Exercícios de Probabilidade e Estatística

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Exercícios – Probabilidade e Estatística (Mat 2219)
Estatística Descritiva
(1) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de
televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão
representados no gráfico de barras: 
(1.1) Qual o número de residências nesta pesquisa?
(1.2) Qual a percentagem de entrevistados que declararam assistir à TvB?
(1.3) Qual a percentagem de entrevistados que declararam assistir a TvC e TvD?
(1.4) Qual a percentagem de entrevistados que declararam não assistir nenhum canal?
(2)
(2.1) um veículo desloca-se durante uma hora a uma velocidade de 60 km/h, depois percorre por
mais uma hora a uma velocidade de 75 km/h, e finalmente mais uma hora com velocidade de 110
km/h. Qual a velocidade média?
(2.2) um veículo percorre d km a uma velocidade de 50 km/h, d km a uma velocidade de 65
km/h, d km a uma velocidade de 80 km/h. Qual a velocidade média?
(2.3) um veículo faz três quartos da distância de um trajeto a 90 km/h e o restante da distância a 50 
km/h. Qual a velocidade média do trajeto?
 
(3) Sejam as seguintes amostras:
X: { 9; 4; x}
Y: {12; 8; 7} 
Para quais valores de x as variâncias das amostras são iguais?
(4) Seja uma série dos índices de ações das indústrias automotivas. O arquivo de dados está em 
arquivo xls em anexo. Para resolver o exercício use o EXCEL.
(4.1) Para as observações não agrupadas calcule mínimo, máximo, média aritmética, geométrica e
harmônica, mediana e moda, além de amplitude geral, variância, desvio padrão e coeficiente de
variação.
(4.2) Faça tabela de distribuição de frequências por intervalos, com 5 intervalos de amplitude 2,2
inciando em 14.
(4.3) Para a tabela obtida em (4.2) calcule média aritmética, mediana, moda , variância, desvio
padrão e coeficiente de variação.
(5) As velocidades de veículos que passaram por um radar foram registradas:
 
82 70 77 72 71 80 72 72 70 77 70 72 102 
72 76 77 82 80 82 95 72 76 95 71 80 83
(5.1) Faça a tabela de distribuição de frequências por ponto 
 x Total
 f
(5.2) Calcule média aritmética, mediana e moda 
(5.3) Calcule variância, desvio padrão e coeficiente de variação 
(5.4) Obtenha o intervalo [X− −S ; X
−
+S ] e calcule a proporção de valores que estão dentro dele.
Fundamentos de Probabilidade
(6) Em uma linha de produção de certa fábrica, determinada peça é produzida em três máquinas
A, B, C. A máquina A, por ser mais nova, é responsável por 0,60 da produção, a B por 0,20 e a C o
restante. Observou-se que a proporção de itens com defeito produzidos por A é de 0,005, por B é
0,03 e por C é 0,07.
(6.1) Qual é a proporção de peças defeituosas colocadas no mercado por essa fábrica?
(6.2) Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que ela tenha sido
produzida pela máquina: A? B? C ? 
(7) Uma urna contém 3 bolas brancas, 5 vermelhas e 6 pretas. Extraindo-se, sem reposição 3 
bolas, calcule a probabilidade:
 
(7.1) nenhuma seja branca 
 
(7.2) exatamente uma seja vermelha 
(7.3) todas da mesma cor 
(7.4) uma de cada cor
(8) Calcule as probabilidades nos jogos de loterias com apostas simples (aposta mínima).
QUINA: são 80 dezenas, onde são sorteadas 5. O apostador pode marcar de 5 a 15 dezenas
(8.1) quadra (8.2) quina
LOTO MANIA: são 100 dezenas, onde são sorteadas 20. O apostador marca 50 dezenas.
(8.3) 15 dezenas (8.4) 20 dezenas
MEGA SENA: são 60 dezenas, onde são sorteadas 6. O apostador pode marcar de 6 a 15 dezenas
(8.5) quina (8.6) sena 
DUPLA SENA: são 50 dezenas, onde são sorteadas 6. O apostador pode marcar de 6 a 15 dezenas
(8.7) quina (8.8) sena
(9) Jogo dos cilindros: são cinco cilindros verticais que giram em torno de um eixo. Cada 
cilindro tem seis fotos de personagens famosos. Cada cilindro gira de maneira independente um do 
outro. Quando o cilindro parar, a foto de apenas uma pessoa ficará visível para o público. Exemplo 
desse jogo foi exibido em um canal de TV aberta no Brasil. 
Cada cilindro tem 6 fotos distintas dos personagens A, B, C, D, E e F. Calcule as probabilidades:
(9.1) Todos personagens diferentes
(9.2) Dois cilindros com (A)
(9.3) uma terna com (F) 
(9.4) Uma terna e uma dupla 
(9.5) Todos personagens iguais
(10) Um ponto é escolhido ao acaso dentro de uma circunferência de raio R. Qual a probabilidade
deste ponto estar dentro do:
(10.1) triângulo regular inscrito nesta circunferência
(10.2) quadrado regular inscrito nesta circunferência
(10.3) pentágono regular inscrito nesta circunferência
(10.4) hexágono regular inscrito nesta circunferência
Variáveis Aleatórias Discretas
(11) Suponha que um comprador queira decidir se vai aceitar ou não um lote de itens. Para isso,
ele retira uma amostra de tamanho n=20 do lote, e conta o número X de defeituosos. Qual
a probabilidade de aceitar um lote quando:
(11.1) p=0 ,20 e a regra é aceitar o lote se X≤1
(11.2) p=0 ,10 e a regra é aceitar o lote se X≤2
(11.3) p=0 ,05 e a regra é aceitar o lote se X≤4
(12) Determinado tipo de parafuso é vendido em caixas de 50 unidades. É uma característica da
fabricação produzir uma proporção de 0,08 defeituosos. O fabricante decide adotar o seguinte
esquema de vendas: o comprador escolhe aleatoriamente, sem reposição, 5 unidades. Se a amostra
tiver nenhum defeituoso, ele paga 20,00; 1 ou 2 defeituosos ele paga 10,00, 3 ou mais ele paga
8,00. Qual o valor médio do preço de venda?
(13) A oficina de manutenção de uma indústria pode atender até 4 casos de avarias de máquinas
por dia. O número de avarias diárias segue distribuição de Poisson de média 3. Se houver mais de 4
avarias a máquina tem que esperar até surgir uma vaga na oficina. 
(13.1) Qual a probabilidade de que em um dia a oficina não consiga atender todas máquinas avaria-
das?
(13.2) Qual a probabilidade de que o número de máquinas avariadas em um dia seja entre 2 (inclu-
so) e 5 (incluso)
(13.3) Quantas vagas deve haver na oficina para que atenda todas as máquinas avariadas em 0,90 
dos dias?
(14) Um usuário de transporte coletivo chega pontualmente 8 horas para pegar o ônibus. Devido
ao trânsito caótico, a demora pode ser qualquer tempo entre 1 e 20 minutos. Admita que o relógio
“pule” de minuto em minuto. Qual a probabilidade:
(14.1) ter que esperar mais de 10 minutos
(14.2) ter que esperar entre 5 (incluso) a 10 (incluso) minutos
(14.3) a espera ser menor que 5 minutos
(14.4) se um amigo chegar 10 min atrasado, e vai pegar o mesmo ônibus ( que ainda não chegou),
qual a probabilidade deste amigo esperar até 3 minutos?
(15) Baseado em estudos anteriores, a probabilidade de um certo componente elétrico apresentar
defeito é de 0,05. Os componentes são amostrados item por item, a partir de uma produção
(contínua). Em uma amostra de oito componentes, quais são as probabilidades de se encontrar:
(15.1) Nenhum componente defeituoso
(15.2) Um componente defeituoso
(15.3) No máximo 2 dois defeituosos
(15.4) No mínimo 4 defeituosos
(15.5) Entre 3 (incluso) e 7 (incluso) defeituosos
Variáveis Aleatórias Contínuas
(16) Se a variável aleatória K for uniformemente distribuída sobre o intervalo (0, 5), qual será a 
probabilidade de que as raízes da equação 4 x2+4 xK+K+2=0 sejam reais?
 
(17) Foram instaladas lâmpadas de uma certa marca. O tempo de duração segue distribuição
exponencial de média 1500 h.
(17.1) Qual a probabilidade de uma lâmpada durar mais que 1200 h?
(17.2) Se três lâmpadas foram instaladas, qual a probabilidade de que após 1200 h seja necessário 
substituir 2 delas?
(17.3) Qual o número mínimo de lâmpadas que devem ser instaladas de maneiraque após 1200 h a
probabilidade de ao menos uma funcionar seja 0,90?
(18) Seja o gráfico da função densidade de uma v.a. contínua:
(18.1) Obtenha o valor da constante C
(18.2) Obtenha esperança, mediana e moda
(18.3) P(X≤3,4)
(18.4) P(1≤X≤2,7 )
(18.5) P(X≥2,8|1,4≤X≤4,5)
(19) Seja X com distribuição normal. Sabe-se que P(X<25)=0,82 e P(X>20)=0,70 .
(19.1) Qual é a esperança de X?
(19.2) Qual é o desvio padrão de X?
(20) Para X com distribuição normal de média 100 e desvio padrão 20 obtenha:
(20.1) P(X < 115) (20.2) P(X > 80)
(20.3) P( | X – E(X) | <10)
(20.4) o valor a, tal que P( E(X) – a < X < E(X) + a) = 0,95.
Amostragem e estimação
(21) O consumo de combustível é uma variável aleatória. Suponha que para um certo tipo de
automóvel o desvio padrão de consumo é σ =2 km/l, porém precisamos informações sobre a
média de consumo. Para tal foi obtida uma amostra de 40 automóveis.
(21.1) Se a amostra resultou em uma média de 9,3 km/l, faça intervalo de confiança para a média
populacional quando o grau de confiança for 0,95.
(21.2) Se a amplitude de um intervalo de confiança for de 1,5, qual foi o grau de confiança adotado?
(22) Deseja-se coletar uma amostra de uma v.a. X tal que a variância é σ 2=30 .
(22.1) Qual deve ser o tamanho da amostra para que, com probabilidade de 0,92, a média amostral
não difira da média populacional por mais de 0,7 unidades?
(22.2) Agora assuma que a população tenha tamanho igual a 2000. Qual o tamanho da amostra
usando a mesma configuração que em (22.1)?
(23) Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a probabilidade de
eleitores favoráveis ao seu candidato em um município de 30000 habitantes. Uma amostra inicial
de 30 pessoas revelou 18 a favor.
(23.1) Usando a informação da amostra inicial, dimensione uma amostra com grau de confiança de
0,98 e erro máximo de estimação de 0,05.
(23.2) Se na amostra que foi calculada em (23.1) obteve-se 0,25 favoráveis ao candidato, faça
intervalo de confiança de 0,98 para a proporção.
Testes de hipóteses
(24) O tempo gasto (em dias) na preparação para determinada operação policial é uma variável
aleatória X . A observação de uma amostra aleatória de 30 operações policiais semelhantes a essa
produziu uma média de 16 dias e desvio padrão 4. Acredita-se que operações desse tipo levam no
mínimo 15 dias parra preparação.
(24.1) Enuncie H 0 e H 1
(24.2) Calcule a estatística do teste
(24.3) Para α=0,05 qual o valor tabelado?
(24.4) Qual a decisão? Justifique a resposta.
(25) Para testar a hipótese nula H 0:θ=0,5 contra H 0:θ>0,5 , onde θ representa a 
proporção de pessoas favoráveis a certa proposta governamental, uma amostra aleatória de 100 
pessoas foi coletada. Desses entrevistados, 60 afirmaram serem a favor.
(25.1) Calcule a estatística do teste
(25.2) Para α=0,01 qual o valor tabelado?
(25.3) Qual a decisão? Justifique a resposta.
(26) Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, μ litros por
100 quilômetros, com desvio padrão σ =1,2 . Uma revista desconfia que o consumo é maior e
resolve verificar essas afirmações. Para tal, analisou 35 automóveis dessa marca, obtendo consumo
médio de 10,2 .
(26.1) Enuncie H 0 e H 1
(26.2) Para α=0,10 , qual o valor de μ 0 tal que leve à rejeição de H 0 ?
(26.3) Para μ 0=9,8 , qual o valor de α tal que leve à aceitação de H 0 ?
(27) O nível de colesterol no sangue é uma variável aleatória. Assuma que . Para uma amostra de
16 pacientes, X̄=237 mg/10ml e S=4 mg/10ml. Teste H 0:μ=235 contra
H 0:μ>235 .
(27.1) Calcule a estatística do teste
(27.2) Obtenha α e o respectivo valor tabelado que leve à aceitação de H 0
(27.3) Obtenha α e o respectivo valor tabelado que leve à rejeição de H 0
(28) Suponha que se deseje estimar a proporção de indivíduos com uma certa moléstia em uma
região. Selecionou-se uma amostra de 160 pessoas, constatando-se que 40 eram portadores. Um
médico acredita que a proporção possa ser maior que 0,30.
(28.1) Enuncie H 0 e H 1
(28.2) Calcule a estatística do teste
(28.3) Para α=0,05 qual o valor tabelado?
(28.4) Qual a decisão? Justifique a resposta,
(29) Suspeita-se que o barulho afeta a memória de curto prazo. Para verificar essa suspeita, um
experimento foi conduzido da seguinte forma: pessoas foram aleatoriamente distribuídas em dois
grupos. Cada grupo recebeu uma lista de 20 palavras para memorizar em 2 minutos. Os
participantes na condição barulho tentaram memorizar a lista de 20 palavras, enquanto escutavam,
com fones de ouvido, um barulho pré-gravado. Os outros participantes também utilizaram fones de
ouvido, mas sem o barulho, enquanto memorizavam as palavras no mesmo período de tempo. O
número de palavras memorizadas por pessoa foi registrado na tabela a seguir:
Com barulho Sem barulho
5
10
6
6
7
3
6
9
5
10
11
9
6
7
15
9
16
15
16
18
17
13
11
12
13
11
Teste se a média do grupo não exposto a barulhos é significativamente maior.
(29.1) Enuncie H 0 e H 1
(29.2) calcule a estatística do teste
(29.3) Para α=0,01 qual o valor tabelado?
(29.4) Qual a decisão? Justifique a resposta.
Correlação e Regressão
(30) O custo mensal de manutenção de determinado automóvel é analisado em função da idade do
veículo.
Idade do veículo (X) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Custo mensal (Y) 8 10 18 29 24 26 29 32 37 42
(30.1) Faça o diagrama de dispersão
(30.2) Calcule o coeficiente de correlação
(30.3) Ajuste uma reta de Y em função de X
(30.4) Qual o valor esperado para Y quando X=40?