Noções de Topografia

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NOÇÕES DE TOPOGRAFIA 
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Sumário 
NOSSA HISTÓRIA ...................................................................................................... 3 
História da Topografia ................................................................................................. 4 
Definições e divisões................................................................................................... 5 
Erro de esfericidade .................................................................................................... 8 
Principais trabalhos e áreas que explora .................................................................... 9 
Topografia como uma representação geométrica ..................................................... 10 
Ponto ..................................................................................................................... 11 
Alinhamento ou linha ............................................................................................. 11 
Polígonos ............................................................................................................... 11 
SISTEMAS DE COORDENADAS ............................................................................. 12 
Sistemas De Coordenadas Cartesianas ................................................................... 12 
Sistemas De Coordenadas Esféricas ........................................................................ 14 
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA ............................................................................ 15 
Modelo esférico ..................................................................................................... 15 
Modelo Elipsoidal ...................................................................................................... 16 
Modelo Geoidal ......................................................................................................... 17 
Modelo Plano ............................................................................................................ 18 
CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO ............................................... 21 
Erros Grosseiros .................................................................................................... 21 
Erros Sistemáticos ................................................................................................. 22 
Erros Acidentais Ou Aleatórios .............................................................................. 22 
Peculiaridade Dos Erros Acidentais ...................................................................... 22 
Precisão E Acurácia .................................................................................................. 23 
MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA .......................................................................... 24 
Geometria plana .................................................................................................... 24 
Triângulos .............................................................................................................. 24 
Circunferência e Círculo ........................................................................................ 25 
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Polígonos com 4 lados .......................................................................................... 25 
Trigonometria ........................................................................................................ 26 
EQUIPAMENTOS TOPOGRÁFICOS E SUAS APLICAÇÕES .................................. 31 
Estação total ............................................................................................................. 31 
CONCEITO DE ALTIMETRIA ................................................................................... 34 
Representação do relevo .......................................................................................... 34 
Pontos cotados ......................................................................................................... 34 
Curvas de nível ......................................................................................................... 35 
Perfil .......................................................................................................................... 36 
Seção transversal ..................................................................................................... 36 
Modelagem numérica do terreno .............................................................................. 37 
Vetorização altimétrica .............................................................................................. 37 
Graduação colorimétrica altimétrica .......................................................................... 38 
Distâncias verticais ................................................................................................... 38 
Cota ou cota relativa ................................................................................................. 38 
Altitude ou cota absoluta ........................................................................................... 39 
Marégrafo ou Mareógrafo .......................................................................................... 40 
Diferença de Nível ..................................................................................................... 41 
Nivelamento topográfico............................................................................................ 42 
Instrumentos utilizados no nivelamento topográfico .................................................. 42 
Métodos de nivelamentos topográficos ..................................................................... 43 
Barométrico ........................................................................................................... 43 
Por satélites ........................................................................................................... 43 
Trigonométrico ....................................................................................................... 44 
Nivelamento Geométrico ....................................................................................... 44 
Nível de mangueira ou vasos comunicantes ......................................................... 44 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 45 
 
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NOSSA HISTÓRIA 
 
 
A nossa história inicia com a realização do sonho de um grupo de empresários, em 
atender à crescente demanda de alunos para cursos de Graduação e Pós-Graduação. Com 
isso foi criado a nossa instituição, como entidade oferecendo serviços educacionais em nível 
superior. 
A instituição tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação no 
desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua. Além de 
promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos que constituem 
patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, de publicação ou outras 
normas de comunicação. 
A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma confiável e 
eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base profissional e ética. 
Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições modelo no país na oferta de 
cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, excelência no atendimento e valor do 
serviço oferecido. 
 
 
 
 
 
 
 
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História da Topografia 
 
O homem passou por diversos processos evolutivos de sobrevivência durante a 
história, desde suas formas primárias até as configurações atuais de sociedade. Os primeiros 
povos da pré-história eram os nômades que não possuíam residência fixa e sobreviviam da 
caça, pesca e extração vegetal. Com o passar do tempo, houve a necessidade doser 
humano mudar os hábitos de sobrevivência, pois os alimentos, que até então somente 
explorava, estavam ficando escassos, passando a ter sua residência fixa e tornando-se uma 
espécie sedentária. 
Aprendeu a cultivar seu próprio alimento e criar animais, surgindo então, a agricultura 
e pecuária, consequentemente, formando sociedades mais complexas, como vilas e cidades. 
Após a criação de uma sociedade mais organizada, o ser humano necessitou especializar-
se e demarcar seus domínios para uso em suas atividades agrícolas e moradias. A partir daí, 
o homem passou a usar a Topografia, sem mesmo saber que a havia descoberto. Para as 
atividades de demarcações de terras para plantios e construção de residências eram 
necessários alguns instrumentos que auxiliassem nesse trabalho, daí o surgimento dos 
primeiros instrumentos topográficos, embora que rudimentares. Os primeiros povos a criarem 
e utilizarem os instrumentos topográficos foram os egípcios e mesopotâmicos, depois 
chineses, hebreus, gregos e romanos. Não se sabe exatamente o ano em que começou, 
mas acredita-se que a Topografia já era usada antes de 3200 a.c. tendo sido empregada no 
antigo império egípcio 
Os instrumentos, nessa época, eram bastantes rudimentares e tinham baixa exatidão 
e precisão em se comparando com os instrumentos atuais, porém considerando-se sua 
época esses povos chegavam a resultados espantosos. Os egípcios, como exemplo, ao 
fazerem a construção da pirâmide de Quéops, que durou 30 anos para ser erguida, a 
construíram com as medidas de 230,25 m, 230,45 m, 230,39 m e 230,35 m, respectivamente, 
paras as suas bases norte, sul, leste e oeste. Eles erraram apenas 20 centímetros entres as 
bases (Figura 1). 
 
 
 
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Figura 1 – Medições das bases da pirâmide de Quéops e sua orientação. 
 
Em se tratando de ângulos, o erro correspondente aos 4 ângulos da base da pirâmide 
é de apenas 6´35’’. Outra consideração importante é que as quatro arestas da pirâmide de 
Quéops apontam para os pontos colaterais NE, SE, SO, e NO, incluindo também as outras 
pirâmides de Gizé. Com o passar das gerações e do tempo, os instrumentos e métodos 
evoluíram tecnicamente e eletronicamente, tornando as interfaces e seus manejos mais 
amigáveis, dispondo de mais recursos para o operador, controlando mais o erro e, 
consequentemente, dando resultados com maiores exatidões e precisões. 
Definições e divisões 
A palavra Topografia é originada do idioma grego Topos Graphen. Após a tradução 
para a língua portuguesa têm-se Topos significando lugar ou região e Graphen equivalente 
a descrição, ou seja, descrição de um lugar. Atualmente existem diversas definições sobre o 
significado da Topografia. Véras Júnior (2003) define como a ciência que tem por objetivo 
conhecer, descrever e representar graficamente sobre uma superfície plana, partes da 
superfície terrestre, desconsiderando a curvatura do planeta Terra. Doubek (1989) afirma 
que a Topografia tem por objetivo o estudo dos instrumentos e métodos utilizados para obter 
a representação gráfica de uma porção do terreno sobre uma superfície plana. Espartel 
(1987) por sua vez diz que a Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão 
e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, sem levar em conta a 
curvatura resultante da esfericidade terrestre. 
Analisando essas definições, podemos entender que a Topografia é uma ciência que 
estuda, projeta, representa, mensura e executa uma parte limitada da superfície terrestre não 
levando em conta a curvatura da Terra, até onde o erro de esfericidade poderá ser 
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desprezível, e considerando os perímetros, dimensões, localização geográfica e posição 
(orientação) e objetos de interesse que estejam dentro desta porção. A Geodésia, ciência 
que estuda a Terra como um todo ou parcialmente, é dividida em três ramos: Geodésia 
Física, Geodésia Geométrica e Geodésia por satélites. A Topografia é um ramo da Geodésia 
Geométrica, sendo que essas duas ciências estudam, em muitas vezes, os mesmos 
métodos, utilizando os mesmos instrumentos para determinar porções da superfície terrestre. 
Entretanto, a Topografia estuda apenas uma porção limitada da superfície terrestre, 
enquanto que a Geodésia admite uma maior dimensão estudando porções maiores que à 
limitada para a Topografia, ou seja, até mesmo a toda a Terra. 
É importante salientar que, quando deixamos de desconsiderar a curvatura da Terra, 
não trabalhamos mais com os planos topográficos (dimensões planimétricas, altimétricas, 
posição, orientação e coordenadas locais), significando que não estamos mais trabalhando 
coma Topografia. O uso de GNSS (GPS, GLONASS, etc) e DATUNS geodésicos evidenciam 
a utilização da Geodésia, confundida por muitos autores. O limite geométrico da porção que 
delimita a Topografia com a Geodésia varia de autor para autor, em função do erro admissível 
e se é economicamente viável para a Topografia. Então, se é possível utilizar o plano 
topográfico sem gerar erros consideráveis estamos usando a Topografia, onde essa porção 
é limitada por um plano de raio com 20 km. 
A Topografia é dividida em dois ramos: Topologia e Topometria. A Topologia é definida 
por Véras Júnior (2003) como a parte da Topografia que se preocupa com as formas 
exteriores da superfície da Terra e as leis que regem o seu modelado. Já a Topometria é um 
ramo da Topografia que tem como objetivo as medições de elementos característicos de 
uma determinada área. Esse ramo divide-se em: Planimetria, Altimetria e Planialtimetria 
(Figura 2). 
Figura 2 – Divisão e subdivisões da Topografia. 
 
 
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A Planimetria é a parte da Topografia que estuda o terreno levando em consideração 
somente dimensões e coordenadas planimétricas. Nesse caso não se tem ideia do relevo do 
terreno em questão, estudando-se apenas suas distâncias e ângulos horizontais, localização 
geográfica e posição (orientação). A Altimetria é a parte da Topografia que estuda o terreno 
levando em consideração somente dimensões e coordenadas altimétricas. Nesse caso se 
tem ideia do relevo do terreno em questão, estudando-se apenas suas distâncias e ângulos 
verticais. A Planialtimetria é a parte da Topografia que estuda o terreno levando em 
consideração as dimensões e coordenadas planimétricas e altimétricas. Nesse caso se tem 
ideia do relevo do terreno em questão, estudando-se suas distâncias horizontais e verticais, 
ângulos horizontais e verticais, localização geográfica e posição (orientação). 
A Figura 3 abaixo demonstra uma pirâmide sendo representada planimetricamente, 
altimetricamente e planialtimetricamente. 
Figura 3 – Pirâmide no espaço (A) sendo representada planimétrica (B), altimétrica 
(C) e planialtimétricamente (D). 
 
 
 
 
 
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Erro de esfericidade 
Os trabalhos topográficos como levantamentos e locações são realizados sobre a 
superfície curva da Terra, porém os dados coletados são projetados sobre uma superfície 
plana, o plano topográfico. Por causa disso, ocorre um erro chamado de erro de esfericidade 
(Figura 4). 
 
Figura 4 – Representação da distância horizontal (plano topográfico) e da distância 
curva (superfície da Terra). 
 
Na Topografia, o profissional, deve avaliar, qual deve ser o limite da área a ser 
trabalhada para avaliar a desconsideração do erro, pois quanto mais distante da origem do 
plano topográfico, maior será esse erro. Abaixo segue a tabela 1 com os valores das 
coordenadas geográficas, distância na superfície terrestre, também chamada de distância 
curva (DC), distância horizontal no plano topográfico (DH) e o erro correspondente à 
diferença entre DC e DH (Tabela 1). Porém, é sabido, que o fator econômico pesa na hora 
da escolha em utilizar a Topografia ou Geodésia, então deve ser algo a se considerar. 
Tabela 1 – Distância da curvatura da Terra, distância horizontal e erro de esfericidade 
para 1º e 1’ dascoordenadas geográficas. 
 
 
 
 
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Principais trabalhos e áreas que explora 
O objetivo principal da Topografia é a representação planialtimétrica de uma 
determinada superfície terrestre, em escala adequada, seguindo as normas locais, regionais 
ou nacionais. Os principais trabalhos da Topografia são o levantamento topográfico e a 
locação topográfica. O levantamento topográfico, de uma forma geral, consiste em recolher 
todos os dados e características importantes que há no terreno numa determinada área, para 
posterior representação fiel através de desenho em papel ou ambiente gráfico, em escala 
adequada e com orientação, todos detalhes naturais e artificiais que foram levantados 
(Figura 5). 
 
Figura 5- Representação do levantamento topográfico de dois imóveis. 
 
A locação topográfica é o processo inverso ao levantamento topográfico. Também se 
divide em planimétrica, altimétrica e planialtimétrica. Antes de toda locação topográfica deve 
ser realizado um levantamento topográfico. Após o levantamento topográfico, o topógrafo ou 
engenheiro irá ao escritório realizar o projeto, criando as mudanças futuras necessárias no 
terreno, para a implantação de obras na área. É importante salientar que todos os dados e 
valores característicos importantes do projeto deverão ser implantados fielmente no terreno 
de acordo com a escala utilizada. A locação topográfica é mais cara e trabalhosa em relação 
ao levantamento topográfico (Figura 6). 
Figura 6- Representação da planta de dois imóveis levantados anteriormente, 
alterados e depois locado de acordo com seu projeto. 
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Como exemplo, temos na Figura 6 uma planta com dois imóveis levantados 
anteriormente (Figura 5). A partir do projeto ocorreu a locação topográfica do papel para o 
campo, sendo implementadas no terreno as dimensões de uma casa. Poderiam também 
derrubar ou inserir novas casas, postes, piscinas, ou seja, uma infinidade de coisas que 
poderiam ser alteradas no papel e executadas no terreno. Após a realização do trabalho de 
levantamento topográfico e/ou locação topográfica deve-se anexar ao projeto/trabalho o 
memorial descritivo. Memorial descritivo é um documento anexo ao trabalho que informa 
todas as características de uma propriedade ou área. Esse memorial indica os principais 
marcos, coordenadas, estradas principais que limitam a propriedade, etc. É utilizado para 
descrever, em forma de texto, a poligonal que limita a propriedade de uma maneira que se 
entenda e compreenda suas características e o que foi realizado, sem a necessidade de se 
verificar graficamente ou em tabelas. 
A Topografia pode ser utilizada em diversas áreas, como exemplo, desde a 
Agronomia, Cartografia, Engenharia Agrícola, Engenharia de Agrimensura, Engenharia 
Ambiental, Engenharia Civil, Engenharia Florestal, Engenharia Mecânica, Zootecnia, 
Engenharia de Pesca e até mesmo na Medicina. Neste último caso é a representação do 
corpo humano, de seus órgãos ou partes destes, através de imagens, não sendo o seu 
detalhamento objetivo deste livro. 
Topografia como uma representação geométrica 
A Topografia baseia-se em Geometria aplicada, onde imaginamse figuras geométricas 
regulares ou irregulares geoespacializadas. Quando um levantamento topográfico é 
realizado, coletam-se todos os dados e características do terreno em forma de figuras 
geométricas com suas dimensões, perímetros e posições (orientações) e localizações 
geográficas. As figuras geométricas básicas são compostas de ponto, linha e polígono 
(Figura 7). 
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Figura 7 – Ponto topográfico, alinhamento topográfico e poligonal 
 
Ponto 
O ponto é a menor unidade numa figura geométrica. Em Topografia são representados 
pelos pontos topográficos. Os pontos topográficos em um levantamento topográfico ou 
locação topográfica podem ser materializados por piquete, estaca, prego, parafuso ou tinta. 
Alinhamento ou linha 
A linha é uma figura geométrica formada pela união de vários pontos numa mesma 
reta. Em Topografia, essa linha formadora dos lados de uma poligonal é chamada de 
alinhamento topográfico. Esse alinhamento topográfico é formado por dois pontos 
topográficos. Em um triângulo com vértices A, B e C, temos três alinhamentos numa mesma 
direção (AB, BC, e CA), e podemos ter mais três em outra direção (AC, CB e BA). Em um 
retângulo, temos quatro alinhamentos em cada direção, e assim, por diante. A união de dois 
ou mais alinhamentos formam as poligonais. Dois alinhamentos poderão formar uma 
poligonal aberta. Três em diante, poderão formar poligonais abertas ou fechadas (planos). 
Polígonos 
Polígonos são usados para definir tanto as poligonais topográficas quanto as do 
terreno ou da propriedade. As primeiras são construídas como meio auxiliar para se obter as 
segundas. As poligonais topográficas podem ser abertas ou fechadas, podendo aparecer 
conjuntamente num mesmo levantamento topográfico. As fechadas sempre possibilitam os 
cálculos dos erros angular e linear. As lineares também podem possibilitar os cálculos de tais 
erros, porém são necessários os valores das coordenadas dos pontos inicial e final deste 
tipo de poligonal. 
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SISTEMAS DE COORDENADAS 
Um dos principais objetivos da Topografia é a determinação de coordenadas relativas 
de pontos. Para tanto, é necessário que estas sejam expressas em um sistema de 
coordenadas. São utilizados basicamente dois tipos de sistemas para definição unívoca da 
posição tridimensional de pontos: sistemas de coordenadas cartesianas e sistemas de 
coordenadas esféricas. 
 
 
Sistemas De Coordenadas Cartesianas 
Quando se posiciona um ponto nada mais está se fazendo do que atribuindo 
coordenadas ao mesmo. Estas coordenadas por sua vez deverão estar referenciadas a um 
sistema de coordenadas. Existem diversos sistemas de coordenadas, alguns amplamente 
empregados em disciplinas como geometria e trigonometria, por exemplo. Estes sistemas 
normalmente representam um ponto no espaço bidimensional ou tridimensional. No espaço 
bidimensional, um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas retangulares ou 
cartesiano. Este é um sistema de eixos ortogonais no plano, constituído de duas retas 
orientadas X e Y, perpendiculares entre si (figura 8). A origem deste sistema é o cruzamento 
dos eixos X e Y. 
Figura 8 - Sistema de coordenadas cartesianas. 
 
Um ponto é definido neste sistema através de uma coordenada denominada abscissa 
(coordenada X) e outra denominada ordenada (coordenada Y). Um dos símbolos P(x,y) ou 
P=(x,y) são utilizados para denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y. Na figura 9 
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é apresentado um sistema de coordenadas, cujas coordenadas da origem são O (0,0). Nele 
estão representados os pontos A(10,10), B(15,25) e C(20,-15). 
Figura 9 - Representação de pontos no sistema de coordenadas cartesianas. 
 
Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço tridimensional é 
caracterizado por um conjunto de três retas (X, Y, Z) denominadas de eixos coordenados, 
mutuamente perpendiculares, as quais se interceptam em um único ponto, denominado de 
origem. A posição de um ponto neste sistema de coordenadas é definida pelas coordenadas 
cartesianas retangulares (x,y,z) de acordo com a figura 10. 
Figura 10 – Sistema de coordenadas cartesianas, dextrógiro e levógiro. 
 
 
 
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Conforme a posição da direção positiva dos eixos, um sistema de coordenadas 
cartesianas pode ser dextrógiro ou levógiro (GEMAEL, 1981, não paginado). Um sistema 
dextrógiro é aquele onde um observador situado no semi-eixo OZ vê o semi-eixo OX coincidir 
com o semi-eixo OY através de um giro de 90° no sentido anti-horário. Um sistema levógiro 
é aquele em que o semi-eixo OX coincide com o semi-eixo OY através de um giro de 90° no 
sentido horário (figura 10). 
Sistemas De Coordenadas Esféricas 
Um ponto do espaço tridimensional pode ser determinado de formaunívoca, conforme 
a figura 11, pelo afastamento r entre a origem do sistema e o ponto R considerado, pelo 
ângulo β formado entre o segmento OR e a projeção ortogonal deste sobre o plano xy e pelo 
ângulo α que a projeção do segmento OR sobre o plano xy forma com o semi-eixo OX. As 
coordenadas esféricas de um ponto R são dadas por (r, α, β). A figura 11 ilustra este sistema 
de coordenadas. Supõe-se o sistema de coordenadas esféricas sobreposto a um sistema de 
coordenadas cartesianas (TORGE, 1980, p.16). Assim, o ponto R, determinado pelo terno 
cartesiano (x, y, z) pode ser expresso pelas coordenadas esféricas (r, α, β), sendo o 
relacionamento entre os dois sistemas obtido pelo vetor posicional: 
Figura 11 – Sistema de coordenadas esféricas. 
 
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA 
Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos para a sua 
representação, mais simples, regulares e geométricos e que mais se aproximam da forma 
real para efetuar os cálculos. Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais 
complexa a figura empregada para a representação da Terra, mais complexos serão os 
cálculos sobre esta superfície. 
Modelo esférico 
Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma esfera, como no caso da 
Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera através de sua latitude e 
longitude. Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude e 
longitude astronômicas. A figura 12 ilustra estas coordenadas. 
 Latitude Astronômica (Φ): é o arco de meridiano contado desde o equador até 
o ponto considerado, sendo, por convenção, positiva no hemisfério Norte e 
negativa no hemisfério Sul. 
 Longitude Astronômica (Λ): é o arco de equador contado desde o meridiano de 
origem (Greenwich) até o meridiano do ponto considerado. Por convenção a 
longitude varia de 0º a +180º no sentido leste de Greenwich e de 0º a -180º por 
oeste de Greenwich. 
 
Figura 12 – Terra esférica - coordenadas astronômicas. 
 
 
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Modelo Elipsoidal 
A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução (figura 13). O elipsóide de 
revolução ou biaxial é a figura geométrica gerada pela rotação de uma semi-elipse (geratriz) 
em torno de um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um 
elipsóide achatado. Mais de 70 diferentes elipsóides de revolução são utilizados em trabalhos 
de Geodésia no mundo. Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, 
os semi-eixos a (maior) e b (menor). Em Geodésia é tradicional considerar como parâmetros 
o semi-eixo maior a e o achatamento f, expresso pela equação (1.2). 
 
a: semi-eixo maior da elipse 
b: semi-eixo menor da elipse 
Figura 13 - Elipsóide de revolução. 
 
As coordenadas geodésicas elipsóidicas de um ponto sobre o elipsóide ficam assim 
definidas (figura 14): 
 Latitude Geodésica ( φ ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano 
do equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul. 
 Longitude Geodésica ( λ ): ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de 
Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para 
Oeste. 
 A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P na 
superfície física. 
 
 
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Figura 14 - Coordenadas Elipsóidicas. 
 
No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de 
Referência Geocêntrico para as AméricaS) adota o elipsóide de revolução GRS80 (Global 
Reference System 1980), cujos semi-eixo maior e achatamento são: 
a = 6.378.137,000 m 
f = 1/298,257222101 
Modelo Geoidal 
O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É definido 
teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado através dos 
continentes. Não é uma superfície regular e é de difícil tratamento matemático. Na figura 15 
são representados de forma esquemática a superfície física da Terra, o elipsóide e o geóide. 
Figura 15 - Superfície física da Terra, elipsóide e geóide. 
 
O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível, 
sendo utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a 
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vertical, do geóide até a superfície física) no ponto considerado. As linhas de força ou linhas 
verticais (em inglês “plumb line”) são perpendiculares a essas superfícies equipotenciais e 
materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito nivelado, no ponto 
considerado. A reta tangente à linha de força em um ponto (em inglês “direction of plumb 
line”) simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e também é chamada de vertical. 
A figura 16 ilustra este conceito. 
Figura 16 - Vertical. 
 
Modelo Plano 
Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a simplificação utilizada 
pela Topografia. Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os 
cálculos topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas 
dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 
20 a 30 km. A NRB 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com 
até aproximadamente 80 km. Segundo a NBR 13133, as características do sistema de 
projeção utilizado em Topografia são: 
 
 as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o 
centro de projeção localizado no infinito. 
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 a superfície de projeção é um plano normal a vertical do lugar no ponto da 
superfície terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu 
referencial altimetrico o referido datum vertical brasileiro. 
 as deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e 
a refração atmosférica têm as seguintes aproximadas: 
 Δl (mm) = - 0,001 l3 (km) 
 Δh (mm) = +78,1 l2 (km) 
 Δh´(mm) = +67 l2 (km) 
 o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, 
de maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, 
não ultrapasse 1:35000 nesta dimensão e 1:15000 nas imediações da extremidade 
desta dimensão. 
 a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de 
projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja 
origem coincide com a do levantamento topográfico; 
 o eixo das ordenadas é a referência azimutal, que, dependendo das particularidades 
do levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético 
ou para uma direção notável do terreno, julgada como importante. 
 
Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano é 
necessário estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representação dos 
mesmos. Este sistema pode ser caracterizado da seguinte forma: 
 Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de 
prumo); 
 Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou verdadeira); 
 Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste). 
 
 
 
 
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A figura 17 ilustra este plano. 
Figura 17 - Plano em Topografia. 
 
Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direção notável do terreno, como o 
alinhamento de uma rua, por exemplo (figura 18). 
Figura 18 - Eixos definidos por uma direção notável. 
 
 
 
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CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO 
Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezas como 
direções, distâncias e desníveis. Estas observações inevitavelmente estarão afetadas por 
erros. As fontes de erro poderão ser: 
• Condições ambientais: causados pelas variações das condições ambientais, 
como vento, temperatura, etc. Exemplo: variação do comprimento de uma trena 
com a variação da temperatura. 
• Instrumentais: causados por problemas como a imperfeição na construção de 
equipamento ou ajuste do mesmo. Amaior parte dos erros instrumentais pode 
ser reduzida adotando técnicas de verificação/retificação, calibração e 
classificação, além de técnicas particulares de observação. 
• Pessoais: causados por falhas humanas, como falta de atenção ao executar 
uma medição, cansaço, etc. 
Os erros, causados por estes três elementos apresentados anteriormente, poderão 
ser classificados em: 
• Erros grosseiros 
• Erros sistemáticos 
• Erros aleatórios 
Erros Grosseiros 
Causados por engano na medição, leitura errada nos instrumentos, identificação de 
alvo, etc., normalmente relacionados com a desatenção do observador ou uma falha no 
equipamento. Cabe ao observador cercar-se de cuidados para evitar a sua ocorrência ou 
detectar a sua presença. A repetição de leituras é uma forma de evitar erros grosseiros. 
Alguns exemplos de erros grosseiros: 
• anotar 196 ao invés de 169; 
• engano na contagem de lances durante a medição de uma distância com trena. 
 
 
 
22 
 
 
Erros Sistemáticos 
São aqueles erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser determinados, 
seguindo leis matemáticas ou físicas. Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas 
podem ser evitados através de técnicas particulares de observação ou mesmo eliminados 
mediante a aplicação de fórmulas específicas. São erros que se acumulam ao longo do 
trabalho. Exemplo de erros sistemáticos, que podem ser corrigidos através de fórmulas 
específicas: 
• efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor 
eletrônico de distância; 
• correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura. 
Um exemplo clássico apresentado na literatura, referente a diferentes formas de 
eliminar e ou minimizar erros sistemáticos é o posicionamento do nível a igual distância entre 
as miras durante o nivelamento geométrico pelo método das visadas iguais, o que 
proporciona a minimização do efeito da curvatura terrestre no nivelamento e falta de 
paralelismo entre a linha de visada e eixo do nível tubular. 
Erros Acidentais Ou Aleatórios 
São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem sido eliminados. São 
erros que não seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido ora noutro, tendendo a 
se neutralizar quando o número de observações é grande. De acordo com GEMAEL (1991, 
p.63), quando o tamanho de uma amostra é elevado, os erros acidentais apresentam uma 
distribuição de freqüência que muito se aproxima da distribuição normal. 
 
Peculiaridade Dos Erros Acidentais 
• Erros pequenos ocorrem mais freqüentemente do que os grandes, sendo mais 
prováveis; 
• Erros positivos e negativos do mesmo tamanho acontecem com igual 
freqüência, ou são igualmente prováveis; 
• A média dos resíduos é aproximadamente nula; 
• Aumentando o número de observações, aumenta a probabilidade de se chegar 
próximo ao valor real. 
Exemplo de erros acidentais: 
23 
 
 
• Inclinação da baliza na hora de realizar a medida; 
• Erro de pontaria na leitura de direções horizontais. 
 
Precisão E Acurácia 
A precisão está ligada a repetibilidade de medidas sucessivas feitas em condições 
semelhantes, estando vinculada somente a efeitos aleatórios. A acurácia expressa o grau de 
aderência das observações em relação ao seu valor verdadeiro, estando vinculada a efeitos 
aleatórios e sistemáticos. A figura 19 ilustra estes conceitos. 
Figura 19 - Precisão e acurácia. 
 
O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferença entre eles: um jogador de 
futebol está treinando cobranças de pênalti. Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta 
a trave do lado direito do goleiro. Este jogador foi extremamente preciso. Seus resultados 
não apresentaram nenhuma variação em torno do valor que se repetiu 10 vezes. Em 
compensação sua acurácia foi nula. Ele não conseguiu acertar o gol, “verdadeiro valor”, 
nenhuma vez. 
 
 
 
 
24 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA 
Na área de topografia, usa-se muito a parte da matemática relacionada a geometria 
plana, analítica e a trigonometria, para as transformações de leituras de ângulos e distâncias 
realizadas em campo em coordenadas planas e cálculo de áreas. 
 
Geometria plana 
A geometria plana, é a parte da matemática que estuda a figura geométrica 
bidimencionais, ou seja, figuras que podem ser observadas em um plano. Entre elas estão: 
o triângulo, a circunferência, o quadrado, o retângulo e outros poligonos. 
Triângulos 
É qualquer polígono que possiu três lados. Os principais elementos de um triângulo 
são: os lados, os vértices e os ângulos internos. A soma interna dos ângulos de qualquer 
triângulo é sempre 180º. 
 
 
O cálculo da área do triângulo qualquer, quando não se sabe a altura do trinângulo é: 
 
Também pode ser calculado em função de um ângulo e dois lados. 
 
25 
 
 
Quando o triângulo possui lados com o ângulo de 90º, é chamado de triângulo 
retângulo e usa-se a seguinte fórmula: 
 
Circunferência e Círculo 
A circunferência é o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado 
desse plano é fixa. O ponto dado é chamado de centro e a distância fixa é o raio da 
circunferência. 
 
A área e do comprimento da circunferência são dadas pelas seguintes fórmulas: 
 
Polígonos com 4 lados 
Polígonos são figuras fechadas formadas por segmentos de reta, sendo 
caracterizados pelos seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. 
 
26 
 
 
 
Trigonometria 
A Trigonometria, é o estudo da matemática responsável pela relação existente entre 
os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 
90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, que possuem 
valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. No teorema de 
Pitágoras “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. 
 
 
27 
 
 
 
Lei dos Senos: 
“Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é 
constante”. 
 
Lei dos Cossenos: 
“Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois 
lados pelo cosseno do ângulo que eles formam”. 
28 
 
 
 
 
Geometria Analítica 
Cálculo da distância entre dois pontos no plano cartesiano: 
 
 
Radiano: É o arco cujo comprimento é igual a medida do raio da circunferência que o 
contêm. A abreviação é Rad. Sistema circular. 
29 
 
 
Grau: Dividindo uma circunferência em 360° partes iguais, cada uma dessas partes é 
um arco de 1°. Sistema Sexagesimal. 
 
O grau é dividido em minutos e segundos. 
 1 hora = 60 minutos = 60′ 
 1 minuto = 60 segundos = 60′′ 
 1 hora = 3600 segundos = 3600′′ 
 
Tipos de Ângulos 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
EQUIPAMENTOS TOPOGRÁFICOS E SUAS APLICAÇÕES 
Estação total 
O equipamento moderno mais utilizado nos levantamentos planimétricos é a estação 
total. Ela também é utilizada na altimetria em nivelamentos trigonométricos, mas é na área 
de locação, transporte de coordenadas e levantamentos de áreas patrimoniais que ela mais 
se destaca (ver fi guras abaixo). 
Figura 20: Estação total vista de frente, teclados de comandos e display de 
visualização 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
Figura 21: Estação total vista de costa. Repare na seta indicando a posição do nível 
de bolha 
 
Figura 22: Estação total vista de lado sobre tripé, luneta apontada para o horizonte. 
 
 
 
 
33 
 
 
A estação total usa como acessórios principais o tripé, o prisma, e o bastão para o 
prisma. Para ser operada terá que ser fixada ao tripé aproximadamente na altura do 
topógrafo, centrada em um ponto (marco topográfico ou piquete com elementos topográficos 
conhecidos), nivelada (ela contém duas bolhas de nível que precisam ser caladas) e, por fim, 
orientada em algum outro ponto conhecido, onde serázerada com o auxílio dos retículos da 
luneta (sistema de mira da estação) apontados para o bastão com o prisma colocado no 
outro ponto. 
Figura 23: a) Estação total vista de lado sobre tripé, luneta apontada a 45° do 
horizonte; e b) luneta apontada para o zênite. 
 
A estação total contém um círculo vertical e um outro horizontal, divididos em graus, 
minutos e segundos. Seu sistema de operação é todo automatizado. 
Figura 24: Prisma sobre bastão de 2,70 m de altura 
 
34 
 
 
CONCEITO DE ALTIMETRIA 
A Altimetria é um ramo da Topografia que estuda, de um modo geral, as distâncias 
verticais, entre elas, diferença de nível, cotas e altitudes, formadoras do relevo de um 
determinado local. Pode-se dizer que o produto final do levantamento topográfico altimétrico 
é uma planta/carta/mapa tridimensional, pois se considerou o relevo, enquanto na 
Planimetria o produto final é uma representação bidimensional. A Figura 25A, demonstra a 
representação planimétrica de um ponto P1 com coordenadas cartesianas (x,y), enquanto 
na Figura 68B, esse mesmo ponto está representado planialtimetricamente (x,y,z). Diversos 
conceitos são aceitos, desde os mais estritos até os mais amplos. Véras (2003) conceitua 
Altimetria como a parte da Topografia que estuda uma porção qualquer de terreno sobre uma 
superfície plana, dando ideia do relevo do solo. 
Figura 25- Ponto P1 e suas respectivas coordenadas cartesianas sendo representado 
planimetricamente (x,y) e planialtimetricamente (x,y,z) , respectivamente em A e B. 
 
Representação do relevo 
O relevo para ser estudado, analisado e entendido precisa ser representado de 
alguma forma. Em Topografia as formas mais comuns de representação do relevo são pontos 
cotados, curvas de nível, perfil, seção transversal, modelagem numérica do terreno, 
vetorização, graduação colorimétrica, entre outras. 
Pontos cotados 
São pontos espacialmente distribuídos num plano, representados graficamente, onde 
se têm as altitudes ou cotas, levantados em um determinado terreno (Figura 26) 
 
 
35 
 
 
Figura 26 – Plano cotado de um terreno. 
 
Curvas de nível 
As curvas se nível são linhas imaginárias de mesma cota/altitude, e equidistantes 
entre si, que representam o relevo um determinado local (Figura 27). Essa forma de 
representação do relevo será discutida em um capítulo à parte. 
Figura 27- Curvas de nível de um terreno. 
 
 
 
 
36 
 
 
Perfil 
Os perfis são vistas laterais que representam o relevo de um determinado local (Figura 
28). Essa forma de representação do relevo será discutida em um capítulo à parte. 
Figura 28 – Perfil de um terreno. 
 
Seção transversal 
As seções transversais são formas de representação do relevo, através de vistas 
frontais, perpendiculares ao perfil longitudinal de um determinado local (Figura 29). Essa 
forma de representação do relevo será discutida em uma aula à parte. 
Figura 29 – Seção transversal de um terreno 
 
 
 
37 
 
 
Modelagem numérica do terreno 
É um modelo matemático do terreno, onde a partir de uma determinada origem (0,0,0), 
tem-se para cada ponto do terreno uma coordenada x, y e z, resultando numa visualização 
tridimensional do terreno (Figura 30). 
Figura 30- Modelagem numérica de um terreno. 
 
Vetorização altimétrica 
A vetorização é uma forma de representação de terreno, através de setas 
(vetorização), onde as setas apontam para os locais mais baixos, para onde o escoamento 
de água é direcionado (Figura 31). 
Figura 31- Vetorização altimétrica de um terreno. 
 
 
38 
 
 
Graduação colorimétrica altimétrica 
A graduação colorimétrica altimétrica, é uma forma de representação do relevo, 
produzida por programas topográficos, que indica os locais mais altos, intermediários e 
baixos do terreno através de cores (Figura 32). 
Figura 32 – Graduação colorimétrica altimétrica de um terreno. 
 
 
Distâncias verticais 
Para se chegar aos valores altimétricos para representação do relevo, é necessário 
que sejam conhecidas algumas distâncias verticais, tais como: cota, altitude e diferença de 
nível. 
Cota ou cota relativa 
É a distância vertical compreendida entre um ponto qualquer da superfície da Terra e 
um plano de referência qualquer (PRQ). O PRQ é um plano arbitrado com cota inicial 
atribuída pelo topógrafo. Na Figura 33 a estaca E0 apresenta cota negativa por estar num 
ponto do terreno abaixo do PRQ, enquanto as estacas E1 e E2 possuem cotas com valores 
positivos por estarem acima do PRQ. Chama-se de cota relativa, pois os valores de cotas 
em trabalhos diferentes, estão baseados em superfícies de referência diferentes, não 
podendo-se fazer comparações entre as alturas do terreno. É quase impossível que a cota 
10 m de um determinado trabalho, esteja no mesmo nível de uma cota de 10 m em outro 
trabalho, com níveis de referência arbitrados (PRQ) em locais diferentes. Para isto acontecer, 
talvez seja a mesma probabilidade para que dois raios caiam num mesmo lugar. 
 
39 
 
 
Figura 33- Superfície do terreno com estacas 0, 1 e 2 e nível de comparação PRQ. 
 
Altitude ou cota absoluta 
É a distância vertical compreendida entre um ponto qualquer da superfície da Terra e 
o nível médio dos mares em repouso que se prolonga sob os continentes (Figura 34). O nível 
médio dos mares é considerado uniforme para todo um país. Na Figura 34 a estaca E0 
apresenta altitude negativa por estar num ponto do terreno abaixo do NMM, enquanto as 
estacas E1 e E2 possuem altitudes com valores positivos por estarem acima do NMM. 
Altitude também é chamada de cota absoluta, pois dois pontos localizados em locais 
distintos, se apresentarem os mesmos valores de altitude, terão a mesma altura, pois a 
superfície de comparação é a mesma para os dois, ou seja, o Nível Médio dos Mares. 
Figura 34- Superfície do terreno com estacas 0, 1 e 2 e Nível Médio dos Mares - NMM. 
 
 
 
 
40 
 
 
Marégrafo ou Mareógrafo 
É o instrumento que registra continuamente o nível das marés (máximo, médio e 
mínimo) em um determinado ponto da costa, com o produto final diário, mensal ou anual, 
apresentado na forma de gráfico e denominado maregrama. Através dos resultados do 
maregrama, definese o marco altimétrico (altitude igual a zero) de uma determinada região 
da superfície terrestre. No Brasil, o datum vertical ou origem das altitudes está localizado na 
cidade portuária de Imbituba – SC. Este referencial altimétrico tem caráter oficial e foi 
homologado pelo IBGE após observações coletadas em marégrafo localizado na Baía de 
Imbituba. Este local foi escolhido pelo Conselho Nacional de Geografia, em 1959, por ser o 
ponto menos variável da costa brasileira. 
No Recife, Pernambuco, existe também um marco zero altimétrico, oficial para o 
município mas não para o Brasil. Esse marco altimétrico local é definido pelo nível mínimo 
do mares, pois em Recife, existem locais abaixo do nível médio dos mares. Para que sejam 
evitadas altitudes negativas, criou-se o marco zero com o nível mínimo do mar. Portanto, 
podem-se encontrar dois tipos de RN (Referencial de nível) no Recife. O marco zero 
altimétrico local encontra-se no Bairro de São José, um pouco a leste do marco zero 
planimétrico do estado de Pernambuco. Na Figura 35 é mostrada uma relação de cota e 
altitude. Observase que podem existir cotas e altitudes negativas e positivas. Em E0 temse 
altitude e cota negativas. Em E1 tem-se altitude e cota positivas. Em E2 tem-se altitude 
positiva e cota negativa. 
Figura 35- Cotas e altitudes das estacas 0, 1 e 2. 
 
 
 
41 
 
 
Observando-se a Figura 36 não pode ser afirmado categoricamente que as curvas de 
nível de Gravatá têm valores maiores que as de Triunfo, pois as cotas que aparecem as 
plantas são medições relativas. Também não se pode dizer que Gravatá está em nível mais 
alto que Aliança, pois a planta da primeira está em cota e da segunda em altitude, possuindo 
níveis dereferências diferentes. Com base na Figura 36 pode ser afirmado apenas que 
Goiana está em um nível mais baixo que Aliança, pois as curvas de nível de suas plantas 
expressam altitudes, baseando-se, portanto, num mesmo nível de referência ou nível de 
comparação. 
Figura 36- Curvas de nível de algumas cartas dos municípios de Aliança, Goiana, 
Gravatá e Triunfo, em Pernambuco. 
 
Diferença de Nível 
É a diferença de alturas (Figura 37), altitudes (Figura 38) ou cotas (Figura 39) entre 
dois pontos situados na superfície da Terra. 
Figura 37- Diferença de nível entre A e B através da diferença de alturas. 
 
 
 
 
42 
 
 
Figura 38- Diferença de nível entre A e B através da diferença de altitudes. 
 
Figura 39 - Diferença de nível entre A e B através da diferença de cotas. 
 
Nivelamento topográfico 
Nivelamento topográfico é uma operação utilizada para a obtenção de diferenças de 
nível no terreno a fim de possibilitar a determinação ou cálculo de altitudes e cotas do terreno. 
Para tal, são usados diversos instrumentos e metodologias realizadas em campo, 
objetivando-se a representação gráfica do relevo de um determinado local. 
Instrumentos utilizados no nivelamento topográfico 
Os instrumentos utilizados no nivelamento topográfico e suas exatidões estão 
relacionados conforme a tabela abaixo: 
 
 
43 
 
 
Métodos de nivelamentos topográficos 
Os métodos de nivelamento podem ser: barométrico, por satélites, trigonométrico e 
geométrico. 
Barométrico 
As medições de altitude são obtidas através do barômetro, que pode ser do tipo coluna 
de mercúrio ou do tipo aneróide. Seu princípio baseia-se no peso do ar aplicando uma 
determinada pressão no instrumento. Assim, a pressão pode ser calculada, multiplicando-se 
a altura da coluna de mercúrio pela densidade do mercúrio e pela aceleração da gravidade. 
Então, quanto mais alto o terreno, resulta uma menor pressão e, consequentemente maior 
altitude. Quanto mais baixo o terreno, resulta uma maior pressão e, consequentemente 
menor altitude. Sabendo-se que no nível do mar a atmosfera exerce pressão de 1 atm e que 
corresponde a 760 mmHg (milímetros de Mercúrio), segundo a experiência de Torricelli, ficou 
comprovado que para cada 1 mm deslocado no tubo de um barômetro ocorre variação de 
aproximadamente 10 m de altura no terreno com relação ao nível do mar. Portanto, quando 
há subida no terreno a coluna de mercúrio desce e quando se desce no terreno, a coluna de 
mercúrio sobe. Por exemplo, saindo do nível do mar para uma montanha, houve 
deslocamento na coluna de mercúrio de 760 mm Hg para 680 mm de Hg. Isto significa que 
a altura atingida foi de: 760 mm – 680 mm = 80 mm, donde 80 mm . 10 metros = 800 metros. 
Desta forma, o uso de equipamentos que se baseiam na pressão atmosférica, pode fornecer 
valores de altitudes do terreno, possibilitando a obtenção de nivelamentos. 
Por satélites 
Os Sistemas Globais de Navegação por Satélite, também conhecidos em inglês como 
GNSS (Global Navigation Satellite System), são tecnologias que permitem a localização 
espacial do receptor em qualquer parte da superfície terrestre, através da recepção de sinais 
de rádio enviados por satélites. Através do GNSS é possível a obtenção de valores de altitude 
para um determinado local. Esse sistema permite, em tempo real ou pós-processado, o 
posicionamento da antena receptora, necessitando de no mínimo quatro satélites. 
 
 
44 
 
 
Trigonométrico 
O nivelamento trigonométrico resulta da obtenção das distâncias verticais através da 
trigonometria. Esse nivelamento é obtido por instrumentos como teodolitos e estações totais. 
Nivelamento Geométrico 
É o método mais preciso para obtenção das diferenças de nível, altitudes e cotas. Na 
sua realização é usado o instrumento chamado nível de luneta e seu princípio baseia-se em 
visadas horizontais sucessivas nas miras verticalizadas, objetivando-se a obtenção de 
distâncias verticais (Figura 40). 
Figura 40– Nivelamento Geométrico 
 
Nível de mangueira ou vasos comunicantes 
Através do nível de mangueira (Figura 41) ou jogo de réguas, podem-se encontrar 
diferenças de nível na superfície de um local para outro. 
Figura 41 – Método para obtenção das diferenças de nível através do nível de mangueira. 
 
45 
 
 
REFERÊNCIAS 
Almeida, F. F. M. Fundamentos geológicos do relevo paulista. In: São Paulo. Instituto 
Geográfico e Cartográfico (ed.). Geologia do Estado de São Paulo (Boletim 41). São Paulo: 
IGC, 1964. cap. 2, p.167-262. 
ANDERSON, J.M & MIKHAIL, E.M. 1998. Surveying Theory and Practice. 7ª Edition. Ed. 
McGraw-Hill. USA. 1167p. 
BERALDO,P. & SOARES,S.M. 1995. GPS – Introdução e Aplicações Práticas. Ed. E Livraria 
Luana Ltda. Criciúma-SC. 148p. 
BORGES,A C. 1975. Exercícios de Topografia. 3ª Edição. Ed. Edgard Blücher Ltda. São 
Paulo. 192 p. 
CARRARO,C.C. & CORRÊA,I.C.S. 1985. Método de Cálculo para a Determinação do 
Azimute Verdadeiro de um Alinhamento por Visada ao Sol. PESQUISAS, Instituto de 
Geociências-UFRGS. 17:255-268. 
Castro, A. G.; Valério Filho, M. Simulação da expectativa de perdas de solo em microbacia 
sob diferentes manejos florestais. Revista Brasileira de Ciência do Solo, v.21, n.3, p.419- 26, 
1997. 
CHILANI, C.D. & WOLF, P.R. 2012. Elementary Surveying an Introduction to Geomatics. 13ª 
Edition. Person, N.J. 958p. 
Doornkamp, J. C; King, C. A. M. Numerical analysis in Geomorphology: An Introduction. 
London: Edward Arnold Ltd., 1971. 372p. 
Florinsky, I. V.; Kuryakova, G. A. Influence of topography on some vegetation cover 
properties. Catena, v. 27, p. 123-141, 1996. 
Kinnel, P. I. A slope length factor for applying the USLE-M to erosion in grid cells. Soil and 
Tillage Research, v.58, n.1, p.11-17, 2001. 
Valeriano, M. M. Modelos digitais de elevação de microbacias elaborados com krigagem. 
São José dos Campos: Instituto de Pesquisas Espaciais (INPE-9364-RPQ/736), 2002. 54p.