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SISTEMA DE ENSINO
RACIOCÍNIO 
LÓGICO
Raciocínio Lógico
Livro Eletrônico
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Raciocínio Lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
Sumário
Apresentação .....................................................................................................................................................................4
Raciocínio Lógico .............................................................................................................................................................6
1. Questões com Associação, Correlacionamento, Sequências e Deduzir Novas 
Informações .........................................................................................................................................................................6
2. Questões com Verdades e Mentiras .............................................................................................................25
Questões com Uma Contradição (Método da Contradição)..................................................................26
Questões com Experimentação ( Método da Experimentação) ......................................................... 28
3. Questões com Raciocínio Espacial (Figuras), Sequencial e Temporal .....................................47
4. Questões com Sequências e Figuras............................................................................................................55
Sucessões ou Sequências ........................................................................................................................................55
Representação de Uma Sequência ......................................................................................................................56
Lei de Formação de Uma Sequência ...................................................................................................................57
Sequências Numéricas...............................................................................................................................................62
5. Questões com Aplicação de Múltiplos (Datas) ...................................................................................... 73
6. Diagramas Lógicos e Lógica de Argumentação ..................................................................................... 79
Tabelas-verdade – Veritativas ..............................................................................................................................80
7. Negação de Proposições .................................................................................................................................... 111
Negação de Proposições Compostas ............................................................................................................... 111
Proposições Logicamente Equivalentes .......................................................................................................123
8. Diagramas Lógicos ...............................................................................................................................................142
Fundamentação Teórica ..........................................................................................................................................142
Particular Negativo: Algum A não é B ............................................................................................................145
Universal Afirmativo: Todo A é B .......................................................................................................................146
Negação dos Quantificadores Lógicos ..........................................................................................................157
9. Lógica de Argumentação: Analogias, Inferências, Deduções e Conclusões .......................163
Argumento Lógico ......................................................................................................................................................163
10. Raciocínio Matemático ..................................................................................................................................... 172
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Razão ..................................................................................................................................................................................172
Proporção ........................................................................................................................................................................175
Divisão Diretamente Proporcional ...................................................................................................................177
Regra de Três (Simples) ..........................................................................................................................................184
Porcentagem .................................................................................................................................................................190
Operações com Conjuntos .....................................................................................................................................203
MMC e MDC ................................................................................................................................................................... 225
Questões de Concurso ............................................................................................................................................233
Gabarito ........................................................................................................................................................................... 243
Gabarito Comentado ................................................................................................................................................244
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ApresentAção
Olá, pessoal, tudo bem? Sou o professor e autor Josimar Padilha e é com grande alegria que te-
nho o privilégio de compartilhar esse momento importantíssimo com você, que pretende ingressar 
no serviço público. Já tenho mais de 20 anos de experiência em aulas presenciais e mais de 10 anos 
em aulas online, possuo mais de três obras escritas, dentre elas podemos citar: Raciocínio Lógico 
Matemático - Fundamentos e Métodos Práticos, Editora Juspodivm- 2021- 4ª Edição; Mais de 400 
Questões Comentadas de Raciocínio Lógico – CESPE – Cebraspe – 4ª edição- 2020.
De uma maneira clara, simples e bem objetiva iremos aprender como a sua banca exige o 
assunto indicado nesta aula:
1. Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; de-
duzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a 
estrutura daquelas relações.
2. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio verbal, raciocínio 
matemático, raciocínio sequencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discrimi-
nação de elementos.
3. Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma 
válida, as conclusõesdeterminadas.
4. Noções básicas de proporcionalidade e porcentagem: problemas envolvendo regra de três sim-
ples, cálculos de porcentagem, acréscimos e descontos.
5. Análise e interpretação de dados representados em tabelas e gráficos.
No material, iremos responder questões de outras bancas para melhor entender os assun-
tos, porém teremos várias questões da banca examinadora, ok? O nosso objetivo é que você 
tenha êxito em seu concurso.
Será oferecido, no final deste módulo, um caderno de questões comentadas passo a pas-
so, com 40 (quarenta) questões dos últimos concursos da banca examinadora, para que você 
possa fixar todo o conteúdo.
Pensando nisso teremos uma metodologia infalível e estrategista, pois além de aprender-
mos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo interpretar suas apli-
cações nas questões de concursos, iremos aprender os melhores métodos de resolução, que 
no decorrer desses 20 anos como professor me dediquei para que os meus alunos alcanças-
sem seus sonhos no serviço público nos diversos processos seletivos em todo do Brasil.
Durante nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem dado muito certo, 
que se trata:
1. Exposição do assunto (conceitos) de forma esquematizada;
2. Métodos e dicas de resolução rápida;
3.Esquemas estratégicos
4. Questões comentadas
5. Autoavaliação.
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Vamos iniciar nosso curso com um desafio, tudo certo?
DESAFIO
Uma promessa prá lá de esquisita.
Certa vez, três amigos, André, Beto e Carlos estavam se preparando para um concurso 
público muito difícil e já se passavam alguns meses, quando intensificaram seus estudos e 
propuseram entre eles que, se conquistassem tal almejada vaga, iriam realizar uma tarefa, que 
chamaram de “A Promessa”.
Pois bem, a promessa era a seguinte: Após publicação dos nomes dos três em diário ofi-
cial, os três iriam atravessar uma parte do deserto andando, alimentado apenas de pão e água.
Após o resultado da prova, os três amigos alcançaram êxito no processo seletivo e foram 
aprovados. Após três meses ocorreu a tão esperada nomeação e os três se preparam para 
cumprir a promessa.
André, Beto e Carlos viajaram para o deserto do Saara que é popularmente conhecido como 
o maior e o mais quente deserto mundo. No instante que foram começar a travessia os amigos 
foram conferir seus suprimentos e algo constrangedor ocorreu, Carlos havia esquecido seus 
pães e sua água.
No momento que Carlos informou aos seus amigos que havia esquecido seu alimento, de 
imediato eles se propuseram a compartilhar os seus suprimentos. André tinha levado apenas 
05 pães e Beto tinha levado 03 pães.
Na hora da partilha dos alimentos ficou acertado que todos os três comeriam e beberiam 
a mesma quantidade durante a viagem.
No decorrer da viagem, algo interessante aconteceu com Carlos, pois ele encontrou um 
pote com 08 moedas de ouro, que estava enterrado na areia e não avisou aos seus amigos.
Depois de 10 dias caminhando debaixo de um sol escaldante, comendo apenas pão e be-
bendo água finalmente eles cumpriram a difícil promessa.
No momento da despedida, já aqui no Brasil, Carlos disse aos seus amigos o que havia en-
contrado e num gesto de gratidão ofertou todas as moedas que encontrou para André e Beto, 
ou seja, Carlos deu as 08 moedas para André e Beto. Na hora da divisão Carlos optou por ser 
justo e a pergunta é a seguinte: Quantas moedas cada um deles, André e Beto, receberam?
RESPOSTA NO FINAL DA PARTE 01 DESTE MÓDULO.
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1. Questões com AssociAção, correlAcionAmento, seQuênciAs e DeDuzir 
novAs informAções
As bancas têm exigido dos candidatos entendimento quanto à lógica de relações arbitrá-
rias entre pessoas, lugares, coisas ou eventos fictícios; deduzir novas informações das rela-
ções fornecidas, e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações, 
exigindo uma percepção e um raciocínio mais objetivo e amplo do concursando. Sendo assim, 
torna-se necessário um método mais fácil e prático para resolução dessas questões.
001. (ESAF) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil, e vão participar de uma 
peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, 
Princesa e Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para 
determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor da peça reuniu-
-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio.
Disse Fátima: “Acho que eu sou a governanta, Beatriz é a fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a princesa”.
Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a princesa ou a bruxa”.
Disse Gina: “Acho que Sílvia é a governanta ou a rainha”.
Disse Sílvia: “Acho que eu sou a princesa”.
Disse Carla: “Acho que a bruxa sou eu ou Beatriz”.
Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão completamente errados, nenhuma de vocês 
acertou sequer um dos resultados do sorteio!” Um estudante de lógica que a tudo assistia, concluiu 
então que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram respectivamente:
a) rainha, bruxa, princesa e fada.
b) rainha, princesa, governanta e fada.
c) fada, bruxa, governanta e princesa.
d) rainha, princesa, bruxa e fada.
e) fada, bruxa, rainha e princesa.
Construiremos uma tabela em que possamos ter condições de associar as pessoas a seus 
respectivos papéis. Temos que observar também que na questão temos o seguinte trecho: 
“Neste ponto, o diretor falou: Todos os palpites estão completamente errados, nenhuma de 
vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio!”, isto quer dizer que tudo que se foi falado 
era falso (F). Logo, podemos construir a tabela:
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Fátima Beatriz Gina Silvia Carla
Fada F f F V F
Bruxa f f V f f
Rainha V F F f F
Princesa f V F f f
Governanta f F F f V
As células que estão preenchidas com falso (f) “em minúsculo” foram os palpites errados rea-
lizados pelas atrizes, agora é só preencher as células vazias verificando as únicas possibilida-
des. Isto é, Gina só pode ser Bruxa, pois foi a única célula disponível. A Sílvia só pode ser fada. 
A Fátima só pode ser rainha. A Carla só pode ser governanta. A Beatriz só pode ser princesa.
Letra d.
002. (2018/VUNESP/PC-SP/ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL) Samantha, Kaoana, Francia-
ne e Débora têm 26, 32, 36 e 41 anos, não necessariamente nessa ordem. Cada uma delas 
utiliza meio de transporte distinto das outras para irem aos seus trabalhos, sendo eles 
motocicleta, carro, bicicleta e ônibus, e trabalha em um bairro distinto de São Paulo, sen-
do Ipiranga, Pinheiros, Santana e Centro, não necessariamente nas ordens apresentadas. 
Sabe-se que a de maior idade vai trabalhar de carro e seu localde trabalho não é Pinheiros 
e, tampouco, Santana; Samantha tem menos idade que Franciane, não vai trabalhar de ôni-
bus e trabalha no Ipiranga; a mais nova delas vai trabalhar em Pinheiros, de motocicleta; 
Débora não anda de ônibus e é mais velha que Samantha e que Franciane. A alternativa 
que apresenta uma associação correta dessas pessoas às suas idades, aos seus meios 
de transporte ou aos bairros em que trabalham é:
a) Samantha tem 36 anos.
b) Franciane tem 32 anos.
c) Débora trabalha em Santana.
d) Franciane trabalha no Ipiranga.
e) Samantha trabalha de bicicleta.
Temos uma questão de associação, em que iremos construir uma tabela para melhor relacio-
nar as informações:
1. Sabe-se que a de maior idade (41) vai trabalhar de carro e seu local de trabalho não é Pinhei-
ros e, tampouco, Santana; logo temos duas possibilidades para o bairro de quem tem 41 anos.
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IDADE 26 32 36 41
NOMES
TRANSPORTE Carro
BAIRRO Centro ou Ipiranga
2. Samantha tem menos idade que Franciane (não tem 41 anos), não vai trabalhar de ônibus e 
trabalha no Ipiranga;
IDADE 26 32 36 41
NOMES Não Samantha
TRANSPORTE Carro
BAIRRO Centro ou Ipiranga
Samantha → Ipiranga → não ônibus.
3. a mais nova delas (26) vai trabalhar em Pinheiros, de motocicleta.
IDADE 26 32 36 41
NOMES Não Samantha
TRANSPORTE Motocicleta Carro
BAIRRO Pinheiros Centro ou Ipiranga
4. Samantha tem menos idade que Franciane, não vai trabalhar de ônibus e trabalha no Ipiranga.
IDADE 26 32 36 41
NOMES Samantha Franciane Não Samantha
TRANSPORTE Motocicleta Não ônibus Carro
BAIRRO Pinheiros Ipiranga Centro
5. Débora não anda de ônibus e é mais velha que Samantha e que Franciane.
IDADE 26 32 36 41
NOMES Samantha Franciane Débora
TRANSPORTE Motocicleta Carro
BAIRRO Pinheiros Ipiranga Centro ou Ipiranga
6. Colocar as demais informações que faltam.
Samantha → Ipiranga → não ônibus.
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IDADE 26 32 36 41
NOMES Kaoana Samantha Franciane Débora
TRANSPORTE Motocicleta Bicicleta Ônibus Carro
BAIRRO Pinheiros Ipiranga Santana Centro
Letra e.
003. (IDECAN/AGU/TÉCNICO EM COMUNICAÇÃO SOCIAL/2019) Observe a sequência a 
seguir e assinale a resposta correta a respeito do termo alfanumérico que ocupa a milési-
ma posição.
I – D E C A N 2 0 1 9 I D E C A N 2 0 1 9 I D E C A N 2 0 1 9...
a) é um número par.
b) é um número ímpar.
c) é uma vogal.
d) é uma consoante.
e) é o número zero.
Nas questões de sequências é importante que possamos encontrar um padrão, ou seja, uma 
lei de formação da referida sequência. Uma boa dica, é perceber os grupos de termos que se 
repetem. Na sequência acima temos: “I D E C A N 2 0 1 9”, logo para encontrar o termo que 
ocupa a milésima posição, basta dividir 1000 pela quantidade de elementos que existem no 
grupo que se repete.
1000/10 = 100(grupos)
O resto será zero, uma divisão exata.
Teremos 100 blocos com a sequência: “I D E C A N 2 0 1 9”. O milésimo termo será “9”.
Letra b.
004. (FGV/ESCRITURÁRIO/BANRISUL/2019) Pedro, José e Antônio têm alturas diferentes, 
praticam esportes diferentes (um deles pratica futebol, outro, natação e o terceiro, voleibol, 
não necessariamente nessa ordem) e têm cores de cabelos diferentes (um deles é ruivo, outro, 
loiro e o terceiro, moreno, não necessariamente nessa ordem). Sabendo que Pedro é o mais 
baixo e não pratica natação, que o que pratica voleibol é o mais alto, que o ruivo pratica nata-
ção e que Antônio é loiro, então,
a) Pedro é moreno e José pratica voleibol.
b) José é ruivo e Antônio pratica futebol.
c) Antônio é o mais alto e Pedro é moreno.
d) Antônio pratica natação e José é ruivo.
e) Pedro é ruivo e Antônio pratica voleibol.
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Uma maneira prática para relacionar as informações é criarmos uma tabela, onde a visualiza-
ção irá auxiliar no raciocínio. Vejamos:
Nomes: Pedro, José e Antônio
Cores dos cabelos: Ruivo, loiro e moreno.
Alturas: Alto, médio e moreno.
Esportes: Natação, vôlei e futebol
NOMES Pedro José Antônio
CORES DOS CABELOS
ALTURAS
ESPORTES
Conforme as informações iremos preenchendo a tabela.
1ª – Pedro é o mais baixo e não pratica natação:
NOMES Pedro José Antônio
CORES DOS CABELOS
ALTURAS Baixo 
ESPORTES Não natação
2ª – O que pratica voleibol é o mais alto.
Não sabemos quem pratica vôlei, porém sabemos que será o mais alto.
NOMES Pedro José Antônio
CORES DOS CABELOS
ALTURAS Baixo 
ESPORTES Não natação Pode ser vôlei Pode ser vôlei
3ª- O ruivo pratica natação e que Antônio é loiro.
Podemos inferir que José é ruivo, pois ele pratica natação, o que Pedro não pratica, e Antônio 
é loiro, logo sobra José para ser ruivo.
Se José é ruivo, Antônio é loiro, consequentemente Pedro será moreno.
Podemos também concluir que Antônio pratica vôlei e que ele será o mais alto.
Como José pratica natação e Antônio vôlei, Pedro pratica Futebol.
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NOMES Pedro José Antônio
CORES DOS CABELOS Moreno Ruivo Loiro
ALTURAS Baixo Alto
ESPORTES Não natação Natação Vôlei
Como José pratica natação e Antônio vôlei, Pedro pratica Futebol.
Dessa forma José possui altura média.
NOMES Pedro José Antônio
CORES DOS CABELOS Moreno Ruivo Loiro
ALTURAS Baixo Médio Alto
ESPORTES Futebol Natação Vôlei
Letra c.
005. (FCC/PREFEITURA DE RECIFE – PE/ASSISTENTE DE GESTÃO PÚBLICA/2019) Na 
sala de espera do consultório de um pediatra há três mães, Ana, Beatriz e Cláudia, acompanha-
das de seus respectivos filhos. Elas vestem blusas de cores diferentes (azul, verde e vermelho), 
usam calçados diferentes (bota, sandália e tênis) e têm quantidades de filhos diferentes (ape-
nas um, dois e três). Ana veste uma blusa vermelha; a que veste blusa azul calça bota; Beatriz 
tem mais filhos do que Ana; a que usa tênis tem dois filhos. Sabendo que Cláudia não calça 
bota e tem apenas um filho, é correto afirmar que
a) Ana tem dois filhos e Beatriz calça sandália.
b) Ana calça tênis e Cláudia usa blusa verde.
c) Beatriz calça bota e Cláudia usa blusa azul.
d) Beatriz usa blusa verde e Cláudia calça sandália
e) Ana calça sandália e Beatriz tem três filhos.
Uma maneira prática para relacionar as informações é criarmos uma tabela, onde a visualiza-
ção irá auxiliar no raciocínio. Vejamos:
Nomes: Ana, Beatriz e Cláudia.
Cores das blusas: Azul, verde e vermelho.
Calçados: Bota, sandália e tênis.
Quantidade de filhos: apenas um, dois e três.
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NOMES Ana Beatriz Cláudia
CORES DAS BLUSAS
CALÇADOS
QUANTIDADE FIHOS
Conforme as informações iremos preenchendo a tabela.
1ª - Ana veste uma blusa vermelha; a que veste blusa azul calça bota;
NOMES Ana Beatriz Cláudia
CORES DAS BLUSAS Vermelho Pode ser azul Pode ser azul
CALÇADOS Pode ser bota Pode ser bota
QUANTIDADE FIHOS
2ª - Beatriz tem mais filhos do que Ana; a que usa tênis tem dois filhos;
NOMES Ana Beatriz Cláudia
CORES DAS BLUSAS Vermelho Pode ser azul Pode ser azul
CALÇADOS Pode ser bota Pode ser bota
QUANTIDADE FIHOS Dois ou três
3ª - Cláudia não calça bota e tem apenas um filho.
Podemos inferir que Beatriz calça bota e que Claudia tem apenas um filho.
Beatriz tem três filhos, uma vez que ela tem mais do que Ana.
Ana usa tênis, pois quem usa tênis tem dois filhos.
NOMES Ana Beatriz Cláudia
CORES DAS BLUSAS Vermelho Pode ser azul Pode ser azul
CALÇADOS Tênis Bota Pode ser bota
QUANTIDADE FIHOS Dois Três Apenas um
4ª - Ana usa tênis, pois quem usa tênis tem dois filhos, e Claudia usa sandália.
A que veste blusa azul calça bota, logo será Beatriz.
Claudia veste verde.
NOMES Ana Beatriz Cláudia
CORES DAS BLUSAS Vermelho Azul Verde
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NOMES Ana Beatriz Cláudia
CALÇADOS Tênis Bota Sandália
QUANTIDADE FIHOS Dois Três Apenas um
Letra b.
006. (IDECAN/ADMINISTRADOR/AGU/2019) Luna é uma menina muito esperta e possui 27 
colegas meninos e 34 colegas meninas. Todas essas crianças juntas formam uma turma de 
alunos muito diferente, pois cada aluno ou adora matemática ou adora português. Sabendo 
que, nessa turma, 21 meninas adoram matemática e um total de 38 alunos adoram português, 
o número de meninos que adoram matemática é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Nesta questão, também iremos construir uma tabela para melhor interpretarmos a situação 
dada, uma vez que temos conjuntos disjuntos, ou seja, meninos e meninas, bem como pessoas 
que ou adoram matemática, ou adoram português, ou seja, não temos elementos em comum 
devido o conectivo de disjunção exclusiva. Os conjuntos são ditos disjuntos quando não pos-
suem interseção, ou seja, A∩B = ø.
Segundo as informações dadas pela questão, iremos preencher as células:
MENINOS MENINAS
Adoram matemática ? 21
Adoram português 38
27 35 Total = 27 +34 +1 = 62
Não se esqueça de incluir Luna na turma de alunos, assim o total é de 62 alunos.
Segundo as informações acima podemos inferir os dados abaixo que estão nas células hachuradas:
MENINOS MENINAS
Adoram matemática ? = 3 21 24
Adoram português 24 14 38
27 35 Total = 27 +34 +1 = 62
Letra c.
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007. (INAZ DO PARÁ/CORE-PE/AUXILIAR ADMINISTRATIVO/2019) Um dos brinquedos 
mais frequentados em um parque de diversões é a “barca”. Trata-se de um brinquedo no for-
mato de casco de um barco, e impulsionado para frente e para trás em forma de pêndulo en-
quanto os brincantes, todos sentados com segurança no centro do barco, se divertem com a 
adrenalina do movimento nesse brinquedo.
Sabe-se que a barca é composta por 5 fileiras e, em cada fileira, há 12 cadeiras.
A ilustração acima representa a forma com que os ingressos são vendidos. A pessoa que com-
prar a cadeira 1 vai se sentar na posição 1A, a pessoa que comprar a cadeira 8 se sentará na 
posição 3B e assim sucessivamente.
Desse modo, três irmãos que foram comprar seus ingressos e escolherem as cadeiras 54, 48 
e 30 irão se sentar, respectivamente, nas posições:
a) 4J, 3I e 5E.
b) 5E, 4J e 3J.
c) 4K, 3J e 5F
d) 5D, 4G e 3J.
e) 5I, 4J e 4G.
Temos uma questão de sequência, em que devemos interpretar o padrão utilizado para preen-
cher as células. De acordo com os números já existentes, podemos observar que as posições 
são ocupadas de cima para baixo, ou seja, nas colunas da esquerda para a direita.
As últimas linhas serão múltiplas de cinco, e logo em seguida é só preencher as demais células.
Letra c.
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008. (VUNESP/ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL/2018). Há um estudante, um estagiário e um en-
genheiro. Os nomes são Bruno, Carlos e Antônio. As idades deles são 18, 26 e 28 anos. A or-
dem em que essas informações foram listadas é uma ordem qualquer. Apenas o engenheiro 
tem curso superior e ele não é o mais novo. Para ser diretor de uma construtora, é necessário 
ter curso superior. Antônio não é o mais velho. O estagiário, primo de Carlos, é o mais velho. 
Antônio já visitou, com seus colegas de escola, a construtora que Carlos dirige.
Com essas informações, é correto concluir que
a) Antônio não tem 18 anos.
b) Se Bruno é o estagiário, então Antônio é o engenheiro.
c) Carlos não é engenheiro ou Carlos tem 26 anos.
d) Bruno tem 18 anos, e é o estagiário.
e) Bruno é o engenheiro, primo de Carlos.
Temos uma questão associação em que iremos construir uma tabela que nos auxiliará a rela-
cionar as informações:
FUNÇÃO ESTUDANTE ESTAGIÁRIO ENGENHEIRO
NOMES Antônio Bruno Carlos
IDADES 18 28 26
Observar que nas alternativas existem operadores lógicos, que deverão ser levados em conta, 
e as proposições simples serão valoradas conforme as informações da tabela acima, vejamos:
a) Antônio não tem 18 anos. (F)
b) Se Bruno é o estagiário (V), então Antônio é o engenheiro (F) = F
c) Carlos não é engenheiro (F) ou Carlos tem 26 anos (V). = V
d) Bruno tem 18 anos (F), e é o estagiário (V). = F
e) Bruno é o engenheiro (F), primo de Carlos (V). = F
Logo “Carlos não é engenheiro (F) ou Carlos tem 26 anos (V) = V (verdade)
Letra c.
009. (FUNDATEC/DPE-SC -TÉCNICO ADMINISTRATIVO /ANO: 2018) Antônia, Mario e Paula 
são advogados que atuam exclusivamente em uma das seguintes áreas do direito: família, 
trabalhista ou criminal, mas não necessariamente nessa ordem. Sabendo que:
• Antônia não atua na área de família.
• Mário ou Paula atua na área trabalhista.
• Paula e Antônia não atuam na área trabalhista.
Deduzimos ser verdade que:
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a) Antônia atua na área criminal, Mário na área da família e Paula na área trabalhista.
b) Antônia atua na área trabalhista, Mário na área da famíliae Paula na área criminal.
c) Antônia atua na área trabalhista, Mário na área criminal e Paula na área da família.
d) Antônia atua na área criminal, Mário na área trabalhista e Paula na área da família.
e) Antônia atua na área da família, Mário na área trabalhista e Paula na área criminal.
Vamos construir uma tabela para melhor associar as informações:
Sabendo que as informações são todas verdadeiras, iremos analisá-las:
• Antônia não atua na área de família. (V)
• Mário ou Paula atua na área trabalhista. (V)
• Paula e Antônia não atuam na área trabalhista. (V)
Área de atuação/
Nomes Antônia Mário Paula
Família F (3) F (2) V – (4)
Trabalhista F (1) V – (1) F (1)
Criminal V – (6) F (2) F (5)
Pelas considerações podemos inferir que, pelo comando, Paula e Antônia não atuam na área 
de família (1), logo Mário, que atua na área trabalhista, não atua nas áreas de família e criminal 
(2). Pela informação do comando que diz Antônia não atua na área de família (3), podemos 
inferir que Paula atua na área de família (4) e que Paula não atua na área criminal (5). Dessa 
forma sobrou a área criminal para Antônia (6).
Letra d.
010. (FGV/ESCRIVÃO/POLÍCIA CIVIL/2018) Considere as primeiras figuras de uma sequência:
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Nessa sequência de figuras, a figura 10 é igual à figura 1, a figura 11 é igual à figura 2, a figura 
12 é igual à figura 3, e assim por diante. Dessa forma, a figura 232 será
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Temos uma questão de sequências, em que a partir da 10ª figura começa a repetir a mesma 
sequência. Dessa forma iremos dividir 232 por 9 para calcular quantos blocos se repetem.
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232/9 = 25 e resto 7. Ou seja, teremos 25 blocos com 9 figuras e sobraram 7 figuras. Sendo 
assim a resposta é a figura:
Letra e.
011. (FGV/INVESTIGADOR/POLÍCIA CIVIL/2018) Nas figuras da sequência a seguir, a letra A 
sempre ocupa uma posição que será chamada de ponta. Já a letra B sempre ocupa uma posi-
ção que será chamada de fundo. Na 4ª figura da sequência, as duas letras estão em posições 
consecutivas, o que acontece também na 5ª figura e não acontece nas três primeiras figuras.
Sabendo que essa sequência foi criada com um padrão lógico, e que é ilimitada, então o núme-
ro de vezes em que as duas letras estão em posições consecutivas, nas cento e nove primeiras 
figuras, é igual a
a) 31.
b) 28.
c) 37.
d) 25.
e) 33.
Vamos imaginar que a sequência inicia do 4º termo, logo iremos subtrair os três primeiros, 109 
– 3, assim teremos uma sequência de 106 termos. Começando do 4º termo, temos que de sete 
em sete termos, as letras A e B são consecutivas.
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Logo iremos dividir 106 por 7, quando temos o quociente de 15, isto é, 15 blocos com duas 
figuras que as letras A e B aparecem consecutivas. O resto da divisão é igual a 1, logo podemos 
inferir que a primeira figura consecutiva também possui as letras A e B consecutivas. Será a 
primeira do próximo bloco.
Teremos então 15 x 2 (aparecem juntas duas vezes em cada bloco) = 30 + 1 (a primeira figura 
do bloco consecutivo) = 31 vezes.
Letra a.
012. (VUNESP/PC SP/INVESTIGADOR DE POLÍCIA CIVIL/2018) Luiz, Marcos, Naldo e Osvaldo 
praticam os esportes futebol, basquetebol, voleibol e handebol, não necessariamente nessa ordem. 
A idade de cada um deles é 18, 21, 29 e 32, também não necessariamente nessa ordem. Luiz não é 
o mais novo e não pratica futebol e nem voleibol. O jogador de basquete tem 29 anos e é amigo de 
Luiz. Naldo é 8 anos mais novo que seu irmão, o jogador de basquete. O melhor amigo de Naldo é o 
jogador de voleibol. Marcos e o jogador de futebol são os dois mais jovens desse grupo.
Com essas informações, é correto concluir que
a) Marcos tem 21 anos ou pratica handebol.
b) Naldo e Osvaldo não são irmãos ou Luiz tem 29 anos.
c) Luiz pratica handebol e tem 21 anos.
d) Osvaldo pratica basquetebol e Naldo pratica voleibol.
e) Marcos pratica futebol ou tem 18 anos.
Temos uma questão de associação, logo iremos construir uma tabela para melhor associar as 
informações.
Como já visto em várias questões anteriores, iremos relacionar as informações:
Nomes: Luís, Marcos, Naldo e Oswaldo
Esportes: Handebol, Voleibol, Futebol e Basquetebol
Idades: 32, 18,21 e 29
Nomes Luís Marcos Naldo Oswaldo
Esportes
Idade
Conforme as informações, temos:
1ª - Luiz não é o mais novo e não pratica futebol e nem voleibol
2ª - O jogador de basquete tem 29 anos e é amigo de Luiz (podemos inferir Luiz faz Handebol, 
pois não faz futebol nem basquete)
Nomes Luís Marcos Naldo Oswaldo
Esportes
Não é futebol
Não é basquete
Idade
Não é 18
Não é 29
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3ª - Naldo é 8 anos mais novo que seu irmão, o jogador de basquete.
4ª - O melhor amigo de Naldo é o jogador de voleibol (podemos inferir que Naldo faz futebol)
5ª- Marcos e o jogador de futebol são os dois mais jovens desse grupo. (podemos inferir que 
Luis possui 32 anos), consequentemente Oswaldo tem que ter 29 anos.
Nomes Luís Marcos Naldo Oswaldo
Esportes Handebol
Pode ser 
voleibol
Não é futebol
Não é 
basquetebol
Não é voleibol
Pode ser 
voleibol
Idade
Não é 18
Não é 21
Não é 29
32 anos
Pode ser 
18 ou 21
Pode ser 
18 ou 21
Pode ser 
32 ou 29
29 anos
6ª - O jogador de basquete tem 29 anos. Como Marcos não é futebol, teremos voleibol para Marcos.
7ª - O melhor amigo de Naldo é o jogador de voleibol ( podemos inferir que Naldo faz futebol)
Nomes Luís Marcos Naldo Oswaldo
Esportes Handebol Pode voleibol Futebol Basquetebol
Idade
Não é 18
Não é 29
32 anos
Pode ser 
18 ou 21
Pode ser 
18 ou 21
Pode ser 32 ou 29
29 anos
7ª - Naldo é 8 anos mais novo que seu irmão, o jogador de basquete.
Podemos inferir que, se a diferença é de 8 anos, a idade de Naldo ao jogador de basquetebol, 
então Naldo tem 21 anos.
Para Marcos sobrou a idade de 18 anos.
Nomes Luís Marcos Naldo Oswaldo
Esportes Handebol Pode voleibol Futebol Basquetebol
Idade 32 anos 18 anos 21 anos 29 anos
Ficar esperto que nas alternativas temos conectivos lógicos, o que devem ser analisados:
Ao analisar a letra (E) temos:
Marcos pratica futebol (F) ou tem 18 anos (V) = V (conectivo de disjunção)
Letra e.
013. (VUNESP) Em um edifício com apartamentos somente nos andares de 1º ao 4º, moram 
4 meninas, em andares distintos: Joana, Yara, Kelly e Bete, não necessariamente nessa ordem. 
Cada uma delas tem um animal de estimação diferente: gato, cachorro, passarinhoe tartaruga, 
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não necessariamente nessa ordem. Bete vive reclamando do barulho feito pelo cachorro, no 
andar imediatamente acima do seu. Joana, que não mora no 4º, mora um andar acima do de 
Kelly, que tem o passarinho e não mora no 2º andar. Quem mora no 3º andar tem uma tartaru-
ga. Sendo assim, é correto afirmar que
a) Kelly não mora no 1º andar.
b) Bete tem um gato.
c) Joana mora no 3º andar e tem um gato.
d) o gato é o animal de estimação da menina que mora no 1º andar.
e) Yara mora no 4º andar e tem um cachorro.
De acordo com as informações iremos preencher a tabela abaixo, ok?
Segundo a informação: Bete vive reclamando do barulho feito pelo cachorro, no andar imedia-
tamente acima do seu. Assim, Bete não possui cachorro e não mora no 4º andar.
Segundo a informação: Joana, que não mora no 4º, mora um andar acima do de Kelly. Pode-
mos inferir que Joana não mora 4ºandar (mora 3º ou 2º) e kelly não mora 4º andar. Dessa 
forma sobrou o 4º andar para Yara.
Segundo a informação: Joana, que não mora no 4º, mora um andar acima do de Kelly, que tem 
o passarinho. Podemos inferir agora que Kelly tem o passarinho e não mora no 2º andar.
Segundo a informação e a tabela: Joana, que não mora no 4º, mora um andar acima do de 
Kelly, podemos inferir que Joana mora no 2º e Kelly no 1º andar.
Segundo a tabela: Bete mora no 3º andar.
Segundo a informação: Quem mora no 3º andar tem uma tartaruga, Bete tem tartaruga.
Segundo a informação: Bete vive reclamando do barulho feito pelo cachorro, no andar imedia-
tamente acima do seu. Assim, a pessoa que mora no 4º andar, um acima de bete, tem cachor-
ro. Sobrou o gato para Joana.
Vamos construir uma tabela:
Joana Yara Bete Kelly
1º andar F F F V
2º andar V F F F
3º andar F F V F
4º andar F V F F
Cachorro F V F F
Passarinho F F F V
Gato V F F F
Tartaruga F F V F
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Segundo a informação: Joana, que não mora no 4º, mora um andar acima do de Kelly. Pode-
mos inferir que Joana não mora 4ºandar (mora 3º ou 2º) e kelly não mora 4º andar.
Analisando as alternativas:
a) Kelly não mora no 1º andar. (FALSO)
b) Bete tem um gato. (FALSO)
c) Joana mora no 3º andar e tem um gato. (F)
d) o gato é o animal de estimação da menina que mora no 1º andar. (F)
e) Yara mora no 4º andar e tem um cachorro. (V)
Letra e.
014. Luiz, José e Mauro são amigos e cada um deles pertence a um partido político diferente. 
Os partidos são:
Partidos dos Operários, Partido dos Esforçados e Partido dos Professores. Dois dos amigos 
são candidatos a vereador e um deles é candidato a prefeito da cidade onde moram. O Partido 
dos Operários não inscreveu candidato à prefeitura. Mauro mora perto do amigo que pertence 
ao Partido dos Operários, que é um dos candidatos a vereador. Luiz não é candidato a vereador. 
Nenhum dos filiados do Partido dos Esforçados quis ser candidato à prefeitura. A partir dessas 
informações, é possível concluir, corretamente, que
a) Luiz pertence ao Partido dos Esforçados.
b) José pertence ao Partido dos Professores.
c) Mauro não é candidato a vereador.
d) José não é candidato a vereador.
e) Luiz pertence ao Partido dos Professores.
Segundo a informação: Luiz não é candidato a vereador, assim só pode ser para prefeito. Logo 
José e Mauro são vereadores.
Segundo a informação: O Partido dos Operários não inscreveu candidato à prefeitura, pode-
mos inferir Luiz não é do Partido dos Operários.
Segundo a informação: Mauro mora perto do amigo que pertence ao Partido dos Operários, 
que é um dos candidatos a vereador. Assim, Mauro não é do Partido dos Operários, consequen-
temente José é do Partido dos Operários.
Segundo a informação: Nenhum dos filiados do Partido dos Esforçados quis ser candidato à 
prefeitura. Assim temos Mauro que não é candidato a prefeito e sendo filiado ao Partido dos 
Esforçados. Consequentemente Luiz é do Partido dos Professores.
De acordo com as informações iremos preencher a tabela abaixo, ok?
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Luiz José Mauro
Partidos dos 
Operários
F V F
Partido dos 
Esforçados
F F V
Partido dos 
Professores
V F F
Vereador F V V
Prefeito V F F
Analisando as alternativas:
a) Luiz pertence ao Partido dos Esforçados. (F)
b) José pertence ao Partido dos Professores. (F)
c) Mauro não é candidato a vereador. (F)
d) José não é candidato a vereador. (F)
e) Luiz pertence ao Partido dos Professores. (V)
Letra e.
015. (VUNESP) Três amigos, Antônio, Bento e Carlos foram à floricultura do seu José e en-
comendaram, cada um, um vasinho de flores, que deveria ser entregue às suas respectivas 
namoradas. Um deles encomendou margaridas, o outro, violetas, e, o outro, begônias, não ne-
cessariamente nessa ordem. Conversaram muito com o seu José e depois foram embora. Por 
algum motivo, perdeu-se a informação de qual era a flor que cada um dos três amigos havia 
encomendado. Relembrando a conversa que tivera com os rapazes, seu José lembrou-se, com 
certeza, dos seguintes fatos:
I – Bento não encomendou violetas.
II – Carlos é mais velho do que o rapaz que encomendou violetas.
III – O rapaz que encomendou as margaridas é o mais jovem dos três.
Com base nessas informações, pode-se concluir corretamente que
a) Carlos encomendou margaridas e Bento, begônias
b) Antônio encomendou margaridas e Carlos, begônias
c) Bento encomendou begônias e Carlos, violetas.
d) Antônio encomendou begônias e Carlos, margaridas.
e) Bento encomendou margaridas e Carlos, begônias.
Segundo as informações:
I – Bento não encomendou violetas.
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II – Carlos é mais velho do que o rapaz que encomendou violetas.
III – O rapaz que encomendou as margaridas é o mais jovem dos três.
Construindo a tabela abaixo:
Antônio Bento Carlos
Violeta V F F
Margarida F V F
Begônia F F V
Se Bento não encomendou violetas então marcamos um “F” em Bento.
• Se Carlos é mais velho do que o rapaz que encomendou violetas, podemos concluir que ele 
TAMBÉM NÃO COMPROU violetas. Não sabemos que flor ele comprou, mas não é violeta. 
Portanto, outro “F” e por eliminação descobrimos quem comprou violetas (Antônio)
• Descobrimos também que a ordem de idade: Carlos > Antônio. Sabemos que Carlos é 
mais velho que Antônio.
• Na afirmação III, temos que “o rapaz que encomendou margaridas é o mais jovem dos 
três”. Se tínhamos que Carlos > Antônio e quem sobra é Bento, portanto o mais jovem 
dos três. Se ele encomendou margaridas entãosó montar o restante da tabela.
• Se Bento encomendou margaridas, logicamente sobra begônias para Carlos.
Letra e.
016. (VUNESP) Roberto, Erasmo e Vanderlei são cantores. Cada um deles possui um veículo: um 
sedã, uma pick-up e uma SUV, não necessariamente nessa ordem. Cada um canta um destes gêne-
ros de música: axé, pagode e sertanejo, não necessariamente nessa ordem. Sabe-se que o Vanderlei 
não possui a pick-up e não canta axé. O cantor que possui o sedã é o cantor de axé. Roberto é o 
cantor de pagode. A partir dessas informações, pode-se concluir corretamente que
a) Vanderlei possui a SUV e Roberto possui o sedã.
b) Roberto canta pagode e Erasmo possui a pick-up.
c) Erasmo canta sertanejo e Vanderlei canta pagode.
d) Erasmo canta axé e Roberto possui a pick-up.
e) Vanderlei possui o sedã e Erasmo canta pagode.
Segundo a informação: Roberto é o cantor de pagode. (1)
Segundo a informação: Sabe-se que o Vanderlei não possui a pick-up e não canta axé. Assim 
que canta axé só pode ser Erasmo (2). Sobrou dessa forma Vanderlei com sertanejo (3).
Segundo a informação: O cantor que possui o sedã (4) é o cantor de axé.
Segundo a informação: Vanderlei não possui a pick-up e não canta axé. Assim Vanderlei pos-
sui a SUV (5) e pick-up Roberto (6).
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Vamos construir uma tabela para que possamos relacionar as informações:
Roberto Erasmo Vanderlei
Veículos Pick-up (6) Sedã (4) SUV (5)
Música Pagode (1) Axé (2) Sertanejo (3)
Letra d.
017. (VUNESP) Três amigas – Cláudia, Luiza e Ângela – gostam de ler livros, jornais e revis-
tas, não necessariamente nessa ordem, e cada uma delas aprecia apenas um desses tipos de 
leitura. Uma delas tem 20 anos, outra tem 30 e a outra tem 40. Sabendo que Cláudia tem 20 
anos, que Ângela gosta de ler revistas e que Luiza não tem 30 anos e não gosta de ler jornais, 
assinale a alternativa correta.
a) Luiza tem 40 anos e Cláudia gosta de ler jornais.
b) Ângela tem 40 anos e Luiza gosta de ler livros.
c) Luiza gosta de ler revistas e Ângela tem 30 anos
d) Cláudia gosta de ler livros e Ângela tem 40 anos.
e) Ângela tem 40 anos e Luiza não gosta de ler livros.
Segundo a informação: Sabendo que Cláudia tem 20 anos (1).
Segundo a informação: Ângela gosta de ler revistas. (2)
Segundo a informação: Luiza não tem 30 anos e não gosta de ler jornais. Como Claudia possui 
20, então temos para Luiza 40 anos (3). Se Luiza não gosta de ler jornais e Ângela gosta de 
revista, temos para Luiza gostar de livros (4).
Segundo a informação: Sobraram Jornal para Claudia (5) e a idade de 30 anos para Ângela. (6)
Vamos construir uma tabela para que possamos relacionar as informações:
Claudia Luiza Ângela
Gostam de ler Jornal (5) Livros (4) Revista (2)
Idades 20 anos (1) 40 anos (3) 30 anos (6)
Letra a.
2. Questões com verDADes e mentirAs
Nas provas de concursos, temos questões em que as bancas exigem dos candidatos uma 
análise referente às declarações realizadas em uma determinada situação, procurando, na 
maioria das vezes, saber quem é o mentiroso e até mesmo o culpado de um determinado delito.
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Nas questões com declarações onde existem pessoas que mentem e falam a verdade, po-
demos perceber existir uma contradição entre declarações, pois não há como adivinhar quem 
mente ou quem fala a verdade, devemos aplicar o que foi ensinado no início referente às três 
leis do pensamento, onde uma proposição “declaração” não pode ser verdadeira (V) e falsa (F) 
ao mesmo tempo, daí teremos uma possível valoração para estas declarações. Vejamos as 
questões comentadas a seguir e a aplicação do método.
É importante perceber que em uma contradição não há como existir 02(duas) verdades ou 
até mesmo 02(duas) mentiras, assim podemos inferir que sempre em uma contradição tere-
mos uma verdade e uma mentira.
Questões com umA contrADição (métoDo DA contrADição)
018. ( ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco sus-
peitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um 
deles respondeu:
• Armando: “Sou inocente”.
• Celso: “Edu é o culpado”.
• Edu: “Tarso é o culpado”.
• Juarez: “Armando disse a verdade”.
• Tarso: “Celso mentiu”.
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, 
pode-se concluir que o culpado é:
a) Edu.
b) Tarso.
c) Juarez.
d) Armando.
e) Celso.
De acordo com a questão, temos que as declarações de:
Celso: “Edu é o culpado”.
Tarso: “Celso mentiu”.
Celso: "Edu é o culpado".
Tarso: "Celso mentiu".
Existe uma contradição:
Não é possível as duas serem verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo. 
Logo temos que uma é verdadeira e a outra é falsa ou vice-versa.
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Partindo da contradição das declarações temos que: “Sabendo-se que apenas um dos suspei-
tos mentiu...”, podemos deduzir que a mentira (adotaremos como F) está entre Celso ou Tarso, 
logo podemos analisar da seguinte forma:
– Celso: “Edu é o culpado”. 
– Edu: “Tarso é o culpado”. (V)
– Juarez: “Armando disse a verdade”. (V)
– Tarso: “Celso mentiu”. 
Iremos valorar estas declara -
ções de acordo com as outras 
que temos certeza que são ver-
dadeiras, pois a única mentira 
irá se encontrar na contradição.
Sendo verdadeiras as declarações de Armando, Edu e Juarez podemos concluir que Tarso é o 
culpado. Logo por Tarso ser o culpado, temos que Celso mentiu e Tarso falou a verdade.
Armando: “Sou inocente”. (V)
Celso: “Edu é o culpado”. (F)
Edu: “Tarso é o culpado”. (V)
Juarez: “Armando disse a verdade”. (V)
Tarso: “Celso mentiu”. (V)
Letra b.
019. (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanha-
do por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:
• “Não fui eu nem o Manuel”, disse Marcos.
• “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário.
• “Foi a Mara”, disse Manuel.
• “O Mário está mentindo”, disse Mara.
• “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria.
Sabendo-se que um e somente um dos colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem en-
trou sem pagar foi:
a) Mara.
b) Maria.
c) Mário.
d) Manuel.
e) Marcos.
De acordo com a questão temos que as declarações de:
– “O Mário está mentindo”, disse Mara.
– “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário.
Existe uma contradição:
Não é possível as duas serem verdadeiras ou falsas ao mesmo 
tempo. Logo temos que uma é verdadeira e a outra é falsa 
ou vice-versa, pois Mara vai contra a informação de Mário.
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Partindo da contradição das declarações temos que: “Sabendo-se que um e somente um dos 
colegas mentiu” podemos deduzir que a mentira (adotaremos como F) está entre Mara ou Má-
rio, logo podemos analisar da seguinte forma:
– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. (V)
 – “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. 
– “Foi a Mara”, disse Manuel. (V)
 – “O Mário está mentindo”, disse Mara. 
– “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. (V)
Iremos valorar estas de-
clarações de acordo com
as outras que temos cer-
teza que são verdadeiras, 
pois a única mentira irá se
encontrar na contradição.
Sendo verdadeiras as declarações de Marcos, Manuel e Maria, podemos concluir que foi a 
Mara que entrou sem pagar, segundo a afirmação de Manuel.
• “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. (V)
• “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. (F)
• “Foi a Mara”, disse Manuel. (V)
• “O Mário está mentindo”, disse Mara. (V)
• “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. (V)
Letra a.
Questões com experimentAção ( métoDo DA experimentAção)
Nas questões com declarações em que não há contradições entre duas ou mais declara-
ções, devemos valorar uma declaração como verdadeira e, a partir dela, valorarmos as demais. 
Após valoração, verificar se houve ou não algum problema, isto é, não tenha solução, assim, 
caso tivermos solução, a questão está pronta, caso contrário recomeçamos a questão com 
valoração falsa.
Nessas questões não temos a certeza de que as pessoas envolvendo são do mesmo tipo, 
ou seja, todas podem falar a verdade, ou todas podem mentir e até mesmo termos pessoas 
dos dois tipos, é por isso que experimentamos.
Vejamos as questões comentadas aplicação do método.
020. (ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro primeiros lugares 
em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a clas-
sificação final, cada Juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e outra falsa.
• Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo”.
• Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro”.
• Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto”.
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Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, 
respectivamente:
a) André, Caio, Beto, Dênis.
b) Beto, André, Caio, Dênis.
c) André, Caio, Dênis, Beto.
d) Beto, André, Dênis, Caio.
e) Caio, Beto, Denis, André.
Nesta questão temos duas possibilidades para cada discurso, ou seja, cada um contendo uma 
informação verdadeira para o primeiro e falsa para a segunda, ou falsa para a primeira e verda-
deira para a segunda. Logo, realizaremos uma experimentação:
Neste caso, houve empate entre Beto e Caio. Logo, esta situação não está de acordo. A primei-
ra situação está correta.
Letra c.
021. (ESAF) Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo blusas ver-
melhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a 
verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa 
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vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise 
veste blusa amarela. Por fim, Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferen-
tes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de 
Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são, respectivamente:
a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela.
b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela.
c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela.
d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela.
e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.
Esta questão, bem como a anterior, devemos experimentar a partir da primeira declaração 
como verdadeira. Caso não haja contradição, a questão estará de acordo; mas se houver, deve-
remos começar como falsa. A cada valoração iremos associar a cor da blusa.
• 1ª SITUAÇÃO: Ana começa falando a verdade (EXPERIMENTAÇÃO)
− Ana diz: Beatriz veste blusa vermelha. (Se Ana fala verdade, então veste blusa verme-
lha, sua declaração é verdadeira, logo Beatriz veste blusa vermelha).
− Beatriz diz: Carolina veste blusa amarela. (Se Beatriz veste blusa vermelha, então fala 
verdade, sua declaração é verdadeira, logo Carolina veste amarelo e com isso é men-
tirosa, pois quem veste amarelo mente).
− Carolina diz: Denise veste blusa amarela. (Se Carolina mente, então veste amarelo, 
sua declaração é falsa, logo Denise veste blusa vermelha e fala a verdade, pois quem 
veste vermelho fala verdade).
− Denise diz: Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. (Se Denise veste 
vermelho, então fala verdade, sua declaração é verdadeira, logo Beatriz e Eduarda 
vestem blusas de cores diferentes. Como sabemos que Beatriz veste blusa de cor ver-
melha, então Eduarda veste blusa de cor amarela, o que significa dizer que ela mente).
− Eduarda diz: Ana veste blusa vermelha. (Se Eduarda mente, então veste amarelo, sua de-
claração é falsa, logo Ana tem que vestir amarelo, para que Eduarda esteja mentindo).
Percebemos que Eduarda está falando a verdade – o que não pode acontecer, pois ela é uma 
pessoa mentirosa. Uma pessoa que mente não pode falar a verdade (entrar em contradição). 
Neste caso, a 1ª situação não está de acordo.
• 2ª SITUAÇÃO: Ana começa falando mentira (EXPERIMENTAÇÃO)
− Ana diz: Beatriz veste blusa vermelha. (Se Ana fala mentira, então veste blusa amare-
la, sua declaração é falsa, logo Beatriz veste blusa amarela).
− Beatriz diz: Carolina veste blusa amarela. (Se Beatriz veste blusa amarela, então fala 
mentira, sua declaração é falsa, logo Carolina veste vermelho e com isso fala verdade, 
pois quem veste vermelho fala verdade).
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− Carolina diz: Denise veste blusa amarela. (Se Carolina fala verdade, então veste ver-
melho, sua declaração é verdadeira, logo Denise veste blusa amarela e fala mentira, 
pois quem veste amarelo fala mentira).
− Denise diz: Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. (Se Denise veste 
amarelo, então fala mentira, sua declaração é falsa, logo Beatriz e Eduarda vestem 
blusas de cores iguais. Como sabemos que Beatriz veste blusa de cor amarela, então 
Eduarda veste blusa amarela, o que significa que ela fala mentira).
− Eduarda diz: Ana veste blusa vermelha. (Se Eduarda fala mentira, então veste amare-
lo, sua declaração é falsa, logo Ana tem que vestir amarelo, o que realmente acontece, 
pois Ana é mentirosa).
Neste caso, a 2ª situação está de acordo, pois nenhuma delas entra em contradição com sua 
própria declaração.
Logo, Ana: amarelo; Beatriz: amarelo; Carolina: vermelho; Denise: amarelo; Eduarda: amarelo.
Letra e.
Umaquestão interessante que já ocorreu em várias bancas. Vejamos:
O casal Cássio e Cássia tem as seguintes peculiaridades: tudo o que Cássio diz às quartas, 
quintas e sextas–feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ele nos outros dias da sema-
na; tudo o que Cássia diz aos domingos, segundas e terças–feiras é mentira, sendo verdade o 
que é dito por ela nos outros dias da semana.
A respeito das peculiaridades desse casal, julgue os itens subsecutivos
022. (CESPE/MI) Se, em certo dia, ambos disserem “Amanhã é meu dia de mentir”, então essa 
afirmação terá sido feita em uma terça–feira.
Vamos construir uma tabela para que possamos visualizar melhor a situação.
Se analisarmos a terça feira segundo o item propõe temos que:
Cássio na terça–feira (fala a verdade) diz: “Amanhã é meu dia de mentir”, se ele fala a verdade 
nesse dia, então deverá mentir na quarta–feira, o que realmente acontece segundo podemos 
observar no quadro acima.
Cássia na terça–feira (fala mentira) diz: “Amanhã é meu dia de mentir”, se ela fala mentiras 
nesse dia, então deverá falar a verdade na quarta–feira, o que realmente acontece segundo 
podemos observar no quadro acima.
Certo.
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023. (CESPE/MI) Na terça–feira, Cássia disse que iria ao supermercado no sábado e na quar-
ta–feira, que compraria arroz no sábado. Nesse caso, a proposição “Se Cássia for ao super-
mercado no sábado, então comprará arroz” é verdadeira.
De acordo com a tabela podemos valorar as proposições, pois sabemos quando a pessoa está 
falando a verdade e quando ela está mentindo.
A proposição: “Cássia for ao supermercado no sábado será falsa (F)”, pois foi dito em uma 
terça–feira.
A proposição: “comprará arroz será verdadeira (V)”, pois foi dito em uma quarta–feira.
Valorando as proposições podemos aplicar na proposição composta abaixo:
“Cássia for ao supermercado no sábado (F) → comprará arroz (V) = VERDADEIRO
Certo.
024. (CESPE/MI) Se, em uma sexta–feira, Cássio disser a Cássia: “Se eu te amasse, eu não iria 
embora”, será correto concluir que Cássio não ama Cássia.
De acordo com a tabela podemos valorar as proposições, pois sabemos quando a pessoa está 
falando a verdade e quando ela está mentindo.
Em uma sexta–feira, segundo a tabela acima, temos que Cássio mente, logo a afirmação dita 
por ele deve ser valorada como falsa.
Cássio: “Se eu te amasse, eu não iria embora” = F
Temos uma proposição composta condicional, e para que ela seja falsa o antecedente tem que 
ser verdadeiro e o consequente falso, assim:
Cássio: eu te amasse(V) → eu não iria embora (F) = F
Dessa forma Cassio ama Cassia e vai embora.
Errado.
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Autoavaliação Comentada
025. (2017/FCC/TRT - 24ª REGIÃO-MS/TÉCNICO JUDICIÁRIO/TECNOLOGIA DA INFOR-
MAÇÃO) Em um grupo de cinco homens (P, Q, R, S e T) que se conhecem muito bem, cada um 
é destro ou canhoto, ou seja, não há ambidestros. P diz ser destro, Q diz que P é canhoto, R diz 
que Q é canhoto, S diz que Q é destro, e T diz que R é canhoto. Sabe-se que os homens destros 
estão dizendo a verdade, e que os canhotos estão mentindo. Se apenas dois dos cinco homens 
são canhotos, então os canhotos são
a) P e S.
b) Q e S.
c) S e T.
d) P e R.
e) Q e R.
P diz ser destro (fala a verdade)
Q diz que P é canhoto (P é mentiroso)
R diz que Q é canhoto (Q é mentiroso)
S diz que Q é destro (Q fala a verdade)
T diz que R é canhoto (R é mentiroso)
Temos uma contradição entre P e Q, logo teremos uma verdade e uma mentira. Segundo a 
questão temos que dos cinco homens, dois são canhotos (mentirosos). Temos uma outra con-
tradição entre R e S, onde teremos uma mentira e uma outra verdade. Dessa forma podemos 
afirmar que T está falando a verdade, pois os dois mentirosos estão nas duas contradições.
Como sabemos que T fala a verdade, então podemos inferir que a fala de T é verdadeira 
(R é mentiroso).
(F) P diz ser destro (fala a verdade)
(V) Q diz que P é canhoto (P é mentiroso)
(F) R diz que Q é canhoto (Q é mentiroso)
(V) S diz que Q é destro (Q fala a verdade)
(V) T diz que R é canhoto (R é mentiroso)
Como temos uma contradição entre R e S, e sabendo R é mentiroso, logo S fala verdade. Se S 
fala a verdade e ele diz que Q fala verdade então Q fala a verdade. E Q fala a verdade e diz que 
P é mentiroso, podemos afirmar que P fala mentira.
Os canhotos são os que mentem, neste caso P e R.
Letra d.
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026. (CESPE/DPU/ANALISTA/2016) Quatro candidatos a uma vaga de emprego em uma 
agência de detetives deverão passar por um teste de raciocínio lógico, que consiste em entrar 
em uma sala e descobrir em qual das duas pastas sobre a mesa, uma vermelha e outra verde, 
estão seus respectivos contratos de trabalho — os quatro contratos estão em uma mesma 
pasta. Cada um deles poderá fazer uma única pergunta a um de seus dois possíveis futuros 
chefes: um responderá sempre com a verdade e o outro sempre mentirá. Os candidatos não 
sabem, todavia, qual dos dois chefes falará a verdade e qual mentirá.
O candidato 1 perguntou a um dos chefes em qual pasta estava o seu contrato; ouviu a res-
posta e saiu. O candidato 2 fez a mesma pergunta do primeiro candidato só que, casualmente, 
escolheu o outro chefe, ouviu a resposta e se retirou. O candidato 3 entrou na sala, pegou uma 
das pastas nas mãos e perguntou a um dos chefes:
— O seu amigo me diria que nesta pasta se encontra o meu contrato?
Ouviu a resposta e saiu. Entrou o último candidato e, com o dedo apontado para um dos che-
fes, perguntou ao outro:
— Em que pasta ele diria que está o meu contrato?
— “Na verde”, foi a resposta que ele obteve.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
A partir das perguntas feitas pelos quatro candidatos e das respostas obtidas, é correto afir-
mar que os contratos estão na pasta vermelha.
Para resolver esse item, iremos ter como referência o quarto candidato. Vejamos:
Como não sabemos qual dos chefes fala a verdade ou mente iremos supor 02 (duas) situações 
em que a pergunta feita pelo quarto candidato poderá ter sido feita ao chefe que fala verdade 
(1ª possibilidade) ou poderá ter sido feita ao chefe que mente (2ª possibilidade).
1ª Possibilidade: Pergunta feita ao chefe que fala verdade, pois o outro chefe mente.
CV (chefe que fala a verdade): sabemos que a resposta obtida foi verde, de acordo com o texto.
Se o quarto candidato perguntou a uma pessoa que fala a verdade o que o outro (mentiroso) 
lhe diria sobre onde está o seu contrato e ele ouviu verde, podemos inferir que os contratos 
estão na pasta vermelha, pois quem respondeu foi um mentiroso.
2ª Possibilidade: Pergunta feita ao chefe que fala mentira, o outro chefe fala a verdade
CM (chefe que fala mentira): sabemos que a resposta obtida foi verde, de acordo com o texto.
Se o quarto candidato perguntou a uma pessoa mentirosao que o outro candidato lhe diria so-
bre onde está o seu contrato e ele ouviu verde, podemos inferir que esse chefe mentiroso ouviu 
foi vermelha, porém ele tem que mentir. Logo os contratos estão na pasta vermelha.
Certo.
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027. (CESPE/DPU/ANALISTA/2016) Quatro candidatos a uma vaga de emprego em uma 
agência de detetives deverão passar por um teste de raciocínio lógico, que consiste em entrar 
em uma sala e descobrir em qual das duas pastas sobre a mesa, uma vermelha e outra verde, 
estão seus respectivos contratos de trabalho — os quatro contratos estão em uma mesma 
pasta. Cada um deles poderá fazer uma única pergunta a um de seus dois possíveis futuros 
chefes: um responderá sempre com a verdade e o outro sempre mentirá. Os candidatos não 
sabem, todavia, qual dos dois chefes falará a verdade e qual mentirá.
O candidato 1 perguntou a um dos chefes em qual pasta estava o seu contrato; ouviu a res-
posta e saiu. O candidato 2 fez a mesma pergunta do primeiro candidato só que, casualmente, 
escolheu o outro chefe, ouviu a resposta e se retirou. O candidato 3 entrou na sala, pegou uma 
das pastas nas mãos e perguntou a um dos chefes:
— O seu amigo me diria que nesta pasta se encontra o meu contrato?
Ouviu a resposta e saiu. Entrou o último candidato e, com o dedo apontado para um dos che-
fes, perguntou ao outro:
— Em que pasta ele diria que está o meu contrato?
— “Na verde”, foi a resposta que ele obteve.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
É correto inferir que o chefe que respondeu ao candidato 1 falava a verdade e que o outro mentia.
Não é possível saber qual dos dois chefes fala a verdade e quem mente. O que podemos inferir 
conforme questão anterior a cor da pasta em que se encontra os contratos.
Errado.
028. (CESPE/DPU-ANALISTA/2016) Quatro candidatos a uma vaga de emprego em uma 
agência de detetives deverão passar por um teste de raciocínio lógico, que consiste em entrar 
em uma sala e descobrir em qual das duas pastas sobre a mesa, uma vermelha e outra verde, 
estão seus respectivos contratos de trabalho — os quatro contratos estão em uma mesma 
pasta. Cada um deles poderá fazer uma única pergunta a um de seus dois possíveis futuros 
chefes: um responderá sempre com a verdade e o outro sempre mentirá. Os candidatos não 
sabem, todavia, qual dos dois chefes falará a verdade e qual mentirá.
O candidato 1 perguntou a um dos chefes em qual pasta estava o seu contrato; ouviu a res-
posta e saiu. O candidato 2 fez a mesma pergunta do primeiro candidato só que, casualmente, 
escolheu o outro chefe, ouviu a resposta e se retirou. O candidato 3 entrou na sala, pegou uma 
das pastas nas mãos e perguntou a um dos chefes:
— O seu amigo me diria que nesta pasta se encontra o meu contrato?
Ouviu a resposta e saiu. Entrou o último candidato e, com o dedo apontado para um dos che-
fes, perguntou ao outro:
— Em que pasta ele diria que está o meu contrato?
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— “Na verde”, foi a resposta que ele obteve.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Considere que a pasta que o candidato 3 tenha segurado quando entrou na sala seja aquela 
que continha os contratos. Nesse caso, a resposta do chefe a quem ele dirigiu a pergunta 
será “Sim”.
O candidato 03 fez uma pergunta: O seu amigo me diria que nesta pasta se encontra o 
meu contrato?
Temos que levar em conta que a pergunta acima pode ter sido feita para o chefe que fala a 
verdade, bem como para o chefe que mente, logo vamos supor as duas possibilidades e consi-
derar que a pasta que o candidato 03 pegou estava com o contrato.
Resposta se o chefe for o que fala a verdade: disse “não”, pois o outro chefe tem que mentir.
Resposta se o chefe for o que fala a mentira: disse “não”, pois este chefe mente, porém ele 
ouviu sim.
Errado.
029. (2016/FCC/PREFEITURA DE TERESINA – PI/ASSISTENTE TÉCNICO DE SAÚDE)
Paulo, Francisco, Carlos, Henrique e Alexandre são irmãos, sendo que apenas um deles que-
brou um vaso na sala de casa. Ao investigar o ocorrido, a mãe dos cinco ouviu de cada um as 
seguintes afirmações:
Paulo: − Fui eu quem quebrou o vaso.
Francisco: − Eu não quebrei o vaso.
Carlos: − Foi Alexandre quem quebrou o vaso.
Henrique: − Francisco está mentindo.
Alexandre: − Não foi Carlos quem quebrou o vaso.
Se apenas um dos cinco irmãos disse a verdade, quem quebrou o vaso foi
a) Henrique.
b) Francisco.
c) Paulo.
d) Carlos.
e) Alexandre.
Nas provas de concursos, temos questões em que as bancas exigem dos candidatos uma aná-
lise referente às declarações realizadas em uma determinada situação, procurando, na maioria 
das vezes, saber quem é o mentiroso e até mesmo o culpado de um determinado delito.
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Nas questões com declarações onde existem pessoas que mentem e falam a verdade, em que 
podemos perceber existir uma contradição entre declarações iremos aplicar o que foi exposto 
referente às três leis do pensamento.
Aplicando o “método da contradição”, devido a presença de pessoas que mentem e pessoas 
que falam a verdade na conversação, podemos perceber que existe uma contradição entre 
Henrique e Francisco, quando Henrique afirma que Francisco está mentindo. Representando 
as declarações temos:
A questão afirmar que apenas um dos cinco irmãos disse a verdade, logo a única verdade está 
na contradição, ou seja, entre Francisco e Henrique.
Então podemos colocar “falso” em Paulo, Carlos e Alexandre.
A partir da declaração de Alexandre, que diz que não foi Carlos, podemos inferir que foi Carlos, 
pois Alexandre é mentiroso.
Se, porventura, a questão solicitasse quem falou a verdade, só pode ser Francisco, uma vez 
que ele se encontra na contradição.
Letra d.
030. (FCC/METRÔ-SP/AGENTE DE SEGURANÇA/2015) Três amigos fazem as seguintes 
afirmações:
André: − Beto é mentiroso.
Beto: − Carlos diz a verdade.
Carlos: − André e Beto são mentirosos.
Do ponto de vista lógico, é possível que
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a) André e Beto estejam dizendo a verdade.
b) André esteja mentindo.
c) Carlos esteja mentindo.
d) André e Carlos estejam mentindo.
e) Beto esteja dizendo a verdade.
A partir das declarações temos duas possibilidades:
Carlos: (André) (F) é (Beto são mentirosos) (V) = F
Como os amigos André e Beto estão em contradição, sabemos que teremos um falando a 
verdade e outromentindo, logo vamos realizar a seguinte possibilidade: colocar André falando 
a verdade e Beto mentindo. Segundo a possibilidade utilizada temos que Carlos mente, pois 
mesmo ele falando a verdade e uma mentira, pois temos um conectivo de conjunção que V e 
F operados resulta em F.
A questão afirma: “Do ponto de vista lógico, é possível que”, sendo assim as valorações dadas 
as declarações de André, Beto e Carlos não trouxeram nenhum problema, em que André falou 
a verdade, Beto mentiu e Carlos mentiu.
Letra c.
031. (FCC/TCE-CE/SUPORTE ADMINISTRATIVO/2015). Em uma família de 6 pessoas, um bolo foi 
dividido no jantar. Cada pessoa ficou com 2 pedaços do bolo. Na manhã seguinte, a avó percebeu 
que tinham roubado um dos seus dois pedaços de bolo. Indignada, fez uma reunião de família para 
descobrir quem tinha roubado o seu pedaço de bolo e perguntou para as outras 5 pessoas da famí-
lia: “Quem pegou meu pedaço de bolo”?
As respostas foram:
Guilherme: “Não foi eu”.
Telma: “O Alexandre que pegou o bolo”.
Alexandre: “A Caroline que pegou o bolo”.
Henrique: “A Telma mentiu”.
Caroline: “O Guilherme disse a verdade”.
A avó, sabendo que uma pessoa estava mentindo e que as outras estavam falando a verdade, 
pôde concluir que quem tinha pegado seu pedaço de bolo foi
a) Guilherme.
b) Telma.
c) Alexandre.
d) Henrique.
e) Caroline.
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Aplicando o “método da contradição”, devido a presença de pessoas que mentem e pessoas 
que falam a verdade na conversação, podemos perceber que existe uma contradição entre 
Telma e Henrique, quando Henrique afirma que Telma mentiu. Representando as declarações 
temos:
Guilherme: “Não foi eu” èV
A única mentira está entre Telma e Henrique, logo os demais estão falando a verdade, assim 
Alexandre disse que foi Caroline. Podemos inferir que a mentirosa é Telma e Caroline foi quem 
pegou o bolo.
Letra e.
032. (ESAF/2009/MPU/ANALISTA). Uma empresa produz androides de dois tipos: os de tipo V, 
que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista 
em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco androides – rotulados de Alfa, 
Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre 
os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde, mas Dr. Turing, 
distraído, não ouve a resposta. Os androides restantes fazem, então, as seguintes declarações:
Beta: “Alfa respondeu que sim”.
Gama: “Beta está mentindo”.
Delta: “Gama está mentindo”.
Épsilon: “Alfa é do tipo M”.
Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir correta-
mente que o número de androides do tipo V, naquele grupo, era igual a
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
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Temos uma questão interessante, pois para a pergunta feita pelo Dr. Turing só existe uma res-
posta independentemente do tipo de androide que esteja respondendo, pois para a pergunta 
feita ao androide Alfa: “Você é do tipo M?” se ele for do tipo V a resposta será “Não”, se ele 
for do tipo M, a resposta também será “Não”, ou seja, mesmo não ouvindo o que o androide 
dissera Dr. Turing já sabia a resposta. Assim podemos inferir se os demais androides falam a 
verdade ou mentem.
Analisando os que os demais responderam e partindo do pressuposto que o androide Alfa 
respondeu: “Não”, temos:
Beta: “Alfa respondeu que sim”. (Beta mentiu, pois Alfa disse “não”)
Gama: “Beta está mentindo”. (Gama fala a verdade, pois Beta mentiu quando afirmou que Alfa 
respondeu “sim”)
Delta: “Gama está mentindo”. (Delta mentiu, pois Gama disse a verdade)
Épsilon: “Alfa é do tipo M”. (Não podemos definir se Épsilon está mentindo ou falando a verda-
de, pois não sabemos que tipo de Androide é o Alfa, uma vez que independentemente do tipo 
de androide que ele seja, a resposta será sempre “não”)
Atribuindo verdade ou mentira aos androides temos:
Alfa: Não sabemos (verdade ou mentira)
Beta: Mentiu (tipo M)
Gama: verdade (tipo V)
Delta: Mentiu (tipo M)
Épsilon: Não sabemos (verdade ou mentira)
Podemos inferir que dois androides serão do tipo V, sendo os androides Gama e Alfa ou Gama 
e Épsilon.
Letra b.
033. (VUNESP) Em um programa de auditório, há um jogo que consiste de quatro portas, numera-
das de 1 a 4, com um homem na frente de cada porta. Atrás de apenas uma porta há um prêmio e 
o participante sabe que o homem na frente dessa porta sempre fala a verdade. Dos quatro homens 
que vigiam as portas, exatamente um irá mentir sempre e os demais sempre dirão a verdade. Esses 
homens sabem atrás de que porta está o prêmio, e, em certa rodada, disseram:
Porta 1: o prêmio não está na minha porta.
Porta 2: o prêmio não está na porta 4.
Porta 3: o homem da porta 4 está mentindo.
Porta 4: o prêmio está na porta 3.
O número da porta aonde está o prêmio e o número da porta do homem que mente são, res-
pectivamente, iguais a
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a) 1 e 3.
b) 2 e 4.
c) 3 e 1.
d) 3 e 4.
e) 4 e 2.
Primeiramente vamos destacar o que diz o enunciado:
1) Existe apenas UM prêmio e está atrás de UMA porta.
2) UM dos homens que vigiam as portas é mentiroso.
3) TRÊS homens que vigiam as portas falam a verdade.
Analisando o que os homens dizem sobre as portas 3 e 4 já sabemos que um deles é o men-
tiroso e o outro fala a verdade. Então o que disseram nas portas 1 e 2 é verdade. Portanto, 
eliminamos as alternativas ‘a’, ‘c’ e ‘e’, Beleza?
a) pois o prêmio não está atrás da porta 1.
c) pois o homem que está na frente da porta 1 sempre fala a verdade.
e) pois o homem que está na frente da porta 2 sempre fala a verdade.
Analisando com mais cuidado a alternativa (d) também podemos eliminá-la, pois se o prêmio esti-
vesse atrás da porta 3, então o que o homem disse na porta 4 seria verdade e o mentiroso seria o 
homem da porta 3. Porém, não há resposta em que o prêmio e o homem que mente são da porta 3.
Assim, a alternativa (b) atende perfeitamente quanto as condições dadas no enunciado. O 
homem na frente da porta 4 é o mentiroso e o da porta 3 diz a verdade. Assim, o prêmio só 
poderia estar na porta 2.
Letra b.
034. (VUNESP) Artur, Breno e Ciro estavam brincando sozinhos em casa. À tarde, quando sua 
mãe, dona Maricota, chegou, encontrou o seu belo vaso de cristal quebrado em mil pedaços. 
Muito brava, perguntou aos três sobre quem havia sido o culpado.
Eis a resposta de cada um dos meninos:
Artur: “Não foi o Breno!”
Breno: “Artur está dizendo a verdade.”
Ciro: “Não foi o Artur!”
Dona Maricota sabe que um dos meninos sempre mente e os outros dois sempre falam a ver-
dade. Sendo assim, pôde concluir corretamente que
a) Artur mentiu, e Breno quebrou o vaso.
b) Ciro mentiu, e Artur quebrou o vaso.
c) Breno mentiu, e Artur quebrou o vaso.
d) Breno mentiu, e Ciro quebrou o vaso.
e) Artur mentiu, e Ciro quebrou o vaso.
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Fique ligado nessa dica: caso um dos meninos afirme que o outro está falando a VERDADE, 
então necessariamente eles pertencem ao MESMO GRUPO. Ou seja, são dois mentirosos ou 
dois que falam a verdade, ok?
“Breno: Arthur está dizendo a verdade.” - Temos aqui a chave do problema, pois há apenas um 
mentiroso na questão. Desta forma, não há como Breno e Arthur pertencerem ao grupo dos 
mentirosos. Assim, concluímos que Ciro é o mentiroso.
“Ciro: Não foi o Arthur!” - Sabendo que Ciro é mentiroso, podemos então concluir que FOI O 
ARTHUR!
Assim teremos que, Ciro mentiu, e Arthur quebrou o vaso.
Letra b.
035. (VUNESP) Antônio, Bernardo e Caetano são três amigos. Sempre que uma pergunta é 
feita a eles, dois falam a verdade e um mente.
Ao serem questionados sobre quem era o mais velho, responderam:
Antônio: Bernardo nasceu primeiro.
Bernardo: Eu não sou o mais velho.
Caetano: Antônio é o mais velho.
O nome de quem mentiu ao responder essa pergunta e o nome do mais velho dos amigos são, 
respectivamente,
a) Bernardo e Bernardo.
b) Bernardo e Caetano.
c) Antônio e Antônio.
d) Caetano e Caetano.
e) Antônio e Bernardo.
Nessa questão podemos encontrar uma contradição, entre Antônio e Bernardo, uma vez que 
Antônio diz que Bernardo é o mais velho (nasceu primeiro) e Bernardo afirma que não é o mais 
velho. Assim podemos inferir que um deles mente e o outro fala a verdade.
Como sabemos que dois falam a verdade, e a única mentira está entre Bernardo e Antônio, 
podemos inferir que Caetano fala a verdade.
Se Caetano fala a verdade, ele diz que Antônio é o mais velho, o que realmente é.
Assim Bernardo falou a verdade, e consequentemente Antônio mente.
Letra c.
036. Alexandre, Carlos e Marcio são amigos, e seus apelidos, não necessariamente nessa or-
dem, são Titi, Totó e Tutu. Ao serem questionados sobre quem tinha qual apelido, responderam:
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• Alexandre: “Eu sou Titi”
• Carlos: “Eu não sou Titi”
• Marcio: “Eu não sou Totó”
No entanto, Paulo, que sabia os apelidos dos três, avisou, corretamente, que apenas um dis-
sera a verdade ao responder à pergunta. Os apelidos de Alexandre, Carlos e Marcio são, res-
pectivamente,
a) Titi, Totó e Tutu.
b) Titi, Tutu e Totó.
c) Totó, Titi e Tutu
d) Totó, Tutu e Titi.
e) Tutu, Totó e Titi.
Se Alexandre estiver falando a verdade e for Titi gera uma contradição com Carlos que diz não 
ser Titi e teria que estar mentindo, pois só existe um que fala a verdade.
Se Alexandre mente, então ele não é Titi e só pode ser Totó ou Tutu.
Se Carlos mente, então ele é Titi.
Se os dois mentem, Marcio tem que falar a verdade, então ele não é Totó e é Tutu.
Sendo assim, Alexandre é Totó; Carlos Titi e Marcio Tutu.
Letra c.
037. (VUNESP) Considere as frases ditas por Paulo, Roberto e Sérgio.
Paulo diz: Roberto é alto.
Roberto diz: Paulo mentiu.
Sérgio diz: Roberto mentiu.
Sabe-se que um, e apenas um deles, não falou a verdade. Desta maneira, é possível concluir 
corretamente que
a) Roberto não é alto e Paulo mentiu.
b) Roberto é alto e Paulo mentiu.
c) Roberto não é alto ou Sérgio mentiu.
d) Roberto é alto ou Sérgio mentiu.
e) Roberto não é alto e Roberto mentiu.
Vamos fazer esta questão por experimentação, sabendo que temos duas verdades e uma mentira.
HIPÓTESE 1 HIPÓTESE 2 HIPÓTESE 3
PAULO mentira verdade verdade
ROBERTO verdade mentira verdade
SÉRGIO verdade verdade mentira
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Hipótese 1 – Temos uma contradição entre as declarações, ou seja, uma pessoa que fala a 
verdade, mente ao mesmo tempo. ( descartar)
Hipótese 2 - quando Paulo diz que Roberto é alto ele de acordo com a tabela diz a verdade, por-
tanto Roberto é alto. Em seguida Roberto diz que Paulo mentiu e de acordo com a tabela quem 
acaba mentindo é Roberto. Sérgio diz que Roberto mentiu e de acordo com a tabela Roberto 
realmente mentiu, com isso concluímos que:
Roberto é alto, Paulo não mentiu e Roberto mentiu
Vamos agora para as alternativas:
a) Roberto não é alto e Paulo mentiu: (FALSO) ᴧ (FALSO) = (FALSO)
b) Roberto é alto e Paulo mentiu: (VERDADEIRO) ᴧ (FALSO) = (FALSO)
c) Roberto não é alto ou Sérgio mentiu: (FALSO) ᴠ (FALSO) = (FALSO)
d) Roberto é alto ou Sérgio mentiu: (VERDADEIRO) ᴠ (FALSO) = (VERDADEIRO)
e) Roberto não é alto e Roberto mentiu: (FALSO) ᴧ (VERDADEIRO) = (FALSO)
Letra d.
038. (VUNESP) Na cidade de Godelia, cada habitante ou é torpe e sempre fala mentiras, ou 
é probo e sempre fala a verdade, e seus habitantes conhecem a natureza, torpe ou probo, e a 
profissão de cada outro habitante. Um turista, visitando a cidade, encontrou três casais dis-
cutindo, e foi informado, corretamente, que um casal era formado por torpes, outro casal por 
probos e o terceiro casal tinha um torpe e um probo.
Os casais fizeram as seguintes afirmações:
Senhor Gyzt: Eu não sou o matemático.
Senhora Gyzt: O senhor Zygt é o matemático.
Senhor Tygz: Eu não sou o matemático.
Senhora Tygz: O senhor Gyzt é o matemático.
Senhor Zygt: O senhor Gyzt é probo.
Senhora Zygt: O senhor Tygz é o matemático.
Sabendo-se que, dos três maridos, apenas um é o matemático, seu nome e sua natureza são, 
respectivamente,
a) Senhor Gyzt, torpe.
b) Senhor Gyzt, probo.
c) Senhor Zygt, probo.
d) Senhor Tygz, probo.
e) Senhor Tygz, torpe.
Temos uma questão de Verdades e Mentiras. Nesse tipo de questão devemos experimentar e verifi-
car se há ou não uma contradição. Se houver uma contradição a hipótese será descartada.
São 3(três) casais:
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• Casal de torpes (mentirosos);
• Casal de probos (dizem a verdade);
• Casal misto (um torpe e um probo, sem sabermos se é o marido ou a esposa).
• Quem é o matemático?
Hipótese 1
Senhor e senhora Gyzt - probos e dizem a verdade (VV)
Senhor e senhora Tygz - torpes e mentem (FF)
Senhor e senhora Zygt - casal misturado (VF ou FV)
1) Senhor Gyzt: Eu não sou o matemático.
Pressupomos que o senhor Gyzt é probo e diz a verdade, então temos que concluir que ele não 
é matemático.
Senhora Gyzt: O senhor Zygt é o matemático.
A senhora Gyzt também é proba, então ela diz a verdade.
Se não houver contradição (mas haverá) logo, a resposta já foi encontrada.
2) Senhor Tygz: Eu não sou o matemático.
Aqui surgiu uma contradição. Conforme a hipótese criada, o senhor Tygz é torpe, isto é, ele 
mente. Se ele mente, então o que ele diz é falso e a verdade é que ele seria o matemático. No 
entanto, concluímos no item anterior que o matemáticoera o senhor Zygt. Como somente um 
deles pode ser matemático, isto nos leva a concluir que a nossa hipótese está errada e vamos 
recomeçar o exercício com uma hipótese diferente.
Hipótese 2
Senhor e senhora Gyzt - casal misturado (VF ou FV)
Senhor e senhora Tygz - torpes e mentem (FF)
Senhor e senhora Zygt - probos e dizem a verdade (VV)
1) Senhor Gyzt: Eu não sou o matemático.
Como ele pertence ao casal misturado, não é possível concluir, pois não sabemos se ele diz 
a verdade ou mente. Notem que ou o marido ou a esposa é torpe ou probo. Se um for torpe, o 
outro é probo e vice-versa.
Senhora Gyzt: O senhor Zygt é o matemático.
Mesmo caso anterior: não é possível concluir, pois não sabemos se ela diz a verdade ou mente.
2) Senhor Tygz: Eu não sou o matemático.
Como ele mente, esta informação é falsa, então ele é o matemático.
Senhora Tygz: O senhor Gyzt é o matemático.
Ela também mente, então o senhor Gyzt não é matemático.
Não há contradições por enquanto, pois quem deve ser o matemático é o senhor Tygz.
3) Senhor Zygt: O senhor Gyzt é probo.
Nesta hipótese, o senhor e a senhora Zygt são probos e dizem a verdade. Se ele diz a verdade, então 
o senhor Gyzt é probo e, por consequência, a senhora Gyzt é torpe, pois eles são o casal misturado.
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Neste caso, devemos voltar às primeiras afirmações e avaliar as sentenças do senhor e da 
senhora Gyzt, sob o prisma do primeiro ser probo e a segunda ser torpe.
Verificamos que não há problemas, pois o senhor Gyzt está falando a verdade ao negar ser matemá-
tico e a senhora Zygt está mentindo, pois o matemático é o senhor Tygz e não o senhor Zygt.
Senhora Zygt: O senhor Tygz é o matemático. Ela diz a verdade e confirma que o matemático 
é o senhor Tygz.
Portanto, não houve conflitos. Então, a nossa hipótese está correta e o matemático é realmen-
te o senhor Tygz e ele é torpe.
Letra e.
Hora da verdade!!!
039. (INVESTIGADOR DE POLÍCIA CIVIL/VUNESP/2018) Angélica, Bernadete, Cleuza, Dolores e 
Edite são amigas e brincavam de se pintarem na casa de Edite, quando uma delas virou um vidro de 
esmalte, sujando todo o tapete. A mãe de Edite perguntou: quem derramou esse esmalte?
Fui eu, gritou Edite.
Não fui eu, disse Dolores.
A Edite mentiu, falou Cleuza.
Eu não vi direito, mas foi a Bernadete ou a Edite, disse a Angélica.
Não derramei nada e a Cleuza também não, falou Bernadete.
Sabendo-se que uma e apenas uma dessas amigas mentiu, é possível concluir logicamente 
que quem derramou o vidro de esmalte foi a
a) Bernadete.
b) Cleuza.
c) Angélica.
d) Dolores.
e) Edite.
Nessas questões com verdades e mentiras, é importante procurar uma contradição. Dessa 
forma fica muito simples a resolução.
Edite: fui eu (V)
Dolores: Não fui eu (V)
Cleuza: Edite mentiu (F)
Angélica: Eu não vi direito, mas (e) foi Bernadete ou Edite.(V)
Bernadete: Não derramei nada e a Cleuza também não. (V)
Partindo de uma contradição, temos que as amigas Cleuza e Edite estão em contradição, logo 
a única mentira que existe na questão estão entre elas. As demais declarações são verdadei-
ras, de onde iremos descobrir quem derramou o vidro de esmalte.
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Pelas afirmações verdadeiras podemos inferir que não foi Dolores, pois ela disse a verdade.
Pela afirmação de Angélica podemos inferir que ela não viu, porém foi Bernadete ou Edite.
Pela afirmação de Bernadete, não foi ela nem a Cleuza.
Dessa forma só pode ter sido Edite.
Letra e.
3. Questões com rAciocínio espAciAl (figurAs), seQuenciAl e temporAl
Questões com Numerações
Tomando o algarismo 2 como exemplo, mas serve para os demais com exceção do 0 (zero).
Construiremos um padrão para resolvermos as questões que perguntam quantas vezes 
aparece um determinado algarismo
Do número 1 a 99 temos:
1 → 9 = aparece uma vez (número 2)
10 → 19 = aparece uma vez (número 12)
20 → 29 = aparece onze vezes (números: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 e 29).
30 → 39 = aparece uma vez (número 32)
40 → 49 = aparece uma vez (número 42)
50 → 59 = aparece uma vez (número 52)
60 → 69 = aparece uma vez (número 62)
70 → 79 = aparece uma vez (número 72)
80 → 89 = aparece uma vez (número 82)
90 → 99 = aparece uma vez (número 92)
Sendo assim, temos o número 2 aparecendo 20 vezes, ou seja, teremos (1) uma vez em 
cada dezena e na dezena do número desejado teremos 11 vezes. O algarismo 0 (zero) apare-
ce 9 vezes.
Do número 100 ao 999 temos:
100 → 199 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena não influenciam, demons-
trado acima. (20)
200 → 299 = aparecem 120 vezes, pois os números da centena influenciam, logo temos 20 
vezes das dezenas mais 100 vezes das centenas. (120)
300 → 399 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena não influenciam, demons-
trado acima. (20)
400 → 499 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena não influenciam, demons-
trado acima. (20)
500 → 599 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena não influenciam, demons-
trado acima. (20)
600 → 699 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena não influenciam, demons-
trado acima. (20)
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700 → 799 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena não influenciam, demons-
trado acima. (20)
800 → 899 = aparecem vinte vezes, pois os números da centena não influenciam, demons-
trado acima. (20)
900 → 999 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena não influenciam, demons-
trado acima. (20)
Sendo assim, temos o número 2 aparecendo 120 vezes na centena do número desejado e 
20 vezes nas demais.
Do número 1000 ao 1999 temos:
1000 → 1099 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena e unidade de milhar 
influenciam.
1100 → 1199 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena e unidade de milhar não 
influenciam.
1200 → 1299 = aparecem 120 vezes, pois os números da centena influenciam e os da uni-
dade de milhar não influenciam.
1300 → 1399 = parecem 20 vezes, pois os números da centena e unidade de milhar não 
influenciam.
1400 → 1499 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena e unidade de milhar não 
influenciam.
1500 → 1599 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena e unidade de milhar não 
influenciam.
1600 → 1699 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena e unidade de milhar não 
influenciam.
1700 → 1799 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena e unidade de milhar não 
influenciam.
1800 → 1899 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena e unidade de milhar não 
influenciam.
1900 → 1999 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena e unidade de milhar não 
influenciam.
A unidade de milhar influencia quando coincidir em ser o próprio número desejado.
040. (FCC) Um livro tem 300 páginas, numeradas de 1 a 300. A quantidade de vezes que o al-
garismo 2 aparece na numeração das páginas desse livro é:
a) 160.
b) 154.
c) 150.
d) 142
e) 140.
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De acordo com a explicação anterior, podemos concluir que:
De 1 a 99 → 20 vezes.
100 a 199 → 20 vezes.
200 a 299 → 120 vezes.
Somando temos: 160 vezes.
Letra a.
041. (CESGRANRIO) Escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111, quantas vezes o 
algarismo 1 é escrito?
a) 481.
b) 448.
c) 420.
d) 300.
e) 289.
Conforme a explicação anterior, podemos concluir que:
De 1 a 99 → 20 vezes.
100 a 999 → 280 vezes.
1000 a 1099 → 120 vezes.
1100 a 1111 → 28 vezes.
Somando temos: 448 vezes.
Letra b.
Questões com Numerações de Páginas (Comuns nas Provas da FCC, FGV e 
CESGRANRIO)
Construiremos um padrão para resolvermos as questões que perguntam quantas páginas 
podem ser numeradas com uma determinada quantidade de algarismos
Do número 1 ao 100 temos:
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Do número 101 ao 999 temos:
Para cada página teremos 3 algarismos, logo quando for calcular a quantidade de páginas 
é só dividir por 3.
Obs.: � Para as questões de concursos públicos, tendo como referência os seis últimos anos, 
já é o suficiente. Vejamos.
042. (FCC) Se para numerar as páginas de um livro foram usados 357 algarismos, qual a quan-
tidade de páginas cuja numeração corresponde um número par?
a) 70.
b) 77.
c) 80.
d) 87.
e) 90.
Segundo a explicação anterior, podemos concluir que:
De 1 a 100 → 192 algarismos → 100 páginas
Logo, subtraindo 192 de 357 sobram, ainda, 165 algarismos. Como a partir de agora as páginas 
possuem 3 algarismos (para questões de concursos), dividiremos 165 por 3, calculando as 
páginas restantes: 165/3 → 55 páginas.
Total → 155 páginas
Como foi perguntado quantas páginas são pares, é só dividir o resultado por 2.
155/2 = 77 e resta 1. (77 pares e 78 ímpares)
Letra b.
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Raciocínio Lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
043. (FCC) Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Prin-
cípios Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contracapa, a 
numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram 
usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é.
a) 97.
b) 99.
c) 111.
d) 117.
e) 126.
Segundo a explicação anterior, podemos concluir que:
De 1 a 100 → 192 algarismos → 100 páginas
Logo, subtraindo 192 de 225 sobram, ainda, 33 algarismos. Como a partir de agora as páginas 
possuem 3 algarismos (para questões de concursos), dividiremos 33 por 3, calculando as pá-
ginas restantes: 33/3 → 11 páginas.
Total → 111 páginas
Letra c.
Questões com Método da Pior Hipótese
Princípio da Casa dos Pombos
O princípio do pombal ou princípio da casa dos pombos é a afirmação de que se n pombos devem ser 
postos em m casas, e se n > m, então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo. Matematica-
mente falando, isto quer dizer que se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o 
número de elementos de um outro conjunto B, então uma função de A em B não pode ser injetiva.
É também conhecido como teorema de Dirichlet ou princípio das gavetas de Dirichlet, pois supõe-
-se que o primeiro relato deste princípio foi feito por Dirichlet em 1834, com o nome de Schubfa-
chprinzip (“princípio das gavetas”).
O princípio do pombal é um exemplo de um argumento de calcular que pode ser aplicado em muitos 
problemas formais, incluindo aqueles que envolvem um conjunto infinito. Embora se trate de uma 
evidência extremamente elementar, o princípio é útil para resolver problemas que, pelo menos à 
primeira vista, não são imediatos. Para aplicá-lo, devemos identificar, na situação dada, quem faz o 
papel dos objetos e quem faz o papel das gavetas
044. (FGV) Uma aldeia tem 1000 índios, todos vestidos da mesma forma, mas numerados de 
1 a 1000. Todos só falam a verdade, mas, para qualquer pergunta, só podem responder sim ou 
não. Uma pessoa chega à aldeia e, para saber quem é o chefe, deve fazer perguntas a qualquer 
índio, já sabendo quais são as duas únicas “respostas possíveis. O número mínimo de pergun-
tas que devem ser feitas para que se tenha a certeza de conhecer o chefe da aldeia é:
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http://pt.wikipedia.org/wiki/Elemento
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto
http://pt.wikipedia.org/wiki/Finito
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_injectiva
http://pt.wikipedia.org/wiki/Dirichlet
http://pt.wikipedia.org/wiki/1834
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_infinito
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Raciocínio Lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
a) 10.
b) 20.
c) 500.
d) 100.
e) 50.
Esta questão tem como objetivo encontrar o chefe da aldeia com a menor quantidade possível 
de perguntas para que se tenha certeza. Vamos aqui aplicar uma ideia de busca binária, ou 
seja, temos 1.000 índios onde todos falam a verdade, porém só sabem falar: sim ou não. A 
melhor opção é realizarmos o seguinte:
A pergunta será feita para um dos índios de cada grupo formado, da seguinte maneira: “O 
Chefe está entre vocês?”, a resposta será sim ou não, como o índio não mente, dividiremos os 
remanescentes em dois grupos.
Nas perguntas 4 e 5, adotamos o grupo com maior quantidade, porém a resposta do índio nos 
levará à melhor escolha.
Logo, na décima pergunta teremos certeza de termos encontrado o chefe da aldeia.
Letra a.
045. (FGV) Em um baú há 15 lenços brancos, 25 vermelhos e 12 pretos. O número mínimo de 
lenços que devem ser retirados do baú para que se possa garantir que, entre os lenços retira-
dos, haja pelo menos quatro de mesma cor é:
a) 44.
b) 10.
c) 12.
d) 4.
e) 45.
Esta questão nos exige uma certeza para que possamos retirar uma quantidade de lenços e 
que tenhamos entre os retirados pelo menos quatro lenços da mesma cor.
Neste caso iremos pensar na pior hipótese:
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
Suponhamos que você retire um lenço e este veio da cor branca, o segundo da cor vermelha 
e o terceiro preto. Bem sabemos que não há certeza disso acontecer, porém é uma situação 
totalmente contrária à desejada, logo é assim que teremos a certeza do nosso desejado acon-
tecer. Observe a ilustração.
Supondo a pior hipótese, quando se quer lenços de mesma cor, pega-se apenas decores diferentes, 
logo ao pegar o 10º lenço, com certeza ele irá repetir uma das cores (branco, vermelho ou preto).
Letra b.
046. (CESGRANRIO) Em uma caixa há 2 bolas azuis, 3 bolas amarelas e 4 bolas pretas. Serão 
retiradas N bolas dessa caixa, simultaneamente e de forma totalmente aleatória. O menor valor 
positivo de N, para que se possa garantir que haverá bolas de todas as cores, é:
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
Letra e.
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Josimar Padilha
047. (INÉDITA/2022) Uma empresa irá presentear seus funcionários pelos seus aniversários, 
logo quanto a empresa deve possuir para que se tenha certeza de que haverá pelo menos duas 
comemorações por mês?
Pelo princípio da casa dos pombos se houver mais pessoas (13) do que meses (12) é certo que 
pelo menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês.
Na verdade, estamos aplicando o método da pior Hipótese.
13.
Autoavaliação Comentada
048. (INÉDITA/2022) Em um bosque há 180 árvores. Sabe-se que cada árvore tem pelo me-
nos 30 folhas e que nenhuma árvore tem mais de 200 folhas. Pode-se concluir que:
a) existe pelo menos uma árvore com 200 folhas.
b) o número médio de folhas por árvore é 115.
c) existe alguma árvore com 115 folhas.
d) o número total de folhas é certamente maior que 6.000.
e) existem pelo menos duas árvores com mesmo número de folhas.
Pelo “método da pior hipótese”, ou seja, Princípio da Casa dos Pombos, só podemos afirmar o 
que temos certeza. Primeiramente iremos levantar algumas informações do enunciado:
1) No bosque temos 180 árvores;
2) Cada árvore possui de 30 a 200 folhas, ou seja, temos 171 quantidades diferentes; (200 – 30 
+ 1 = 171, os valores 30 e 200 são quantidades. Se apenas subtrair, excluímos um dos valores, 
o que não é correto)
Analisando cada uma das alternativas:
a) Não é certeza, uma vez que podemos ter todas as árvores com 30 folhas, por exemplo.
b) Errada. Não é certeza, uma vez que não sabemos as quantidades de folhas que cada uma 
das 180 árvores possui.
c) Errada. Não é certeza, podemos ter outras quantidades de folhas para as 180 árvores.
d) Errada. É falso, pois podemos ter no mínimo 180 árvores com 30 folhas cada, totalizando 
5400 folhas, como também um valor máximo de 180 árvores de 200 folhas cada, totalizando 
36 000 folhas.
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Josimar Padilha
e) Certa. É certeza, uma vez que temos 180 árvores e 171 quantidades diferentes de folhas, 
logo como a quantidade de árvores é maior, teremos pelo menos duas árvores com o mesmo 
número de folhas.
Letra e.
049. (INÉDITA/2022) Em um saco há 100 moedas idênticas em tamanho e forma. Uma delas, 
porém, é falsa, sendo mais leve que uma moeda verdadeira. Todas as moedas verdadeiras têm 
o mesmo peso. Com uma balança de pratos, o número mínimo de pesagens que permite des-
cobrir com certeza a moeda falsa é:
a) 5.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
e) 12
Vamos separar as moedas em 03 grupos, ou seja, dois grupos nas balanças e um grupo fora. É im-
portante observar que nos pratos da balança, as quantidades de moedas devem ser sempre iguais.
Separar em três partes proporciona uma menor quantidade de pesagens(o que se deseja).
A cada pesagem, pense na pior hipótese, ou seja, a moeda falsa estará no grupo das que so-
bram, uma vez que é a maior quantidade.
1ª pesagem: 33 + 33 = 66 (equilibrando); sobrariam 34.
2ª pesagem: 11 + 11 = 22 (equilibrando); sobram 12
3ª pesagem: 4 + 4 = 8 (equilibrando); sobram 4
4ª pesagem: 1 + 1 = 2 (equilibrando); sobram 2
5ª pesagem: 1 + 1 (desequilíbrio): encontrou a moeda.
Letra a.
4. Questões com seQuênciAs e figurAs
sucessões ou seQuênciAs
Definição
Conjunto de elementos de qualquer natureza, organizados ou escritos numa ordem bem 
determinada.
A representação de uma sequência é determinada tendo os seus elementos, ou termos, 
entre parênteses.
Não pode haver uma interpretação como ocorre nos conjuntos, pois qualquer alteração na 
ordem dos elementos de uma sequência altera a própria sequência.
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Josimar Padilha
Exemplos
a) Sucessão dos meses de um ano: (janeiro, fevereiro, março, abril... dezembro).
b) O conjunto ordenado (0, 1, 2, 3, 4, 5...) é chamado sequência ou sucessão dos núme-
ros naturais.
Termos de uma sucessão
Uma sequência ou uma sucessão numérica pode possuir uma quantidade finita ou infinita 
de termos.
Exemplos
a) (4, 8, 12, 16) é uma sequência finita.
b) (a, e, i, o, u) é uma sequência finita.
c) (3, 6, 9...) é uma sequência infinita.
a1 = 1
a2 = 3
a3 = 5
a4 = 7
...
O número que aparece no nome do 
elemento é a “ordem” dele, ou seja, a1 é o 
primeiro, a2 é o segundo etc.
representAção De umA seQuênciA
A representação matemática de uma sucessão é dada da seguinte forma:
(b1, b2, b3,...bn-1, bn), em que:
– b1 é o primeiro termo.
– b2 é o segundo termo.
– bn é o enésimo termo.
Exemplo:
Dada a sequência (–1, 2, 5, 8, 11), calcular:
a) a3 – a2
b) a2 + 3a1
Solução
a) a3 = 5 e a2 = 2 ⇒ a3 – a2 = 5 – 2 = 3
b) a2 + 3. a1 = 2 + 3 x –1 = 2 – 3 = –1
050. (CESGRANRIO/2008)
− −
=
 =
 = −
1
2
n n 1 n 2
a 2
a 3
a a a
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Josimar Padilha
Qual é o 70º termo da sequência de números (an) definida acima?
a) 2.
b) 1.
c) – 1.
d) – 2.
e) – 3.
Primeiro, construiremos a sequência para que possamos verificar qual foi o padrão utilizado 
na sucessão dos termos.
a1 = 2
a2 = 3
a3 = a2 – a1 = 1
a4 = a3 – a2 = –2
a5 = a4 – a3 = –3
a6 = a5 – a4 = –1
a7 = a6 – a5 = 2
a8 = a7 – a6 = 3
Se sobraram 4 termos, logo o termo a70 corresponde ao 4º termo: (2, 3, 1, –2, –3, –1, 2, 3, 1,...).
Letra d.
lei De formAção De umA seQuênciA
É a relação estabelecida entre os elementos da sequência que gera os demais elementos.
Exemplo: uma Progressão Aritmética (PA).
Considere o exemplo abaixo.
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Josimar Padilha
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)
O primeiro termo desta PA é 1, o segundo é 3, e assim por diante.
Quando temos um termo que não sabemos sua posição, chamamos de an, em que “n” é a 
posição ocupada pelo termo em questão. Este é o termo geral, pois pode ser qualquer um.
Voltando ao exemplo.
(1, 3, 5, 7, 9, 11,13, 15, 17...)
Como é uma PA, segue um ritmo definido (ritmo este que é a soma de duas unidades a 
cada elemento que acrescentamos). Este ritmo se chama RAZÃO, que é representada por “r”. 
Portanto, o segundo termo será a soma do primeiro mais a razão, o terceiro será a soma do 
segundo mais a razão, e assim por diante.
Vemos no exemplo acima que cada próximo termo da progressão é acrescido de duas uni-
dades, portanto r = 2. A razão pode ser estabelecida da seguinte maneira:
TABELA 1 TABELA 2
a1 = 1 = 1 a1 = a1
a2 = 3 = 1 + 2 a2 = a1 + r
a3 = 5 = 1 + 2 + 2 a3 = a1 + r + r
a4 = 7 = 1 + 2 + 2 + 2 a4 = a1 + r + r + r
a5 = 9 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 a5 = a1 + r + r + r + r
... ...
Ao analisar as tabelas 1 e 2, verificamos que somamos o primeiro termo a1 com (n–1) ve-
zes a razão.
Logo:
a1 = a1 + 0.r1
a2 = a1 + 1.r
a3 = a1 + 2.r
a4 = a1 + 3.r
a5 = a1 + 4.r
an =a1+(n-1).r
Logo, podemos definir que a Lei de Formação de uma PA é a seguinte:
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Josimar Padilha
Exemplo: uma Progressão Geométrica (PG).
Considere o exemplo abaixo.
Observe a sequência:
(4, 8, 16, 32, 64,... )
Note-se que, dividindo um termo qualquer dessa sequência pelo termo antecedente, o re-
sultado é sempre igual a 2:
a2: a1 = 8: 4 = 2
a4: a3 = 32: 16 = 2
a5: a4 = 64: 32 = 2
Progressão Geométrica (PG) é a sequência de números reais não nulos em que o quociente 
entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante).
Essa constante é chamada de razão, representada pela letra q.
Exemplos:
(1, 2, 4, 8, 16,...) é uma PG de razão q = 2
(2, –4, 8, –16,...) é uma PG de razão q = –2
Termo Geral de Uma PG
Para obtermos o termo geral de uma PG utilizando o primeiro termo (a1) e a razão (q).
Seja (a1, a2, a3,..., an) uma PG de razão q. Temos:
a2: a1 = q → a2 = a1 ⋅ q
a3: a2 = q → a3 = a2 ⋅ q → a3 = a1 ⋅ q²
a4: a3 = q → a4 = a3 ⋅ q → a4 = a1 ⋅ q³
Logo conclui-se que na ocupa a n-ésima posição da PG. Dada pela expressão:
an = a1 ⋅ qn – 1
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4,..., an,...). Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, conside-
rando o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 +... + an-1 + an
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn ⋅ q = a1 ⋅ q + a2 ⋅ q +.... + an-1 ⋅ q + an ⋅ q ⋅
Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:
Sn ⋅ q = a2 + a3 +... + an + an ⋅ q
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Josimar Padilha
Observe que a2 + a3 +... + an é igual a Sn – a1 ⋅ Logo, substituindo, vem:
Sn ⋅ q = Sn – a1 + an ⋅ q
Simplificando, temos a seguinte fórmula da soma:
1
1
⋅ −
=
−
na q aSn
q
Se substituirmos a n = a1 ⋅ qn-1, obteremos uma nova apresentação para a fórmula da 
soma, ou seja:
1
1
1
−
= ⋅
−
nqSn a
q
QUESTÃO COMENTADA
051. (CESPE) Julgue o item.
Considere-se que (an) seja uma sequência que satisfaz à seguinte relação:
an+1 – an = 2n e a1 =1.
Nesse caso, a1 + a2 +...+ a100 = 2101 – 102.
Sabendo que a1= 1 e utilizando a relação: an+1 – an = 2n
Para n = 1 temos:
an+1 – an = 2n
a1+1 – a1 = 21
a2 – 1 = 2
a2 = 2 + 1
a2 = 3
Para n = 2 temos:
an+1 – an = 2n
a2+1 – a2 = 22
a2 – 3 = 4
a2 = 4 + 3
a2 = 7
Para n = 3 temos:
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an+1 – an = 2n
a3+1 – a3 = 23
a2 – 7 = 8
a2 = 8 + 7
a2 = 15
Sendo assim, temos a seguinte sequência:
a1 = 1
a2 = 3
a3 = 7
a4 = 15
a5 = 31
a6 = 63
a100 = 2
99 + a99
De um termo para outro é observado o seguinte acréscimo:
Sequência:
+21 +21 +23 +24 +25
(a1= 1) → (a2= 3) → (a3= 7) → (a4 = 15) → (a5 = 31) → (a6 = 63) →
Analisando a sequência (progressão geométrica): 21, 22, 23, 24,..., 299
Verifica-se que cada termo é adquirido por meio da relação:
an = a1 + Sn – 1, descrevendo Sn – 1, temos:
−
=
−
1( 1)
1
n
n
a q
S
q
−
−
−
=
−
1
1
1
( 1)
1
n
n
a q
S
q
− −
=
−
12(2 1)
2 1
n
nS
= −2 2n
nS
an = a1 + Sn – 1, substituindo:
an = 1+ 2n – 2
an = 2n – 1
Encontrando os termos:
a1 = 21 – 1
a2 = 22 – 1
a3 = 23 – 1
a4 = 24 – 1
 . = . 
 . = .
 . = .
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Josimar Padilha
Certo.
seQuênciAs numéricAs
Sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma 
determinada ordem.
De acordo com a Lei de Formação de Uma Sequência, podemos perceber que uma sequên-
cia numérica é constituída de termos numéricos, ou seja, números que irão seguir um padrão 
de formação. Toda sequência numérica possui uma ordem para organização dos seus elemen-
tos, assim podemos dizer que em qualquer sequência os elementos são dispostos da seguinte 
forma: (a1, a2, a3, a4,...., an,.....) ou (a1, a2, a3,..., an), em que a1 é o 1º elemento, a2 o segundo ele-
mento e assim por diante, e an o e-nésimo elemento. Exemplos:
a) (1, 0, 0, 1) – (4, 3, 3, 4) – (5, 4, 4, 5) – (6, 7, 7, 6) – (9, 8, 8, 9)
b) 2, –4, 6, –8, –12,...
Essas sequências são diferenciadas em dois tipos:
• Sequência finita: é uma sequência numérica na qual os elementos têm fim, como, por 
exemplo, a sequência dos números múltiplos de 5 maiores que 10 e menores que 40.
(a1, a2, a3, a4,..., an) sequência finita.
• Sequência infinita: é uma sequência que não possui fim, ou seja, seus elementos se-
guem ao infinito, por exemplo: a sequência dos números inteiros.
(a1, a2, a3, a4,..., an,...) sequência infinita.
Logo podemos citar algumas sequências ou séries
I – Série de Fibonacci: é uma sequência definida na prática da seguinte forma: você come-
ça com 0 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores para 
formar o próximo. Os primeiros números de Fibonacci para n = 0, 1,... são
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...
Esta sequência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa conhecido como Fibonac-
ci, em que descreve o aumento de uma população de coelhos. Os termos descrevem o número 
de casais em uma população de coelhos depois de n meses supondo que:
1. Nasce apenas um casal no primeiro mês.
2. Os casais reproduzem-se apenas após o segundo mês de vida.
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http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Pisano_Fibonacci
http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero
http://pt.wikipedia.org/wiki/Umhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Um
http://pt.wikipedia.org/wiki/Dois
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%AAs
http://pt.wikipedia.org/wiki/Cinco
http://pt.wikipedia.org/wiki/Oito
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http://pt.wikipedia.org/wiki/Vinte_e_um
http://pt.wikipedia.org/wiki/Trinta_e_quatro
http://pt.wikipedia.org/wiki/Cinquenta_e_cinco
http://pt.wikipedia.org/wiki/Oitenta_e_nove
http://pt.wikipedia.org/wiki/Cento_e_quarenta_e_quatro
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3. No cruzamento consanguíneo não há problemas genéticos.
4. Cada casal fértil dá a luz a um novo casal todos os meses.
5. Não há morte de coelhos.
II – Número Tribonacci: um número Tribonacci assemelha-se a um número de Fibonacci, 
mas em vez de começarmos com dois termos predefinidos, a sequência é iniciada com três 
termos predeterminados, e cada termo posterior é a soma dos três termos anteriores. Os pri-
meiros números de uma pequena sequência Tribonacci são:
1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 
121415, 223317 etc.
III – Progressão Aritmética: é uma sequência de números que obedecem uma lei de forma-
ção já citada antes, isto é, an = a1 + (n–1).r, em que podemos definir cada elemento por meio do 
termo anterior juntamente com a razão. Ex.: (10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,...).
IV – Progressão Geométrica: é uma sequência de números que obedecem uma lei de for-
mação já citada antes, isto é, an = a1 ⋅ qn – 1, em que podemos definir cada elemento por meio do 
termo anterior juntamente com a razão. Ex.: (2, 6, 18, 54,...).
052. (FGV/2007) Na sequência numérica 3, 10, 19, 30, 43, 58,..., o termo seguinte ao 58 é:
a) 75.
b) 77.
c) 76.
d) 78.
e) 79.
As questões de sequências, em sua maioria, traz uma lógica que será percebida com bastante 
treino. Vejamos esta sequência:
– Primeiro termo: 3
– Segundo termo: 10
– Terceiro termo: 19
– Quarto termo: 30
Concluímos que o quinto termo realmente é 43, pois entre o primeiro e o segundo aumentou 7 
unidades; entre o segundo e o terceiro aumentou 9 unidades; entre o terceiro e o quarto aumen-
tou 11 unidades. Percebe-se, então, que o aumento acontece da seguinte forma:
(7, 9, 11, 13, 15, 17 e...), logo do termo 58 para o seu sucessor temos um aumento de 17 unida-
des que resulta em 75 (próximo número).
Letra a.
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053. (FGV) Na sequência de algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, o 2007º 
algarismo é:
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
e) 3.
Na sequência acima temos o seguinte: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3. Observe que 
se torna um pouco difícil encontrar um padrão, pois o intervalo entre os termos não é constan-
te, porém devemos agrupar uma quantidade maior de termos transformando-os em termos 
maiores.
Sendo assim, perceberemos que [1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2,], [1, 2, 3, 4, 5,4, 3, 2,] e [1, 2, 3,...] criamos 
termos com maior quantidade de números, em que cada termo possui 8 números.
Se queremos o termo de posição 2007º, calcularemos assim:
Letra e.
Autoavaliação Comentada
054. ( FCC) Uma aranha demorou 20 dias para cobrir com sua teia a superfície total de uma 
janela. Ao acompanhar o seu trabalho, curiosamente, observou-se que a área da região coberta 
pela teia duplicava a cada dia. Se desde o início ela tivesse contado com a ajuda de outra ara-
nha de mesma capacidade operacional, então, nas mesmas condições, quantos dias seriam 
necessários para que, juntas, as duas revestissem toda a superfície de tal janela?
a) 10.
b) 12.
c) 15.
d) 18.
e) 19.
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Essa questão é bem interessante, e iremos resolvê-la de maneira intuitiva, vejamos:
A1= aranha 1.
A2 = aranha 2.
D1, D2, D3,..., D20 = dias
Vamos considerar que cada uma delas realiza a tarefa “1” no primeiro dia, e nos dias seguintes 
o valor duplica.
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15 D16 D17 D18 D19 D20
A1 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 ... ... ... ... ... ... ... ... X
A2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 ... ... ... ... ... ... ... ... X
A1+A2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 ... ... ... ... ... ... ... ... X
Podemos perceber que o trabalho que é feito por cada uma delas sozinhas em um dos dias é 
o mesmo que é realizado pelas duas no dia anterior. Assim, o trabalho realizado no vigésimo 
dia, é o mesmo que é realizado pelas duas juntas no décimo nono dia.
Letra e.
055. (VUNESP) Na sequência numérica 2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129,..., mantida a ordem preesta-
belecida, o próximo elemento é
a) 273.
b) 257.
c) 249.
d) 281.
e) 265.
Temos uma questão tranquila em que precisamos encontrar a lei de formação, ou seja, o pa-
drão realiado para formar cada uma dos termos posteriores, veja:
Primeiro termo: 2
Segundo termo: (2+1 )=3
Terceiro termo: (3 +2)=5
Quarto termo: (5 +4) = 9
Quinto termo: (9+ 8) =17
Sexto termo: (17+16) =33
Sétimo termo: (33+32) =65
Oitavo termo: (65+64)= 129
Nono termo: (129+128) = 257
Podemos observar que o termo que é somado corresponde ao dobro do anterior ( em negrito). 
Assim o próximo termo será 257.
Letra b.
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056. (VUNESP) Na sequência (4; 4; 6; 12; 30; 90;...), a partir do 2º termo, cada termo é obtido 
por meio de uma operação, ou operações, aplicada (s) ao termo imediatamente anterior. O 7º 
termo somado ao 10º termo, ambos dessa sequência, resultam em
a) 5445.
b) 7020.
c) 27035.
d) 28665.
e) 29610.
1º termo “4”
2º termo “4” multiplicar pelo termo seguinte e dividir por 2 (4x3 = 12 / 2 = 6)
3º termo “6” multiplicar pelo termo seguinte e dividir por 2 (6x4= 24/2 = 12)
4º termo “12” multiplicar pelo termo seguinte e dividir por 2 (12x5 = 60/2 = 30)
5º termo “30” multiplicar pelo termo seguinte e dividir por 2 (30x6 = 180/2 = 90)
6º termo “90” multiplicar pelo termo seguinte e dividir por 2 (90x7 = 630/2 = 315)
7º termo “315” multiplicar pelo termo seguinte e dividir por 2 (315x8 = 2520/2 = 1260)
8º termo “1260” multiplicar pelo termo seguinte e dividir por 2 (1260x9 = 11340/2 = 5670)
9º termo “5670” multiplicar pelo termo seguinte e dividir por 2 (5670x10 = 56700/2 = 28350)
10º termo 28350
Agora iremos somar 7º e 10º termos (315 + 28350 = 28.665)
Letra d.
057. (VUNESP) A sequência ((3, 5); (3, 3, 3); (5; 5); (3, 3, 5);...) tem como termos sequências 
contendo apenas os números 3 ou 5. Dentro da lógica de formação da sequência, cada termo, 
que também é uma sequência, deve ter o menor número de elementos possível. Dessa forma, 
o número de elementos contidosno décimo oitavo termo é igual a
a) 5.
b) 4.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
Vamos lá! Não se esqueça de que essas questões podem ser feitas de várias formas, ou seja, 
podemos ter mais de uma lei de formação para a mesma sequência, porém é necessário que 
todos os termos sejam incluídos na lei.
Para cada termo, será acrescentado 1 unidade. Sendo:
1º(3;5) = 8 (somar o número 3 + 5 = 8)
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2º (3;3;3) = 9
3º (5;5) = 10
4º (3;3;5) = 11
Qual sequência lógica será usada para achar o próximo resultado = 12?
5º (3;3;3;3) = 12
6º (5;5;3) = 13
7º (5;3;3;3) = 14
8º (5;5;5) = 15
9º (5;5;3;3) = 16
10º (5;3;3;3;3) = 17
Seguindo essa lógica, teremos na 18º (5;5;5;5;5) = 25 (ou seja, o número 25 está sendo repre-
sentado com o menor número de termos possível).
Então o número de elementos contidos no 18º é igual a 5
Letra a.
058. (VUNESP) O padrão de formação da sequência a seguir pode ser descoberto observando 
os algarismos do termo anterior.
5555, 5610, 5626, 5652, 5708, 5715, 5732,... 
Seja uma sequência que tenha o mesmo padrão de formação da anterior e que comece com o 
número 1551, o próximo número ímpar dessa sequência será o
a) 1715.
b) 1727.
c) 1733.
d) 1749.
e) 1751.
A sequência é uma soma dos dois dígitos do meio do número anterior na ordem inversa. Então 
para 1551 ficaria:
1551 + 55 = 1606
1606 + 06 = 1612
1612 + 16 = 1628
1628 + 26 = 1654
1654 + 56 = 1710
1710 + 17 = 1727
Letra b.
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059. (FCC/TCE-CE/SUPORTE ADMINISTRATIVO/2015). Observe a sequência (7; 5; 10; 8; 16; 14; 
28; 26; 52;...). Considerando que a sequência continue com a mesma lei de formação, a diferen-
ça entre o 16º e o 13º termo dessa sequência, nessa ordem, é igual a
a) 190.
b) −2.
c) 192.
d) 290.
e) 576.
Devemos identificar qual é a lei de formação da sequência numérica que envolve todos os ter-
mos. Representando as sequências temos:
É notável que a formação dos termos é dada pela subtração de 2 unidades e depois pela mul-
tiplicação do termo anterior por 2.
(16º termos = 386) – (13º termo – 196) → 190.
Letra a.
060. (FCC/TCE-CE/SUPORTE ADMINISTRATIVO/2015) A idade de cada uma dessas pes-
soas possui relação com a primeira letra de seu próprio nome: Samantha, 19 anos; Cleuza, 3 
anos; Paulo, 16 anos; Natasha, 14 anos; Valéria, 22 anos. Maria, Bruno e Roberto, também apre-
sentam a mesma relação entre a primeira letra de seu próprio nome e a sua respectiva idade. 
Sendo assim, a soma das idades de Maria, Bruno e Roberto é igual a
a) 33.
b) 29.
c) 42.
d) 39.
e) 34.
Considerando o alfabeto com as letras K, Y, W, temos que a primeira letra de cada nome corres-
ponde a posição da letra no alfabeto, isto é, a idade da pessoa é igual a posição da letra. Sendo 
assim para os nomes Maria (13 anos), Bruno (02 anos) e Roberto (18 anos). Desta forma a 
soma das idades: 13+2+18= 33 anos.
Letra a.
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061. (FGV/DPE-MT/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO/2015) As irmãs Elsa, Flávia e Gabriela 
possuem alturas diferentes sendo que Elsa não é a mais alta e Flávia é a mais baixa. Assim, é 
correto afirmar que
a) Gabriela é a mais baixa.
b) Flavia é a mais alta.
c) Elsa é a mais baixa.
d) Gabriela não é nem a mais baixa nem a mais alta.
e) Elsa não é nem a mais baixa nem a mais alta.
Representando os nomes pelas letras: Elsa =E, Flávia =F, Gabriela =G.
Pela primeira informação “Elsa não é a mais alta” temos as seguintes possibilidades:
Mais baixa Meio Mais alta
1ª - possiblidade. E F G
2ª - possiblidade. E G F
3ª - possiblidade. F E G
4ª - possiblidade. G E F
De acordo com a segunda informação: “Flávia é a mais baixa” só temos como possibilidade a 
3ª linha da tabela. Logo a resposta e a letra E.
Letra e.
062. (FCC) Observe a seguinte sequência de figuras formadas por “triângulos”:
Continuando a sequência de maneia a manter o mesmo padrão, é correto concluir que o núme-
ro de “triângulos” da figura 100 é:
a) 403.
b) 401.
c) 397.
d) 395.
e) 391.
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Podemos observar que as figuras seguem uma progressão aritmética em que o primeiro ter-
mos possui 5 triângulos, o segundo termo possui 9 triângulos, o terceiro termo possui 13 triân-
gulos, ou seja, aumentando sempre 4 triângulos ( razão).
Dessa forma podemos pensar o seguinte: O centésimo termo será o primeiro termo (5 triângu-
los + (99 termos x 4 (razão)) = 5 + 396 = 401 triângulos.
Letra b.
063. (VUNESP/TJ-SP/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO/2014) Observe a sequência de 
figuras feitas em uma malha quadriculada, sendo cada figura composta por quadradinhos 
brancos e pretos.
De acordo com a lei de formação dessa sequência, o número de quadradinhos brancos na 
figura 18 será igual a
a) 113
b) 103.
c) 108.
d) 93.
e) 98.
De um quadrado para o outro, percebemos que os subquadrados brancos crescem de 5 em 5, 
assim, temos uma Progressão Aritmética de razão 5 e a1 = 8 (quantidade inicial de quadradi-
nhos brancos na 1º figura), queremos encontrar o a18 (n = 18). Assim pelo termo geral da PA:
an = a1 + (n - 1)r
a18 = 8 + (18 - 1)5
a18 = 8 + 85
a18 = 93 quadrados brancos.
Letra d.
064. (CESGRANRIO/EPE/2014) A sequência (a1 , a2 , a3 ,..., a20 ) é uma progressão aritméti-
ca de 20 termos, na qual a8 + a9 = a5 + a3 + 189. A diferença entre o último e o primeiro termo 
dessa progressão, nessa ordem, é igual a
a) 19
b) 21
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c) 91
d) 171
e) 399
Temos nesse caso uma progressão aritmética é uma sequência numérica onde, a partir do 2º 
termo, a diferença entre um número e seu antecessor resulta em um valor constante r.
Dessa forma temos:
a8 + a9 = a5 + a3 + 189
a20 - a1 =?
Sabe-se que:
a1
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
...
a20 = a1+ 19r
Substituindo os termos na equação:
(a1 + 7r) + (a1 + 8r) = (a1 + 4r) + (a1 + 2r) + 189
2a1 + 15r = 2a1 + 6r + 189
15r - 6r = 189
9r = 189
r = 21
Logo,
a20 = a1 + 19r
a20 - a1 = 19r
a20 - a1 = 19 x 21
a20 - a1 = 399
Letra e.
065. (FCC/MPE-RS/AGENTE ADMINISTRATIVO/2010) Considere as progressões aritméticas:
P: (237, 231, 225, 219,...) e Q: (4, 9, 14, 19,...).
O menor valorde n para o qual o elemento da sequência Q localizado na posição n é maior do 
que o elemento da sequência P também localizado na posição n é igual a
a) 22.
b) 23.
c) 24.
d) 25.
e) 26.
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Para a primeira sequência numérica temos P: (237, 231, 225, 219,...), em que o primeiro termo 
é 237 e a razão r = -6. Logo podemos inferir que an= 237 + (n-1). -6, uma vez que o termo gera 
da PA é dado por an= a1 +( n-1)r.
Para a segunda sequência numérica temos Q: (4, 9, 14, 19,...), em que o primeiro termo é 4 e a 
razão r = 5. Logo podemos inferir que an= 4 + (n-1). 5, uma vez que o termo gera da PA é dado 
por an= a1 +( n-1)r.
De acordo com o comando temos que encontrar o menor valor de n para o qual o elemento da 
sequência Q localizado na posição n é maior do que o elemento da sequência P também locali-
zado na posição n. Assim, qual será o menor valor de n que satisfaz 4 + 5(n - 1) > 237 - 6(n - 1).
Calculando:
4 + 5(n - 1) > 237 + (n - 1).- 6
11(n - 1) > 233
n - 1 > 21,1818...
n > 22,1818...
Como n é inteiro, o menor n que é maior que 22,1818... é 23.
Letra b.
066. (FCC/BANCO DO BRASIL/ESCRITURÁRIO/2010) Uma pessoa abriu uma caderneta de 
poupança com um primeiro depósito de R$ 200,00 e, a partir dessa data, fez depósitos men-
sais nessa conta. Se a cada mês depositou R$ 20,00 a mais do que no mês anterior, ao efetuar 
o 15º depósito, o total depositado por ela era
a) R$ 4 700,00.
b) R$ 4 800,00.
c) R$ 4 900,00.
d) R$ 5 000,00.
e) R$ 5 100,00.
É importante observar que o valor dos depósitos se trata de uma progressão aritmética (PA) 
crescente de razão 20.
Desta forma, para saber o total depositado ao ser realizado o 15º depósito, basta utilizar a 
fórmula do termo geral da PA:
an = a1 + (n – 1). r
an é o n-ésimo termo;
a1 é o primeiro termo
n é a posição do termo desejado
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r é a razão da PA
Aplicando temos:
a15 = 200 + (15 – 1). 20 = 200 + 280 = 480 (depósito de número 15)
Aplicando a fórmula da soma dos n termos de uma PA:
Sn = (a1 + an). n / 2
S15 = (200 + 480).15 / 2 = 10200/2 = 5100
Letra e.
5. Questões com AplicAção De múltiplos (DAtAs)
067. (FGV) Em certo ano, o dia primeiro de março caiu em uma terça-feira. Nesse ano, o último 
dia de abril foi:
a) quarta-feira.
b) sábado.
c) sexta-feira.
d) quinta-feira.
e) domingo.
Sabemos que a semana possui 7 dias, e que, por exemplo, de uma segunda-feira para outra segun-
da-feira há um intervalo de 7 dias, isto é, podemos afirmar que acontece da seguinte maneira:
dias: M(7): (7, 14, 21, 28, 35, 42, 49,...) múltiplos de 7.
É necessário que saibamos quantos dias possui cada mês do ano, por isso é necessário falar-
mos um pouco sobre o ano bissexto.
“O ano de 2008 foi um ano bissexto. Em nosso calendário, chamado Gregoriano, os anos co-
muns têm 365 dias e os anos bissextos têm um dia a mais, totalizando 366 dias. Esta infor-
mação praticamente todo mundo sabe, mas o entendimento sobre o funcionamento dos anos 
bissextos ainda é recheado de dúvidas na cabeça de muita gente. Você saberia dizer quais são 
os anos bissextos?
Os anos bissextos são anos com um dia a mais, tendo, portanto, 366 dias. O dia extra é introduzido 
como o dia 29 de fevereiro, ocorrendo a cada quatro anos. O período de um ano se completa com 
uma volta da terra ao redor do sol. Como instrumentos de uso prático, os calendários adotam uma 
quantidadeexata de dias para o período de um ano: 365 dias. Mas na realidade, a terra leva aproxi-
madamente 365 dias e 6 horas para completar uma volta ao redor do sol.
Portanto, um calendário fixo de 365 dias apresenta um erro de aproximadamente 6 horas por 
ano, equivalente a 1 dia a cada quatro anos ou 1 mês a cada 120 anos. Um erro como esse 
tem sérias implicações nas sociedades, principalmente nas atividades que dependem de um 
conhecimento preciso das estações do ano, como a agricultura.
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Para diminuir esse erro, foi adotado o ano bissexto, acrescentando-se 1 dia a cada quatro 
anos. Foi adotado pela primeira vez no Egito, em 238 aC. O calendário Juliano, introduzido em 
45 aC, adotou a regra de que todo ano divisível por quatro era bissexto. Mas mesmo com essa 
regra ainda existia um erro de aproximadamente 1 dia a cada 128 anos. No final do século XVI 
foi introduzido o calendário Gregoriano, usado até hoje na maioria dos países, adotando as 
seguintes regras:
1 – Todo ano divisível por 4 é bissexto.
2 – Todo ano divisível por 100 não é bissexto.
3 – Mas se o ano for também divisível por 400 é bissexto.
Obs.: � Deixaremos um pouco prático dizendo assim: anos bissextos são anos Olímpicos.
Quantidade de dias em cada mês:
Janeiro – 31 dias
Fevereiro – 28 dias – (bissexto – 29 dias)
Março – 31 dias
Abril – 30 dias
Maio – 31 dias
Junho – 30 dias
Julho – 31 dias
Agosto – 31 dias
Setembro – 30 dias
Outubro – 31 dias
Novembro – 30 dias
Dezembro – 31 dias
Sendo assim, temos que calcular quantos dias existem do dia primeiro de março, que caiu em 
uma terça-feira, até o último dia de abril.
1º/03. Observação importante é que o primeiro dia não pode entrar, devendo manter uma se-
quência de sete dias (múltiplos de sete). Temos, assim, um total de 30 dias.
30/04. Conta-se o último dia. Temos, assim, 30 dias.
Como foi de terça a terça, então é só contar mais 4 dias, o que acontecerá sábado.
Letra b.
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068. (CESGRANRIO) O ano de 2007 tem 365 dias. O primeiro dia de 2007 caiu em uma segun-
da-feira. Logo, nesse mesmo ano, o dia de Natal cairá numa:
a) segunda-feira.
b) terça-feira.
c) quarta-feira.
d) quinta-feira.
e) sexta-feira.
Do dia primeiro de janeiro de 2007 até o Natal (25/12/2007) passaram-se quantos dias? Veja-
mos abaixo:
Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.
30 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 25
Obs.: � Em janeiro não entra o primeiro dia, mas em dezembro entram todos os dias até a 
data desejada.
Somando os números acima temos: 358 dias.
Um cálculo mais simples é fazermos o seguinte: o total (365 dias) menos (7 dias) – que vai de 
25 de dezembro a 1º de janeiro → 365 – 7 = 358 dias.
Passaram-se 51 semanas de segunda a segunda, e sobrou 1 dia, logo caiu em uma terça-feira.
Letra b.
Autoavaliação Comentada
069. (FCC/TRT 6ª REGIÃO/ANALISTA/2012) Em um determinado ano, o mês de abril, que 
possui um total de 30 dias, teve mais domingos do que sábados. Nesse ano, o feriado de 1º de 
maio ocorreu numa
a) segunda-feira.
b)terça-feira.
c) quarta-feira.
d) quinta-feira.
e) sexta-feira.
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Como temos no mês de abril mais domingos do que sábados, logo podemos inferir que esse mês se 
iniciou em um domingo. O intervalo de dias entre as datas: 01/04 até 01/05 são de 30 dias.
Vamos calcular quantas semanas de domingo a domingo temos nesse intervalo:
30 (dias) dividido por 7 (dias da semana) = 4 semanas e sobram 02 dias, ou seja, acontecerá 
em uma terça-feira.
Letra b.
070. (IDECAN/AGU/ANALISTA/2014) Se o ano de 2014 começou em um domingo, então o 
dia 30 de dezembro de 2017 acontecerá em qual dia da semana?
a) sábado.
b) domingo.
c) terça-feira.
d) quarta-feira.
e) segunda-feira.
É importante saber que uma mesma data no ano posterior acontecerá um dia a mais na sema-
na, caso o ano não seja bissexto, porém se for bissexto, acontecerá dois após.
01/01 /2014 = Domingo
01/01/2015 = Segunda-feira
01/01/2016 = Terça-feira (ano bissexto)
01/01/2017 = Quinta-feira
01/01/2018 = Sexta-feira.
Logo como sabemos que o ano de 2018 começou em uma sexta-feira é só voltarmos dois dias 
para que tenhamos o dia 30 de dezembro de 2017.
Desta forma temos que acontecerá em uma quarta-feira.
Letra d.
071. (IDECAN/AGU/TÉCNICO/2014) Se no dia 3 de fevereiro de 2012 foi uma sexta-feira, en-
tão o dia 17 de setembro do referido ano aconteceu em qual dia da semana?
a) terça-feira.
b) sexta-feira.
c) quarta-feira.
d) quinta-feira.
e) segunda-feira.
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Sabemos que o ano de 2012 é bissexto, logo fevereiro possui 29 dias.
Devemos calcular quantos dias possui o intervalo do dia 3 de fevereiro de 2012 até o dia 17 de 
setembro do referido ano.
Fevereiro: 26 dias
Março: 31 dias
Abril: 30 dias
Maio: 31 dias
Junho: 30 dias
Julho: 31 dias
Agosto: 31 dias
Setembro: 17 dias.
Total de dias: 227 dias possui o intervalo entre as datas.
Iremos calcular a quantidade de semanas que existem no intervalo.
227 dividido por 7(dias da semana) = 32 semanas e sobram 3 dias. Logo temos 32 semanas 
de sexta-feira a sexta-feira e sobram 3 dias, ou seja, será uma segunda-feira.
Letra e.
072. (VUNESP) Em um mês, temos 5 quintas-feiras, 5 sextas-feiras e 5 sábados. O dia em que 
caiu a terceira quarta-feira desse mês indicado foi
a) 18.
b) 19.
c) 20.
d) 21.
e) 24.
Percebe-se que para que haja 5 quintas, 5 sextas e 5 sábados é necessário um mês de 31 dias, 
e nesse caso, o mês tem que começar, necessariamente, na quinta-feira. Se não haverá apenas 
4 quintas ou 4 sábados. Do mesmo modo percebe-se que para haver este número de quintas e 
sábados o mês tem de iniciar na quinta e encerrar no sábado.
Podemos observar também:
O 1º do mês na quinta-feira.
Logo:
Dia 7: 1ª quarta-feira
Dia 14: 2ª quarta-feira
Dia 21: 3ª quarta-feira
Letra d.
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073. (VUNESP) Estela nasceu em uma segunda-feira, dia 16 de setembro de 2002; seu irmão 
nasceu 2 222 dias depois, em uma
a) segunda-feira.
b) terça-feira.
c) quarta-feira.
d) quinta-feira
e) sexta-feira.
Para resolver essa questão é preciso saber que o ano bissexto que caiu em 2000, 2004, 2008 e 
etc., possuem 366 dias. Em um ano não bissexto se começar em uma segunda feira terminará 
na segunda feira começando o ano novo na terça feira.
Então para cada ano que passa aumenta-se um dia da semana e se for ano bissexto aumenta-
rá 2 dias na semana. O ano de 2222 dias terão 6 anos e 1 mês já contando os 2 anos bissextos. 
Só que tem uma pegada nessa questão porque ele quer saber o mesmo dia 16 de setembro, 
mas temos que acrescentar um dia na semana (se 30 dias) se contarmos até o dia 15 de se-
tembro. Então para o dia 16 teremos que contar + 2 dias ficando assim: 6 anos = 6 dias, 2 anos 
bissextos = 2 dias, se passaram 1 mês e 1 dia = 2 dias. Então 6 + 2 + 2 = 10 dias. Se começou 
na segunda feira terminará na quinta feira que é o dia 16. (Anos bissextos são anos Olímpicos).
Letra d.
074. (VUNESP) Meu carro saiu do conserto hoje, quinta-feira. O mecânico pediu para voltar 
daqui a 90 dias para fazer uma revisão. Esse dia será em uma:
a) segunda-feira.
b) terça-feira.
c) quarta-feira.
d) quinta-feira.
e) sexta-feira.
Sabendo que uma semana tem 7 dias, então faremos da seguinte forma:
90/7 = 12 semanas fechadas e ainda restam 6 dias. Para fechar esta última semana seria 
necessário mais um dia que seria uma quinta-feira, portanto a revisão será feita em uma quar-
ta-feira.
Letra c.
075. ( VUNESP) Em um mês, temos 5 quintas-feiras, 5 sextas-feiras e 5 sábados. O dia em que 
caiu a terceira quarta-feira desse mês indicado foi
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a) 18.
b) 19.
c) 20.
d) 21.
e) 24.
Percebe-se que para que haja 5 quintas, 5 sextas e 5 sábados é necessário um mês de 31 dias, 
e nesse caso, o mês tem que começar, necessariamente, na quinta-feira. Se não haverá apenas 
4 quintas ou 4 sábados. Do mesmo modo percebe-se que para haver este número de quintas e 
sábados o mês tem de iniciar na quinta e encerrar no sábado.
Podemos observar também:
O 1º do mês na quinta-feira.
Logo:
Dia 7: 1ª quarta-feira
Dia 14: 2ª quarta-feira
Dia 21: 3ª quarta-feira
Letra d.
Resposta do Desafio 1
Uma promessa prá lá de esquisita.
Vamos lá: Carlos pensou da seguinte maneira:
- “Vou dividir as moedas de forma proporcional aos pães que recebi dos meus amigos”.
- “Não posso dividir 8 pães em partes iguais, pois teria como resposta um número que é 
uma dízima periódica, isto é, 8 dividido por 3 é igual a 2,6666.... Desta forma o mais correto 
era dividir cada pão em três partes iguais, logo André teria 15 pedaços de pães e Beto teria 9 
pedaços de pães. Esses valores são adquiridos ao dividir cada pão em 3 pedaços.
No total os dois, André e Beto, tinham 24 pedaços de pães, o que foi divido para os três 
amigos. Desta forma cada um deles comeu 8 pedaços de pães.
Carlos, então, pensou da seguinte forma ao dividir as moedas para seus amigos: André 
tinha 15 pedaços, comeu 8 pedaços, logo lhe sobraram 7 pedaços, aos quais foram me dados. 
Beto tinha 9 pedaços, comeu 8 pedaços, logo lhe sobrou 1 pedaço, ao qual foi me dado.
Concluindo, Caio recebeu 7 pedaços de pães de André e 1 pedaço de pão de Beto, portanto 
quem lhe deu 7 pedaços ganhou 7 moedas e quem lhe deu 1 pedaço ganhou 1 moeda.
6. DiAgrAmAs lógicos e lógicA De ArgumentAção
Assuntos abordados:
• Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de 
forma válida, a conclusões determinadas.
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DESAFIO 2
Você me diria qual a porta de saída?
Em cada uma de cinco portas A, B, C, D e E, está escrita uma sentença, conforme a seguir:
Porta A: “Eu sou a porta de saída.”
Porta B: “A porta de saída é a porta C.”
Porta C: “A sentença escrita na porta A é verdadeira.”
Porta D: “Se eu sou a porta de saída, então a porta de saída não é a porta E.” Porta E: “Eu 
não sou a porta de saída.”
Sabe-se que dessas cinco sentenças há uma única verdadeira e que há somente uma porta 
de saída. A porta de saída é a porta
a) D.
b) A.
c) B.
d) C.
e) E.
Obs.: � Resolução ao final do módulo.
tAbelAs-verDADe – veritAtivAs
Meu(minha) querido(a), nosso primeiro passo é entendermos como se constrói uma tabe-
la-verdade, porém vamos entender por que se chama tabela-verdade.
As tabelas-verdade apresentam as possíveis interpretações para uma proposição simples 
ou composta, sabendo que, na lógica bivalente, as valorações possíveis, valores lógicos, que 
nós temos são:
(V): verdade ou (F): falso
Daí surge a pergunta: “Só temos esses dois valores?”. Bem, vamos lá. Para que possamos 
valorar as proposições simples ou compostas, temos que entender que as únicas possibili-
dades são essas, então não custa apresentar a vocês as 03 (três) Leis do Pensamento ou Os 
Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional.
Na Lógica, como na ciência do raciocínio ou do pensamento, existem exatamente três leis 
fundamentais do pensamento, as quais são necessárias e suficientes para que o pensar se 
desenvolva de maneira “correta”. Essas leis do pensamento receberam, tradicionalmente, os 
nomes de Princípio de Identidade, Princípio de Contradição (por vezes, Princípio de Não Con-
tradição) e Princípio do Terceiro Excluído. Há formulações alternativas desses princípios, apro-
priadas a diferentes contextos. No nosso caso, as formulações apropriadas são as seguintes:
O Princípio de Identidade afirma que se qualquer enunciado é verdadeiro, então ele é verda-
deiro, se for falso, será falso. Não pode estar alternando sua valoração, isto é, sua interpretação.
O Princípio da Não contradição afirma que nenhum enunciado pode ser verdadeiro e falso. 
Do ponto de vista lógico, é impossível uma afirmação ser simultaneamente verdadeira e falsa.
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O Princípio do Terceiro Excluído afirma que um enunciado ou é verdadeiro, ou é falso. Não 
temos como ter um terceiro valor, caso exista deverá ser excluído.
Partindo desse pressuposto que um pensamento pode ser ou verdadeiro ou falso, vamos 
aprender a construir as tabelas-verdade.
O primeiro passo é sabermos quantas linhas temos para cada tabela, pois bem, para isso 
temos que saber se temos uma proposição simples ou composta.
Em uma proposição composta formada por n variáveis proposicionais, ou seja, “n” pensa-
mentos simples, a sua tabela verdade possuirá 2n linhas. A base é o número 2 por se tratar da 
lógica bivalente e “n” significa o número de proposições simples.
N. de linhas = 2n(Proposições).
Como construir uma tabela-verdade?
Vejamos os casos abaixo:
1) Quantas linhas possui a tabela-verdade da proposição P?
Já vimos que as proposições são representadas por letras e temos nesse caso uma variá-
vel proposicional, ou seja, “n” é igual a 1, então o número de linhas será dado por:
2 n= 21= 2 linhas.
Sabendo agora que temos 02 linhas podemos construir a tabela:
P
2) Quantas linhas possui a tabela-verdade da proposição composta P ᴧᴧ Q?
Sabendo que as proposições são representadas por letras e temos nesse caso duas variá-
veis proposicionais, ou seja, “n” é igual a 2, então o número de linhas será dado por:
2 n= 22= 4 linhas.
Sabendo agora que temos 04 linhas podemos construir a tabela em que as duas primeiras 
colunas são as proposições simples e a terceira coluna será a proposição composta:
P Q (P ᴧ Q)
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3) Quantas linhas possui a tabela-verdade da proposição composta (P ᴧ Q) ᴠ R?
Nesse caso temos que o número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual 
a 3, ou seja, n = 3, então o número de linhas:
2 n =2 3= 8 linhas
P Q R (P ᴧ Q) (P ᴧ Q) ᴠ R
4) Quantas linhas possui a tabela-verdade da proposição composta (P ᴧ Q) ᴠ (R ᴧ S)?
Agora temos que o número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 4, ou 
seja, n = 4, então o número de linhas:
2 n =2 4= 16 linhas
P Q R S (P ᴧ Q) (R ᴧ S) (P ᴧ Q) ᴠ (R ᴧ S)
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E agora surge outra pergunta: como preencher as tabelas?
Vamos aprender como valorar as proposições simples em uma tabela-verdade, ou seja, as 
primeiras colunas.
Para as tabelas-verdade abaixo teremos:
1) Para 01 (uma) proposição: n=1
2) Para 02 (duas) proposições: n=2
3) Para 03 (três) proposições simples: n=3
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4) Para 04 (quatro) proposições simples: n=4
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Agora que aprendemos como preencher a parte inicial da tabela verdade, podemos dar 
início às tabelas-verdade para cada um dos operadores lógicos.
Vamos pensar da seguinte maneira. É como se fossem as tabuadas na matemática, para 
cada operador matemático, você lembra? Tínhamos as tabuadas da soma, subtração, multipli-
cação e divisão. Partindo do mesmo princípio, em que cada operador lógico terá sua tabela.
Antes de darmos início às tabelas para cada operador, vejamos dois exemplos de concur-
sos do assunto já visto.
076. (CESPE/TCU/ADAPTADA) Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os 
símbolos ¬ e → são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, e 
então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata daexpressão do raciocínio por meio de 
proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos.
Com base nessas informações e no texto, julgue o item seguinte.
O número de valorações possíveis para (Q ᴧ ¬R) ¬ P é inferior a 9.
Como já visto, o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que podem 
ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2n, logo temos: 23 = 8. 
Sendo assim, temos que 8 é inferior a 9.
Certo.
077. (CESPE/TRT 5ª RG) Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas, então o número 
de linhas da tabela-verdade da proposição (A B) ↔ (C D) será superior a 15.
Como já visto, o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que podem 
ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2n, logo temos: 24 = 16. 
Sendo assim, temos que 16 é superior 15.
Certo.
TABELAS-VERDADE:
1) CONJUNÇÃO: “e, mas” símbolo: ᴧ
Denomina-se conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer 
que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “e”.
EXEMPLO
A: José trabalha no Tribunal. (1º Conjuntivo)
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B: José mora em Brasília. (2º Conjuntivo)
Tabela-verdade
A B A ᴧ B
V V V
V F F
F V F
F F F
Para que você entenda de uma maneira mais concreta, vamos associar cada linha da tabe-
la verdade a cada elemento pertencente ao diagrama acima.
No operador conjuntivo (e), só será verdadeiro se os elementos pertencerem à interseção 
(área hachurada no diagrama). Isso quer dizer quando tiver o valor V (pertence) e quando tiver 
o valor F (não pertence ao conjunto).
O elemento referente à primeira linha pertence a A e pertence a B, ou seja, se encontra na 
interseção, logo será verdadeiro.
O elemento referente à segunda linha pertence a A e não pertence a B, ou seja, não se en-
contra na interseção, logo será falso.
O elemento referente à terceira linha não pertence a A e pertence a B, ou seja, não se en-
contra na interseção, logo será falso.
O elemento referente à quarta linha não pertence A e não pertence a B, ou seja, não se en-
contra na interseção, logo será falso.
Resumindo, na conjunção só será verdadeiro se tudo for verdadeiro.
DICA
O operador “e” tem o sentido de “ambos”, “simultaneidade”, 
“ao mesmo tempo”.
O operador “e” em operações de conjuntos dá ideia de “Inter-
secção” e uma ideia de “multiplicação”.
2) DISJUNÇÃO: “OU” símbolo: ᴠ
Vamos para o próximo operador lógico e sua tabela verdade, agora é a nossa disjunção in-
clusiva, que é uma proposição composta formada por duas proposições simples que estejam 
ligadas (operadas) pelo conectivo “ou”.
Tabela-verdade
P Q P v Q
V V V
V F V
F V V
F F F
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Para que você entenda de uma maneira mais concreta, vamos associar cada linha da tabe-
la-verdade a cada elemento pertencente ao diagrama acima.
No operador disjuntivo (ou), só será verdadeiro se os elementos pertencerem à união (área 
hachurada no diagrama). Isso quer dizer quando tiver o valor V (pertence) e quando tiver o va-
lor F (não pertence ao conjunto).
O elemento referente à primeira linha pertence a A e pertence a B, ou seja, se encontra na 
interseção, logo será verdadeiro.
O elemento referente à segunda linha pertence a A e não pertence a B, ou seja, não se en-
contra na interseção, logo será verdadeiro.
O elemento referente à terceira linha não pertence a A e pertence a B, ou seja, não se en-
contra na interseção, logo será verdadeiro.
O elemento referente à quarta linha não pertence A e não pertence a B, ou seja, não se en-
contra na interseção, logo será falso.
Resumindo, na disjunção só será verdadeiro se pelos menos uma proposição for verdadeira.
O operador “ou” tem o sentido de “um ou outro, possivelmente ambos”.
O operador “ou” em operações de conjuntos dá ideia de união e uma ideia de soma.
Vejamos mais uma questão comentada envolvendo os 02 (dois) operadores acima.
É importante observar que na tabela-verdade construída pela banca os valores estão inver-
tidos, mas isso não é problema, pois o que importa é que tenhamos todas as possibilidades.
078. (FUNIVERSA/POLÍCIA CIVIL-DF) Os valores lógicos – verdadeiro e falso – podem cons-
tituir uma álgebra própria, conhecida como álgebra booleana. As operações com esses valores 
podem ser representadas em tabelas-verdade, como exemplificado abaixo:
A B A e B
Falso Falso Falso
Falso Verdadeiro Falso
Verdadeiro Falso Falso
Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro
As operações podem ter diversos níveis de complexidade e também diversas tabelas-verdade.
Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.
I – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão (A e B e C), são, respectivamente, falsos, 
falso e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é falso.
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II – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão (A ou B ou C), são, respectivamente, falso, 
verdadeiro e falso, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro.
III – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [A e (B ou C)], são, respectivamente, falso, 
verdadeiro e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro.
IV – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [A ou (B e C)], são, respectivamente, verda-
deiro, falso e falso, então o valor lógico dessa expressão é falso
a) Todas as afirmativas estão erradas.
b) Há apenas uma afirmativa certa.
c) Há apenas duas afirmativas certas.
d) Há apenas três afirmativas certas.
e) Todas as afirmativas estão certas.
Essa questão trata apenas da aplicação da tabela verdade, logo é importante copiar as tabelas em 
uma folha para acompanhar as operações, com o tempo por meio da prática se tornará comum.
O item I – A ᴧ B ᴧ C ⇒ F ᴧ F ᴧ V = F (certo o item)
No item acima, operamos na conjunção F com F que será falso e consequentemente opera-
mos na conjunção com V resultando em F.
O item II – A ᴠ B ᴠ C⇒ F ᴠ V ᴠ F = V (certo o item)
O item III – [A ᴧ (B ᴠ C)] ⇒ [F ᴧ (V ᴠ V)] = F (errado o item)
No item acima, operamos a disjunção que está entre parênteses que será verdadeira e conse-
quentemente operamos com F pela conjunção resultando em F.
O item IV – [A ou (B e C)] ⇒ [V ᴠ (F ᴧ F)] = V (errado o item)
No item acima, operamos o que está entre parênteses pela conjunção que será falso e conse-
quentemente operamos pela disjunção que será verdadeiro.
Letra c.
3) DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: “OU...OU...” símbolo: ᴠ
Temos agora o nosso terceiro operador lógico denominado de disjunção exclusiva. A pro-
posição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas (operadas) 
pelo conectivo “ou...ou...”.
Tabela-verdade
R S R ᴠ S
V V F
V F V
F V V
F F F
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Para que você entenda de uma maneira mais concreta, vamos associar cada linha da tabe-
la-verdade a cada elemento pertencente ao diagrama acima.
No operador disjunção (ou... ou...) exclusiva, só será verdadeiro se os elementos não per-
tencerem à interseção, ou seja, quando forem exclusivos, pertencerem (área hachurada no 
diagrama). Isso quer dizer quando tiver o valor V (pertence) e quando tiver o valor F (pertence 
ao conjunto).
O elemento referente à primeira linha pertence a A e pertence a B, ou seja, se encontra na 
interseção, logo será falso.
O elemento referente à segunda linha pertence a A e não pertence a B, ou seja, não se en-
contra na interseção, logo será verdadeiro.
O elemento referente à terceira linha não pertence a A e pertence a B, ou seja, não se en-
contra na interseção, logo será verdadeiro.
O elemento referente à quarta linha não pertence A e não pertence a B, ou seja, não se en-
contra na interseção, logo será falso.
Resumindo, na disjunção exclusiva, só será verdadeiro se os valores das proposições forem 
diferentes.
Vejamos mais uma questão comentada envolvendo o operador acima.
079. (ESAF) De três irmãos – José, Adriano e Caio. Sabe-se que ou José é o mais velho, ou 
Adriano é o mais moço. Sabe-se também que, ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais ve-
lho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente:
a) Caio e José
b) Caio e Adriano
c) Adriano e Caio
d) Adriano e José
e) José e Adriano
Agora vamos utilizar um pouco dos conhecimentos adquiridos no primeiro módulo, em que 
tratamos da linguagem.
Vamos simbolizar as proposições acima para ficar mais fácil.
P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço = V
P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. = V
Obs.: � Você deve ter percebido o sinal de verdade ao final de cada proposição composta, isso 
é devido porque partimos de verdades para chegarmos em uma verdade. Esse raciocí-
nio ficará mais claro nos módulos posteriores, quando falarmos de inferências lógicas, 
ok? Por enquanto vamos ficar por aqui, pois o nosso foco são as tabelas-verdade.
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Aplicando mão da observação acima temos que todas as proposições são verdadeiras, logo 
vamos valorá-las com “V” e aplicando a tabela-verdade do conectivo utilizado (ou... ou...) nas 
proposições P1 e P2 vamos valorando as proposições simples que as compõem.
Para que os resultados das premissas (P1 e P2) sejam verdadeiros, temos que valorar as proposi-
ções simples sublinhadas de acordo com a tabela-verdade da disjunção exclusiva. Então teremos:
F V
P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço. = V
F V
P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. = V
Na proposição composta P1, podemos ter 2 possibilidades de acordo com o operador “ou... 
ou...”, isto é, os valores devem ser diferentes, mas se começarmos com F e V respectivamente, 
vamos perceber que chegaremos em uma contradição, logo, ao colocarmos F e v, conforme 
ilustrado acima, chegaremos na resposta correta.
Dessa forma, podemos concluir que o mais velho é Caio e o mais moço é Adriano. 
Letra b.
DICA
O operador “ou... ou...” tem o sentido de “um ou outro e não 
ambos”.
O operador “ou... ou...” em operações de conjuntos dá ideia 
de união dos exclusivos e uma ideia da soma dos exclusivos.
Quando se utilizar o “ou” no sentido exclusivo, é comum adi-
cionar no final a expressão: “mas não os dois”.
CONDICIONAL: “SE..., ENTÃO...” símbolo: 4) CONDICIONAL: “SE..., ENTÃO...” símbolo: →
Agora é muito importante sua atenção, pois vamos estudar o principal dos operadores 
lógicos, ou seja, o CONDICIONAL, isso pela incidência em questões de concursos públicos e 
também pela sua complexidade.
Denomina-se condicional a proposição composta formada por duas proposições que este-
jam ligadas (operadas) pelo conectivo “Se..., então...”/“Quando”, “Aquele”, “Como” etc.
Para melhor compreensão, vamos continuar lançando mãos dos conhecimentos de teoria 
de conjuntos.
A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas ideias de natureza 
lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por exem-
plo, a implicação lógica denotada por A → B pode ser interpretada como uma inclusão entre 
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conjuntos, ou seja, como A ⊂ B, em que A é o conjunto cujos objetos cumprem a condição a, e 
B é o conjunto cujos objetos cumprem a condição b.
A B A → B
V V V
V F F
F V V
F F V
No operador condicional (Se..., então...) será verdadeiro se os elementos cumprirem a con-
dição determinada pela inclusão A ⊂ B, ou seja, apenas 3 elementos “a, b e c” podem existir de 
acordo com o diagrama acima. Vejamos.
O elemento referente à primeira linha indica que se pertence a A, então pertence a B, ou 
seja, isso pode acontecer. No diagrama é representado pelo elemento a, logo será verdadeiro.
O elemento referente à segunda linha indica que se pertence a A, então não pertence a B, 
ou seja, isso NÃO pode acontecer. No diagrama não temos elemento representando essa pos-
sibilidade, logo será falso.
O elemento referente à terceira linha indica que se não pertence a A, então pertence a B, ou 
seja, isso pode acontecer. No diagrama é representado pelo elemento b, logo será verdadeiro.
O elemento referente à quarta linha indica que se não pertence a A, então não pertence a B, ou 
seja, isso pode acontecer. No diagrama é representado pelo elemento c, logo será verdadeiro.
Em uma proposição condicional, não existe a possibilidade de termos a primeira verdadei-
ra e a segunda falsa, então se sabemos que a primeira é verdadeira, a segunda, por dedução, 
deverá ser considerada verdadeira e se sabemos que a segunda é falsa, a primeira deverá ser 
considerada falsa.
Note também que: se sabemos que a primeira é falsa, não temos como deduzir o valor ló-
gico da segunda, e, se sabemos que a segunda é verdadeira, não temos como deduzir o valor 
lógico da primeira. Veja:
É importantíssimo! Temos alguns termos que indicam as proposições simples numa pro-
posição condicional. Tem acontecido demais em concursos, em que a banca não cita o nome 
do operador e sim os termos escritos abaixo:
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Vejamos um exemplo simples:
Se o dia estiver claro, então José vai à praia.
Temos que:
O dia estar claro é condição suficiente para José ir à praia.
ou
José ir à praia é condição necessária para o dia estar claro.
O operador “Se...., então...” dá ideia de inclusão de dois conjuntos, em que p→ q ⇒ p ⊂ q.
Uma observação muito importante para o conectivo condicional é que ele não pode (comu-
tar), ou seja, se eu falar: “Se estudo, então eu passo”, não é o mesmo que falar: “Se eu passei, 
então estudei”. Do ponto de vista lógico, essas duas proposições não possuem as mesmas 
interpretações, isto é, as valorações nas tabelas-verdade são diferentes, isso fica claro com os 
valores expressos nas linhas 2 e 3.
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Outra demonstração é por meio dos diagramas, em que temos:
p → q ≠ q → p
Vejamos mais uma questão comentada envolvendo o operador condicional.
Resumindo, na condicional só será FALSO se tivermos verdade no antecedente e falso no 
consequente.
Uma brincadeira que gosto de fazer a seguinte: V → F (Vera Fischer).
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080. Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não 
canta. Ora, o passarinho canta. Logo:
a) O jardim é florido e o gato mia;
b) O jardim é florido e o gato não mia;
c) O jardim não é florido e o gato mia;
d) O jardim não é florido e o gato não mia;
e) Se o passarinho canta então o gato não mia.
Partindo do princípio de que todas as proposições são verdadeiras, temos:
V V
P1: O jardim não é florido → O gato mia (V)
F F
P2: O jardim é florido → o passarinho não canta (V)
P3: O passarinho canta (V)
Para que possamos fazer essa questão, uma boa sugestão é que iniciemos pela proposição 
simples (P3) como verdadeira.
Partindo da premissa p3 como (V), temos as seguintes valorações para as demais proposições 
simples, de acordo com a tabela verdade da condicional analisando as respostas:
Se a proposição P3 é verdadeira, então o consequente de P2 será falso. Se o consequente de 
P2 é falso, então o antecedente será falso.
Se o antecedente da proposição P2 é falso, então o antecedente da proposição P1 é verdadei-
ro.
Verdadeiro, então o consequente da proposição P1 é verdadeiro.
Dessa forma, temos as valorações das proposições simples, agora é só procurar a resposta e 
o importante é perceber que nas alternativas temos o operador de conjunção que deverá ser 
também analisado.
a) o jardim é florido e o gato mia.
F ᴧ V = F
b) o jardim é florido e o gato não mia.
F ᴧ F = F
c) o jardim não é florido e o gato mia.
V ᴧ V = V
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d) o jardim não é florido e o gato não mia.
V ᴧ F = F
e) Se o passarinho canta então o gato não mia.
V → F = F
Logo, temos que a sentença “c” é verdadeira.
Obs.: � Você percebeu que tivemos que analisar cada uma das opções para encontrar o 
item verdadeiro.
Letra c.
5) BICONDICIONAL: “SE, E SOMENTE SE” símbolo: ↔
Temos agora o operador bicondicional que será identificado pelo termo “se, e somente se”. A 
proposição composta é formada por duas proposições que estejam ligadas por esse conectivo.
Vejamos um exemplo.
EXEMPLO
A: Gosto de lógica analítica.
B: Gosto de estatística inferencial.
A proposição bicondicional “A se, e somente se, B” pode ser escrita como:
A ↔ B: Gosto de lógica analítica se, e somente se, gosto de estatística inferencial.
Quando declaramos uma proposição bicondicional, devemos, de acordo com os axiomas 
da Lógica, aceitar como verdadeiro que: se é verdade que “Gosto de lógica inferencial”, obri-
gatoriamente, é verdade que “Gosto de estatística inferencial”. Se for verdade que gosto de 
estatística inferencial, obrigatoriamente, é verdade que gosto de lógica analítica. Se for falso 
que gosto de lógica inferencial, obrigatoriamente, é falso que gosto de estatística inferencial, 
e, se é falso que gosto de estatística inferencial, obrigatoriamente, é falso que gosto de lógica 
analítica. Qualquer outra possibilidade representa um conjunto vazio. A tabela e o diagrama 
abaixo representam essa situação.
A B A ↔ B
V V V
V F F
F V F
F F V
No operador bicondicional (se, e somente se) será verdadeiro se os elementos cumprirem 
a condição determinada pela inclusão (A ⊂ B) ∩ (B ⊂ A), ou seja, os conjuntos são iguais, pois 
o conjunto A está contido em B e simultaneamente B está contido em A, conforme o diagrama 
acima. Vejamos como interpretar as tabelas.
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O elemento referente à primeira linha indica que se pertence ao conjunto A, então pertence 
ao conjunto B, ou seja, isso acontece, uma vez que os conjuntos são iguais. No diagrama é 
representado pelo elemento “a”, logo será verdadeiro.
O elemento referente à segunda linha indica que se pertence a A, então não pertence a B, 
ou seja, isso NÃO pode acontecer, uma vez que os conjuntos são iguais. No diagrama não te-
mos elemento representando essa possibilidade, logo será falso.
O elemento referente à terceira linha indica que se não pertence a A, então pertence a B, ou 
seja, isso NÃO pode acontecer, uma vez que os conjuntos são iguais. No diagrama não temos 
elemento representando essa possibilidade, logo será falso.
O elemento referente à quarta linha indica que se não pertence a A, então não pertence a B, 
ou seja, isso acontece, uma vez que os conjuntos são iguais. No diagrama é representado pelo 
elemento “b”, logo será verdadeiro.
Obs.: � Na proposição bicondicional, para ser verdadeira, temos: se a primeira das duas propo-
sições simples que a compõem for verdadeira, a segunda deverá ser verdadeira e, se a 
primeira for falsa, a segunda também deverá ser falsa.
 �
V V
FF
Quando temos:
Uma aplicação desse conceito:
081. (FCC/TRF 1ª REGIÃO) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se 
não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo,
a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.
b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.
c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.
d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.
e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa
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Considerando as proposições
Se todos nossos atos têm causas, então não há atos livres.
Se não há atos livres, então todos nossos atos têm causas.
Tomando como proposições:
P: Todos nossos atos têm causas.
Q: Não há atos livres.
Podemos perceber que a questão comuta (troca de posição) as proposições simples P e Q, em 
que podemos concluir que 2 (duas) condicionais produzem uma bicondicional.
“Todos nossos atos têm causas se, e somente se não há atos livres.”
Dessa ideia temos mais um conceitoa ser mostrado, que é o seguinte:
P é condição necessária e suficiente para Q.
Temos as duas condições simultaneamente, pois se trata de uma bicondicional.
Letra c.
DICA
Temos que observar que, em muitas questões de concursos 
públicos, os conectivos lógicos: condicional e bicondicional 
são expressões não em uma linguagem formal (seu significa-
do), mas por meio de condições impostas às proposições sim-
ples que compõem uma sentença composta.
Vejamos mais algumas questões comentadas em que a banca utiliza essa linguagem de 
condição suficiente, condição necessária e condição suficiente e necessária.
082. (EPPGG/MP/ESAF) Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à 
Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. Alexandre 
não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é 
condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto:
a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
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d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.
e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
Primeiramente vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma 
conclusão verdadeira.
É importante que você já saiba as tabelas-verdade anteriores, pois vamos utilizá-las.
(F) (F)
P1: Alexandre ir à Alemanha → Carlos não ir ao Canadá (V)
(V) (V)
P2: Helena não ir à Holanda → Carlos ir ao Canadá (V)
(F) (V)
P3: Carlos não ir ao Canadá → Alexandre não ir à Alemanha (V)
(F) (F)
P4: Helena ir à Holanda → Alexandre ir à Alemanha (V)
Logo, partindo de que todas as proposições são verdadeiras e utilizando as tabelas-verdade 
valoramos as proposições simples.
Nesse momento só quero que você se importe com a construção das proposições, pois quan-
to às valorações veremos uma maneira mais prática de preencher.
Depois de valorada a proposição acima, novamente chamo a atenção para observar que nas 
opções temos operadores lógicos que devem ser levados em conta.
Analisando os itens propostos pela questão para se chegar a uma opção verdadeira, temos:
a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
V ᴧ F ᴧ V = F (errado)
b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
F ᴧ V ᴧ V = F (errado)
c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
V ᴧ V ᴧ V = V (certo)
d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.
F ᴧ F ᴧ F = F (errado)
e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
F ᴧ F ᴧ F = F (errado)
Letra c.
083. (ESAF/TÉCNICO) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e 
condição suficiente para Denise dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é condição ne-
cessária e suficiente para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta,
a) Denise não dança ou Ana não chora.
b) Nem Beto bebe nem Denise dança.
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c) Beto bebe e Ana chora.
d) Beto não bebe ou Ana não chora.
e) Denise dança e Beto não bebe.
Observe que as proposições abaixo são construídas por intermédio das condições estudadas, logo 
fique atento a: condição suficiente, condição necessária e a condição necessária e suficiente.
Primeiramente vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma 
conclusão verdadeira.
P1: Carmem cantar → Beto beber (V)
P2: Beto beber → Denise dançar (V)
P3: Denise dançar ↔ Ana chorar (V)
P4: Carmem cantar (V)
Partindo de que todas as proposições são verdadeiras e utilizando as tabelas-verdade da con-
dicional e bicondicional, valoramos as proposições simples. Uma dica é você começar sempre 
de uma proposição simples, caso tenhamos.
(V) (V)
P1: Carmem cantar → Beto beber (V)
(V) (V)
P2: Beto beber → Denise dançar (V)
(V) (V)
P3: Denise dançar ↔ Ana chorar (V)
(V)
P4: Carmem cantar (V)
Com valores adquiridos por intermédio das tabelas-verdade que, nessa altura do campeonato, 
você já sabe, podemos analisar os itens propostos pela questão para se chegar a uma opção 
verdadeira, vejamos:
(F) ᴠ (F) = F
a) Denise não dança ou Ana não chora
(F) ᴧ (F) = F
b) Nem Beto nem Denise dançam
(V) ᴧ (V) = V
c) Beto bebe e Ana chora
(F) ᴧ (F) = F
d) Beto não bebe e Ana não chora
(V) ᴧ (F) = F
e) Denise dança e Beto não bebe.
Logo, temos como item correto a letra c.
Letra c.
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6) NEGAÇÃO OU MODIFICADOR LÓGICO
SÍMBOLO: ¬ OU ~
p ~ p ou ¬ p
V F
F V
Bem, até que enfim, o nosso último operador lógico.
O “não” é chamado de modificador lógico porque, ao ser inserido em uma proposição, muda seu 
valor lógico, ou seja, faz a negação da proposição. Quando formos representar a negação de uma 
proposição, vamos usar o sinal de til (~) ou (¬) antes da letra que representa a proposição.
As maneiras que aparecem nas provas, fique ligado!
Proposição p Proposição ¬p
A corrupção tem 
destruído o País.
A corrupção não tem destruído o País.
Não é verdade que corrupção tem destruído o País.
É falso que corrupção tem destruído o País.
Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, a proposição ¬p, é falsa. Veja:
Se a proposição... tem valor lógico...
A morte é certa Verdadeiro
então a proposição... tem valor lógico...
A morte não é certa Falso
Se uma proposição ¬p é verdadeira, então a sua negação, proposição p, é falsa. Veja:
Se a proposição... tem valor lógico...
A vida não é curta. Verdadeiro
então a proposição... tem valor lógico...
A vida é curta. Falso
Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras maiúsculas e utili-
zando os conectivos lógicos usuais, julgue os itens a seguir a respeito de lógica proposicional.
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P Q R
1 V V V
2 F V V
3 V F V
4 F F V
5 V V F
6 F V F
7 V F F
8 F F F
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R repre-
sentam proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos ver-
dadeiros e falsos. Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, 
julgue os itens subsecutivos.
084. (CESPE/MEC TEMPORÁRIO) A última coluna da tabela-verdadereferente à proposição 
lógica PV (Q ↔ R) quando representada na posição horizontal é igual a
1 2 3 4 5 6 7 8
PV (Q ↔ R) V V V F V F V V
Vamos construir a tabela-verdade:
P Q R Q ↔ R PV (Q ↔ R)
V V V V V
F V V V V
V F V F V
F F V F F
V V F F V
F V F F F
V F F V V
F F F V V
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Raciocínio Lógico
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Josimar Padilha
Observar que na 4ª coluna temos uma bicondicional operando as proposições da 2ª e 3ª colu-
nas. Na bicondicional só será verdade se os valores forem iguais.
Observar que na 5ª e última coluna vamos operar a 1ª com a 4ª coluna com o conectivo de 
disjunção (ou), em que para ser verdade, basta uma verdade.
Podemos inferir que o item está correto.
Certo.
085. (CESPE/MEC TEMPORÁRIO) A última coluna da tabela–verdade referente à proposição 
lógica P → (Q ᴧ R) quando representada na posição horizontal é igual a
1 2 3 4 5 6 7 8
P → (Q ^ R) V V F F V F V V
P Q R Q ᴧ R P → (Q ᴧ R)
V V V V V
F V V V V
V F V F F
F F V F V
V V F F F
F V F F V
V F F F F
F F F F V
Observar que na 4ª coluna temos uma conjunção operando as proposições da 2ª e 3ª colunas. 
Na conjunção só será verdade se os valores forem verdadeiros.
Observar que na 5ª coluna temos uma condicional operando as proposições da 1ª e 4ª colu-
nas. Na condicional só será falsa de o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso.
Podemos inferir que o item está errado.
Errado.
O casal Cássio e Cássia tem as seguintes peculiaridades: tudo o que Cássio diz às quartas, 
quintas e sextas-feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ele nos outros dias da sema-
na; tudo o que Cássia diz aos domingos, segundas e terças-feiras é mentira, sendo verdade o 
que é dito por ela nos outros dias da semana.
A respeito das peculiaridades desse casal, julgue os itens subsecutivos.
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086. (CESPE/MI) Se, em certo dia, ambos disserem “Amanhã é meu dia de mentir”, então essa 
afirmação terá sido feita em uma terça-feira.
Vamos construir uma tabela para que possamos visualizar melhor a situação.
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo
Cássio V V F F F V V
Cássia F F V V V V F
Se analisarmos a terça-feira segundo o item propõe temos que:
Cássio na terça-feira (fala a verdade) diz: “Amanhã é meu dia de mentir”, se ele fala a verdade 
nesse dia, então deverá mentir na quarta-feira, o que realmente acontece segundo podemos 
observar no quadro acima.
Cássia na terça-feira (fala mentira) diz: “Amanhã é meu dia de mentir”, se ela fala mentiras 
nesse dia, então deverá falar a verdade na quarta-feira, o que realmente acontece segundo po-
demos observar no quadro acima.
Podemos concluir que o item está correto.
Certo.
087. (CESPE/MI) Na terça-feira, Cássia disse que iria ao supermercado no sábado e na quar-
ta-feira, que compraria arroz no sábado. Nesse caso, a proposição “Se Cássia for ao supermer-
cado no sábado, então comprará arroz” é verdadeira.
De acordo com a tabela, podemos valorar as proposições, pois sabemos quando a pessoa está 
falando a verdade e quando ela está mentindo.
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo
Cássio V V F F F V V
Cássia F F V V V V F
A proposição: “Cássia for ao supermercado no sábado será falsa (F)”, pois foi dito em uma 
terça-feira.
A proposição: “comprará arroz será verdadeira (V)”, pois foi dito em uma quarta-feira.
Valorando as proposições podemos aplicar na proposição composta abaixo:
“Cássia for ao supermercado no sábado (F) → comprará arroz (V) = VERDADEIRO.
Podemos concluir que o item está correto.
Certo.
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088. (CESPE/MI) Se, em uma sexta-feira, Cássio disser a Cássia: “Se eu te amasse, eu não iria 
embora”, será correto concluir que Cássio não ama Cássia.
De acordo com a tabela, podemos valorar as proposições, pois sabemos quando a pessoa está 
falando a verdade e quando ela está mentindo.
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo
Cássio V V F F F V V
Cássia F F V V V V F
Em uma sexta-feira, segundo a tabela acima, temos que Cássio mente, logo a afirmação dita 
por ele deve ser valorada como falsa.
Cássio: “Se eu te amasse, eu não iria embora” = F
Temos uma proposição composta condicional, e para que ela seja falsa o antecedente tem que 
ser verdadeiro e o consequente falso, assim:
Cássio: eu te amasse (V) → eu não iria embora (F) = F
Dessa forma, Cássio ama Cássia e vai embora.
Podemos concluir que o item está errado.
Errado.
089. (CESPE/TRE–RJ) Se as proposições “Eu não registrei minha candidatura dentro do pra-
zo” e “Não poderei concorrer a nenhum cargo nessas eleições” forem falsas, também será 
falsa a proposição P, independentemente do valor lógico da proposição “Eu serei barrado pela 
lei da ficha limpa”.
Simbolizando convenientemente a proposição P temos:
(BFL → ¬ C E) ᴧ (¬ RC → ¬ C C)
Primeira possibilidade:
Tomando a proposição “Eu serei barrado pela lei da ficha limpa” como V (verdadeira).
(V → F) ᴧ (F → V/F) = F
F ᴧ V = F
Segunda possibilidade:
Tomando a proposição “Eu serei barrado pela lei da ficha limpa” como F (falsa).
(F → F) ᴧ (F → V/F) = F
V ᴧ V = V
Podemos concluir que a proposição P pode ser verdadeira ou falsa. Dessa forma, o item está errado.
Errado.
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090. (CESPE/INSS) Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores 
lógicos, a proposição B → C é V.
Podemos nessa questão valorar as proposições de acordo com o art. 5º da Constituição Fede-
ral, ou seja, nesse caso temos que interpretar o conteúdo da informação.
A: A prática do racismo é crime afiançável. = (proposição falsa).
B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. = (proposição verdadeira)
C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extradita-
do. = (proposição falsa)
Tabela do operador condicional (relembrando!):
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Aplicando os axiomas da lógica (tabelas-verdade) vistos anteriormente, temos que a proposição implicativa 
(condicional) B → C, segundo os valores dados acima:
B → C; V → F é Falsa. Dessa forma, o item está errado.
Errado.
091. (CESPE/INSS) De acordo com a notação apresentada acima, é correto afirmar que a pro-
posição (¬A) ᴠ (¬C) tem valor lógico F.
Valorando as proposições de acordo com o art. 5º da Constituição Federal, temos:
A: A prática do racismo é crime afiançável. = (proposição falsa)
B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. = (proposição verdadeira)
C: Todocidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extradita-
do. = (proposição falsa)
Tabela do operador disjuntivo (relembrando):
P Q P ᴠ Q
V V V
V F V
F V V
F F F
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Aplicando os axiomas da lógica (tabelas-verdade), temos que a proposição disjuntiva (¬A) ᴠ (¬C), 
segundo os valores dados acima:
(¬A) ᴠ (¬C)
(¬F) ᴠ (¬F)
(V) ᴠ (V) é verdadeiro.
O item está errado.
Errado.
Essa questão abaixo é muito interessante, pois se trata de aplicação de tabelas-verdade, fi-
que atento ao RESOLUÇÃO.
092. (CESPE/AGENTE DE POLÍCIA/PRF) Em um posto de fiscalização da PRF, cinco veículos 
foram abordados por estarem com alguns caracteres das placas de identificação cobertos por 
uma tinta que não permitia o reconhecimento, como ilustradas abaixo, em que as interroga-
ções indicam os caracteres ilegíveis.
Os policiais que fizeram a abordagem receberam a seguinte informação: se todas as três letras 
forem vogais, então o número, formado por quatro algarismos, é par. Para verificar se essa 
informação está correta, os policiais deverão retirar a tinta das placas.
a) I, II e V.
b) I, III e IV.
c) I, III e V.
d) II, III e IV.
e) II, IV e V.
A questão em lide é superinteressante, pois se refere à aplicação de conceitos de lógica proposicio-
nal, aplicação de tabelas-verdade, em que devemos primeiramente interpretar uma sentença.
No comando, o trecho: “Os policiais que fizeram a abordagem receberam a seguinte informa-
ção: se todas as três letras forem vogais, então o número, formado por quatro algarismos, é 
par” será interpretada do ponto de vista lógico. Sendo assim, temos uma proposição composta 
condicional.
Representação da proposição:
P: todas as três letras forem vogais
Q: o número formado por quatro algarismos é par.
A proposição → é verdadeira de acordo com os axiomas da lógica, ou seja, sua tabela-ver-
dade (relembrando):
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P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Segundo o comando da questão temos ainda o trecho: “Para verificar se essa informação está 
correta, os policiais deverão retirar a tinta das placas”, ou seja, com auxílio das placas verifica-
remos se a informação é verdadeira.
De acordo com a placa acima, as sentenças serão valoradas:
[todas as três letras forem 
vogais]
→ [o número formado por quatro 
algarismos é par]
V → V/F (?) = V/F(?)
A primeira sentença é verdadeira e a segunda sentença (aberta) não é verdadeira nem falsa, 
assim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado que não é nem 
verdadeiro nem falso, logo temos de retirar a tinta da placa para verificar se a sentença é ver-
dadeira.
De acordo com a placa acima, as sentenças serão valoradas:
[todas as três letras forem 
vogais]
→ [o número formado por 
quatro algarismos, é par]
F → V =V
A primeira sentença é falsa e a segunda é verdadeira, assim, operando os valores pelo conecti-
vo condicional, temos um resultado que é verdadeiro, logo não é necessário retirar a tinta dos 
caracteres ilegíveis para verificar se a sentença é verdadeira.
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De acordo com a placa acima, as sentenças serão valoradas:
[todas as três letras forem 
vogais]
→ [o número formado por 
quatro algarismos é par]
V/F(?) → V/F(?) = V/F(?)
A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é uma sentença aberta 
(não é falsa nem verdadeira), assim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos 
um resultado que é indeterminado (nem verdadeiro nem falso), logo é necessário retirar a tinta 
dos caracteres ilegíveis para verificar se a sentença é verdadeira.
De acordo com a placa acima, as sentenças serão valoradas:
[todas as três letras forem 
vogais]
→ [o número formado por 
quatro algarismos é par]
V/F(?) → V = V
A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é verdadeira, assim, 
operando os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado verdadeiro independente 
do valor da primeira sentença (antecedente), logo não é necessário retirar a tinta dos caracte-
res ilegíveis para verificar se a sentença é verdadeira.
De acordo com a placa acima, as sentenças serão valoradas:
[todas as três letras forem 
vogais]
→ [o número formado por 
quatro algarismos, é par]
V/F(?) → F = V/F(?)
A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é falsa, assim, operan-
do os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado que não é nem verdadeiro nem 
falso, logo é necessário retirar a tinta dos caracteres ilegíveis para verificar se a sentença é 
verdadeira.
Letra c.
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Josimar Padilha
093. (CESPE/TRE-PE) Considerando que p, q, r e s sejam proposições nas quais p e s sejam verda-
deiras e q e r sejam falsas, assinale a opção em que a sentença apresentada seja verdadeira.
a) ~(p ∨ r)∧(q ∧ r)∨q
b) ~s ∨ q
c) ~(~q ∨ q)
d) ~[(~p ∨ q)∧(~q ∨ r)∧(~r ∧ s)]∨(~p ∨ s)
e) (p ∧ s)∧(q∨~s)
Sabendo que p, q, r e s sejam proposições nas quais p e s sejam verdadeiras e q e r sejam 
falsas, vamos substituir as valorações nas alternativas e encontrar uma sentença verdadeira.
a) ~(p ∨ r)∧(q ∧ r)∨ q
~(V ∨ F) ∧ (F ∧ F) ∨F
~(V) ∧ (F) ∨ F
F ∧ F ∨ F = F
b) ~s ∨ q
~(V) ∨ (F)
F ∨ F = F 
c) ~(~q ∨ q)
~(V ∨ F)
~(V) = F
d) ~[(~p ∨ q)∧(~q ∨ r)∧(~r ∧ s)]∨(~p ∨ s)
~( (F ∨ F) ∧ (V ∨ F) ∧ ( V ∧ V)) ∨ ( F ∨ V)
~(F ∧ V ∧ V )
~(F) = V
Letra d.
094. (CESPE/ANALISTA/DPU) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu 
estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevan-
tes quanto à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (proposições). No seu 
vocabulário particular constava, por exemplo:
P: Cometeu o crime A.
Q: Cometeu o crime B.
R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.
S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que 
ele era inafiançável.
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
Caso as proposições R e S se refiram à mesma pessoa e a um único crime, então, independentemen-
te das valorações de R e S como verdadeiras ou falsas, a proposição R ∧ S → Q será sempre falsa.
Dadas as proposições:
R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.
S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.
Q: Cometeu o crime B.
Sabendo que as proposições R e S se referem a mesma pessoa, temos uma contradição, ou seja, a 
proposição R ∧ S será sempre falsa, pois quando R for verdadeiro S será falso e vice-versa.
A proposição R ∧ S → Q é uma condicional, logo se o antecedente “R ∧ S” é sempre falso pode-
mos inferir independentemente do valor lógico da proposição Q (V/F), a proposição composta 
será sempre verdadeira.
Errado.
Vamos fazer uma de linguagem para relembrar?
Vejamos:
095. (CESPE/ANALISTA/DPU) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu 
estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevan-
tes quanto à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (proposições). No seu 
vocabulário particular constava, por exemplo:
P: Cometeu o crime A.
Q: Cometeu o crime B.
R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.
S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que 
ele era inafiançável.
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue.
A proposição “Caso tenha cometido os crimes A e B, não será necessariamente encarcerado 
nem poderá pagar fiança” pode ser corretamente simbolizada na forma (P ∧ Q) → ((~R)∨(~S)).
Na proposição composta condicional, o consequente está simbolizado erradamente, pois o 
operador lógico não é uma disjunção (ou) e sim uma conjunção (e).
Logo, o item está errado.
Errado.
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096. (VUNESP/POLÍCIA CIVIL-SP) André tem um conjunto de cartas. Cada carta tem apenas um 
número em uma das faces e a foto de apenas um animal na outra. André dispôs quatro cartas sobre 
a mesa com as seguintes faces expostas: cisne, gato, número 7 e número 10, como se mostra:
André disse: “Se na face de uma carta há número par, então no verso há um animal mamífero”.
Para verificar se a afirmação de André está correta, é
a) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e C.
b) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e C.
c) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e D.
d) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e D.
e) necessário que se verifiquem os versos das quatro cartas.
A questão trata de uma aplicação de tabela-verdade em que devemos analisar a proposi-
ção condicional:
P: “Se na face de uma carta há um número par, então no verso há um animal mamífero”.
De acordo com a tabela-verdade da condicional temos:
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Quando a questão pergunta quais cartas devem ser viradas para que a afirmação seja verda-
deira, temos que verificar qual situação não torna a proposição P verdadeira:
Figura A:
Valorando as proposições simples que compõem a proposição P temos:
P: [face de uma carta há um número par (V/F)] → [no verso há um animal mamífero” (F)] = (F/V)
Neste caso temos que virar a carta A, pois não temos a certeza de que a proposição P é verda-
deira, ou seja, segundo as valorações acima temos que ela pode ser verdadeira ou falsa.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
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Figura B:
Valorando as proposições simples que compõem a proposição P temos:
P: [face de uma carta há um número par (V/F)] → [no verso há um animal mamífero” (V)] = (V)
Nesse caso não precisamos virar a carta B, pois temos a certeza de que a proposição P é 
verdadeira, ou seja, segundo as valorações acima temos que ela pode sempre será verdadeira.
Figura C:
Valorando as proposições simples que compõem a proposição P temos:
P: [face de uma carta há um número par (F)] → [no verso há um animal mamífero” (V/F)] = (V)
Nesse caso não precisamos virar a carta C, pois temos a certeza de que a proposição P é ver-
dadeira, ou seja, segundo as valorações acima temos que ela sempre será verdadeira.
Figura D:
Valorando as proposições simples que compõem a proposição P temos:
P: [face de uma carta há um número par (V)] → [no verso há um animal mamífero” (V/F)] = (V/F)
Nesse caso temos que virar a carta D, pois não temos a certeza de que a proposição P é verda-
deira, ou seja, segundo as valorações acima temos que ela pode ser verdadeira ou falsa.
Letra c.
7. negAção De proposições
Nesta parte vamos abordar os seguintes assuntos:
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES (simples e compostas) e EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS: Cons-
trução e aplicações das tabelas-verdade para demonstrar os conceitos citados e resoluções 
de questões de concursos públicos por métodos práticos e eficientes.
negAção De proposições compostAs
Como já vimos antes, uma proposição é a expressão de um pensamento completo que 
pode ser valorado, ou seja, ser verdadeiro ou falso. No caso de uma proposição composta, po-
demos construir sua tabela verdade de acordo com o número de proposições simples, assunto 
já visto em módulos anteriores.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
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Na língua corrente, português, sabemos que possuímos o advérbio de negação “não, nem, 
nunca, jamais, de modo algum, de forma nenhuma, tampouco,...” que modifica o sentido da 
proposição. Na lógica formal, temos uma outra interpretação quanto à negação, o que traz 
algumas dúvidas no início, pois o estudante analisa como se fosse do ponto de vista comum, 
e na verdade não é assim.
Para que duas proposições sejam opostas, temos o seguinte raciocínio: uma proposição é 
a negação da outra quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados 
das tabelas-verdade são contrários, ou seja, o nosso referencial para que duas proposições 
sejam opostas não é o que está escrito, e sim os resultados de suas tabelas-verdade. Não po-
demos esquecer que as proposições simples que formam as proposições compostas devem 
ser as mesmas, e que os resultados de suas tabelas sejam totalmente opostos.
Vejamos abaixo as principais negações utilizadas nas provas de concursos públicos:
A
FI
RM
A
Ç
Ã
O
A B A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
N
EG
A
Ç
Ã
O
¬A ¬B ¬A ∨ ¬B ¬A ∧ ¬B A ∧ ¬B (A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A) ou
A ∨ B
F F F F F F
F V V F V V
V F V F F V
V V V V F F
Podemos observar os resultados das tabelas-verdade das proposições compostas:
a) A ∧ Be¬A ∨ ¬B: valorações totalmente contrárias;
b) A ∨ Be¬A ∧ ¬B: valorações totalmente contrárias;
c) A → BeA ∧ ¬B: valorações totalmente contrárias;
d) A ↔ Be(A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A) ou A ∨ B: valorações totalmente contrárias;
É importante ressaltar que podemos ter inúmeras negações,uma vez que podemos cons-
truir enésimas tabelas-verdades, porém, para concursos públicos, se você souber as qua-
tro acima é o suficiente.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
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Para melhor assimilação, vejamos alguns exemplos de negações de proposições compostas.
AFIRMAÇÃO NEGAÇÃO
a) P ∧ Q
Ex.: O Brasil possui uma economia forte e é 
um grande produtor de mercadorias.
¬P ∨ ¬Q
Ex.: O Brasil não possui uma economia 
forte ou não é um grande produtor de 
mercadorias.
b) P ∨ Q
Ex.: As leis brasileiras são ineficazes ou as 
pessoas não respeitam suas leis.
¬P ∧ ¬Q
Ex.: As leis brasileiras são eficazes e as 
pessoas respeitam suas leis.
c) P → Q
Ex.: Se o cidadão for educado então o a 
sociedade alcançará sua autonomia.
P ∧ ¬Q
Ex.: O cidadão é educado e a sociedade não 
possui sua autonomia.
d) P ↔ Q
Ex.: Eu te darei um beijo, se e somente se eu 
ficar apaixonado por você.
(P ∧ ¬Q) ∨ (Q ∧ ¬P)
Ex.: Eu te darei um beijo e não fico 
apaixonado por você, ou fico apaixonado por 
você e não te darei um beijo.
OU
Ou eu te darei um beijo, ou eu ficarei 
apaixonado por você.
DICA
No exemplo, letra “b” acima, você deve estar se perguntando: 
“a proposição P: As leis brasileiras são ineficazes, e Q: As pes-
soas não respeitam suas leis não possuem o símbolo de nega-
ção, uma vez que as sentenças não negativas”.
Quero deixar claro que uma proposição pode ser uma afirma-
ção ou uma negação, logo não fique limitado pensando que, 
se uma frase é uma negação, será necessário na simbologia 
colocar o símbolo (~ ou ¬) de negação.
Em concursos recentes, isso tem sido frequente e muitos alu-
nos têm errado, pois pensam que porque a sentença tem uma 
negação, se torna necessário um símbolo de negação, o que 
não é verdade, uma vez que se você tiver uma negação, é só 
fazer sua afirmação, que é o contrário.
EXEMPLO
(AOCP/SOLDADO COMBATENTE BM/2018) Em um teste de aptidão física de dois soldados, X 
e Y, um sargento afirmou aos seus superiores que “ou o soldado X foi aprovado ou o soldado Y 
foi reprovado”. A negação dessa afirmação é
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a) “O soldado X foi reprovado e o soldado Y foi reprovado”.
b) “O soldado X foi aprovado ou o soldado Y foi aprovado”.
c) “O soldado X foi aprovado e o soldado Y foi aprovado”.
d) “O soldado X foi aprovado se e somente se o soldado Y foi reprovado”.
e) “Se o soldado X foi reprovado, então o soldado Y foi reprovado”.
A negação da proposição A v B (disjunção exclusiva) é A ↔ B (bicondicional), uma vez que elas 
produzem tabelas-verdade opostas.
Dessa forma, a negação será “O soldado X foi aprovado se e somente se o soldado Y foi reprovado”.
Letra d.
097. (IBFC) Considerando a frase “João comprou um notebook e não comprou um celular”, a 
negação da mesma, de acordo com o raciocínio lógico proposicional é:
a) João não comprou um notebook e comprou um celular
b) João não comprou um notebook ou comprou um celular
c) João comprou um notebook ou comprou um celular
d) João não comprou um notebook e não comprou um celular
e) Se João não comprou um notebook, então não comprou um celular
Como já vimos que, em duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando são 
formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-verdades são 
contrárias. Nesse caso vamos simbolizar a proposição acima para que você entenda melhor:
A: João comprou um notebook
B: João não comprou um celular
A ∧ B: “João comprou um notebook e não comprou um celular”.
Representando adequadamente as proposições podemos demonstrar por tabela:
A B ¬A ¬B A ∧ B ¬A ∨ ¬B
V V F F V F
V F F V F V
F V V F F V
F F V V F V
Podemos inferir que a proposição:
¬A ∨ ¬B: “João não comprou um notebook ou comprou um celular”.
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De uma forma prática e fácil podemos pensar o seguinte: nego cada uma das proposições e 
o conectivo “e” vira “ou”.
Letra b.
098. (IBFC) De acordo com a equivalência lógica, a negação da frase “Ana é dentista ou não 
fez universidade” é:
a) Ana não é dentista ou fez universidade
b) Ana não é dentista e não fez universidade
c) Ana não é dentista e fez universidade
d) Ana é dentista ou fez universidade
e) Se Ana é dentista, então não fez universidade.
Como já vimos que, em duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando são 
formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-verdades são 
contrárias. Nesse caso vamos simbolizar a proposição acima para que você entenda melhor:
A: Ana é dentista
B: Ana não fez universidade
A ∨ B: “Ana é dentista ou não fez universidade”
Representando adequando as proposições podemos demonstrar por tabela:
A B ¬A ¬B A ∨ B ¬A ∧ ¬B
V V F F V F
V F F V V F
F V V F V F
F F V V F V
Podemos inferir que a proposição:
¬A ∧ ¬B: “Ana não é dentista e fez universidade”.
De uma forma prática e fácil podemos pensar o seguinte: nego cada uma das proposições e 
o conectivo “ou” vira “e”.
Letra c.
099. (IBFC) A negação da frase “O Sol é uma estrela e a Lua não é um planeta”, de acordo com 
a equivalência lógica, a frase é:
a) O Sol não é uma estrela e a Lua é um planeta
b) O Sol não é uma estrela ou a Lua não é um planeta
c) O Sol é uma estrela ou a Lua é um planeta
d) O Sol é uma estrela ou a Lua não é um planeta
e) O Sol não é uma estrela ou a Lua é um planeta
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Mais uma vez temos que, em duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando são 
formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-verdades são con-
trárias. Nesse caso vamos simbolizar a proposição acima para que você entenda melhor:
A: Sol é uma estrela
B: Lua não é um planeta
A ∧ B: “O Sol é uma estrela e a Lua não é um planeta”
Representando adequadamente as proposições podemos demonstrar por tabela:
A B ¬A ¬B A ∧ B ¬A ∨ ¬B
V V F F V F
V F F V F V
F V V F F V
F F V V F V
Podemos inferir que a proposição:
¬A ∨ ¬B: “O Sol não é uma estrela ou a Lua é um planeta”.
De uma forma prática e fácil podemos pensar o seguinte: nego cada uma das proposições e 
o conectivo “e” vira “ou”.
Letra e.
100. (ESAF/ANALISTA/ANAC) A negação da proposição “se choveu, então o voo vai atrasar” 
pode ser logicamente descrita por:
a) não choveu e o voo não vai atrasar.
b) choveu e o voo não vai atrasar.
c) não choveu ou o voo não vai atrasar.
d) se não choveu, então o voo não vai atrasar.
e) choveu ou o voo não vai atrasar.
Temos uma questão que trata de estruturas lógicas,especificamente, uma negação de 
proposições compostas. Sabemos que, em duas proposições compostas, uma será a ne-
gação da outra, quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os resulta-
dos de suas tabelas-verdade são contrários. Sendo assim, temos que a proposição: “se 
choveu, então o voo vai atrasar” é uma proposição condicional, logo: (A → B): se choveu, 
então o voo vai atrasar. A negação será: (A ∧ ~B): choveu e o voo não vai atrasar, ou seja, 
mantém o antecedente e nega o consequente.
Letra b.
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101. (ESAF/FUNAI) Seja NE a abreviatura de Nordeste. A negação de “O Piauí faz parte do NE 
ou o Paraná não faz parte do NE” é:
a) o Piauí não faz parte do NE.
b) o Paraná faz parte do NE.
c) o Piauí não faz parte do NE ou o Paraná faz parte do NE.
d) o Piauí não faz parte do NE e o Paraná faz parte do NE.
e) o Piauí e o Paraná fazem parte do NE.
A negação da proposição composta: “O Piauí faz parte do NE ou o Paraná não faz parte do NE” 
será “O Piauí não faz parte do NE e o Paraná faz parte do NE”, uma vez que os resultados de 
suas tabelas-verdade são contrários.
Letra d.
102. (CESGRANRIO/AGENTE DE PESQUISA E MAPEAMENTO/IBGE) Maria disse que sua 
família possui um único carro. Se Maria mentiu, então a sua família
a) não possui carro, ou possui mais de um carro.
b) não possui carro.
c) possui outro tipo de veículo.
d) não gosta de carros.
e) possui mais de um carro.
Sabendo que:
NEGAÇÃO DE UMA SENTENÇA
Afirmação Negação
X ˃ A X ≤ A
X ˂ A X ≥ A
X = A X ≠ A
A questão afirma que Maria mentiu, logo, temos de negar o que Maria disse: “sua família pos-
sui um único carro”.
O raciocínio será o seguinte: a negação de não ter um único carro significa dizer que a quanti-
dade de carros dever ser diferente de 1 (um), ou seja, pode ser zero (não ter carro) ou pode ser 
maior que um (mais de um carro).
Letra a.
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103. (FUNIVERSA/AGENTE PENITENCIÁRIO/SESIPE) Considere que a proposição “O agente Pe-
dro nasceu em Brasília e cuida do serviço de vigilância” seja escrita simbolicamente na forma P ∧ 
Q. Nesse caso, é correto afirmar que a negativa dessa proposição é simbolizada na forma ¬P ∧ ¬Q, 
isto é: “O agente Pedro não nasceu em Brasília nem cuida do serviço de vigilância”.
Duas proposições compostas, uma será a negação da outra quando forem formadas pelas 
mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade forem contrárias.
Afirmação Negação
P ∧ Q
“O agente Pedro nasceu em Brasília e cuida 
do serviço de vigilância.”
¬P ∨ ¬Q
“O agente Pedro não nasceu em Brasília ou 
não cuida do serviço de vigilância.”
Errado.
104. (FCC/SUPORTE ADMINISTRATIVO/TCE-CE) Um casal está no supermercado fazendo 
compras do mês e o marido diz para a esposa: “Vamos comprar macarrão ou arroz integral”. A 
esposa negando a afirmação diz:
a) se vamos comprar macarrão, então não vamos comprar arroz integral.
b) não vamos comprar macarrão ou não vamos comprar arroz integral.
c) se não vamos comprar macarrão, então não vamos comprar arroz integral.
d) não vamos comprar macarrão e não vamos comprar arroz integral.
e) se não vamos comprar macarrão, então vamos comprar arroz integral.
A negação da proposição composta A ∨ B é dada por ¬A ∧ ¬B, pois possuem interpretações 
contrárias (tabelas-verdade). Dessa forma, a negação de “Vamos comprar macarrão ou arroz 
integral” é dada por “Não vamos comprar macarrão e não vamos comprar arroz integral”.
Letra d.
105. (FCC/SUPORTE ADMINISTRATIVO/TCE-CE) Dois amigos estavam conversando sobre 
exercícios físicos quando um deles disse: “Se você fizer esteira, então você emagrecerá e me-
lhorará o condicionamento físico”. O outro amigo, para negar a afirmação, deverá dizer:
a) faça esteira e você não emagrecerá e não melhorará o condicionamento físico.
b) faça esteira e você não emagrecerá ou não melhorará o condicionamento físico.
c) se você fizer esteira e não emagrecer, então não vai melhorar o condicionamento físico.
d) faça esteira e você emagrecerá e não melhorará o condicionamento físico.
e) se você fizer esteira e emagrecer, então não melhorará o condicionamento físico.
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Temos uma proposição composta condicional, em que a negação é dada por p∧¬q, isto é, 
afirma o antecedente e nega o consequente. Duas proposições compostas, uma é a negação 
da outra, quando forem formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas 
tabelas-verdade são contrários. Dessa forma, a negação da proposição será: faça esteira e 
você não emagrecerá ou não melhorará o condicionamento físico.
Letra b.
106. (CESPE/MPENAP) Considerando a proposição P: “Se João se esforçar o bastante, então 
João conseguirá o que desejar”, julgue os itens a seguir.
A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por “João não se esforçou o bas-
tante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava”.
Você deve ter percebido que, nessas primeiras questões, temos mostrado também por tabelas-ver-
dade, porém é interessante você guardar as leis, ok? Mas estou colocando sempre as tabelas para 
que você não se esqueça das tabelas que serão fundamentais nos próximos módulos.
A B ¬ A ¬ B A → B ¬ A ∧ B
V V F F V F
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V F
Temos que as duas últimas colunas não produzem resultados contrários.
A negação da condicional é A → B igual a A ∧ ¬ B.
Errado.
107. (CESPE/ANTAQ) Uma negação correta da proposição “Acredito que estou certo” seria 
“Acredito que não estou certo”.
É uma proposição simples em que possuímos um sujeito e um predicado, logo é importante 
ressaltar que a ideia é negar o sentido principal da frase, isto é, a ação do sujeito, logo a nega-
ção correta será: “Não acredito que estou certo”.
Errado.
108. (CESPE/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF) A negação da proposi-
ção “O tribunal entende que o réu tem culpa” pode ser expressa por “O tribunal entende 
que o réu não tem culpa”.
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A proposição “O tribunal entende que o réu tem culpa” é uma proposição simples em que pos-
suímos um sujeito e um predicado, logo é importante ressaltar que a ideia é negar o sentido 
principal da frase, isto é, a ação do sujeito. Dessa forma, a negação será: “O tribunal não enten-
de que o réu tem culpa”.
Errado.
109. (CESPE/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF) A negação da proposição 
“Um empresário tem atuação antieconômica ou antiética” pode ser expressapor “Um empre-
sário não tem atuação antieconômica ou não tem atuação antiética”.
No item acima, temos uma proposição composta disjuntiva em que a negação de A ∨ B será 
(¬A ∧ ¬ B), uma vez que essas duas proposições são formadas pelas mesmas proposições 
simples e os resultados de suas tabelas-verdade são contrários.
Dessa forma, vamos conferir se o item está de acordo:
Afirmação: “Um empresário tem atuação antieconômica ou antiética”.
Negação: “Um empresário não tem atuação antieconômica e não tem atuação antiética”.
Errado.
Considere a proposição P a seguir.
P: Se não condenarmos a corrupção por ser imoral ou não a condenarmos por corroer a legi-
timidade da democracia, a condenaremos por motivos econômicos. Tendo como referência a 
proposição apresentada, julgue os itens seguintes.
110. (CESPE/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF) A negação da proposição 
“Não condenamos a corrupção por ser imoral ou não condenamos a corrupção por corroer a 
legitimidade da democracia” está expressa corretamente por “Condenamos a corrupção por 
ser imoral e por corroer a legitimidade da democracia”.
O item está de acordo, uma vez que a negação da proposição:
“Não condenamos a corrupção por ser imoral ou não condenamos a corrupção por corroer a 
legitimidade da democracia” (¬ A ∨ ¬ B).
“Condenamos a corrupção por ser imoral e por corroer a legitimidade da democracia” (A ∧ B).
Certo.
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111. (CESPE/MPU) A negação da proposição “A licitação anterior não pode ser repetida sem 
prejuízo para a administração” está corretamente expressa por “A licitação anterior somente 
poderá ser repetida com prejuízo para a administração”.
É importante ressaltar que se trata de uma proposição simples, ou seja, apenas com pensa-
mento. Dessa forma, a negação da proposição será: “A licitação anterior pode ser repetida sem 
prejuízo para a administração”. Devemos negar o pensamento principal.
Errado.
112. (CESPE/MPU) A negação da proposição “Não apareceram interessados na licitação 
anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente 
expressa por “Apareceram interessados na licitação anterior ou ela pode ser repetida sem 
prejuízo para a administração”.
Duas proposições composta, uma é a negação da outra, quando são formadas pelas mesmas 
proposições simples, e os resultados de suas tabelas-verdade são contrários. Nesse caso te-
mos: ¬A ∧ ¬B e sua negação A ∨ B.
Representando as proposições temos:
A B ¬A ¬B A ∨ B ¬A ∧ ¬B
V V F F V F
V F F V V F
F V V F V F
F F V V F V
Certo.
NEGAÇÃO DE UMA SENTENÇA
AFIRMAÇÃO NEGAÇÃO
X > A  X ≤ A
X < A  X ≥ A
X = A  X ≠ A
AFIRMAÇÃO NEGAÇÃO
X – > A
V
[X < A ou X = A]
F ∨ F 
Se temos que se X > A é verdadeiro então X < A é 
falso.
X – < A
V
[X > A ou X = A]
F ∨ F
Se temos que se X < A é verdadeiro então X > A é 
falso.
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AFIRMAÇÃO NEGAÇÃO
X – = A
V
X – ≠ A
F
Se temos que se X = A é verdadeiro, então X ≠ A é 
falso.
QUESTÕES COMENTADAS
113. (CESPE) Com relação à lógica formal, julgue o item subsequente.
A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.
A negação da sentença “2 + 5 = 9” é “2 + 5 ≠ 9”, sendo assim temos que o item está errado.
Errado.
114. (ANATEL) Em ação judicial contra operadora de telefonia móvel, o defensor do cliente 
que interpôs a ação apresentou a argumentação a seguir.
P1: A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em pla-
nos tarifados por ligações é quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas chamadas 
realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos.
P2: Se ocorrer falha técnica na chamada ou a operadora interromper a chamada de forma pro-
posital, então ocorrerá interrupção nas chamadas de meu cliente.
P3: Se a quantidade de interrupções em chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em 
planos tarifados por ligações for quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas cha-
madas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos, então não ocor-
rerá falha técnica na chamada.
P4: Ocorre interrupção na chamada de meu cliente.
Logo, a operadora interrompeu a chamada de forma proposital.
Com base nas proposições acima, julgue o item subsecutivo.
A negação de P1 é corretamente expressa por “A quantidade de interrupções nas chamadas 
realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes inferior 
à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos 
tarifados por minutos”.
É importante ressaltar o seguinte: Negação de uma Sentença
Afirmação
X>A
X<A
X=A
Negação
X≤A
X≥A
X≠A
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A negação da proposição P1: “A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de apa-
relhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes superior à quantidade de 
interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por mi-
nutos” não será “A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadas-
trados em planos tarifados por ligações é quatro vezes inferior à quantidade de interrupções 
nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos”.
Letra e.
proposições logicAmente eQuivAlentes
Agora vamos tratar de equivalências lógicas, logo vamos ver qual é a definição: duas proposi-
ções compostas são ditas equivalentes quando são formadas pelas mesmas proposições simples 
e os resultados das tabelas-verdade são idênticos. Bem tranquilo, ok? Na verdade, é como se tivés-
semos o pensamento contrário do tópico anterior, ou seja, enquanto na negação temos tabelas-ver-
dade contrárias, aqui na equivalência devemos possuir tabelas-verdade idênticas.
Considerando A e B proposições compostas, representamos simbolicamente A ⇔ B, em que 
o símbolo ⇔ significa equivalente.
A ⇔ B
É importante, nas provas de concursos públicos, guardar algumas leis, ou seja, proposi-
ções compostas logicamente equivalentes que estão sempre presentes.
Principais Leis de Equivalências Lógicas
1) Leis Associativas
a) (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C).
b) (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C).
Demonstração: (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C)
A B C (A∧B) (A∧B) ∧C B∧C A∧(B∧C)
V V V V V V V
V V F V F F F
V F V F F F F
V F F F F F F
F V V F F V F
F V F F F F F
F F V F F F F
F F F F F F F
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EXEMPLO
(A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C)
A: Ronaldoé um aluno comportado.
B: Ronaldo é um aluno educado.
C: Ronaldo passa em concurso público.
(A ∧ B) ∧ C A ∧ (B ∧ C)
José é um aluno 
comportado e 
educado, e passa em 
concurso público.
José é um aluno 
comportado, e 
educado e passa em 
concurso público.
(A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C)
A: João é um professor esforçado.
B: José é um aluno dedicado.
C: Josias gosta de estudar.
(A ∨ B) ∨ C A ∨ (B ∨ C)
João é um professor 
esforçado ou José é um 
aluno dedicado, ou
Josias gosta de estudar.
João é um professor 
esforçado ou José é um 
aluno dedicado ou
Josias gosta de estudar.
Obs.: � Podemos observar que, na Lei Associativa, são utilizados os operadores “e” e “ou”, 
os parênteses mudam de posição, porém temos as mesmas interpretações (mesmos 
valores nas tabelas-verdade).
 � Quase não acontece em provas de concursos públicos.
2) Leis Distributivas (importante guardar essa lei)
Vamos construir as tabelas-verdade das Leis Distributivas para que você possa entender o 
porquê de elas serem equivalentes. Claro que nas provas você deve saber essas leis, pois só 
estou utilizando as tabelas para aproveitar e treinar um pouco mais as suas construções.
Veremos mais à frente algumas resoluções bem práticas e rápidas por teoria de conjuntos.
Vamos lá para as demonstrações:
a) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
b) A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Demonstração: A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
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A B C BVC A∧(B∨C) A∧B A∧C (A∧B)∨(A∧C)
V V V V V V V V
V V F V V V F V
V F V V V F V V
V F F F F F F F
F V V V F F F F
F V F V F F F F
F F V V F F F F
F F F F F F F F
EXEMPLO
A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A: Renato gosta de Lógica.
B: Renato gosta de Português.
C: Renato gosta de Matemática.
A ∧ (B ∨ C) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
Renato gosta de Lógica e Renato gosta 
de Português ou Matemática
Renato gosta de Lógica e Português 
ou Renato gosta de Lógica e 
Matemática
A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
A: Renato gosta de Lógica.
B: Renato gosta de Português.
C: Renato gosta de Matemática.
A ∨ (B ∧ C) (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Renato gosta de Lógica ou Renato 
gosta de Português e Matemática
Renato gosta de Lógica ou Português e 
Renato gosta de Lógica ou Matemática
3) Lei da Dupla Negação
É importante ressaltar que, na língua portuguesa, quando negamos duas vezes estamos 
ratificando a negação, porém do ponto de vista lógico não é bem assim, isto é: na lógica formal, 
se negamos duas vezes, na verdade estamos afirmando.
~(~A) ⇔ A
Demonstração: ~(~A) ⇔ A
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Raciocínio Lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
A ~A ~(~A)
V F V
F V F
EXEMPLO
Proposições Proposições equivalentes
Não é verdade que Reginaldo Aranha não é policial. Reginaldo Aranha é policial.
Veremos agora a lei de equivalência mais importante, ou seja, aquela que mais aparece nas 
provas de concursos públicos, independente da banca examinadora.
4) Equivalência da Condicional
a) (A → B ⇔ ~A ∨ B)
b) (A → B ⇔ ~B → ~A) – Contrapositiva ou contra recíproca
a) A → B ⇔ ~A ∨ B
Demonstração: A → B ⇔ ~A ∨ B
A B ~A A→B ~A ∨ B
V V F V V
V F F F F
F V V V V
F F V V V
As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo, as 
proposições A → B e ~A ∨ B são proposições logicamente equivalentes, isto é: A → B ⇔ ~A ∨ B.
EXEMPLO
A proposição “Se André é um aluno dedicado, então André passa no concurso” é o mesmo que 
“André não é dedicado ou André passa no concurso”.
b) A → B ⇔ ~B → ~A (Teorema da Contra-recíproca ou Contrapositiva)
Demonstração: A → B ⇔ ~B → ~A
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Raciocínio Lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
A B ~A ~B A→B ~B→~A
V V F F V V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo 
são proposições logicamente equivalentes, isto é:
A→ B ⇔ ~B→ ~A
Essa relação é chamada de teorema contra-recíproco.
EXEMPLO
Dizer que:
Se a economia brasileira está em crise, então o poder aquisitivo do brasileiro fica comprometido.
É logicamente equivalente a dizer que:
Se o poder aquisitivo do brasileiro não fica comprometido, então a economia brasileira não 
está em crise.
Obs.: � Uma relação existente entre as equivalências condicionais é dada pela intersecção 
das sentenças
 � A→ B ⇔ ~A ∨ B e
 � A→ B ⇔ ~B →~A, 
 � em que podemos concluir: A ∨ B ⇔ ~A→ B ou A ∨ B ⇔ ~B →A.
Vejamos na tabela abaixo:
A B ~A ~B A ∨ B ~A→B ~B→A
V V F F V V V
V F F V V V V
F V V F V V V
F F V V F F F
As três últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo 
as proposições A ∨ B, ~A → B e ~B→ A são proposições logicamente equivalentes, isto é:
A ∨ B ⇔ ~A → B,
A ∨ B ⇔ ~B→ A e
~A → B ⇔ ~B→A.
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Raciocínio Lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
Exemplo:
Proposição Proposição equivalente
Se Enny tomar remédio, ela vai ficar boa. Enny não toma remédio ou fica boa.
Clara anda ou corre. Se Clara não anda, então Clara corre.
5) Lei de Augustus De Morgan (importante guardar essa lei)
a) ~(A ∧ B) ⇔ (~A) ∨ (~B)
Demonstração: ~(A ∧ B) ⇔ (~A) ∨ (~B)
A B A ∧ B ~(A ∧ B) ~A ~B (~A) ∨ (~B)
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, 
logo, as proposições ~(A ∧ B) e (~A) ∨ (~B) são proposições logicamente equivalentes, 
isto é: ~(A ∧ B) ⇔ ~A ∨ ~ B.
b) ~(A ∨ B) ⇔ (~A) ∧ (~B)
Demonstração: ~(A ∨ B) ⇔ (~A) ∧ (~B)
A B A ∨ B ~(A ∨ B) ~A ~B (~A) ∧ (~B)
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, 
logo, as proposições ~(A ∨ B) e (~A) ∧ (~B) são proposições logicamente equivalentes, 
isto é: ~(A ∨ B) ⇔ ~A ∧ ~B.
6) Equivalência da Bicondicional
[(A → B) ∧ (B → A)] ⇔ [A ↔ B]
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
Demonstração
A B A→B B→A (A→B) ∧ (B→A) A ↔ B
V V V V V V
V F F V F F
F V V F F F
F F V V V V
As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo 
as proposições [(A → B) ∧ (B → A) e [A ↔ B] são logicamente equivalentes.
7) Lei Comutativa
Como já visto ao estudarmos as tabelas-verdade,foi comentado que os conectivos: con-
juntivo, disjuntivo, disjuntivo exclusivo e bicondicional possuem a propriedade comutativa, isto 
é, ao trocarmos a ordem das proposições simples, os resultados das tabelas-verdade perma-
necem idênticos.
Com relação ao conectivo condicional não ocorre o mesmo, uma vez que os resultados de 
suas tabelas-verdade não serão os mesmos. Resumindo, o conectivo condicional não possui 
a propriedade comutativa.
Aplicações:
115. (INSTITUTO AOCP/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO/CÂMARA DE MARINGÁ-PR/2017) 
A afirmação “Se o Sol brilha, então é dia” é logicamente equivalente à afirmação
a) “Se o Sol não brilha, então não é dia.”
b) “Se não é dia, então o Sol não brilha.”
c) “É dia e o Sol não brilha.”
d) “Não é dia e o Sol brilha.”
e) “O Sol brilha ou não é dia.”
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A proposição composta é uma proposição condicional, assim temos duas possíveis equiva-
lências lógicas:
A → B: “Se o Sol brilha, então é dia”.
¬B → ¬A: “Se não é dia, então o Sol não brilha”
¬ A ∨ B: “O sol não brilha ou é dia”
Nesta questão a banca utilizou a equivalência contrapositiva.
Letra b.
116. (FGV/ANALISTA JUDICIÁRIO – ÁREA ADMINISTRATIVA/TRT – 12ª REGIÃO-SC/2017) 
Considere a sentença: “Se Pedro é torcedor do Avaí e Marcela não é torcedora do Figueirense, 
então Joana é torcedora da Chapecoense”.
Uma sentença logicamente equivalente à sentença dada é:
a) Se Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense, então Joana não é 
torcedora da Chapecoense.
b) Se Pedro não é torcedor do Avaí e Marcela é torcedora do Figueirense, então Joana não é 
torcedora da Chapecoense.
c) Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense ou Joana é torcedora 
da Chapecoense.
d) Se Joana não é torcedora da Chapecoense, então Pedro não é torcedor do Avaí e Marcela é 
torcedora do Figueirense.
e) Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense e Joana é torcedora da 
Chapecoense.
A proposição composta é uma proposição condicional, assim temos duas possíveis equiva-
lências lógicas:
A → B: “Se Pedro é torcedor do Avaí e Marcela não é torcedora do Figueirense, então Joana é 
torcedora da Chapecoense”.
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¬B → ¬A: “Se Joana não é torcedora da Chapecoense, então Pedro não é torcedor do Avaí ou 
Marcela é torcedora do Figueirense”.
¬A ∨ B: “Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense ou Joana é tor-
cedora da Chapecoense”.
As três proposições acima são equivalentes, a alternativa correta está indicada pela proposi-
ção composta disjuntiva.
Letra c.
117. (CESPE/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF) A proposição P1 é logica-
mente equivalente à proposição “Se um empresário não mereceu receber a gratidão da so-
ciedade, então as ações de tal empresário não contribuíram para a manutenção de certos 
empregos da estrutura social”.
Dada a proposição condicional:
P1: (As ações de um empresário contribuírem para a manutenção de certos empregos da es-
trutura social) → (tal empresário merece receber a gratidão da sociedade.)
A proposição composta é uma proposição condicional, assim temos duas possíveis equi-
valências lógicas:
O item sugere a equivalência “contrapositiva” (Se um empresário não mereceu receber a grati-
dão da sociedade), então (as ações de tal empresário não contribuíram para a manutenção de 
certos empregos da estrutura social).
Certo.
118. (CESPE/POLÍCIA CIENTÍFICA–PE) Assinale a opção que é logicamente equivalente à 
proposição “Ele é suspeito também de ter cometido outros dois esquartejamentos, já que fo-
ram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os crimes”:
a) Se foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os dois esquar-
tejamentos, ele é suspeito também de ter cometido esses crimes.
b) Ele não é suspeito de outros dois esquartejamentos, já que não foram encontrados vídeos 
em que ele supostamente aparece executando os crimes.
c) Se não foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os dois 
esquartejamentos, ele não é suspeito desses crimes.
d) Como ele é suspeito de ter cometido também dois esquartejamentos, foram encontrados 
vídeos em que ele supostamente aparece executando os crimes.
e) Foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os dois esquarte-
jamentos, pois ele é também suspeito de ter cometido esses crimes.
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Temos uma proposição condicional em que o antecedente “foram encontrados vídeos em que 
ele supostamente aparece executando os crimes” e o consequente “Ele é suspeito também de 
ter cometido outros dois esquartejamentos”. É importante ressaltar que o CESPE tem o cos-
tume de escrever na linguagem natural uma proposição condicional começando pelo conse-
quente, porém não podemos esquecer que a proposição condicional é a única que não comuta.
Uma representação logicamente equivalente a proposição proposta pela questão é:
Se foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os crimes, então 
Ele é suspeito também de ter cometido outros dois esquartejamentos”.
É importante ressaltar que o CESPE usou o termo “já que” para anunciar o antecedente.
119. (CESPE/ANALISTA DO SEGURO SOCIAL – SERVIÇO SOCIAL/INSS) Com relação a ló-
gica proposicional, julgue o item subsequente.
Supondo-se que p seja a proposição simples “João é fumante”, que q seja a proposição sim-
ples “João não é saudável” e que p → q, então o valor lógico da proposição “João não é fuman-
te, logo ele é saudável” será verdadeiro.
Nesta questão temos uma aplicação de equivalência lógica.
Representando as proposições temos:
A: Se João é fumante, então João não é saudável.
B: Se João não é fumante, então ele é saudável.
Podemos inferir que as proposições não são equivalentes, pois segundo a lei condicional teremos:
Errado.
120. (CESPE/MP/ENAP) A proposição “João não se esforça o bastante ou João conseguirá o 
que desejar” é logicamente equivalente à proposição P.
A proposição composta: “João não se esforça o bastante ou João conseguirá o que desejar” 
pode ser representada por ¬ A ∨B.
A proposição P “Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar” pode 
ser representada por A → B.
Leis de Equivalência Condicional:
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As proposições compostas acima produzem as mesmas tabelas-verdade, logo são ditas logi-
camente equivalentes.
Certo.121. (CESPE/UNB) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são, simbolicamente, re-
presentados por ∧, ∨, ¬ e →, respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R, 
representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógicos verdadeiro e falso, 
respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
A proposição ¬(P ∧ Q) é equivalente à proposição (¬P) ∨ (¬Q).
A proposição composta: ¬(P ∧ Q) “não é verdade que P e Q”, ao aplicar a Lei de De Morgan 
temos: (¬P) ∨ (¬Q). Caso queira construir as tabelas, teremos que elas serão idênticas, como 
já visto acima nas demonstrações.
Certo.
122. (CESPE/UNB) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), 
mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas 
por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A→B, lida, entre outras formas, como “se A então 
B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais 
casos. Uma expressão da forma ¬A, lida como “não A”, é uma proposição que tem valoração 
V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A e 
B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem 
valoração F. Uma expressão da forma A ∨ B, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem 
valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos é V. Com base nessas definições, 
julgue o item que se segue.
Uma expressão da forma ¬(A ∧¬B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valora-
ções V ou F da proposição A→B.
Se uma questão afirmar ou perguntar sobre proposições que possuem as mesmas valorações, 
está implícito que se trata de uma equivalência lógica, o que no caso podemos ganhar tempo 
aplicando uma das leis.
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A proposição composta: ¬ (A ∧ ¬B) “não é verdade que A e não B”, ao aplicar a Lei de De 
Morgan temos: (¬A) ∨ (B), logo pela Lei Condicional [A → B ⇔ (¬A) ∨ (B)], “As suas tabe-
las-verdade são idênticas”.
Certo.
123. (ESAF/MPU) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo,
a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.
b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.
d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.
Dada a proposição, temos:
Elaine não ensaia → Elisa não estuda.
O antecedente (Elaine não ensaia) é condição suficiente para o consequente (Elisa não estuda).
O consequente (Elisa não estuda) é condição necessária para o antecedente (Elaine não ensaia).
Segundo os itens da questão, não temos nenhum que esteja de acordo com o RESOLUÇÃO 
realizado anteriormente.
O que fazer?
Percebemos que as respostas propostas pela Esaf não satisfazem a proposição: Se Elaine não en-
saia, Elisa não estuda. Sendo assim, podemos concluir que não foi utilizada essa proposição, porém 
será usada outra proposição logicamente equivalente à dada pelo enunciado da questão.
A lei condicional, contrapositiva, possui as condições que a questão exige.
Aplicando a lei condicional:
Elaine não ensaia → Elisa não estuda ⇔ Elisa estuda → Elaine ensaia
Agora, sim, temos que:
I – Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar.
II – Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.
Letra e.
124. (CESPE/UNB) As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a 
operação agarra não será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então 
a operação agarra será bem-sucedida” são equivalentes.
Representando as proposições temos:
A: O delegado prende o chefe da quadrilha.
B: A operação agarra será bem-sucedida.
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Representando a proposição: “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a opera-
ção agarra não será bem-sucedida”, temos ¬ A → ¬ B.
Representando a proposição: “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação 
agarra será bem-sucedida”, temos A → B.
Para verificar se a proposições são equivalentes, é necessário que suas tabelas-verdade pro-
duzam os mesmos resultados.
A B ¬ A ¬ B A → B ¬ A →¬ B
V V F F V V
V F F V F V
F V V F V F
F F V V V V
Os resultados não são iguais, logo as proposições não são equivalentes.
É importante perceber que de condicional para condicional temos que negar as proposições 
e trocar de posição (contra-recíproca). No item acima, apenas negou as proposições, porém 
não trocou de posição.
Errado.
Fique ligado (a) na questão abaixo, realizada para a prova da PC CE 2012.
O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situa-
ções de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de 
aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as 
proposições seguintes.
P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins.
P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins.
P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa domi-
nar pela emoção ao tomar decisões.
P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações 
precisas ao tomar decisões.
Com base nessas proposições, julgue os itens a seguir.
125. (CESPE/ UNB) A proposição formada pela conjunção de P1 e P2 é logicamente equiva-
lente à proposição “Se se deixa dominar pela emoção ou não tem informações precisas ao 
tomar decisões, então o policial toma decisões ruins”.
A conjunção será P1 ∧ P2.
[(se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões → o policial toma decisões ruins)] ∧ [(não 
tem informações precisas ao tomar decisões → então o policial toma decisões ruins)]
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é equivalente a
[(se deixa dominar pela emoção ∨ não tem informações precisas ao tomar decisões)] → (o 
policial toma decisões ruins).
I – Resolução por Diagramas:
Para verificar se a proposições são equivalentes, é necessário que suas tabelas-verdade produ-
zam os mesmos resultados, porém percebemos que são três proposições, o que faz uma tabe-
la com oito linhas, ficando inconveniente fazê-la, logo iremos resolver por teoria de conjuntos, 
sabendo que conjunção é uma interseção de conjuntos, disjunção é uma união de conjuntos e 
condicional é uma inclusão de conjuntos.
Representando a conjunção de P1 e P2, temos:
Podemos inferir que a proposição [(se deixa dominar pela emoção ∨ não tem informações 
precisas ao tomar decisões)] → (o policial toma decisões ruins) pode ser representada pelo 
diagrama acima também, logo as proposições são logicamente equivalentes.
II – Resolução pelas Leis de Equivalências:[(se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões → o policial toma decisões ruins)] ∧ [(não 
tem informações precisas ao tomar decisões → então o policial toma decisões ruins)]
Equivalente
[(se deixa dominar pela emoção ∨ não tem informações precisas ao tomar decisões] → (o 
policial toma decisões ruins)
Representando as proposições simples temos:
DE: deixa dominar pela emoção ao tomar decisões
DR: o policial toma decisões ruins
IP: tem informações precisas ao tomar decisões
SIMBOLIZANDO AS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS:
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Dessa forma temos que as proposições que estão antes e depois do sinal de equivalências são 
iguais, ou seja, equivalentes.
Certo.
Um jovem, visando ganhar um novo smartphone no dia das crianças, apresentou à sua mãe 
a seguinte argumentação: “Mãe, se tenho 25 anos, moro com você e papai, dou despesas a 
vocês e dependo de mesada, então eu não ajo como um homem da minha idade. Se estou há 
7 anos na faculdade e não tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades, então 
não tenho um mínimo de maturidade. Se não ajo como um homem da minha idade, sou tratado 
como criança. Se não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança. Logo, se sou 
tratado como criança, mereço ganhar um novo smartphone no dia das crianças”.
Com base nessa argumentação, julgue os itens a seguir.
126. (CESPE/ UNB) A proposição “Se estou há 7 anos na faculdade e não tenho capacidade 
para assumir minhas responsabilidades, então não tenho um mínimo de maturidade” é equi-
valente a “Se eu tenho um mínimo de maturidade, então não estou há 7 anos na faculdade e 
tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades”.
A proposição: [estou há 7 anos na faculdade (A) ∧ não tenho capacidade para assumir minhas res-
ponsabilidades (B) ]→ [não tenho um mínimo de maturidade (C) ] é equivalente à proposição:
[eu tenho um mínimo de maturidade (~C)] → [não estou há 7 anos na faculdade(~A) ∧ tenho 
capacidade para assumir minhas responsabilidades(~B)]
Pela Lei condicional, aplicando a contra positiva, temos: A → B é equivalente ¬ A → ¬ B, tería-
mos o como equivalente a segunda proposição da seguinte forma:
[eu tenho um mínimo de maturidade (~C)] → [não estou há 7 anos na faculdade(~A) ∨ tenho 
capacidade para assumir minhas responsabilidades(~B)]
O único problema foi que no consequente seria uma proposição disjuntiva, e não conjuntiva.
Errado.
127. (CESPE/ UNB) A proposição “Se não ajo como um homem da minha idade, sou tratado 
como criança, e se não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança” é equiva-
lente a “Se não ajo como um homem da minha idade ou não tenho um mínimo de maturidade, 
sou tratado como criança”.
Para verificar se a proposições são equivalentes, é necessário que suas tabelas-verdade produ-
zam os mesmos resultados, porém percebemos que são três proposições, o que faz uma tabe-
la com oito linhas, ficando inconveniente fazê-la, logo iremos resolver por teoria de conjuntos, 
sabendo que conjunção é uma interseção de conjuntos, disjunção é uma união de conjuntos e 
condicional é uma inclusão de conjuntos.
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Raciocínio Lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
Representando as proposições temos:
P: não ajo como um homem da minha idade.
Q: sou tratado como criança.
R: não tenho um mínimo de maturidade.
P1: [(não ajo como um homem da minha idade → sou tratado como criança)] ∧ [não tenho um 
mínimo de maturidade→ sou tratado como criança]
Representação por Diagrama:
Os conjuntos pontilhados são as possibilidades da localização do diagrama.
P2: [(não ajo como um homem da minha idade ∨ não tenho um mínimo de maturidade)] [(sou 
tratado como criança)].
Podemos inferir que a proposição P2 também pode ser representada pelo mesmo diagrama, 
pois o antecedente, que é a união de P e R, está contido no conjunto Q.
Obs.: � Essa questão é idêntica à questão comentada anteriormente, em que podemos resol-
ver pelas leis de equivalência.
Certo.
O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimentado por denúncias a respeito da 
existência de um esquema de compra de votos dos vereadores. A dúvida quanto a esse esque-
ma persiste em três pontos, correspondentes às proposições P, Q e R, abaixo:
P: O vereador Vitor não participou do esquema.
Q: O prefeito Pérsio sabia do esquema.
R: O chefe de gabinete do prefeito foi o mentor do esquema.
Os trabalhos de investigação de uma CPI da Câmara Municipal conduziram às premissas P1, 
P2 e P3 seguintes:
P1: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sabia do esquema.
P2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o prefeito Pérsio sabia do esquema, 
mas não ambos.
P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor 
do esquema.
Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte, acerca de proposições lógicas.
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Raciocínio Lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
128. (CESPE/ UNB) A premissa P3 é logicamente equivalente à proposição “O vereador Vitor 
participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema”.
Dada a proposição P3, temos: “Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe 
de gabinete não foi o mentor do esquema”.
Na Lei Condicional, temos que as proposições A→ B, ~B → ~A e ~A ∨ B são equivalentes entre 
si, pois produzem as mesmas tabelas-verdade.
Dessa forma, temos que as proposições são equivalentes, pois: A→ B e ~A ∨ B produzem as 
mesmas tabelas-verdade.
Certo.
Para descobrir qual dos assaltantes — Gavião ou Falcão — ficou com o dinheiro roubado de 
uma agência bancária, o delegado constatou os seguintes fatos:
F1 – se Gavião e Falcão saíram da cidade, então o dinheiro não ficou com Gavião.
F2 – se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com Gavião.
F3 – Gavião e Falcão saíram da cidade.
F4 – havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à mulher de Gavião.
Considerando que as proposições F1, F2, F3 e F4 sejam verdadeiras, julgue os itens subse-
quentes, com base nas regras de dedução.
129. (CESPE/UNB) A proposição F2 é logicamente equivalente à proposição “Se o dinheiro 
não ficou com Gavião, então não havia um caixa eletrônico em frente ao banco”.
Dada a proposição F2 – se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou 
com Gavião – temos uma proposição condicional.
Na Lei Condicional, temos que as proposições A→ B, ~B → ~A e ~A ∨ B são equivalentes entre 
si, pois produzem as mesmas tabelas-verdade.
Dessa forma, temos que as proposições são equivalentes, pois: A→ B, ~B → ~A (contrapositiva).
Letra c.
Considerando a proposição P: “Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que 
desejar”, julgue os itens a seguir.
130. (CESPE/UNB) A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por “João não 
se esforçou o bastante, mas, mesmo assim,conseguiu o que desejava”.
Duas proposições compostas, uma será a negação da outra quando forem formadas pelas 
mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade forem contrárias.
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Raciocínio Lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
A B ¬ A ¬ B A → B ¬ A ∧ B
V V F F V F
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V F
Temos que as duas últimas colunas não produzem resultados contrários. A negação da propo-
sição condicional é:
A → B A ∧ ¬ B
Errado.
131. (CESPE/UNB) A proposição “João não se esforça o bastante ou João conseguirá o que 
desejar” é logicamente equivalente à proposição P.
A proposição composta: “João não se esforça o bastante ou João conseguirá o que desejar” 
pode ser representada por ¬ A ∨B
A proposição P “Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar” pode 
ser representada por A → B.
Leis de Equivalência Condicional:
As proposições compostas acima produzem as mesmas tabelas-verdade, logo são ditas logi-
camente equivalentes.
Certo.
132. (CESPE/UNB) A proposição “Se João não conseguiu o que desejava, então João não se 
esforçou o bastante” é logicamente equivalente à proposição P.
A proposição composta: se João não conseguiu o que desejava, então João não se esforçou o 
bastante” pode ser representada por ¬B → ¬A.
A proposição P “Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar” pode 
ser representada por A → B.
Leis de Equivalência Condicional:
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As proposições compostas acima produzem as mesmas tabelas-verdade, logo são ditas logi-
camente equivalentes.
Certo.
Tendo como referência essas proposições, julgue os itens seguintes.
Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados por uma empresa, um cliente fez 
as seguintes afirmações:
P1: Se for bom e rápido, não será barato.
P2: Se for bom e barato, não será rápido.
P3: Se for rápido e barato, não será bom.
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
133. (CESPE/ UNB) A proposição P1 é logicamente equivalente a “Se o serviço for barato, não 
será bom nem será rápido”.
Representando a proposição temos:
P1: (Foi bom ∧ rápido) → (não será barato)
Aplicando a lei condicional (contra-positiva)
A→B ↔ ¬B → ¬A,
Podemos inferir que a equivalência será
“Serviço foi barato → (não será bom ∨ não será rápido)
Errado.
134. (CESPE/ UNB) A proposição P2 é logicamente equivalente a “Ou o serviço é bom e bara-
to, ou é rápido”.
Representando a proposição temos:
P2: (Foi bom ∧ Rápido) → (não será rápido)
Aplicando a lei condicional.
A→B será equivalente a ¬B ∨ A
Podemos inferir que será:
“O serviço não é bom ou não é barato, ou não será rápido”
Errado.
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Josimar Padilha
135. (FCC/SUPORTE ADMINISTRATIVO/TCE-CE) A afirmação que é logicamente equivalente 
à afirmação: “Se faço karatê, então sei me defender” é
a) se não faço karatê, então não sei me defender.
b) se sei me defender, então faço karatê.
c) se não sei me defender, então não faço karatê.
d) se não sei me defender, então faço karatê.
e) se faço karatê, então não sei me defender.
A equivalência da proposição condicional A→B é dada por ¬B→¬A, isto é, devido às tabelas-verdade 
serem idênticas. Representando a proposição: “Faço karatê → sei me defender” a equivalência será 
“Se não sei me defender, então não faço karatê”. Foi aplicado a lei condicional (contrapositiva).
Letra c.
8. DiAgrAmAs lógicos
funDAmentAção teóricA
Gottlob Frege construiu uma maneira de reordenar várias sentenças para tornar sua forma lógi-
ca clara, com a intenção de mostrar como as sentenças relacionam-se em certos aspectos. Antes 
de Frege, a lógica formal não obteve sucesso além do nível da lógica de sentenças: ela podia repre-
sentar a estrutura de sentenças compostas de outras sentenças, usando os conectivos lógicos: “e”, 
“ou” e “não”, mas não podia quebrar sentenças em partes menores. O trabalho de Frege foi um dos 
que deu início à lógica formal contemporânea. Sendo assim, percebemos a grande incidência de 
questões de concursos públicos voltadas para essa linguagem e raciocínio.
No estudo das operações com conjuntos e das soluções de problemas envolvendo conjuntos, 
os diagramas ajudam a visualizar e contribuem para a compreensão de vários assuntos em Lógica.
Um tipo especial de proposição são as proposições categóricas. Podemos identificá-las 
facilmente porque são precedidas pelos quantificadores lógicos: “Todo (∀)”, “Nenhum (¬∃)”, 
“Algum (∃)”. Na lógica clássica (também chamada de lógica aristotélica), o estudo da dedução 
era desenvolvido usando-se as proposições categóricas.
As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas no qua-
dro seguinte:
Proposições 
Afirmativas
Proposições 
Negativas
Proposições Universais (A) todo “A” é “B” (E) nenhum “A” é “B”
Todo “A não é B” 
Proposições Particulares (I) algum “A” é “B” (O) algum “A” não é “B”
Nem todo A é B
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Entre parênteses estão as vogais que representam quantificação.
Podemos observar no quadro acima que cada uma das proposições categóricas na forma 
típica começa por “Todo” ou “Nenhum” (chamados de quantificadores universais) ou por “Al-
gum” (chamado de quantificador particular).
1) PARTICULAR AFIRMATIVO: ALGUM A É B
Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos públicos:
O conjunto interseção é formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos A e B 
simultaneamente.
(A ∩ B) = {x/x ∈ A e x ∈ B}
2) UNIVERSAL NEGATIVO: NENHUM A É B
CONJUNTOS DISJUNTOS
O termo “nenhum” pode ser substituído pela palavra “não existe” nas provas de concur-
sos públicos:
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3) PARTICULAR NEGATIVO: ALGUM A NÃO É B
Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos públicos:
Simbolicamente: ∃X (A(X) ∧ ¬B(X))
4) UNIVERSAL AFIRMATIVO: TODO A É B
Alguns termos que podem substituir a palavra “todo” nas provas de concursos públicos:
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• Para todo
• Qualquer que seja
Simbolicamente: ∀(x) (A(x) → B(x))
pArticulAr negAtivo: Algum A não é b
Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos públicos:
Simbolicamente: ∃X (A(X) ∧ ¬B(X))
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RACIOCÍNIO LÓGICO
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universAl AfirmAtivo: toDo A é b
Alguns termos que podem substituir a palavra “todo” nas provas de concursos públicos:
– Para todo
– Qualquer que seja
Simbolicamente: ∀(x) (A(x) → B(x))
Aplicação dos Quantificadores Lógicos
Vamos realizar algumas inferências utilizando os diagramas lógicos, ok?
Assim você irá entender como interpretar as questões. Não se esqueça que quando ti-
vermos a presença de quantificadores lógicos, ou seja, os termos “todo, algum e nenhum”, a 
questões serão resolvidas por diagramas lógicos.
Vamos lá!
Um argumento constituído por uma sequência de três proposições – P1, P2 e P3, em que 
P1 e P2 são as premissas e P3 é a conclusão – é considerado válido se, a partir das premis-
sas P1 e P2, assumidas como verdadeiras, obtém-se a conclusão P3, também verdadeira por 
consequência lógica das premissas. A respeito das formas válidas de argumentos, julgue os 
próximos itens.
Considere a seguinte sequência de proposições
P1 – Existem policiais que são médicos.
P2 – Nenhum policial é infalível.
P3 – Nenhum médico é infalível.
136. (PC-ES). Nessas condições, é correto concluir que o argumento de premissas P1 e P2 e 
conclusão P3 é válido.
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Dadas as proposições categóricas P1, P2 e P3, temos os seguintes diagramas que as representam:
P: Policiais.
M: Médicos.
I: Infalível.
Segundo os diagramas acima, podemos inferir que P3 não é uma consequência das premissas 
P1 e P2, logo o argumento não é válido.
O conjunto infalível pode ficar nas posições pontilhadas, o que não garante a verdade da conclusão.
Errado.
137. (PC-ES) Se as premissas P1 e P2 de um argumento forem dadas, respectivamente, por “Todos 
os leões são pardos” e “Existem gatos que são pardos”, e a sua conclusão P3 for dada por “Existem 
gatos que são leões”, então essa sequência de proposições constituirá um argumento válido.
Temos os diagramas abaixo que representam as proposições do argumento e verificamos que 
P3 pode ser verdadeira ou não. Logo, o argumento não pode ser válido.
Errado.
138. (CESPE) Considere as seguintes proposições:
I – Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança.
II – Joaquina não tem garantido o direito de herança.
III – Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte.
Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logicamente que
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a) Joaquina não é cidadã brasileira.
b) Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros.
c) Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte.
Pelas premissas podemos construir o diagrama acima.
Pela premissa I temos a inclusão de dois conjuntos: todo cidadão brasileiro tem garantido o 
direito de herança. Cidadão brasileiro está contido no conjunto garantia de direito de herança.
Pela premissa II temos que Joaquina não pode pertencer ao conjunto “Garantia de direito de 
herança”, podendo assim ficar nas duas posições indicadas no diagrama.
Pela premissa III temos que o conjunto: cidadãos de muita sorte pode possuir ou não Joaquina.
Julgando os itens.
a) Certa. Joaquina não pertence ao conjunto: cidadão brasileiro.
b) Errada. Comutou o quantificador universal afirmativo, em que ele não aceita tal propriedade.
c) Errada. Pelo diagrama podemos inferir que Joaquina não é uma cidadã brasileira, porém 
pode ser ou não uma cidadã de muita sorte.
Letra a.
139. (ESAF) Nenhum matemático é aluno. Algum administrador é aluno, logo:
a) algum administrador é matemático.
b) todo administrador é matemático.
c) nenhum administrador é matemático.
d) algum administrador não é matemático.
e) todo administrador não é matemático.
Da mesma forma que analisamos as premissas formadas com os conectivos lógicos (utilizando as 
tabelas-verdade) para que possamos encontrar uma conclusão verdadeira, analisaremos as premis-
sas formadas com os quantificadores lógicos. Cada premissa será representada pelo seu diagrama 
lógico, sendo cada um deles verdadeiro para que tenhamos uma conclusão verdadeira.
Vamos construir os diagramas para cada premissa:
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Josimar Padilha
P1: Nenhum matemático é aluno. (Não há nada em comum)
P2: Algum administrador é aluno (pelo menos um {x}. Conjunto unitário)
Relacionando as duas premissas (diagramas lógicos), temos:
A conclusão será fruto da relação entre as premissas, sendo que essa deverá ser uma nova 
proposição, consequência de uma certeza. Não podemos concluir o que não temos certeza, e 
é dessa forma que a resposta da questão será: algum administrador não é matemático.
Letra d.
140. (ESAF) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filó-
sofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. 
Portanto, tem-se que, necessariamente:
a) todo responsável é artista.
b) todo responsável é filósofo ou poeta.
c) todo artista é responsável.
d) algum filósofo é poeta.
e) algum trabalhador é filósofo.
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Josimar Padilha
De acordo com o enunciado da questão, um artista só pode ser trabalhador, filósofo ou poeta, 
ou seja, são conjuntos disjuntos. Assim, os respectivos conjuntos (T, F e P) interceptam o con-
junto dos artistas sem deixar vazios e sem superposição, porque um artista não pode ser mais 
de um desses ao mesmo tempo. O enunciado também diz que trabalhador, filósofo e poeta são 
responsáveis. Denominando R o conjunto dos responsáveis,tem-se:
T ⊂ R
F ⊂ R
P ⊂ R
Ou seja, T, F e P são subconjuntos de R.
Analisando as respostas, temos:
a) todo responsável é artista: não necessariamente, porque o quantificador universal afirmati-
vo não aceita a propriedade comutativa, uma vez que há elementos que são responsáveis que 
não trabalhadores.
b) todo responsável é filósofo ou poeta: não. Pode ser trabalhador.
c) todo artista é responsável: correto, porque T, F e P são subconjuntos de R e o artista só pode 
ser um deles.
d) algum filósofo é poeta: pode ser ou não. Os conjuntos F e P podem ter interseção, embora 
não indicado na figura.
e) algum trabalhador é filósofo: pode ser ou não, de forma similar à do item anterior.
Letra c.
141. (FCC/BANRISUL/ESCRITURÁRIO/2019) Dentre os funcionários de uma determinada 
agência bancária, os gerentes são todos casados e têm filhos. Nenhum funcionário casado 
mora na capital, mas há funcionários que moram na capital e têm filhos. Nessas condições,
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a) todos os funcionários que têm filhos moram na capital.
b) nenhum funcionário que mora na capital é gerente.
c) nenhum funcionário que tem filhos é casado.
d) todos os funcionários que têm filhos são casados.
e) há gerentes que moram na capital.
Na lógica de Primeira Ordem, é importante conhecermos sobre Operações com Conjuntos, 
uma vez que são utilizados os diagramas de Venn para representar os quantificadores lógicos. 
Torna-se necessário conhecer a linguagem matemática, ou seja, os símbolos e suas relações, 
assunto visto no primeiro capítulo deste livro.
Quanto aos quantificadores lógicos e seus diagramas, verifique o final deste capítulo com as 
fundamentações teóricas.
Temos as seguintes proposições (premissas):
P1: Os gerentes são todos casados e têm filhos;
P2: Nenhum funcionário casado mora na capital;
P3: há funcionários que moram na capital e têm filhos
Representando as premissas por diagramas, temos:
P1: Os gerentes são todos casados e têm filhos;
P2: Nenhum funcionário casado mora na capital;
P3: há funcionários que moram na capital e têm filhos
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
Agora realizando a interseção das informações (premissas), teremos:
Podemos inferir que “NENHUM funcionário que mora na capital é gerente”.
Letra b.
142. (CRESS–SC/2019) Considerando N como o conjunto dos números naturais, Z como o 
conjunto dos números inteiros, Q como o conjunto dos números racionais, R como o conjunto 
dos números reais e XC como o complementar do conjunto X, julgue o item acerca dos conjun-
tos numéricos, de suas operações, propriedades e aplicações, das operações com conjuntos e 
da compreensão das estruturas lógicas e dos respectivos diagramas.
É correto afirmar que o diagrama acima representa corretamente a afirmação: “Se não é um 
número real, então não é um número natural”.
O operador condicional “se..., então...” possui o mesmo diagrama do quantificador universal 
afirmativo, ou seja, uma relação de inclusão entre conjuntos.
Ao final deste capítulo você pode conferir os diagramas para cada quantificador lógico.
A proposição A →B tem o mesmo significado para todo A é B. Vejamos o diagrama:
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
Agora podemos de uma maneira tranquila responder a questão que diz:
“Se não é um número real, então não é um número natural”.
Utilizando uma afirmação equivalente (contrapositiva) a essa:
“Se um número é natural, então ele é real”, onde podemos representar pelo seguinte diagrama:
Certo.
143. (TJ-SP/ENFERMEIRO JUDICIÁRIO/2019) Considere que haja elementos em todas as 
seções e interseções do diagrama.
A partir dessas informações, é correto afirmar que
a) todos os elementos de A, que não são elementos de B, são elementos de C ou de D.
b) não há elemento de B que seja elemento de três conjuntos ao mesmo tempo.
c) todos os elementos de C, que não são elementos apenas de C, ou são também elementos 
de B ou são também elementos de D.
d) há elemento de B que seja elemento de outros três conjuntos além do B.
e) qualquer elemento de D, que não é elemento de B, é também elemento de C ou elemento de A.
Para melhor interpretação, iremos colocar elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} em todas as seções e 
interseções do diagrama, vejamos a seguir:
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Raciocínio Lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
Analisando cada uma das opções, conforme os elementos e seus conjuntos:
a) Errada. Não necessariamente, pois temos o elemento {7} que pertence ao conjunto A, não 
pertence a B e também não pertence a C ou D.
b) Errada. Não necessariamente, pois temos o elemento {4}, que pertence a B, porém não per-
tence ao conjunto C.
c) Errada. Sabemos que “todos os elementos de C, que não são elementos apenas de C” cor-
respondem aos elementos {2,3}, e a opção afirma que “ou são também elementos de B ou são 
também elementos de D”, o que não é verdade, uma vez que o elemento {2} não é elemento de 
B ou de D.
d) Errada. Não temos interseção dos três conjuntos. Isto é, não há elementos que pertença aos 
conjuntos A, B, C e D.
e) Certa. Uma vez que o elemento {6} pertence a união de C ou A. O elemento que pertence 
apenas ao conjunto A, pertence a união de A com C.
Letra e.
144. (TJ-SP/MÉDICO JUDICIÁRIO/ 2019) Considere que haja elementos em todas as seções 
e interseções do diagrama.
A partir dessas informações, é correto afirmar que
a) todos os elementos de A, que não são elementos de B, são elementos de C ou de D.
b) não há elemento de B, que seja apenas elemento de B e de D ou apenas elemento de B ou de C.
c) não há elemento de A, que seja apenas elemento de A e de D.
d) qualquer elemento de C que não seja elemento de D, é também elemento de A.
e) qualquer elemento de D, que é também elemento de C é também elemento de A.
Para melhor interpretação, iremos colocar elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} em todas as seções 
e interseções do diagrama, vejamos a seguir:
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Analisando cada uma das opções, conforme os elementos e seus conjuntos:
a) Errada. Todos os elementos de A, que não são elementos de B = { 1 }, não pertenceao con-
junto C ou D.
b) Errada. Temos elemento de B, que seja apenas elemento de B e de D = {6} e temos elemento 
de B que são apenas elementos de B ou de C = {8}.
c) Certa. Elementos que pertençam apenas a A e D = { }, ou seja, não existem.
d) Errada. Qualquer elemento de C que não seja elemento de D = { 3,8}, não é necessariamente 
elemento de A, pois o elemento {8} não pertence ao conjunto A.
e) Errada. Qualquer elemento de D, que é também elemento de C = { 4,5 } não é elemento de A. 
O elemento {5} não é elemento de A.
Letra c.
145. (ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL/2018) Considere falsa a afirmação (I) e verdadeira a 
afirmação (II).
I – Todos os alunos estudam.
II – Alguns professores estudam.
Sendo assim, é correto concluir que
a) existe aluno que não estuda.
b) todos os professores estudam.
c) qualquer aluno estuda.
d) os alunos que estudam são professores.
e) qualquer professor que estuda é aluno.
Temos uma questão de inferência lógica, em que iremos aplicar diagramas lógicos, mas pri-
meiro devemos negar a primeira premissa, vejamos:
Premissa I. Todos os alunos estudam. (F) → Premissa I: Alguns alunos não estudam. (V)
Premissa II. Alguns professores estudam. (V)
A conclusão tem que ser fruto exclusivo das premissas.
Conclusão: Existe aluno que não estuda.
Letra a.
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146. (SOLDADO COMBATENTE BM/2018) Considere as duas afirmações a seguir:
• todo soldado atua na defesa civil ou atua na defesa ambiental.
• Pedro é um soldado da defesa civil. Logo, é correto afirmar que
a) Pedro atua na defesa civil e na defesa ambiental.
b) se Pedro não atuar na defesa ambiental, então ele não é um soldado.
c) Pedro somente atua na defesa ambiental se atuar na defesa civil.
d) como Pedro atua na defesa civil, então ele também atua na defesa ambiental.
e) Pedro não atua na defesa ambiental.
Podemos representar as proposições (premissas) pelos seguintes diagramas lógicos:
P1: Todo soldado atua na defesa civil ou todo soldado atua na defesa ambiental.
P2: Pedro é um soldado da defesa civil.
A partir dos diagramas lógicos podemos inferir que Pedro não atua na defesa ambiental.
Letra e.
147. (ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL/2018) Em determinado local, algum artista é funcionário 
público e todos os artistas são felizes. Sendo assim, é correto afirmar que
a) algum artista é feliz.
b) algum artista que não é funcionário público não é feliz.
c) algum artista funcionário público não é feliz.
d) todo artista feliz é funcionário público.
e) todo artista funcionário público não é feliz.
Nesta questão temos premissas formadas por quantificadores lógicos, logo vamos construir 
diagramas lógicos.
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P1: todos os artistas são felizes;
P2: algum artista é funcionário público.
A partir das premissas, temos:
Conforme os diagramas, podemos inferir que algum artista (x) é feliz.
Se o quantificador universal (todo) é verdadeiro, o particular (algum) também será.
Letra a.
negAção Dos QuAntificADores lógicos
Negação das Proposições Categóricas
Duas proposições categóricas distintas que tenham o mesmo sujeito e o mesmo predica-
do serão sempre opostas quando negarmos pela contradição, ou seja, proposições contraditó-
rias: cada uma delas é a negação lógica da outra (A – O e E – I).
Para um melhor entendimento, vamos apresentar o quadrado dos opostos explicando de-
talhadamente para que você aprenda definitivamente essas negações, que por sinal é muito 
fácil. Vamos lá!
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As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas no qua-
dro seguinte:
Proposições 
Afirmativas Proposições Negativas
Proposições Universais (A) todo “A” é “B” (E) nenhum “A” é “B”
Todo “A não é B” 
Proposições Particulares (I) algum “A” é “B” (O) algum “A” não é “B”
Nem todo A é B
Entre parênteses estão as vogais que representam quantificação.
DICA
Para realizar as negações é só seguir as setas. Blz?
NEGAÇÃO UTILIZADA EM CONCURSOS PÚBLICOS?
Respondendo, temos que a negação será pela contraditória, ou seja, temos que negar as 
duas relações que formam uma proposição categórica, isto é, negamos a quantidade (o 
“todo” vira “algum”, ou vice-versa) e negamos também a qualidade (A é B vira A não é B, 
ou vice-versa).
Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem jul-
gamento.” Julgue os itens que se seguem, acerca dessa proposição.
148. (CESPE) A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem 
julgamento” é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima.
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A negação da proposição “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento” 
será pela negação contraditória “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado 
sem julgamento”, uma vez que nega quantidade e qualidade. 
Certo.
149. (CESPE) “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma 
proposição logicamente equivalente à negação da proposição anterior.
Tomando como base o item anterior, podemos concluir que “Todos serão considerados cul-
pados e condenados sem julgamento” não é a negação da proposição proposta pela questão.
Certo.
150. (CESPE) Com relação à lógica formal, julgue o item subsequente.
A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”.
A proposição “Ninguém aqui é brasiliense” trata-se de quantificador universal negativo. Se qui-
sermos a negação torna-se viável negarmos pela contraditória, uma vez que temos a certeza 
que será por quantidade e qualidade. Logo, a negação será: “Alguém aqui é brasiliense”.
Errado.
151. (COPERVE) A negação da proposição “Ninguém aqui é argentino” é a proposição:
a) nenhum aqui é argentino.
b) estes aqui são argentinos.
c) alguém aqui é argentino.
d) todos aqui são argentinos.
e) nenhuma das opções anteriores.
Temos que a negação de “nenhum A é B” será “algum A é B”, conforme a dica apresentada. 
Desta forma a negação de “Ninguém aqui é argentino” será “alguém aqui é argentino”.
Letra c.
152. (COPERVE) A negação de “Todos os alunos vão gabaritar a prova de matemática” é
a) “Todos os alunos não vão gabaritar a prova de matemática”.
b) “Nenhum aluno vai gabaritar a prova de matemática”.
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c) “Existe apenas um aluno que não vai gabaritar a prova de matemática”.
d) “Existe apenas um aluno que vai gabaritar a prova de matemática”.
e) “Existem alunos que não vão gabaritar a prova de matemática”.
Temos que a negação de “Todo A é B” será “algum A não é B”, conforme a dica apresentada. 
Desta forma a negação de “Todos os alunos vão gabaritar a prova de matemática” será “Exis-
tem alunos que não vão gabaritar a prova de matemática”.
Letra e.
153. (COPERVE) A negação de “Todas as pessoas gostam de ler livros de aventura” é
a) “Existem pessoas que não gostam de ler livros de aventura”.
b) “Nenhuma pessoa gosta de ler livros de aventura”.
c) “Todas as pessoas não gostam de ler livros de aventura”.
d) “Existe apenas uma pessoa que não gosta de ler livros de aventura”.
e) “Existe apenas uma pessoa que gosta de ler livros de aventura”.
Temos que a negação de “Todo A é B” será “algum A não é B”, conforme a dica apresentada. 
Desta forma a negação de “Todas as pessoas gostam de ler livros de aventura” será “Existem 
pessoas que não gostam de ler livros de aventura”.
Letra a.
154. (COPERVE) Do ponto de vista da lógica, a negação da frase “alguns dos meus irmãos não 
vão ao cinema nos sábados à tarde” é
a) excetuando um dos meus irmãos, os demais vão ao cinema nos sábados à tarde.
b) alguns dos meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde.
c) todos os meus irmãos não vão ao cinema nos sábados à tarde.
d) todos os meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde.
e) somente um dos meus irmãos não vai ao cinema nos sábados à tarde.
Temos que a negação de “algum A não é B” será “Todo A é B”, conforme a dica apresentada. 
Desta forma a negação de “alguns dos meus irmãos não vão ao cinema nos sábados à tarde” 
é “todos os meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde.”
Letra d.
155. (COPERVE) A negação da sentença “algum empregado está em situação irregular” é:
a) todos os empregados estão em situação irregular.
b) nenhum empregado está em situação irregular.
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c) nem todos os empregados não estão em situação irregular.
d) algum empregado não está em situação irregular.
e) existe pelo menos um empregado em situação irregular.
Temos que a negação de “algum A é B” será “Nenhum A é B”, conforme a dica apresentada.
Desta forma a negação de “algum empregado está em situação irregular” é “nenhum emprega-
do está em situação irregular”.
Letra b.
156. (DEPEN) A negação da proposição “Todos os detentos considerados perigosos são revista-
dos diariamente” é equivalente à proposição “Nenhum detento perigoso é revistado diariamente”.
A negação da proposição universal afirmativa é dada pelo particular negativo, em que deve-
mos negar a quantidade e a qualidade. Logo a negação será “Alguns detentos considerados 
perigosos não são revistados diariamente”.
Errado.
Em determinado estabelecimento penitenciário, todos os detentos considerados perigosos 
são revistados diariamente, e todos os detentos que cometeram crimes utilizando armas são 
considerados perigosos.
Com base nessa informação, julgue os itens seguintes.
Representando as proposições por meio de seus diagramas lógicos temos:
DP: Detentos perigosos
RD: Revistados diariamente
CA: Cometem crimes com armas
157. (CESPE/DEPEN/2013). Se um detento cometeu um assalto à mão armada, então ele é 
revistado diariamente.
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De acordo com os diagramas que representam as proposições podemos inferir que se o deten-
to “x” cometeu um assalto à mão armada, ele pertence ao conjunto CA, e o conjunto Ca está 
contido em RD, logo o elemento “x” pertence ao conjunto RD.
Certo.
158. (CESPE/DEPEN/2013). Somente os detentos perigosos serão revistados diariamente.
De acordo com os diagramas podemos inferir que o elemento “x” não é perigoso, porém é re-
vistado diariamente.
Errado.
159. (CESPE/DEPEN/2013) A negação da proposição “Todos os detentos considerados pe-
rigosos são revistados diariamente” é equivalente à proposição “Nenhum detento perigoso é 
revistado diariamente”.
A negação da proposição universal afirmativa é dada pelo particular negativo, em que deve-
mos negar a quantidade e a qualidade. Logo a negação será “Alguns detentos considerados 
perigosos não são revistados diariamente”.
Errado.
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160. (CESPE/DEPEN/2013). Sabendo-se que um detento não cometeu crime estando armado, 
é correto afirmar que, seguramente, ele não será revistado.
De acordo com os diagramas e as possíveis posições que o elemento “x” pode ficar podemos 
inferir que apesar do elemento não ter cometido crime estando armado, ele pode ser ou não 
revistado diariamente.
Errado.
161. (CESPE/DEPEN/2013) Sabendo-se que um detento é considerado perigoso é correto 
afirmar que ele cometeu crime à mão armada.
De acordo com os diagramas e as possíveis posições que o elemento “x” pode estar podemos inferir 
que o elemento “x” sendo perigoso não podemos afirmar que ele cometeu crime à mão armada.
Errado.
9. lógicA De ArgumentAção: AnAlogiAs, inferênciAs, DeDuções e conclusões
Argumento lógico
Um argumento possui a estrutura apresentada abaixo em que algumas proposições são 
denominadas premissas (hipóteses) e outra denominada de conclusão (tese).
P1: Proposição → Premissa (Hipótese)
P2: Proposição → Premissa (Hipótese)
P3: Proposição → Premissa (Hipótese)
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P4: Proposição → Premissa (Hipótese)
P5: Proposição → Premissa (Hipótese)
Pn: Proposição → Premissa (Hipótese)
C: Proposição → Conclusão (Tese)
A Lógica formal também chamada de lógica simbólica se preocupa, basicamente, com a 
estrutura do raciocínio. Os conceitos são rigorosamente definidos, e as sentenças são trans-
formadas em notações simbólicas precisas, compactas e não ambíguas.
Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, P3,... Pn, chamadas 
premissas (hipóteses), a uma proposição C, chamada conclusão (tese) do argumento. Isso 
significa que para ser um argumento basta ter estrutura.
ESTRUTURA DO ARGUMENTO
p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ p4 ∧ p5 ... pn C
(Premissas/Hipóteses)  (Conclusão/Tese)
Vejamos um exemplo para melhor compreensão.
162. (FUNPRESP/EXE)Considerando as características do raciocínio analítico e a estrutura 
da argumentação, julgue o item a seguir.
O raciocínio nenhum peixe é ave. Logo, nenhuma ave é peixe é válido.
Partindo da premissa “nenhum peixe é ave” representada abaixo pelo seu respectivo diagrama 
lógico, assunto que veremos no próximo módulo, podemos inferir que não há elementos em 
comum entre os dois conjuntos:
Desta forma a conclusão “nenhuma ave é peixe” apresentada pelo termo “logo” é consequên-
cia da premissa, o que faz o raciocínio ser válido, ou seja, um argumento válido.
Certo.
O objetivo até o momento é que você consiga identificar um argumento, uma vez que no 
exemplo apresentado temos apenas uma premissa e uma conclusão.
Vejamos mais um exemplo para que você perceba que se trata de um argumento, porém nós 
iremos no decorrer deste módulo detalhar tudo sobre argumentação e até mesmo inferência lógica.
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163. (MEC/TEMPORÁRIO) O texto “O homem inteligente nunca recebe penalidades, pois so-
mente o homem que erra recebe penalidades e o homem inteligente jamais erra” apresenta um 
argumento válido.
Esta questão é importante para que possamos observar que existem argumentos que come-
çam com a conclusão, deixando claro que as bancas estão a cada dia exigindo mais dos can-
didatos os conceitos, princípios e fundamentos.
Representando o argumento: O termo “pois” anuncia premissas dentro de um argumento, des-
ta forma podemos representá-lo da seguinte maneira:
Premissa 01: Somente o homem que erra recebe penalidades
Premissa 02: Homem inteligente jamais erra
Conclusão: O homem inteligente nunca recebe penalidades
Para que possamos verificar a validade do argumento, assunto detalhado mais a frente iremos 
construir o diagrama abaixo:
Por meio do diagrama podemos inferir que a conclusão é consequência necessária das pre-
missas, desta forma o argumento é válido.
DICA
Termos que anunciam premissas em um argumento: “pois” 
e “porque”.
Termos que anunciam conclusão em um argumento: “logo”, 
“assim”, “portanto” e “então”.
É importante ressaltarmos também algumas regras de inferências lógicas, isto se deve a 
presença de algumas questões de concursos que exigem dos candidatos tais conceitos.
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Regras de Inferência
1. Modus Ponens
A, A → B ∴ B
2. Generalização Universal
A ∴ ∀x A
Teoremas
Nos teoremas a seguir, para compreendermos as notações, temos que:
• As premissas estão sempre à esquerda do sinal ∴ (lê-se, portanto), que anuncia uma 
conclusão.
• Uma vírgula separa duas premissas (hipótese).
• Rec. significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior.
T1: A ∴A
T2: ~(~A) ∴ A
REC: A ∴ ~(~A)
T3: A, B ∴ A∧B
T4: A ∴ A∨B
T5: A∧B ∴ A
T6: A∨B, ~A ∴ B
T7: A→B, B→C ∴ A→C
T8: A, (A→B) ∴ B
T9: (A∨B), B→C ∴ (A∨C)
T10: A→B ∴ ~B→~A
REC: ~B→~A ∴ A→B
T11: A→B, (~A→B) ∴ B
T12: (A∧B)→C ∴ A→(B→C)
REC: A→(B→C) ∴ (A∧B)→C
T13: (A∧~B)→(C∧~C) ∴ A→B (Princípio da não contradição)
T14: A→ (B∨C, ~B ∴ A→C)
É notável nas provas de maior de complexidade que as bancas têm cobrado do candidato 
uma interpretação do que é uma inferência lógica. Sendo assim, torna-se necessário entender-
mos que uma inferência lógica é constituída de premissas verdadeiras para se deduzir uma 
conclusão também verdadeira, uma vez que a lógica afirma: “Se as premissas fornecem bases 
ou boas provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas garante afirmação 
da verdade da conclusão, então o raciocínio é correto, ou seja, válido”.
Fique ligado (a)!
Vejamos algumas questões envolvendo inferências lógicas:
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164. (SEFAZ-RS/TÉCNICO TRIBUTÁRIO DA RECEITA ESTADUAL/2018) Considere que as 
seguintes proposições sejam verdadeiras.
• “Se José pagou o IPVA ou o IPTU, então ele comprou o apartamento e vendeu a casa”.
• “José não comprou o apartamento”.
Nessa situação, é correto inferir que
a) “José pagou somente um dos dois impostos, mas não é possível determinar qual deles”.
b) “José pagou os dois impostos, mas ele não vendeu a casa”.
c) “José não pagou o IPVA, mas pagou o IPTU”.
d) “José não pagou o IPTU, mas pagou o IPVA”.
e) “José não pagou o IPVA nem o IPTU”.
Representando as proposições simples:
IPVA: José pagou IPVA
IPTU: José pagou IPTU
CA: José comprou apartamento
VC: José comprou a casa
Simbolizando as proposições (premissas) de acordo com a linguagem da lógica formal e par-
tindo de que todas são verdadeiras, temos:
Partindo da Premissa 2 como verdadeira, podemos inferir que:
José não pagou IPVA, José não pagou IPTU, José não comprou apartamento e não podemos 
valorar quanto a José vende a casa(?).
Letra e.
165. (ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL/2018). Considere as afirmações:
Se Ana é costureira, então Bruno não é pedreiro.
Se Bruno não é pedreiro, então César é servente.
Se César é servente, então Débora não é faxineira.
Se Débora não é faxineira, então Eliana é cozinheira.
Se Eliana é cozinheira, então Francisco não é mecânico.
Francisco é mecânico.
A partir dessas afirmações, é correto concluir que
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a) Eliana é cozinheira.
b) Bruno não é pedreiro.
c) Débora não é faxineira.
d) César não é servente.
e) Ana é costureira
Simbolizando as proposições (premissas) de acordo com a linguagem da lógica formal e par-
tindo de que todas são verdadeiras, temos:
P1: Ana é costureira (F) → Bruno não é pedreiro. (F) = V
P2: Bruno não é pedreiro (F)→ César é servente. (F) = V
P3: César é servente (F)→ Débora não é faxineira. (F) = V
P4: Débora não é faxineira (F)→ Eliana é cozinheira. (F) = V
P5: Eliana é cozinheira (F)→ Francisco não é mecânico. (F) = V
P6: Francisco é mecânico. = V
Aplicando os axiomas segundo as tabelas-verdade, temos que César ser servente é falso, isto 
é, ele não é servente.
É importante ressaltar que temos uma proposição simples (P6), logo iremos começar por ela. 
As demais proposições serão valoradas a partir de P6 e de acordo com os conectivos lógicos 
em cada uma das premissas.
Letra d.
166. (ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL/2018) Considere falsa a afirmação “Cristiano é policial militar 
e Ana é policial civil” e verdadeira a afirmação “se Cristiano é policial militar, então Ana é policial civil”.
Nessas condições, é necessariamente
a) falsidade que Ana é policial civil.
b) verdade que Cristiano e Ana são policiais civis.
c) verdade que Ana é policial civil.
d) falsidade que Cristiano é policial militar.
e) verdade que Cristianoé policial militar.
Temos uma questão de aplicação de tabela-verdade. Vamos simbolizar cada uma das propo-
sições (afirmações) com seus respectivos conectivos lógicos e valoração já determina pelo 
comando da questão, vejamos:
P1: CPM ⋀ APC = F
P2: CPM → APC = V
Para as proposições acima temos duas possibilidades de valorações conforme os conectivos.
1ª possibilidade:
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
P1: CPM(F) ⋀ APC(V) = F
P2: CPM(F) → APC(V) = V
2ª possibilidade:
P1: CPM(F) ⋀ APC(F) = F
P2: CPM(F) → APC(F) = V
Para as duas possibilidades temos que será sempre falso que Cristiano é policial militar.
Letra d.
167. (ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL/2018) De um argumento válido, sabe-se que suas pre-
missas são:
I – Se a investigação é feita adequadamente e as provas são consistentes, então é certo que 
o réu será condenado.
II – O réu não foi condenado.
Dessa forma, uma conclusão para esse argumento está contida na alternativa:
a) A investigação não foi feita adequadamente e as provas não foram consistentes.
b) A investigação foi feita adequadamente ou as provas foram consistentes.
c) A investigação não foi feita adequadamente, mas as provas foram consistentes.
d) A investigação não foi feita adequadamente ou as provas não foram consistentes.
e) A investigação foi feita adequadamente, mas as provas não foram consistentes.
Validade de um Argumento
Um argumento será válido, legítimo ou bem construído quando a conclusão é uma consequên-
cia obrigatória do seu conjunto de premissas.
Sendo as premissas de um argumento verdadeiras, isso implica necessariamente uma conclu-
são verdadeira.
A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e 
a conclusão.
p1(V)⋀ p2(V) ⋀ p3(V) ⋀ p4(V) ⋀ p5(V)... pn(V) → C(V)
Percebemos que existe um conectivo de conjunção que opera as premissas. Logo, para que a 
conclusão seja verdadeira, torna-se necessário as premissas serem verdadeiras, até mesmo 
porque se uma das premissas for falsa tornará a conclusão falsa. Logo, temos que a verdade 
das premissas garante a verdade da conclusão o argumento.
Simbolizando as premissas do argumento, teremos:
P1: (IFA ⋀ PC) (F) → RC (F) = V
P2: ~RC =V
A conclusão do argumento tem que ser consequência das premissas apresentadas, logo a 
alternativa que será verdadeira em decorrência da verdade das premissas será:
Conclusão: (~IFA ∨ ~PC) = V
Letra d.
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Josimar Padilha
168. (INVESTIGADOR DE POLÍCIA CIVIL/2018) Considere verdadeiras as três afirma-
ções seguintes:
• Ou Marta não é enfermeira, ou Clarice não é médica.
• Se Douglas não é professor, então Clarice é médica.
• Paulo é diretor ou Douglas não é professor.
Sabendo que Marta é enfermeira, a afirmação que possui um valor lógico verdadeiro é
a) se Clarice não é médica, então Marta não é enfermeira.
b) se Marta é enfermeira, então Douglas não é professor.
c) Paulo é diretor e Douglas não é professor.
d) Clarice é médica ou Paulo não é diretor
e) se Clarice é médica, então Douglas não é professor.
Temos uma questão de inferência lógica, em que iremos simbolizar as premissas e considerar que 
a proposição “Marta é enfermeira” é verdadeira, conforme indicado pelo comando da questão.
Vejamos:
P1: ~ME (F) ∨ ~CM (V) = (V)
P2: ~DP (F) → CM (F) = (V)
P3: PD (V) ∨ ~DP (F) = (V)
P4: ME = (V)
Agora iremos valorar as proposições em cada uma das opções para encontra aquela que é 
verdadeira.
• Se Clarice não é médica (V), então Marta não é enfermeira (F). = F
• Se Marta é enfermeira (V), então Douglas não é professor (F). =F
• Paulo é diretor (V) e Douglas não é professor (F). = F
• Clarice é médica (F) ou Paulo não é diretor (F) = F
• Se Clarice é médica (F), então Douglas não é professor (F) = V
Letra e.
169. (INVESTIGADOR DE POLÍCIA CIVIL/2018) Considere as afirmações e o respectivo valor 
lógico de cada uma.
I – Se Antônio canta bem, então Bruna não é atriz. VERDADEIRA
II – Carlos é dançarino ou Bruna não é atriz. FALSA
III – Daniela organiza tudo ou Antônio canta bem. VERDADEIRA
IV – Se Fernando não trouxe o almoço, então Daniela não organiza tudo. VERDADEIRA
A partir dessas afirmações, é correto concluir que
a) Fernando trouxe o almoço ou Antônio canta bem.
b) Carlos é dançarino e Fernando trouxe o almoço.
c) Carlos não é dançarino e Daniela não organiza tudo.
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d) Ou Daniela organiza tudo ou Bruna é atriz.
e) Bruna não é atriz e Fernando não trouxe o almoço.
Nessa questão temos uma inferência lógica, em que iremos as simbolizar as proposições e em 
seguida aplicar as tabelas-verdade conforme as valorações dadas no comando:
P1: ACB (F) → ~BA( F) = V
P2: CD (F) ∨ ~BA (F) = F
P3: DOT (V) ∨ ACB (F) = V
P4: ~FA (F) → ~DOT (F) = V
Para resolução é importante iniciar pela segunda proposição, pois no conectivo “ou” para ser 
falso, só se ambas as proposições forem falsas.
Analisando as alternativas segundo os operadores lógicos, temos:
a) Fernando trouxe o almoço (V) ou Antônio canta bem (F). = V
b) Carlos é dançarino (F) e Fernando trouxe o almoço (V). = F
c) Carlos não é dançarino (V) e Daniela não organiza tudo (F). = F
d) Ou Daniela organiza tudo (V) ou Bruna é atriz (V). = F
e) Bruna não é atriz (F) e Fernando não trouxe o almoço (F). = F
Letra a.
RESPOSTA DO DESAFIO 2
Porta A: “Eu sou a porta de saída.”
Porta B: “A porta de saída é a porta C.”
Porta C: “A sentença escrita na porta A é verdadeira.”
Porta D: “Se eu sou a porta de saída, então a porta de saída não é a porta E”.
Porta E: “Eu não sou a porta de saída”.
Sabe-se que dessas cinco sentenças há uma única verdadeira e que há somente uma porta 
de saída. A porta de saída é a porta
Conforme o enunciado, temos que apenas uma sentença é verdadeira, logo tenho uma es-
tratégia bem interessante: se observarmos a sentença escrita na porta D, que é uma condicio-
nal, sabemos que existe apenas uma possibilidade para que uma proposição condicional seja 
falsa, que é, o antecedente verdadeiro e o consequente falso. Logo vamos tentar essa possibi-
lidade, se der certo, damos continuidade, porém se não der certo, a sentença escrita na porta 
D é verdadeira e consequentemente as demais são falsas, conforme o comando da questão.
Vamos lá!
1ª Possibilidade: a sentença da porta D ser falsa.
Porta D: Eu sou a porta de saída (V) → a porta de saída não é a porta E (F) = F
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Podemos inferir que, segundo os valores dados as proposições, (antecedente e consequen-te): Eu sou a porta de saída (V) e a porta de saída não é a porta E (F), teremos um problema, 
pois teremos 02 portas de saída, ou seja, a porta D e a porta E, uma vez que quando se fala “a 
porta de saída não é a E “é falsa, nos deparamos com uma dupla negação, que do ponto de 
vista lógico temos uma afirmação. Assim a sentença da porta D não pode ser falsa, logo será 
verdadeira e acabamos de encontrar a única sentença verdadeira da questão, sendo as outras 
obrigatoriamente falsas.
2ª Possibilidade: a sentença ser verdadeira.
Porta A: “Eu sou a porta de saída.” = F
Porta B: “A porta de saída é a porta C.” = F
Porta C: “A sentença escrita na porta A é verdadeira.” = F
Porta D: “Se eu sou a porta de saída (F), então a porta de saída não é a porta E (F)”. =V
Porta E: “Eu não sou a porta de saída”. =F
Conforme as valorações das sentenças em cada porta, podemos inferir que pela sentença da porta 
E, que é uma dupla negação, pois é falso que ela não é a porta de saída, logo ela é a porta de saída.
Letra e.
10. rAciocínio mAtemático
Noções básicas de proporcionalidade e porcentagem: envolvendo regra de três simples 
e cálculos de porcentagem, acréscimos e decréscimos. Análise e interpretação de dados em 
tabelas e gráficos.
rAzão
A razão de dois números é dada em uma ordem, em que o segundo (denominador) é dife-
rente de zero, sendo o quociente do primeiro pelo segundo. Assim, a razão entre os números x 
e y pode ser dita “x está para y” e representada como:
A razão entre dois números deve ser interpretada como uma divisão, ou até mesmo, 
uma fração:
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O inteiro foi dividido em 7 partes iguais e utilizou-se 2 partes, onde 2 é chamado anteceden-
te enquanto 7 é chamado consequente da razão dada.
Aplicações!
170. Em uma prova de natação, um dos participantes desiste de competir ao completar ape-
nas 1/5 do percurso total da prova. No entanto, se tivesse percorrido mais 300 metros, teria 
percorrido 4/5 do percurso total da prova. Com essas informações, o percurso total da prova, 
em quilômetros, era igual a:
a) 0,75
b) 0,25
c) 0,15
d) 0,5
e) 1
Ilustrando o percurso temos o seguinte:
O percurso foi dividido em 5 partes iguais, pois o atleta ao completar 1/5 da prova desistiu e 
se tivesse percorrido 4/5 teria realizado 300 m. Sendo assim, temos que o intervalo de 1/5 até 
4/5 equivale a 300 m, logo:
O inteiro possui 5 partes iguais de 100, assim como foram utilizados 3/5 = 300, temos:
O percurso consiste em 5 partes de 100 m, logo temos
500 m = 0,5 km.
Letra d.
171. Considere a seguinte situação hipotética e julgue o item a seguir.
Um juiz tem quatro servidores em seu gabinete. Ele deixa uma pilha de processos para serem 
divididos igualmente entre seus auxiliares. O primeiro servidor conta os processos e retira a 
quarta parte para analisar.
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O segundo, achando que era o primeiro, separa a quarta parte da quantidade que encontrou 
e deixa 54 processos para serem divididos entre os outros dois servidores. Nessa situação, o 
número de processos deixados inicialmente pelo juiz era maior que 100.
Ilustraremos cada auxiliar com uma letra: A, B, C e D.
Auxiliar A: retirou a ¼ parte, logo podemos representar A = 1/4, sobrou ainda ¾.
Auxiliar B: retirou quarta parte da quantidade que encontrou, logo devemos observar que 
Os auxiliares C e D receberam a mesma quantidade.
Somando as razões temos: A + B igual a:
Representando geometricamente a razão soma, temos:
Temos que as partes restantes sobraram para os auxiliares C e D, sabendo que receberam 54 
processos podemos calcular quanto vale cada parte (p) do inteiro, da seguinte forma:
Como cada parte equivale a 6 e temos um total de 16 partes, a quantidade total de processos 
é dada por: 16 x 6 = 96 processos.
Errado.
172. (VUNESP/2016) Uma professora tinha certa quantidade de provas para corrigir. Reuniu todas 
em uma pasta e iniciou a correção. Corrigiu inicialmente 16 provas e, num segundo momento, cor-
rigiu 3/4 das restantes. Fez uma pausa e, em seguida, corrigiu as últimas 15 provas, concluindo o 
serviço. O número total de provas que estavam na pasta e foram corrigidas pela professora é
a) 80.
b) 78.
c) 76.
d) 72.
e) 68.
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Josimar Padilha
Primeiro momento: 16 provas
Segundo momento: 3/4 do restante que corresponde a 15 provas.
Desta forma podemos inferir que
Resolvendo a equação: 
Somando os dois momentos teremos 16 + 60 = 76 provas.
Letra c.
proporção
É a expressão representada pela igualdade entre duas ou mais razões.
A proporção acima pode ser lida como “x está para y assim como z está para w”. Nesta pro-
porção, os números x e w são os extremos e os números y e z são os meios. Uma propriedade 
importante é que, na proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Proporção Simples
Exemplo:
Dado três números a, b e c, nesta ordem, 4 é o número x que completa com os outros três 
uma proporção tal que:
É interessante observar que 8 é proporcional a 2, isto é (2 x 4) e x deverá ser proporcional a 
6, isto é (6. p = x), logo p = 4 e x = 24.
Logo: 2. p = 8, podemos concluir com a primeira equação 6. p = x e que p = 4, sendo assim 
6. p (4) = 24. Logo x = 24.
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Proporção Múltipla
É a igualdade simultânea de três ou mais razões.
Razões inversas são duas razões cujo produto é igual a 1.
Aplicação!
173. (2018/CESPE/SEFAZ-RS/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO FAZENDÁRIO) Em um de-
partamento, todo grupo formado com 13 servidores, necessariamente incluirá pelo menos 
uma mulher, e todo grupo formado com 21 servidores, necessariamente incluirá pelo menos 
um homem. Se a quantidade de servidores, homens e mulheres, nesse departamento for a 
maior possível nessas condições, então, nesse departamento, a proporção entre o número de 
homens e de mulheres, respectivamente, será de
a) 13:21.
b) 13:34.
c) 3:8.
d) 3:5.
e) 1:2.
Temos uma questão de razão e proporção, mas apenas para sinalizarmos a resposta. A banca 
exige na verdade, um raciocínio bem bacana, vejamos:
Se a quantidade de servidores, homens e mulheres, nesse departamento for a maior possível, 
temos duas possibilidades:
1ª possibilidade: 13(treze) servidores, sendo 1(uma) mulher, implica termos o maior possível 
para homens = 12 (doze) homens;
2ª possibilidade: 21(vinte e um), sendo 1(um) homem, implica termo maior possível para mu-
lheres = 20(vinte) mulheres.
Dessa forma podemos ter aseguinte proporção:
Letra d.
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Josimar Padilha
Divisão DiretAmente proporcionAl
Em seu edital temos razão e proporção, porém é importante resolvermos algumas ques-
tões de proporções utilizando a ideia de divisão proporcional, regra do “p”, uma vez que fica 
mais prático e rápido, inclusive temos algumas questões do VUNESP que se não aplicar-
mos esse método, se tornam complicadas. Veremos nas questões comentadas para melhor 
compreensão.
Sendo a sucessão de valores (X1, X2, X3,...), dizemos que estes valores são diretamente 
proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (Y1, Y2, Y3,...) quando forem iguais as 
razões entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra.
O resultado das razões (p) obtido de duas sucessões de números diretamente proporcio-
nais é chamado de constante de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade. Ilus-
trando melhor uma divisão proporcional temos:
O inteiro foi dividido em 10 partes iguais a P. A divisão proporcional consiste em dividir 
o total em partes iguais que serão divididas de forma direta ou inversa e até mesmo direta e 
inversa, sabendo que as partes são iguais a todos, o que muda é a quantidade de partes que 
cada um recebe.
Para dividir proporcionalmente deve-se montar uma proporção.
Vamos fazer 02(dois) exemplos usando a regra do “p”, beleza?
174. (VUNESP/2016) Em uma casa, a razão entre o número de copos coloridos e o número de 
copos transparentes é 3/5. Após a compra de mais 2 copos coloridos, a razão entre o número 
de copos coloridos e o número de copos transparentes passou a ser 2/3. O número de copos 
coloridos nessa casa, após a compra, é
a) 24.
b) 23.
c) 22.
d) 21.
e) 20.
- Peguei a razão de 2/3, após a compra de 2 copos;
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Josimar Padilha
2K + 3k= (Ele não deu o valor total)
5k= (agora, você já sabe que o K tem que ser algum número múltiplo de 5, logo vai nas alterna-
tivas e verifica qual delas é múltiplo de 5)
Letra e.
Regra do “P”
Para emitir parecer sobre 70 processos da área administrativa, 3 analistas foram convocados, 
sendo que os números de processos que cada um recebeu eram diretamente proporcionais 
aos números 2, 3 e 5. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir.
a) A um dos analistas foram destinados menos de 12 processos.
b) Um dos analistas recebeu mais de 33 processos.
c) Um dos analistas recebeu entre 15 e 20 processos.
Divisão Diretamente Proporcional
Em uma divisão proporcional devemos construir uma proporção:
, sendo esta diretamente proporcional, logo temos;
A é proporcional a 2, logo: A = 2p
B é proporcional a 3, logo: B = 3p
C é proporcional a 5, logo: C = 5p
O total de processos é igual a 70, ou seja, A + B + C = 70.
Substituindo temos:
A + B + C = 70
2p + 3p + 5p = 70
10p = 70
p = 7 (constante de proporcionalidade)
A = 2p = 2. 7 = 14
B = 3p = 3.7 = 21
C = 5p = 5. 7 = 35
Julgando os itens:
a) A um dos analistas foram destinados menos de 12 processos. (Errado)
b) Um dos analistas recebeu mais de 33 processos. (Certo)
c) Um dos analistas recebeu entre 15 e 20 processos. (Errado)
Errado, Certo, Errado.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
175. (2016/CESPE/TCE-SC/AUDITOR-FISCAL) Em cada um do item a seguir, é apresentada 
uma situação hipotética relativa a proporcionalidade, porcentagem e juros, seguida de uma 
assertiva a ser julgada.
A participação dos vendedores nos lucros de uma empresa é diretamente proporcional às suas 
vendas. Os vendedores A, B e C venderam juntos R$ 500.000 em produtos: A vendeu R$ 225.000, B 
vendeu R$ 175.000 e C, o restante. Eles dividiram entre si, a título de participação nos lucros, o valor 
de R$ 10.000. Nessa situação, C recebeu R$ 2.000 de participação nos lucros.
Divisão Diretamente Proporcional (REGRA DE SOCIEDADE)
Em uma divisão proporcional devemos construir uma proporção, OK?
Os Valores das vendas totalizaram R$500.000, onde o vendedor A vendeu R$225.000, o vende-
dor B vendeu R$ 175.000 e o vendedor C vendou o restante, ou seja, R$100.000.
Os lucros foram divididos de maneira proporcional às suas respectivas vendas.
Logo temos;
A é proporcional a 2, logo: A = 225p
B é proporcional a 3, logo: B = 175p
C é proporcional a 5, logo: C = 100p
Uma dica, é você simplificar os valores de A, B e C, ou seja, dividir todos por um mesmo núme-
ro. Nesse caso por 25, isso para facilitar as futuras contas.
A = 225p = 9p
B = 175p = 7p
C = 100p = 4p
O total do lucro a ser dividido é igual a R$ 10.000, ou seja, A + B + C = 10.000.
Substituindo temos:
A + B + C = 10.000
9p + 7p + 4p = 10.000
20p = 10.000
p = 500 (constante de proporcionalidade)
A = 9p = 9 x 500 = 4.500
B = 7p = 5 x 500 = 2.500
C = 4p = 4 x 500 = 2.000
Certo.
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Josimar Padilha
176. (2018/CESPE/SEFAZ-RS/AUDITOR DO ESTADO) João, Pedro e Tiago, três investidores 
amadores, animados com a popularização das criptomoedas, investiram 12, 14 e 24 mil reais, 
respectivamente, em moeda virtual. Após uma semana do investimento, eles perceberam que 
o prejuízo acumulado, que era de 8 mil reais, deveria ser dividido entre os três, em proporção 
direta aos valores investidos.
Nessa situação, em caso de desistência do investimento após a constatação do prejuízo, João, 
Pedro e Tiago receberão, respectivamente, as quantias, em reais, de
a) 9.340, 11.340 e 21.340.
b) 10.080, 11.760 e 20.160.
c) 11.920, 13.240 e 22.840.
d) 2.660, 2.660 e 2.660.
e) 1.920, 2.240 e 3.840.
Divisão Diretamente Proporcional (REGRA DE SOCIEDADE)
Em uma divisão proporcional devemos construir uma proporção, OK?
Os Valores dos investimentos são de R$ 12.000 para João, R$ 14.000 para Pedro e R$ 24.000 
para Tiago. Sabendo que o prejuízo foi de R$ 8.000, quanto cada um deles recebeu? Temos 
que calcular o prejuízo de maneira proporcional e em seguida subtrair dos seus respectivos 
investimentos.
O prejuízo foi dividido de maneira proporcional aos seus respectivos investimentos.
Logo temos;
J é proporcional a 12, logo: A = 12p
P é proporcional a 14 logo: B = 14p
T é proporcional a 24, logo: C = 24p
O total do prejuízo a ser dividido é igual a R$ 8.000, ou seja, J + P + T= 8.000.
Substituindo temos:
J + P + T= 8.000
50p = 8.000
p = 160 (constante de proporcionalidade)
J = 12p = 12 x 160 = 1.920 (prejuízo); o que restou: 12.000 - 1.920 = 10.080
P = 14p = 14 x 160 = 2240 (prejuízo); o que restou: 14.000 – 2.240 = 11.760
T = 24p = 24 x 160 = 3.840 (prejuízo); o que restou: 24.000 – 3.840= 20.160
Letra b.
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177. (VUNESP/2017) Sabe-se que 16 caixas K, todas iguais, ou 40 caixas Q, todas também 
iguais, preenchem totalmente certo compartimento, inicialmente vazio. Também é possível 
preencher totalmente esse mesmo compartimento completamente vazio utilizando 4 caixas 
K mais certa quantidade de caixas Q. Nessas condições, é correto afirmar que o número de 
caixas Q utilizadas será igual a
a) 10.
b) 28.
c) 18.
d) 22.
e) 30.
Opção regra de três:
16k ------- 40Q
4K----------xQ
=10 sabemos então que 10Q corresponde a 4K e para encher precisamos de 16, faltam 12
10 Q----- 4K
x-----------12k
x=30
Letra e.
178. (VUNESP/2017) Os preços de venda de um mesmo produto nas lojas X, Y e Z são núme-
ros inteiros representados, respectivamente, por x, y e z. Sabendo-se que x + y = 200, x + z = 150 
e y + z = 190, então a razão x/y é:
a) 3/8
b) 1/3
c) 3/5
d) 2/3
e) 4/9
x + y = 200 ou seja -> x = 200 - y
x + z = 150 ou seja - > 200 - y + z = 150 logo podemos concluir que Z = 150 + y - 200
Agora basta substituir nas expressões a última equação nos diz que
y + z = 190 (nós já sabemos z)
y + 150 + y - 200 = 190
2y + 150 - 200 = 190
2y = 190 - 150 + 200
2y = 240
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y = 120
Se x + y =200, então x + 120 = 200, portanto x = 80
80 / 120 = 2/3
Letra d.
179. (VUNESP/2015) Sabe-se, de um grupo de pessoas, que 2/5 são homens, todos com mais 
de 18 anos, e que 4/5 das mulheres têm mais de 18 anos. Nesse grupo, a razão entre o número 
de homens e o de mulheres com mais de 18 anos é, nessa ordem,
a) 6:7.
b) 5:6.
c) 4:5.
d) 3:5.
e) 2:3.
Do grupo, temos que 2/5 são homens, sendo todos são maiores de 18 anos
Logo desse grupo 3/5 são mulheres ----- dessas 3/5, 4/5 são maiores de 18 anos:
3/5 x 4/5 = 12/25(mulheres maiores de 18 anos)
A questão solicita a razão entre homens maiores de 18 anos / mulheres maiores de 18 anos, 
sendo assim, temos:
Letra b.
180. (VUNESP/2015) Em uma sala de aula, há alguns alunos com idades de 7 anos e 15 alu-
nos com idades de 8 anos. Sabendo-se que a razão entre o número de alunos com idades de 
7 anos e o número de alunos com idades de 8 anos é igual a doze décimos, é correto afirmar 
que o número total de alunos, nessa sala, é
a) 31.
b) 32.
c) 33.
d) 34
e) 35.
Iremos denominar os alunos com 7 anos igual a X.
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Já os alunos com 8 anos são iguais a 15.
Sabendo-se que a razão entre eles é igual a doze décimos = 12/10, podemos construir uma 
proporção que é a igualdade de duas ou mais razões.
Podemos utilizar a propriedade que afirma que a multiplicação dos meios é igual ao dos extre-
mos, o que muitos dizem “cruz-credo”, risos!!!
Sedo assim, temos:
10x = 180
X= 180/10
X – = 18
A questão solicita o número total da sala.
18 + 15 = 33
Letra c.
181. (VUNESP/2015) Em uma reunião havia 80 pessoas, e a razão entre o número de homens 
e o número de mulheres era 2/3. Se após certo tempo, 3 homens e 1 mulher chegaram à reu-
nião, então a razão entre o número de homens e o número de mulheres que estavam presentes, 
nessa reunião, era
a) 2/9
b) 3/7
c) 4/9
d) 5/7
e) 7/9
Total de pessoas = 80
Temos a seguinte razão:
H = 2p
M = 3p
H+M = 80, substituindo temos:
2p + 3p = 80
5p= 80
p=16
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Sabendo que p = 16 podemos inferir as quantidades de homens e mulheres:
H = 2p = 2. 16 = 32
M = 3p= 3. 16 = 48
Como chegaram 3 homens e 1 mulher à reunião, então a razão entre o número de homens e o 
número de mulheres que estavam presentes, nessa reunião é dado por:
Letra d.
regrA De três (simples)
Ainda que não esteja explícito em seu edital o assunto proposto neste momento, acredito 
ser de grande importância, pois teremos relações entre as grandezas nas questões posteriores 
dentro de um contexto financeiro, e responder muitas questões por regra de três, fica muito 
mais prático e rápido. Beleza? Vamos lá!
Grandezas são todos os termos pelos quais atribuímos um valor, ou seja, tudo aquilo que é 
susceptível de ser aumentado ou diminuído.
Por exemplo: 10 operários constroem 5 casas, trabalhando 7 horas por dia durante 90 dias.
Encontrar as grandezas é verificar os termos que foram atribuídos valores, nesse exemplo 
temos três grandezas: operários, casas e horas por dia.
Essas grandezas se relacionam entre si, podendo ser de maneira direta ou inversa, logo 
regra de três nada mais é que um processo prático para resolver problemas que envolvam 
grandezas desejando determinar uma outra a partir das já conhecidas.
Regra de Três Simples
Quando são relacionadas apenas 02 grandezas.
Passos Utilizados numa Regra de Três Simples
1º) determinar as grandezas.
2º) identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) colocar os valores, se as grandezas forem diretas, iremos multiplicar cruzado, caso as 
grandezas sejam inversas iremos multiplicar reto, veja como se faz no esquema para facilitar 
as resoluções:
• GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: são diretamente quando as duas gran-
dezas aumentam ou diminuem na mesma proporção, não esquecer que as grandezas 
aumentam multiplicando e diminuem dividindo. Não temos soma ou subtração. Ok?
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DICA
Após montar o esquema abaixo, isto é, as grandezas e os res-
pectivos valores, multiplicar cruzado.
Aplicação de uma questão diretamente proporcional. Considero um desafio, vamos lá?
182. (VUNESP/PREFEITURA DE ITAPEVI – SP/AUDITOR FISCAL TRIBUTÁRIO/2019) Considere 
um recipiente cúbico e um recipiente com formato de bloco reto retangular, ambos inicialmente va-
zios, cujas medidas das arestas internas estão mostradas nas figuras 1 e 2, respectivamente.
Com vazão constante, uma torneira enche totalmente o recipiente cúbico, sem transbordar, 
em 40 minutos. Aberta nas mesmas condições, essa mesma torneira irá encher totalmente o 
recipiente com formato de bloco retangular, sem transbordar, em
a) 3 horas e 40 minutos.
b) 3 horas e 20 minutos.
c) 3 horas e 10 minutos.
d) 2 horas e 40 minutos.
e) 2 horas e 20 minutos.
Parafacilitar as nossas contas, iremos considerar que o valor da aresta “x” dos cubos é igual 
a 1 unidade de medida.
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Figura 1:
Volume: x. x. x
1. 1. 1 = 1 unidade ³
Figura 2:
2,5x. x. 2x
2,5(1). (1). 2(1)
2,5.1. 2 = 5 unidades ³
Realizando uma regra de três simples, teremos:
Letra b.
183. (2019/VUNESP/PREFEITURA DE ARUJÁ – SP/ENCARREGADO DE FATURAMENTO) 
Uma torneira goteja sem parar, desperdiçando 2 litros de água a cada 44 minutos. Mantendo 
sempre esse mesmo gotejamento, o número aproximado de litros de água que serão desper-
diçados em 4 horas será
a) 11.
b) 10.
c) 9.
d) 8.
e) 7.
Podemos mais uma vez aplicar uma regra de três simples, que será vista de forma pontual 
neste módulo.
Letra a.
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• GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: são inversamente proporcionais 
quando as duas grandezas aumentam ou diminuem na mesma proporção, não esque-
cer que as grandezas aumentam multiplicando e diminuem dividindo. Não temos soma 
ou subtração. Ok?
DICA
Após montar o esquema abaixo, isto é, as grandezas e os res-
pectivos valores, multiplicar de forma linear.
Aplicação de uma questão inversamente proporcional.
184. (VUNESP/TJ-SP/CONTADOR JUDICIÁRIO/2019) Considere apenas os dados a seguir 
para resolver a questão.
Fiz uma viagem que durou 1 hora e 30 minutos, a 60 km/h. Para ter gasto 20% a menos do 
tempo de viagem, a minha velocidade deveria ter sido de
a) 70 km/h.
b) 68 km/h.
c) 75 km/h.
d) 72 km/h.
e) 64 km/h.
Primeiramente, vamos transformar 1 hora e 30 minutos em minutos em 90 minutos para que o 
tempo esteja em uma mesma unidade de medida, ok?
Assim, teremos que em 90 minutos viajo a 60km/h.
Diminuir 20% do tempo corresponde a multiplicar por 0,8 (fator de multiplicação para reduzir), 
isto é, 90 x 0,8 = 72 minutos. Agora vem a pergunta: qual será minha velocidade?
Se aumento a velocidade, o tempo diminui, logo, as grandezas são INVERSAMENTE proporcionais.
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DICA
Após montar o esquema, as grandezas e os respectivos valo-
res, multiplicar de forma linear.
90.60 = 72.x
5400 = 72x
x= 5400/72
x= 75
Letra c.
Questões Comentadas para Fixação
185. (PC-DF/AGENTE/2013) Se, ao final da missão, o tempo total de suas ligações for de 20 
h, o empregado não pagará excedente.
Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três simples, pois temos apenas 
02(duas) grandezas se relacionando.
Nesse caso, as duas grandezas são: tempo (minutos) e Valor (reais).
Tais grandezas se relacionam de maneira direta, pois quanto mais tempo de ligações tivermos, 
maior o valor a ser pago em reais.
Para facilitarmos os cálculos iremos utilizar o tempo em horas, da seguinte maneira:
O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de R$ 0,15, logo ser quisermos 
saber o custo a cada hora basta multiplicarmos 0,15 x 60(minutos) = 9,00 reais a cada hora.
Assim, teremos
Certo.
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186. (PC DF/AGENTE/2013) Se, nos primeiros 10 dias, o tempo total das ligações do empre-
gado tiver sido de 15 h, então, sem pagar adicional, ele disporá de mais de um terço do limite 
estabelecido pela empresa.
Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três simples, pois temos apenas 
02(duas) grandezas se relacionando.
Nesse caso, as duas grandezas são: tempo (minutos) e Valor (reais).
Tais grandezas se relacionam de maneira direta, pois quanto mais tempo de ligações tivermos, 
maior o valor a ser pago em reais.
Para facilitarmos os cálculos, iremos utilizar o tempo em horas, da seguinte maneira:
O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de R$ 0,15, logo ser quisermos 
saber o custo a cada hora basta multiplicarmos 0,15 x 60(minutos) = 9,00 reais a cada hora.
Assim, teremos
Podemos inferir que 1/3 de 200,00 (valor limite) é igual a 66,66..., ou seja, pelos cálculos o 
empregado ainda pode gastar 65,00, o que não corresponde a mais de um terço do limite es-
tabelecido pela empresa.
Errado.
187. (PC-DF/AGENTE/2013) Se, ao final da missão, o empregado pagar R$ 70,00 pelas liga-
ções excedentes, então, em média, suas ligações terão sido de uma hora por dia.
Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três simples, pois temos apenas 
02(duas) grandezas se relacionando.
Nesse caso, as duas grandezas são: tempo (minutos) e Valor (reais).
Tais grandezas se relacionam de maneira direta, pois quanto mais tempo de ligações tivermos, 
maior o valor a ser pago em reais.
Para facilitarmos os cálculos, iremos utilizar o tempo em horas, da seguinte maneira:
O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de R$ 0,15, logo ser quisermos 
saber o custo a cada hora basta multiplicarmos 0,15 x 60(minutos) = 9,00 reais a cada hora.
Assim, teremos
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Podemos inferir que se foram gastos 30 horas em um período de 30 dias, logo, em média, suas 
ligações terão sido de uma hora por dia.
Certo.
188. (TJ-RR /2012) Quando a água no interior da caixa atingiu 3 metros de altura, mais de 
10.000 litros de água haviam sido despejados na caixa.
Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três simples, pois temos apenas 
02(duas) grandezas se relacionando.
Tais grandezas se relacionam de maneira diretamente proporcional, pois quanto maior a altura, 
maior será a capacidade.
Assim,
Teremos
Errado.
porcentAgem
É comum o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números 
ou quantidades, sempre tomando como referencial 100 unidades.
EXEMPLOS
• Os alimentos tiveram um aumento de 16%.
• Significa que em cada R$ 100 houve um acréscimo de R$ 16, 00.
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• O freguês recebeu um desconto de 12% em todas as mercadorias.
• Significa que em cada R$ 100 foi dado um desconto de R$12, 00.
• Dos atletas que jogam no Santos, 80% são craques.
• Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 80 são craques.
Razão Centesimal
Toda a razão que tem para consequente (denominador) o número 100 denomina-se 
razão centesimal.
EXEMPLO
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
EXEMPLOS
As expressões 8%, 34% e 129% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
Considere o seguinte exemplo:
EXEMPLO
João pagou uma prestação que corresponde a 50% do seu salário. Sabendo que seu salário é 
de 1.200,00 reais, qual o valor pago?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o seu salário.
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Porcentagem
Valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.
Dada uma razão qualquer , denominamos de porcentagem do valor, quando aplicamos 
(multiplicamos) o valor pela razão centesimal, vejamos no exemplo abaixo.
EXEMPLO 1
Logo, 75 kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
EXEMPLO 2
Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 50 faltas, transformando em gols 
30% dessas faltas.
Quantos gols de falta esse jogador fez?
Portanto, o jogador fez 15 gols de falta.
DICA
Em matemática, as preposições “de”, “da” e “do” significam 
multiplicações.
Fator de Multiplicação
É importante entendermos sobre os fatores de multiplicações, tanto para acréscimos, 
quanto para descontos, pois em muitas provas de concursos públicos acontecem de a banca 
examinadora exigir o valor referente ao fator, que pode ser expresso de maneira algébrica.
Dessa forma, irei apresentar de maneira prática como se encontrar esse fator que também 
é responsável para calcular o valor desejado, montante, em juros e valor líquido, em descontos.
Observe a tabela abaixo referente a juros, acréscimo:
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EXEMPLO 1
Aumentando 20% no valor de R$ 15,00, temos:
15 x 1,20 = R$ 18,00.
Aumentar 12% no valor de R$ 200,00, temos:
200 x 1,12 = R$ 224,00
Majorar 48% em um capital de R$ 1250,00, temos:
1250 x 1,48 = R$ 1850,00
Observe a tabela abaixo referente a descontos, decréscimos:
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de multiplicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal)
EXEMPLO 2
Diminuir 20% no valor de R$ 15,00, temos:
15 x 0,8 = R$ 9,00
Diminuir 35% no valor de R$ 900,00, temos:
900 x 0,65 = R$ 585,00
Diminuir 75% no valor de R$ 340,00, temos:
340,00 x 0,25 = R$ 85,00
Vejamos algumas aplicações:
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189. (2018/CESPE/TCE-PB/AUDITOR DE CONTAS PÚBLICAS/DEMAIS ÁREAS) Se um lojis-
ta aumentar o preço original de um produto em 10% e depois der um desconto de 20% sobre o 
preço reajustado, então, relativamente ao preço original, o preço final do produto será
a) 12% inferior.
b) 18% inferior.
c) 8% superior.
d) 15% superior.
e) 10% inferior.
A questão nos trouxe apenas valores relativos, ou seja, porcentagem. Assim sugiro simular-
mos um valor, ok?
Valor do produto = R$100,00
Aumentar 10%, corresponde multiplicar por 1,1, logo teremos:
100 x 1,1 = R$110,00. Em seguida.
Diminuir 20%, corresponde multiplicar por 0,8, logo teremos:
110,00 x 0,8 = R$ 88,00.
Verificando a variação percentual de 100,00 para 80,00, podemos inferir que houve uma dimi-
nuição de 12% no valor do produto.
Letra a.
190. (VUNESP/PREFEITURA DE ITAPEVI – SP/AGENTE DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/2019) 
“Com temperaturas que ultrapassam os 30 °C, a Prefeitura de Tietê, a 150 km de São Paulo, en-
controu uma forma criativa de reduzir o número nos termômetros: usar a cor azul ciano em pin-
turas urbanas. Os termômetros constataram a eficiência da técnica: temperaturas passaram 
de 53,1 para 45,8 graus nos asfaltos pintados da cidade.” (https://notícias.r7.com. Adaptado)
Segundo os dados da notícia, a cor azul utilizada no asfalto diminui a temperatura em, 
aproximadamente,
a) 7,3%.
b) 11,8%.
c) 12,7%.
d) 13,7%.
e) 15,9%.
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Temos que a temperatura inicial é igual a 53,1, ou seja, nosso ponto de partida, que será igual a 100%.
Temperatura após a pintura é de 45,8.
Agora é só verificar a variação e depois realizar uma regra de três simples, vejamos:
53, 1 - 48,8 = 7,3 (A temperatura diminuiu 7,3 graus após a pintura):
53,1 ______100%
7,3 ______ X%
Aplicando uma regra de três diretamente proporcional, teremos:
53,1. x = 100.7,3
53,1x = 730
x = 730/53,1
x = 13,74%
Letra d.
191. (VUNESP/PREFEITURA DE ITAPEVI – SP/AUDITOR-FISCAL TRIBUTÁRIO/2019) De 
acordo com o monitoramento por satélites feito pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espa-
ciais, de agosto de 2017 a julho de 2018 foram desmatados 6675 km2 no bioma Cerrado, confi-
gurando uma redução de 11% em relação à área desmatada de agosto de 2016 a julho de 2017 
que, por sua vez, havia apresentado um crescimento de 9% em relação à área desmatada de 
agosto de 2015 a julho de 2016.
A área desmatada no Cerrado, de agosto de 2015 a julho de 2016 foi de, aproximadamente,
a) 5980 km2.
b) 6250 km2.
c) 6760 km2.
d) 6880 km2.
e) 7170 km2.
Nessa questão, é importante observar os referenciais, ou seja, os pontos de partida, aos quais 
consideraremos 100%.
Querido (a), de 2017 a 2018 foi desmatado 6675 km2
De 2016 a 2017 foram desmatados 11 % a mais que este valor, então:
6675 corresponde a 89 % de X (que é 100% o valor que queremos saber por enquanto, nesta 
primeira parte)
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Raciocínio Lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
Assim, encontramos que de 2016 a 2017 foram desmatados 7500 Km2
Na segunda parte, a informação que temos é que este valor (7500) é 9% maior que de 2015 a 2016.
Logo, 7500 é 109 % de Y
Letra d.
192. (2016/CESPE/TCE-SC/AUDITOR-FISCAL DE CONTROLE EXTERNO) Em cada um do 
item a seguir, é apresentada uma situação hipotética relativa a proporcionalidade, porcenta-
gem e juros, seguida de uma assertiva a ser julgada.
Pedro aplicou R$ 10.000 em uma instituiçãofinanceira pelo prazo de 3 meses consecutivos. A taxa 
de juros compostos dessa aplicação no primeiro mês foi de 5%; no segundo mês, de 10%; e no 
terceiro, de 8%. Nessa situação, Pedro, ao final do terceiro mês, recebeu de juros mais de R$ 2.400.
Uma questão que podemos responder com conhecimentos de porcentagem, vejamos:
10.000,00 + 5 % = 10.000 X 1,05 = 10.500,00
10.500,00 + 10% = 10.500 X 1,1 = 11.550,00
11.550,00 + 8% = 11.550,00 X 1,08 = 12.474,00
Analisando a variação do capital no período de três meses, temos:
12.474,00 – 10.000,00 = 2.474,00
Errado.
193. (2018/CESPE/SEFAZ-RS/TÉCNICO TRIBUTÁRIO DA RECEITA ESTADUAL) A tabela se-
guinte mostra as alíquotas para a cobrança do imposto de renda de pessoas físicas, por faixa 
salarial, em uma economia hipotética.
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Josimar Padilha
O imposto é cobrado progressivamente, isto é, sobre a parte da renda bruta do indivíduo que 
estiver em cada faixa incide o imposto de acordo com a alíquota correspondente.
De acordo com essas informações, se um indivíduo paga $ 490 de imposto de renda, então a 
sua renda bruta é
a) inferior a $ 1.600.
b) superior a $ 1.600 e inferior a $ 2.100.
c) superior a $ 2.100 e inferior a $ 2.600.
d) superior a $ 2.600 e inferior a $ 3.100.
e) superior a $ 3.100.
Essa questão é bem interessante, pois temos que o imposto é cobrado de maneira progressiva, 
logo o valor de $490,00 de imposto de renda, é resultado de várias alíquotas. Vejamos como 
resolver:
Até 100,00 de renda bruta o indivíduo é isento, logo já que houve cobrança de imposto, pode-
mos inferir que o indivíduo recebeu mais de 100,00.
De 100, 00 até 500,00, o indivíduo paga 10% de 400, 00 que corresponde a 40, 00. Podemos 
inferir que o indivíduo recebe mais de 500, 00, uma vez que o imposto calculado até este mo-
mento é de 40,00.
De 500,00 até 2000,00, o indivíduo paga 20% de 1500,00 que corresponde a 300,00. Podemos 
inferir que o indivíduo recebe mais 2000, uma que o imposto pago foi de $490, e até este mo-
mento temos um total de impostos igual a 340,00.
Por fim ainda existem $490 - $340 = 150, 00 que deverão ser deduzidos do valor bruto. Assim 
podemos realizar uma regra de três simples, em que considerando a última alíquota, temos:
Valor total bruto: R$ 2.000,00 correspondente até a terceira alíquota, mais R$ 500,00 referente 
a quarta alíquota. Total R$ 2.500,00.
Letra c.
QUESTÕES COMENTADAS
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Josimar Padilha
194. (2017) Dalva gostaria de ter uma televisão pequena em sua sala e, procurando em diver-
sas lojas, achou a que queria por R$620,00. Felizmente, no fim de semana, a loja anunciou uma 
promoção oferecendo 20% de desconto em todos os produtos.
Assim, Dalva pode comprar sua televisão por:
a) R$482,00;
b) R$496,00;
c) R$508,00;
d) R$512,00;
e) R$524,00.
Sabendo que o preço da televisão é de R$ 620,00 e teremos um desconto de 20%, basta multi-
plicarmos pelo fator de multiplicação 0,8.
620 x 0,8 = 496
Letra b.
195. (2017) O gráfico a seguir mostra a evolução das taxas de analfabetismo desde o ano de 
1900 até o que se espera em 2020.
Observando o gráfico, analise as afirmativas a seguir:
I – A partir de 1950 a taxa já é menor que 60%.
II – As taxas entre 40% e 30% ocorreram entre os anos 1960 e 1980.
III – Estima-se que a taxa em 2020 seja a metade da taxa em 1990.
Está correto o que se afirma em:
a) somente I;
b) somente I e II;
c) somente I e III;
d) somente II e III;
e) I, II e III.
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Vamos analisar cada afirmativa:
I – Em 1950, ao realizar a transposição do tempo para porcentagem, passe um traço vertical-
mente e na intersecção um traço horizontal, o valor do nível de analfabetismo está aproxima-
damente 53%, e o gráfico em linhas só diminui ao passar dos anos. Afirmação certa.
II – Entre 1960 e 1980: aproximadamente 43 e 27%, respectivamente. Afirmação certa.
III – No ano de 1990 temos 20% e no ano de 2020 temos 10%. Afirmação certa.
Letra e.
196. (2017) Qual é o dobro de 30 somado a 30% de 150?
a) 60
b) 110
c) 105
d) 210
O dobro de 30 é 2x 30 = 60
30/100 de 150 é (30 x 150) / 100 = 45
Somando temos: 60 + 45 = 105
Letra c.
197. (2017) O preço de certo sapato numa sapataria foi aumentado em 50%. Isso fez as ven-
das do sapato caírem muito. O comerciante resolveu então voltar ao preço original. Para tanto, 
ele deve anunciar que o preço do sapato terá um desconto de aproximadamente:
a) 33%.
b) 42%.
c) 48%.
d) 50%.
e) 60%.
Quando temos apenas valores relativos (porcentagens), é uma boa saída simularmos o valor 
de 100. Desta forma o sapato custa R$ 100,00 reais.
Um produto custa R$100 (referencial) e ganha 50% (50 reais de aumento, sobre o valor de 
100,00).
Novo valor: R$150,00
Agora ele precisa voltar a custar R$100, o seu novo valor é R$ 150,00 (novo referencial- 100%).
Aplicando uma regra de três simples:
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R$150 ---- 100%
R$ 50 ---- X%
150 x = 50. 100
X= 5000/150
X=33,3
Letra a.
198. Em janeiro, uma loja em liquidação decidiu baixar todos os preços em 10%. No mês de 
março, frente a diminuição dos estoques a loja decidiu reajustar os preços em 10%. Em relação 
aos preços praticados antes da liquidação de janeiro, pode-se afirmar que, no período consi-
derado, houve
a) um aumento de 0,5%
b) um aumento de 1%
c) um aumento de 1,5%
d) uma queda de 1%
e) uma queda de 1,5%
Quando temos apenas valores relativos (porcentagens), é uma boa saída simularmos o valor 
de 100. Desta forma os produtos custam R$ 100,00 reais.
Preço inicial (R$100) → (-10%) →(R$90,00) → (+10%) → (R$99,00).
É importante observamos que os descontos são realizados sobre os novos valores (novo re-
ferencial).
Se compararmos de R$100,00 para R$99,00, tivemos uma queda de R$1,00. Como simulamos 
o valor de 100, a resposta já sai em porcentagem.
Letra d.
A seguir uma Questão Desafio!
199. Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 80% são amarelos e 20% são vermelhos. Uma 
misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi 
controlada, verificou-se que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo que nenhu-
ma outra alteração foi feita no aquário, o percentual de peixes amarelos que morreram foi:
a) 20 %
b) 25 %
c) 37,5 %
d) 62,5 %
e) 75 %
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Quando temos apenas valores relativos (porcentagens), é uma boa saída simularmos o valor 
de 100. Desta forma a quantidade de peixes no aquário é de 100 peixes.
Do total de peixes: 80% são amarelos e 20% são vermelhos, logo temos:
AMARELOS 80%---------------80 PEIXES
VERMELHOS 20%-------------20 PEIXES
Após a doença, em que só morreram peixes amarelos temos a seguinte relação:
AMARELOS 60%--------------- x PEIXES
VERMELHOS 40%-------------20 PEIXES (é importante perceber teremos um novo valor relativo, 
40%, isso porque se a quantidade de peixes amarelos agora é 60%, o que falta para o total é 
40%)
Realizando uma regra de três simples, teremos:
AMARELOS 60%--------------- x PEIXES
VERMELHOS 40%-------------20 PEIXES
40.x = 60. 20
40. x = 1200
X – = 30 (peixes amarelos vivos)
Se o total de peixes amarelos era igual a 80 e temos 30 vivos, podemos inferir que morreram 
50 peixes amarelos.
Agora é calcular a porcentagem de 50 no total de 80.
80 --------- 100%
50 --------- x
80 x = 5000
X – = 5000/80 = 62,5%
Letra d.
200. (2017) Em 2015 as vendas de uma empresa foram 60% superiores as de 2014. Em 2016 as 
vendas foram 40% inferiores as de 2015. A expectativa para 2017 é de que as vendas sejam 10% infe-
riores as de 2014. Se for confirmada essa expectativa, de 2016 para 2017 as vendas da empresa vão
a) diminuir em 6,25%.
b) aumentar em 4%.
c) diminuir em 4%.
d) diminuir em 4,75%.
e) diminuir em 5,5%.
Em 2014, temos 100%
Com o aumento de 60%, iremos multiplicar pelo fator de 1,6, logo teremos 100 x 160 que é igual 
a 160% em 2015.
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Em 2016 com a diminuição de 40%, iremos multiplicar pelo fator de 0,6, logo teremos 160 x 0,6 
que é igual a 96% em 2016
Em 2017 com a diminuição de 10%, iremos multiplicar pelo fator de 0,9, logo teremos 100x 
0,9=90% em 2017
(2016) 96---------100%
(2017) 90--------- X
96x=9000
X=9000/96
X=93,75%
Desta forma, temos:
100% → 2016
93,75% → 2017
Realizando a subtração: 2016-2017 → 100-93,75 = 6,25%.
Letra a.
201. A empresa Alfa Sigma elaborou uma previsão de receitas trimestrais para 2018. A recei-
ta prevista para o primeiro trimestre é de 180 milhões de reais, valor que é 10% inferior ao da 
receita prevista para o trimestre seguinte. A receita prevista para o primeiro semestre é 5% 
inferior à prevista para o segundo semestre. Nessas condições, é correto afirmar que a receita 
média trimestral prevista para 2018 é, em milhões de reais, igual a
a) 200.
b) 203.
c) 195.
d) 190.
e) 198.
Sabemos que o ano possui 4 trimestres, totalizando 12 meses. Certo?
Sendo assim, temos:
1º trimestre = 180 milhões
2º trimestre (denominar de x)
180 equivale a (100% - 10%), ou seja, 180 ------- 90%
Se temos:
180 ------- 90%
X ---------- 100%
90x = 18000
x = 18000/90 = 200 milhões
1º semestre = 1º trimestre + 2º trimestre = 180 + 200 = 380 milhões
2º semestre (denominar de y)
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380 equivale a (100% - 5%), ou seja, 380 ------95%
380 ------95%
Y --------100%
95 Y = 38000
Y= 400 milhões
Agora, vamos calcular a receita média trimestral:
(1º + 2º + 3º + 4º trimestres) / 4
Receita média trimestral = 380 (1º semestre = 1º e 2º trimestre) + 400 (2º semestre = 3º e 4º 
trimestre) / 4
Sendo assim, temos: Receita média trimestral = 195 milhões
Letra c.
operAções com conjuntos
Operações com Conjuntos: Definição de conjunto e subconjunto; relação de pertinência; 
relação de inclusão; linguagem matemática (simbologia); representações por diagramas, re-
presentação na reta numérica, operações de união, interseção, diferença e complementar.
Conjuntos
Primeiramente, é importante que saibamos que “Teoria de Conjuntos” traz uma interpreta-
ção concreta dos fundamentos utilizados na lógica proposicional. É importante ressaltar que 
é um conteúdo constante nas últimas provas de concursos públicos.
INTRODUÇÃO
O que é um conjunto? Pois bem, nada mais é que uma coleção de objetos ou elementos 
que possuem características comuns. Um conjunto fica caracterizado por uma regra quando 
se permite decidir se um elemento pertence ou não ao conjunto. Assim, se chamarmos por H 
o conjunto dos seres humanos, podemos dizer, por exemplo, que a José é um elemento de H, 
bem como o uma Orquídea não é elemento de H. Na linguagem de conjuntos, tais considera-
ções serão simbolizadas (escritas) da seguinte forma:
José ∈ H (lê-se: José é um elemento do conjunto H)
Orquídea ∉ H (lê-se: Orquídea não é elemento do conjunto H)
Como em toda ciência é importante a questão da linguagem, ou seja, sua escrita, isto para 
que evite interpretações errôneas, desta forma vamos ressaltar 02 (duas) relações essenciais 
que serão fundamentais para as futuras operações com conjuntos:
Relação de Pertinência: essa primeira consiste em relacionar um elemento a um determinado 
conjunto. Se por acaso queiramos relacionar um elemento “t” a um conjunto “T”, a relação deverá ser:
O elemento “t” pertence a T (t ∈ T)
ou
O elemento t não pertence a T (t ∉ T).
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Raciocínio Lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
É importante ressaltar que os conjuntos são representados por letra maiúsculas e os ele-
mentos por letras minúsculas.
Há vários modos para descrever um conjunto, os mais comuns nas provas de concursos 
públicos são:
1) A = {a; a é um algarismo arábico}, que se lê “A é o conjunto do elemento “a” tal que “a” é 
um algarismo arábico.”
2) Outra maneira para definir conjunto consiste em escrever uma lista dos seus elementos 
entre chaves. Desse modo, representaríamos o conjunto A da seguinte forma:
A = {1,2, 3,4,5,6, 7, 8, 9, 10...}
3) Um conjunto poderá ser representado por diagramas (o mais utilizado nas resoluções de 
questões) da seguinte forma:
Para dar a descrição completa de um conjunto, nem sempre é preciso incluir todos os ele-
mentos na lista. Por exemplo, o conjunto dos algarismos poderia ser indicado da seguinte forma:
A = {0, 1, 2, 3,..., 8}
Nem sempre é possível descrever um conjunto relacionando todos os seus elementos, 
como é o caso do conjunto A formado pelos números naturais. Entretanto, A pode ser descrito 
por uma lista parcial, ou seja,
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
Relação de Inclusão: relação existente entre conjunto e subconjunto ou subconjunto e con-
junto. Caso se queira relacionar um subconjunto A a um conjunto B, a relação deverá ser:
A ⊃ B (A contém B) e B ⊂ A (B está contido em A)
Ex.: no diagrama a seguir temos que A contém o conjunto B. Logo, A é um conjunto e B é 
um subconjunto.
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Número de Subconjuntos
Exemplo de número de subconjuntos de um conjunto:
A = {a, b} = {a}, {b}, {a, b},; temos neste caso 4 subconjuntos de um conjunto A com 2 elementos.
Importante: O Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento e está contido em 
qualquer conjunto.
Representação: ∅ ou { }, nunca {∅}.
Agora vejamos se o conjunto possui 03(três) elementos:
C= {a, b, c} = {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, { } = 23 = 8 subconjuntos.
VEJAMOS UMA APLICAÇÃO!!!
Um mestre de cozinha dispõe de 06(seis) frutas para preparar uma salada de frutas, sa-
bendo que uma salada deve conter pelo menos duas frutas, quantas podem ser preparadas?
É uma questão que poderia ser respondida por análise combinatória, em que iriamos calcular 
as combinações de com pelo menos duas frutas.
Uma maneira mais prática e rápida é se calcularmos o número de subconjuntos, ou seja:
2n = 26 = 64 subconjuntos, em que cada elemento é representado por uma fruta. Temos na com-
posição dos subconjuntos, subconjuntos com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e nenhum elemento. Sendo assim, 
temos saladas com 1, 2, 3, 4, 5,6 e nenhuma fruta, logo temos que subtrair aquilo que não é 
salada, ou seja, os subconjuntos unitários e o subconjunto vazio, uma vez que para ser salada 
deve conter no mínimo duas frutas, ou seja 64 – 7.
57 saladas
Agora que já sabemos um pouco da linguagem com as relações de pertinência, inclusão 
e número de subconjuntos que são importantíssimos para a matemática e para o estudo da 
lógica, podemos iniciar a operações com conjuntos que proporcionaram uma interpretação 
concreta do desenvolvimento do raciocínio.
União ou Reunião
DICA
Identificaremos uma união entre dois conjuntos quando tiver-
mos o termo “OU”.
Consideremos os dois conjuntos:
A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8}
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Podemos pensar em um novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que perten-
cem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão, esse novo conjunto é:
C = {1,2,3,4,5,6,7,8}
O conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, em que os elementos repetidos (os 
que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião 
(ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é 
usualmente representada por A ∪ B. Com esta notação tem-se:
C: A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Podemos desta forma expressar o seguinte conceito: dados dois conjuntos quaisquer, A e 
B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a 
pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o con-
junto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em muitas provas de concursos, os 
conceitos são expressos em símbolos, logo é importante interpretá-los.
A ∪ B = {X ∈ U | X ∈ A ou X ∈ B}
A definição acima nos diz que se um elemento x pertencer a A ∪ B, é equivalente dizer que 
uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:
A ⊂ A ∪ B (o conjunto A está contido na união de A com B)
e
B ⊂ A ∪ B ( o conjunto B está contido na união de A com B)
Exemplos:
{x; y} ∪ {z; w} = {x; y; z; w}
{n, e, w, t, o, n} ∪ {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}
Vejamos uma questão comentada com a operação de União:
202. (CESPE) Com relação às operações com conjuntos, julgue o item abaixo.
Considere que os candidatos ao cargo de programador tenham as seguintes especialidades: 
27 são especialistas no sistema operacional Linux, 32 são especialistas no sistema operacio-
nal Windows e 11 desses candidatos são especialistas nos dois sistemas. Nessa situação, é 
correto inferir que o número total de candidatos ao cargo de programador é inferior a 50.
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Josimar Padilha
É importante observar que ao inferir sobre o número total de candidatos, significa dizer: os 
candidatos que são especialistas no sistema operacional Linux ou os candidatos que são es-
pecialistas no sistema operacional Windows.
Temos neste caso uma operação de união, porém percebemos que existem especialistas nos 
dois sistemas operacionais, sendo assim, vem uma excelente dica para você, que é a seguinte: 
se há elementos em comum, construímos diagramas com interseção, vejamos abaixo:
Certo.
Intersecção
Identificaremos uma intersecção entre dois conjuntos quando tivermos os termos “e”, “si-
multaneamente” e “ao mesmo tempo”.
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para Presidente e B o conjunto 
dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para Governadora do DF, no primeiro turno das 
eleições de 2018. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois 
candidatos no primeiro turno. Assim, somos levados a definir um novo conjunto, cujos elemen-
tos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à 
seguinte definição geral:
Conceito: sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos intersecção de A e de B (ou 
de A com B) a um novo conjunto, assim definido:
A ∩ B = {X ∈ U| X ∈ A e X ∈ B}
EXEMPLO
{1, 2} ∩ {3, 4} = Ø
{n, e, w, t, o, n} ∩ {h, o, r, t, a} = {o, t}
Da definição de intersecção resulta que:
(∀X ∈ U) X ∈ A ∩ B ⇒ X ∈ A
(∀X ∈ U) X ∈ A ∩ B ⇒ X ∈ B
Os fatos nos dizem que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:
A ∩ B ⊂ A
A ∩ B ⊂ B
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Raciocínio Lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
Josimar Padilha
Propriedades da Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
1. Idempotência: A ∩ A = A
2. Comutativa: A ∩ B = B ∩ A
3. Elemento Neutro: o conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjun-
tos: A ∩ U = A
4. Associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são 
conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção 
entre eles é igual ao conjunto vazio.
Propriedades da União e Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-
-relacionam a união e intersecção de conjuntos:
1. A ∪ (A ∩ B) = A
2. A ∩ (A ∪ B) = A
3. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
4. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Diferença
Obs.: � Identificaremos uma diferença entre dois conjuntos quando tivermos os termos 
“apenas”, “somente” e “exclusivamente”, ligados ao conjunto.
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para Presidente e B o conjunto 
dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para Governadora do DF, no primeiro turno das 
eleições de 2008. É certo pensar que teve eleitores