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Questão 6/10 - Análise Matemática 
Considere o trecho de texto a seguir: 
 “Um espírito mais crítico indagaria sobre a existência dos números 
reais, ou seja, se realmente se conhece algum exemplo de corpo 
ordenado completo. Em outras palavras: partindo dos números 
naturais (digamos, apresentados através dos axiomas de Peano) 
seria possível, por meio de extensões sucessivas do conceito de 
número, chegar à construção dos números reais? A resposta é 
afirmativa. Isto pode ser feito de várias maneiras. A passagem 
crucial é dos racionais para os reais, a qual pode seguir o método 
dos cortes de Dedekind ou das sequências de Cauchy [...], para 
citar apenas os dois mais populares”. 
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele 
está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. 14. ed. Rio de 
Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e 
Aplicada, 2013. v. 1. p. 60. 
 
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise 
Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as 
afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas. 
 
 I.( ) A relação de equivalência que permite a construção dos 
números racionais dá a esse conjunto a propriedade de seus 
elementos possuírem um inverso multiplicativo, exceto ao elemento 
neutro da adição. 
 II.( ) Os cortes de Dedekind são subconjuntos próprios do 
conjunto dos números racionais com algumas propriedades. 
 III. ( ) O conjunto Xα={x∈Q∣x2<1}Xα={x∈Q∣x2<1} é 
um corte de Dedekind. 
 IV. ( ) Pelos axiomas de Peano constrói-se o conjunto dos 
números naturais, partindo de um conjunto denominado NN e 
uma função denominada de função sucessor. 
 
 
Agora marque a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 A a) F – V – V – V 
 B b) V – F – F – V 
 C c) F – V – F – V 
 D d) V – F – V – V 
 E e) V – V – F – V 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
A afirmativa I é verdadeira pois, se 
x∈Qx∈Q, então x=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b) 
a,b∈Z,b≠0x=(a,b)¯ a,b∈Z,b≠0. Se a≠0a≠0, 
então, xx não é o elemento neutro da 
adição e y=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)∈Qy=(b,a)¯∈Q. 
Temos que 
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b)⋅¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¯¯¯(ab,ba)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ab)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
(1,1)(a,b)¯⋅(b,a)¯=(ab,ba)¯=(ab,ab)¯=(1,1)¯. 
Como ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1)(1,1)¯ é o elemento 
neutro da multiplicação, temos que 
y=x−1y=x−1. A afirmativa II é verdadeira, 
pois se XαXα é um corte de Dedekind, 
então Xα⊂QXα⊂Q e Xα≠QXα≠Q por 
definição. A afirmativa III é falsa porque 
XαXα não contém todos os pontos 
menores que seus pontos. Basta ver que, 
por exemplo, 0∈Xα,−2<00∈Xα,−2<0, mas 
−2∉Xα−2∉Xα. A afirmativa IV é verdadeira 
por definição. (livro-base, capítulo 1). 
 
Questão 7/10 - Análise Matemática 
Considere o trecho de texto a seguir: 
 
"Sejam f:X→Rf:X→R e a∈Xa∈X. O quociente 
q(x)=f(x)−f(a)x−aq(x)=f(x)−f(a)x−a tem sentido para 
x≠ax≠a, logo define uma função q:X−{a}→Rq:X−{a}→R, 
cujo valor q(x)q(x) é a inclinação da secante (reta que liga os 
pontos (a,f(a))(a,f(a)) e (x,f(x))(x,f(x)) no gráfico de ff em 
relação ao eixo xx." 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele 
está disponível em: 
 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 88.} 
 
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise 
Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as 
afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas. 
 
I. ( ) Dizemos que uma função X→RX→R é derivável em XX 
quando é derivável em todos os pontos de xx pertencentes a XX. 
II. ( ) Sejam X⊂RX⊂R, f:X→Rf:X→R e x0x0 um ponto de 
acumulação de XX pertencente ao conjunto XX. Assim a função 
ff é derivável no ponto x0x0 quando existe o limite a seguir: 
f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0
)x−x0 
III. ( ) Informalmente podemos dizer que a noção geométrica da 
derivada f′(x0)f′(x0) é a inclinação da reta tangente à função ff 
no ponto x0x0. 
 
 
 
 
Agora marque a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 A F – F – F 
 B F – V – V 
 C V – V – F 
 D F – V – F 
 E V – V – V 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
A afirmativa I é verdadeira por ser uma 
consequência da definição(p.111). A 
afirmativa II é correta pois expressa a 
definição de derivada em um ponto 
(p.111) e a afirmativa III é correta porque 
corresponde à interpretação geométrica 
da derivada(livro base - p.111 e 112). 
 
Questão 8/10 - Análise Matemática 
Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)={x2+1, 
x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1. 
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a 
respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que: 
 
Nota: 10.0 
 A Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é 
derivável. 
 B Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é 
contínua. 
 C Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas 
são diferentes. 
 D Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável. 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Temos que 
limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)limx→1+f(x)
=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1) e 
limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)limx→1−
f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1). 
Portanto, ff é contínua em x=1x=1. Além 
disso, temos que 
limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2lim
x→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=
2 e 
limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=li
mx→1−(x+1)=2limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1
−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2 
Logo, ff é derivável em x=1x=1 e 
f′(1)=2f′(1)=2 (livro-base, Capítulo 4). 
 E Em x=1x=1, ff não é contínua nem é 
derivável. 
 
 
Questão 9/10 - Análise Matemática 
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real aa é limite da sequência (xn)(xn) 
quando, para todo número real ε>0ε>0, dado arbitrariamente, 
pode-se obter n0∈Nn0∈N tal que todos os termos xnn com 
índice n>n0n>n0 cumprem a condição |xn−a|<ε|xn−a|<ε. 
Escreve-se então a=limn∈Nxna=limn∈Nxn. [...] Em vez de 
a=limxna=limxn, escreve-se também 
a=limn∈Nxna=limn∈Nxn, a=limn→∞xna=limn→∞xn 
ou xn→axn→a. Esta última expressão lê-se ‘xnxn tende para 
aa’ ou ‘converge para aa’. Uma sequência que possui limite diz-se 
convergente”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele 
está disponível em: 
LIMA, E. L., Análise Real: Funções de Uma Variável. 9. ed. v. 1. 
Rio de Janeiro: IMPA, 2007. p. 23-24. 
Dada a sequência (12n)n∈N(12n)n∈N. 
 
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base 
Análise Matemática sobre sequências numéricas, é correto 
afirmar que a sequência dada converge para: 
Nota: 10.0 
 A 1212 
 
 B ∞∞ 
 
 C −∞−∞ 
 
 D 1 
 E 0 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
Dado ε>0ε>0, escolhemos n0∈Nn0∈N tal 
que n0>log21εn0>log2⁡1ε, isto é, 
12n0<ε12n0<ε. Assim, se n>n0n>n0 temos 
que 
∣∣12n−0∣∣=∣∣12n∣∣=12n<12n0<ε|12n−0|=|12n|=12n
<12n0<ε. Portanto, lim12n=0lim12n=0. 
(livro-base, Capítulo 2). 
 
Questão 10/10 - Análise Matemática 
Observe o intervalo X=(−√2,√2 )X=(−2,2 ) representado na 
reta real: 
 
 
 
Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos 
estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções 
topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as 
assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas. 
 
I. ( ) XX é um conjunto aberto. 
II. ( ) XX é um conjunto limitado. 
III. ( ) XX é um conjunto compacto. 
IV. ( ) XX é um conjunto fechado. 
 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta. 
Nota: 10.0 
 A V-V-F-F 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
A alternativa que apresenta a sequência 
correta é a letra a). A afirmativa I é 
verdadeira porque todo ponto do conjunto 
XX é ponto interior de XX. A afirmativa II é 
verdadeira porque existe R>0R>0, por 
exemplo, R=3R=3 tal que |x|<3|x|<3 para 
todo x∈Xx∈X. A afirmativa III é falsa 
porque o conjunto XX não é fechado e 
nem limitado. A afirmativa IV é falsa 
porque o complementar do conjunto XX 
não é aberto, por exemplo, x=√2x=2 
pertence ao complementarde XX, mas 
não é ponto interior do complementar. 
(livro-base, p. 88-91). 
 B V-V-V-F 
 C F-F-V-V 
 D F-V-F-F 
 E V-F-V-F