Exercícios de Cálculo I

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Lista de Exerćıcios de Cálculo I - Funções exponenciais e logaŕıtmicas
1. Faça um esboço do gráfico de cada função, utilizando transformações.
(a) y = 4x − 3
(b) y = 4x−3
(c) y = −2−2
(d) y = 1 + 2ex
(e) y = 1− 1
2
e−x
(f) y = 2(1− ex)
2. Começando com o gráfico de y = ex, escreva as equações correspondentes aos gráficos que
resultam ao
(a) deslocar 2 unidades para baixo
(b) deslocar 2 unidades para a direita
(c) refletir em torno do eixo x
(d) refletir em torno do eixo y
(e) refletir em torno do eixo x e, depois, em torno do eixo y
3. Começando com o gráfico de y = ex, encontre as equações dos gráficos que resultam ao
(a) refletir em torno da reta y = 4
(b) refletir em torno da reta x = 2
4. Encontre o domı́nio de cada função
(a) f(x) =
1
1 + ex
(b) f(x) =
1
1− ex
(c) g(t) = et − 1
(d) g(t) =
√
1− 2t
5. Encontre a função exponencial f(x) = Cax cujo gráfico é dado.
1
(a) (b)
6. Suponha que você receba uma oferta para trabalhar por apenas um mês. Qual das seguintes
formas de pagamentos você prefere?
(a) Um milhão de dólares no fim do mês.
(b) Um centavo de dólar no primeiro dia do mês, dois centavos no segundo dia, quatro no
terceiro dia, e em geral, 2n−1 centavos de dólar no n-ésimo dia.
7. (a) O que é uma função injetora?
(b) A partir do gráfico, como dizer se uma função é injetora?
8. (a) Seja f uma função injetora com domı́nio A e imagem B. Como é definida a função
inversa f−1? Qual o domı́nio de f−1 Qual é a imagem de f−1
(b) Se for dada uma fómula para f , como você pode encontrará um fórmula para f−1?
(c) Se for dado o gráfico de f , como você encontrará o gráfico de f−1?
9. A função f é dada pelo gráfico. Determine se f é injetora.
(a) (b)
2
(c) (d)
10. A função f é dada pela expressão. Determine se f é injetora.
(a) f(x) =
1
2
(x+ 5)
(b) f(x) = 1 + 4x− x2
(c) g(x) = |x|
(d) g(x) =
√
x
(e) f(t) é a altura de uma bola t segundos
após ser chutada.
(f) f(t) é sua altura com t anos de idade.
11. Se f for uma função injetora tal que f(2) = 9, quanto é f−1(9)?
12. Se g(x) = 3 + x+ ex, ache g−1(4).
13. É dado o gráfico de f .
(a) Por que f é injetora?
(b) Determine o domı́nio e a imagem de f−1.
(c) Qual o valor de f−1(2)?
(d) Obtenha uma estimativa para o valor de f−1(0)
14. Encontre uma fórmula para a função inversa.
3
(a) f(x) =
√
10− 3x
(b) f(x) = ex
3
(c) y = 2x3 + 3
(d) y = ln(x+ 3)
15. Use o gráfico dado de f para esboçar o de f−1.
(a) (b)
16. (a) Como está definida a função logaŕıtmica y = loga x?
(b) Qual o domı́nio dessa função?
(c) Qual a imagem dessa função?
(d) Esboce a forma geral do gráfico da função y = loga x se a > 1.
17. Encontre o valor exato de cada expressão.
(a) log5 125
(b) ln(1/e)
(c) log2 6− log2 15 + log2 20
(d) log10
√
10
18. Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.
(a) ln 5 + 5 ln 3
(b) ln(a+ b) + ln(a− b)− 2 ln c
(c) ln(1 + x2) +
1
2
lnx− ln senx
(d) log10
√
10
19. Faça o esboço do gráfico de cada função. Não use calculadora.
(a) y = log10 (x+ 5)
(b) y = − lnx
(c) y = ln(−x)
(d) y = ln |x|
20. Determine o domı́nio de f e f−1 e seu domı́nio
4
(a) f(x) =
√
3− e2x (b) f(x) = ln(2 + lnx)
21. Encontre todos os valores de x tais que sen(2x) = senx e 0 ≤ x ≤ 2π
22. Encontre o valor exato de cada expressão
(a) sen−1(
√
3
2
)
(b) cos−1(−1)
(c) tg(arctan 10)
(d) sen−1(sen(
7π
3
))
23. Demonstre a identidade
(a) cos(
π
2
− x) = senx
(b) sen(π − x) = senx
(c) sen2θ =
1− cos 2θ
2
(d) cos2 θ =
1 + cos 2θ
2
Respostas
1. -
2. (a) y = ex − 2
(b) y = ex−2
(c) y = −ex
(d) y = e−x
(e) y = −e−x
3. -
4. (a) (−∞,+∞)
(b) (−∞, 0) ∪ (0,∞)
(c) (−∞,+∞)
(d) (−∞, 0]
5. -
6. (a) f(x) = 3.2x
7. -
5
8. -
9. -
10. (a) injetora
(b) não é injetora
(c) não é injetora
(d) injetora
11. (a) injetora
(b) não é injetora
(c) não é injetora
(d) injetora
(e) não é injetora
(f) não é injetora
12. f−1(9) = 2
13. g−1(4) = 0
14. -
15. (a) f−1 = −1
3
x2 + 10
3
, x ≥ 0
(b) f−1 = 3
√
lnx
16. (a) É definida como a inversa da função exponencial com base a, isto é,loga x = y ⇐⇒
ay = x
(b) (0,∞)
(c) R
(d) -
17. (a) 3
(b) -
(c) 3
6
18. (a) ln(1215)
(b) ln( (1+x
2)
√
x
senx
)
19. -
20. (a) Domf = (−∞, 1
2
ln3], f−1(x) = 1
2
ln(3− x2), Domf−1 = [0,
√
3)
(b) -
21. 0, π
3
, π, 5π
3
, 2π
22. (a) π
3
(b) π
(c) π
4
(d) π
4
(e) 10
(f) π
3
23. -
7