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f((x, y)+(a, b))=f f(x+y) Anéis Ana Lucia de Sousa Descrição Estudo da estrutura algébrica grupo, estrutura em anel. Propósito Construir a estrutura algébrica chamada anel a partir das propriedades que caracterizam os grupos, apresentar novas propriedades e realizar operações nos conjuntos é importante para que você conheça com clareza essa estrutura, seus resultados ea sua importância na compreensão de novos conteúdos. Objetivos Módulo 1 Anel Reconhecer as propriedades que caracterizam a estrutura chamada anel. Módulo 2 Tipos de anéis, propriedades, potências e múltiplos de anéis Reconhecer os tipos de anéis, propriedades, potências e múltiplos de anéis.Módulo 3 Subanéis e anéis de integridade Identificar subanel, anel de integridade e divisores de um anel. Módulo 4 Homomorfismo de anéis Analisar os homomorfismos de anéis. Introdução Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e entenda os principais aspectos que serão abordados neste conteúdo. Para assistir a um vídeo sobre assunto, acesse a versão online deste conteúdo. 1 AnelAo final deste módulo, você será capaz de reconhecer as propriedades que caracterizam a estrutura chamada anel. Vamos começar! As propriedades que caracterizam a estrutura chamada anel Conheça a seguir as propriedades da estrutura chamada anel. Para assistir a um vídeo sobre assunto, acesse a versão online deste conteúdo. Anel Anel é uma estrutura algébrica um conjunto não vazio onde estão definidas duas composições internas: adição (+) e multiplicação (·). Devemos lembrar que o grupo possui apenas uma operação: (G,+). As operações de adição (+) e a multiplicação (·) em um anel devem satisfazer propriedades bem-definidas. Atenção! Seja A um conjunto não vazio, com as operações usuais de adição e multiplicação indicadas por: e e A adição e a multiplicação são funções de em A. Sendo assim, a operação de adição associa para cada par (x, y) um único elemento A operação de multiplicação associa a cada par (x,y) X A um único elemento x Denotamos o anel A com as operações de usuais de adição (+) e multiplicação (.), por ou simplesmente anel A.Comentário Também podemos representar as operações do anel através de outros símbolos, por exemplo, * e Assim, teremos (A, *, ), cuja primeira operação * é chamada de adição e a segunda operação é a multiplicação. A estrutura algébrica denominada anel se: I) (A,+) é um grupo comutativo ou abeliano; II) é um semigrupo; III) valem as propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição. Agora vamos entender melhor essas afirmações. I) (A,+) é um grupo comutativo ou abeliano, ou seja, devemos verificar as propriedades/os axiomas de grupo. A1: Propriedade associativa para a adição: tem-se A2: Existência do elemento neutro para a adição: Existe um elemento e A tal que para todo x em Atenção: 0A representa o elemento neutro do anel para a operação de adição. Ou seja, ele não necessariamente é o número zero. A3: Existência do elemento simétrico para a adição: A4: Propriedade comutativa para a adição: II) é um semigrupo, ou seja, devemos verificar a propriedade associativa para a multiplicação. Propriedade associativa para a multiplicação: tem-se III) Valem as propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição.Se satisfaz essas condições, então dizemos que um anel. Comentário 0 elemento (-x) é chamado de elemento simétrico de x. Assim, se então x e podemos efetuar a operação Chamamos de operação subtração em a operação que cada associa o elemento Exemplos de anéis a) anel dos números inteiros b) anel dos números reais c) anel dos números racionais d) anel dos números complexos e) anel formado pelos números múltiplos de n, em que n é um número natural É importante reconhecer, a partir das propriedades (ou dos axiomas, como veremos a seguir), se determinado conjunto apresenta uma estrutura de anel com as operações usuais. Todas as propriedades devem ser verificadas. Exemplo Mostre que o conjunto Z dotado das leis de composição + e X a seguir definidas é um anel. Devemos verificar os seis axiomas já apresentados. Solução: a) Propriedade associativa para a adição tem-se A propriedade associativa para a adição foi verificada.b) Existência do elemento neutro para a adição Existe um elemento (-1) tal que x (-1) (-1) = para todo x em Z Existência do elemento simétrico para a adição: d) Propriedade comutativa para a adição x+y+1=y+x+1 A propriedade comutativa para a adição foi verificada. e) Propriedade associativa para a multiplicação: A propriedade associativa para a multiplicação foi verificada. f) Valem as propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição:Conclusão: um anel. Exemplo Mostre que o conjunto Z dotado das leis de composição * e a seguir definidas é um anel. Solução a) Propriedade associativa para adição: tem-se A propriedade associativa para a adição foi verificada. b) Existência do elemento neutro para a adição: Existe um elemento 1 Z tal que x para todo x em Z.c) Existência do elemento simétrico para a adição: Neste caso o conjunto Z com as operações dadas não é um anel, pois não é um grupo com a operação *, uma vez que não possui inverso. Logo, Z dotado das leis de composição * e não é um anel. Exemplo Verifique se o conjunto Z dotado das leis de composição * e a seguir definidas é um anel. Solução Propriedade associativa para a adição: y, Z, tem-se A propriedade associativa para a adição não foi verificada. Portanto, não é um anel. Anéis importantes Anel de funções Considere K um conjunto não vazio e um anel. Denotamos por conjunto de todas as funções de K em A, ou Dizemos que as funções f e g são iguais se possuem mesmo domínio, a mesma imagem e o mesmo contradomínio. Sendo assim, se considerarmos essas funções em dizemos que a função fé igualà função g se, e somente se, g(x) para todo x em K. Assim, definimos duas operações: Adição e multiplicação em Para definimos por: Veja que a cada par de funções associamos as funções Assim, a adição (+) e a multiplicação (.) são operações em Exemplo Seja o conjunto de todas as funções de Z em Z, denotado por = em que a soma produto de duas funções em são definidas a seguir: : Veja que essas duas operações satisfazem as propriedades que caracterizam o anel. a) Propriedade associativa para a adição: A propriedade associativa para a adição foi verificada. b) Existência do elemento neutro para a adição: Sendo a função nula escrever: c) Existência do elemento simétrico para a adição: a função definida por tal que d) Propriedade comutativa para a adição:A propriedade comutativa para a adição foi verificada. e) Propriedade associativa para multiplicação: tem-se = A propriedade associativa para a multiplicação foi verificada. f) Valem as propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição: mesmo procedimento é realizado para Conclusão: é um anel de funções de Z em Z. Temos também como anéis de funções os seguintes conjuntos: Anel das matrizes Considere um anel e seja n um elemento em N, em que Denotamos por Mₙ(A) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n, com entradas em A: a₁₂ a₂₁ a₂₂ ... aₙ₁ aₙ₂ aₙₘ Em Mₙ(A) Definimos as operações usuais de adição e multiplicação do seguinte modo: Vamos considerar uma matriz x₁₂ x₂₂ ... X = : ... que podemos representar por X = [xᵢⱼ]. A partir dessa matriz, podemos considerar uma matriz Y = Tais matrizes estão em Mₙ (A). Assim, temos as operações a seguir:k=1 Com essas operações, podemos dizer que um anel.Assim, são anéis os seguintes conjuntos de matrizes: Anel em Zₘ (Anel das classes de restos módulo m) Considere o conjunto formado por classes em que cada classe é representada com uma barra na parte superior. Aqui, para facilitar o nosso trabalho, também podemos omitir a barra quando estamos trabalhando em Zₘ. Em Zₘ, definimos duas operações: adição e multiplicação. I) A adição em Zₘ é definida de modo que dadas as duas classes x e em Zₘ, temos: II) A multiplicação em Zₘ é definida de modo que dadas as duas classes x e y em Zₘ, temos: A partir dessas operações podemos dizer que é um anel. De fato, as propriedades que caracterizam um anel são verificadas. Propriedade associativa: Demonstração: Existência do elemento neutro: elemento neutro do anel é 0 De fato,Existência do elemento simétrico: 0 elemento neutro do anel De Logo, e m a são simétricos. Propriedade comutativa: Demonstração: Propriedade associativa da multiplicação: Demonstração: Propriedade distributiva: Demonstração: A outra igualdade é verificada de modo análogo. Comentário é um exemplo de um anel finito dado que conjunto finito. Podemos construir as tábuas das operações do anel por exemplo. Anel produto direto Dados os anéis produto cartesiano um anel, pois podemos definir as operações de adição e multiplicação da seguinteforma: A adição em multiplicação em Com essas operações podemos dizer que é um anel. Esse anel é chamado de anel produto direto ou produto cartesiano dos anéis Por exemplo, se considerarmos temos um anel com as operações supracitadas. Anéis quadráticos Os anéis do tipo são chamados de anéis quadráticos. Também são chamados de anel Z adjunção Eles são escritos da seguinte forma: em que d é um número inteiro, mas não é um quadrado perfeito. mesmo ocorre com Temos, por exemplo, As operações de adição e multiplicação são definidas considerando dois elementos de Comentário 0 conjunto as operações descritas é chamado de anel dos inteiros de Gauss.Falta pouco para atingir seus objetivos. Vamos praticar alguns conceitos? Questão 1 Sabemos que é um anel. Marque a alternativa a seguir que indica elemento simétrico desse anel.A = c D X E [xᵢⱼ] Parabéns! alternativa C está correta. Devemos determinar inicialmente o elemento neutro e em seguida elemento simétrico. Existência do elemento neutro para a adição Sendo E = a matriz nula, em que E Mₙ (A). Temos Veja que a matriz nula é o elemento neutro do conjunto de matrizes de ordem n com a operação de adição. Existência do elemento simétrico para a adição Seja X = [xᵢⱼ] em que é um elemento do anel Sendo assim, existe o simétrico que pertence ao anel A, tal Tomando temos = Logo, [-xᵢⱼ] é o simétrico de X [xᵢⱼ]. Questão 2 Considere as operações x * e 2x 2y a, com a Z. Para que valor de *, ) é um anel? A a = 2 a = 6c D a = 1 E Parabéns! alternativa B está correta. 0 valor é 6, considerando o seguinte: * 2 - Tipos de anéis, propriedades, potências e múltiplos de anéis Ao final deste módulo, você será capaz de reconhecer tipos de anéis, propriedades, potências e múltiplos de anéis. Vamos começar!Tipos de anéis, propriedades, potências e múltiplos de anéis Conheça mais sobre anéis no próximo vídeo. Para assistir a um vídeo sobre assunto, acesse a versão online deste conteúdo. Tipos de anéis Anel comutativo Seja denominado de anel comutativo se a operação de multiplicação (.) for comutativa, ou seja, Exemplo Mostre que o conjunto Z dotado das leis de composição e a seguir definidas é um anel comutativo. é um anel, pois todas as propriedades que caracterizam um anel são verificadas. Agora vejamos se esse anel apresenta a propriedade comutativa em relação à operação de multiplicação. Para isso, basta analisarmos se Devemos usar a segunda operação: x A propriedade foi verificada. Portanto, é um anel comutativo. Exemplos de anéis comutativos:Comentário Os anéis das matrizes não são anéis comutativos se n ≥ 2. Vejamos: seja o anel das matrizes quadradas com números inteiros. Vamos considerar dois elementos desse anel: 20 XY = 0 2 52 = 1.2 + 0.5 1.5 2.0 1.0 + + 0.2 1.2 = 32 YX Podemos observar que Logo, o anel não é comutativo. Exemplo Verifique se é um anel comutativo: (Z) Z₃ não é comutativo, pois 0 0 0 = 0 0 e 0 2, 0 1 = Anel com unidade Seja denominado anel com unidade ou anel unitário se existir A, tal que . Em outras palavras, podemos dizer que um anel com unidade é um anel cuja operação de multiplicação possui um elemento neutro, que chamamos por 1A ou simplesmente 1. Ele é denominado a unidade do anel. Exemplo Mostre que anel Z dotado das leis de composição e a seguir definidas é um anel com unidade: Agora vamos verificar se esse anel possui unidade. Seja a unidade do anel: Usamos a segunda operação: x yVeja que existe o elemento unidade (elemento neutro do anel), que é número zero, e De fato, veja que tal que Logo, esse anel tem unidade. Como verificamos que é um anel comutativo, podemos concluir que é um anel comutativo com unidade. Exemplos de anéis com unidade: b) anel é um anel com unidade e nesse caso a unidade desse anel é a classe 1. Como ele é comutativo, dizemos que é um anel comutativo com unidade. c) anel das matrizes é um anel com unidade, pois a unidade é a matriz identidade de ordem n. 0 01 0 . 0 0 1 Exemplo Veja o anel das matrizes d um 0 elemento desse anel. 0 anel possui elemento unidade I₂ 01 01 = a X I₂.X 10 01 d = ab d X d) Dados dois anéis e se eles são anéis com unidade, então também tem unidade. 0 mesmo ocorre se forem anéis comutativos. Por exemplo, o anel é um anel comutativo com unidade, pois Z e são anéis comutativos com unidade.Propriedades dos anéis Proposição Se é um anel e então: I) zero é único. II) 0 simétrico é único. III) VII) VIII) IX) X) XI) A equação tem solução única Demonstrações Exemplo zero é único. Queremos provar que tal que Suponhamos que é um anel. Pela propriedade do elemento neutro, tal que Suponhamos que exista outro zero em Daí podemos escrever: = Pela igualdade de (1) e (2), podemos concluir que 0' = 0. Logo, 0 é o único elemento neutro do anel Exemplo II 0 simétrico é único. Queremos provar que , tal queSuponhamos que é um anel. Pela propriedade do elemento simétrico, tal que x (-x) Suponhamos que exista outro elemento que chamaremos de b em A, que também é simétrico de x tal que tal que Como: = Propriedade associativa Propriedade do elemento simétrico Propriedade do elemento neutro Logo, fica provado que tal que Exemplo III Elemento neutro. Pela propriedade do elemento neutro, podemos escrever Multiplicando (1) por x à esquerda, temos Em (2) podemos aplicar a propriedade distributiva: Pela propriedade do elemento simétrico, existe um simétrico -(x,0) para Somando -(x,0) em (3), em ambos os lados da igualdade teremos: Usando em (4) a propriedade associativa: Usando em (5) o elemento simétrico: Usando em (6) o axioma do elemento neutro: Logo, fica provado que para todo x emExemplo IV Seja um anel. Suponhamos Pelo elemento simétrico temos: Somando (1) e (2): Aplicando a propriedade da associativa Aplicando a propriedade da associativa Elemento simétrico Elemento neutro Logo, Portanto, Exemplo V Seja um anel. Suponhamos 3 (-x) A tal Como: Propriedade associativa Elemento simétrico Elemento neutro Portanto, para todo elemento x em Exemplo VI Seja um anel. Por hipótese, temos Como A é um anel, então:Somando (-x) em ambos os lados de (1), obtemos: Propriedade associativa Elemento simétrico Elemento neutro Portanto, x+y=x+z então (lei do cancelamento). Exemplo VII Devemos demonstrar que: (a) Seja um anel. Como A é um anel, então tal que Suponhamos Então podemos escrever: No entanto, usando a propriedade associativa, temos Usando o elemento simétrico e a propriedade V, temos Igualando (1) e (2), temos: Usando a propriedade VI. Logo, (b) Seja um anel. Como A é um anel, então tal que Suponhamos Então, podemos escrever: No entanto, usando a propriedade associativa, temos Usando o elemento simétrico e a propriedade V, temosIgualando (1) e (2), temos: Usando a propriedade VI Logo, (c) Seja um anel. Como A é um anel, logo: Suponhamos Logo, podemos escrever: Eq. 1 No entanto, usando a distributividade, temos Usando o elemento simétrico e a propriedade temos: Eq. 2 Igualando (1) e (2), temos: Usando a propriedade VI Logo, Exemplo VIII Seja + um anel e Temos: Pela propriedade VII, temos Portanto, Exemplo IX Seja um anel e Temos: (distributividade). Pela propriedade VII, temosPortanto, Exemplo X (-x)(-y) Seja um anel e Pela propriedade VI, temos: Logo, pela propriedade V. Exemplo XI A equação tem solução única Seja um anel e Seja Podemos escrever: z (1) Substituindo (1) em encontramos: Elemento simétrico Elemento simétrico Elemento neutro Associativa e elemento si Logo, x = é solução da equação Potências e múltiplos de um anel Seja um anel. Dado um elemento a do anel e definimos a n- ésima potência de um elemento a de um anel A, denotado por da seguinte forma: a¹ a Quando o anel possui unidade, também podemos definir = 1. Como consequência imediata, podemos definir a proposição de potências de um anel.Proposição Sejam um anel, e Então: a) temos b) temos c) temos quando ab = ba Vamos demonstrar por indução a proposição anterior. a) temos Por indução sobre n, verificamos que: Para n = 1 temos aⁿ = . a¹ = = aᵐ⁺¹ A propriedade é válida para Agora vamos considerar verdadeiro para Vejamos que é válido para = b) temos Por indução sobre n, verificamos que: Para temos = Veja que a propriedade é válida para n = 0. Agora vamos considerar verdadeiro para = Vejamos que é válido para c) temos Por indução sobre n, verificamos que: Para temos A propriedade é válida para Agora vamos considerar verdadeiro para Vejamos que é válido paraComentário Se o anel A possui unidade, a proposição anterior é válida para quaisquer elementos m e n em N. Veja que, se teremos: Além disso, podemos considerar que dado um elemento a do anel A, existe um elemento a⁻¹ e podemos definir Veja que é possível verificar para Z que Se ab A e ab = ba, então Múltiplo de um anel Seja um anel. Dado um elemento a do anel e n Z, define-se o múltiplo de a com coeficiente denotado por m a, como elemento de A definido por recorrência do seguinte modo: Proposição Seja um anel, e temos: a) b) c) d) As demonstrações serão feitas por indução. Demonstrações a) Seja A um anel, ePor indução sobre n verificamos que: Para temos ou seja, a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para Vejamos que é válido para b) Seja A um anel, e Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m1)a, ou seja, a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para m(ka) = (mk)a Vejamos que é válido para c) Por indução sobre n verificamos que: d) Seja A um anel, e m Z. Por indução sobre m, verificamos que: Para m = 1 temos ou seja, a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para Vejamos que é válido paraUnidades de um anel Definição Considerando o anel unitário e a um elemento desse anel, podemos dizer que a é um elemento inversível do anel se existe um elemento b em A, tal que ab ba = 1. Nesse caso, dizemos que a é inversível e chamado de inverso de a. Lembramos que, como o inverso de um elemento inversível é único, vamos usar a notação a⁻¹ para representar inverso de a. partir dessa definição, podemos indicar conjunto dos elementos inversíveis do anel unitário que será denotado por Exemplo Em veja que De fato: pois 3.3 = 9 e 9 dividido por 4 deixa resto 1 Quando estudamos as propriedades dos anéis, vimos que para todo x em A. Vimos também que o elemento neutro da adição de um anel nunca é Agora, considerando 1, que é o elemento neutro da multiplicação, em que veja que ele é sempre inversível. mesmo ocorre quando temos -1 é inversível e -1. Daí, se a é inversível, podemos dizer que a⁻¹ também será, ou seja,Falta pouco para atingir seus objetivos. Vamos praticar alguns conceitos? Questão 1 Considere as afirmações a seguir sobre anéis. I. Se (A,+,.) é um anel comutativo, então, +,.) também é comutativo. II. Se A e B são anéis com unidade, então não tem unidade. III. 0 anel com as operações = não é um anel comutativo.Com relação as afirmações, podemos concluir que: A Somente a afirmativa está correta. Somente a afirmativa está correta. c As afirmativas le estão corretas. D As afirmativas le III estão corretas. E As afirmativas e III estão corretas. Parabéns! alternativa está correta. (I) Correta. Seja K um conjunto não vazio e um anel. Denotamos por AK o conjunto de todas as funções de K em A, ou seja, = A}. Para definimos Logo, é um anel comutativo. (II) Incorreta, pois o produto cartesiano de dois anéis com unidade possui unidade. Veja: sejam os anéis e com unidade. Vamos considerar 1A a unidade do anel A e 1B a unidade do anel B. Então, é um elemento do produto cartesiano para todo par (a,b) em Sendo assim, podemos escrever Portanto, é a unidade de (III) Incorreta, pois é um anel comutativo. Veja que = pois Questão 2 Considerando o conjunto dos números inteiros pares: 2Z, cuja soma e produto dos elementos formam um anel. Com relação a esse anel, marque a seguir a alternativa correta.A não é um anel comutativo. 0 elemento neutro do anel c é um anel com unidade D é um anel comutativo sem unidade. E 0 simétrico do anel é 2x 2Z. Parabéns! alternativa D está correta. A) Incorreta. é um anel comutativo. Seja Considerando dois elementos a 2x e b = 2y dois elementos desse conjunto verificamos que a propriedade comutativa da multiplicação é verificada, ab = ba. Veja: B) Incorreta. Seja e o elemento neutro do anel. Então qualquer elemento do anel somado com elemento neutro deve ser igual ao próprio elemento. Ou seja, Considerando a = 2x um elemento do anel, temos 2x + e 2x. Logo, Portanto, e = 0 é elemento neutro do anel. C) Incorreta. é um anel sem unidade. Veja: seja Podemos garantir que um dos termos é zero. Temos então 1, mas1 Logo, não existe unidade para o anel D) Correta. Na alternativa A verificamos que o anel é comutativo e na alternativa c verificamos que o anel não possui unidade. E) Incorreta. 0 simétrico do anel é 2Z, pois considerando x' simétrico do elemento a = 2x do conjunto, temos: Logo, a 2x 2Z possui elemento simétrico dado por3 Subanéis e anéis de integridade Ao final deste módulo, você será capaz de identificar subanel, anel de integridade e divisores de um anel. Vamos começar! Subanéis e anéis de integridade Conheça os subanéis e os anéis de integridade. Para assistir a um vídeo sobre assunto, acesse a versão online deste conteúdo. Subanéis No estudo de grupos, definimos uma estrutura menor, que preserva as propriedades do grupo, chamada de subgrupo. Agora, vamos definir uma estrutura chamada subanel. Você aprenderá a identificar essa nova estrutura, compreender sua importância dentro da teoria dos anéis e analisar seus principais resultados. Além disso, vamos entender o que é divisor de um anel e anel de integridade, também chamado do domínio de integridade, e seus principais resultados.Definição Seja um anel e um subconjunto não vazio de Dizemos que é um subanel de A, se ele é um anel com as operações do anel Isto é: I) S é fechado para as operaçóes de adição e multiplicação; e II) é um anel. Comentário Todo anel possui pelo menos dois subanéis que são chamados de subanéis triviais. São eles {0} e próprio anel Veja que, de acordo com a definição, para ser um anel, teremos que verificar todas as propriedades que o caracterizam. Essa verificação é trabalhosa. Para minimizarmos esse trabalho, vamos apresentar uma proposição que será muito útil para determinar se um subconjunto é um subanel de um anel dado. Proposição 1 Seja um anel e S um subconjunto não vazio de A. Dizemos que é um subanel de um anel se, e somente se, II) xy S Demonstração Inicialmente devemos mostrar que: Se é um subanel de um anel A, então: Por hipótese (S,+..) é um subanel de um anel A. Pela definição de anel, temos que Além disso, como grupo (S,+) está contido no grupo (A,+), segue que: Logo: Por último, mostraremos que se: Então, é um subanel de um anel Temos por hipótese queComo temos que (S,+) é um subgrupo de (A,+). Sendo assim, as propriedades de grupos são válidas. Como fica válido fechamento da multiplicação. Agora temos que finalizar a demonstração verificando as propriedades do anel para a multiplicação. Propriedade associativa para multiplicação: tem-se A associatividade da multiplicação em S é herdada da associatividade de Valem as propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição em e z S A Verificamos também que: Assim, é válido em Se for um anel comutativo, então S também será. Isso significa que a comutatividade de S é herdada de A. Se o anel não for comutativo, então S também não será comutativo. Portanto, fica provada a proposição. Alguns exemplos de subanéis: 1. é um subanel de e 2. é um subanel de 3. é um subanel de e 4. é um subanel com unidade de 5. é um subanel com unidade de 6. é subanel de e 7. é subanel de 8. é subanel de e9. A é subanel de Z4. Exemplo conjunto dos números inteiros pares 2Z é um subanel de Z, pois dado conjunto S = e Assim, temos x = 2n e y = 2m elementos de S. Usando a proposição 1, temos que: - em que então 2(n2m), em que n2m então xy S. Portanto, 2Z é um subanel de Z. Exemplo conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z, pois dado o conjunto S {2n+ veja que: y = 2m + 1 Usando a proposição 1, temos que é um número par. Logo, Portanto, o conjunto dos números ímpares não é um subanel de ou seja, dado dois elementos de S, por exemplo, 1e3, , note que Exemplo conjunto 3Z₆ é um subanel de Z₆. Veja que Usando a proposição 1, temos que: ExemploDado o conjunto observe que ele não é um subanel de Z₁₂, pois dados dois elementos de S, por exemplo, 3 e 6, temos Exemplo Seja o conjunto Esse conjunto é denotado por = Vamos verificar se ele é um subanel do anel Consideremos dois elementos do conjunto = Logo, Portanto, é subanel de Comentário Z é subanel de é subanel de é subanel de P Exemplo conjunto é um subanel de Considerando dois elementos do conjunto S temos: , em que[x 0 [xz = em que (xz) e (yz) 0 w 0 yz 0 ES Logo, S é subanel de Exemplo 0 conjunto dos múltiplos de n, em que n é um elemento do conjunto N e é definido por é um subanel de Z. Sejam k₂ em que e b nk₁ nk₂ em que então ab (nk₂) (nk₁k₂), em que então, ab nZ. Portanto, nZ é um subanel do anel Exemplo Sejam R e S subanéis de um anel Prove que também é um subanel de A. Demonstração: Seja não vazio, pois Dados dois elementos temos que e e portanto * e portanto Logo, é subanel de A. Anel de integridade e divisores de um anel Antes da definição de anel de integridade vamos definir divisor de um anel. Divisores de um anel Definição Seja um anel comutativo com unidade, com as operações usuais de adição e multiplicação. Um elemento x do anel é um divisor de zero se x e existir um tal que Podemos dizer que x e são divisores próprios de zero do anel.Exemplo Seja anel Z₆. Considerando dois elementos desse anel, por exemplo, 2 e 3, note que e 0 produto Portanto, 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel. Exemplo Seja o anel Veja que 2 é um divisor próprio de zero do anel, pois Exemplo Vejamos os divisores de zero no anel das matrizes de ordem anel das matrizes tem divisores de zero para todo Vamos considerar dois elementos desse anel: Assim, e são divisores próprios de zero em Dessa forma, podemos dizer que se n≥2, então são anéis com divisores de zero. Exemplo Seja o anel Considerando dois elementos desse anel, por exemplo, 2 e 3, note que e o produto Portanto, o anel não possui divisores próprios de zero. 0 mesmo ocorre com Z₅, que também não possui divisores próprios de zero, pois dados dois elementos diferentes de zero o produto desses elementos também será diferente de zero. Comentário Observação sobre os divisores de zero no conjunto Também podemos verificar os divisores de zero no anel Zₘ através do mdc(a,m), em que a é um elemento de Zₘ do seguinte modo: Seja a um elemento de Zₘ. Podemos dizer que a é um divisor de zero, se mdc(a,m) #Exemplo Considere anel Vamos verificar, por exemplo, se 36 é divisor de zero no anel Z₅₄. Note que o mdc ; portanto, 36 é divisor de zero no anel Z₅₄. Isso significa que existe um elemento no anel Z₅₄ que multiplicado por 36 dá zero. Vejamos: = (lembrando que 108 dividido por 54 deixa resto 0 no anel Z₅₄ ). Agora 35 não é divisor de zero no anel Veja que o mdc(35, 54) 1. Portanto, 35 não é divisor de zero no anel Anel de integridade ou domínio Um anel A é dito anel de integridade ou domínio se ele é um anel comutativo com unidade e não possui divisores de zero: ou Exemplo Seja o anel Z₆. Considerando dois elementos desse anel, por exemplo, 2 e 3, note que 0 produto pois 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel. Logo, Z₆ não é um anel de integridade. Exemplo anel Z₈ não é um anel de integridade, pois possui divisores de zero. Considerando dois elementos desse anel, por exemplo, 2 e 4, temos que e e Assim, 2 e 4 são divisores de zero em Z₈. Exemplo Considere o conjunto dos números inteiros Z com as operações Esse conjunto com essas operações, é um anel, já que todas os axiomas do anel são verificados. Além disso, é fácil verificar que é um anel comutativo sem unidade. Nesse caso, ele não é um anel de integridade. Comentário a) é anel de integridade se, e somente se, m for primo. b) lei do cancelamento é verificada para a multiplicação: seja A um domínio; se ab = ac com então b = c. ExemploO anel é um anel de integridade, pois não possui divisores próprios de zero. Considerando dois elementos desse anel, por exemplo, 2 e 3, note que Exemplo Quando A é um anel de integridade e é um subanel com unidade, sempre temos ou seja como A é anel de integridade, Isso mostra que um subanel com unidade de um anel de integridade é um subanel unitário. Exemplo Mostre que se é um anel de integridade e x é um elemento de tal que então x = 1 ou Solução Temos como hipótese que é um anel de integridade e x² = 1. Vamos somar (-1) nos dois lados da igualdade Como A é um anel de integridade, temos ou Concluímos, então, que ou a = 1.Falta pouco para atingir seus objetivos. Vamos praticar alguns conceitos? Questão 1 Julgue as afirmativas a seguir e marque a alternativa correta. I. 0 conjunto é um subanel do conjunto dos racionais. II. é um subanel do anel III. A = 3Z é um subanel do anel A As afirmativas II e III estão corretas. Apenas a afirmativa II está correta.c As afirmativas le III estão corretas. D Apenas a afirmativa III está correta. E Todas as afirmativas estão corretas. Parabéns! alternativa C está correta. (I) Correta. Vamos considerar dois elementos desse conjunto 2n a e 2m b onde e De acordo com a proposição 1, temos: i) 2n a 2m b = ma 2nm nb , onde (ma Z e 2nm Logo, 2n a 2m b ii) a b = ab = ab onde 2nm Z* e 2n 2m 4nm 2(2nm) ab Logo, 2n a 2m b Logo, C é subanel do conjunto dos racionais. (II) Incorreta. S não é um subanel de Q, pois, se 32 considerarmos dois elementos, por exemplo, 2'3 mas 3 2 (III) Correta. 3Z é um subanel de Q. é formado pelos múltiplos de 3. Vamos considerar dois elementos desse conjunto: A x, 3Z e Temos x = 3n e 3m. Usando a proposição 1: x em que então 3(n3m), em que n3m então Logo, 3Z é subanel de Questão 2 0 anel Z₆ admite quantos divisores de zero? A 12 c 3 D 4 E 5 Parabéns! alternativa C está correta. Seja anel Z₆. Considerando os elementos 3 e 4 em e também observamos que o produto 3.4 = 12 = 0, mesmo ocorre com os elementos 2e3. Portanto, anel Z₆ admite três divisores de zero: 2,3e4. 4 Homomorfismo de anéis Ao final deste módulo, você será capaz de analisar homomorfismos de anéis. Vamos começar! Homomorfismo de anéis Conheça um pouco sobre homomorfismo de anéis.Para assistir a um vídeo sobre assunto, acesse a versão online deste conteúdo. Homomorfismos de anéis Definição Sejam e dois anéis, e seja a função Dizemos que f é um homomorfismo do anel (A no anel B) se, e somente se, as seguintes condições forem válidas: b) Exemplo Seja tal que f(x,y) Vamos considerar dois elementos de Logo, f é um homomorfismo de anel. Exemplo Seja tal que = 0 Para temos: = Logo, f é um homomorfismo de anel. Exemplo Seja tal que a Para temos:= Logo, f é um homomorfismo de anel. Exemplo Seja f Z E tal que Para temos: Logo, f não é um homomorfismo de anel. Exemplo Seja : tal que Para temos: Logo, f não é um homomorfismo de anel. Exemplo Seja -> onde tal que Vamos considerar dois elementos do anel eLogo, f não é um homomorfismo de anel. Núcleo e imagem do homomorfismo de anéis Seja um homomorfismo de anéis. Definimos núcleo ou kernel do homomorfismo f que é formado pelos elementos de cuja imagem por f é igual ao zero do anel Lembrando que podemos indicar o núcleo por N(f) ou Ker(f). Seja um homomorfismo de anéis. A imagem do homomorfismo f é a imagem da função f. Exemplos 1. Seja um anel e f uma função definida de em em que x. Neste caso, o {0} ea 2. Seja um anel e f uma função definida de A em em que Neste caso, o N(f) ea {0}. Exemplo Seja A um anel e f uma função definida de em M₂(A), em que = Assim, Exemplo Seja a função definida de em que Como o elemento neutro é 0, podemos escrever que: assimLogo, Agora, com relação à imagem, tomando temos que Assim, mostrando que Segue que & Exemplo Seja definida por = Determine núcleo da função f. Solução Isso significa que x mod 3) Logo,Falta pouco para atingir seus objetivos. Vamos praticar alguns conceitos? Questão 1 Seja A um anel qualquer e f:A A X {0}, em que = (x,0). Considerando que A tem um homomorfismo de anel, determine o N(f). A = {0} N(f) = {1} c = {2} D = {3} E N(f) = {4} Parabéns! alternativa está correta. Fica determinado que se = (0,0) (x,0) = (0,0) x = 0.Logo = {0}. Questão 2 Seja a função f definida de Z₆ X Z₆ Z₆ X Z₆ onde (a,b) 4b) um homomorfismo de anéis. Marque a alternativa que indica a Im(f). A = 0), (3,0), (3, 2), (3,4)} c = D E Parabéns! alternativa E está correta. Como o anel é temos que a e b são elementos desse conjunto. Então, 3a {0,3} e logo conjunto imagem é dado por Im(f) {(0,0), (0, 2), (0, 4), (3,0), (3,2), (3, Considerações finais Conhecemos uma nova estrutura chamada anel, dotada de propriedades importantes. Além das propriedades desse anel, vimos que estudo dos grupos tem um papel importante na definição do anel e na análise dos subanéis e dos homomorfismos de anéis. As propriedades dos homomorfismos de anéis apresentam duas condições para ser analisadas, tendo em vista que o anel possui duas operações. Neste estudo, ficou evidente a importância do homomorfismo de anéis em preservar as operações e as propriedades de cada conjunto.