Movimento Uniforme e Variado

Prévia do material em texto

1. Definição
Isto significa que a relação espaço-tempo é do tipo:
em que A e B são parâmetros constantes e B ≠ 0.
Notas
• Um ponto material pode estar em movimento uni -
forme em qualquer trajetória.
• Os movimentos uniformes mais estudados são o
re tilíneo uniforme (MRU) e o circular uniforme (MCU).
• O tipo de movimento de um ponto material de pen -
de do referencial adotado. Assim, um ponto material
pode ter movimento uniforme em relação a um certo
refe ren cial e outro tipo de movimento, ou mesmo estar
parado, em relação a outro referencial.
• Quando o movimento não é uniforme, ele é cha -
mado de movimento variado.
2. Interpretação física 
dos parâmetros A e B
Se fizermos, na relação espaço-tempo, t = 0 (origem
dos tempos), o valor assumido pelo espaço será o espaço
inicial s
0
. t = 0 ⇔ s = s
0
s = A + Bt
s
0
= A + B . 0
A medida algébrica do arco OP0 é o espaço inicial s0.
A velocidade escalar instantânea V é obtida por meio
da derivação da função s = f(t).
s = A + B t
V = = 0 + B
3. Propriedades do 
movimento uniforme
s = s0 + V t 
O parâmetro A representa o espaço inicial s0.
O parâmetro B representa a velocidade escalar.
B = V
ds
–––
dt
s = A + Bt
A = s0
Em relação a um dado referencial, um movimento
é chamado uniforme quando a função horária dos
espaços s = f(t) é do primeiro grau.
35
O balão está subindo verticalmente percorrendo
distâncias iguais em tempos iguais.
O seu movimento é retilíneo e uniforme, sua
velocidade escalar é constante e sua aceleração escalar é nula.
MOVIMENTO 
UNIFORME
Cinemática
2
CAPÍTULO
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 35
Fotografia estroboscó pica de um trator de brin quedo deslocando-se em
movimento uni forme. O intervalo de tempo entre as fotos sucessivas é de 0,5s.
Quando o movimento é uniforme, o móvel percorre distâncias iguais em tem -
pos iguais.
Notas
• O movimento uniforme pode ser definido por
qualquer uma das três propriedades enunciadas, ou seja:
1) Movimento Uniforme é todo movimento cuja
re lação espaço-tempo é do 1.º grau.
2) Movimento Uniforme é todo movimento cuja
velocidade escalar é constante (diferente de zero).
3) Movimento Uniforme é todo movimento cuja
aceleração escalar é nula.
• O fato de a velocidade escalar ser constante (não
nula) implica que a velocidade escalar média também se -
ja constante (para qualquer intervalo de tempo) e igual à
ve locidade escalar instantânea:
• O fato de a velocidade escalar ser constante (não
nula) implica que o móvel se movimente sempre no
mesmo sentido (não há inversão de movimento), per -
cor rendo distâncias iguais em intervalos de tempo
iguais.
• O fato de a velocidade escalar ser constante (não
nula) justifica a denominação movimento uniforme:
mo vimento que se processa sempre da mesma forma no
que diz respeito à velocidade escalar (uniforme quanto à
velocidade escalar).
• O fato de a aceleração escalar ser constantemente
nula implica que a aceleração escalar média também seja
nula em qualquer intervalo de tempo considerado.
• O fato de a aceleração escalar ser nula implica que
o movimento uniforme não seja nem acelerado nem re -
tar dado.
4. Classificação do 
movimento uniforme
A trajetória está orientada de A para B e os velo cí -
metros dos carros X e Y indicam sempre o mesmo valor.
O carro X está em movimento uniforme e progres -
sivo.
O carro Y está em movimento uniforme e retrógrado.
5. Gráficos do 
movimento uniforme
Como a relação espaço-tempo é do 1.º grau, o res -
pectivo gráfico será uma reta oblíqua em relação aos ei -
xos do espaço e do tempo.
O espaço será crescente se o movimento for pro gres -
sivo e decrescente se o movimento for retrógrado.
Movimento Uniforme e Progressivo (fig. 1).
�sV = ––– = constante ≠ 0
�t
�sVm = ––– = V = constante ≠ 0
�t
Se a velocidade escalar for negativa, o movimento
uni forme será retrógrado.
Se a velocidade escalar for positiva, o movimento
uni forme será progressivo.
�m = � = constante = 0
�t1 = �t2 = �t3 ⇔ �s1 = �s2 = �s3
36
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 36
Movimento Uniforme e Retrógrado (fig. 2).
Notas
• No instante t = T, o móvel está passando pela ori -
gem dos espaços.
• A tangente do ângulo �, indicado nas figuras, é
uma medida da velocidade escalar.
tg � =n = V > 0 (fig. 1) 
tg � = – tg � = = V < 0 (fig. 2)
• No gráfico espaço x tempo, a área sob o gráfico
não tem significado físico.
• Se não for feita nenhuma restrição, o gráfico se
estende para valores negativos do tempo.
Como a velocidade escalar é constante e não nula, o
gráfico da relação velocidade escalar x tempo será uma
reta paralela ao eixo dos tempos.
Movimento Uniforme e Progressivo.
Movimento Uniforme e Retrógrado.
A área sob o gráfico V = f(t) entre dois instantes, t1 e
t2, mede o deslocamento escalar �s entre esses instantes:
Área =n V (t2 – t1) = . �t = �s
Como a aceleração escalar é constantemente nula, o
gráfico da relação � = f (t) será uma reta coincidente com
o eixo dos tempos.
6. Velocidade relativa
Consideremos dois móveis, A e B, percorrendo uma
mesma trajetória retilínea, com velocidades escalares,
res pectivamente, iguais a VA e VB.
Define-se velocidade escalar relativa do móvel B,
em relação ao móvel A, como a grandeza VBA dada por:
Segue-se imediatamente que:
e
VBA = –VAB
VAB = VA – VB
VBA = VB – VA
Área (V x t) =n �s
�s–––
�t
–(– �s) �s–––––– = ––––
�t �t
�s–––
�t
37
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 37
1. A distância entre o Sol e a Terra é de 1,50 . 1011m e a velocida de
da luz no vácuo tem módulo igual a 3,0 . 108m/s.
Quanto tempo a luz solar gasta para chegar até nós?
Resolução
Sendo a velocidade escalar constante (M.U.), vem: 
V = Vm = e, portanto, a distância percorrida pela luz (�s) é dada 
por: 
na qual V é o módulo da velocidade da luz no vácuo (3,0 . 108m/s)
e �t é o intervalo de tempo pedido no problema.
1,50 . 1011 = 3,0 . 108 �t
Resposta: 5,0 . 102s
2. (MACKENZIE-SP) – Na fotografia estro bos cópica de um mo -
vimento retilíneo uni for me descrito por uma partícula, foram des -
tacadas três posições, nos respectivos instantes t1, t2 e t3. 
Se t1 for 8s e t3 for 28s, então t2 será:
a) 4s b) 10s c) 12s d) 20s e) 24s
Resolução
1) Podemos calcular a velocidade escalar constante usando os
ins tan tes t1 e t3.
t1 = 8s ⇒ s1 = 10m 
t3 = 28s ⇒ s3 = 60m
�s 60 – 10 50
V = ––– = –––––––– (m/s) = ––– (m/s) = 2,5m/s
�t 28 – 8 20
2) Entre os instantes t1 e t2, temos:
s2 – s1 20 – 10
V = –––––––– ⇒ 2,5 = ––––––––
t2 – t1 t2 – 8
2,5t2 – 20 = 10 ⇒
Resposta: C
3. O espaço de um móvel varia com o tempo, conforme indica a
tabela a seguir:
Supondo que a regularidade na lei de formação da tabela se man te -
nha:
a) classifique o movimento.
b) obtenha a equação horária dos espaços.
c) que se pode afirmar sobre a trajetória?
Resolução
a) Como o móvel percorre distâncias iguais (20m) em intervalos
de tempo iguais (1,0s), concluímos que o movimento é uni for -
me.
t(s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
s(m) –20 0 20 40 60 80
t2 = 12s
�t = 5,0 . 102s
�s = V . �t
�s
–––
�t
38
Exemplos
Para obtermos o módulo da velocidade escalar relati -
va entre dois corpos, A e B, utilizamos a seguinte regra
prática, que decorre imediatamente da definição de velo -
cidade escalar relativa:
a) Quando os móveis caminham no mesmo sentido,
o módulo da velocidade escalar relativa é dado pelo
módu lo da diferença entre os módulos das velocidades
escala res de A e B:
(Com | VA | > | VB |)
b) Quando os móveis caminham em sentidos opos -
tos, o módulo da velocidade escalar relativa é dado pela
soma dos módulos das velocidades escalares de A e B:
| Vrel | = | VA | + | VB |
| Vrel | = | VA | – | VB |
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 38
Como o espaço é crescente, a velocidade escalar é positiva e
o movimento é progressivo.
�s 20m
b) 1) V = ––– = ––––– = 20m/s
�t 1,0s
2) Para t = 0 ⇒ s = s0 = –20m
Portanto:s = s0 + Vt ⇒ s = –20 + 20t (SI)
c) A relação espaço-tempo não revela a trajetória do móvel.
Respostas: a) Movimento uniforme e progressivo.
b) s = –20 + 20t (SI).
c) Indeterminada.
4. O gráfico abaixo representa o es paço de uma partícula em fun -
 ção do tempo.
Considere as proposições que se
seguem:
(01) A trajetória da partícula é re -
ti línea.
(02) A velocidade escalar da par -
tícula é crescente.
(04) O movimento é unifor me.
(08) O movimento é progres si vo.
(16) O movimento é acelerado.
(32) A área sob o gráfico mede a
variação de espaço.
(64) A aceleração da partícula é nula.
Dê como resposta a soma dos números associados às proposi -
ções corretas.
Resolução
(01) Falsa: O gráfico espaço x tempo nada nos revela sobre a
trajetória.
(02) Falsa: Como a função s = f(t) é do 1.o grau, a velocidade
escalar é constante.
(04) Verdadeira: Quando o gráfico s = f(t) é uma reta oblíqua, o
movimento é uniforme.
(08) Verdadeira: Quando o espaço é crescente, o movimento é
progressivo (V > 0).
(16) Falsa: A aceleração escalar é nula; não é nem acelerado
nem retardado.
(32) Falsa: A área no gráfico espaço x tempo não tem significa -
do físico.
(64) Falsa: A aceleração escalar é nula; se a trajetória for curva,
existe uma aceleração chamada centrípeta.
Resposta: 12
5. Um atirador ouve o ruído da bala atingindo o alvo 4,00 segundos
após dispará-la com velocidade de módulo igual a 1,02 . 103m/s. Su -
pondo-se que a velocidade do som no ar seja constante e te nha
módulo igual a 340m/s, qual a distância entre o atirador e o alvo?
Despreze a ação da gravidade sobre o movimento da bala.
Resolução
A distância d é percorrida pela bala, em movimento uniforme, em
um intervalo de tempo t1.
A mesma distância d é percorrida pelo som, em movimento uni -
forme, em um intervalo de tempo t2.
Assim: d = Vb . t1 = 1,02 . 103 . t1 (1)
d = Vs . t2 = 340 t2 (2)
d d
De (1): t1 = –––––––––– De (2): t2 = ––––
1,02 . 103 340
De acordo com o texto:
t1 + t2 = 4,00
Substituindo-se os valores de t1 e t2, vem:
d d
–––––––––– + ––––– = 4,00
1,02 . 103 340
d + 3d
–––––––––– = 4,00
1,02 . 103
4d = 4,08 . 103
Resposta: 1,02km
(PISA-MODELO ENEM) – Texto para as questões de 6 a 8.
ECOSSONDA
O fundo dos oceanos tem sido cartografado com rigor devido à
utilização de ecossondas. Inicialmente, emitem um impulso sono -
ro que posteriormente é refletido (eco) pelo fundo do mar.
Conhecidos o intervalo de tempo que decorre entre a emissão do
impulso e a recepção do eco e a velocidade de propagação do
som, é possível determinar a profundidade do local por meio da
fórmula seguinte:
em que
h é a profundidade, em metros (m);
�t é o intervalo de tempo entre a emissão do impulso e a recep -
ção do eco, em segundos (s);
V é a velocidade escalar média de propagação do som na água,
em metros por segundo (m/s).
6. Uma ecossonda emitiu um sinal sonoro às 14h 52min 56s e re -
cebeu o respectivo eco às 14 h 53 min. Qual é a profundidade do
mar nesse local? 
a) 2,0km b) 2,9km c) 4,0km
d) 5,8km e) 6,0km
Resolução
1) O intervalo de tempo entre a emissão do sinal sonoro e a
recepção do eco é dado por:
�t = 14h53min – (14h52min56s)
A velocidade escalar média de propagação do som na água é
aproxima damente 1450m/s.
�t
h = ––– x V 
2
d = 1,02 . 103m = 1,02km
�t = 4s
39
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 39
9. A tabela a seguir representa valores do espaço e do tempo para
um móvel em movimento uniforme.
Determine
a) a velocidade escalar do móvel;
b) o espaço inicial;
c) o valor de x;
d) o valor de y.
10. Um móvel percorre uma trajetória retilínea com ve loci dade escalar
constante. A posição s, medida em metros em relação à origem,
varia de acordo com o tempo t, medido em segundos, conforme
a tabela abaixo.
A função horária, que descreve a posição, em relação ao tempo,
em uni dades do SI, é
a) s = 2,0 + 3,0t b) s = 2,0 + 17,0t
c) s = 5,0 + 2,0t d) s = 3,0 + 2,0t
e) s = 2,0 + 5,0t
11. Dois móveis, A e B, percorrem uma mesma trajetória retilínea com
movimentos uniformes e velocidades com intensidades respectiva -
mente iguais a 2,0m/s e 1,0m/s e sentidos indicados na figura. No
instante t0, o móvel A está posicionado em A0 e o móvel B em B0.
Adotando-se o ponto O como origem dos espaços e o instante t0
como origem dos tempos, determine
s(m) 2,0 5,0 8,0 11,0 14,0 17,0
t(s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
tempo (s) 1,0 2,0 4,0 y
espaço (m) 2,0 x 11,0 17,0
2) a profundidade h é dada por:
h = x V
A divisão do tempo �t por 2 se justifica porque no intervalo de
tempo �t o sinal sonoro percorreu uma distância 2h
correspondente a ida do sinal e a volta do eco.
h = . 1450 (m)
h = 2900m ⇒
Resposta: B
7. As fossas oceânicas são as regiões mais profundas dos oceanos.
Imagine uma ecossonda colocada na zona da fossa de Porto Rico
e que emite um sinal sonoro. Quantos segundos decorrem até a
recepção do seu eco? 
a) 6,0s b) 8,0s c) 9,0s d) 11,9s e) 12,4s
Resolução
De acordo com a tabela, na Fossa de Porto Rico o Oceano Atlân -
tico tem uma profundidade h = 8648m
De acordo com a relação dada, temos:
h = x V
8648 = . 1450
�t = (s) ⇒
Resposta: D
8. Complete com superior ou inferior, de modo a obter afirmações
verdadeiras.
O tempo decorrido entre a emissão de um sinal sonoro e a recep -
ção do eco de uma sonda colocada na Fossa das Marianas é
1. _________ ao triplo do tempo decorrido na Fossa do Mar Jônico;
2. _________ ao dobro do tempo decorrido em Litke Deep;
3. _________ ao dobro do tempo decorrido na Fossa Sandwich do
Sul.
lacuna 1 lacuna 2 lacuna 3
a) inferior – inferior – inferior
b) inferior – superior – superior
c) superior – superior – inferior
d) superior – inferior – superior
e) inferior – igual – inferior
Resolução
�t = = = (s)
1) Fossa das Marianas: �t1 = (s) � 15,1s
Fossa do Mar Jônico: �t2 = (s) = 7,06s
(inferior)
2) Fossa das Marianas: �t1 � 15,1s
Litke Deep: �t3 = (s) = 7,53s
(igual)
3) Fossa das Marianas: �t1 � 15,1s
Fossa Sandwich do Sul: �t4 = (s) = 9,98s
(inferior)
Resposta: E
�t1 < 2 �t4
7235
––––––
725
�t1 � 2 �t3
5462
––––––
725
�t1< 3 �t2
5121
–––––
725
10924
––––––
725
h
––––
725
2h
–––––
1450
2h
–––
V
�t � 11,9s
17296
––––––
1450
�t
–––
2
�t
–––
2
Oceano/Mar Antártico Ártico Atlântico 
Profundidade 7235m 5462m 8648m 
Localização 
Fossa 
Sandwich do Sul 
Litke Deep,
Bacia Eurásia
Fossa de 
Porto Rico 
Oceano/Mar Índico Pacífico Mar 
Mediterrâneo 
Profundidade 7725m 10924m 5121m 
Localização Fossa de Java Fossa 
das Marianas 
Fossa do Mar
Jônico 
h = 2,9km
4
–––
2
�t
–––
2
40
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 40
a) as equações horárias para os movimentos de A e B.
b) a distância entre os móveis A e B no instante t1 = 10,0s.
12. Um carro descreve uma trajetória retilínea com movimento uni -
forme.
No instante t1 = 10,0s, a posição do carro é definida por um
espaço s1 = 250m.
No instante t2 = 20,0s, a posição do carro é definida por um
espaço s2 = 450m.
Determine
a) a velocidade escalar do carro em km/h.
b) a posição do carro na origem dos tempos (t = 0).
13. Um vestibulando sai de sua casa e caminha até o local das provas,
dando um passo por segundo, em média. O tamanho médio do
seu passo é de 0,7m. Ele demora 18 minutos no per curso. A
distância entre a sua casa e o local das pro vas é de
a) 554m b) 650m c) 756m
d) 842m e) 859m
14. Na figura a seguir, as duas sequências de pontos indi cam as posi -
ções, ao longo do plano da figura, ocupa das pelos móveis M e N
em instantes intervalados de 0,10s. M e N movimentam-se
somente da esquerda para a direita. 
Sabe-se que cada quadradinho, na figura, tem lado re presentando
uma distância de 1,0cm e que os movi mentos de M e N são
uniformes.
Admita que
(1) a primeira foto corresponda à origem dos tempos (t = 0);
(2) a origem dos espaços corresponda à posição do mó vel M na
quinta foto e do móvel N na sétima foto;
(3) as trajetórias estejam orientadas da esquerda para a direita.
Pedem-se
a) as velocidades escalares dos móveis M eN.
b) as equações horárias dos espaços para os móveis M e N.
15. Define-se “ano-luz” como sendo a distância que a luz percorre no
vácuo em 1 ano.
A velocidade da luz no vácuo tem módulo c = 3,0 . 108 m/s e a
duração do ano é T = 3,2 . 107 s
a) Determine a relação entre ano-luz e metro.
b) Determine em minutos-luz a distância entre a Terra e o Sol,
sabendo-se que essa distância é de 1,5 . 1011m
16. (UFCG) – Um carro percorre uma estrada com velocidade escalar
constante de 120km/h. O motor do carro tem um rendimento de
1,6km/�, e o tanque só comporta 60 litros de combustível. Su -
pondo-se que o carro inicie o percurso com o tanque cheio, o
tempo necessário, para que, a essa velocidade, todo o com bus -
tível seja consumido é:
a) 0,5h b) 0,8h c) 1,0h d) 2,0h e) 2,5h
17. (FUVEST) – Um automóvel e um ônibus tra fe gam em uma es -
trada plana, mantendo velocidades constantes com módulos em
torno de 100km/h e 75km/h, respec ti vamente. Os dois veículos
pas sam lado a lado em um posto de pedágio. Quarenta minutos
(2/3 de hora) depois, nessa mesma estrada, o moto rista do ônibus
vê o automóvel ultrapassá-lo. Ele su põe, então, que o automóvel
deve ter realizado, nesse período, uma parada com duração
aproximada de
a) 4 minutos b) 7 minutos c) 10 minutos
d) 15 minutos e) 25 minutos
18. Um técnico em balística pretende determinar o módulo da velo -
cidade de um projétil disparado por um rifle. Para tanto, o técnico
faz um disparo contra uma árvore que se encontra a 170m do local
de onde foi acionado o rifle.
O técnico usou um detector de som que registrou o instante do
disparo t1 e o instante t2 em que o som do impacto da bala contra
a árvore foi captado. O inter valo de tempo entre t2 e t1 é de 1,35s.
A velocidade com que o som se propaga no ar, no local da
experiência, tem módulo igual a 340m/s. O efeito da gravidade
sobre o projétil deve ser desprezado de modo que a velocidade do
projétil possa ser suposta constante.
A partir da experiência, o técnico encontrou para o módulo da
velocidade do projétil o valor:
a) 100m/s b) 200m/s c) 250m/s
d) 300m/s e) 400m/s
19. (UFSCar-MODELO ENEM) – Os relâmpagos são descargas
elétricas que cortam o céu antes ou durante as tempestades. A
eletricidade liberada por um relâmpago de meio segundo de
duração é equivalente à potência de cerca de cem milhões de
lâmpadas comuns. Essa energia liberada aquece o ar, provocando
ondas de pressão denominadas trovões. Nós vemos primeiro o
relâmpago e algum tempo depois ouvimos o trovão porque a luz e
o som se propa gam com velocidades bastante diferentes.
Enquanto a luz se propaga com a velocidade de 300 mil quilômetros
por segundo, a velocidade do som no ar é cerca de 330 metros por
segundo. Essa diferença entre as velocidades permite-nos calcular
a distância entre o relâmpago e o lugar em que estamos. Assinale
a alternativa que apresenta a expressão do cálculo da distância
aproximada – d (em quilômetros) considerando-se o intervalo de
tempo �t (em segun dos) entre a visão do relâmpago e a audição do
trovão.
a) d = (330�t) b) d = c) d = 
d) d = (300 000�t) e) d = 
20. (EFOMM-MODELO ENEM) – O sistema G.P.S. (Global Positioning
System) per mite localizar um receptor em qualquer lugar da Terra
por meio de si nais emitidos por satélites simultanea men te. A
figura mostra uma situação na qual os satélites A e B emitem
sinais para um recep tor R localizado na reta AB, tangente à
superfície da Terra no ponto O, onde 
—
AO = 4 
—
OB.
Os sinais provenientes de A e B são emitidos com a velo cidade
da luz no vácuo cujo módulo é de 3,0 . 105km/s e atingem o recep -
tor R em 4,0 . 10–2s e 6,0 . 10–2s, respec tivamente. 
A distância entre o satélite A e o ponto O é 
a) 1,4 . 104km b) 1,8 . 104km c) 2,4 . 104km
d) 1,0 . 105km e) 1,2 . 106km
(FUVEST-MODELO ENEM) – Texto para as questões de 21 e
22.
Em uma caminhada, um jovem consome 1 litro de O2 por minuto,
quantidade exigida por rea ções que fornecem a seu organismo
20kJ/minuto (ou 5 “calorias dietéticas”/minuto). Em dado mo -
mento, o jovem passa a correr, voltando depois a ca minhar.
O gráfico representa seu consumo de oxigênio em fun ção do
tempo.
�t�––––�330
�t�–––�3
�t�–––––––––�300 000
41
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 41
24. (MODELO ENEM) – Em uma rua escura, está acesa uma única
lâmpada L a uma altura H do solo horizontal.
Uma pessoa de altura h caminha em trajetória re ti lí nea com
velocidade constante de módulo V, em relação ao solo.
Seja S a sombra de sua cabeça projetada no solo.
A velocidade de S, em relação ao solo, tem módulo
a) variável. b) igual a V. c) igual a V. 
d) igual a V. e) igual a V.
Resolução
Tomando o ponto A como origem dos espaços e orientando a
trajetória de A para S, temos:
AB
—–
= espaço no movimento da pessoa: sP
AS
—–
= espaço no movimento da sombra da cabeça: sS
Da semelhança dos triângulos ALS e BCS, vem:
—– —– —– —– 
Porém : LA = H; CB = h; AS = sS; BS = sS – sP
H sSPortanto : —– = —–——
h sS – sP
H (sS – sP) = h sS
H sS – Hsp = hsS
sS (H – h) = HsP
H
sS = —––– sPH – h
Dividindo-se os dois membros pelo intervalo de tempo �t, vem:
Resposta: B
25. Um trem de comprimento 300m tem velocidade escalar cons tan -
 te de 108km/h.
Qual o intervalo de tempo para o trem
a) passar diante de um observador parado à beira da estrada.
b) passar por um túnel de comprimento 600m.
Resolução
a)
Para passar diante de um observador parado à beira da
estrada, o trem deve percorrer uma distância igual ao seu
H
Vs = —––— V
H – h
––– –––
LA AS
––––– = ––––––––– –––
CB BS
(H – h)
———
H
H
—
h
H
———
H – h
42
21. Por ter corrido, o jovem utilizou uma quantidade de ener gia a
mais, do que se tivesse apenas caminhado durante todo o tempo,
aproximadamente, de:
a) 10kJ b) 21kJ c) 200kJ d) 420kJ e) 480kJ
22. (MODELO ENEM) – Entre os instantes t1 = 3min e t2 = 12min, o
jovem correu com velocidade escalar constante V percorrendo
100m para cada litro de oxigênio consumido.
O valor de V em km/h é:
a) 2,0 b) 3,6 c) 7,2
d) 10,0 e) 12,0
23. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA-MODELO ENEM) – Para
manter a se gu rança na estrada, recomenda-se que as velocidades
dos veículos sejam tais que a distância entre um e outro seja
vencida em no mínimo dois segundos. Considere uma situação
ideal em que todos os motoristas respeitam esta recomendação,
que os carros seguem em uma única fila a uma distância segura,
que o tamanho dos automóveis sejam desconsiderados e que a
velocidade dos veículos, 72km/h (20m/s), seja a máxima permitida
para esta rodovia. Mantendo-se a recomendação de segurança,
se a velocidade máxima permitida for alterada para 144km/h
(40m/s), é correto afirmar que o fluxo de veículos (número de
veículos que chegam ao destino por hora) _______, que a distância
entre eles na rodovia ________ e que o tempo de percurso fique
_________.
As expressões que completam corretamente as lacunas são,
respectivamente:
a) não mude; não mude; reduzido à metade 
b) dobre; dobre; reduzido à metade 
c) dobre; não mude; o mesmo
d) dobre; não mude; reduzido à metade
e) não mude; dobre; reduzido à metade
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 42
próprio com pri mento, pois o início da passagem começa
quando a dianteira D estiver à frente do observador e termina
quando a traseira T es ti ver à frente do observador.
�s = 300m; V = 108km/h = m/s = 30,0m/s
V = ⇒ �t1 = = (s) ⇒
b)
Para passar por um túnel, o trem deve percorrrer uma
distância que é igual à soma de seu comprimento (300m) com
o com pri mento do túnel (600m), pois o início da passagem
começa quan do a dianteira D estiver no início do túnel e
termina quando a tra seira T estiver no fim do túnel. 
Observe na figura que o ponto T percorre uma distância de
900m.
V = ⇒ �t2 = = (s) ⇒
Respostas: a) 10,0s 
b) 30,0s
26. De dois pontos, A e B, partem simultaneamente dois móveis, P1
e P2, com velocidades cons tan tes, em sentidos contrá rios, com
valores absolutos iguais a V1 e V2, respectivamente,e sobre uma
mesma reta. Sendo d a distância entre A e B, calcule
a) o tempo decorrido até o encontro;
b) a posição do ponto de encontro.
Resolução
a) Adotemos o ponto A como origem dos espaços e o instante
de partida dos móveis como origem dos tempos. Orien temos
a trajetória de A para B.
Montemos as funções horárias para os movimentos de P1 e
P2. Como as velocidades escalares são constantes não nulas,
os mo vimentos são uniformes e, consequentemente, as fun -
ções horárias são da forma:
s = s0 + vt
Móvel P1: s0 = 0 (parte da origem A)
V = + V1 (movimento progressivo: de A para B)
Logo: s1 = 0 + V1t ou
Móvel P2: s0 = + d (distância do ponto B à origem A)
V = –V2 (movimento retrógrado: de B para A) 
Logo:
O instante de encontro (te) é obtido observando-se que, no mo -
men to do encontro, os móveis ocupam a mesma posição e, por -
tanto, têm espaços iguais.
Assim: t = tE ⇒ s1 = s2 = sE
Então: V1tE = d – V2tE ⇒
b) A posição de encontro, definida pelo espaço sE, é obtida fa -
zendo-se t = tE na função horária de um dos mo vi mentos.
Escolhendo-se a expressão de s1: 
t = tE = ⇒ s1 = sE
Assim: sE = V1 . ou 
Respostas: a)
b) O ponto de encontro está a uma distância do
ponto A igual a dV1 / V1 + V2
27. De um mesmo ponto A partem dois pontos materiais, P1 e P2, ca -
minhando sobre uma mesma trajetória com velocidades esca lares
constantes V1 = 15m/s e V2 = 20m/s, respectivamente.
Sabendo-se que o móvel P2 parte 10s após a partida de P1, de -
termine
a) o intervalo de tempo decorrido desde a partida de P1 até o
encontro dos dois móveis;
b) a distância percorrida pelos móveis desde a partida até o
encontro.
Resolução
Tomemos o ponto A como origem dos espaços e o instante de
partida do móvel P1 como origem dos tempos. Oriente mos a tra -
jetória no sentido dos movimentos de P1 e P2.
Como as velocidades escalares de P1 e P2 são constantes (não
nulas), seus movimentos são uniformes e as funções horárias são
da forma:
s = s0 + Vt
P1 : s0 = 0 � ⇒ s1 = 0 + 15t ⇒ (SI)
V = V1 = 15m/s
Uma vez que o móvel P2 parte 10s atrasado em relação a P1, sen -
do t segundos o tempo de trajeto de P1, o tempo de trajeto de P2
é igual a (t – 10) segundos.
Assim:
P2 : s0 = 0 s2 = 0 + 20(t – 10)
�V = V2 = 20m/s ⇒ (SI)
a) No instante de encontro t = tE, os móveis estão na mesma po -
si ção, portanto, seus espaços são iguais.
t = tE ⇒ s1 = s2
Assim: 15tE = 20(tE – 10) 
ou 3,0 tE = 4,0 te – 40
Finalmente:
O encontro realizou-se 40s após a partida de P1 ou 30s após a
partida de P2.
tE = 40s
s2 = 20(t – 10)
s1 = 15t
d
–––––––––
V1 + V2
d
–––––––––
V1 + V2
V1d
sE = ——––— 
V1 + V2
d
–––––––––
V1 + V2
d
tE = ––––––––
V1 + V2
s2 = d – V2t
s1 = V1t
�s2–––
�t2
�s2–––
V
900
––––
30,0
�t2 = 30,0s
�t1 = 10,0s
300
––––
30,0
�s1–––
V
�s1–––
�t1
108
––––
3,6
43
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 06/07/12 09:44 Página 43
b) Para obtermos as distâncias percorridas pelos móveis, desde
a partida até o instante de encontro, basta multi pli car mos a
sua velocidade escalar pelo tempo de trajeto até o encontro.
Assim: d = V . �tE
P1 : d1 = V1 �t1 = 15 . 40 (m) ⇒ d1 = 6,0 . 102m
P2 : d2 = V2 �t2 = 20 . 30 (m) ⇒ d2 = 6,0 . 102m
Como era de se esperar, estas distâncias são iguais, pois os
móveis partem do mesmo ponto A. 
Respostas: a) 40s
b) 6,0 . 102m
28. Dois mó veis, A e B, des cre vem uma mes ma tra je tória re ti lí nea e
suas co or denadas de po si ção va riam com o tem po, con for me o
grá fi co a seguir.
Determine
a) as velocidades es ca lares de A e B.
b) as equações horá rias dos espaços pa ra os movi men tos de A e
B.
c) o instante de en con tro dos mó veis.
d) a coordenada do ponto de encontro dos móveis.
Resolução
a) V = 
VA = (m/s) = –10,0m/s
VB = (m/s) = 20,0m/s
b) x = x0 + Vt
xA = 1000 – 10,0 t (SI) e xB = 100 + 20,0 t (SI)
c) xB = xA ⇒ 100 + 20,0 tE = 1000 – 10,0 tE
30,0 tE = 900 ⇒
d) xA = xE � xE = 1000 – 10,0 . 30,0 (m) ⇒
t = tE = 30,0s 
Respostas: a) VA = – 10,0m/s e VB = 20,0m/s
b) xA = 1000 – 10,0t (SI)
xB = 100 + 20,0t (SI)
c) tE = 30,0s
d) xE = 700m
29. (MODELO ENEM) – Eduardo foi com seu cachorro ao super mer -
cado. O cachorro tem uma coleira com uma guia com um extenso
fio.
Na impossibilidade de entrar no supermercado com seu cachorro,
Eduardo amarra a extremidade do fio em um poste e vai fazer
compras.
O cachorro, inicialmente parado junto ao poste, corre com velo -
cidade constante, em linha reta, afastando-se do poste até o fio
ficar completamente esticado.
Em seguida, o cachorro descreve uma trajetória circular em torno
do poste com o fio esticado em seu comprimento máximo e sem
enrolar no poste.
Depois de um certo tempo, já muito cansado, o cão se dirige
lentamente rumo ao poste, com velocidade constante, em linha
reta, parando junto ao poste.
Despreze o intervalo de tempo gasto pelo cão para acelerar e para
frear.
Assinale a opção que representa como a distância d entre o cão e
o poste varia com o tempo t
Resolução
1) Inicialmente o cão se afasta do poste com velocidade cons -
tante (movimento uniforme). A distância d cresce com o tem -
po t e o gráfico da função d = f(t) é um segmento de reta
crescente a partir da origem. O ângulo � é função crescente
da velocidade do cão.
2) Quando o cão descreve uma trajetória circular em torno do
poste, a distância d permanece constante e o gráfico da fun -
ção d = f(t) será um segmento de reta paralela ao eixo dos
tempos.
3) Quando o cão volta a se aproximar do poste com velocidade
cons tante, a função d = f(t) passa a ser um segmento de reta
com d decrescente e como o ângulo � é função crescente da
velocidade do cão e este está cansado, a sua velocidade é
menor e resulta � < �.
Resposta: D
xE = 700m
tE = 30,0s
 400
––––
20,0
– 200
–––––
20,0
�x
–––
�t
44
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 44
45
30. O gráfico a seguir representa o espaço em função do tempo para
o movimento de uma bicicleta.
Podemos afirmar que
a) a trajetória da bicicleta é retilínea.
b) a velocidade escalar da bicicleta é crescente.
c) o espaço inicial vale 10,0m.
d) a bicicleta passa pela origem dos espaços no instante t = 2,0s.
e) o movimento é uniforme e retrógrado.
31. (FUVEST) – Uma composição ferroviária com 19 va gões e uma
locomotiva desloca-se a 20m/s (velo ci dade escalar constante).
Sendo 10m o comprimento de cada elemento da composição,
qual é o intervalo de tempo que o trem gasta para ultrapassar
a) um sinaleiro?
b) uma ponte de 100m de comprimento?
32. Duas bicicletas, A e B, descrevem uma mesma trajetória retilínea
com movimentos uniformes.
A distância inicial entre as bicicletas é de 500m e suas veloci -
dades escalares têm módulos �VA� = 4,0m/s e �VB� = 6,0m/s.
Oriente a trajetória de A0 para B0 e adote a posição inicial de A
como origem dos espaços.
Pedem-se
a) as equações horárias dos espaços para os movimentos de A e
B.
b) o instante de encontro TE.
c) a posição dE do ponto de encontro.
d) os gráficos espaço x tempo para os movimentos de A e B.
33. (VUNESP) – O gráfico velocidade es calar x tem po repre -
senta uma viagem de automóvel de São Pau lo a Curitiba que
durou 6,0 horas, com uma parada de 30 minutos em Registro.
A velocidade escalar média do automóvel, nesta via gem, em
km/h, foi de, aproximadamente,
a) 19 b) 21 c) 68 d) 75 e) 80
34. Considere um trilho retilíneo tal que em uma das extremidades
está o ouvido de uma pessoa. Na outra extremidade, é dada uma
martelada.
O som produzido pela martelada se propaga no ar com velocidade
de módulo V1 e, no trilho, com velocidade de módulo V2, sendo 
V2 > V1.
A pessoa ouve os dois sons separados por um intervalo de tempo
T.
O comprimento L do trilho é dado por
a) L = b) L = 
c) L = d) L = 
e) L = 
35. Dois carros, A e B, em movimentos uniformes têm velocidades
escalares VA = 30,0m/s e VB = 20,0m/s e estão separados por
uma distância de 200m no instante t = 0.
Os carros descrevem trajetórias retilíneas e paralelas e são
assimila dos a pontos materiais.
Considere a posição inicial de A comoorigem dos espaços.
Pedem-se
a) as equações horárias para os movimentos de A e B.
b) o instante TE em que os carros estarão lado a lado.
c) o instante T em que o carro A estará 200m à frente do carro
B.
d) os gráficos espaço x tempo para os dois móveis no intervalo
de tempo entre t = 0 e t = T.
36. (FMTM-MG) – Na figura, estão represen tados, num plano
carte siano, os gráficos posição x tempo do movimento de dois
móveis, A e B, que percorrem uma mesma reta.
2V1V2T
––––––––
V2 – V1
�			V1V2 T––––––––––
V2 – V1
2V1V2T
––––––––
V2 + V1
V1V2T
–––––––
V2 – V1
V1V2T
––––––––
V2 + V1
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 45
Se esses móveis se mantiverem em movimento com as mesmas
carac terísticas, durante o tempo sufi cien te, eles deverão cruzar-se
no instante e na posição iguais, respectivamente, a
a) 10s; 200m. b) 10s; 300m. c) 20s; 400m.
d) 25s; 400m. e) 20s; 200m.
37. Dois carros, A e B, descrevendo trajetórias retilíneas e paralelas
têm suas posições em função do tempo dadas pelo gráfico a
seguir.
Determine
a) as velocidades escalares de A e B.
b) as equações horárias para os movimentos de A e B.
c) o instante TE em que os carros se encontram.
d) a posição sE em que os carros se encontram.
38. (FUNREI-RJ-MODELO ENEM) – Para decidir quem é o me lhor
piloto, Rubens Bar ri chello e Ricardo Zonta re solveram disputar
entre si uma prova de auto mobilismo em que os carros de ambos
eram exa tamente iguais. O circuito utilizado foi dividido em quatro
trechos, I, II, III e IV, e as distâncias percor ridas pelos pilotos em
função do tempo estão repre sentadas no gráfico a seguir.
Podemos dizer que, no circuito, Barrichello foi mais rápido que
Zonta nos trechos
a) III e IV. b) II e IV. c) II e III.
d) II, III e IV. e) I e IV.
39. (MODELO ENEM) – Uma caixa de papelão vazia, transportada na
carro ceria de um caminhão que trafega a 90km/h, num trecho reto
de uma estrada, é atravessada por uma bala perdida, como
mostra a figura. 
A largura da caixa é de 2,0m, a distância entre as retas per pendi -
culares às duas la terais perfuradas da caixa e que passam,
respectivamente, pelos orifí cios de entrada e de saída da bala
(ambos na mes ma altura) é de 20cm.
Suponha que a direção do disparo seja perpen di cular às laterais
per fu radas da caixa e ao des loca men to do caminhão e, também,
que o atira dor estava para do na es trada. Considere o mo vi men to
da bala reti líneo e uniforme. A veloci da de da bala tem mó dulo
igual a:
a) 90km/h b) 200km/h c) 400km/h
d) 450km/h e) 900km/h
40. (MODELO ENEM) – Uma pessoa se encontra a uma distância D
de uma parede.
A pessoa dá um grito e o som sofre reflexão na parede e retorna
à posição onde se encontra a pessoa.
O gráfico a seguir representa a distância d da frente de onda
sonora até a posição da pessoa em função do tempo t.
A distância D e o módulo da velocidade do som V são dados por:
a) D = 67,0m e V = 335m/s b) D = 3,35m e V = 33,5m/s
c) D = 33,5m e V = 335m/s d) D = 6,7m e V = 33,5m/s
e) D = 335m e V = 770m/s
41. (MODELO ENEM) – Uma pessoa está caminhando em marcha
moderada com ritmo de passadas constante e a distância
percorrida d varia com o tempo t segundo um dos gráficos a
seguir, durante um período de 30min.
Você deve saber avaliar o valor da velocidade de uma pessoa a
caminhar e escolher qual das opções poderá representar a função
d = f(t)
46
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 46
42. (VUNESP) – Dois amigos, correndo sobre uma mesma pista reti -
línea e em sentidos opostos, avistam-se quando a distância que
os separa é de 150 metros. Um está correndo com velocidade es -
calar constante de 5,0m/s e o outro com velocidade escalar cons -
tante de –7,5m/s. Que distância cada um percorrerá, desde o ins -
tan te em que se avistam até o instante em que um passa pelo
outro?
Resolução
1) Vrel = |V1| + |V2| = 12,5m/s
2) Vrel = ⇒ 12,5 = ⇒
3) d = |V| �t
d1 = 5,0 . 12,0 (m) ⇒
d2 = 7,5 . 12,0 (m) ⇒
Resposta: 60m e 90m
43. (PUC-PR) – Há um serviço de ônibus entre as cidades de Irati e
Cu ritiba, distantes 180km. A cada hora um ônibus sai da primeira
para a segunda cidade, trafegando com velocidade escalar cons -
tante de módulo 60km/h. Se você viajar de automóvel com ve -
locidade escalar constante de módulo 60km/h, haverá cruza -
mentos com os ônibus que trafegam em sentido contrário. O in -
tervalo de tempo entre dois cruzamentos sucessivos é:
a) 10min b) 15min c) 30 min d) 45min e) 1,0h 
Resolução
1) Vrel = |V1| + |V2| = 120km/h
2)
Como os ônibus saem de hora em hora, com velocidade es ca -
lar de 60km/h, a distância entre ônibus sucessivos é de 60km.
Vrel = ⇒ �t = = (h)
Resposta: C
44. (FUVEST-MODELO ENEM) – Um homem correndo ultrapassa
uma composição ferroviária, com 100 metros de comprimento,
que se move va ga rosamente no mesmo sentido. A velocidade
escalar do homem é o dobro da velocidade escalar do trem. Em
relação à Terra, qual a distância per corrida pelo homem, desde o
instante em que alcan ça a composição até o instante em que a
ultrapassa?
a) 50m b) 100m c) 150m 
d) 200m e) 250m 
Resolução
1) Vrel = ⇒ V = ⇒
2) �sH = VH . �t
�sH = 2V . (m) ⇒
Resposta: D
45. Dois trens, A e B, têm mesmo comprimento de 150m e estão
cami nhando com velocidades constantes de intensidades 
| VA | = 36,0km/h e | VB | = 72,0km/h, em sentidos contrários.
Calcule
a) a duração do cruzamento entre os trens.
b) a distância que cada trem percorreu, em relação aos trilhos,
durante o cruzamento.
Resolução
�sH = 200m
100
——
V
100
T = ——
V
100
——
T
�s
——
�t
�t = 0,50h = 30min
60
––––
120
�s
––––
Vrel
�s
–––
�t
d2 = 90m
d1 = 60m
�t = 12,0s
150
––––
�t
�s
–––
�t
47
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 47
a) Vrel = | VA | + | VB | = 108km/h = 30,0m/s
Vrel = ⇒ �t = = ⇒
b) �s = Vt
| �sA | = 10,0 . 10,0 (m) ⇒
| �sB | = 20,0 . 10,0 (m) ⇒
Respostas: a) 10,0s
b) 100m e 200m
46. (PUCC) – Dois corredores percorrem uma pista circular de com -
pri mento 600m, partindo do mesmo ponto e no mesmo instante.
Se a percorrerem no mesmo sentido, o primeiro encontro entre
eles acontecerá depois de 5,0 minutos. Se a percorrerem em
sentidos opostos, o primeiro encontro ocorrerá 1,0 minuto após a
partida. Admitindo-se constantes as velo cidades escalares dos
cor redores, em módulo e em m/s, seus valores serão, respec tiva -
mente,
a) 5,0 e 5,0 b) 6,0 e 4,0 c) 8,0 e 6,0
d) 10,0 e 5,0 e) 12,0 e 6,0
Resolução
1) mesmo sentido: Vrel = V2 – V1
= V2 – V1
V2 – V1 = (m/s) = 2,00m/s (1)
2) sentidos opostos: Vrel = V2 + V1
= V2 + V1
V2 + V1 = (m/s) = 10,0m/s (2)
(1) + (2): 2V2 = 12,0 ⇒
Em (2): 6,0 + V1 = 10,0 ⇒
Resposta: B
47. (PISA-MODELO ENEM) – A fotografia abaixo é de esteiras ro -
lantes.
O gráfico distância-tempo, apresentado abaixo, permite comparar
a marcha em cima da esteira rolante com a marcha ao lado da
esteira rolante.
Supondo-se que, nesse gráfico, a velocidade com que as duas
pes soas andam é aproximadamente a mesma, acrescente ao
gráfico uma semirreta (indicada pela letra C) que corresponda a
uma pessoa que permaneça imóvel na esteira rolante.
A velocidade da esteira é maior que a da pessoa.
Resolução
Quando a velocidade escalar é constante (movimento uniforme),
o gráfico da distância percorrida em função do tempo será uma
semirreta que passa pela origem e a inclinação da semirreta � é
função crescente da velocidade, isto é, quanto maior � maior será
a respectiva velocidade.
Quando a pessoa se desloca com
velocidade constante de módulo
V1, no solo, o ângulo � assume
um valor �1.
Quando a pessoa caminha para
frente na esteira rolante ( que tem
velocidade constante de módulo
V2 em relação ao solo) com velo -
cidade constante de módulo V1, 
em relação à esteira, sua velocidade em relação ao solo terá
módulo V3 dado por
Como V3 > V1 o ângulo �, relativo à velocidade V3, terá um valor
�3 tal que �3 > �1.
Se a pessoa ficar parada em relação à esteira, sua velocidade rela -
tiva ao solo terá módulo V2 (igual à velocidade da esteira) tal que:
O ângulo�, referente à pessoa parada na esteira, assume um
valor �2 tal que:
Resposta: C
�1 < �2 < �3
V1 < V2 < V3
V3 = V1 + V2
V1 = 4,0m/s
V2 = 6,0m/s
600
—––
60
C
—–
TE
’
600
—––
300
C
—–
TE
| �sB | = 200m
| �sA | = 100m
�t = 10,0s
300
—–— (s)
30,0
�s
——
Vrel
�s
——
�t
48
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 48
48. (VUNESP) – Uma composição ferroviária de 200m de com pri -
mento, viajando a uma velocidade constante de módulo 
54 km/h, cruza com outra que viaja a 18 km/h, constante também,
no sentido con trário. O cruzamento completo dura 18 s. O com -
pri mento da segunda composição é, em metros, de
a) 1498 b) 1096 c) 448 d) 160 e) 80
49. (UFAM) – Dois trens, A e B, se deslocam sobre trilhos retilíneos
e para lelos com velocidades escalares constantes VA = 30m/s e
VB = 20m/s. O trem A mede 140m e demora 30 segundos para
ultrapassar o trem B quando ambos se movimentam no mesmo
sentido. O comprimento do trem B em metros vale:
a) 100m b) 120m c) 150m d) 160m e) 220m
50. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Numa corrida inter -
nacional de atletismo, o atleta brasi leiro estava 25m atrás do
favorito, o queniano Paul Tergat, quando, no fim da corrida, o
brasileiro reage, imprimindo uma velocidade escalar constante de
8,0m/s, ultra pas sando Tergat e vencendo a prova com uma
vantagem de 75m. Admi tindo-se que a velocidade escalar de
Tergat se manteve constante e igual a 5,5m/s, calcule qual o
intervalo de tempo decorrido desde o instante em que o brasileiro
reagiu, até o ins tante em que cruzou a linha de chegada.
Admita que ambos descrevem trajetórias retilíneas e paralelas.
51. (FUVEST) – Dois carros percorrem uma pista cir cu lar, de raio R,
no mesmo sentido, com velocida des de módulos constantes e
iguais a V e 3V. O tem po decorrido entre encontros sucessivos
vale
a) πR/3V b) 2πR/3V c) πR/V
d) 2πR/V e) 3πR/V
52. Um trem de comprimento L se move lentamente com velocidade
constante de módulo V, em linha reta. Um atleta se desloca em
uma trajetória paralela à do trem com velocidade constante de
módulo 2V.
Durante a ultrapassagem do trem, o atleta percorre, em relação
ao solo terrestre, uma distância:
a) b) L c) 2L d) 3L
e) indeterminada em relação a L
53. Dois trens, A e B, têm comprimentos LA e LB e se movem em
trajetórias retas e paralelas com velo ci dades constantes de mó -
dulos VA e VB, sendo VA > VB.
Quando caminham no mesmo sentido, o trem A ultrapassa
completamente o trem B em um intervalo de tempo T1.
Quando caminham em sentidos opostos, os trens A e B gastam
um intervalo de tempo T2 para que ocorra a passagem completa
de um pelo outro (cruzamento).
Em função de LA, LB, T1 e T2, os valores de VA e VB são dados por
a) VA = e VB = 
b) VA = e VB =
c) VA = e VB =
d) VA = e VB =
e) VA = e VB = 
54. Dois automóveis, A e B, percorrem trajetórias retilíneas e paralelas
com velocidades escalares constantes VA = 80km/h e VB = 100km/h.
No instante t = 0, os carros estavam lado a lado e num instante 
t = T, o carro B está no km 200 e o carro A está no km 180.
Determine
a) o valor de T.
b) a posição em que os carros estavam lado a lado.
55. Dois atletas, A e B, percorrem uma pista circular de comprimento 
C = 400m com movimentos uniformes e velocidades escalares 
VA = 8,0m/s e VB = 6,0m/s.
No instante t1 = 0, os atletas A e B estão lado a lado, iniciando a
corrida.
O atleta A terá duas voltas de vantagem em relação a B no
instante:
a) t2 = 100s b) t2 = 200s c) t2 = 300s
d) t2 = 400s e) t2 = 500s
56. (VUNESP-MODELO ENEM) – Leia a tirinha a seguir.
Considerando-se as informações da tirinha e admitindo-se que a
sua velo cidade escalar e a do Sr. Jones sejam constantes, ou seja,
não se levando em conta os prováveis problemas de trânsito das
5 horas, o encontro entre vocês na estrada, suposta retilínea,
ocorreria às
a) 5h 20min b) 5h 30min c) 5h 40min 
d) 12h 40min e) 13h 
57. (MODELO ENEM) – Dois trens, A e B, ambos com velocidades
constan tes, de módulos iguais a 30km/h, percorrem a mesma
linha férrea retilínea, em sentidos opostos, indo um de encontro
ao outro.
Um pássaro que voa horizontalmente, em linha reta, parte do
trem A, rumo ao trem B, com trajetória paralela aos trilhos, no
instante em que a distância entre os trens era de 60km.
Quando o pássaro chega ao trem B, inverte o sentido de seu
movimento até retornar ao trem A, quando novamente inverte o
sentido de seu movi men to e assim sucessivamente até ser
esmagado com a colisão dos trens.
Despreze o tempo gasto pelo pássaro para inverter o sentido de sua
velocidade e admita que, nos tra jetos entre os trens, a velocidade do
pássaro tem módulo sempre constante e igual a 60km/h.
LA + LB––––––––
T2
LA + LB––––––––
T1
(LA + LB) (T1 + T2)
–––––––––––––––––
2T1T2
(LA + LB) (T1 – T2)
–––––––––––––––––
2T1T2
(LA + LB) (T1 + T2)
–––––––––––––––––
2T1T2
(LA + LB) (T1 – T2)
–––––––––––––––––
T1T2
(LA + LB) (T1 + T2)
–––––––––––––––––
T1T2
(LA + LB) (T1 – T2)
–––––––––––––––––
T1T2
LA + LB––––––––
T1
LA + LB––––––––
T2
L
––
2
49
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 49
A distância total percorrida pelo pássaro
a) não está determinada. b) vale 240km.
c) vale 120km. d) vale 60km.
e) vale 30km.
(PISA) – Texto para as questões de 58 a 60.
À VOLTA DA MONTANHA
Desde sempre que os textos de matemática incluem problemas
para os leitores resolverem. O problema seguinte é adaptado de
um problema de um livro de matemática de um autor chinês do
século V. O li é uma antiga unidade de medida de comprimento
chinesa. Cada li equivalia a, aproximadamente, 500 metros.
58. Uma estrada circular à volta de uma montanha tem 300 li de com -
primento. Três pessoas, A, B e C, percorrem a estrada. A pessoa
A caminha a 150 li por dia, a pessoa B, a 120 li por dia e a pessoa
C, a 90 li por dia. Se partirem todas do mesmo ponto, ao mesmo
tempo, e caminharem no mesmo sentido, ao fim de quantos dias
voltarão a encontrar-se no ponto de partida pela primeira vez?
a) 5d b) 8d c) 10d d) 12d e) 15d
59. Imagine que existisse uma quarta pessoa, D, que partisse do
mes mo ponto, ao mesmo tempo, caminhando por dia sempre a
mes ma distância, mas em sentido contrário. D encontraria C ao
fim de dois dias. 
A velocidade escalar de D medida em li por dia seria de:
a) 150 b) 90 c) 60 d) 40 e) 30
60. As pessoas B e D partindo juntas de uma mesma posição X, em
sentidos opostos, com as velocidades anteriormente citadas,
voltarão a se encontrar na mesma posição X após:
a) 2d b) 3d c)5d d) 6d e) 8d
50
9) a) 3,0m/s b) –1,0m
c) x = 5,0 d) y = 6,0
10) A 11) a) sA = 2,0 + 2,0t (SI)
sB = –1,0 – 1,0t (SI)
b) 33,0m
12) a) 72,0km/h 13) C
b) 50,0m
14) a) VM = ⇒
VN = ⇒
b) sM = –12,0 + 30,0t (CGS)
sN = –12,0 + 20,0t (CGS)
15) a) 1ano-luz = 9,6 . 1015m
b) 8,3 minutos-luz
16) B 17) C 18) B 19) B 20) C
21) C 22) E 23) E 30) D
31) a) 10s 32) a) sA = 4,0t (SI)
b) 15s sB = 500 – 6,0t (SI)
b) tE = 50,0s
c) dE = 200m
d)
33) C 34) D
35) a) sA = 30,0t (SI) b) TE = 20,0s
sB = 200 + 20,0t (SI) c) T = 40,0s
d)
36) A 37) a) VA = 20,0m/s e VB = –30,0m/s
b) sA = –200 + 20,0t (SI)
sB = 400 – 30,0t (SI)
c) TE = 12,0s
d) sE = 40,0m
38) C 39) E 40) C 41) D
48) D 49) D 50) 40s 51) C 52) C
53) D 54) a) T = 1,0h 55) D 56) C
b) km 100
57) D 58) C 59) C 60) C
VN = 20,0cm/s
2,0cm
––––––
0,10s
VM = 30,0cm/s
3,0cm
––––––
0,10s
P1_Livro1_Cinematica_Alelex_1a118 05/07/12 09:00 Página 50