Resistência dos Materiais II

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CIV0418- Resistência dos Materiais II - Primeira Unidade - Lista 01 
 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE TECNOLOGIA - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
DISCIPLINA: CIV0418 – Resistência dos Materiais II 
Professor: Dr. Francisco Adriano de Araújo 
Unidade I - LISTA 01 – Matéria da Primeira Prova 
Primeira Prova - Parte 01: Questões 01 a 50 
Primeira Prova - Parte 02: Questões 51 a 100 
OBS.1: Os alunos NÃO são obrigados a fazerem esta lista, pois a mesma NÃO vale nota. 
OBS.2: Esta lista tem por objetivo principal orientar o professor quanto à elaboração da prova. 
 
01) Para a viga engastada e apoiada da figura ao lado, a qual 
tem e sendo o eixo positivo para baixo, submetida 
ao momento externo , através da integração da EDO de 2ª 
ordem da linha elástica, obter as reações , e 
indicando os seus sentidos, e também a equação da linha 
elástica . 
 
02) Para a viga biengastada da figura ao lado, a qual tem 
 e sendo o eixo positivo para baixo, submetida ao 
carregamento uniformemente distribuído , através da 
integração da EDO de 2ª ordem da linha elástica, obter as 
reações , , e indicando os seus sentidos, e 
também a equação da linha elástica . 
 
03) Para a viga AB de seção transversal 
uniforme com pede-se: 
a) Deduzir o valor da reação em ; 
b) Deduzir a equação da linha elástica ; 
c) Determinar a rotação do eixo no apoio . 
04) Para a viga engastada e apoiada da figura ao lado, a qual 
tem e sendo o eixo positivo para baixo, submetida 
ao carregamento triangular de intensidade máxima , através 
da integração da EDO de 2ª ordem da linha elástica, obter as 
reações , e indicando os seus sentidos, e também a 
equação da linha elástica . 
 
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05) Para a viga engastada e apoiada da figura ao lado, a qual 
tem e sendo o eixo positivo para baixo, submetida 
ao carregamento parabólico do 2º grau de intensidade máxima 
 , através da integração da EDO de 2ª ordem da linha elástica, 
obter as reações , e indicando os seus sentidos, e 
também a equação da linha elástica . 
06) Para a viga biengastada da figura ao lado, a qual tem 
 e sendo o eixo positivo para baixo, submetida ao 
carregamento parabólico do 2º grau de intensidade máxima , 
através da integração da EDO de 2ª ordem da linha elástica, 
obter as reações , , e indicando os seus sentidos, 
e também a equação da linha elástica . 
 
07) Para a viga biengastada da figura ao lado, a qual tem 
 e sendo o eixo positivo para baixo, submetida ao 
carregamento cossenoidal de intensidade máxima , através 
da integração da EDO de 2ª ordem da linha elástica, obter as 
reações , , e indicando os seus sentidos, e 
também a equação da linha elástica . 
 
08) Para a viga biengastada da figura ao lado, a qual tem 
 e sendo o eixo positivo para baixo, submetida ao 
carregamento triangular de intensidade máxima , através da 
integração da EDO de 2ª ordem da linha elástica, obter as 
reações , , e indicando os seus sentidos, e 
também a equação da linha elástica . 
 
09) Para a viga biengastada da figura ao lado, a qual tem 
 e sendo o eixo positivo para baixo, submetida ao 
momento externo no meio do vão, através da integração da 
EDO de 2ª ordem da linha elástica, obter as reações , , 
 e indicando os seus sentidos, e também a equação da 
linha elástica . 
 
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10) Para a viga engastada e apoiada da figura ao lado, a qual 
tem e sendo o eixo positivo para baixo, submetida 
ao momento no meio do vão, através da integração da EDO 
de 2ª ordem da linha elástica, obter as reações , e 
indicando os seus sentidos, e também a equação da linha 
elástica . 
 
11) Para a viga engastada e apoiada da figura ao lado, a qual 
tem e sendo o eixo positivo para baixo, submetida 
ao recalque linear diferencial do apoio , através da 
integração da EDO de 2ª ordem da linha elástica, obter as 
reações , e indicando os seus sentidos, e também a 
equação da linha elástica . 
 
12) Para a viga de seção transversal 
uniforme com e com engaste 
móvel no ponto pede-se: 
a) Determinar a deflexão na extremidade , ; 
b) Deduzir a equação da linha elástica . 
13) Para a viga hiperestática da figura ao lado 
considerando-se o sistema de referência 
apresentado e que , sendo 
considerado que o equilíbrio da estrutura ocorre 
na configuração indeslocada e portanto as 
reações de apoio horizontais são nulas, pede-se: 
 
a) Montar a equação do momento fletor pelo método de Süssekind tratando as reações em como 
hiperestáticos, e ; 
b) A partir da EDO da linha elástica e das equações de equilíbrio determinar as reações de apoio; 
c) Determine a equação da linha elástica; 
d) Obter a função , calcular o esforço cortante máximo em módulo e calcular a posição da seção 
com esforço cortante nulo; 
e) Obter a função sabendo-se que esta função é um polinômio com raízes 
{ }, e calcular o momento fletor crítico deste trecho; 
f) Desenhar o D.C.L. final e alinhados com este D.C.L. final plotar os diagramas de esforço cortante e 
momento fletor, sendo os momentos fletores plotados do lado das fibras tracionadas. 
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14) Para a viga engastada e apoiada da figura ao lado, a qual 
tem , submetida a carga concentrada , através do 
método da superposição com os valores tabelados no 
apêndice D de Tim.&Gere, obter as reações , e 
indicando os seus sentidos. 
 
15) Para a viga com um engaste rígido e outro móvel da figura 
ao lado, a qual tem , submetida a carga 
uniformemente distribuída , através do método da 
superposição com os valores tabelados no apêndice D de 
Tim.&Gere, obter as reações , e indicando os seus 
sentidos. 
 
16) Para a viga engastada e apoiada da figura ao lado, a qual 
tem , submetida a carga uniformemente 
distribuída , através do método da superposição com os 
valores tabelados no apêndice D de Tim.&Gere, obter as 
reações , e indicando os seus sentidos. 
 
17) Para a viga contínua da figura ao lado, a qual 
tem , submetida a carga uniformemente 
distribuída , através do método da superposição 
com os valores tabelados no apêndice D de 
Tim.&Gere, obter as reações , e 
indicando os seus sentidos. 
 
18) Para a viga contínua da figura ao lado, a qual 
tem , submetida a carga uniformemente 
distribuída , através do método da superposição 
com os valores tabelados no apêndice D de 
Tim.&Gere, obter as reações , e 
indicando os seus sentidos. 
 
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19) Para a viga engastada e apoiada da figura ao lado, a qual 
tem rigidez flexional na primeira metade do seu 
comprimento e na segunda metade, submetida a carga 
uniformemente distribuída , através do método da 
superposição com os resultados dos problemas 9.7.1 e 
9.7.2 de GERE&GOODNO (2010), obter as reações , 
 e indicando os seus sentidos. 
 
20) Para a viga contínua da figura ao lado, a qual 
tem , submetida a carga 
uniformemente distribuída , através do método 
da superposição com os valores tabelados no 
apêndice D de Tim.&Gere, obter as reações 
 , , e indicando os seus sentidos. 
 
21) Para a viga engastada e apoiada da figura ao lado, a qual tem 
 e que sofre um recalque diferencial linear no apoio , 
através do método da superposição com os valores tabelados noapêndice D de Tim.&Gere, obter as reações , e 
indicando os seus sentidos. 
22) Para a viga engastada e apoiada da figura ao lado, a qual tem 
 e que sofre um recalque diferencial angular no apoio 
 , através do método da superposição com os valores tabelados no 
apêndice D de Tim.&Gere, obter as reações , e 
indicando os seus sentidos. 
23) Uma viga contínua de dois vãos se apoia em 
 e antes de aplicada a carga uniformemente 
distribuída , ver figura ao lado. Há uma pequena 
folga, , entre a viga e o apoio . Quando a carga 
é aplicada na viga, a folga é eliminada e aparecem 
reações nos três apoios. Calcular o valor da folga 
 , através do método da superposição com os 
valores tabelados no apêndice D de Tim.&Gere, 
de modo que as reações dos apoios sejam iguais. 
 
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24) Para a viga biengastada da figura ao lado, a 
qual tem e sofre um recalque 
diferencial linear no engaste , através do 
método da superposição com os valores 
tabelados no apêndice D de Tim.&Gere, 
determinar as reações de apoio , , e , 
e indicando os seus sentidos. 
 
25) Uma viga está apoiada em e em e é carregada por uma carga uniformemente distribuída , como 
mostra a figura abaixo. Há uma pequena folga entre a viga descarregada e o apoio em . 
Sendo e , através do método da superposição com os valores 
tabelados no apêndice D de Tim.&Gere, pede-se para determinar: 
a) O menor valor da carga 
uniformemente distribuída 
 , o qual elimina a folga 
 ; 
b) O valor do momento fletor em , 
 , para ; 
c) O valor do momento fletor em , 
 , para . 
 
26) A viga está engastada na 
extremidade e suportada pela viga no 
ponto . Ambas as vigas são feitas do mesmo 
material e tem a mesma seção transversal. 
Utilizando o método da superposição com o 
Apêndice D de Tim.&Gere determinar todas 
as reações de apoio indicando os seus 
sentidos. 
 
27) A viga engasta da figura ao lado tem no ponto um apoio 
elástico de rigidez axial 
 e está submetida ao 
carregamento uniformemente distribuído . Utilizando o 
método da superposição com o apêndice D de Tim.&Gere 
determinar as reações , e indicando os seus sentidos. 
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28) A viga engasta da figura ao lado tem no ponto um apoio 
elástico de rigidez rotacional e está submetida ao 
carregamento uniformemente distribuído . Utilizando o 
método da superposição com o apêndice D de Tim.&Gere 
determinar a rotação e a flecha do ponto . 
29) A viga engasta da figura ao lado tem no ponto um 
apoio elástico de rigidez rotacional e está 
submetida ao carregamento uniformemente distribuído 
 . Utilizando o método da superposição com o 
apêndice D de Tim.&Gere determinar as reações , 
 e indicando os seus sentidos. 
30) A viga está engastada em e se apoia (no ponto ) no 
ponto médio da viga (ver primeira parte da figura). Assim, a 
viga pode ser representada como uma viga engastada e 
apoiada com um balanço e um apoio elástico de rigidez 
linear no ponto (ver segunda parte da figura). Sendo a 
distância de a de , a distância de a de 
 e a distância de a de , tendo ambas as 
vigas a mesma rigidez flexional e sendo a carga . 
Utilizando o método da superposição com o apêndice D de 
Tim.&Gere determinar as reações , e indicando os 
seus sentidos. 
 
31) A viga contínua da figura ao lado, a qual tem 
, está submetida ao carregamento uniformemente distribuído 
 e tem um apoio elástico no ponto de rigidez axial . 
Utilizando o método da superposição com o apêndice D 
de Tim.&Gere determinar o valor da rigidez axial de 
modo que o maior momento fletor em módulo tenha o 
menor valor possível. 
 
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32) Para a viga engastada e apoiada da figura ao 
lado, a qual tem , submetida ao 
momento externo , através do método das 
áreas de momento determinar as reações , 
e indicando os seus sentidos. 
 
33) Para a viga apoiada e engastada da figura ao lado, a qual 
tem , submetida ao carregamento distribuído 
parabólico do 2º grau, através do método das áreas de 
momento determinar as reações , e indicando os 
seus sentidos. 
34) Para a viga apoiada e engastada da figura ao lado, a 
qual tem , submetida ao carregamento 
uniformemente distribuído , através do método das 
áreas de momento determinar as reações , e 
indicando os seus sentidos. 
35) Para a viga engastada e apoiada da figura ao lado, a qual 
tem , submetida ao momento externo , através 
do método das áreas de momento determinar as reações 
 , e indicando os seus sentidos. 
 
36) Para a viga biengastada da figura ao lado, a 
qual tem , submetida aos momentos 
externos de sentidos opostos, através do 
método das áreas de momento determinar as 
reações , , e indicando os seus 
sentidos. 
 
37) Para a viga engastada e apoiada da figura ao 
lado, a qual tem , submetida aos 
momentos externos de sentidos opostos, 
através do método das áreas de momento 
determinar as reações , e indicando os 
seus sentidos. 
 
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38) Para a viga biengastada da figura ao lado, a qual tem 
 , submetida a carga concentrada , através do 
método das áreas de momento determinar as reações , , 
 e indicando os seus sentidos. 
 
39) Para a viga biengastada da figura ao lado, a qual tem 
 , submetida ao momento externo , através do 
método das áreas de momento determinar as reações , 
 , e indicando os seus sentidos. 
 
40) Para a viga contínua da figura abaixo a qual tem , através da equação dos três momentos 
determinar os momentos fletores e e as reações de apoio , , e indicando os seus 
sentidos, e traçar os DEC e DMF. 
 
41) Para a viga contínua da figura ao lado a qual 
tem , através da equação dos três 
momentos determinar o momento fletor e as 
reações de apoio , e indicando os seus 
sentidos, e traçar os DEC e DMF. 
 
42) Para a viga contínua da figura ao lado a qual 
tem , através da equação dos três 
momentos determinar os momentos fletores e 
 e as reações de apoio , , e 
indicando os seus sentidos, e traçar os DEC e 
DMF. 
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43) Para a viga contínua da figura ao lado a qual tem 
 e uma folga em relação ao apoio , 
através da equação dos três momentos determinar o 
momento fletor e as reações de apoio , e 
indicando os seus sentidos, e traçar os DEC e DMF. 
 
44) Para a viga contínua da figura ao lado a qual 
tem , através da equação dos três 
momentos determinar os momentos fletores e 
 e as reações de apoio , , e 
indicando os seus sentidos, e traçar os DEC e 
DMF. 
 
45) Para a viga contínua da figura ao lado a qual 
tem , através da equação dos três 
momentos determinar os momentos fletores e 
 e as reações de apoio , , e 
indicando os seus sentidos, e traçar os DEC e 
DMF. 
 
46) Para a viga contínua da figura abaixo a qual tem , através da equação dos três momentos 
determinar os momentos fletores , e e as reações de apoio , , , e indicando os 
seus sentidos, e traçar os DEC e DMF. 
 
47) Para a viga contínua da figura ao 
lado tem-se: , , 
 , e 
 . Através da equação 
dos três momentos determinar os 
momentos fletores ee as reações 
de apoio , , e indicando os 
seus sentidos, e traçar os DEC e DMF. 
 
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48) Para a viga contínua da figura ao lado a 
qual tem e , através da 
equação dos três momentos determinar os 
momentos fletores e e as reações de 
apoio , , e indicando os seus 
sentidos, e traçar os DEC e DMF. 
 
49) Para a viga contínua da figura abaixo a qual tem , através da equação dos três momentos 
determinar os momentos fletores , , , , e e as reações de apoio , , , , , 
 , e indicando os seus sentidos, e traçar os DEC e DMF. 
 
50) Para a viga contínua da figura ao lado 
tem-se: , , 
 , , 
 . Através da equação dos 
três momentos determinar os momentos 
fletores , e e as reações de apoio 
 , , , e indicando os seus 
sentidos, e traçar os DEC e DMF. 
 
51) Para as hastes das figuras abaixo submetidas aos torques calcular as reações de apoio, indicando o seu 
sentido, e através do Método de Süssekind calcular os momentos torçores nas seções destacadas: 
 
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52) Para as hastes das figuras abaixo submetidas aos torques calcular as reações de apoio, indicando o seu 
sentido, e através do Método de Süssekind calcular os momentos torçores nas seções destacadas: 
 
53) Para as hastes do problema 52 montar o DCL final redesenhando a haste, considerando-se o sistema 
de referência apresentado, obter as expressões de em através do Método de Süssekind e, 
alinhado com o DCL final, plotar os respectivos diagramas sendo o momento torçor positivo plotado 
acima do eixo da haste. OBS.: No caso de haver mudança não brusca de sinal, através da expressão 
deduzida de para o trecho em questão encontrar o valor da coordenada correspondente ao 
esforço normal nulo e apresentar esta cota no diagrama. 
54) Para as hastes do problema 51 montar o DCL final redesenhando a haste e plotar os respectivos 
diagramas de momento torçor alinhados com cada DCL final, sendo o momento torçor positivo plotado 
acima do eixo da haste. 
55) Para a haste da figura abaixo, considerando-se o sistema de referência apresentado, pede-se: 
 
a) Calcular a reação de apoio, indicando o seu sentido; 
b) Utilizando-se o Método de Süssekind calcular os 
momentos torçores nas seções A, C, D e B; 
c) Deduzir a expressão matemática de cálculo do torque 
distribuído do trecho AC; 
d) Utilizando-se o Método de Süssekind obter a expressão de para o trecho AC; 
e) Para a expressão de obtida no item “d” calcular as posições do momento torçor nulo; 
f) Para a expressão de obtida no item “d” calcular a posição do momento torçor crítico; 
g) Desenhar o DCL final e alinhado com este DCL final plotar o diagrama de momento torçor, sendo o 
momento torçor positivo plotado acima do eixo da haste. 
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56) Para a haste da figura abaixo, considerando-se o sistema de referência apresentado, pede-se: 
 
a) Calcular a reação de apoio, indicando o seu sentido; 
b) Utilizando-se o Método de Süssekind calcular os 
momentos torçores nas seções A, C, D e B; 
c) Deduzir as expressões matemáticas de cálculo dos 
torques distribuídos dos trechos AC e DB; 
d) Utilizando-se o conceito de PVC demonstrar a obtenção da expressão de para o trecho AC; 
e) Para a expressão de obtida no item “d” calcular as posições do momento torçor nulo no 
trecho AC; 
f) Utilizando-se o conceito de PVC demonstrar a obtenção da expressão de para o trecho DB; 
g) Recalcular as funções para os trechos AC e DB pelo Método de Süssekind; 
h) Desenhar o DCL final e alinhado com este DCL final plotar o diagrama de momento torçor, sendo o 
momento torçor positivo plotado acima do eixo da haste. 
57) Para a haste da figura abaixo, considerando-se o sistema de referência apresentado, pede-se: 
 
a) Calcular a reação de apoio, indicando o seu sentido; 
b) Utilizando-se o Método de Süssekind calcular os 
momentos torçores nas seções A, C, D e B; 
c) Deduzir as expressões matemáticas de cálculo dos 
torques distribuídos dos trechos AC e DB, sendo o 
torque distribuído para a esquerda 
matematicamente negativo; 
d) Utilizando-se o conceito de PVC demonstrar a obtenção da expressão de para o trecho AC; 
e) Para a expressão de obtida no item “d” calcular as posições do momento torçor nulo no 
trecho AC; 
f) Utilizando-se o conceito de PVC demonstrar a obtenção da expressão de para o trecho DB; 
g) Para a expressão de obtida no item “f” calcular as posições do momento torçor nulo no trecho 
DB; 
h) Recalcular as funções para os trechos AC e DB pelo Método de Süssekind; 
i) Desenhar o DCL final e alinhado com este DCL final plotar o diagrama de momento torçor, sendo o 
momento torçor positivo plotado acima do eixo da haste. 
 
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58) Para a haste da figura abaixo, considerando-se o sistema de referência apresentado, pede-se: 
 
a) Calcular a reação de apoio, indicando o seu 
sentido; 
b) Utilizando-se o Método de Süssekind calcular 
os momentos torçores nas seções A, C e B; 
c) Deduzir a expressão matemática de cálculo do 
torque distribuído do trecho AC, sendo o torque 
para a esquerda matematicamente negativo; 
d) Utilizando-se o conceito de PVC demonstrar a obtenção da expressão de para o trecho AC; 
e) Calcular o momento torçor crítico do trecho AC; 
f) Para a expressão de obtida no item “d” calcular as posições do momento torçor nulo no trecho 
AC; 
g) Recalcular a função para o trecho AC pelo Método de Süssekind; 
h) Desenhar o DCL final e alinhado com este DCL final plotar o diagrama de momento torçor, sendo o 
momento torçor positivo plotado acima do eixo da haste. 
59) Para a haste da figura abaixo, considerando-se o sistema de referência apresentado, pede-se: 
 
a) Calcular a reação de apoio, indicando o seu 
sentido; 
b) Utilizando-se o Método de Süssekind 
calcular os momentor torçores nas seções A, 
C e B; 
 
c) Deduzir a expressão matemática de cálculo do torque distribuído do trecho AC, sendo o torque para a 
esquerda matematicamente negativo; 
d) Utilizando-se o conceito de PVC demonstrar a obtenção da expressão de para o trecho AC; 
e) Calcular o momento torçor crítico do trecho AC; 
f) Para a expressão de obtida no item “d” calcular as posições do momento torçor nulo no trecho 
AC; 
g) Recalcular a função para o trecho AC pelo Método de Süssekind; 
h) Desenhar o DCL final e alinhado com este DCL final plotar o diagrama de momento torçor, sendo o 
momento torçor positivo plotado acima do eixo da haste. 
 
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60) Para a haste da figura abaixo, considerando-se o sistema de referência apresentado, pede-se: 
 
a) Calcular a reação de apoio, indicando o seu sentido; 
b) Utilizando-se o Método de Süssekind calcular os momentos torçores nas seções A, C, D e B; 
c) Deduzir a expressão matemática de cálculo do torque distribuído do trecho CD, sendo o torque para a 
esquerda matematicamente negativo; 
d) Utilizando-se o conceito de PVC demonstrar a obtenção da expressão de para o trecho CD; 
e) Calcular o momento torçor crítico do trecho CD; 
f) Para a expressão de obtida no item “d” calcular as posições do momento torçor nulo no trecho 
CD; 
g) Recalcular a função para o trecho CD pelo Método de Süssekind; 
h) Desenhar o DCL final e alinhado com este DCL final plotar o diagrama de momento torçor, sendo o 
momento torçor positivo plotado acima do eixo da haste. 
61) A hastemaciça da figura ao lado está engastada em e 
submetida aos torques apresentados. Determinar as tensões 
cisalhantes nos pontos e . 
 
62) A haste maciça em alumínio da figura ao lado tem 
diâmetro de , e está engastada 
em e submetida aos torques apresentados. Pede-se: 
a) Determinar o maior valor do torque que pode ser 
aplicado na seção , mantendo-se o sentido 
apresentado; 
b) Para o obtido no item “a” calcular 
 e 
 . 
 
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63) A haste circular centralmente vazada da figura ao lado 
tem diâmetro externo e diâmetro interno 
 . Estando engastada em e submetida ao 
torque uniformemente distribuído , 
pede-se para determinar as tensões cisalhantes: 
a) , no ponto superficial ; 
b) , no ponto superficial ; 
c) , máxima de toda a haste. 
 
64) A haste maciça da figura ao lado tem diâmetro de 
 e está submetida a um torque uniformemente 
distribuído e dois torques concentrados. Pede-se para 
determinar as tensões cisalhantes: 
a) , no ponto superficial ; 
b) , no ponto superficial ; 
c) , máxima de toda a haste; 
 
d) Sendo determinar o menor valor para o seu diâmetro. 
65) O poste de madeira da figura ao lado tem diâmetro de e está 
enterrado em uma profundidade de . Na extremidade livre é 
aplicado um torque de o qual é equilibrado pelo atrito com o solo 
que desenvolve um torque reativo linear com intensidade máxima . Pede-
se para determinar: 
a) A intensidade máxima do torque reativo aplicado pelo solo; 
b) A tensão cisalhante no ponto superficial ; 
c) A tensão cisalhante no ponto superficial . 
66) A haste maciça da figura ao lado tem diâmetro de 
e está submetida ao torque concentrado na extremidade 
livre. Devido ao atrito ao longo do seu apoio a haste 
desenvolve um torque reativo não linear descrito pela função 
matemática ( 
) onde é medido em a 
partir do início do apoio. Pede-se para determinar: 
a) O mínimo que faz a haste girar; 
b) A tensão cisalhante máxima para o do item “a”. 
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67) Ao perfurar um poço à velocidade angular 
constante, a extremidade inferior do tubo de perfuração 
encontra uma resistência à torção (torque reativo 
concentrado na extremidade ), devido ao atrito com o 
solo surge um torque reativo linear ao longo do 
comprimento do tubo que varia de zero na superfície do 
terreno ao valor máximo na profundidade do ponto 
 . Pede-se: 
a) Determinar o torque mínimo que deve ser 
aplicado pela unidade de acionamento para se 
vencerem os torques de reação; 
b) Para o do item “a” calcular a tensão cisalhante 
máxima tendo o tubo raio externo e interno . 
68) A haste maciça da figura ao lado com diâmetro de 
 é em aço ASTM A36, , está 
engastada no ponto e submetida aos torques 
concentrados apresentados. Pede-se para determinar o 
ângulo de torção da extremidade . 
 
69) A haste maciça da figura ao lado com 
diâmetro de é em aço ASTM A36, 
 , está engastada no ponto e 
submetida aos torques concentrados 
apresentados e também ao torque 
distribuído. Pede-se para determinar o 
ângulo de torção da extremidade . 
 
70) Para o tubo perfurador do problema 67 , o qual tem módulo de elasticidade transversal , determinar 
o ângulo de torção da extremidade em relação à superfície do terreno. 
 
 
CIV0418- Resistência dos Materiais II - Primeira Unidade - Lista 01 
 
18 
 
71) A estrutura em aço ASTM A36, , 
da figura ao lado é composta por uma haste maciça 
de de diâmetro conectada no interior de 
um tubo por meio de um disco rígido em . O tubo 
está engastado na seção , tem diâmetro externo de 
 e paredes com espessura de . 
Determinar o ângulo de torção da seção da haste. 
 
72) O dispositivo da figura ao lado é 
feito em aço ASTM A36, , 
e funciona como uma mola de torção 
compacta. É composto por uma haste 
maciça embutida em um tubo e 
acoplada a este tubo por meio de um 
disco rígido em . Em o tubo está 
conectado a um anel rígido 
indeslocável, pede-se: 
 
a) Para o torque determinar a tensão cisalhante máxima na haste; 
b) Para o torque calcular a tensão cisalhante máxima no tubo; 
c) Para o torque determinar o ângulo de torção da seção ; 
d) Sendo calcular o torque máximo que pode ser aplicado em ao se considerar 
apenas esta resistência admissível; 
e) Sendo determinar o torque máximo que pode ser aplicado em ao se considerar 
apenas este ângulo de torção admissível; 
f) Quanto vale o torque admissível que pode ser aplicado em , justifique a sua resposta. 
73) Um parafuso em aço ASTM A36, , com 
diâmetro de na região da rosca está sendo apertado por 
um torque . O torque reativo na haste do 
parafuso é dado pela equação matemática ( ) 
 onde é dado em metros e tem origem no ponto . Pede-
se para determinar: 
a) A constante de proporcionalidade ; 
b) O ângulo de torção da haste em em relação à . 
 
CIV0418- Resistência dos Materiais II - Primeira Unidade - Lista 01 
 
19 
 
74) A haste da figura ao lado tem seção 
transversal circular com raio variável segundo a 
equação , onde é uma constante. 
Sendo o módulo de elasticidade transversal do 
material da haste, se a mesma está em equilíbrio sob 
a ação do torque determinar o ângulo de torção da 
extremidade em relação à extremidade . 
 
75) A haste biengastada da figura ao lado tem 
seção circular maciça constante com momento 
polar de inércia . Sendo o módulo de 
elasticidade transversal do seu material, utilizando-
se as fórmulas deduzidas no exemplo 2.8 para as 
reações de apoio, obter a expressão do seu ângulo 
máximo de torção. 
 
76) A haste biengastada da figura ao lado tem 
seção circular maciça constante com momento 
polar de inércia . Sendo o módulo de 
elasticidade transversal do seu material, utilizando-
se as fórmulas deduzidas no exemplo 2.8 para as 
reações de apoio, determinar: 
a) Para que distância o ângulo de torção será 
máximo nos pontos e ; 
b) O correspondente 
 
77) A haste biengastada da figura ao lado tem seção 
circular maciça com diâmetro de no trecho e 
diâmetro de no trecho . Utilizando-se as 
fórmulas deduzidas no exemplo 2.8 para as reações de 
apoio, e sendo determinar o torque 
máximo que pode ser aplicado. 
 
CIV0418- Resistência dos Materiais II - Primeira Unidade - Lista 01 
 
20 
 
78) A haste biengastada da figura ao lado tem 
seção circular maciça com diâmetro e momento 
polar de inércia no trecho e diâmetro e 
momento polar de inércia no trecho . 
Utilizando-se as fórmulas deduzidas no exemplo 
2.8 para as reações de apoio, pede-se para 
determinar: 
 
a) A razão para a qual os momentos torçores serão os mesmos em ambos os trechos; 
b) A razão para a qual as tensões cisalhantes máximas serão as mesmas em ambos os trechos. 
79) A haste biengastada da figura ao lado tem seção 
circular maciça constante e está submetida a um torque 
distribuído linearmente. Demonstrar a obtenção das 
fórmulas para calcular as reações de apoio e . 
 
80) A haste biengastada da figura ao lado tem seção 
circular maciça com diâmetro de na primeira 
metade do seu comprimento e seção circular centralmente 
vazada com diâmetros de e de na segunda 
metade do seu comprimento. Determinar a qual distância 
do apoio esquerdo o torque deve ser aplicado de forma 
que as reações nos apoios sejam iguais. 
 
81) Na figura ao lado uma barra de aço, , maciça de diâmetro estácircundada 
por um tubo de aço de diâmetro externo e diâmetro interno . Tanto a barra 
quanto o tubo estão engastados em e presos a um disco rígido em . A barra composta tem 
comprimento e está solicitada pelo torque agindo no disco rígido. Pede-se 
para determinar: 
 
a) A tensão de cisalhamento máxima na barra, ; 
b) A tensão de cisalhamento máxima no tubo, ; 
c) O ângulo de torção em , . 
CIV0418- Resistência dos Materiais II - Primeira Unidade - Lista 01 
 
21 
 
82) A haste biengastada da figura ao lado tem 
seção circular maciça com diâmetro de no 
trecho e diâmetro de no trecho . 
Sendo em aço ASTM A36, , pede-se 
para determinar as tensões cisalhantes máximas: 
a) Do trecho ; 
b) Do trecho . 
 
83) A haste biengastada da figura ao lado tem 
seção circular maciça com diâmetro de no 
trecho e diâmetro de no trecho . 
Sendo em aço ASTM A36, , pede-se 
para determinar as tensões cisalhantes máximas: 
a) Do trecho ; 
b) Do trecho . 
 
84) A haste biengastada da figura ao lado tem 
seção circular maciça com diâmetro linearmente 
variável. Sendo o módulo de elasticidade 
transversal do seu material, determinar as reações 
 e . 
 
85) A haste biengastada da figura ao lado tem 
seção circular maciça com diâmetro de no 
trecho e diâmetro de no trecho . 
Sendo em aço ASTM A36, , e estando 
submetida ao torque linearmente distribuído pede-
se para determinar: 
a) As reações de apoio e ; 
b) A rotação da seção ; 
c) A tensão cisalhante máxima do trecho ; 
d) A tensão cisalhante máxima do trecho . 
 
CIV0418- Resistência dos Materiais II - Primeira Unidade - Lista 01 
 
22 
 
86) A haste biengastada da figura ao lado tem 
seção circular maciça com raio e está submetido 
a um torque distribuído parabólico do 2º grau. 
Sendo o módulo de elasticidade transversal do 
seu material, pede-se para determinar as reações 
 e . 
 
87) Uma haste circular maciça de 
diâmetro submetida a torção 
deve ser substituída por um tubo 
retangular com dimensões de 
seção transversal na 
linha média da seção transversal, 
ver figura ao lado. 
Determinar a espessura mínima necessária do tubo, de forma que sua tensão cisalhante máxima não 
exceda a tensão cisalhante máxima da haste maciça. 
88) Um tubo engastado e livre de comprimento 
 e seção retangular com dimensões 
 , (ambas na linha média) e 
espessura , ver figura ao lado, está 
submetido a um torque concentrado na 
extremidade livre. Sendo pede-se para 
determinar: 
a) A tensão de cisalhamento no tubo; 
b) O ângulo de torção da extremidade livre do tubo. 
 
89) Um tubo engastado e livre de comprimento 
 e seção transversal ilustrada na figura ao 
lado, está submetido a um torque concentrado 
 na extremidade livre. Sendo 
 pede-se para determinar: 
a) A tensão de cisalhamento no tubo; 
b) O ângulo de torção da extremidade livre do tubo. 
 
CIV0418- Resistência dos Materiais II - Primeira Unidade - Lista 01 
 
23 
 
90) Um tubo engastado e livre de seção transversal quadrada de 
dimensões externas ilustradas na figura ao 
lado, está submetido a um torque concentrado na 
extremidade livre. Sendo pede-se para determinar a 
espessura constante mínima que pode ser utilizada para 
atender tanto a tensão cisalhante admissível 
quanto a taxa de torção admissível . 
 
91) Um tubo engastado e livre de comprimento 
 e de seção transversal retangular de 
dimensões médias , ilustradas 
na figura ao lado, e espessura constante de 
 está submetido a um torque concentrado 
 na extremidade livre. Sendo 
pede-se para determinar: 
a) O torque máximo que pode atuar; 
b) O ângulo de torção da extremidade livre para o torque máximo obtido no item anterior. 
92) Um tubo engastado e livre de seção transversal 
retangular de dimensões médias , 
ilustradas na figura ao lado, está submetido a um torque 
concentrado na extremidade livre. Sendo 
 pede-se para determinar a espessura 
constante mínima que pode ser utilizada. 
 
 
93) Um tubo engastado e livre de seção transversal 
quadrada de dimensões externas , 
ilustradas na figura ao lado, está submetido a um torque 
concentrado . Tendo as paredes verticais 
espessura de e as horizontais de , pede-se 
para determinar as tensões cisalhantes nos pontos e . 
 
CIV0418- Resistência dos Materiais II - Primeira Unidade - Lista 01 
 
24 
 
94) Um tubo engastado e livre de seção transversal com as 
dimensões médias ilustradas na figura ao lado, está submetido 
a um torque concentrado . Tendo as paredes 
espessura constante de , pede-se para determinar as 
tensões cisalhantes nos pontos e . 
 
95) Um tubo engastado e livre de seção transversal com as 
dimensões médias ilustradas na figura ao lado, está 
submetido a um torque concentrado . Tendo 
as paredes espessura constante de , pede-se para 
determinar as tensões cisalhantes nos pontos e . 
 
96) Um tubo engastado e livre de seção transversal 
com as dimensões médias ilustradas na figura ao 
lado, está submetido a um torque concentrado 
 . Tendo as paredes espessura 
constante de , pede-se para determinar as 
tensões cisalhantes nos pontos e . 
 
97) Um tubo engastado e livre de seção transversal com as 
dimensões externas ilustradas na figura ao lado, está 
submetido a um torque concentrado na 
extremidade livre. Tendo as paredes espessuras de e 
de , pede-se para determinar as tensões cisalhantes nos 
pontos e . 
 
CIV0418- Resistência dos Materiais II - Primeira Unidade - Lista 01 
 
25 
 
98) Um tubo engastado e livre de seção transversal 
com as dimensões externas ilustradas na figura ao 
lado, está submetido a um torque concentrado na 
extremidade livre. Tendo as paredes espessura constante 
de determinar o maior torque que pode ser 
aplicado se . 
 
99) Um tubo engastado e livre de seção transversal 
com as dimensões externas ilustradas na figura ao 
lado, está submetido a um torque concentrado 
 na extremidade livre. Tendo as paredes 
espessura constante de determinar o menor 
valora da dimensão se . 
 
100) Um tubo engastado e livre de seção 
transversal elíptica com as dimensões 
médias ilustradas na figura ao lado, está 
submetido a três torques concentrados. 
Tendo as paredes espessura constante de 
 determinar o menor valor da 
dimensão se . OBS.: 
A área média desta elipse é 
 . 
 
 
 
 
 
CIV0418- Resistência dos Materiais II - Primeira Unidade - Lista 01 
 
26 
 
BIBLIOGRAFIA: 
MEDEIROS, R.J.(1997). CIV0314-Resistência dos Materiais II. Notas de Aula e Listas de Exercícios. 
UFRN. 
NETO, J.A.N. & MITTELBACH, F.R. (2011). CIV0314-Resistência dos Materiais II. Notas de Aula e 
Listas de Exercícios. UFRN. 
HIBBELER, R.C.(2011). Resistência dos Materiais. 7
a
 ed. Editora Pearson. São Paulo-SP. 
GERE, J.M. & GOODNO, B.J.(2010). Mecânica dos Materiais. 7
a
 ed. Editora Cengage Learning. São 
Paulo-SP. 
BEER, F.P. & JOHNSTON Jr. E.R. (1989). Resistência dos Materiais. 2
a
 ed Editora McGraw-Hill do 
Brasil Ltda. São Paulo-SP. 
 
RESPOSTAS: 
01) 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
 
 ; 
02) 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
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03) a) 
 
 
 ; b) 
 
 
 ; c) 
 
 
 
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04) 
 
 
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05) 
 
 
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06) 
 
 
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10) 
 
 
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 ) para ; 
 
 
 
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 ) para ; 
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27 
 
11) 
 
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 ; 
 
 
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 ; 
12) a) 
 
 
 ; b) 
 
 
 ; 
13) a) Trecho ̅̅ ̅̅ : 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 ) 
 
 
 ; 
 b) 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
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 ; 
 c) 
 
 
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 ] ; 
 d) Trecho ̅̅ ̅̅ : 
 
 
 
 
 
 ; [ ] ; 
 e) Trecho ̅̅ ̅̅ : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
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 f) 
 
14) 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
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15) ; 
 
 
 ; 
 
 
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16) 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
17) 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
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18) 
 
 
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 ; 
 
 
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19) 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
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28 
 
20) 
 
 
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21) 
 
 
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22) 
 
 
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23) 
 
 
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24) 
 
 
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25) a) ; b) ; c) ; 
26) ; ; 
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27) 
 
 
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28) 
 
 
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29) ; 
 
 
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30) ; ; ; 
31) 
 
 ( √ ) ; 
32) 
 
 
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33) 
 
 
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34) 
 
 
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35) 
 
 
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36) ; 
 
 
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37) 
 
 
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38) 
 
 
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39) 
 
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40) 
 
 
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42) ; ; 
 
 
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43) 
 
 
 
 
 
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44) 
 
 
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45) 
 
 
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 ; ; ; ; ; 
46) 
 
 
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 ; 
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 ; 
 
 
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47) ; ; ; ; ; ; 
48) 
 
 
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49) 
 
 
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50) ; ; ; 
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51) a) ; 
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 ; 
 b) ; 
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 c) ; 
 ; {
 
 
 
 
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 {
 
 
 
 
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 d) ; 
 ; {
 
 
 
 
 ; 
 {
 
 
 
 
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 ; 
 e) ; 
 ; {
 
 
 
 
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 ; 
 ; 
52) a) ; 
 ; {
 
 
 
 
 ; 
 
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 b) ; 
 ; {
 
 
 
 
 ; 
 {
 
 
 
 
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 ; 
 c) ; 
 ; {
 
 
 
 
 ; ; 
 
 ; 
 d) ; 
 ; ; ; 
 
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30 
 
 e) ; 
 ; {
 
 
 
 
 ; ; 
 
 ; 
53) 
 a) {
 
 
 
 
 b) {
 
 
 
 
 
 c) {
 
 
 
 
 
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31 
 
 d) {
 
 
 
 
 
 e) {
 
 
 
 
 
54) 
a) 
 
b) 
 
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c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 55) a) ; 
 b) 
 ; (crítico) ; ; ; 
 c) Trecho AC : ; 
 d) Trecho AC : 
 e) [ ] 
 f) [ ] 
 g) 
 
56) a) ; 
 b) 
 (crítico) ; ; {
 
 
 
 
 ; 
 
 ; 
 c) Trecho AC : ; Trecho DB : ; 
 d) Trecho AC : ; 
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 e) [ ] ; 
 f) Trecho DB : 
 h) 
 
57) a) ; 
 b) 
 ; ; ; 
 ; 
 c) Trecho AC : 
 
 
 ; Trecho DB : 
 
 
 ; 
 d) Trecho AC : 
 
 
 ; 
 e) [ ] ; 
 f) Trecho BD : 
 
 
 ; 
 g) [ ] ; 
 i) 
 
 
58) a) ; 
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34 
 
 b) 
 ; {; 
 ; 
 c) Trecho AC : 
 
 
 ; 
 d) Trecho AC : 
 
 
 ; 
 e) 
 ; 
 f) {
 [ [
 [ [
 ; 
 h) 
 
59) a) ; 
 b) 
 ; {
 
 
 
 
 ; 
 ; 
 c) Trecho AC : 
 
 
 ; 
 d) Trecho AC : 
 
 
 ; 
 e) 
 ; 
 f) [ [; 
 
 
 
 
 
 
 
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35 
 
 h) 
 
60) a) ; 
 b) 
 ; ; {
 
 
 
 
 ; 
 
 ; 
 c) Trecho CD : ; 
 d) Trecho CD : ; 
 e) 
 ; 
 f) {
 [ [
 [ [ 
 ; 
 h) 
 
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36 
 
61) ; ; 
62) a) ; b) 
 ; 
 ; 
63) a) ; b) ; c) ; 
64) a) ; b) ; c) ; d) ; 
65) a) ; b) ; c) ; 
66) a) ; b) ; 
67) a) 
 
 
 ; b) 
 
 ( 
 
 )
 ; 
68) ; 
69) ; 
70) 
 
 ( 
 
 ) 
 ; 
71) ; 
72) a) 
 (governa) ; b) 
 ; c) ; d) ; 
 e) ; f) , pois atende a ambos os critérios de 
dimensionamento; 
73) a) ; b) ; 
74) 
 
 
 ; 
75) 
 
 
 ; 
76) a) ; b) 
 
 
 ; 
77) 
 ; 
78) a) 
 
 
 
 
 
 
 
 ; b) 
 
 
 
 
 
 ; 
79) 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
80) ; 
81) a) ; b) ; c) ; 
82) a) 
 ; b) 
 ; 
83) a) 
 ; b) 
 ; 
84) 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
85) a) ; ; b) ; c) 
 ; 
 d) 
 ; 
86) 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
87) ; 
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88) a) ; b) ; 
89) a) ; b) ; 
90) ; 
91) a) ; b) ; 
92) ; 
93) ; ; 
94) ; 
95) ; 
96) ; 
97) ; ; 
98) ; 
99) ; 
100) .