Estudo de Anéis em Matemática

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Introdução ao estudo de anéis
Apresentação
A Matemática é uma importante ciência no desenvolvimento do raciocínio lógico-abstrato, e suas 
inúmeras ferramentas algébricas e geométricas são fundamentais a tantas outras ciências.
No entanto, o conhecimento matemático não é algo pronto e acabado, mas dinâmico e histórico, 
pois é o resultado de esforços de inúmeros pesquisadores. Nesse sentido, à medida que esse 
conhecimento evolui, cada vez mais se torna abstrato e complexo, de modo a buscar soluções para 
os problemas do mundo real.
Entre as diferentes áreas da Matemática, uma delas é álgebra, que se dedica ao estudo da 
manipulação formal das equações e estruturas algébricas, sendo uma delas os anéis.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário o conhecimento 
prévio de estruturas algébricas elementares como grupos e monoides. Além disso, é fundamental 
que você tenha em mente o conceito de uma operação binária que atua sobre os elementos de um 
conjunto.
Nesta Unidade de Aprendizagem, inicialmente você irá aprender a definição e as propriedades da 
estrutura de anéis. Em um segundo momento, irá aprender a descrever as propriedades de um anel 
quociente e, por fim, verá como classificar os diferentes tipos de anéis.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir anel e suas propriedades.•
Descrever as características de um subanel.•
Classificar os diferentes tipos de anéis.•
Infográfico
À medida que evoluem, as estruturas algébricas se tornam mais complexas e abstratas, pois 
envolvem maior número de operadores, e estes, por sua vez, devem satisfazer um maior número de 
propriedades quando operacionalizados com determinado conjunto.
Neste Infográfico, você vai aprender a verificar se, para dado conjunto A, munido das operações 
binárias de soma e multiplicação, a terna (A, +, *) define um corpo algébrico.
Aponte a câmera para o 
código e acesse o link do 
conteúdo ou clique no 
código para acessar.
Conteúdo do livro
As estruturas algébricas são ferramentas fundamentais na construção do conhecimento 
matemático, pois são elas são as responsáveis por garantirem a corretude lógica das operações em 
abstratos, bem como as propriedades que cada estrutura deve satisfazer.
Os anéis são uma estrutura algébrica, no qual fazem parte um determinado conjunto e duas 
operações binárias, além disso, sobre cada uma dessas operações binárias podem ser verificadas 
uma série de propriedades algébricas.
No capítulo Introdução ao estudo de anéis, da obra Álgebra, base teórica desta Unidade de 
Aprendizagem, você irá estudar a definição formal de um anel, bem como as propriedades que dada 
terna deve ter a fim de satisfazer à definição formal de anel. Verá também o conceito de subanel e 
como este herda as propriedades do anel no qual ele está contido. Por fim, verá alguns tipos de 
anéis especiais que, além de satisfazerem às propriedades de um anel, satisfazem propriedades de 
maior restrição e complexidade abstrata.
Boa leitura.
ÁLGEBRA
Fabio Santiago
Introdução ao 
estudo de anéis
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir anel e suas propriedades.
 � Descrever as características de um subanel.
 � Classificar os diferentes tipos de anéis.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a estrutura algébrica denominada anel, 
verificando suas definições e propriedades. Você vai compreender que 
essa estrutura é capaz de operacionalizar um maior número de operações 
quando comparada com os monoides e os grupos.
Em um segundo momento, você vai aprender os conceitos relacio-
nados aos subanéis, que herdam as propriedades dos anéis nos quais 
eles estão contidos. Todas as operações realizadas nos subanéis são ditas 
fechadas, pois pertencem a um determinado subconjunto.
Por fim, você vai estudar anéis que possuem propriedades especiais, 
além daquelas referentes aos anéis em geral. Exemplos são: a lei do anula-
mento do produto, que se aplica aos anéis de integridade; a propriedade 
comutativa quanto à operação de multiplicação, que se aplica aos anéis 
comutativos; e o elemento neutro da multiplicação, que se apresenta 
nos anéis unitários.
1 Definição e propriedade dos anéis
A estrutura algébrica denominada anel é bem mais complexa do que a estru-
tura grupo, pois suporta um maior número de operações e um maior nível de 
abstração matemática. Veja a seguir a definição dessa estrutura.
Definição: Uma estrutura algébrica anel consiste em um conjunto não vazio 
𝔸, dotado de duas operações binárias, soma (+) e produto (∙), e estas satisfazem 
as propriedades descritas a seguir.
 � A1 — Associatividade da adição: para ∀a, b, c ∈ 𝔸, tem-se: (a + b) + c 
= a + (b + c).
 � A2 — Comutatividade da adição: para ∀a, b, c ∈ 𝔸, tem-se: a + b = b + a
 � A3 — Elemento neutro da adição: existe e é único 0 ∈ A, tal que a + 0 
= 0 + a = a para todo a ∈ A.
 � A4 — Existência do simétrico: para cada a ∈ A, existe aʹ ∈ A, tal que 
a + aʹ = aʹ + a = 0 ∈ A.
 � M1 — Associatividade do produto: para cada ∀a, b ∈ 𝔸, tem-se 
(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c).
 � AM — Distributividade: para cada ∀a, b ∈ 𝔸, tem-se a ∙ (b + c) = a ∙ b 
+ a ∙ c e (b + c) ∙ a = b ∙ a + c ∙ a.
Ao se considerar a definição da estrutura algébrica anel, é fácil observar o 
quanto ela é robusta, uma vez que sobre ela estão definidas quatro propriedades 
para a operação binária de adição, uma propriedade para a operação binária 
de multiplicação e uma propriedade que relaciona essas duas últimas.
Para compreender a diferença entre as estruturas algébricas anel e grupo, veja a seguir 
a definição de grupo, apresentada por Sampaio ([2020]).
Definição: Seja 𝔸 um conjunto não vazio, e seja * uma operação em 𝔸, a estrutura 
algébrica (𝔸, *) é denominada grupo se satisfaz as propriedades a seguir:
 � Associatividade: para ∀a, b, c ∈ 𝔸, tem-se: (a * b) * c = a * (b * c).
 � Elemento neutro: existe um único e ∈ 𝔸, tal que e * a = a ∈ 𝔸 para todo ∀a ∈ 𝔸.
 � Inverso: para cada ∀a ∈ 𝔸, existe um respectivo ∀a’ ∈ 𝔸, tal que a * a' = e.
Conhecendo a definição formal de anel e as suas propriedades, pode-se 
analisar os principais exemplos dessa estrutura algébrica. 
Introdução ao estudo de anéis2
Os conjuntos dos números inteiros (ℤ), racionais (ℚ), reais (ℝ) e complexos (ℂ), quando 
munidos das operações usuais de soma (+) e produto (∙), são exemplos canônicos da 
estrutura algébrica anel. Para todos esses conjuntos, o elemento neutro da adição é 
o número inteiro zero (0).
Exemplo 1
Seja ℱ(I) = { f: I → ℝ} o conjunto das funções definidas em I = (–1, 1) com 
imagem em ℝ. Além disso, considere o produto (∙) e a soma (+) de funções 
usuais — ou seja, para quaisquer f, g ∈ ℱ(I), tem-se:
( f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ 𝔸
( f ∙ g)(x) = f(x) ∙ g(x), ∀x ∈ 𝔸
A fim de verificar que o conjunto ℱ(I) = { f: I → ℝ}, munido das operações 
usuais de soma e produto, é um anel, faz-se necessário mostrar que a terna 
(ℱ(I), +, ∙) satisfaz as propriedades da definição de anel. 
A1 — Associatividade da adição: Dados ∀f, g, h ∈ ℱ(I) = f: I → ℝ, tem-se:
(( f + g) + h)(x) = ( f + g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x)
= f(x) + (g(x) + h(x)) = f(x) + (g + h)(x) = ( f + (g + h))(x)
Portanto,
(( f + g) + h)(x) = ( f + (g + h))(x)
A2 — Comutatividade da adição: Dados ∀f, g ∈ ℱ(I) = f: I → ℝ, tem-se:
( f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f )(x)
3Introdução ao estudo de anéis
Portanto, 
( f + g)(x) = (g + f )(x)
A3 — Elemento neutro da adição: Seja f, o ∈ ℱ(I) = f: I → ℝ, tal que o(x) 
= 0, ∀x ∈ I, tem-se:
(o + f )(x) = o(x) + f(x) = 0 +f(x) = f(x) 
Portanto,
(o + f )(x) = f(x) ⟺ o + f = f 
A4 — Existência do elemento simétrico da adição: Seja f, g ∈ ℱ(I) = f: I → 
ℝ, tal que g(x) = –f(x), ∀x ∈ I, tem-se:
( f + g)(x) = f(x) + g(x) = f(x) – f(x) = 0
sendo ℱ(I) = f: I → ℝ comutativo em relação à adição, como demonstrado em 
A2, então vale (g + f )(x) = g(x) + f(x) =–f(x) + f(x) = 0.
M1 — Associatividade do produto: Dados ∀f, g, h ∈ ℱ(I) = f: I → ℝ, tem-se:
(( f ∙ g) ∙ h)(x) = ( f ∙ g)(x) ∙ h(x) = f(x) ∙ g(x) ∙ h(x)
= f(x) ∙ (g(x) ∙ h(x)) = f(x) ∙ (g ∙ h)(x) = ( f ∙ (g ∙ h))(x)
Portanto,
(( f ∙ g) ∙ h)(x) = ( f ∙ (g ∙ h))(x)
AM — Distributividade: Dados ∀f, g, h ∈ ℱ(I) = f: I → ℝ, tem-se:
(( f + g) ∙ h)(x) = ( f + g)(x) ∙ h(x) = ( f(x) + g(x)) ∙ h(x)
= f(x) ∙ h(x) + g(x) ∙ h(x) = ( f ∙ h)(x) + (g ∙ h)(x)
= (( f ∙ h) + (g ∙ h))(x)
Introdução ao estudo de anéis4
Portanto, 
(( f + g) ∙ h)(x) = (( f ∙ h) + (g ∙ h))(x)
Verificadas as propriedades da definição de anel, então se pode concluir 
que a terna (ℱ(I), +, ∙) satisfaz as propriedades da definição anel.
Exemplo 2
Seja 𝕄nxn(ℝ) = {𝒳 = (𝒳ij); 𝒳 ∈ ℝ, 1 ≤ i, j ≤ n, n ∈ ℕ}, ou seja, 𝕄nxn(ℝ) é o 
conjunto de matrizes quadradas com entradas reais. Considere ainda o produto 
e a soma de matrizes usuais, ou seja:
Agora, vamos mostrar que as propriedades que definem um grupo podem 
ser verificadas.
A1 — Associatividade da adição: Sejam 𝒲, 𝒳, 𝒴 ∈ 𝕄nxn(ℝ), então tem-se:
(𝒲 + 𝒳) + 𝒴 = (𝒲i,j + 𝒳i,j) + 𝒴i,j = 𝒲i,j + (𝒳i,j + 𝒴i,j) = 
𝒲 + (𝒳 + 𝒴), 1 ≤ i, j ≤ n 
A2 — Comutatividade da adição: Sejam 𝒳, 𝒴 ∈ 𝕄nxn(ℝ), então tem-se:
𝒳 + 𝒴 = 𝒳i,j + 𝒴i,j = 𝒴i,j + 𝒳i,j = 𝒴 + 𝒳, 1 ≤ i, j ≤ n
A3 — Elemento neutro da adição: Dados 𝒳, 𝒴 ∈ 𝕄nxn(ℝ). Além disso, 
considere que:
𝒴 = 𝒴i,j = 0, 1 ≤ i, j ≤ n, 
Assim, tem-se:
𝒳 + 𝒴 = 𝒳i,j + 𝒴i,j = 𝒳i,j + 0 = 0 + 𝒳i,j = 𝒴i,j + 𝒳i,j = 𝒳, 1 ≤ i, j ≤n
5Introdução ao estudo de anéis
A4 — Existência do elemento simétrico da adição: Seja 𝒳, 𝒴 ∈ 𝕄nxn(ℝ). 
Além disso, considere que:
𝒴 = 𝒴i,j = –𝒳i,j, 1 ≤ i, j ≤ n
Assim, tem-se que:
𝒳 + 𝒴 = 𝒳i,j + 𝒴i,j = 𝒳i,j – 𝒳i,j = (–𝒳i,j) + 𝒳i,j = 0, 1 ≤ i, j ≤ n
M1 — Associatividade do produto: Sejam 𝒲, 𝒳, 𝒴 ∈ 𝕄nxn(ℝ). Tem-se:
Portanto,
(𝒲 ∙ (𝒳 ∙ 𝒴)) = (𝒲 ∙ 𝒳) ∙ 𝒴
AM — Distributividade: Sejam 𝒲, 𝒳, 𝒴 ∈ 𝕄nxn(ℝ). Tem-se:
Introdução ao estudo de anéis6
Portanto:
(𝒲 ∙ (𝒳 + 𝒴)) = 𝒲 ∙ 𝒳 + 𝒲
Verificadas as propriedades da definição de anel, então se pode concluir 
que a terna (𝕄nxn(ℝ), +, ∙).
O conjunto dos números naturais ℕ, munido das operações de soma (+) e produto (∙), 
não é um anel. Isso porque, apesar de ser possível mostrar a validade das propriedades 
de associatividade, comutatividade e elemento neutro da adição, assim como as 
propriedades de associatividade e distributividade da multiplicação, não é possível 
demonstrar a validade da propriedade do elemento neutro simétrico da adição. Ou seja, 
não é possível encontrar, para cada a ∈ ℕ, um a' ∈ ℕ tal que, a + a' = a' + a = 0. Portanto, 
esse conjunto, munido das operações usuais de soma e produto, não é um anel. 
2 Subanel e suas características
Neste tópico, você vai aprender a definição e as propriedades de um subanel, 
conforme apresentado a seguir, com base em Sampaio (]2020]).
Definição: Seja (𝔸, +, ∙) um anel; além disso, seja 𝔹 um subconjunto não vazio 
de 𝔸. Dizemos que 𝔹 é um subanel de 𝔸 se:
1. 𝔹 é fechado em relação de soma (+) e produto (∙) de 𝔸 — ou seja, 
se ∀a, b, ∈𝔹, tem-se a + b ∈ 𝔹 e a ∙ b ∈ 𝔹;
2. a estrutura algébrica (𝔹, +, ∙), em que a soma (+) e o produto (∙) são as 
restrições das operações de 𝔸 ao subconjunto 𝔹, é um anel.
Além da sua definição, um subanel também pode ser identificado por meio 
da proposição a seguir.
7Introdução ao estudo de anéis
Proposição: Seja 𝔸 um anel e 𝔹 um subconjunto não vazio de 𝔸, então 𝔹 é um 
subanel de 𝔸 se, e somente se, com ∀a, b, ∈ 𝔹, tem-se a – b ∈ 𝔹 e a ∙ b ∈ 𝔹.
Demonstração: Os passos desenvolvidos a seguir são baseados em Sampaio 
([2020]). Suponha que ∀a, b ∈ 𝔹 e que a – b ∈ 𝔹 e a ∙ b ∈ 𝔹. Assim, tem-se que:
1. b – b ∈ 𝔹, logo 0 ∈ 𝔹;
2. 0 – b ∈ 𝔹, pois 0 ∈ 𝔹 e b ∈ 𝔹, portanto, –b ∈ 𝔹;
3. a – (–b) ∈ 𝔹, pois a ∈ 𝔹 e –b ∈ 𝔹, portanto, a + b ∈ 𝔹.
Pelo exposto, 𝔹 é fechado em relação à operação de soma usual (+) do anel 
𝔸. Nesse sentido, essa operação pode ser restringida ao conjunto 𝔹. Além 
disso, como a operação de soma (+) do anel 𝔸 é associativa e comutativa, 
quanto esta é restrita ao conjunto 𝔹, tais propriedades são mantidas, como 
observa Sampaio ([2020]). Portanto, a estrutura (𝔹, +, ∙) é um anel, e 𝔹 é um 
subanel de 𝔸. Sendo 𝔹 um subanel de 𝔸, tem-se que ∀a, b, ∈ 𝔹. Além disso, 
–b ∈ 𝔹, portanto, a – b = a + (–b) ∈ 𝔹 e a ∙ b ∈ 𝔹.
De posse dos conceitos e definições de anel, a seguir você vai poder analisar 
alguns exemplos de subanéis.
Exemplo 1
Considere o conjunto ℤ[ ], sendo seus elementos definidos por x = a + b , 
a, b ∈ ℝ. Além disso, considere as operações de soma e produto definidas por:
A seguir, será demostrado que ℤ[ ] é um subanel de ℝ.
Introdução ao estudo de anéis8
Além disso, tem-se que a + b = 0 ∈ ℤ se, e somente se, a = b = 0. Por 
sua vez, –(a + b ) = (–a) + (–b ) ∈ ℤ para qualquer a, b ∈ ℤ.
Exemplo 2
Seja 𝔸 = 𝕄2x2(ℝ) o conjunto das matrizes de dimensão 2x2 com entradas 
reais (ℝ). Além disso, considere as operações de soma (+) e produto (∙) usuais. 
Assim, a terna (𝕄2x2(ℝ), +, ∙) é um anel. Considere agora 𝔹 um subconjunto 
de 𝔸, o qual é constituído por todas as matrizes na forma:
Assim, sejam:
com a, b, c, d ∈ ℝ, dois elementos do conjunto 𝔹. Tem-se:
Por sua vez, 
Portanto, 𝒳 – 𝒴 ∈ 𝔹 e 𝒳 ∙ 𝒴 ∈ 𝔹, e, pela proposição anteriormente enun-
ciada, 𝔹 é um subanel de 𝔸.
9Introdução ao estudo de anéis
O Quadro 1 a seguir traz dois outros subanéis, bem como seus elementos 
e suas operações binárias
Anel Subanel Elementos Operações
ℝ ℤ[ ]
x = a + b
y = c + d
a, b, c, d ∈ ℤ
x + y = (a + b) + (b + d) ∈ ℤ[ ]
x + y = (a ∙ c + 2b ∙ d) + (a ∙ d + b ∙ c) ∈ ℤ[ ]
ℂ ℤ[i]
x = a + bi
y = c + di
a, b, c, d ∈ ℤ
i2 = –1
x + y = (a + b) + (b + d)i ∈ ℤ[i]
x + y = (a ∙ c – b ∙ d) + (a ∙ d + b ∙ c)i ∈ ℤ[i]
Quadro 1. Elementos e operações de subanéis
3 Os diferentes tipos de anéis 
Até este momento, você estudou as propriedades necessárias para a definição 
de uma estrutura algébrica anel e aprendeu sobre os anéis ditos triviais — 
os conjuntos numéricos que, quando munidos das operações de soma e sub-
tração usuais, satisfazem a definição de anel. Você também aprendeu sobre 
os anéis não triviais, como o conjunto de matrizes quadradas com entradas 
reais ou o conjunto de funções de uma variável real.
Neste tópico, você vai estudar tipos de anéis que possuem propriedades 
especiais. Estes satisfazem todas as propriedades até aqui estudadas, além 
de satisfazerem propriedades adicionais. Trata-se dos anéis comutativos em 
relação à operação de adição, dos anéis com unidade e dos anéis de integridade.
Os anéis de integridade, em relação à operação de multiplicação usual, 
têm a definição apresentada a seguir.
Introdução ao estudo de anéis10
Definição: Seja a terna (𝔸, +, ∙) um anel comutativo, este é tido como um 
domínio de integridade se, e somente se, para todo a, b ∈ 𝔸, a ∙ b = 0 implica 
em a = 0 ou b = 0.
Exemplo 1: Os conjuntos dos números inteiros (ℤ), racionais (ℚ), reais (ℝ) 
e complexos (ℂ) são exemplos de anéis de integridade, uma vez que, para 
quaisquer a, b pertencentes a esses conjuntos, tem-se:
∀a, b ≠ 0 ⟹ a ∙ b ≠ 0
Exemplo 2: Seja 𝕄2x2(ℝ) o conjunto das matrizes de dimensão 2x2 com 
entradas reais (ℝ). Além disso, considere as operações de soma (+) e produto 
(∙). Assim, a terna (𝕄2x2(ℝ), +, ∙) não é um anel de integridade, pois é possível 
encontrar 𝒳, 𝒴 ∈ 𝕄2x2(ℝ) tais que 𝒳 ≠ 0, 𝒴 ≠ 0 e, no entanto:
Assim, considere:
Então, tem-se:
Já os anéis comutativos têm a definição apresentada a seguir.
Definição: Seja a terna (𝔸, +, ∙) um anel, este é dito comutativo se, e somente 
se, para todo a, b ∈ 𝔸, seja válido a ∙ b = b ∙ a.
Como observa Sampaio ([2020]), (𝔸, +, ∙) é um anel comutativo com 
unidade se vale a lei do cancelamento da multiplicação em 𝔸, ou seja, 
se vale a implicação a ∙ c = b ∙ c ⟹ a = b. Além disso, sempre que a, b e c são 
elementos de 𝔸, com c ≠ 0, 𝔸é um anel de integridade.
Como visto anteriormente, os conjuntos dos números inteiros (ℤ), racionais 
(ℚ), reais (ℝ) e complexos (ℂ), quando munido das operações usuais de soma 
(+) e produto (∙), são anéis. Além disso, para todos eles, é válida a propriedade 
11Introdução ao estudo de anéis
da comutatividade — ou seja, para quaisquer pares a, b ∈ ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, tem-se 
a ∙ b = b ∙ a.
Exemplo 2: Seja 𝕄2x2(ℝ) o conjunto das matrizes de dimensão 2x2 com 
entradas reais (ℝ). Além disso, considere as operações de soma (+) e produto 
(∙). Assim, a terna (𝕄2x2(ℝ), +, ∙) satisfaz as propriedades de anel; no entanto, 
este não é comutativo, pois, dados 𝒳, 𝒴 ∈ 𝕄2x2(ℝ), tais que:
Tem-se:
Logo, 𝒳 ∙ 𝒴 ≠ 𝒴 ∙ 𝒳; portanto, o anel não é comutativo.
Exemplo 3: Seja a terna (𝔸, +, ∙) um anel, este é dito ser um anel com unidade 
se, e somente se, o conjunto 𝔸 tem a propriedade M3, existência do elemento 
neutro multiplicativo. Ele existe e é unido 1A ∈ 𝔸, tal que, para todo a ∈ 𝔸, 
tem-se a ∙ 1A = 1A ∙ a = a.
Assim, como observa Vilella (2019), seja 𝔸 um anel com unidade 1, dessa 
forma, tem-se que (–1) + 1 = 0. Agora, multiplicando ambos os lados da equação 
anterior por a, tem-se a ∙ ((–1) + 1)) = a ∙ 0. Desenvolvendo-se a expressão 
anterior, tem-se a ∙ 0 = a ∙ (–1) + a ∙ (+1)) = a ∙ (–1) + a. Essa expressão mostra 
que a ∙ (–1) é simétrico de a, portanto, a ∙ (–1) = –a. Além disso, o símbolo 
∙ (–1) deve ser lido como simétrico da unidade.
Exemplo 4: Seja 𝕄2x2(ℝ) o conjunto das matrizes de dimensão 2x2 com 
entradas reais (ℝ). Além disso, considere as operações de soma (+) e produto 
(∙). Assim, a terna (𝕄2x2(ℝ), +, ∙) satisfaz as propriedades de anel e, além disso, 
é um anel com unidade, pois existe um único:
Introdução ao estudo de anéis12
tal que ∀𝒳 ∈ 𝕄2x2(ℝ). Assim, tem-se que:
Portanto, é um anel com unidade. 
Exemplo 4: Seja ℱ(I) = { f: I → ℝ} o conjunto das funções definidas em 
I = (–1, 1) com imagem em ℝ. Além disso, considere o produto e a soma de 
funções usuais. Assim, para quaisquer f, g ∈ ℱ (I), tem-se:
( f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ 𝔸
( f ∙ g)(x) = f(x) ∙ g(x), ∀x ∈ 𝔸
Como estudado no primeiro tópico, a terna (F(I), +, ∙) é um anel. Agora, 
será mostrado que este é um anel com unidade. Para isso, considere a função 
constante e igual a 1 definida em I = (–1, 1), ou seja, 1A: I ⟶ 1. Assim, tem-se:
( f ∙ 1A)(x) = f(x) ∙ 1A(x) = f(x) ∙ 1 = f(x), ∀x ∈ I
(1A ∙ f )(x) = 1A(x) ∙ f(x) = 1 ∙ f(x) = f(x), ∀x ∈ I
Portanto, 
( f ∙ 1A)(x) = (1A ∙ f )(x) = f(x), 
Assim, fica demostrado que ℱ(I) = { f: I → ℝ} é um anel com unidade.
Agora que você já conhece cada um dos casos particulares de anéis e suas 
características, a Figura 1 mostra como esses conceitos se relacionam.
13Introdução ao estudo de anéis
Figura 1. Anéis e outras estruturas algébricas.
Fonte: Adaptada de Picado (2006).
PICADO, Jorge. Apontamentos de ALGEBRA II. [S. l.], 2006. Disponível em: http://www.
mat.uc.pt/~picado/algebraII/apontamentos/resol.pdf. Acesso em: 24 set. 2020
SAMPAIO, J. C. Introdução Enxuta µa Teoria dos Grupos. [S. l.: s. n., 2020]. Disponível em: 
https://www.dm.ufscar.br/profs/sampaio/capitulo5.PDF. Acesso em: 6 nov. 2020.
SAMPAIO, J. C. Primeiros conceitos da teoria dos anéis. [S. l.: s. n., 2020]. Disponível em: 
https://www.dm.ufscar.br/profs/sampaio/Ea2cap1_02.pdf. Acesso em: 30 out. 2020.
SAMPAIO, J. C. Subanéis, ideais e anéis quocientes. [S. l.: s. n., 2020]. Disponível em: https://
www.dm.ufscar.br/profs/sampaio/Ea2cap3_02.pdf. Acesso em: 6 nov. 2020.
VILELLA, M. T. Anéis. Rio de Janeiro: UFF, 2019. Disponível em: http://www.professores.
uff.br/jcolombo/wp-content/uploads/sites/124/2017/09/1-2012-algebra_modulo2.
pdf. Acesso em: 29 out. 2020.
Leituras recomendadas
FAGUNDES, P. L. Elementos de Álgebra - Extensão de Corpos. São Paulo: Univesp, 2019. 
1 vídeo (19 min.). Publicado pelo canal UNIVESP. Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=ZBo0XTKKQwY&list=PLxI8Can9yAHcUFJQoSYyl7rJRraDYVxYe&index=7
&ab_channel=UNIVESP. Acesso em: 22 set. 2020.
Introdução ao estudo de anéis14
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sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
FAGUNDES, P. L. Elementos de Álgebra - - Anel Quociente e Corpo. São Paulo: Univesp, 
2019. 1 vídeo (21 min.). Publicado pelo canal UNIVESP. Disponível em: https://www.
youtube.com/watch?v=5tc3Y6Cl-DE&list=PLxI8Can9yAHcUFJQoSYyl7rJRraDYVxYe&i
ndex=5&t=4s&ab_channel=UNIVESP. Acesso em: 22 set. 2020.
MONTEIRO, L. H. J. Elementos de matemática: Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: 
Ao Livro técnico - S.A., 1969.
VARGES, J. Estrutura algébrica anel. [S. l.: s. n.], 2019. 1 vídeo (26 min). Publicado pelo canal Ja-
diel Vares. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=G80zK1RUxIE&t=98s&ab_
channel=JadielVarges. Acesso em: 27 out. 2020.
15Introdução ao estudo de anéis
Dica do professor
Os centros de pesquisas trabalham com projetos de desenvolvimento científico que podem 
envolver segredos industriais. Nesse sentido, tais informações são valiosas e sigilosas, e, portanto, é 
importante que se tenha diferentes camadas de segurança a fim de protegê-las. Uma das camadas 
diz respeito aos usuários dos centros de pesquisas.
Nesta Dica do Professor, você verá como as tábuas de um anel algébrico podem ser úteis nas 
questões de segurança de acesso.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Exercícios
1) Uma estrutura algébrica anel consiste em um conjunto não vazio A dotado de duas 
operações binárias: soma(+) e produto (·), e estas satisfazem um conjunto de propriedades. 
Uma delas é a do ______________________, a qual afirma que, para cada a∈A, existe a'∈A, 
tal que a+a'=a'+a=0∈A.
Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna.
A) elemento neutro da adição.
B) elemento simétrico.
C) elemento neutro da multiplicação.
D) elemento comutativo.
E) elemento inverso multiplicativo.
2) Seja Mnxn(R)={X=(Xij); X ∈ R, 1 ≤ i,j ≤ n, n ∈ N}, ou seja, Mnxn(R) é o conjunto de 
matrizes quadradas com entradas reais. Sobre esse conjunto, considere que atuam o produto 
e a soma habitual de matrizes, ou seja, 
 
Portanto, a terna (M nxn (R) ,+, -) é um anel. Agora, assinale a alternativa correta.
A) (Mnxn(R),+,·) é ausente de elemento neutro da adição.
B) (M nxn (R) ,+, ·) é ausente de elemento simétrico.
C) (M nxn (R) ,+, ·) é um anel com unidade.
D) (M nxn (R) ,+, ·) é um anel de integridade.
E) (M nxn (R) ,+, ·) é um anel comutativo.
3) 
Seja A um anel e B um subconjunto não vazio de A, então B é um subanel de A se e somente 
se: ∀a,b, ∈ B, tem-se a-b ∈ B, e a∙b ∈ B. Nesse contexto, julgue as afirmações 
que se seguem e marque (V) para verdadeiro e (F) para falso.
( ) B é fechado em relação à operação de soma (+) e produto (·) de A. 
( ) Se B é um subanel de A, então B herda os operadores binários de A, bem como suas 
propriedades. 
( ) Se B é um subanel de A, então 0 ∈ B, ou seja, B contém o elemento neutro da 
soma. 
( ) Se B é um subanel de A, é possível encontrar a,b ∈ B tal que a+b ∉ B.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
A) V, V, F, F.
B) V, F, V, F.
C) V, F, F, V.
D) V, V, V, F.
E) V, F, V, F.
4) Seja F(I)={ f:I →R} o conjunto das funções definidas em I=(-1,1) com imagem em R. Além 
disso, considere o produto (·) e a soma(+) de funções usuais, ou seja, para quaisquer f,g∈FI, 
tem-se:
(f+g)(x)=f(x)+g(x),∀x∈A
(f·g)(x)=f(x)·g(x),∀x∈A
Nesse contexto, julgue as asserções que seguem e a relação proposta entre elas:
I – A terna (F(I),+,·) é um anel comutativo com unidade.
PORQUE
II – Dado 1A:I:(-1,1) ⟶1, tem-se: (f∙1A)(x)=f(x)·1A(x)= (1A·f)(x)=1A(x)·f(x) = f(x).
A respeitodessas asserções, assinale a alternativa correta:
A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
C) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
D) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E) As asserções I e II são proposições falsas.
5) Os anéis são importantes estruturas algébricas, pois são capazes de suportar as operações 
usuais de soma e multiplicação. No entanto, existem anéis com características particulares, 
capazes de operacionalizar propriedades específicas.
Nesse contexto, julgue as afirmações que seguem:
I – O conjunto das matrizes M2x2(R) com as operações usuais é um anel com unidade.
II – O conjunto das matrizes M2x2(R) com as operações usuais é um anel comutativo.
III – Um anel é dito ser comutativo se a terna (A,+,·) é um anel, e para todo a,b ∈ A, é valido 
a∙b = b∙a.
Está correto apenas o que se afirma em:
A) I.
B) II.
C) III.
D) I e II.
E) I e III.
Na prática
O ensino das estruturas algébricas nem sempre é uma tarefa fácil, pois devido ao seu grau de 
abstração, os conceitos a serem entendidos nem sempre são compreendidos facilmente pelos 
alunos.
Acompanhe, neste Na Prática, a professora Carla, quando solicitou aos alunos que 
operacionalizassem duas tábuas algébricas por inspeção, de acordo com algumas regras. Após essa 
inspeção inicial, ela definiu o conceito de anel, que fazia uso de propriedades que os alunos haviam 
operacionalizado.
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Anéis
Neste link, você acessa uma videoaula em que o professor apresenta de forma didática os 
conceitos vistos nesta Unidade, os temas da estrutura algébrica anel.
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Anel e subanel
Neste link, você pode assistir a uma videoaula na qual o professor apresenta uma interessante 
introdução aos conceitos de anel e subanel. Acompanhe.
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Números complexos
Neste link, você irá encontrar um importante material que aborda os números complexos como 
uma extensão dos números reais, bem como suas propriedades.
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Lista de exercícios
Para aprender Introdução ao estudo de anéis, é importante que você treine fazendo diversos 
exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
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