função todo valor de x ∈ D tal que f(x) = 0.
Os zeros de uma função são as abscissas dos pontos em que seu gráfico cruza o eixo Ox
� ���
. Por exemplo:
0
y
xx1 x2 x3
f x
f x
f x
( ) 0
( ) 0
( ) 0
1
2
3
=
=
=





⇒ x1, x2 e x3 são os zeros da função. Também podemos dizer que são as raízes da equação 
f(x) = 0.
Para calcular os zeros, deve-se igualar a função a zero e resolver a equação obtida.
Veja os exemplos de determinação do zero das funções: 
a) f(x) = 2x + 4
b) f(x) = x2 – 3x + 2
Para calcularmos os zeros das funções, resolvemos a equação f(x) = 0. Assim:
a) 2x + 4 = 0 ⇒ x = –2 
–2 é o zero da função.
b) x2 – 3x + 2 = 0 é uma equação do 2.º grau do tipo ax2 + bx + c = 0. Para resolvê-la, usamos a 
fórmula: 
x = 
b
a2
− ± ∆
Calculamos inicialmente ∆ = b2 – 4ac. Assim, temos:
x2 – 3x + 2 = 0
∆ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 9 – 8 = 1
Depois, obtemos x = 
( 3) 1
2
− − ±
, ou seja:
x = 3 1
2
+ = 2 ou x = 3 1
2
− = 1
Logo, os zeros da função são 2 e 1.
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14
12. Determine os zeros das funções de variáveis reais:
a) f(x) = 2x – 6
3
b) f(x) = 3x + 12
-4 
c) f(x) = x2 – 4x – 5
5 e -1
d) f(x) = 2x2 + 3x + 1
1
2
−
e -1
13. Calcule m para que o valor indicado de x seja o zero da função f:
a) x = 1; f(x) = m2x – 9 = 0
m ± 3
b) x = 3; f(x) = mx
x
3
1
+
+
 = 0
-1
14. A partir dos gráficos, indique, se existirem, os zeros das funções:
a) 
1 e 4
b) 
A função não tem zero. 
c) 
A função não tem zero. 
d) 
2
0 1 4
9–
4
4
y
x
5
2
0 1
1
y
x
0 1 5–1
1
y
x
0 2
y
x
Atividades
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15
Estudo do sinal de uma função
Estudar o sinal de uma função significa determinar para quais valores de x, do domínio D, f(x) é 
positivo, negativo ou nulo.
Graficamente, o estudo do sinal é feito localizando-se os pontos que estão acima, abaixo ou no eixo 
das abscissas. Veja o gráfico a seguir:
0
y
xx1–
+
–
+
x2 x3
Para os valores de x pertencentes ao domínio que sejam menores que x1 ou estejam entre x2 e x3, 
a imagem assume valores negativos.
x < x1 ou x2 < x < x3 ⇒ y < 0
Para os valores x do domínio que estejam entre x1 e x2 ou sejam maiores que x3, a imagem assume 
valores positivos.
x1< x < x2 ou x >x3⇒ y > 0
E para os valores x1, x2 e x3 do domínio, a imagem é igual a zero.
x = x1 = x2 = x3 ⇒ y = 0
Observe como fazemos o estudo do sinal, dado o gráfico da função y = f(x): 
0
y
x2 7
Primeiramente, notamos que os zeros da função são 2 e 7. Em seguida, localizamos os pontos do 
gráfico que estão acima ou abaixo do eixo x.
0
y
y > 0 y > 0
x2 7
0
y
y < 0
x2 7
  
0
y
y > 0 y > 0
x2 7
0
y
y < 0
x2 7
Para x menor que 2 ou x maior que 7, temos y acima do eixo das abscissas, e para x entre 2 e 7, y 
está abaixo do eixo das abscissas. Resumidamente, podemos escrever:
x < 2 ou x > 7 ⇒ y > 0
x = 2 ou x = 7 ⇒ y = 0
2 < x < 7 ⇒ y < 0
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16
15. Faça o estudo do sinal de cada função representada nos gráficos a seguir:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
16. Para cada função real a seguir, construa o gráfico e faça o estudo dos sinais:
a) y = 3x – 6 b) y = – 2x + 4
x < 2 ⇒ y > 0
x = 2 ⇒ y = 0
x > 2 ⇒ y < 0
0
y
x2
0 2
–5
y
x
7
2
9
2
5–
2
-5 
2
 < x < 2 ou 7 
2
 < x ≤ 9 
2
 ⇒ y > 0
-5 ≤ x < -5 
2
 ou 2 < x < 7 
2
 ⇒ y < 0
0 1 5–1
1
y
x
∀ x ∈ D ⇒ y > 0
0
y
x
∀ x ∈ D ⇒ y < 0
0
y
x
x > 0 ⇒ y > 0
x = 0 ⇒ y = 0
x < 0 ⇒ y < 0
0 1
y
x
D = R*+
x > 1 ⇒ y > 0
x = 1 ⇒ y = 0
0 < x < 1 ⇒ y < 0
x < 2 ⇒ y < 0
x = 2 ⇒ y = 0
x > 2 ⇒ y > 0
0 1 2
–5
–3
y
x
x < 2 ⇒ y > 0
x = 2 ⇒ y = 0
x > 2 ⇒ y < 0
0
2
4
1 2
y
x
Atividades
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17
c) y = x2 – 9 d) y = – x2 + 1
Funções crescentes e funções decrescentes
Uma função y = f(x) é crescente em um intervalo contido no domínio de f se, para quaisquer x1 e x2 
desse intervalo, ocorrer:
x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(x1)
Veja o gráfico de uma função crescente, pois para x2 > x1, temos f(x2) > f(x1).
0 x1
f (x2)
f (x1)
x2
y
x
Uma função y = f(x) será decrescente em um intervalo contido no domínio D se, para quaisquer x1 
e x2 desse intervalo, ocorrer:
x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1)
Veja o gráfico de uma função decrescente, pois para x2 > x1, temos f(x2) < f(x1).
0 x1
f (x2)
f (x1)
x2
y
x
x < -3 ou x > 3 ⇒ y > 0
x = -3 ou x = 3 ⇒ y = 0
-3 < x < 3 ⇒ y < 0
0
–9
3–3
y
x
x < -1 ou x > 1 ⇒ y < 0
x = -1 ou x = 1 ⇒ y = 0 
-1 < x < 1 ⇒ y > 0
0 1
1
2–2 –1
–3
y
x
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18
Acompanhe a análise do crescimento ou decrescimento da função y = f(x) representada no gráfico:
0 1 8
3–3
y
x
11
2
f é crescente para 
x
x
3 1
11
2
8
− ≤ ≤
≤ ≤




f é decrescente para 1 ≤ x ≤ 3
No intervalo de 3 a 11
2
, a função não cresce nem decresce. Dizemos então que, nesse intervalo, a 
função é constante.
f é constante para 3 ≤ x ≤ 11
2
Atividades
17. Determine os intervalos em que as funções são crescentes, decrescentes ou constantes:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
0 1
y
x
0
4
2–2
y
x
0
D = R*
y
x
0
4
1–4
–2 5
3
y
x
0
y
x
∀ x ∈ R ⇒ f é decrescente
x ≤ 0 ⇒ f é crescente
x ≥ 0 ⇒ f é decrescente
∀ x ∈ R* ⇒ f é decrescente
-2 ≤ x ≤ 1 ⇒ f é crescente
-4 ≤ x ≤ -2 e 3 ≤ x ≤ 5 ⇒
⇒ f é decrescente
1 ≤ x ≤ 3 ⇒ f é constante
∀ x ∈ R ⇒ f é crescente
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19
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
A função afim
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20
Função afim
Uma função f: R → R chama-se afim quando existem constantes a, b ∈ R tais que f(x) = ax + b para 
todo x ∈ R.
f(x) = ax + b (a ∈ R e b ∈ R) é a lei de uma função afim.
O gráfico da função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox
� ��
.
y y
a > 0 a < 0
xO xO
ou
domínio: D = R
imagem: Im = R
As funções lineares e constantes são casos particulares da função afim. Vamos analisá-las a seguir.
Função linear
Uma função f: R → R chama-se linear quando existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo 
x ∈ R.
f(x) = ax (a ∈ R) é a lei da função linear.
O gráfico da função linear é uma reta não perpendicular ao eixo Ox
� ��
 e que cruza a origem do plano 
cartesiano.
y
x x
ou
O
y
O
a > 0 a < 0
domínio: D = R
imagem: Im = R
Funções elementares
EM13MAT101, EM13MAT302 e EM13MAT401
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21
Função constante
Uma função f: R → R chama-se constante quando existe uma constante b ∈ R tal que f(x)= b para 
todo x ∈ R.
f(x) = b (b ∈ R) é a lei da função constante.
O gráfico da função constante é uma reta paralela ou coincidente ao eixo das abscissas Ox
� ��
 e que 
cruza o eixo Oy
� ��
no ponto de ordenada b.
y
xO
b
b
y
xO
y
xO
b > 0
b = 0
b < 0
domínio: D = R
imagem: Im = {b}
Observe como fazemos para traçar o gráfico das funções reais definidas por:
a) f(x) = x + 2
b) f(x) = x
a) Como a função foi definida como real, isso indica que o domínio é D = R. Portanto, o conjunto 
imagem também é Im = R.
Como o gráfico da função afim é uma reta, basta obtermos as coordenadas de dois pontos para 
construirmos o gráfico. Para isso, atribuímos dois valores reais a x e calculamos y.
x y = f(x) = x + 2
0 0 + 2 = 2
1 1 + 2 = 3
y
1 x0
2
3
REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 21REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 21 29/12/23 11:5229/12/23 11:52
22
Marcamos os pontos de coordenadas (0, 2) e (1, 3) e traçamos a reta determinada por esses dois 
pontos.
b) Domínio: D = R; Imagem: Im = R
x y = f(x) = x
0 0
1 1
Essa função linear é denominada de função identidade. O gráfico é a bissetriz dos quadrantes 
ímpares.
Veja agora como uma determinada situação pode ser descrita por uma função afim. Suponha que 
um estacionamento de motos cobre R$ 7,00 na entrada e mais R$ 0,01 por cada minuto que o 
automóvel permanecer estacionado.
A expressão que relaciona o custo C em função do tempo t de permanência no estacionamento 
será C(t) = 7,00 + 0,01t.
Quanto tempo uma moto permaneceu estacionada se, ao final desse período que teve um custo 
de R$ 9,55? 
Substituindo na função o custo de R$ 9,55, temos:
9,55 = 7,00 + 0,01 t
9,55– 7,00 = 0,01 t ⇒ t = 255min = 4,25h = 4h e 15min
Por fim, o gráfico que representa o custo em função do tempo de permanência, será:a) 
C(R$)
t(min)300255240180120600
1,00
7,00
10,00
9,00
9,55
y
1
1
x
45°
0
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23
18. Construa o gráfico de cada uma das funções reais:
a) f(x) = 2x + 5 b) f(x) = –x + 1
19. Indique o domínio, a imagem e a lei da função em cada um dos gráficos:
a) b)
D = R; Im = {-2}; f (x ) = -2 D = R; Im = {0}; f (x ) = 0
20. Em certa cidade paga-se pelo serviço de táxi, em dia útil, das 6h às 20h, o valor de R$ 8,20 
pela bandeirada, mais R$ 2,40 por quilômetro rodado.
a) Escreva a lei da função que expressa o preço P em função do quilômetro rodado x.
p(x) = 2,40x + 8,20
b) Calcule quantos quilômetros o táxi percorreu se foram pagos R$ 32,20 pelo serviço.
x = 10 km
x
y
3
0–1
5
x
y
1
10
x
y
0
–2
x
y
0
Atividades
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24
Estudo do sinal da função afim
O zero da função afim é o valor de x para o qual y = f(x) = 0.
y = f(x) = ax + b → ax + b = 0
ax = –b → x b
a
= −
No gráfico da função afim, a raiz identifica o ponto em que a reta cruza o eixo das abscissas Ox
� ����
( ) .
x
y
0 b
– a
zero da função
x
y
0 b
– a
zero da função
O estudo dos sinais da função afim pode ser realizado diretamente no gráfico.
x
+
y
0
–
x
+
y
0
–
Podemos esquematizar esse estudo considerando apenas o eixo Ox
� ��
, a raiz e a variação de sinal da 
função:
x
+
b
– –a
x
+
b
–– a
a > 0 a < 0
EM13MAT404
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25
Simplificando, temos:
sinal de
(–a)
sinal de
(a)
xb
– a  
x b
a
y a
x b
a
y
x b
a
y a
temsinalde
0
temsinalde
( )< − ⇒ −
= − ⇒ =
> − ⇒











Acompanhe o estudo do sinal das seguintes funções de domínio real:
a) f(x) = 2x + 10
b) f(x) = –2x – 5
a) Cálculo da raiz:
2x + 10 = 0 ⇒ 2x = –10 ⇒ x = –5
x
+
–5
–
x
+
–5
–
a > 0
Estudo do sinal: 
x y
x y
x y
5 0
5 0
5 0
< − ⇒ <
= − ⇒ =
> − ⇒ >




b) Cálculo da raiz:
–2x – 5 = 0 ⇒ –2x = 5 ⇒ x = 5
2
−
x
+
–
x
+ –
5–
2
5–
2
a < 0
Estudo do sinal: 
x y
x y
x y
5
2
0
5
2
0
5
2
0
< − ⇒ >
= − ⇒ =
> − ⇒ <











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26
21. Faça o estudo do sinal das funções:
a) f(x) = 3x b) g(x) = –2x – 6
x < 0 ⇒ y < 0
x = 0 ⇒ y = 0
x > 0 ⇒ y > 0
x < -3 ⇒ y > 0
x = -3 ⇒ y = 0
x > -3 ⇒ y < 0 
22. Faça o estudo do sinal das funções:
a) b)
x < 0 ⇒ y > 0
x = 0 ⇒ y = 0
x > 0 ⇒ y < 0
x < 0 ⇒ y < 0
x = 0 ⇒ y = 0
x > 0 ⇒ y > 0
23. Dada a função real f(x) = –3x + 12:
a) Qual é a ordenada do ponto em que o gráfico de f cruza o eixo Oy
� ���
?
12
b) Qual é a abscissa do ponto em que o gráfico de f cruza o eixo Ox
� ��
?
4
24. Determine m para que o estudo dos sinais da função f(x) = mx + 2 seja:
x y
x y
x y
1 0
1 0
1 0
< ⇒ >
= ⇒ =
> ⇒ <




m = –2
x
y
1/2
0–1 x2
y
1
0
Atividades
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27
Inequações de 1º grau
Inequação de 1º grau é toda inequação que pode ser escrita na forma geral:
ax + b > 0 ou ax + b ≥ 0 ou ax + b < 0 ou
ax + b ≤ 0, com a ≠ 0.
Uma inequação de 1o grau pode ser resolvida da seguinte forma:
– coloca-se a inequação na forma geral e determina-se a raiz da equação ax + b = 0;
– representa-se graficamente o estudo do sinal de f(x);
– escolhe-se o intervalo que satisfaz a inequação;
– dá-se o conjunto solução.
Vamos resolver a inequação 3x – 12 ≥ 0.
Considerando f(x) = 3x – 12, temos:
raiz: 3x – 12 = 0 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4
Assim, a solução é S = {x ∈ R | x ≥ 4}.
Sistema de inequações de 1º grau
Duas ou mais inequações de 1º grau formam o que chamamos sistema de inequações do 1º grau.
O conjunto solução de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos 
solução de cada inequação. Veja como resolvemos o seguinte sistema
x
x
2 3 5
4 18 6
− ≥
− <



Considerando a 1ª inequação:
2x – 3 ≥ 5
2x – 8 ≥ 0
2x – 8 = 0
x = 4
Considerando a 2ª inequação:
4x – 18 < 6
4x – 24 < 0
4x – 24 = 0 
x = 6
Fazendo a intersecção entre o conjunto solução da 1ª inequação e da 2ª, temos:
x6
64
4 x
x
Logo, S = {x ∈ R | 4 ≤ x < 6}.
x4
– +
f
x4
– +
f
x6
– +
f
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EF05MA02 e EF05MA05
VIDEOAULA
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DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
28
Inequação produto e inequação quociente
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29
Inequação produto 
e inequação quociente
As inequações dispostas em forma de produto ou quociente de funções são resolvidas por meio do 
estudo da variação do sinal de cada função.
Acompanhe como determinamos a solução da inequação produto (6 – 2x)(x – 1) ≥ 0.
Sendo f(x) = 6 – 2x e g(x) = x – 1, vamos obter as raízes de cada uma das equações:
6 – 2x = 0 ⇒ x = 3
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
– constrói-se um quadro com três eixos: um para cada função e um para o conjunto solução;
– faz-se o estudo do sinal de f e g;
– efetua-se o produto em cada intervalo e faz-se a representação no eixo de f ⋅ g.
3
3
+– –
1
1
f · g
x
+– +
g
x
++ –
f
x
A solução é o intervalo [1, 3], pois isso torna o produto positivo ou nulo.
S = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3}
Veja agora um exemplo de resolução de uma inequação quociente:
x
x
1
2 10
−
− −
 ≤ 0.
Sendo f(x) = x – 1 e g(x) = –2x – 10, vamos obter as raízes de cada uma das equações:
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
–2x – 10 = 0 ⇒ x = –5
1
1
+– –
–5
–5
x
–+ –
g
x
–– +
f
x
f
g
Observe que na solução,não incluímos o valor –5, pois isso anula o denominador da fração.
S = {x ∈ R | x < –5 ou x ≥ 1}.
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30
25. Dê o conjunto solução das seguintes inequações:
a) 2x – 6 > 8 b) 2x + 18 < 0
S = {x ∈ R | x > 7} S = {x ∈ R | x < –9}
26. Resolva as inequações:
a) 3x – 5 ≥ –2x + 1 b) –4x + 3 ≤2(x + 1)
S = {x ∈ R | x ≥ 6 
5
} S = {x ∈ R | x ≥ 1 
6
}
27. Resolva os sistemas de inequações do 1º grau:
a) x
x
3 1 13
3 8
+ ≥
− <



b) x
x
4 6
2 3 5
− <
− ≤



S = {x ∈ R | 4 ≤ x ≤ 11} S = {x ∈ R | –2 ≤ x ≤ 4}
28. Determine o conjunto solução das inequações produto:
a) (x + 2) ⋅ (x – 2) > 0 b) (2x – 5) ⋅ (4 – x) < 0
S = {x ∈ R | x < –2 ou x > 4}
S = {x ∈ R | x < 5 
2
 ou x > 4}
Atividades
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31
Função quadrática
Uma função f: R → R é chamada de quadrática quando existem números reais a, b, e c, com a ≠ 0, 
tais que f(x) = ax2 + bx + c para todo x ∈ R.
f(x) = ax2 + bx + c (a ∈ R*, b e c ∈ R)
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo a Oy
� ��
. O ponto 
de intersecção da parábola com o eixo de simetria é denominado vértice.
vértice
eixo de simetria
y
xO
De acordo com a lei da função quadrática, a parábola que a representa pode ter concavidade 
voltada para baixo, se a < 0, ou para cima, se a > 0.
a < 0
y
VyV
xV xO
         a > 0
y
yV
xV xO
V
concavidade para baixo       concavidade para cima
Observe no gráfico que, se a < 0, o ponto V é um ponto de máximo da função e se a > 0, V é ponto 
de mínimo.
Coordenadas do vértice da parábola
O vértice da parábola de equação y = ax2 + bx +c é seu ponto de altura máxima (quando a < 0) ou 
mínima (quando a >0).
A parábola cruza o eixo Oy
� ��
 no ponto de ordenada c. No entanto, existem dois pontos de ordenada c.
y
yV
xV x
c
O b
– a
EM13MAT302, EM13MAT402 e EM13MAT503
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32
Para encontrá-los, substituímos y = c na lei y = ax2 + bx +c. Assim:
c = ax2 + bx +c ⇒ ax2 + bx = 0
Fatorando e resolvendo a equação, temos:
x(ax + b) = 0 ⇒ x = 0 ou x = b
a
−
Devido à simetria da parábola, xV é a metade de b
a
− , ou seja, xV = b
a2
− .
Substituindo xV = b
a2
− em y = ax2 + bx +c, obtemos a ordenada do vértice yV:
yV = a b
a
b b
a
c a b
a
b
a
c
2 2 4 2
2 2
2
2
−



+ −



+ = ⋅ − +
Assim:
yV = b
a
b
a
c b b ac
a
b ac
a a4 2
2 4
4
4
4 4
2 2 2 2 2
− + = − + = − + = − ∆
Portanto, as coordenadas do vértice da parábola são:
xV = b
a2
− e yV = 
a4
− ∆
Para construir o gráfico de uma função quadrática, devemos proceder da mesma forma que 
procedemos ao construir o gráfico da função afim, construindo uma tabela, tomando o cuidado de, 
antes, calcular as coordenadas do vértice para, em seguida escolher valores simétricos em relação 
à abscissa do vértice.
valores
simétricos em
relação a xV
xV
x3
x4
x2
x1
x y = f(x)
yV
Arte: aplicar retícula suave na faixa amarela.
O conjunto imagem da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c de domínio real depende da ordenada 
do vértice y
a4V
= − ∆ e da concavidade da parábola.
Im
a < 0
y
VyV
xO
     a > 0
y
yV
Im
xO
V
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33
O conjunto imagem da função é:
y R y
a
Im |
4
= ∈ ≤ − ∆





 se a < 0 ou y R y
a
Im |
4
= ∈ ≥ − ∆





 se a > 0
Veja como fazemos o esboço do gráfico da função y = x2 – 4.
Em primeiro lugar, calculamos a abscissa do vértice:
x b
a2V
= − → x 0
2
0
V
= − =
A partir de xV, construímos a tabela:
x y = f(x) = x2 – 4
–2 0
–1 –3
0 –4
1 –3
2 0
Marcamos esses pares no plano cartesiano:
0 1 2–1–2
–3
–4
y
x
Como o domínio da função é o conjunto dos reais e o gráfico é simétrico em relação ao eixo que 
cruza o vértice, ligamos os pontos determinados de forma a obter uma parábola.
0 1 2–1–2
–3
–4
y
x
Observe que, para valores simétricos do domínio, a função associa imagens iguais. Portanto, 
dizemos que a função f(x) = x2 – 4 é par, visto que f(x) = f(–x).
REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 33REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 33 29/12/23 11:5329/12/23 11:53
34
Atividades
29. Determine as coordenadas do vértice em cada função e indique se é ponto de máximo ou 
ponto de mínimo:
a) f(x) = x2
V = (0, 0); mínimo.
b) f(x) = –6x2 – 12x
V = (-1, 6); máximo.
30. Construa o gráfico das funções:
a) f(x) = x2 b) f(x) = x2 – 4
31. Determine para quais valores do domínio a função f é decrescente:
a) f(x) = 3x2 – 6x + 10
S = {x ∈ R | x ≤ 1}
b) f(x) = –5x2 + 8x – 12
S = {x ∈ R | x ≥ 4 
5
}
32. Determine o ponto em que a parábola cruza o eixo 
� ���
Oy :
a) f(x) = x2 – 6x – 3
(0, -3)
b) f(x) = –x2 – 200
(0, -200) 
4
1
0 1 2–2 –1
y
x
0
1 2–1–2
–3
–4
y
x
REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 34REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 34 29/12/23 11:5329/12/23 11:53
35
Estudo do sinal da função quadrática
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
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36
Para determinar os zeros de uma função quadrática, basta fazer f(x) = 0 e resolver a equação obtida 
usando a conhecida fórmula de Bhaskara. Verifique esta fórmula completando os quadrados para 
obter um trinômio de quadrado perfeito.
a2 + bx + c = 0
A solução geral é dada pela fórmula de Báskara::
x b
a2
= − ± ∆ , em que ∆ = b2 – 4ac
No gráfico, as raízes indicam os pontos em que a parábola cruza o eixo 
� ���
Ox .
c
y
x1 x2 xO
(0, c): intersecção com 
� ���
Oy ; (x1, 0) e (x2, 0): intersecção com 
� ���
Ox .
O estudo dos sinais da função quadrática pode ser realizado diretamente no gráfico:
a Δ a > 0 a < 0
∆ > 0 ++
–x1 x2 x
x1 = x2
x– –
∆ = 0
x1 x2
x– –
+
x
+ ++
∆ < 0
x1 = x2 x
+ +
x– ––
Acompanhe dois casos em que fazemos o estudo do sinal das funções de domínio R:
a) f(x) = x2 – 4
b) f(x) = –x2 – 4x – 4
a) Inicialmente, vamos determinar as raízes.
∆ = 02 – 4 ⋅ (1) (–4) = 16
x = 0 16
2
4
2
± = ± ⇒ 
x
x
2
2
1
2
= −
=




Estudo do sinal da 
função quadrática
EM13MAT404
REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 36REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 36 29/12/23 11:5329/12/23 11:53
37
Em seguida, fazemos um esboço do gráfico para melhor visualizar o estudo de sinais:
a > 0
∆ > 0
+ +–
x–2 2
Dessa forma:
x < –2 ou x > 2 ⇒ y > 0 x = –2 ou x = 2 ⇒ y = 0 –2 < x < 2 ⇒ y < 0
b) ∆ = (–4)2 – 4 ⋅ (–1) (–4) ⇒ ∆ = 0
x = 4 0
2
4 0
2
±
−
= ±
−
x1 = x2 = –2
a < 0
∆ = 0
– ––2
x = –2 ⇒ y = 0 x ≠ –2 ⇒ y < 0
Atividades
33. Determine os zeros das funções:
a) f(x) = 3x2 – 6x + 3
S = {1} 
b) f(x) = 6x2 – 12x
S = {0 , 2} 
c) f(x) = 5x2 – 20
S = {-2 , 2} 
d) f(x) = 3x2 – 2x + 5
S = ∅
34. Dada a função real f(x) = x2 + 3x – 10, determine:
a) os pontos em que a curva cruza Ox
� ��
;
(2, 0) e (- 5, 0)
b) o intervalo do domínio em que a função é negativa.
{x ∈ R | -5 < x < 2}
35. Faça o estudo do sinal das funções:
a) f(x) = 2x2 – 5x + 3 b) f(x) = –3x2 + 10x – 9
x < 1 ou x > 3 
2
 ⇒ y > 0
x = 1 ou x = 3 
2
 ⇒ y = 0
1 < x < 3 
2
⇒ y < 0
∀ x ⇒ R ⇒ y < 0
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38
Inequações de 2º grau
Chama-se inequação de 2º grau a desigualdade que pode ser escrita na forma geral:
ax2 + bx+ c > 0 ou ax2 + bx + c ≥ 0 ou
ax2 + bx + c < 0 ou ax2 + bx + c ≤ 0, com a ≠ 0.
A solução de uma inequação de 2º grau pode ser obtida aplicando-se o estudo do sinal da função 
quadrática por meio dos seguintes passos:
– coloca-se a inequação na forma geral;
– representa-se graficamente o estudo do sinal de f;
– escolhe-se o intervalo que satisfaz a inequação;
– dá-se o conjunto solução.
Acompanhe como encontramos o conjunto solução, em R, da inequação:
x2 – 6x – 16 ≤ 0
Cálculo das raízes:
∆ = 36 + 64 = 100
x
x
x
6 10
2
2
8
1
2
= ± →
= −
=



 
Representação gráfica:
a > 0
∆ > 0
+ +–
x–2 8
S = {x ∈ R | –2 ≤ x ≤ 8}
36. Resolva as inequações em R:
a) x2 – 5x + 4 ≤ 0 b) 2x2 – 4x + 5 > 0
S = {x ∈ R |1 ≤ x ≤ 4} S = R
Atividades
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39
Atividades
Módulo
Dado um número real x, o módulo de x, denotado por |x|, é igual a x se x ≥ 0 e igual a –x se x < 0. 
Resumidamente, temos:
x x, x
x, x
se 0
se 0
= ≥
− <



Na reta numérica, o módulo de um número corresponde à distância desse número à origem O. 
Por exemplo:
|–3| = –(–3) = 3 |–4| = –(–4) = 4
3210
3 unidades3 unidades
–1–2–3
3 4210
4 unidades4 unidades
–1–2–3–4
 
3210
3 unidades3 unidades
–1–2–3
3 4210
4 unidades4 unidades
–1–2–3–4
Note que o módulo de um número é sempre um número real não negativo.
Equação modular
Equação modular é toda equação em que a variável aparece em módulo. Sua solução é obtida 
aplicando-se a definição de módulo. Observe a resolução das equações modulares:
a) |x| = 2
b) |x| = –2
a) x
x
x
2
2
ou
2
= →
=
= −




Logo, S = {–2, 2}.
b) Como o módulo de um número é sempre um 
número real não negativo, a equação não tem 
solução. Assim, S = ∅.
37. Classifique as sentenças como verdadeiras ou falsas:
a) |–4| > 2
Verdadeira.
b) |5 + 7| = |5| + |7|
Verdadeira.
c) |5 – 7| = |5| – |7|
Falsa.
d) |–5| < 0
Falsa.
e) |–7| ⋅ |2| = |–14|
Verdadeira.
38. Resolva as equações em R:
a) |x – 2| = 6
S = {- 4, 8}
b) |2x + 6| + 3 = 2
S = ∅
c) x2 5
3
1+ =
S = {-4, -1}
REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 39REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 39 29/12/23 11:5329/12/23 11:53
40
Função modular
Um função f: R → R dada por f(x) = |x| é denominada função modular.
As principais características dessa função modular são:
– domínio: R
– imagem: R+
– o gráfico apresenta o seguinte aspecto:
x y = |x|
–2 2
–1 1
0 0
1 1
2 2
Observe que o gráfico da função y = f(x) = |x| é simétrico em relação ao eixo Oy.
� ��
Acompanhe o exemplo de construção do gráfico e determinação do domínio e da imagem da 
função:
f(x) = |x| + 2
Construímos o gráfico de y = |x| e, em seguida, somamos 2 unidades à ordenada de cada ponto.
x y = x
–1 –1
1 1
Assim, temos D = R e Im = [2, +∞[.
Construa o gráfico e escreva qual é o domínio e a imagem das seguintes funções:
a) f(x) = |x – 1| b) f(x) = |x +1|
D = R; Im = R+ D = R; Im = R+
y
x
2
1
0 1 2–2 –1
y
y = |x|
y = |x| + 2
1–1
1
x0
y
y = |x|
1–1
1
2
3
x0
y
y = |x|
y = |x| + 2
1–1
1
x0
y
y = |x|
1–1
1
2
3
x0
y
1 2
1
x0
y
1–1–2
2
1
x0
REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 40REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 40 29/12/23 11:5329/12/23 11:53
41
Função exponencial
VIDEOAULA
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DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
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42
Uma função f: R → R*
+
dada por f(x) = ax, em que a é constante positiva e diferente de 1, é denominada 
função exponencial.
f(x) = ax (a ∈ R, a > 0 e a ≠ 1)
A função exponencial será crescente quando a base a for maior que 1, e decrescente se a for 
positiva e menor que 1. Seu gráfico terá sempre um dos dois aspectos seguintes:
f é crescentea > 1
1
0
y
x
f é crescente0 < a < 1
1
0
y
x
Observe que, nos dois casos, o gráfico de f(x) = ax não cruza o eixo Ox
� ��
, pois para a ∈ R*
+
, ax ≠ 0 para 
qualquer x ∈ R. No entanto, o gráfico de uma função f(x) = ax (a ∈ R*
+
 e a ≠ 1) cruza o eixo Oy
� ��
 no 
ponto (0, 1), pois a0 = 1 para qualquer a ∈ R*
+
.
O domínio da função exponencial é D = R, e seu contradomínio é CD = R*
+. Como a > 0 e a ≠ 1, as 
imagens ax serão sempre positivas. Assim, teremos:
D = R
Im = R*
+
Outra característica de f(x) = ax é ser bijetora, pois f é sobrejetora (CD = Im = R*
+
) e injetora (x1 ≠ x2 
⇔ a ax x
1 2≠ ).
Observe o esboço do gráfico da função f: R → R*
+
, dada por f(x) = 1
2
:
x




A partir de alguns valores x do domínio, obtemos y. Como a função é decrescente, temos o seguinte 
gráfico:
x –2 –1 0 1 2 3
y 4 2 1 1/2 1/4 1/9
1
1–1–2–3 2 3
2
4
8
0
y
x
Função exponencial
Fó
rm
ul
a 
Pr
od
uç
õe
s
EM13MAT304, 
EM13MAT403 e 
EM13MAT404
REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 42REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 42 29/12/23 11:5329/12/23 11:53
43
39. Esboce o gráfico das funções f: R → R*+:
a) f(x) = 1
3
x




b) f(x) = 3x
40. Analise se as funções exponenciais são crescentes ou decrescentes:
a) f(x) = 5x
crescente
b) f(x) = 2–x
decrescente
41. Resolva graficamente o sistema de equações:
x y
y
6
2x
+ =
=



(2, 4)
1
2
1–1–2 2 6
4
2
1
6
0
y
x
1
1
3
1–1–2 2
3
9
0
y
x
1
1
3
1–1–2 2
3
9
0
y
x
1
9
Atividades
REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 43REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 43 29/12/23 11:5329/12/23 11:53
44
Equações exponenciais
Equação exponencial é toda equação que possui a incógnita no expoente de uma potência, como 
no exemplo:
32x–1 = 27
3
4
9
16
x
2



=
22x + 11 ⋅ 2x – 4 = 0
A resolução de uma equação exponencial baseia-se, de forma geral, na comparação de duas 
potências de mesma base:
a ax x
1 2= ⇔ x1 = x2 ou, equivalentemente,
a ax x
1 2≠ ⇔ x1 ≠ x2
y
x
y1
O x1 x1
y2
Relembre as propriedades da potenciação apresentadas a seguir:
• am ⋅ an = am + n
• a
a
m
n = am – n (a ≠ 0)
• (am)n = amn
• a–m = 
a
1
m
 (a ≠ 0)
• a a
m
n mn=
Ao usar essas propriedades, é possível estabelecer um processo de resolução de equações 
exponenciais do tipo ax = b da seguinte forma:
– reduz-se a e b para uma mesma base (se possível), utilizando as propriedades da potenciação;
– igualam-se os expoentes;
– determina-se a incógnita.
Acompanhe a resolução da equação 3x = 81 em R.
Para resolver, escrevemos 81 na base 3. Observe:
3x = 81
3x = 34 ⇒ x = 4
Logo, S = {4}.
Veja agora a solução da equação 2x 14 − = 8 em R.
Resolução
2x 14 − = 8 ⇒ 2
x 1
4
−
 = 8 ⇒ 2
x 1
4
−
 = 23
x 1
4
− = 3 ⇒ x = 13
Logo, S = {13}.
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45
42. Resolva as seguintes equações exponenciais em R:
a) 4x = 64 b) 1
2
1
32
x




=
S = {3} S = {5} 
43. A evolução prevista para a população de uma cidade é dada por P = 125.000 ⋅ 
t
(1,12)20 , em 
que t é o número de anos decorridos após o final de 2003.
a) Qual seria a população no fim de 2003?
132.287,56 habitantes
b) Qual é a população prevista para o fim de 2043?
165.941,52 habitantes
Logaritmo 
Considerando-se dois números N e a reais e positivos, com a ≠ 1, existe sempre um número c tal 
que:
ac = N
A esse expoente c damos o nome de logaritmo de N na base a.
loga N = c ⇔ ac = N
Ou seja, logaN é logaritmo de N na base a, N é o logaritmando e a é a base.
Ainda a partir da definição, podemos estabelecer as condições de existência do logaritmo.
loga N = c ⇔ ac = N, com N > 0, a > 0 e a ≠ 1
Observe alguns exemplos:
log2 8 = c
 2c = 8
 2c = 23
 c = 3
Portanto, log2 8 = 3.
log4 2 = c4c = 2
 22c = 2
 2c = 1
 c = 1
2
eln 5, em que e ≈ 2,71 e ln 5= loge 5 (ln 5 é chamado de logaritmo natural de 5)
eln 5 = c
ln c = ln 5
c = 5
Portanto, eln 5 = 5.
Atividades
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46
44. Determine, pela definição, o valor dos logaritmos:
a) log5 625
4
b) log 25
1
5
–2 
45. Determine o valor de x em cada um dos casos:
a) logx 8 = 3
x = 2
b) xlog 5
2
=
x = 2
c) log 1
25
2
x
=
x = 1 
5
46. Determine o valor do número
A = logx 163 + logx 2 24 para x = 43 .
A = 31 
8
Propriedades operatórias
A partir da definição, é possível demonstrar quatro importantes propriedades que se destinam 
fundamentalmente a facilitar as operações que envolvem logaritmos. Considerando os números M, 
N tais que M > 0, N > 0 e 0 < a ≠ 1, temos:
1. loga (MN) = loga M + loga N
2. loga 
M
N



 = loga M – loga N
3. loga Mα = α loga M
4. loga M p
q
Pq = loga M (q ≠ 0)
Atividades
REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 46REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 46 29/12/23 11:5329/12/23 11:53
47
Compreenda a aplicação dessas propriedade no exemplos a seguir. 
Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule:
a) log 6
b) log 1,5
c) log 16
d) log4 3
e) log 5
Convenção: Quando a base do logaritmo é 10, omite-se a base: log10 N = log N.
Resolução
a) log 6 = log 2 ⋅ 3 = log 2 + log 3
∴ log 6 = 0,7781
b) log 1,5 = log10 = 3
2
 = log 3 – log 2
∴ log 1,5 = 0,1761
c) log 16 = log 24 = 4 log 2
∴ log 16 = 1,2040
d) log4 3 = log4 + log 3 = log 22 + log3
1
2 = 2 log 2 + 1
2
 log 3
∴ log4 3 = 0,8405
e) log 5 = log 10
2
 = log 10 – log 2 = 1 – 0,3010 = 0,6990
Atividades
47. Dados log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 7 = 0,8451, determine o valor de:
a) log 7,5
0,8751
b) log 10,5
1,0212
c) log 120
2,0791
Equações logarítmicas
Utilizando as propriedades operatórias, podemos resolver equações que envolvem logaritmos. 
A resolução de equações logarítmicas se dá em três etapas básicas:
– estabelecem-se as condições de existência dos logaritmos;
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48
– resolve-se a equação utilizando as propriedades operatórias;
– faz-se a intersecção entre a solução encontrada e as condições de existência.
Como exemplo, vamos resolver a equação log2 (x + 7) – log2 (2x – 1) = 2 em R.
Em primeiro lugar, estabelecemos as condições de existência dos logaritmos.
x + 7 > 0 ⇒ x > –7 (I)
2x – 1 > 0 ⇒ x > 1
2
 (II)
(I)
x
x
x
(I) � (II)
–7
0
(II)
1/2
1/2
A condição de existência é x > 1
2
.
Resolução da equação:
log2 (x + 7) – log2 (2x – 1) = 2
log2 
x
x
7
2 1
+
−
 = 2
x
x
7
2 1
+
−
 = 4
x + 7 = 8x – 4 ⇒ x = 11
7
Como x = 11
7
 satisfaz a condição de existência, temos S = 11
7






.
Atividades
48. Resolva as equações:
a) log2 (x – 3) = 3
S = {11} 
b) log (2x – 5) – log x = 1
S = ∅
c) log4 x + log4 x2 = 12
S = {256} 
d) log (x – 4) + log (x + 4) = log 6x
S = {8}
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49
Função logarítmica
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
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50
Uma função f: R*
+
→ R dada por f(x) = loga x, a constante positiva e diferente de 1, é denominada 
função logarítmica.
f(x) = loga x (0 < a ≠ 1)
Observe que a definição da função determina os conjuntos D = R*
+
, CD = R.
O gráfico da função f(x) = loga x depende do valor de a.
Para a > 1, f será crescente; para 0 < a < 1, f será decrescente:
crescentea > 1
10
 y = f(x)
x 10
 y = f(x)
x
decrescente0 < a < 1
Todo gráfico da função f(x) = loga x (0 < a ≠ 1) cruza o eixo Ox
� ��
 no ponto (1, 0) e não cruza o eixo Oy.
� ��
Observe que, em ambos os casos, a imagem da função é:
Im = R
Logo, a função logarítmica f(x) = logax admite a inversa, que é a função exponencial f(x) = ax.
loga x = y ⇔ ay = x
y
f–1(x) = ax
f(x) = logax
x0 1
1
y
f–1(x) = ax
f(x) = logax
x0
1
1
a > 1 0 < a < 1
Vamos esboçar o gráfico de f: R*
+ → R, definida por y = log2 x.
Resolução
x 1
4
1
2
1 2 4
y –2 –1 0 1 2
Função logarítmica
EM13MAT305, 
EM13MAT403 e 
EM13MAT404
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51
49. Esboce o gráfico das funções:
a) y = log2 (x + 1) b) y = log3 (x – 2) c) y = xlog
1
2
50. Qual é o domínio das funções?
a) y = logx (3x – 6)
D = {x ∈ R | x > 2}
b) y = logx–3 (4x2 – 16)
D = {x ∈ R | x > 2}
c) y = logx (x2 – x – 6)
D = {x ∈ R | x > 3}
y 
x
2
1
2
321–1
y 
x0
1
54321
y 
x0
1
1
211
2
1
–1
–2
1 2 4 8
2
3
0
y
x
É importante lembrar que podemos obter o gráfico da função y = log2 x a partir do gráfico de y = 2x. 
1
–1
–2
1 2 4
2
3
0
y
x
y = x
y = 2x
y = log2x
Note que os gráficos das funções são simétricos em relação à bissetriz do primeiro e terceiro 
quadrantes do plano cartesiano, a reta y = x.
Atividades
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Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 52REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 52 29/12/23 11:5329/12/23 11:53
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão 
estudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 5º ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Triângulos retângulos
• Relações métricas no triângulo retângulo
• Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Geometria
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PROFESSOR
UNIDADE 2
1. Razões trigonométricas
2. Relações entre seno, cosseno e tangente
Desenvolvimento 
em 2 temas
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Desenvolvimento em 2 temasUNIDADE 2
Tema 1: Razões trigonométricas
Introduza os conceitos de razões trigonométricas no triângulo retângulo, apresentando o Teorema 
de Tales e algumas aplicações reais. Escreva alguns exemplos na lousa e solicite que realizem as 
operações. Durante a resolução dos exercícios, circule pela sala verificando a compreensão dos 
alunos quanto às semelhanças dos triângulos retângulos e as razões existentes entre eles.
Na sequência, apresente as três principais relações trigonométricas que se aplicam a triângulos 
retângulos: seno, cosseno e tangente. Defina cada uma delas em relação aos ângulos do triângulo e 
aos lados (catetos e hipotenusa).
CA
B
α
β
sen a = b 
a
cos a = c 
a
tg a = b 
c
sen b = c 
a
sen b = b 
a
sen b = c 
b
Converse com os estudantes acerca dos ângulos formados em um triângulo retângulo. 
Enfatize que existem ângulos notáveis que possuem medidas fixas e que são frequentemente 
usados em Geometria, Trigonometria e Matemática em geral, devido às suas propriedades 
e relações bem definidas. Apresente a tabela trigonométrica dos ângulos notáveis e faça a 
investigação das medidas de outros ângulos com informações disponíveis no seguinte link: 
https://linkja.net/estudopraticotrigonometria.Acesso em 15 de out. 2023. 
30o 45o 60o
sen 1 
2
 2 
2
 3 
2
cos 3 
2
 2 
2
1 
2
tg 3 
3 1 3 
Os ângulos notáveis são comumente usados em trigonometria, pois suas medidas são facilmente 
relacionadas aos lados e ângulos de triângulos especiais. Conhecer as medidas e as propriedades 
desses ângulos facilita a simplificação de cálculos matemáticos em várias situações.
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Desenvolvimento em 2 temasUNIDADE 2
Apresente atividades práticas, como medições em campo e determinação de medidas inatingíveis, 
para que os alunos possam experimentar aplicações práticas envolvendo as relações trigonométricas. 
Tema 2: Relações entre seno, cosseno e tangente
Para explicar a relação entre seno, cosseno e tangente, sugerimos que escreva na lousa uma 
tabela com seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis. A seguir, solicite que os estudantes 
encontrem relações entre os valores da tangente, do seno e do cosseno do ângulo de 45°. Ouça 
seus argumentos e incentive-os a encontrarem essa relação. Em seguida, dirija-se à lousa e indique 
que os valores do seno e cosseno de 45° são iguais, e que dividi-los resulta em 1 — que é o valor da 
tangente de 45°. Exemplo: 2 
2
 : 2 
2
 = 1.
Dessa observação, podemos concluir que o sen a, dividido pelo cos a, resulta na tan a: sen a 
con a = tg a. 
Após a explicação, desenhe na lousa um triângulo retângulo ABC, como no exemplo:
B a
b
c
C
A
Escreva o seno, cosseno e tangente do ângulo Â:
sen = a 
b cos = c 
a tanÂ= a 
c 
Em seguida, verifique se a tan  é igual a razão entre o sen  e o cos Â:
 tan  = sen  
coscos Â
 → a1 
b → a 
b
a 
b
c 
b
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Relação fundamental
Para tratar da relação fundamental, você poderá usar o exemplo disponível no livro. Sugerimos 
que aproveite a oportunidade para introduzir o ciclo trigonométrico e nele fazer a demonstração. 
Desenhe na lousa um ciclo trigonométrico, como no exemplo a seguir (se possível faça projeção ou 
utilize recursos digitais). 
x
A
y
B
C
sen2 (θ) + cos2 (θ) = 1
D
r = 1
θ
O
E
No ciclo trigonométrico, utilizamos o raio igual a 1, e um triângulo CDO, com ângulo reto em D. 
Utilizando Pitágoras, temos: 
(raio)² = (CD)² + (OD)²
O segmento CD é igual ao sen U e OD igual ao cos U. Substituindo:
1² = (senU)² + (cosU)²
Organizando a escrita temos a relação fundamental: 
sen²U + cos²U = 1
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54
Triângulos retângulos
Todo triângulo que tem um ângulo reto é denominado triângulo retângulo.
O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:
A
B
c
m n
h b
C
H a
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa à hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa
Relações métricas no triângulo retângulo
Chamamos de relações métricas no triângulo retângulo as relações existentes entre os diversos 
segmentos desse triângulo. Assim, para um triângulo retângulo ABC, podemos estabelecer as 
seguintes relações entre as medidas de seus elementos:
– O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a 
hipotenusa.
b2 = a ⋅ n
c2 = a ⋅ m
– O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa.
b ⋅ c = a ⋅ h
– O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
h2= m ⋅ n
– O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a2 = b2 + c2
Essa relação é conhecida pelo nome de teorema de Pitágoras.
Vamos utilizar o triângulo ABC da figura para calcular a, h, m e n:
a2 = b2 + c2 ⇒ a2 = 82 + 62 ⇒ a = 10
c2 = a ⋅ m ⇒ 62 = 10 ⋅ m ⇒ m = 3,6
b2 = a ⋅ n ⇒ 82 = 10 ⋅ n ⇒ n = 6,4
b ⋅ c = a ⋅ h ⇒ 8 ⋅ 6 = 10 ⋅ h ⇒ h = 4,8
A
B
c = 6
m n
h b = 8
C
H
a
EM13MAT308
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55
1. Determine os valores literais indicados nas figuras:
a) 
b) 
c) 
Uma aplicação importante do teorema de Pitágoras é a determinação da altura de um triângulo 
equilátero de lado l.
AM h ABC
MC
AMC
h
alturadotriângulo
2
étriânguloretângulo
2
2 2
2
� � �
( )=
=






= + 



 
h h h
4
3
4
3
2
2 2
2
2
2
� � � �= + → = → = 
A
B M C
ℓ/2
ℓ
h
C
A
y
x B
1312
A
B
c
m n
h
b
C
5
A
B
D
d
C
4
5
Atividades
x = 5; y = 60 
13
x = 4; n = 16 
5
, h = 12 
5
, m = 9 
5
d = 41
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56
2. Determine x nas figuras:
a) 
O ∆ABC é equilátero.
b) 
O ∆ABC é equilátero.
c) 
O ∆PQR é isósceles.
3. Determine a diagonal de um quadrado de lado l.
d
A
ℓ
ℓ
B
DC
, 2
4. Calcule o lado de um quadrado cuja diagonal mede 8 2
3
.
, = 8 
3
5. Determine o raio de uma circunferência inscrita em um trapézio isósceles de bases 16 e 36.
16
36
Nota: Em todo quadrilátero circunscrito, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros 
dois.
r = 12 cm
6. Determine a medida da projeção do maior cateto sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo 
de catetos que medem 60 cm e 80 cm.
64 cm
A
B C
x
8
A
C
x
B
√3
Q
R M P
4
6x
23 4 2
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Razões trigonométricas 
no triângulo retângulo
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
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58
Considere duas retas concorrentes r e s, que formam entre si um ângulo agudo α. Traçando retas 
perpendiculares a r, vamos obter triângulos retângulos, como mostra a figura a seguir:
A C
D
E
F
G
H
I
J
B
a
s
rO
Com base no teorema de Tales, podemos dizer que os triângulos retângulos formados são 
semelhantes e estabelecer as seguintes relações (ou razões) entre as medidas de seus lados:
AB
OB
CD
OD
IJ
OJ
...= = = = k1 ⇒ Relação entre o cateto oposto a α e a hipotenusa.
OA
OB
OC
OD
OI
OJ
...= = = = k2 ⇒ Relação entre o cateto adjacente a α e a hipotenusa.
AB
OA
CD
OC
IJ
OI
...= = = = k3 ⇒ Relação entre o cateto oposto a α e o cateto adjacente.
As razões k1, k2, e k3 são chamadas de razões trigonométricas do ângulo α e recebem, respectivamente, 
os nomes de seno, cosseno e tangente de α. Note que essas razões dependem apenas do ângulo 
considerado.
Assim, se ABC é um triângulo retângulo qualquer, com hipotenusa a e catetos b e c, temos:
A
a
b
c
C
B
– seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
sen C c
a
ˆ = sen B b
a
ˆ =
– cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
cos C b
a
ˆ = cos B c
a
ˆ =
– tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
tg C c
b
ˆ = tg B b
c
ˆ =
Observe que sen Ĉ = cos B̂ , sen B̂ = cos Ĉ e tg C
tgB
ˆ 1
ˆ= , sendo sempre +B Cˆ ˆ = 90°.
Razões trigonométricas 
no triângulo retângulo
EM13MAT308
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59
Acompanhe como obtemos os valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos agudos Ĉ e B̂ 
no triângulo retângulo da figura.
A
3
4
5
C
B
Resolução
sen C AB
BC
ˆ 3
5
= = = 0,6 sen B AC
BC
ˆ 4
5
= = = 0,8cos C AC
BC
ˆ 4
5
= = = 0,8 cos B AB
BC
ˆ 3
5
= = = 0,6
tg C AB
AC
ˆ 3
4
= = = 0,75 tg B AC
AB
ˆ 4
3
= = = 1,33...
Como qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa, o seno e o cosseno de um ângulo agudo 
α do triângulo retângulo terão sempre valores tais que 0 < sen α < 1 e 0 < cos α < 1.
Ângulos notáveis
Vamos determinar os valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30°, 45° e 60°, 
considerados notáveis, porque aparecem em diversas situações. Para isso, vamos recorrer a algumas 
figuras planas em que esses ângulos comparecem.
Considere inicialmente um triângulo equilátero de lado l e a altura AM. O triângulo retângulo AMC 
tem ângulos agudos iguais a 30° e 60°.
Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC, temos:
sen 30° = 2
�
�
sen 30° = 1
2
cos 30° = 
3
2
�
�
 ⇒ cos 30° = 3
2
A
B C
M ℓ/2
ℓ
2
30°
60°
ℓ
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60
tg 30° = 2
3
2
�
�
 ⇒ tg 30° = 3
3
sen 60° = 
3
2
�
�
 ⇒ sen 60° = 3
2
cos 60° = 2
�
�
 ⇒ cos 60° = 1
2
tg 60° = 
3
2
2
�
�
 ⇒ tg 60° = 3
Como os ângulos de 30° e 60° são complementares, pois somam 90°, podemos destacar as relações 
entre as razões trigonométricas:
sen 30° = cos 60° = 1
2
cos 30° = sen 60° = 3
2
tg30° = 1
tg60
3
3o
=
Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l. A diagonal 
divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.
No triângulo ABD, temos:
sen 45° = cos 45° = 
2
�
�
sen 45° = cos 45° = 2
2
tg 45° = �
�
 ⇒ tg 45° = 1
Agora podemos resumir as razões trigonométricas dos ângulos notáveis numa única tabela:
30° 45° 60°
sen 1
2
2
2
3
2
cos 3
2
2
2
1
2
tg 3
3 1 3
A
BC
D
45°
ℓ
ℓ
ℓ
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61
A seguir, estão duas situações nas quais utilizamos razões trigonométricas para o cálculo de 
distâncias inacessíveis (que não conseguimos medir diretamente).
I.  Um topógrafo, localizado num ponto A da margem de um rio, deseja medir a largura desse rio. 
Para isso, mede a distância a um ponto B na mesma margem em que se encontra e, utilizando 
um teodolito (aparelho próprio para medidas topográficas de ângulos e distâncias), estabelece 
o valor do ângulo AB̂C, considerando C como um ponto frontal a A na outra margem do rio. 
Determine a largura AC, sabendo que AB = 40 m e que o ângulo AB̂C medido é de 60°.
A
60°
40 m
B
C
No triângulo ABC, retângulo em A, temos:
tg60° = AC
AB
 
AC3
40
= ⇒ AC = 40 ⋅ 3 m ≈ 69,2 m
II.  Um avião levanta voo com um ângulo de inclinação de 23° e tem que ultrapassar uma torre de 
340 m de altura que dista 1.200 m do ponto de onde iniciou a decolagem. Verifique se o avião 
conseguiu ultrapassar o prédio e, em caso afirmativo, quantos metros acima do prédio ele passou.
Q
N
P
1 200 m
23°
Para a distância PQ de 1.200 m no solo, com uma inclinação de 23°, o avião terá atingido a altura 
QN, calculada a partir da consulta da tg 23° numa tabela ou numa calculadora:
tg 23° = QN
PQ
 
0,424 = QN
1200
 ⇒ QN = 508,8 m
Como a altura da torre é de 340 m, o avião a ultrapassa 168,8 m acima dela.
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62
7. Ao levantar voo, um jato mantém um ângulo de inclinação constante de 20º. Determine a 
distância percorrida por ele em linha reta e em relação ao solo ao atingir a altura de 400 m.
Aproximadamente 1169,6 m.
8. Determine a altura de um prédio, sabendo que seu topo é visto sob um ângulo de 40º a uma 
distância de 40 m de sua base.
Aproximadamente 33,6 m.
9. Um topógrafo posiciona um teodolito à margem de um rio e mira o topo de uma árvore na 
outra margem, sob um ângulo de 60º. Em seguida, recua 30 m e mira a mesma árvore, mas 
agora sob um ângulo de 30°. Considerando que a luneta do teodolito está a 1,7 m do solo, 
determine a largura aproximada do rio.
15 m
Relação entre seno, cosseno e tangente
Considerando os valores de seno, cosseno e tangente de um mesmo ângulo agudo do triângulo 
retângulo, podemos estabelecer a seguinte relação:
tg C C
C
ˆ sen ˆ
cos ˆ
=
Essa relação pode ser obtida a partir do triângulo ABC.
A
a
b
c
C
B
Como sen C c
a
ˆ = , cos C b
a
ˆ = e tg C c
b
ˆ = , temos:
C
C
c
a
b
a
c
b
C c
b
sen ˆ
cos ˆ
tg ˆ
= =
=








⇒ tg C C
C
ˆ sen ˆ
cos ˆ
=
Atividades
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63
Relação fundamental
Existe uma outra importante relação entre seno e cosseno de um ângulo. Considere o triângulo 
retângulo ABC.
Nesse triângulo, temos a2 = b2 + c2, e podemos escrever:
a
a
b
a
c
a
2
2
2
2
2
2
= + (dividimos ambos os membros por a2)
1 = b
a
c
a
2 2




+ 



Como sen C c
a
ˆ = , cos C b
a
ˆ = , sen B b
a
ˆ = e cos B c
a
ˆ = , podemos concluir:
(sen Ĉ )2 + (cos Ĉ )2 = 1 ou (cos B̂ )2 + (sen B̂ )2 = 1
De uma forma geral, podemos escrever, para um ângulo α:
sen2 α + cos2 α = 1
Observe, a título de exemplo, a validade da relação fundamental para α = 30º. 
Substituindo α por 30º no 1º membro da relação sen2 α + cos2 α = 1, temos:
sen2 30º + cos2 30º = 1
2
3
2
2 2




+ 



sen2 30º + cos2 30º = 
1
4
3
4
+
sen2 30º + cos2 30º = 1
A
a
b
c
C
B
Atividades
10. Dado cos α = 5
5 , sendo avα ângulo agudo, encontre sen α e tg α.
sen a = 2 5 
5
; tg a = 2
11. Dado sen α = 11
6
, encontre cos α e tg α, sendo α ângulo agudo.
cos a = 5 
6 ; tg a = 11 
5
12. Determine MN na figura a seguir:
MN = 58 3 
3
M N
P
R
40 cm
12 cm
60° 30°
Q
EM13MAT315
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Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
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O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão 
estudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 5º ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Sequências
• Termo geral de uma sequência
• Progressões aritméticas
• Progressões geométricas
Sequências 
numéricas
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PROFESSOR
UNIDADE 3
1. Progressões aritméticas
2. Progressões geométricas
Introduza os conceitos de sequências numéricas por meio de listas ordenadas de números que 
seguem um padrão específico ou uma regra matemática. Escreva algumas sequências na lousa e 
solicite que os alunos descubram a regra da sequência. Durante as investigações, construa ideias 
relativas aos elementos de uma sequência como:
● cada número na sequência é chamado de termo da sequência. Esses termos podem ser inteiros, 
números racionais, números reais ou complexos, dependendo do contexto;
● para encontrar o termo geral de uma sequência, o aluno precisa determinar a regra ou padrão 
que descreve como os termos da sequência são gerados em relação a algum valor de índice;
● o termo geral é uma expressão matemática que permite calcular qualquer termo da sequência, 
dada a posição (índice) desse termo na sequência.
Após os alunos investigarem o termo geral da sequência escrita na lousa, proponha que eles 
identifiquem outros termos, como a25; a71, de modo que utilizem o termo geral da sequência.
Desenvolvimento 
em 2 temas
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Desenvolvimento em 2 temasUNIDADE 3
Tema 1: Progressão aritmética (PA)
Uma progressão aritmética é caracterizada por uma diferença constante entre os termos. O termo 
geral an de uma sequência aritmética pode ser expresso como:
an = a1 + (n- 1) . r
Onde:
an é o n-ésimo termo da progressão.
a1 é o primeiro termo.
r é a razão aritmética.
n é a posição do termo na sequência.
Explore as propriedades de progressão aritmética (PA). Elas são fundamentais para a compreensão 
e aplicação de progressões aritméticas em problemas financeiros, científicos e matemáticos. 
Apresente situações do cotidiano e investigue a soma dos elementos de uma PA finita utilizando a 
fórmula:
Sn = (a1 + an) . n 
2
Onde:
Sn representa a soma dos n primeiros termos da PA.
n é o número de termos que você deseja somar.
a1 é o primeiro termo da PA.
an é o último termo da sequência.
Após as investigações, estimule os alunos a refletirem sobre a importância de compreender 
as características de progressões aritméticas para reconhecer, entender e modelar problemas 
relacionados em diferentes situações cotidianas.
Tema 2: Progressão geométrica (PG)
 Ao abordar os conceitos relativos à progressão geométrica, trabalhe os conhecimentos dos alunos 
de modo que identifiquem que uma progressão geométrica é uma sequência de números em que cada 
termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante fixa (chamada 
de “razão geométrica”) e que a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é sempre a mesma 
razão.
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Desenvolvimento em 2 temasUNIDADE 3
Na lousa, escreva exemplos de progressões geométricas. Estimule-os a perceber que, dependendo 
da razão, uma PG pode ser crescente, decrescente ou constante. 
Apresente a fórmula geral para os termos de uma progressão geométrica:
an=a1.q(n-1)
Onde: 
an é o n-ésimo termo da sequência.
a1 é o primeiro termo da sequência.
q é a razão geométrica, que é a constante pela qual você multiplica para obter o próximo termo.
n é a posição do termo na sequência.
Crescimento populacional: a população de certas espécies, como bactérias ou vírus, cresce 
de maneira exponencial, o que pode ser modelado por uma PG. Da mesma forma, a população 
humana em crescimento segue um padrão semelhante, embora em uma escala muito maior.
Decaimento Radioativo: o decaimento de átomos radioativos segue uma PG, na qual a 
quantidade de material radioativo diminui exponencialmente ao longo do tempo.
Progressão de gastos e despesas: em orçamentos pessoais ou empresariais, despesas fixas e 
variáveis podem ser modeladas como uma PG, representando um crescimento ou decréscimo 
constante ao longo do tempo.
Problemas de Matemática Financeira: questões envolvendo cálculos de empréstimos, 
investimentos, financiamentos e prestações frequentemente usam PGs para modelar os 
pagamentos ao longo do tempo.
Juros compostos em finanças: Nos cálculos de juros compostos em investimentos 
e empréstimos, a taxa de juros é aplicada repetidamente a um valor inicial ao longo do 
tempo, seguindo uma PG. Isso é usado em contas de poupança, financiamentos, hipotecas 
e investimentos financeiros.
Apresente situações reais nas quais os alunos podem usar a progressão geométrica para modelar o 
fenômeno, como:
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Crescimento de empresas e investimentos: empresas que têm um crescimento constante de 
vendas, lucros ou ativos podem usar PGs para projetar o crescimento futuro.
Cadeias alimentares: em Ecologia, as interações entre predadores e presas podem ser 
modeladas usando PGs para descrever o ciclo de crescimento e declínio das populações.
Crescimento de patrimônio líquido: os investidores frequentemente usam PG para projetar o 
crescimento de seus investimentos ao longo do tempo.
Progressão de preços: O aumento ou a diminuição de preços ao longo do tempo, como os 
preços de imóveis ou mercadorias, pode ser modelado por uma PG.
Evolução tecnológica: A adoção de novas tecnologias segue um padrão de crescimento 
exponencial, como o número de usuários de smartphones, que pode ser modelado por uma PG.
Essas são apenas algumas das muitas situações em que o cálculo de PG é aplicado no cotidiano. 
O entendimento das PGs é valioso para tomar decisões financeiras, entender padrões naturais e 
prever tendências em várias áreas.
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66
Sequência ou sucessão
Sempre que estabelecemos uma ordem para os elementos de um conjunto, de tal forma que cada 
elemento seja associado a uma posição, temos uma sequência ou sucessão.
O primeiro termo da sequência é indicado por a1, o segundo por a2, e o n-ésimo por an.
a1 = 1° termo (posição 1)
a2 = 2° termo (posição 2)
a3 = 3° termo (posição 3)
⋮ ⋮ ⋮
an = no termo (posição n)
⋮ ⋮ ⋮
(a1, a2, a3, ..., an, ...)
Assim, o índice n representa a posição ocupada por an.
De acordo com o número de elementos de uma sequência, ela pode ser finita ou infinita.
Observe, por exemplo, a sequência finita (2, 8, 14, 20).
a1 = 2, a2 = 8, a3 = 14 e a4 = 20.
A sequência dos números naturais ímpares (1, 3, 5, 7, 9, ...) é um exemplo de sequência infinita, em 
que a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, ..., an = 2n – 1, ...
Termo geral de uma sequência
Algumas sequências podem ser expressas mediante uma lei de formação. Isso significa que podemos 
obter um termo qualquer da sequência a partir de uma expressão, que relaciona o valor do termo 
com sua posição. Essa expressão é denominada termo geral da sequência.
Assim, para a posição n (n ∈ N*), podemos escrever an = f(n). Em outras palavras, o valor do termo 
geral an é função de sua posição n.
Considere, por exemplo, a sequência cujo termo geral é an = 3 + 4n (n ∈ N*) e entenda como a 
escrevemos pela enumeração de seus elementos.
Atribuindo valores naturais maiores que zero a n, podemos encontrar alguns de seus termos:
n = 1 ⇒ a1 = 3 + 4 ⋅ 1 ⇒ a1 = 7
n = 2 ⇒ a2 = 3 + 4 ⋅ 2 ⇒ a2 = 11
n = 3 ⇒ a3 = 3 + 4 ⋅ 3 ⇒ a3 = 15
n = 4 ⇒ a4 = 3 + 4 ⋅ 4 ⇒ a4 = 19
A sequência pode ser escrita como (7, 11, 15, 19, ..., 3 + 4n,...)
Veja agora a sequência definida pelo termo geral an = 3 ⋅ 2n–1 (n ∈ N*).
n = 1 ⇒ a1 = 3 ⋅ 21–1 ⇒ a1 = 3
n = 2 ⇒ a2 = 3 ⋅ 22–1 ⇒ a2 = 6
n = 3 ⇒ a3 = 3 ⋅ 23–1 ⇒ a3 = 12
n = 4 ⇒ a4 = 3 . 24–1 ⇒ a4 = 24
⋮ ⋮ ⋮
Logo, a sequência é (3, 6, 12, 24, ..., 3 ⋅ 2n – 1,...)
 
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67
É possível também determinar a qual a posição de um termo dentro de uma sequência. Vamos, por 
exemplo, encontrar qual a posição do termo de valor 17 na sequência dada por an = –3 + 5n (n ∈ N*)?
a
a n
17
3 5
n
n
=
= − +




 ⇒ 17 = –3 + 5n ⇒ 20 = 5n ⇒ n = 4
Logo, 17 é o quarto termo da sequência.
Existem sequências que não têm uma expressão de termo geral, mas podem ser expressas por uma 
propriedade comum de seus termos. A sequência dos números primos positivos em ordem crescente 
é um exemplo: (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...)
Atividades
1. Determine os cinco primeiros termos das sequências cujos termos gerais estão expressos a 
seguir, com n ∈ N*:
a) an = –2 – n
(-3, -4, -5, -6, -7)
b) an = n2 + 1
(2, 5, 10, 17, 26)
2. Calcule o 15° termo da sequência, cujo termo geral é an = 3n – 1.
44
3. Em uma sequência, todos os elementos são ímpares, e o termo geral é dado por an = 2n + k 
(n ∈ N*).
Determine o valor do segundo termo dessa sequência, sabendo que o valor do oitavo termo é 27.
15
Progressões aritméticas
Denomina-se progressão aritmética(PA) a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é 
obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da PA.
an = an – 1 + r (n ≥ 2)
A sequência (2, 7, 12, 17,) é uma progressão aritmética finita de razão 5, pois:
a1 = 2
a2 = 2 + 5 = 7
a3 = 7 + 5 = 12
a4 = 12 + 5 = 17
EM13MAT507
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68
Observe agora outros exemplos de progressões aritméticas infinitas:
(4, 7, 10, 13, 16, ...) a1 = 4 e r = 3
(5, 5, 5, 5, 5, ...) a1 = 5 e r = 0
(8, 5, 2, –1, –4, ...) a1 = 8 e r = –3
7,15
2
,8, 17
2
,...


 a1 = 7 e r = 1
2
(1, 1 + 2 , 1 + 2 2 ,...) a1 = 1 e r = 2
As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.
Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r = 0, então a PA é constante.
Se r < 0, então a PA é decrescente.
Atividades
4. Obtenha os cinco primeiros termos de cada PA, dados:
a) a1 = 4 e r = 2
(4, 6, 8, 10, 12)
b) a1 = –1 e r = –3
(-1, -4, -7, -10, -13)
c) a1 = 1
2
 e r = 1
3
1 
2
, 5 
6
, 7 
6
, 3 
2
, 11 
6
d) a3 = = –5 e r = –1
(-3, -4, -5, -6, -7)
5. Determine a razão e classifique cada PA como crescente, constante ou decrescente.
a) (4, –8, –20, –32, ...)
r = -12, decrescente
b) (–30, –27, –24, –21, ...)
r = 3, crescente
c) 
1
4
, 1
2
, 3
4
,1,...



r = 1/4, crescente
d) ( 5 , 5 1, 5 2...)− −
r = -1, decrescente
6. Determine o valor de x para que (2x, 3x – 1, 5x + 1) seja uma PA.
-3
7. Obtenha o valor de a para que os números –a2, 3a + 7 e a2 estejam, nessa ordem, em PA.
-  7 
6
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69
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
Termo geral de uma 
progressão aritmética
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70
A partir da definição, podemos escrever os elementos da PA (a1, a2, a3, ..., an, ...) da seguinte forma:
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
⋮ ⋮ ⋮
an = an–1 + r = a1 + (n– 1)r
Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro um número de razões r igual à posição 
do termo menos uma unidade.
a2 = a1 + (2 – 1) ⋅ r
a3 = a1 + (3 – 1) ⋅ r
a4 = a1 + (4 – 1) ⋅ r
⋮ ⋮
an = a1 + (n – 1) ⋅ r
O termo geral an da PA é dado, portanto, pela fórmula:
an = a1 + (n – 1)r
Acompanhe os exemplos de aplicação do termo geral de uma P.A.
Determinar o vigésimo quarto termo da PA (3, 7, 11, ...).
an = a1 + (n – 1)r
Conhecendo a1 = 3 e a2 = 7, podemos determinar a razão r:
r = 7 – 3 ⇒ r = 4
a24 = a1 + (24 – 1) ⋅ r 
a24 = 3 + (24 – 1) ⋅ 4 ⇒ a24 = 95
Considere a PA (100, 93, 86, ...). Vamos dterminar a posição do termo de valor 37.
Nesse caso, temos an = 37, a1 = 100 e precisamos determinar n.
Vamos determinar a razão da PA:
r = 93 – 100 = 86 – 93 = –7
Portanto:
an = a1 + (n – 1)r
37 = 100 + (n – 1) (–7) ⇒ 37 = 100 – 7n + 7
7n = 107 – 37 ⇒ 7n = 70 ⇒ n = 10
Logo, 37 é o décimo termo da PA.
• Vamos determinar primeiro termo de uma PA onde a17 = 79 e a razão é igual a 8. 
Com a17 e r podemos determinar a1.
an = a1 + (n – 1) r ⇒ a17 = a1 + 16r
Termo geral de uma 
progressão aritmética
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71
79 = a1 + 16 ⋅ 8 ⇒ a1 = 79 – 128 ⇒ a1 = –49
Vamos ver como fazemos para inserir cinco meios aritméticos entre 4 e 16.
Inserir ou interpolar cinco meios aritméticos entre 4 e 16 significa formar uma PA de sete termos, 
em que o primeiro é 4 e o último é 16.
4,
5 meios
16
a7a1
, , , , ,
a
a
4
16
1
7
=
=




⇒
a7 = a1 + 6r
16 = 4 + 6r
⇒ r = 2
Temos então a seguinte PA: (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16).
Atividades
8. Determine:
a) o décimo termo da PA (4, 7, 10, ...)
31
b) o vigésimo primeiro termo da PA 1, 1
2
,0,...



-9
c) o décimo oitavo termo da PA 2, 9
4
, 10
4
,...− − −



-  25 
4
d) o trigésimo termo da PA (1 000, 996, 992, ...)
884
e) o nono termo da PA (a, a + 2m, a + 4m, ...)
a + 16m
9. Quantos termos tem a PA (4, 7, 10, ..., 157)?
52
10. Determine o primeiro termo da PA em que a14 = 44 e a razão é r = 3.
5
11. Qual o primeiro termo da PA em que a5 = 15 e a10 = 25?
7
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72
12. Em uma PA, o nono termo é 33, e o sexto é 42. Determine o primeiro termo e a razão dessa PA.
a1 = 57, r = -3
13. Determine a razão e o primeiro termo da PA em que a3 = -5 2 e a27 = -5 13 2 .
r = 2 
2
; a1 = 5
14. Insira cinco meios aritméticos entre –5 e 13.
(-5, -2, 1, 4, 7, 10, 13)
15. Interpole oito meios aritméticos entre 26 e –1.
(26, 23, 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1)
16. Insira quatro meios aritméticos entre 0 e 2.
0, 2 
5
, 4 
5
, 6 
5
, 8 
5
, 2
17. Qual o valor do sexto termo da PA formada quando inserimos nove meios aritméticos entre 
20 e 50?
35
18. Quantos são os múltiplos de 6 compreendidos entre 100 e 1.000?
150
19. Determine quantos múltiplos de 3 existem entre 1 e 100.
33
20. Quantos múltiplos de 4 existem entre 15 e 200?
46
Propriedades das progressões aritméticas
Em uma PA qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:
– Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.
ak = a a
2
k k1 1
+
− + , (k ≥ 2)
Observe a propriedade na PA (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26):
a5 = 
a a
2
4 6
+
 ou 14 = 11 17
2
+
– A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
a2 + an – 1
 = a3 + an – 2 = a4 + an – 3 = ... = a1 + an
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73
Na PA (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23), temos:
3 + 21 = 1 + 23 = 24
5 + 19 = 1 + 23 = 24
7 + 17 = 1 + 23 = 24
9 + 15 = 1 + 23 = 24
11 + 13 = 1 + 23 = 24
Se ocorrer que uma PA tenha número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média 
aritmética dos extremos dessa PA. Veja, por exemplo, que a PA (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19) tem 7 
termos, e que o quarto termo é seu termo central:
a4 = 
a a
2
1 19
2
1 7
+
= + = 10
Soma dos termos de uma PA finita
Já sabemos que, em qualquer PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual 
à soma dos extremos. A partir dessa propriedade, podemos determinar a soma de todos os termos 
da PA. Considere a PA finita a seguir.
(a1, a2, a3, ...,an – 2, an – 1, an)
Seja Sn = a1 + a2 +...+ an – 1 + an (I)
Como a adição é comutativa, temos também:
Sn = an + an – 1 +...+ a2+ a1 (II)
Somando, membro a membro, (I) e (II), temos:
2 Sn = (a1 + an) +(a2 + an – 1) +...+ (an – 1 +a2) +(an + a1)
Pela propriedade anteriormente enunciada e observando que são n parcelas, concluímos que:
2 Sn =n (a1 + an)
Logo: Sn = 
a a n
2
n1( )+
Veja como fazemos para obter a soma dos vinte primeiros números pares positivos.
Os números pares positivos formam a PA (2, 4, 6, 8, ...), em que a1 = 2 e r = 2. Como desejamos 
obter a soma dos vinte primeiros termos, é necessário que calculemos a20:
a20 = a1 + 19r ⇒ a20= 2 + 19 ⋅ 2 ⇒ a20 = 40
S20 = 
a a( ) 20
2
1 20
+ ⋅
⇒ S20 = (2 40) 20
2
+ ⋅
S20 = 420
A soma dos termos pode ser feita também a partir da PA. Vamos, como exemplo, determinar a soma 
dos termos da PA (5, 7, 9, ..., 23).
A soma de seus termos é obtida por:
Sn = 
n5 23
2
( )+
Para encontrarmos essa soma, basta calcularmos n:
an = a1 + (n – 1) ⋅ r ⇒ 23 = 5 + (n – 1) ⋅ 2 ⇒23 = 5 + 2n – 2
20 = 2n ⇒ n = 10
Logo, S10 = 
5 23 10
2
( )+ ⋅
 ⇒ S10 = 140.
a1 , a2 , a3 , a4 ,
a1 + an
a1 + an
a1 + an
a1 + an
... , an – 3 , an – 2 , an – 1 , an
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74
21. Calcule a soma dos cem primeiros números ímpares positivos.
10.000
22. Obtenha a soma dos dez primeiros termos da PA em que o primeiro termo é 1
2
 e a razão, 3
2
.
145 
2
23. Determine o último termo da PA (9, 6, 3, ..., an), sabendo que a soma de seus elementos é –12.
-12
24. Determine o último termo da PA (5, 7, 9, 11, ..., an), sabendo que a soma de seus elementos 
é igual a 480.
43
25. Calcule a soma dos múltiplos de 5 compreendidos entre 16 e 91.
825
26. Determine a expressão que fornece a soma dos n primeiros números inteiros positivos.
sn = n2 + n 
2
27. Determine a expressão que fornece a soma:
a) dos n primeiros números pares positivos;
Sn = n2 + n
b) dos n primeiros números ímpares positivos.
Sn = n2
28. Resolva a equação 3 + 8 + 13 + ....... + x = 1 575, sabendo que as parcelas do primeiro membro 
formam uma PA.
S = {123}
Progressões geométricas 
Denomina-se progressão geométrica (PG) a sequência em que se obtém cada termo, a partir do 
segundo, multiplicando o anterior por uma constante q, chamada razão da PG.
A sequência (3, 6, 12, 24, ...) é uma PG de razão q = 2, pois:
a1 = 3
a2 = 3 ⋅ 2 = 6
a3 = 6 ⋅ 2 = 12
a4 = 12 ⋅ 2 = 24
Atividades
EM13MAT508
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75
⋮ 
As sequências a seguir também são exemplos de PG:
(2, 6, 18, 54, ...) ⇒ a1 = 2 e q = 3
8,2, 1
2
, 1
8
,...


 ⇒ a1 = 8 e q = 1
4
(5, 5, 5, 5, ...) ⇒ a1 = 5 e q = 1
(–4, 8, –16, 32, –64) ⇒ a1 = –4 e q = –2
As progressões geométricas podem ser crescentes (an–1 < an, para todo n ∈ N*), decrescentes (an < 
an – 1, para todo n ∈ N*), alternadas ou constantes.
Podemos classificá-las de acordo com os valores do primeiro termo, a1, e da razão q:
a q
a q
0e 1
ou
0e0 1
1
1
> >
< < <





 ⇒ PG crescente
a q
a q
0e 1
ou
0e0 1
1
1
< >
> < <





⇒ PG decrescente
para ∀ a1 e q < 0 ⇒ PG alternante
para ∀ a1 e q = 1 ⇒ PG constante
Analise atentamente cada uma das progressões geométricas a seguir para entender como elas são 
classificadas:
(3, 6, 12, 24, ...) ⇒ a1 = 3, q = 2 ⇒ PG crescente
4, 2, 1, 1
2
,...− − − −


 ⇒ a1 = –4, q = 1
2
⇒ PG crescente
(–6, –18, –54, ...) ⇒ a1 = –6, q = 3 ⇒ PG decrescente
10,5, 5
2
, 5
4
,...


 ⇒ a1 = 10, q = 1
2
 ⇒ PG decrescente
(–2, 4, –8, 16, ...) ⇒ q < 0 ⇒ PG alternante
(3, 3, 3, 3, ...) ⇒ q = 1 ⇒ PG constante
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76
29. Obtenha os cinco primeiros termos de cada PG, dados:
a) a1 = 4 e q = 2
(4, 8, 16, 32, 64)
b) a1 = –3 e q = –2
(-3, 6, -12, 24, -48)
c) a1 = –1 e q = 3
(-1, -3, -9, -27, -81)
d) a1 = 10 e q = 1
5
10, 2, 2 
5
, 2 
25
, 2 
125
30. Determine a razão e classifique cada PG a seguir:
a) (5, 10, 20, 40, ...)
q = 2, crescente
b) 3, 1, 1
3
, 1
9
,...− − − −



q = 1/3, crescente
c) (–4, –8, –16, –32, ...)
q = 2, decrescente
d) 7, 7
2
, 7
4
, 7
8
,...



q = 1/2, decrescente
e) (–6, 6, –6, 6, –6)
q = -1, alternante
31. Determine o valor de x para que a sequência
x x x2 ,2 9,2 9
2
+ +


 seja uma PG.
-3
32. Calcule o valor de a para que os números 2a, 6a – 4 e 5a + 6 formem, nessa ordem, uma PG.
2 ou 
4 
13
33. Calcule três números em PG, tais que sua soma seja 6 e seu produto seja –64.
2, -4 e 8.
Atividades
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77
Termo geral de uma progressão geométrica
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
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78
A partir da definição, podemos escrever os elementos da PG (a1, a2, a3, ..., an, ...) da seguinte forma:
a1 = a1
a2 = a1 ⋅ q
a3 = a2 ⋅ q = (a1 ⋅ q) q = a1 ⋅ q2
a4 = a3 ⋅ q = (a1 ⋅ q2) q = a1 ⋅ q3
⋮ ⋮
an = an – 1 ⋅ q = (a1 ⋅ qn-2) q = a1 ⋅ q(n – 1)
Observe que cada termo é obtido multiplicando-se o primeiro por uma potência cuja base é a 
razão. Note que o expoente da razão é igual à posição do termo menos uma unidade.
a2 = a1 ⋅ q2–1
a3 = a1 ⋅ q3–1
a4 = a1 ⋅ q4–1
⋮ ⋮
an = a1 ⋅ qn–1
O termo geral an da PG é dado, portanto, pela fórmula:
an = a1qn–1
Observe como obtemos o oitavo termo da PG (1, 3, 9, ...).
an = a1 ⋅ qn–1
a8 = a1 ⋅ q7
O valor de q é obtido a partir da PG:
q = 3
1
9
3
= ⇒ q = 3
Logo: a8 = 1 ⋅ 37 ⇒ a8 = 2.187.
Veja também que, dada a PG 4,2,1, 1
2
,...


 , podemos determinar a posição do termo 1
64
.
q = 2
4
 ⇒ q = 1
2
an = a1 ⋅ qn – 1 ⇒ 1
64
 = 4 ⋅ 1
2
n 1




−
1
256
1
2
n 1
= 



−
 ⇒ 1
2
1
2
n
8
1
= 



−
1
2
1
2
n8 1




= 



−
 ⇒ n – 1 = 8 ⇒ n = 9
Portanto, 1
64
 é o nono termo da PG.
Termo geral de uma 
progressão geométrica
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79
34. Determine:
a) o sexto termo da PG (8, 4, 2, ...);
1/4
b) o décimo termo da PG (–1, 2, –4, 8, ...);
512
c) o décimo termo da PG (2, 4, 8, ...);
1 024
d) o vigésimo termo da PG x x
m
x
m
, , ,...
2 4



 , m ≠ 0.
x 
m38
35. Determine o primeiro termo da PG em que a8 = 4 374 e a razão é q = 3.
2
36. Qual o primeiro termo da PG em que a3 = 24 e a7 = 384?
6
37. Qual o primeiro termo da PG em que a3 = 10 e a6 = 80?
5/2
38. Insira cinco meios geométricos entre 4 e 256.
PG (4, 8, 16, 32, 64, 128, 256)
39. Insira três meios geométricos entre 9 e 1
9
.
9, 3, 1, 1 
3
, 1 
9 ou 
9, - 3, 1, - 1 
3
, 1 
9
40. Quantos termos tem a PG finita (3, 6, 12, ..., 3 072)?
11
41. Determine a posição ocupada pelo termo de valor 13.122 na PG finita em que o primeiro 
termo é 2 e a razão é 3.
Nona
Atividades
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Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 80REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 80 29/12/23 11:5429/12/23 11:54
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão 
estudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 5º ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Porcentagens
• Juros Simples
• Juros compostos
Matemática 
financeira
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PROFESSOR
UNIDADE 4
1. Juros simples
2. Desconto comercial simples
3. Juros compostos
Introduza os conceitos sobre matemática financeira, estimulando os alunos a refletirem acerca 
da importância de conhecer suas operações com base em cálculos matemáticos, a fim de tomar 
decisões nas áreas das finanças, do planejamento financeiro pessoal, de decisões de investimentos 
e de análise de riscos financeiros fazendo escolhas financeiras sólidas.
Desenvolvimento 
em 3 temas
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Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 4
Finanças pessoais: ajuda a tomar decisões financeiras inteligentes, como economizar, calcular 
empréstimos, criar um orçamento e investir dinheiro de forma eficiente.
Bancos e instituições financeiras: usam a matemática financeira para calcular juros, elaborar 
produtos financeiros e gerenciar riscos.
Gestão financeira empresarial: trabalha a análise de investimentos, tomada de decisões de 
financiamento, gestão de riscos financeiros e avaliação do desempenho financeiro entre outros.
Após a abordagem sobre as áreas em que a matemática financeira é aplicada, relembre com os 
estudantes os significados de porcentagem, utilizando suas representações na forma fracionária, 
decimal e porcentagem, de modo que os alunos estabeleçam uma relação com os valores 
apresentados.
 1 
4 0,25 = 25% 75 
100 0,75 = 75% 1 
8 0,125 = 12,5%
Apresente situações problemas como: em um jogo Felipe fez 215 lançamentos e errou 86. Qual é a 
porcentagem de acertos de Felipe?
215 - 86 = 129 Então: 129 
215 = 0,6 ou 60% de acertos
Use quantos exemplos julgar necessário para que a turma compreenda esse conceito.
Tema 1: Juros simples
Para introduzir o conteúdo sobre juros, traga para sala de aula notícias de jornais que apresentem 
informações sobre juros aplicados em diferentes situações financeiras. Explique que os juros 
são taxas que instituições financeiras aplicam para efetuarem transações como empréstimos, 
financiamentos, investimentos, entre outros.
Fomente debates entre os estudantes para investigar seus conhecimentos prévios sobre o tema. 
Na lousa, escreva as informações apresentadas pelos alunos sobre a relevância de conhecer as 
ferramentas e cálculos da matemática financeira, associando essas informações às questões 
de educação financeira e à relação saudável que as pessoas devem ter com o dinheiro. Algumas 
informações a serem anotadas na lousa podem ser:
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Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 4
Apresente o cálculo dos juros simples, demonstrando por meio da operação que esse cálculo é 
feito com base em uma taxa de juros fixa e que não leva em consideração os juros acumulados em 
períodos anteriores.
A fórmula geral para calcular os juros simples é a seguinte:
J = C ? i ? n
Onde:
J representa o valor dos juros simples.
C é o capital inicial.
i é a taxa de juros por período.
n é o tempo em que o dinheiro é emprestado ou investido.
O valor total (montante) ao final do período de tempo pode ser calculado somando-se os juros 
simples ao principal:
Montante = C + J
Apresente que os juros simples são usados em situações financeiras mais simples, como empréstimos 
de curto prazo; enquanto os juros compostos são mais comuns em investimentos de longo prazo, 
como contas de poupança, hipotecas e empréstimos que acumulam juros ao longo do tempo.
Tema 2: Desconto comercial simples
Para introduzir o conceito, traga para sala de aula imagens de alguns boletos que apresentem algum 
desconto comercial.
Fonte: https://www.crf-pr.org.br/noticia/view/8512/anuidade-2020-disponivel-no-crf-pr-em-casa 
Acesso em 10 de out. 2023
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M = C(1+i)n
Onde: 
M = Montante
C = Capital inicial
i = Taxa de juros aplicada
n = Tempo em que o valor capital ficará investido
Estimule os alunos a compreender que o desconto comercial simples é uma prática financeira em 
que uma instituição financeira ou um credor oferece ao devedor a opção de pagar uma dívida antes 
do vencimento com um desconto. Esse desconto é uma redução no valor da dívida original e é uma 
forma de incentivar o pagamento antecipado por parte do devedor. O desconto é calculado com 
base no valor nominal da dívida e na taxa de desconto acordada.
A fórmula geral para calcular o valor do desconto comercial simples é a seguinte:
Dc = N ? i ? n
Auxilie os estudantes a identificar que o desconto comercial simples é uma prática comum em muitas 
áreas de negócios e é uma maneira de estimular o pagamento pontual e antecipado de dívidas. 
Tema 3: Juros compostos
Diferentemente dos juros simples, nos quais os juros são calculados apenas sobre o valor principal, 
nos juros compostos, os juros são calculados sobre o montante acumulado ao longo do tempo. 
Em outras palavras, nos juros compostos, os juros são incorporados ao principal e, a cada período 
de capitalização, são calculados sobre o novo montante total, resultando em um crescimento 
exponencial dos juros ao longo do tempo.
Introduza este conceito averiguando os conhecimentos prévios dos estudantes acerca da aplicação 
dos juros compostos. Anote na lousa as ideias que os alunos apresentarem acerca de quais operações 
financeiras os juros compostos são utilizados. Saliente que os juros compostos são amplamente 
utilizados em situações financeiras de longo prazo, como investimentos em contas de poupança, 
títulos, empréstimos hipotecários e investimentos financeiros (refletindo de forma mais precisa 
como o dinheiro cresce ao longo do tempo quando os juros são reinvestidos e acumulados).
Apresente a fórmula utilizada para calcular os juros compostos e efetue algumas operações para 
que os estudantes se familiarizem com os cálculos.
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Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 4
Finalize essa abordagem, analisando as diferenças entre juros simples e juros compostos e 
evidenciando que, nos juros compostos, os juros são reinvestidos e acrescidos ao principal em cada 
período — o que leva a um aumento mais rápido do montante total ao longo do tempo. Isso significa 
que, com os juros compostos, o dinheiro cresce de maneira exponencial; enquanto nos juros simples, 
o crescimento é linear. Se possível, apresente os gráficos do mesmo valor aplicados a rendimentos 
de juros simples e de juros compostos. 
0 1 2 3 4 5 6 7 8
n (Número de Períodos)
9 10 11 12
Juros Simples
Juros Compostos
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
70.000
80.000
FV (Valor Futuro)
13 14 15 16 17 18 19 20
30.000
67.275
Fonte: https://hcinvestimentos.com/2009/06/21/juros-compostos/grafico-juros-simples-juros-compostos/ 
Acesso em 10 de out. 2023.
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82
Porcentagem 
Inicialmente, vamos recordar o conceito de porcentagem, essencial devido ao seu emprego em 
praticamente todos os problemas e cálculos financeiros.
Chamamos de porcentagem toda razão a
b
, na qual b = 100. Essas razões centesimais são 
representadas pelo símbolo %. Veja os exemplos:
5
100
 = 0,05 = 5%
137
100
 = 1,37 = 137%
4
25
16
100
= = 0,16 = 16%
155
1.000
15,5
100
= = 0,155 = 15,5%
Cálculos com porcentagem
Os problemas que envolvem porcentagem podem ser resolvidos com o uso de uma calculadora 
simples, manipulando-se apenas as quatro operações fundamentais ou a tecla específica para a 
operação (%) disponível para esses cálculos. No entanto, é importante que se domine os conceitos 
de frações, razões e regra de três envolvidos na maioria das situações em que cálculos de 
porcentagens são necessários. Vamos verificar, nas atividades a seguir, algumas dessas situações.
Sempre que necessário, com o auxílio do professor, você poderá utilizar calculadora ou aplicativos 
de celular e computador para auxiliar nos cálculos.
Atividades resolvidas
Acompanhe dois exemplos importantes de cálculos com porcentagem.
• Um aluno acertou em um exame 12 das15 questões apresentadas. Qual foi sua porcentagem 
de acerto?
A razão entre o número de questões acertadas e o número total de questões apresentadas é:
12
15
4
5
8
10
80
100
= = =
Logo, 80% foi a porcentagem de acerto. Isso significa que se a prova tivesse 100 questões, o aluno 
teria acertado 80 questões.
• Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que realiza. Qual foi a sua comissão em uma 
venda de R$ 36.000?
A comissão do vendedor é 3% da venda, ou seja:
comissão = 3% de 36.000 = 3% × 36.000 = 3
100
 ⋅ 36.000 = 1.080
A comissão do vendedor foi de R$ 1.080.
EM13MAT203
A introdução à Matemática Financeira 
oferece uma valiosa chance de utilizar as 
vivências cotidianas dos alunos como ponto de 
partida para explorar os princípios do cálculo 
comercial e financeiro. Começando pela 
relembrança dos conceitos de porcentagem, 
você pode alavancar as experiências deles, 
incentivando-os a compreender como esses 
conhecimentos se entrelaçam com a lógica 
financeira, estabelecendo uma sólida base para 
a exploração desse mundo complexo.
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83
42. Em um treino de basquete, Bruno fez 360 arremessos e errou 198. Qual foi sua porcentagem 
de acerto?
45%
43. Minha classe tem 30 alunos: 18 com 15 anos, 9 com 16 e os outros com 17. Calcule a porcen-
tagem dos alunos da classe que têm:
a) 15 anos
60%
b) 16 anos
30%
c) 17 anos
10%
d) 18 anos
0%
44. Uma vendedora recebe 9% de comissão nas vendas realizadas. Qual foi a sua comissão em 
uma venda de R$ 3.000?
R$ 270
45. Um corretor recebeu R$ 2.800 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comissão. 
Qual o valor de venda das propriedades?
R$ 56.000
46. Juca devia R$ 200,00 a Rodrigo e pagou apenas R$ 74,00. Qual a porcentagem da dívida que 
foi paga?
37%
47. Em uma sala em que 75% dos alunos são rapazes, estudam apenas 7 moças. Quantos alunos 
têm a classe?
28 alunos
Juros simples
Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a outra ou a uma instituição financeira, ela paga uma 
espécie de aluguel pelo tempo que fica com o dinheiro. Esse aluguel é sempre uma porcentagem 
do valor inicialmente emprestado e, além disso, o valor do aluguel é proporcional ao tempo que a 
pessoa fica com o dinheiro.
O aluguel de que falamos chama-se juro (J), a porcentagem que se paga é a taxa de juro (i), o dinheiro 
que se pede emprestado é o capital (C) e o total que se paga no final do empréstimo é o montante (M).
De forma resumida, chama-se juro simples a compensação em dinheiro pelo empréstimo de um 
capital financeiro, a uma taxa combinada, por um prazo determinado, produzida exclusivamente 
pelo capital inicial.
Atividades
Incentive os estudantes a resolverem as 
atividades em duplas ou em pequenos grupos, 
de modo que possam se ajudar nas resoluções.
As palavras e os conceitos iniciais sobre taxa de juro, 
porcentagem, desconto, entre outras, são palavras 
que pertencem ao nosso cotidiano, cabendo ao 
professor lançar mão de situações do dia a dia para 
fazer os alunos interagirem com maior vontade com 
os cálculos financeiros, ganhando habilidade. É um 
momento propício também para o uso de calculadora 
científica ou financeira.
EM13MAT203
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DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
84
Cálculo de juros simples e montante
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85
Cálculo de juros simples
e montante
Quando o regime é de juro simples, a remuneração pelo capital inicial é diretamente proporcional 
ao seu valor e ao tempo de aplicação. O tempo de aplicação é dado pelo número de períodos em 
que a taxa de juros combinada é aplicada. Por sua vez, a taxa é o fator de proporcionalidade para o 
cálculo dos juros. Assim:
J = C ⋅ i ⋅ n
C: capital inicial; J: juro simples; i: taxa de juros; n: número de períodos.
Acompanhe os exemplos a seguir.
Uma pessoa toma emprestado R$ 1.000 pelo prazo de 2 meses, à taxa de 3% ao mês. Qual será o 
valor a ser pago como juro?
Resolução
Vamos inicialmente calcular o juro, mês a mês.
– 1o mês: juro = 3% de 1.000 = 0,03 × 1.000 = 30
– 2o mês: juro = 3% de 1.000 = 0,03 × 1.000 = 30
Ao final de 2 meses, os juros totalizam R$ 60.
Ou, então, podemos resolver o problema diretamente:
J = C ⋅ i ⋅ n
J = 1.000 × 0,03 × 2
J = 60
Decorrido o prazo, o valor a ser pago como juro simples será de R$ 60.
Qual o valor de um capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu depois de 
um ano R$ 240 de juros?
Como a taxa é de i = 2% ao mês, devemos considerar, para 1 ano, um número de 12 meses ou 12 
períodos de aplicação desta taxa para produzir um juro de R$ 240. Assim:
J = C ⋅ i ⋅ n
240 = C × 0,02 × 12
240 = C × 0,24 ⇒ C = 1.000
O capital aplicado inicialmente foi de R$ 1.000.
Cálculo do montante no sistema de juros simples
Montante, ou valor acumulado de um capital inicial C, investido a uma taxa i por período e pelo 
prazo de n períodos, é a soma do capital inicial, também chamado de principal, com o juro produzido 
no prazo determinado.
Indicando o montante por M, temos:
M = C + J
M = C + C ⋅ i ⋅ n
M = C(1 + i ⋅ n)
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86
Observe que fixados o capital C e a taxa i, o montante M varia linearmente em função do período n.
0
M1
M
n
M3
M2
1 2 3
C
Veja como calculamos o montante de um capital de R$ 1.000 aplicado à taxa de 10% a.a (ao ano) 
pelo prazo de 2 anos?
Temos:
C = 1.000, i = 0,10 e n = 2 anos
M = C(1 + i⋅n) ⇒ M = 1.000 (1 + 0,10 × 2)
M = 1.200
O montante, após 2 anos, à taxa de juro de 10% a.a., será de R$ 1.200.
Observe agora o cálculo de um montante com taxa de juros simples e prazo em unidades diferentes. 
Vamos calcular que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 5.000, à taxa de juros 
simples de 18% a.a., durante 6 meses?
Devemos observar que a taxa e o tempo de aplicação devem estar na mesma unidade.
Assim, 6 meses equivalem a 6
12
 do ano.
Aplicando a fórmula, temos:
M = C(1 + i⋅n) ⇒ M = 5.000 1 0,18
12
+ × 6



M = 5.450
O aplicador receberá R$ 5.450 ao fim de 6 meses.
Desconto comercial simples
Desconto comercial é aquele que se obtém quando saldamos um determinado compromisso an-
tes do vencimento do prazo previamente estipulado. Seu cálculo é feito determinando-se o juro 
simples sobre o valor nominal N do compromisso, a uma taxa de desconto i, para os n períodos 
antes de seu vencimento.
Valor do desconto: Dc = N⋅i⋅n
Valor descontado: Vc = N – N⋅i⋅n
 Vc = N(1 – i ⋅ n)
Entenda o cálculo de valores descontados, muito comuns no dia a dia das operações financeiras, 
acompanhando os exemplos a seguir.
• Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 5.000 três meses antes do vencimento, cuja taxa de 
desconto comercial é 24% a.a. Qual é o desconto comercial? E o valor descontado?
Lembrando que a taxa é anual e deve ser convertida para meses, aplicamos a fórmula:
Desconto comercial: Dc = N ⋅ i ⋅ n
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87
Dc = 5.000 × 0,24
12
 × 3 = 300
Valor descontado:
Vc = 5.000 × 1 0,24
12
3− ×



 = 4.700
O valor descontado também poderia ser calculado subtraindo-se o desconto do valor nominal:
Vc = 5.000 – 300 ⇒ Vc = R$ 4.700
• O valor nominal de uma nota promissória é de R$ 10.000. Qual é o valor atual (valor aplicado) se 
a taxa de aplicação for de 38,4% a.a., com vencimentodaqui a 10 meses?
Considerando o valor nominal (N) da nota como o montante e o valor atual (A) como o capital inicial, 
temos:
N = A(1 + i ⋅ n) ⇒ 10.000 = 1 0,384
12
10+ ⋅



10.000 = A ⋅ 1,32 ⇒ A = 7.575,76
O valor atual é de R$ 7.575,76.
Essa operação é comumente chamada de trazer a valor presente o valor nominal da nota promissó-
ria, como se ela fosse ser paga ou quitada antes de seu vencimento. Isso equivale a dizer que sobre 
os R$ 10.000, calculamos um desconto comercial simples relativo aos dez meses que ainda faltam 
para o vencimento. Neste caso, o desconto comercial foi de:
Dc = 10.000 – 7.575,76 ⇒ Dc = R$ 2.424,24
Atividades
48. Calcule o juro simples referente a um capital de R$ 2.000 aplicado à taxa de juros de 15% a.a. 
durante 1 ano.
R$ 300
49. Um capital aplicado a juro simples rende R$ 272 em 10 dias, a 12% a.m. Qual é esse capital?
R$ 6.800
50. Qual é o capital que, à taxa de 9% a.m., produz R$ 108 em 2 anos?
R$ 50
51. Determine a taxa mensal que faz com que um capital, investido a juro simples durante 8 
meses, tenha seu valor triplicado.
25% a.m.
52. Quanto tempo deve ficar aplicado um capital de R$ 1.600, para que produza um montante de 
R$ 1.856, à taxa de 24% a.t. (ao trimestre)?
2 meses
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88
Cálculo de juros compostos e montante
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89
Juros compostos
e montante
Regime de juros compostos é aquele em que o juro gerado pela aplicação ou empréstimo 
será incorporado a ele, passando a participar da geração de juros no período seguinte. Isso 
significa que, ao fim de um período, o capital passa a ser o capital inicial acrescido dos juros do 
período e assim sucessivamente. Por essa razão, esse regime é comumente chamado de juros 
sobre juros e é o regime utilizado em operações de empréstimos bancários, cheques especiais, 
financiamentos e investimentos.
Suponhamos, por exemplo, que uma pessoa tome emprestada, a juro composto, a importância de 
R$ 1.000 pelo prazo de 4 meses, à taxa de 6% a.m. (ao mês). Observe na tabela a seguir que, a cada 
mês, são acrescidos 6% de juros ao montante produzido até o final do mês anterior.
n Saldo no início do 
período Juro por período Montante
1 1.000 1.000 × 0,06 = 60 1.000 + 60 = 1.060
2 1.060 1.060 × 0,06 = 63,60 1.060 + 63,60 = 1.123,60
3 1.123,60 1.123,60 × 0,06 = 67,41 1.123,60 + 67,41 = 1.194,01
4 1.194,01 1.194,01 × 0,06 = 71,64 1.194,01 + 71,64 = 1.265,65
Decorrido o prazo, o valor a ser pago como juro será: 
J = 1.265,65 – 1.000 ⇒ J = R$ 265,65
Compare o juro a ser pago no regime de juros compostos com o valor em regime de juros simples:
J = C ⋅ i ⋅ n ⇒ J = 1.000 × 0,06 × 4 ⇒ J = R$ 240
Veja que, com juros sobre juros, o valor é R$ 25,65 maior que o do regime de juros simples.
Cálculo do montante no sistema de juros compostos
No regime de juros compostos, a cada período acrescentamos os juros ao montante já produzido, 
formando um novo capital para o período seguinte. A esse processo damos o nome de capitaliza-
ção. Vamos calcular o montante M para um capital C aplicado a uma taxa i por período, ocorrendo 
capitalização no final de cada período, em um prazo de n períodos.
Final do 1o período:
M1 = C+ Ci ⇒ M1 = C(1 + i)
Final do 2o período:
M2 = M1 + M1⋅i ⇒ M2 = M1(1 + i)
M2 = C(1 + i) (1 + i) = C(1 + i)2
Final do 3o período:
M3 = M2 + M2⋅i ⇒ M3 = M2(1 + i)
M3 = C(1 + i) (1 + i) (1 + i) = C(1 + i)3
Final do 4o período:
M4 = M3 + M3⋅i ⇒ M4 = M3(1 + i)
M4 = C(1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) = C(1 + i)4
E assim sucessivamente. Note que os montantes formam uma progressão geométrica de razão (1 + i).
EM13MAT203 E EM13MAT303
Sempre que possível, incentive 
os estudantes a recorrerem aos 
recursos digitais. A tabela desta 
página, por exemplo, pode ser 
feita em uma planilha eletrônica, 
de modo a criar uma fórmula 
para que o juro por período e 
montante sejam calculados de 
forma automática. Se possível, 
explore essa possibilidade com os 
estudantes.
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90
Generalizando, o montante ao final de n períodos, à taxa i de juros, é dado por:
M = C(1 + i)n
Fixados o capital C e a taxa i, o montante M varia exponencialmente em função do período n.
0
M1
M
n
M2
1 2
C
Utilize uma calculadora científica ou comercial para acompanhar os exemplos.
• Uma pessoa toma R$ 2.000 emprestados, a juros de 2% a.m., pelo prazo de 10 meses com 
capitalização composta. Qual é o montante a ser devolvido?
– Utilizando a tecla xy em uma calculadora científica:
Calcule inicialmente (1 + 0,02)10
Digite + 0 , 0 2 xy 1 0 =1 .
A sequência de teclas pode variar dependendo da calculadora.
Depois multiplique o resultado por 2.000. Assim, teremos:
M = R$ 2.437,98
Procuramos o valor do fator (1 + i)n, para n = 10 e i = 2%, que é 1,218994.
Logo:
M = 2.000 × (1,02)10
M = 2.000 × 1,218994 = R$ 2.437,98
• Calcule o montante produzido pelo capital de R$ 4.000 aplicado a 10% a.t., capitalizado 
trimestralmente, durante 12 meses.
Vamos transformar 12 meses em 4 trimestres e substituir na relação M = C(1 + i)n. Logo:
M = 4.000 (1 + 0,10)4 = 5.856,40
O montante produzido é de R$ 5.856,40.
• Calcule a taxa efetiva de juro mensal para que o capital de R$ 3.450, investido durante 2 anos, 
produza um montante de R$ 21.877,07.
Resolução
M = C(1 + i)n ⇒ 21.877,07 = 3.450 (1 + i)24
(1 + i)24 = 
,21.877 07
3.450 ⇒ 1 + i = 6,341180724
– Realizando o cálculo com calculadora científica, digite as seguintes teclas, mas verifique antes se a 
sua calculadora obedece a essa ordem:
4 6 , 3 4 1 1 8 0 7 =2 n
Você deve encontrar como resultado o número 1,08. Logo:
1+i = 1,08 ⇒ i = 0,08 ⇒ i = 8% a.m.
– Consultando uma tabela financeira, também podemos encontrar o valor da taxa.
Acompanhe:
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91
Procuramos na tabela o valor de 6,3411807. Encontramos, para n = 24, a taxa de i = 8%.
• Um investidor aplicou R$ 25.000 em uma instituição que paga 3% a.m. Após certo período, ele 
recebeu R$ 35.644,02, estando incluídos nesse valor os juros compostos creditados e o capital 
investido. Por quanto tempo o dinheiro ficou aplicado?
M = C(1 + i)n ⇒ 35.644,02 = 25.000 (1 + 0,03)n
(1,03)n = 35.644,02
25.000
 ⇒ (1,03)n = 1,4257608
– Inicialmente, calculamos o logaritmo decimal dos dois lados da igualdade. Com uma calculadora 
científica, obtemos os valores dos logaritmos e determinamos n. Acompanhe:
log(1,03)n = log 1,4257608 ⇒ n ⋅ log(1,03) =
= log 1,4257608 ⇒ n = log1,4257608
log1,03
1 4 2, 5 7 6 0 8 ÷ log 1 , 0 3log
Portanto, n = 12 meses.
– Consultando a tabela financeira:
(1,03)n = 1,4257608
O fator (1 + i)n, para i = 3% e n = 12, é 1,4257608.
Logo, o valor de n é 12.
Atividades
53. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 1.000 a 4% a.m., capitalizado mensalmente, 
durante 5 meses.
R$ 1.216,65
54. Um capital de R$ 10.000 foi investido numa caderneta de poupança em regime de capitalização, 
que paga um juro mensal de 0,85%. Qual o valor que o investidor encontrará no extrato da 
caderneta ao final de 2 anos?
R$ 12.252,41
55. Calcule o montante de um capital de R$ 2.500 aplicado a uma taxa de juro composto de 2% 
a.m. durante 9 meses.
R$ 2.987,73
56. Determine o capital que, investido a juro composto de 3% a.m. durante 4 meses, produziu um 
montante de R$ 600.
R$ 533,09
57. Um lote é posto à venda por R$ 50.000 de entrada e R$ 100.000 em 1 ano. Como opção,o 
vendedor pede R$ 124.000 à vista. Se a taxa de juros (compostos) de mercado é de 2% a.m., 
qual a melhor alternativa?
Pagamento à vista.
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Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 92REVER E APRENDER_2SERIE_006a100_REV6_NOVO.indd 92 29/12/23 11:5529/12/23 11:55
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão 
estudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 5º ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Experimentos aleatórios
• Espaço amostral
• Probabilidades
Probabilidades
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UNIDADE 5
PROFESSOR
1. Regra da soma
2. Regra do produto
Introduza os conceitos de probabilidade de maneira gradual e acessível, fazendo conexões com 
o cotidiano dos alunos, tornando, assim, a temática de probabilidade menos abstrata e mais 
compreensível. Use exemplos do cotidiano que se relacionem com a probabilidade, como lançar 
uma moeda e lançar um dado ou escolher cartas de um baralho. Mostre todos os experimentos aos 
estudantes. Isso torna o conceito mais concreto.
Defina o conceito de probabilidade. Comece explicando que a probabilidade é uma medida numérica 
que descreve a chance ou a possibilidade de um evento ocorrer entre 0 (impossível) e 1 (certo). Use 
exemplos simples, como lançar uma moeda, para ilustrar a ideia de eventos incertos. Eventos com 
probabilidade 0 < P(A) < 1 são considerados prováveis, mas não certos.
Desenvolvimento 
em 2 temas
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Desenvolvimento em 2 temasUNIDADE 5
Explique os termos-chave usados em probabilidade como:
Experimento aleatórios: explique que muitos eventos da vida real podem ser considerados 
experimentos aleatórios, nos quais o resultado não pode ser previsto com certeza. Mostre 
exemplos, como o lançamento de um dado ou tirar uma carta de um baralho.
Espaço amostral: introduza o conceito de espaço amostral, que é o conjunto de todos os resultados 
possíveis de um experimento aleatório. Use exemplos práticos para criar espaços amostrais simples, 
como os resultados possíveis ao lançar um dado de seis faces Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Eventos: explique o conceito de evento, que é um subconjunto do espaço amostral. Os eventos 
representam resultados específicos ou conjuntos de resultados dentro do espaço amostral. Por 
exemplo, ao lançar um dado, “obter um número par” é um evento.
Utilize exemplos simples para ilustrar esses conceitos.
Tema 1: Regra da soma
A regra da soma, também conhecida como o princípio da adição, é uma parte fundamental da teoria 
da probabilidade. Ela descreve como calcular a probabilidade da ocorrência de pelo menos um de 
dois eventos mutuamente exclusivos. Introduza a regra da soma, apresentando seus conceitos 
fundamentais.
Comece definindo dois eventos, A e B, que são mutuamente exclusivos, ou seja, não podem ocorrer 
simultaneamente. Por exemplo, em um lançamento de um dado, você pode definir A como “obter 
um número par” e B como “obter um número ímpar”. 
Explique que a regra da soma lida com a probabilidade de pelo menos um desses eventos ocorrer. 
Em outras palavras, estamos interessados em saber a probabilidade de A acontecer, B acontecer, ou 
ambos acontecerem.
Apresente a regra da soma e demostre sua operação em exemplos como: 
A probabilidade de obter um número par (A) e a probabilidade de obter um número ímpar (B). 
também é 3/6.
P(A ∪ B) = PA+PB
P(A ∪ B) = 3 
6
 + 3 
6
 
P(A ∪ B) = 1
Como a probabilidade de obter um par (A) é 3/6 (porque há três números pares em um dado de 
seis faces), e a probabilidade de obter um ímpar (B) também é 3/6, temos que a probabilidade 
de obter pelo menos um desses resultados é de 3/6 + 3/6 = 1 (ou 100%).
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Desenvolvimento em 2 temasUNIDADE 5
Lembre os estudantes de que a regra da soma se aplica a eventos mutuamente exclusivos. Se os 
eventos não forem mutuamente exclusivos, a probabilidade de ambos ocorrerem pode ser diferente 
de zero, e a regra da soma precisa ser ajustada para levar isso em consideração.
Tema 2: Regra do produto
A regra do produto é um conceito importante na teoria da probabilidade. Ela descreve como calcular 
a probabilidade da ocorrência de dois eventos independentes. Para introduzir este conceito de 
maneira lúdica e abordando situações cotidianas, traga um baralho de cartas e um dado para a sala 
de aula e mostre todas as cartas aos alunos.
Inicia a abordagem definindo dois eventos, A e B, que são independentes — ou seja, a ocorrência de 
um evento não afeta a ocorrência do outro evento. Use exemplos práticos para ilustrar a regra do 
produto. Por exemplo, se a probabilidade de obter um 2 em um dado (A) é 1/6 e a probabilidade de 
obter um ás em um baralho (B) é 4/52, você pode calcular a probabilidade de obter um 2 no dado e, 
em seguida, um ás no baralho.
Auxilie os alunos a compreender que, em probabilidade, eventos independentes são eventos nos 
quais a ocorrência ou não ocorrência de um evento não afeta a probabilidade de ocorrência de outro 
evento. Em outras palavras, dois eventos são independentes se a probabilidade de ambos ocorrerem 
juntos é o produto das probabilidades individuais de cada evento. 
Explique que a regra do produto lida com a probabilidade de ambos os eventos A e B ocorrerem 
em sequência. Ou seja, estamos interessados em saber a probabilidade de A e B acontecerem em 
conjunto.
Apresente a fórmula da regra do produto expressa por: 
 P(A∩B)=PA∙PB
Reforce o conceito de independência entre os eventos A e B. Explique que, quando eventos são 
independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é simplesmente o produto das probabilidades 
de cada evento individual.
Discuta como a regra do produto é relevante em situações do dia a dia, como cálculos de probabilidade 
em experimentos científicos, planejamento de eventos, análise de riscos, entre outros.
À medida que os alunos se tornam mais proficientes na aplicação da regra do produto, desafie-os 
com problemas mais complexos que envolvam mais de dois eventos independentes em sequência.
Lembre-se de que a probabilidade pode ser um conceito desafiador para alguns alunos, portanto, é 
importante adaptar sua abordagem ao nível de conhecimento e habilidade dos alunos. À medida que 
os alunos ganham confiança na compreensão da probabilidade, você pode gradualmente introduzir 
conceitos mais avançados e problemas mais complexos.
Certifique-se de criar um ambiente de aprendizado no qual os alunos se sintam à vontade para fazer 
perguntas e explorar conceitos de probabilidade de maneira prática. 
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Experimentos aleatórios
Experimentos aleatórios são aqueles que têm resultados imprevisíveis. Por exemplo, lançar um dado 
e obter a face 6, retirar 1 bola verde de uma urna na qual se encontram 3 bolas verdes e 2 vermelhas, 
ou apostar 6 números num jogo de loteria e acertar a quina. O estudo de probabilidades destina-se 
basicamente a estabelecer uma maneira de analisar experimentos aleatórios.
Espaço amostral e eventoEspaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto dos resultados possíveis para aquele 
experimento.
Espaço amostral
E = {rl, r2, r3, ..., rn}
rl, r2, r3, ..., rn são os resultados possíveis
r
r
r
r
n
1
2
3
�








 resultados possíveis
Veja os exemplos:
1. Quando lançamos uma moeda, temos duas possibilidades:
– obter cara;
– obter coroa.
Logo, o espaço amostral do experimento será:
E = {cara, coroa}
2. Jogando um dado ideal e anotando a face voltada para cima, teremos o seguinte espaço amostral:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Qualquer subconjunto do espaço amostral chama-se evento.
 
Probabilidade de um evento A representa a “chance” de ocorrer um evento A. O valor p(A) é igual 
ao número de elementos de A dividido pelo número de elementos do espaço amostral E.
p(A) = 
A
E
n A
n E
númerode elementos de
númerode elementos de
( )
( )
=
p(A): probabilidade de um evento A.
Como A ⊂ E, temos n(A) ≤ n(E). Logo:
0 ≤ p(A) ≤ 1
Em particular, se p(A) = 0, A será chamado evento impossível e, se p(A) = 1, A será chamado evento 
certo.
EM13MAT311, 
EM13MAT312 e 
EM13MAT511
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Veja, por exemplo, qual é o espaço amostral quando lançamos uma moeda duas vezes seguida e 
acompanhe dois exemplos de eventos possíveis nesse espaço amostral.
O espaço amostral é:
E = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa)}
São exemplos de eventos:
– obter 2 caras: A = {(cara, cara)}
– obter ao menos 1 cara: B {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara)}
Vamos agora calcular a probabilidade de, jogando um dado ideal, obter um número maior que 4.
Espaço amostral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
evento: A = {5, 6}
n A
n E
2
6
( )
( )
=
=




 ⇒ p(A) = 2
6
1
3
=
Atividades
1. Lançando-se um dado ideal, qual a probabilidade de ser obtido um número menor que 4?
2. Retira-se 1 carta ao acaso de um baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade de ser:
a) uma dama. b) uma dama ou um rei.
3. Qual a probabilidade de sorteio de 1 bola que não seja branca em uma urna que contém 6 
bolas brancas, 2 azuis e 4 amarelas?
4. Em um avião viajam 40 brasileiros, 20 japoneses, 8 americanos e 3 árabes. Escolhendo ao 
acaso um passageiro, determine a probabilidade de ele:
a) ser árabe;
b) não ser árabe;
c) ser japonês ou americano;
d) ser argentino.
Observação: Se p(A) é a probabilidade de A ocorrer, a probabilidade de A não ocorrer será 1 – p(A).
p(A) = 1 – p(A), em que A: evento complementar de A.
p(A) = 1 
13
p(A) = 1 
2
p(A) = 2 
13
p(A) = 1 
2
p(A) = 3 
71
p(B) = 68 
71
p(C) = 28 
71
p(D) = 0
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5. Em uma urna há 20 bolas, numeradas de 1 a 20. Retira-se 1 bola ao acaso. Calcule a probabi-
lidade de seu número ser:
a) ímpar.
p(A) = 1 
2
b) múltiplo de 3.
p(B) = 3 
10
c) divisível por 2 e 3.
p(C) = 3 
20
d) múltiplo de 5 e 7.
p(D) = 0
6. Um grupo de amigos organiza uma loteria cujos bilhetes são formados por 4 algarismos 
distintos. Qual é a probabilidade de uma pessoa que possui os bilhetes 1.387 e 7.502 ser 
premiada, sendo que nenhum bilhete tem como algarismo inicial o zero?
p(A) = 1 
2 268
7. Lançando-se 2 dados simultaneamente, qual a chance de ocorrerem números iguais?
p(A) = 1 
6
8. Jogando-se 2 dados simultaneamente, qual a probabilidade de se obter um número par na 
soma das faces?
p(A) = 1 
2
9. São lançadas 3 moedas simultaneamente. Qual a chance de se obterem 3 caras?
p(A) = 1 
8
10. Lançamos 2 dados: 1 azul e 1 vermelho. Sabendo que no azul apareceu o número 3, calcule a 
probabilidade de obtermos a soma dos números maior ou igual a 7.
1 
12
Regra da soma
Considerando dois eventos, A e B, de um mesmo espaço amostral E, a probabilidade de ocorrer A 
ou B (A ∪ B) é dada por:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
p(A ∪ B): probabilidade de A ou B
p(A ∩ B): probabilidade de A e B simultaneamente
A B
E
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Acompanhe com atenção os dois exemplos de aplicação da regra da soma.
a) Vamos determinar a probabilidade de retirar ao acaso uma bola de número par ou maior que 4 
de uma urna onde existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. 
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⇒ n(E) = 10
A = {2, 4, 6, 8, 10} ⇒ n(A) = 5
B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ⇒ n(B) = 6
A ∩ B = {6, 8, 10} ⇒ n(A ∩ B) = 3
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
p(A ∪ B) = 5
10
6
10
3
10
+ − ⇒ p(A ∪ B) = 8
10
b) Suponha agora que seja retirada 1 carta ao acaso de um 
baralho de 52 cartas. Vamos determinar a probabilidade 
de ela ser de ouro ou ser um rei.
n(E) = 52
evento A: ser de ouro ⇒ n(A) = 13
evento B: ser rei ⇒ n(B) = 4
evento A ∩ B: ser rei de ouros ⇒ n(A ∩ B) = 1, p(A ∪ B) = 13
52
4
52
1
52
4
13
+ − =
Atividades
11. Em uma escola de 1.200 alunos, 550 gostam apenas de rock, 230 apenas de samba e 120 
gostam de samba e de rock. Escolhendo-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade de ele 
gostar de samba ou de rock?
3 
4
12. Em uma urna existem 10 bolas coloridas. As brancas estão numeradas de 1 a 6 e as 
vermelhas, de 7 a 10. Retirando-se 1, qual a probabilidade de ela ser branca ou de seu 
número ser maior que 7?
8 
10
13. Retira-se 1 carta ao acaso de um baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade de ela:
a) ser preta ou ser figura;
8 
13
b) não ser figura ou ser um ás.
10 
13
14. Uma caixa contém 1.000 bolas, numeradas de 1 a 1.000. Qual a probabilidade de se tirar, ao 
acaso, uma bola contendo um número par ou um número de 2 algarismos?
109 
200
Como atividade extra, pergunte: 
considerando a mesma situação da atividade 
resolvida anterior, qual a probabilidade de 
a bola retirada ter um número primo ou 
um número maior que 8? A resolução é a 
seguinte:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⇒ n(E) = 10
A = {2, 3, 5, 7} ⇒ n(A) = 4
B = {9, 10} ⇒ n(B) = 2
A ∩ B = ∅ ⇒ n(A ∩ B) = 0
p(A) = 
4 
10 + 
2 
10 – 0 ⇒ p(A) = 
6 
10
Eventos mutuamente exclusivos
Eventos para os quais A ∩ B = ∅.
Nesse caso:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
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15. Em um grupo, 50 pessoas pertencem ao clube A, 70 ao clube B, 30 ao clube C, 20 pertencem 
aos clubes A e B, 22 aos clubes A e C, 18 aos clubes B e C e 10 pertencem aos três clubes. 
Escolhida, ao acaso, 1 das pessoas presentes, calcule a probabilidade de ela:
a) pertencer aos três clubes.
1 
10
b) pertencer somente ao clube C.
0
c) pertencer a dois clubes, pelo menos.
2 
5
d) não pertencer ao clube B.
3 
10
16. Em uma urna, temos bolas brancas, amarelas, vermelhas e pretas. O número de bolas ama-
relas é o dobro do número de bolas brancas, e o de bolas vermelhas, o triplo. Determine a 
probabilidade de ser retirada uma bola preta, sabendo-se que o número de pretas é o dobro 
do número de amarelas.
2 
5
17. Uma estação meteorológica informa: “Hoje, a probabilidade de não chover é de 55%, a pro-
babilidade de fazer frio é de 35% e a probabilidade de chover ou fazer frio é de 80%”. Com 
esses dados, determine a probabilidade de:
a) chover.
45%
b) não fazer frio.
65%
c) não chover e não fazer frio.
20%
18. Um homem tem em sua mão 4 cartas de espadas de um baralho comum de 52 cartas. Se ele 
receber mais 3 cartas, calcule a probabilidade de ao menos 1 das cartas recebidas ser tam-
bém de espadas.
≈ 47%
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Considerando dois eventos, A e B, de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A e 
B é dada por:
p(A ∩ B) = p(A) ⋅ p(B/A)
p(A ∩ B): probabilidade de ocorrer A e B simultaneamente
p (B/A): probabilidade de ocorrer B, tendoocorrido A
Regra do produto
Considerando dois eventos, A e B, de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A e 
B é dada por:
p(A ∩ B) = p(A) ⋅ p(B/A)
p(A ∩ B): probabilidade de ocorrer A e B simultaneamente
p (B/A): probabilidade de ocorrer B, tendo ocorrido A
Eventos independentes
Dois eventos A e B são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende 
da ocorrência do outro. Nesse caso, p(B/A) = p(B). Assim, para dois eventos independentes, a regra 
do produto pode ser escrita:
p(A ∩ B) = p(A) ⋅ p(B)
Considere, por exemplo, uma urna contendo 7 bolas, numeradas de 1 a 7. Vamos calcular a 
probabilidade de retirarmos a bola 1 e, em seguida, sem a reposição desta, a bola 2.
A probabilidade de sair a bola 1 na primeira retirada é p(A) = 17 .
Restando 6 bolas na urna, a probabilidade de ocorrer a bola 2 na segunda, tendo ocorrido a bola 1 
na primeira, é p(B/A) = 16 .
Como devem ocorrer os dois eventos, temos:
p(A ∩ B) = p(A) ⋅ p(B/A) = 
1
7
1
6
1
42
⋅ =
Acompanhe um outro exemplo: 
Um lote de peças para automóveis contém 60 peças novas e 10 usadas. Escolhe-se 1 peça ao acaso 
e, em seguida, sem reposição da primeira, uma outra é retirada. Veja como determinamos a proba-
bilidade de as 2 peças serem usadas.
n(E) = 70
Primeira retirada 
n E
n A
70
10
( )
( )
=
=




 ⇒ p(A) = 1
7
Segunda retirada n E
n B
69
9
( )
( )
=
=




 ⇒ p(B) = 9
69
p (A ∩ B) = 1
7
9
69
⋅ ⇒ p(A ∩ B) = 3
161
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100
Atividades
19. Em uma urna, há 16 bolas, sendo 8 brancas, 4 azuis e 4 vermelhas. Retiram-se 2 bolas, uma 
após a outra. Indique a probabilidade de:
a) serem ambas vermelhas.
1 
20
b) 1 ser azul e 1 ser branca, independentemente da ordem.
2 
15
20. Lançando-se 1 dado e 1 moeda, qual a probabilidade de obtenção de número maior que 2 no 
dado e cara na moeda?
1 
3
21. Jogando-se 4 dados, qual a probabilidade de se obterem 24 pontos na soma das faces?
1 
1 296
22. Sabendo-se que, ao retirar 1 carta de um baralho de 52 cartas, ela era de copas, qual a proba-
bilidade de que ela seja menor que 3? (Considere o ás com valor 1).
2 
13
23. Uma prova é composta de 50 testes de múltipla escolha, cada um com 5 alternativas, sendo 
apenas 1 correta. Qual a probabilidade de que um aluno, apenas “chutando”, acerte todas as 
questões?
1 
5
50
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MATEMÁTICA
Ensino médio
2a SÉRIE
M
A
TETM
Á
TIC
A
2
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PROFESSOR
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