O pensamento matemático

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O pensamento matemático
Prof.° Rafael Montoito
Descrição
Aspectos e conteúdos da matemática por meio de obras de arte e
elementos da natureza.
Propósito
A matemática e seus elementos tanto auxiliam no desenvolvimento de
novas ideias, técnicas e linguagens quanto podem ser percebidos em
diferentes áreas do conhecimento humano; por isso, é fundamental
compreender aspectos e conteúdos da matemática em meio a obras de
arte e elementos da natureza.
Objetivos
Módulo 1
Matemática e arte
Reconhecer a matemática como uma criação humana e sua relação
com a natureza, para além da lógica disciplinar.
Módulo 2
Matemática e natureza
Formular práticas pedagógicas no ensino de matemática de forma
interdisciplinar.
Introdução
Duas frases são bastante comuns nas aulas de matemática: a
pergunta “professor, onde vou usar isso?” e a resposta “a
matemática está em todos os lugares!”. Embora legítima, a
pergunta também é um pouco reducionista, pois atribui à
matemática um caráter essencialmente prático, utilitarista, ou
seja, que deve ser usada para solucionar um problema ou gerar
um resultado.
Já a resposta não é totalmente verdadeira, pois podemos pensar
em vários elementos que existem independentemente da
matemática ou sem se apropriarem dela diretamente. Por
exemplo, uma peça de Shakespeare, um raio de sol, um gato.
Como, então, seria possível reduzir a amplitude da pergunta a fim
de encontrar uma resposta mais assertiva?

Uma das possibilidades é pensar a matemática enquanto
linguagem, com códigos e regras que, quando empregados da
maneira correta, produzem sentido. A matemática também pode
perpassar outras linguagens ou servir de referência para que
essas se desenvolvam; esse processo é simbiótico e traz ganhos
para a própria matemática, possibilitando que seja “lida” ou
“encontrada” em meio a outras linguagens.
Pensar assim nos coloca, enquanto professores, na posição mais
confortável e sincera de alguém que “enxerga” a matemática em
diferentes lugares porque está acostumado a ler sua linguagem.
Por exemplo, podemos dizer que um soneto de Shakespeare usa
a matemática em sua métrica, mas não somos capazes de
afirmar se o bardo fez isso intencionalmente ou se aprendeu a
escrever sonetos imitando o estilo de outros poetas.
Obviamente, esse é um assunto complexo e que precisa de muita
leitura e pesquisa sobre matemática e linguagem para
compreendermos a profundidade dessa discussão. O que nos
interessa, neste conteúdo, é entender essa linguagem foi
construída pelo homem para comunicar ideias matemáticas,
bem como para ler o mundo por um viés matemático. A
matemática nunca esteve fechada em si mesma, e sim imbricada
com outras produções humanas. Tendo isso mente, vamos agora
estudar um pouco da matemática junto às artes e à natureza.
1 - Matemática e arte
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer a matemática como
uma criação humana e sua relação com a natureza, para além da lógica
disciplinar.
Pintura: Renascimento e
Cubismo
A história da pintura é vastíssima e repleta de nomes que produziram
obras incríveis e algumas delas receberão nossa atenção neste estudo.
Vamos começar pelos pintores renascentistas, já que eles “inventaram”
a perspectiva enquanto técnica de representação da realidade para
mostrar diferentes planos de ação e profundidade em suas pinturas.
O ponto primordial de uma pintura em perspectiva é a existência de um
(ou até mais) ponto de fuga, que é um ponto para o qual as linhas
paralelas do quadro convergem, algo semelhante a quando vemos os
trilhos do trem e temos a impressão de que eles se encontram no
horizonte, mesmo sabendo que são paralelos. O ponto de fuga não
precisa estar no centro da pintura e, independentemente de onde se
encontrar, ele exerce um fascínio sobre o observador, de modo a captar
sua atenção.
Para compreender melhor esse conceito, observe a seguir duas obras: a
pintura A última ceia, um afresco do italiano Leonardo da Vinci para a
igreja Santa Maria delle Grazie, em Milão; e Adoração ao Cordeiro
místico, que foi pintada por Jan Van Eyck e faz parte do retábulo
(sequência de painéis que formam uma obra maior) da Catedral de São
Bavão, na cidade flamenga de Gante, Bélgica. Ambas as pinturas podem
ser visitadas por turistas.
A última ceia (1498), de Leonardo da Vinci.
Adoração ao Cordeiro místico (1432), de Jan Van Eyck.
Em cada uma dessas pinturas, foram traçadas linhas que convergem
em um ponto de fuga. Em A última ceia, o ponto de fuga está sobre o
Cristo, sobre o qual está a atenção do observador. Na arquitetura da
sala representada (linhas do teto e batente das portas), há diversas
linhas de fuga, que são as retas que convergem para o ponto de fuga.
Em Adoração ao Cordeiro místico, Van Eyck desloca o ponto de fuga
para a margem superior, bem ao centro. Nesse ponto está a pomba do
Espírito Santo, da qual saem fachos de luz que são as próprias linhas de
fuga, deixamos algumas à mostra e, sobre outras, inserimos as linhas
brancas para mostrar nossa análise. Além da perspectiva, também
podemos vislumbrar outros elementos da matemática na pintura de Van
Eyck, tais como:
Na imagem a divisão foi feita em quatro partes praticamente
iguais, guardando um espaço um pouco maior para representar
figuras maiores, ou seja, mais próximas, em primeiro plano.
Na imagem a simetria é marcada pela cruz como sendo um eixo
vertical (sobre a qual traçamos uma linha branca). Embora não
haja a exata quantidade de pessoas fazendo as mesmas ações
em ambos os lados, uma vez que simetria não é,
necessariamente, um espelhamento, percebemos que os
Divisão 
Simetria 
diferentes grupos de pessoas mantêm a cena em “equilíbrio”, ou
seja, sem “pesar” mais para a direita ou para a esquerda.
Os pintores renascentistas inventaram um modo de “contrariar” a
geometria euclidiana, a qual afirma que retas paralelas nunca se
encontram. Hoje, sabemos da existência de diversas geometrias não
euclidianas em que esse conceito não é válido, isto é, em que retas
paralelas se encontram. Podemos citar como exemplo a geometria
projetiva, que se desenvolveu enquanto área da matemática a partir das
pinturas renascentistas.
Os primeiros escritos matemáticos relevantes sobre a geometria
projetiva foram os de Brook Taylor, por volta de 1715, praticamente 300
anos depois das pinturas aqui comentadas.
Experimentando a
matemática: arte
Para aprofundar seus estudos sobre as inter-relações possíveis entre a
matemática e outras artes, assista ao vídeo a seguir.

No início do século XX, o pintor espanhol Pablo Picasso rompeu com os
modelos estéticos que só valorizavam a perfeição das formas. Seu
quadro As damas de Avignon (1907), hoje em exposição no Museu de
Arte Moderna de Nova York, marcou o início do Cubismo, um
movimento de vanguarda que surgiu na França. O Cubismo teve mais de
uma fase artística, mas podemos pontuar as características que o
definem: um tratamento geométrico das formas da natureza; a
predominância de linhas retas, modeladas a partir de cilindros e cubos,
dada a geometrização das formas e dos volumes; a abstração do
representado. Veja agora as reproduções de dois famosos quadros
cubistas:
Violino e uvas (1912), de Pablo Picasso.
Violino e castiçal (1910), de George Braque.
Fica fácil percebermos que os quadros de Picasso e Braque
“desconstroem” os objetos representados. Isso porque o Cubismo opta
por abolir a representação “perfeita” do objeto e ressaltar seus
contornos, retos ou curvos.
Outra particularidade dessas obras é a impressão de que foram
pintadas por cima de si mesmas, ou seja, parece que algumas partes se
sobrepõem às outras. Esse efeito é explicado pela representação do
objeto visto por variados ângulos de observação ao mesmo tempo. É
como se andássemos em volta de determinado objeto que queremos
desenhar e, a cada olhar, desenhássemos o que vemos sobre a tela.
Desse modo, os cubistas representavam o tridimensional em uma
superfíciebidimensional, sem se apegarem a representações realistas,
como faziam os renascentistas.
Saiba mais
Além das formas, como trapézios, retângulos, setores circulares e
outros polígonos, uma pintura cubista mexe com a capacidade de
abstração do observador. Ele precisa construir mentalmente o que foi ali
representado, e a construção mental de um objeto é uma habilidade
muito importante a ser desenvolvida para a compreensão da
matemática.
Pintura: Abstracionismo e
Neocubismo
As tendências de um movimento de pintura não são apropriadas por
todos os pintores da mesma época em diferentes locais. Enquanto
Picasso dava o pontapé inicial ao Cubismo com As damas de Avignon
(1907), na Alemanha, o artista russo radicado Wassily Kandinsky pintava
a Primeira aquarela abstrata (1910), que seria reconhecida como a
precursora do movimento do Abstracionismo.
A arte abstrata não imita objetos, natureza ou pessoas,
mas representa as emoções do artista de maneira
abstrata e desconstruída, em total desconexão com a
realidade. O resultado é uma arte subjetiva que, com
cores e linhas bem demarcadas, suscita diferentes
interpretações no observador.
Além de Kandinsky, outro expoente do período é o pintor neerlandês
Piet Mondrian, cujos quadros mais famosos são variações de
retângulos pintados com cores primárias. A seguir, vamos pensar um
pouco sobre os elementos matemáticos de quadros desses dois
pintores.
Composição VIII (1923), de Wassily Kandinsky.
Quadro Kandinsky
Em relação à geometria plana, facilmente identificamos as
seguintes figuras: triângulos (seriam isósceles ou não?), retas
(quais são paralelas e quais são concorrentes?) e círculos
(alguns concêntricos, outros que se intersectam). Na parte de
baixo do quadro, na metade esquerda, há três círculos e retas
que podem ser usados como exemplos de posições relativas
entre circunferências e retas (reta secante, tangente ou externa
à circunferência), além de diversas retas em pontos distintos
da pintura que serviriam para pensarmos suas posições
relativas (paralelas, perpendiculares ou concorrentes) e seus
respectivos coeficientes angulares.
Composição em vermelho, amarelo, azul e preto (1921), de Piet Mondrian.
Quadro Mondrian
O quadro apresenta retângulos e quadrados dos quais
poderiam ser calculados áreas e perímetros, além de um
estudo de combinatória sobre as múltiplas possibilidades de
se pintar essa mesma tela, apenas variando onde aparece cada
cor, ou sobre as posições entre retas na geometria analítica.
Além disso, valendo-nos da prerrogativa que a arte abstrata
suscita no observador uma interpretação pessoal, vemos o
quadro de Mondrian como sendo a planta de uma cidade, na
qual as ruas são perpendiculares (as linhas negras) e os
quadriláteros são as quadras desse mapa. Esse seria um bom
modo de introduzir a geometria do taxista, outra geometria não
euclidiana quase nunca é ensinada nas escolas.
Essas duas pinturas podem enriquecer as aulas de geometria, tanto no
estudo de conceitos e propriedades das figuras planas quanto para dar
vazão à imaginação do aluno.
Vamos agora observar as obras de Georgy Kurasov, pintor russo que
nasceu em 1958, cujas pinturas são classificadas como neocubistas.
Do Cubismo tradicional, o Neocubismo herdou as formas geométricas,
mas Kurasov não as usa para representar os diversos ângulos da
mesma figura, e sim para ressaltar partes da sua pintura, dividindo-a em
partes geométricas. Kurasov também usa cores vivas, conforme
podemos perceber nas pinturas a seguir:
Dança clássica (2006), de Georgy Kurasov.
Quadro Dança Clássica (2006)
Mostra uma bailarina, cujas partes do corpo estão inscritas em
triângulos. Podemos observar que a linha do seu pescoço é o
lado do mesmo triângulo que sustenta sua perna erguida; o
braço dobrado sobre a cabeça é o lado de outro triângulo que
tem a ponta de ambos os pés nos vértices.
Há, ainda, outras combinações possíveis de triângulos e
quadriláteros que passam a ideia de focos de luzes que
iluminam a bailarina.
Quadro O nascimento do mito (2020)
Quadro O nascimento do mito (2020)
Os limites das figuras principais formam uma circunferência: a
cabeça da mulher, seu corpo, as asas e o bico da íbis e os
papiros completam os 360º. Ainda, duas retas horizontais
intersectam a circunferência: a mais baixa serve como
horizonte da água, e a que está acima se alinha com o braço da
mulher, destacando-o do celeste.
Essa pintura também pode ser utilizada como introdução ao
estudo da matemática egípcia, sendo mostrada junto a
imagens do papiro de Rhind e, assim, promovendo um
encontro entre das disciplinas de Arte, Matemática e História.
Muitos são os pintores cujas obras partem de elementos matemáticos,
dando-lhes destaque ou utilizando-os para “aproveitar” o espaço da tela
conforme aquilo que desejam distribuir ou ressaltar.
Importante lembrar de que a pintura não é a única forma de arte que
estabelece diálogos com a matemática. A arquitetura, escultura, música
e literatura também podem se fazer presentes nas aulas de matemática,
tematizando encontros entre o pensamento racional, que todos podem
desenvolver, e as inspirações pessoais, que são únicas para cada
indivíduo.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
O que é arte? Se você acreditar que é fruto de uma força maior de
conhecimento e que todos a reconhecem a partir dessa visão, terá
dificuldade em entender o proposto. A arte é uma leitura que
dialoga entre:
A a matemática e a expressão humana.
B a experiência artística e o valor cultural.
C a violência e a busca de solução.
D a disputa entre a humanidade e a exatidão.
E a correspondência entre proporção e a verdade.
Parabéns! A alternativa A está correta.
A arte é uma produção humana que busca expressar diferentes
aspectos da vida ou do pensamento. Ela está, muitas vezes, na
relação entre a matemática e a expressão humana. Além disso, é
uma forma de leitura dessa relação.
Questão 2
O valor renascentista parte da aplicação de novas técnicas. O termo
“renascer” buscava afirmar a retomada de um valor humano que
passasse a ser fundamental na construção de um novo belo. São
valores que passam a ser valorizados:
A Ordenamento e estatística.
B Algebrização e geometrização.
C Geometrização e proporção.
Parabéns! A alternativa D está correta.
A percepção de proporção e perspectiva torna-se um exercício de
diferenciação. Quando olhamos A última ceia, de Leonardo da Vinci,
temos uma aula desse ordenamento, que é a base da adoção da
matemática como valor diferencial humano.
D Proporção e perspectiva.
E Estatística e algebrização.
2 - Matemática e natureza
Ao �nal deste módulo, você será capaz de formular práticas pedagógicas
no ensino de matemática de forma interdisciplinar.
Cães e gatos sabem cálculo?
Usualmente, pensamos que somente os humanos entendem de
matemática. Essa é uma verdade relativa. Obviamente, somente os
humanos são capazes de elaborar um pensamento lógico-dedutivo,
demonstrar um teorema, propor conjecturas e fazer a matemática
“avançar” no seu corpus teórico. Contudo, o uso da matemática não fica
restrito apenas aos humanos.
No interessante livro O instinto matemático (2009), Keith Devlin comenta
habilidades naturais do melhor amigo do homem: o cão. O relato sobre
o conhecimento matemático dos cachorros vem de um artigo científico
publicado por Tim Pennings, no The College Mathematics Journal, em
2003.
Professor da Hope College, no Michigan, Estados Unidos, Tim observou
que, quando atirava uma bolinha em linha reta na praia, seu cachorro
Elvis entrava na água e nadava até alcançá-la. Porém, quando a jogava
em diagonal, o cão corria um trecho em terra e, depois, entrava na água
e nadava, em diagonal, até a bolinha. Tim se perguntou por que o
cachorro não corria pela margem até o local onde estava a bolinha para
depois entrar na água, o que formaria um ângulo reto entre a trajetória
da corridae o ponto em que a bolinha estava. Ele ainda se questionou
como Elvis “calculava” quanto correr pela margem antes de entrar na
água, para chegar à bolinha o mais rápido possível. O modelo
matemático que descreve esse “mistério” pode ser representado
conforme a imagem a seguir:
Esboço matemático para o problema de buscar a bolinha.
Considere que o cachorro está em A e a bolinha em B. O cão deve correr
pela praia até um ponto D e, em seguida, mergulhar na água e nadar
diretamente até B. O problema consiste em determinar o comprimento
da linha AD (x) em que o tempo total necessário para alcançar B é o
menor possível. Para encontrar a resposta, é preciso conhecer os
comprimentos AC e CB e as velocidades de corrida na areia e de
natação do animal.
De A a B.
De B a C.
De A a C.
De A a D.
Tim sabia que, para resolver o problema, era preciso usar
conhecimentos de cálculo. Contudo, ele também sabia que seu cão não
havia frequentado a faculdade. Portanto, munido de cronômetro e trena,
Tim fez a experiência de, por várias vezes, jogar a bolinha e acompanhar
seu cão, tanto correndo pela praia quanto nadando junto dele. Tim
também colocou marcadores na areia no exato ponto em que o cão
entrava na água (D) e, depois, onde ele saía (C). Posteriormente, em sua
casa, quando fez os cálculos, confirmou sua hipótese: Elvis, em média,
entrava na água no ponto (D).
Elvis, na capa The College Mathematics Journal.
Ainda sobre cães, outro relato interessante apresentado por Devlin diz
respeito a como os cães são capazes de pegar um frisbee no ar. Os
cachorros correm em um arco que termina justamente onde o disco
estará quando chegar suficientemente próximo ao chão para ser
abocanhado. Mas não seria mais fácil correr em linha reta?
Para descobrir isso, cientistas prenderam uma máquina fotográfica
pequena e um transmissor à cabeça de um cachorro. Desse modo,
tentavam entender o que o animal via enquanto corria para pegar o
disco arremessado. Os cientistas perceberam, pela análise das
imagens, que, enquanto se locomovia em arco, a trajetória da bola
parecia, para o cão, estar em linha reta!
Animais sabem matemática?
Para aprofundar seus estudos, confira agora a relação que a
matemática estabelece com a natureza.
Se os cães têm um bom instinto matemático, os gatos não ficam atrás.
Todos nós ouvimos dizer que um gato cai sobre as quatro patas. Mas
isso é um mito ou é verdade? Sim, é verdade! Isso só acontece porque
os gatos manipulam a geometria do próprio corpo e conseguem girá-lo
rapidamente, de modo que a gravidade (a única força que age
significativamente sobre eles) não os atrapalhe.

Nesse processo intuitivo e natural, os gatos combinam aspectos da
geometria (rotação) com elementos do cálculo vetorial e da física.
Segundo a lei física de conservação do momento
angular, a conservação do momento angular acontece
quando a grandeza física não varia, ou seja,
permanece constante durante o movimento de rotação
de um corpo em torno de um eixo. Isso explica que,
quando um gato está caindo e virando uma parte do
seu corpo, outra parte tem de virar na direção oposta.
A imagem a seguir apresenta o modo como um gato consegue cair
sobre as quatro patas. Primeiro, o felino se orienta virando a cabeça e,
depois, arqueia as costas. Em seguida, ele torce as patas dianteiras
enquanto gira as traseiras na direção oposta e, para completar a volta,
torce as patas traseiras enquanto as da frente giram na direção oposta.
Antes de tocar o solo, o gato arqueia mais uma vez as costas para
reduzir a força do impacto, enquanto as suas patas se estendem sob o
seu corpo, agindo como amortecedores naturais.
Movimentos do gato durante a queda.
Ao estudar o comportamento de cães e gatos, cientistas e matemáticos
concluíram que a mãe natureza, via seleção natural, ao longo de
milhares de anos, “equipou” os animais com um algoritmo interno capaz
de resolver problemas de matemática de forma rápida e instintiva. Mas
nem todos os animais são bons em cálculo. Alguns se destacam por
fazerem, em suas práticas, um bom uso da geometria ou da aritmética.
A geometria das abelhas e a
aritmética dos coelhos
Todos nós já ouvimos falar da importância das abelhas para a
sobrevivência da humanidade, pois a polinização é um processo capital.
Mas, o que muita gente não sabe, é que as abelhas conhecem muito
bem alguns aspectos da geometria.
Há muito tempo as abelhas intrigam os homens. Relatos tão antigos
como os de Aristóteles (384 a.C-322 a.C) e os do matemático Papo de
Alexandria (290-350) nos mostram que compreender o comportamento
desse inseto instigava o homem.
Por que as abelhas constroem suas células
como hexágonos? Essa é a pergunta a que
vamos tentar responder.
Favos de mel são construções tridimensionais. Porém, para
começarmos a entender melhor a questão, vamos pensar,
momentaneamente, que é possível termos uma fatia finíssima de favo,
o que nos permite pensá-lo como se fosse um plano bidimensional.
Conforme aprendido nas aulas de geometria, sabemos que três
polígonos regulares são capazes de preencher um plano quando seus
lados estão “colados” um no outro, de modo que não haja “buracos”: o
triângulo, o quadrado e o hexágono. O hexágono é o polígono mais
difícil de ser desenhado por ter mais quantidades de lados e por ter
ângulos internos medindo 120º. Lembrando que os ângulos internos do
triângulo e do quadrado são, respectivamente, 60º e 90º.
Detalhe de favo de mel, mostrando formas hexagonais.
A justificativa para a escolha natural das abelhas em construir na forma
hexagonal está na praticidade. Embora nossa intuição nos faça pensar
que preencher um plano com quadrados seria mais rápido e prático, as
abelhas sabem que assim teriam mais trabalho. Se pegarmos um
triângulo, um quadrado e um hexágono de mesma área, ou seja,
delimitando o mesmo espaço para guardar o mel produzido, a forma
hexagonal é a que tem o menor perímetro. Em outras palavras, as
abelhas acumulam a mesma quantidade de mel trabalhando menos e
economizando cera. E isso pode ser provado matematicamente.
Considere três polígonos - um triângulo, um quadrado e um hexágono -,
todos com a mesma área A. As fórmulas para o cálculo da área de cada
uma dessas figuras, considerando a medida de seus lados, são:
Isolando l em cada uma das fórmulas, teremos:
AT =
l2√3
4
AQ = l2 AH =
3l2√3
2
AT =
l2√3
4
→ l2 =
4AT
√3
→ l =√ 4AT
√3
→ l =
2√AT
4√3
AQ = l2 → l =√AQ
Agora, para determinarmos o perímetro (2p) de cada polígono, basta
multiplicarmos o valor de l pelo seu número de lados:
Como tomamos as áreas como sendo de mesmo valor,
podem ser desprezadas para a comparação dos valores dos perímetros.
Com uma calculadora em mãos, fica fácil verificarmos que:
AH =
3l2√3
2
→ l2 =
2AH
3√3
→ l2 =
2AH
3√3
⋅
√3
√3
→ l =√ 2AH√
9
=
√2 ⋅√AH ⋅ 4√3
3
2pT =
6√AT
4√3
2pQ = 4√AQ
2pH = 2√2 ⋅√AH ⋅ 4√3
√AT ,√AQ e √AH
6
4√3
> 4 > 2√2 ⋅ 4√3
Logo, cada célula é pensada para satisfazer três necessidades: ladrilhar
toda região do favo, armazenar a mesma quantidade de mel que seria
armazenada se o ladrilhamento fosse feito por meio de outra figura
plana, e gastar menos material e tempo nesse processo de confecção.
Só que cada célula do favo de mel não é um polígono - apenas fizemos
essa suposição para estudar o seu perímetro - pois, se assim não o
fosse, isto é, se não tivesse fundo, o mel escorreria e não seria
armazenado. Cada célula é um alvéolo que, na verdade, é um minúsculo
objeto tridimensional que se assemelha a um prisma hexagonal - e aqui
temos mais um exemplo da genialidade das abelhas.
Um prisma hexagonal tem o fundo plano, porém o fundo de cada alvéolo
é a união de 3 losangos iguais que determinam um triedro com ângulos
diédricos (ângulos medidos entre planos). Como indicam as imagens a
seguir, o formato do fundo permite que os alvéolos fiquem ligeiramente
inclinados em relação ao plano horizontal, impedindo que o mel escorra.
Representação matemáticade um alvéolo.
Atualmente, depois de cálculos detalhados que utilizaram
conhecimentos de cálculo diferencial, sabe-se que os ângulos diédricos
são iguais a 120º. Incrivelmente, mesmo sem conhecerem números
irracionais, elementos de cálculo e sem terem calculadoras, as abelhas
nos mostram que são dotadas de um instinto matemático que muitos
estudantes de arquitetura invejariam!
Deixando as abelhas de lado, falemos agora de coelhos. Um dos
grandes matemáticos medievais foi Leonardo de Pisa, também
conhecido como Leonardo Fibonacci, ou apenas Fibonacci. Inspirado
por seu pai, que era alfandegário, Fibonacci fez diversas viagens ao
Egito, à Sicília, à Grécia e à Síria, onde conheceu a matemática oriental e
árabe. Sua primeira obra marcante foi publicada em 1202, com o nome
de Liber Abaci (Livro do Ábaco), no qual propunha, dentre outros, o
seguinte problema:
Quantos pares de coelhos serão produzidos em um
ano, começando com um só par, se a cada mês cada
par gerar um novo par que se torna produtivo a partir
do segundo mês?
A situação é ideal, pois entende que sempre nascerá um novo par. Em
termos de modelo matemático, esse problema é bem interessante. Para
solucioná-lo, devemos considerar que um jovem casal de coelhos atinge
a idade adulta apenas no segundo mês e, portanto, só procria no
terceiro mês de sua vida. Além disso, os casais que já procriaram
seguirão procriando. Observe a seguir a solução gráfica esboçada.
Gráfico: Representação gráfica do problema de Fibonacci.
Rafael Montoito.
Mês Casais
1 1
2 1
3 2
4 3
Mês Casais
5 5
6 8
Tabela: Relação entre os meses e a quantidade de casais de coelhos.
Rafael Montoito.
Com um olhar atento, notamos que, a cada mês, a quantidade de casais
é a soma da quantidade de casais dos dois meses que o precedem. Ao
compreendermos isso, fica fácil construirmos a sequência numérica
infinita: , em que é um número natural que
representa o número de meses e , isso porque nos 2 primeiros
meses teremos apenas um casal de coelhos que ainda não procriou.
Desse modo, temos a sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, assim por diante.
Algo impressionante sobre essa sequência é que seus termos crescem
muito rapidamente. Outro ponto é que a divisão de dois termos
sucessivos, tomados na razão , tende ao número áureo.
O número áureo, também chamado de proporção áurea ou divina
proporção, é um número irracional representado pela letra grega ,
cujo valor é 1,618033989 .... O Fi é uma homenagem a
Fídias, célebre escultor grego da Grécia Antiga, que considerava o em
seus trabalhos, sendo talvez o mais importante e de maior imponência o
an = an−1+ an−2 n
n > 2
an
an−1
φ(Fi)
φ = 1+√5
2 ≈
φ
templo grego Partenon, ou Templo das Virgens. Mas nós sabemos que
Fídias não tinha calculadora, logo não se importava em expressar o
valor exato em casas decimais de o que Ihe interessava era o seu
aspecto estético. O número áureo surge de uma proporção que envolve
dois números naturais e a soma deles, conforme representando a
seguir:
Representação do número áureo em segmentos de reta.
A relação que origina é do tipo , com , que, ao
operarmos, gera:
φ−
φ a
b =
a+b
a a > b
a2 = b(b+ a)
Pensando e como comprimentos, ou seja, como lados de um
retângulo, os gregos entendiam a igualdade acima da seguinte maneira:
a área do quadrado construído sobre o segmento maior é equivalente à
área do retângulo, cujos lados são o segmento menor e a linha toda.
Para os gregos, um retângulo construído tendo, por lados, valores de e
 que satisfizessem a divina proporção era um retângulo mais agradável
aos olhos, mais belo de ser admirado. Por essa razão, a fachada do
Partenon é um retângulo em que o lado maior dividido pelo lado menor
é igual à divisão do lado menor pela diferença do lado maior e do lado
menor, como você pode conferir na imagem a seguir.
Partenon com retângulo áureo ADKI.
a b
a
b
Pitágoras de Samos, fundador da Escola Pitagórica, também utilizava o
número áureo em seus trabalhos de geometria, principalmente na
construção do pentagrama ou do pentágono estrelado. Para Pitágoras,
esse número tinha um quê de místico que o tornava especial.
Na imagem a seguir, há o desenho do pentágono ABCDE com suas
cinco diagonais traçadas. Pitágoras observou a forma de uma estrela
cujos lados se intersectavam nos pontos , e , formando
um pentágono regular. O desenho ainda revelava diversos pares de
triângulos congruentes. O mais impressionante era que os segmentos
marcados em cada diagonal geravam a proporção áurea.
Por exemplo, se tomarmos .
Pentagrama pitagórico.
A′,B′,C ′ D′ E ′
DE′
Ē ′B
= DE+E ′B
DE ′
–––
–
A proporção áurea foi amplamente aplicada em muitas áreas da arte
com o passar dos anos, veja alguns casos a seguir:
1.
Leonardo da Vinci teria feito uso dessa proporção para pintar a
Monalisa e para desenhar o Homem vitruviano.
2.
Assim como o Partenon, a fachada principal da Catedral de Notre-
Dame, em Paris, tem seus elementos distribuídos de modo a
contemplarem a proporção áurea.
3.
Por meio do estudo que associa as notas musicais a
comprimentos, pesquisadores perceberam que o número de ouro
também está presente nas Sinfonias de número 5 e 9 de Ludwig
van Beethoven.
Mas voltemos aos coelhos. Para comprovar o que afirmamos antes,
vamos relembrar a sequência numérica gerada pelo problema de
Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,
2584, assim por diante. Agora, dividiremos dois números consecutivos,
a partir do segundo, tomando como denominador o anterior ao
numerador:
1
1
= 1
2
1
= 2
3
2
= 1, 5
5
3
= 1, 66666666…
8
5
= 1, 6
13
8
= 1, 625
21
13
= 1, 61538462…
34
21
= 1, 61904762…
55
34
= 1, 61764706…
89
55
= 1, 61818182…
144
89
= 1, 6179775…
233
144
= 1, 61805556…
377
233
= 1, 61802575…
610
377
= 1, 61803714…
987
610
= 1, 61803279…
1597
987
= 1, 61803445…
2584
1597
= 1, 61803381…
(...)
A divisão do décimo sétimo termo da sequência de Fibonacci pelo seu
anterior resulta em 1,61803381... o que já dá uma excelente
aproximação com , pois as seis primeiras casas
decimais são iguais. Como a sequência de Fibonacci é infinita, quanto
mais termos atribuirmos a ela, mais próximo de ficará o valor do
quociente entre um termo qualquer e seu antecessor. Quem diria que os
coelhos sabem guardar os segredos místicos e estéticos de um número
irracional!
Sugestões para a prática docente
E agora professor? Vamos construir um pouco de sua prática? A ideia é
que a compreensão desses objetos desperte formas de estimular e
alcançar o aprendizado de seus alunos. Para tanto, é muito interessante
a construção de modelos e práticas que oportunizem seus alunos a
perceber o conhecimentos que aqui você foi provocado a pensar.
Leia a seguir algumas sugestões de práticas que podem ajudar a deixar
suas aulas de matemática mais desafiadoras e agradáveis.
Peça aos seus estudantes que criem um quadro como as obras de
Mondrian. Para uma abordagem mais pedagógica, coloque
algumas exigências. Por exemplo, delimite a área ou a cor de
alguns retângulos ou quadrados.
φ = 1, 618033989…
φ
Proponha aos estudantes que façam algumas fotos de situações
que evidenciem a existência de um ponto de fuga, como viram nos
quadros renascentistas.
A partir do estudo do número de ouro, solicite aos estudantes uma
pesquisa sobre a Espiral de Fibonacci, tanto na natureza quanto em
cartazes e propagandas.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Sobre a matemática na natureza, podemos afirmar que a
capacidade humana está em observar, perceber padrões, elaborar
formulações e reproduzir situações análogas. Assinale a seguir a
afirmativa que apresenta esse exercício humano de construção da
linguagem matemática.
A
Favos de mel são construções tridimensionais;
porém, percebemos primeiro sua forma em um
plano bidimensional,depois como a mesma
estrutura se expande em todas as direções, e
graças à forma, não sobra, tem-se um padrão.
Parabéns! A alternativa A está correta.
O favo de mel não determina a matemática, mas o estudo da
matemática torna compreensível a adoção dos elementos naturais
B
Favos de mel explicam e fundamentam a idade de
que só há três polígonos regulares capazes de
preencher um plano, quando seus lados são
“colados” um no outro, de modo que não haja
“buracos” entre eles: o triângulo, o quadrado e o
hexágono.
C
Percebemos que o triângulo é o mais difícil de ser
desenhado, tanto devido a uma maior quantidade de
lados quanto em razão dos ângulos internos do
triângulo (60º) ou do quadrado (90º).
D
Reproduções do favo de mel são mais fáceis de
serem determinadas – os ângulos internos medem,
cada um, 120º.
E
A matemática não deve ser associada à natureza,
sendo algo do intelecto e da capacidade humana
em desenvolver seu pensamento abstrato.
à sua composição. Não é uma análise das abelhas, mas do homem
observando a natureza e percebendo seu sentido a organizando.
Questão 2
Os animais realizam operações matemáticas, e a construção de
que eles executam cálculos complexos como se estivessem no
ensino superior é uma inversão da compreensão matemática. Essa
defesa se dá a partir da compreensão de que
A
a matemática é a única ciência que mamíferos se
aproximam.
B
a matemática é possível de ser entendida por
animais.
C
a matemática é a manifestação de uma força
superior.
D
a matemática coincide acidentalmente com
práticas parecidas da natureza.
Parabéns! A alternativa E está correta.
A matemática é uma linguagem humana e interpretativa, a partir da
observação e expressão de fenômenos e problemas. É na
observação da natureza e das investigações de como funciona o
mundo que a linguagem pode atingir o processo de interpretação
humana de fenômenos naturais.
Considerações �nais
Ao longo deste conteúdo, estudamos as relações da matemática com
outras linguagens. Abordamos alguns tópicos de História da Arte e da
natureza que nos rodeia, mas há muitos outros exemplos que merecem
ser pesquisados e conhecidos.
Não é possível afirmarmos que os pintores ou os animais usam a
matemática de um modo racional naquilo que fazem - os pintores,
E a matemática é uma linguagem.
talvez, mas também não podemos descartar a possibilidade de vários
deles fazerem uso apenas de suas intuições.
De todo modo, a questão mais importante para o professor de
matemática não é saber se sua ocorrência foi proposital, e sim “lê-la”
onde ela se dá a conhecer. Em outras palavras, o professor enxerga a
matemática em outras linguagens nas quais aparece com maior ou
menor ênfase. Essa é a ideia de uma apropriação pedagógica fruto de
muito estudo e pesquisa. Quando o professor consegue perceber
presenças da matemática no mundo, torna-se capaz de levá-la para a
sala de aula a partir daquilo que observou, contribuindo para aulas mais
diversificadas, potencialmente ricas, e que ajudarão a desfazer o mito
de que a matemática é uma disciplina difícil e chata.
Podcast
Confira agora a matemática como uma criação humana e as principais
relações que estabelece com a natureza.
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Confira as indicações que separamos especialmente para você!
Leia o livro Fazendo arte com a matemática, de Estela Kaufman
Fainguelernt e Katia Regina Ashton Nunes (Artmed, 2006), e descubra
novas possibilidades de utilizar algumas pinturas nas aulas de
matemática.
Leia o livro As Irmãs Rebeldes: encontro com as geometrias não
euclidianas, de Rafael Montoito (Appris, 2021), no qual o autor
apresenta, com linguagem simples, algumas das geometrias não
euclidianas.
Leia o livro O Gene da Matemática: o talento para lidar com números e a
evolução do pensamento matemático, de Keith Devlin (Record, 2008),
outra obra na qual o autor ajuda a desmistificar a ideia de que a
matemática é uma ciência difícil que apenas poucos têm a capacidade
de compreender.
Assista à animação da Disney Donald no País da Matemática, que
mostra várias curiosidades da matemática que podem ser úteis para
introduzir conteúdos em sala de aula.
Referências
CONTADOR, P. R. M. A matemática na arte e na vida. São Paulo: Livraria
da Física, 2007.
DEVLIN, K. O instinto matemático: por que você é um gênio da
matemática [assim como lagostas, pássaros, gatos e cachorros]. Rio de
Janeiro: Record, 2009.
JANOS, M. Matemática e natureza. São Paulo: Livraria da Física, 2000.
PENNINGS, T. J. Do dogs know calculus? The College Mathematics
Journal, v. 34, n. 3, 2003.
PICKOVER, C. A. O livro da matemática: de Pitágoras à 57ª dimensão,
250 Marcos da História da Matemática. Madri: Librero, 2011.
RAFAEL, D. M.; SALLUN, E. M. As abelhas conhecem geometria?
[oficina]. Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática, IME-USP,
2015. Consultado na internet em: 10 de mar. 2022.
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