Apostila Mat Financeira 2021

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IPOG – Matemática Financeira 
 
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Matemática Financeira - 2021 
 
 
Avaliações Econômicas e Análise de Investimentos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
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Prof. M.Sc. Carlos de Macêdo e Silva Filho 
 
 
 
1 ENGENHARIA ECONÔMICA E ANÇÁLISE DE INVESTIMENTOS 
1.1 Conceitos e Princípios da Engenharia Econômica 
1.2 Conceitos e Princípios da Análise de Investimentos 
1.2.1 Conceitos 
1.2.2 Valor Temporal do Dinheiro 
1.2.3 Princípios Básicos 
2 NOÇÕES E PRINCÍPIOS BÁSICOS DO PLANEJAMENTO FINANCEIRO 
2.1 Objetivos 
2.2 Equilíbrio e Desequilíbrio Financeiro 
2.3 Capital de Giro 
2.4 Ciclo Operacional e Financeiro 
3 NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 
3.1 Juros e Taxas 
3.2 Valor Presente e Futuro 
3.3 Séries de Pagamento 
3.4 Sistemas de Amortização 
4 NOÇÕES DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
4.1 Métodos de Avaliação de investimentos 
4.1.1 Pay-Back 
4.1.2 Valor Presente Líquido 
4.1.3 Valor Uniforme Líquido 
4.1.4 Taxa Interna de Retorno 
4.1.5 Projeto Combinado 
4.1.6 Projeto Incremental 
 4.1.7 Projetos com Horizontes Diferentes 
 
 
ÍNDICE 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
1.1. Conceitos e Princípios da Engenharia Econômica 
A Engenharia Econômica tem como objetivo a análise de decisões sobre 
investimentos. No primeiro momento são considerados os aspectos 
econômicos do investimento. Pergunta-se se o investimento é rentável, 
bastando para isso aplicar-se corretamente os critérios econômicos para se 
saber quais os investimentos que rendem mais, ou seja, como aplicar o 
dinheiro de maneira a obter o maior retorno. 
Mas de nada adianta conhecer a rentabilidade dos investimentos em carteira 
se não há disponibilidade de recursos próprios nem há possibilidade de 
financiamentos. Os financiamentos mais rentáveis deverão ser analisados de 
acordo com critérios financeiros, os quais mostrarão os efeitos do investimento 
na situação financeira da empresa, por exemplo, como o investimento afetará o 
capital de giro da empresa. 
Ressaltamos porém que um investimento pode ter repercussões não 
ponderáveis, não conversíveis em dinheiro. Assim a decisão de implantação de 
um projeto deve considerar os seguintes critérios: 
▪ Critérios Econômicos: rentabilidade do investimento; 
▪ Critérios Financeiros: disponibilidade de recursos; 
▪ Critérios Imponderáveis: fatores não conversíveis em dinheiro. 
Conclui-se, portanto, que a análise econômico-financeira pode não ser 
suficiente para a tomada de decisões em relação a um investimento (Casarotto 
Filho, Nelson – Análise de Investimentos – Atlas 2000). 
 
1.2. Conceitos e Princípios da Análise de Investimentos 
O processo para decisão sobre determinado investimento envolve tomar uma 
decisão hoje visando aumentar o valor da empresa em relação a um período 
de tempo pré-estabelecido. Significa dizer que, no momento de uma decisão de 
 
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investimento, o investidor está claramente restringindo a utilização de recursos 
no presente, com objetivo de maximizar o valor da empresa no futuro. 
 
 
1.2.1. Conceitos: 
▪ Todo ativo tem valor. A chave para investir nesses ativos e gerenciá-los 
com sucesso não reside na compreensão desse valor, mas sim nas 
fontes do valor. 
▪ Para um investimento seguro, o investidor não deve pagar por um ativo 
mais do que ele realmente vale. 
▪ Todo recurso tem custo, quer seja ele próprio ou de terceiros, e o retorno 
desejado ao investimento deve ser maior do que o valor do 
financiamento. 
1.2.2. Valor Temporal do Dinheiro: 
Como os benefícios proporcionados pela economia sempre podem ser 
expressos em quantias monetárias, podemos dizer que um agente abre mão 
de uma quantia hoje, em troca de uma quantia maior no futuro. Assim uma 
determinada grandeza varia em função do tempo. É este o valor temporal do 
dinheiro. 
1.2.3. Princípios Básicos: 
▪ Todas as decisões são tomadas a partir de alternativas; 
▪ É necessário um denominador comum a fim de tornar as alternativas 
mensuráveis (mesma base de cálculos, mesma moeda); 
▪ Os critérios para decisões de investimento devem avaliar o valor do 
dinheiro no tempo e os problemas relativos ao racionamento de capital; 
▪ A vida econômica de um investimento é o período projetado para que o 
investimento produza os resultados econômicos e financeiros 
esperados; 
 
 
 
 
 
 
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2. NOÇÕES E PRINCÍPIOS BÁSICOS DO PLANEJAMENTO FINANCEIRO 
 
2.1. Objetivos: 
O objetivo básico do processo de planejamento financeiro, é dotar a empresa 
de mecanismos de planejamento e gestão, que possibilitem o real 
dimensionamento e a permanente maximização dos recursos financeiros 
aplicados no negócio. 
Para que o processo de planejamento financeiro seja um instrumento gerencial 
útil para a organização, podemos destacar alguns aspectos relevantes para 
alcançar este objetivo: 
▪ Consistência e integridade das informações utilizadas para fins de 
planejamento e análise; 
▪ Perfeito engajamento entre as diversas áreas operacionais da 
organização; 
▪ Critérios claros e bem definidos para a projeção dos diversos ítens; 
▪ Identificação clara dos custos das diversas fontes de financiamento, 
principalmente aquelas ligadas ao capital de terceiros; 
▪ Consistência com relação ao padrão monetário utilizado; 
▪ Realizar avaliações periódicas – real x orçado – visando efetuar revisões 
com um grau maior de confiabilidade; 
▪ Buscar permanentemente o seguinte objetivo: 
 
 
 
 
▪ Objetivo Econômico: capacidade de geração de lucros mostra os 
resultados gerenciais, razão da existência de uma empresa; 
▪ Objetivo Financeiro: capacidade de geração de caixa demonstra a 
qualidade das aplicações; 
MAXIMIZAR O NÍVEL DE RETORNO SOBRE OS 
CAPITAIS INVESTIDOS. 
 
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▪ Objetivo Patrimonial: maximização do valor do patrimonial (investimentos 
x financiamentos). 
 
 
2.2. Equilíbrio e Desequilíbrio Financeiro: 
Os insucessos empresariais estão basicamente ligados a problemas 
decorrentes da falta de liquidez, ou seja, devido à deficiente administração do 
capital de giro. Historicamente as empresas conseguem sobreviver por algum 
tempo com baixa lucratividade, mas pode naufragar repentinamente devido a 
baixa liquidez. 
É fundamental identificar algumas das causas básicas, das consequências 
diretas e as medidas de ajuste a serem implantadas para alcance do equilíbrio 
financeiro. Podemos citar como exemplo: 
 
❖ Causas Básicas 
▪ Investimento inadequado em estoques; 
▪ Ciclo operacional e de caixa inadequados; 
▪ Necessidade de financiamentos crescente; 
▪ Imobilização em excesso; 
▪ Endividamento crescente. 
❖ Consequências Diretas 
▪ Redução da liquidez da operação; 
▪ Fragilidade ante as flutuações do mercado; 
▪ Perda crescente da capacidade de investimento; 
▪ Redução da credibilidade como instituição; 
▪ Concordata; 
▪ Falência. 
❖ Medidas de Ajuste 
▪ Aumento do capital próprio, reduzindo o endividamento; 
▪ Estabilização do ciclo operacional e de caixa; 
▪ Racionalização dos custos; 
▪ Venda dos ativos ociosos; 
▪ Planejamento e controle financeiros. 
 
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2.3. Capital de Giro: 
O patrimônio de uma empresa pode ser dividido em investimentos de longo e 
curto prazo. A parcela do investimento voltada para a operação corrente da 
empresa é denominada capital de giro. 
Os recursos aplicados no giro da empresa estão diretamente relacionados com 
a operação corrente da mesma, ou seja, a compra de matéria-prima ou 
produtos acabados, o estoque, a venda e o recebimento pela venda, 
esperando-se um ciclo operacional positivo em termos de geração financeira. 
O investimento adequado em giro é fundamental para que a empresa possa 
operar de maneira sustentada. 
 
2.4. Ciclo Operacional e Financeiro: 
O ciclo operacional de uma determinada atividade pode ser definido como o 
período que abrange desde a aquisição da matéria-prima e/ou produto 
acabado, até o recebimento pela venda. Já o ciclo financeiro agrega o prazo 
médio de contas a pagar. 
O ideal para o ciclo operacional e financeiro é que possamos ter: 
▪ Prazo médio de estoques baixo; 
▪ Prazo médio de contas a receber baixo; 
▪ Prazo médio de pagamento a fornecedores alto; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
3.1. Juros e Taxas: 
Podemos definir juros como a remuneração paga pelo capital empregado em 
atividades produtivas ou uso de recursos pertencentes a terceiros. Sua 
existência pode ser explicada por alguns fatores, dentre os quais: 
▪ Quem empresta seu capital, estando a partir de então privado do 
mesmo, espera ser devidamente remunerado; 
▪ O pagamento de juros serve de incentivo para que os que emprestam ou 
aplicam, tenham vontade de ceder seu capital; 
Taxa é o coeficiente que mede a grandeza do juro. Esta sempre relacionada 
com a unidade de tempo (ano, mês, dia, etc.). 
De maneira simples e direta podemos classificar os juros em dois tipos, em 
função da variação da taxa: 
 
3.1.1 – Juro Simples: A taxa varia linearmente durante o tempo de 
aplicação. A taxa só se aplica ao capital inicial, portanto só ele produz 
juros, não há aplicação de juros sobre juros. 
3.1.2 – Juro Composto: O juro produzido no final de cada período é 
somado ao capital inicialmente investido. À soma dos dois se aplica a 
taxa no período seguinte, rendendo novos juros. A taxa varia 
exponencialmente durante o período de aplicação (juro sobre juro). 
3.1.3 – Nomenclaturas e Simbologias: 
 
n = Número de períodos de tempo é dividido (anos, meses, dias); 
r = Taxa de juros expressa em percentagem (exemplo : 10% aa ); 
i = Taxa de juros expressa em fração decimal ( 0,1 ); 
VP = Capital Inicial, Principal ou Valor Presente (PV); 
VF = Montante ou Valor Futuro (FV); 
 
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R = Série Uniforme de Pagamentos ou Recebimentos (prestações); 
J = Juros; 
 
 
3.1.4 - Cálculo de Juros Simples: 
J = VP x i x n , onde lembramos que os juros não são capitalizados , sendo a 
unidade de tempo para a taxa ( i ) e o prazo ( n ) iguais. 
3.1.5 – Cálculo de Juros compostos: 
Jn = VPn x i, com juros capitalizados mensalmente, como no exemplo para um 
Valor Presente de 100,00 e uma taxa de 10% am: 
▪ No primeiro mês J1 = 100 x 0,1 = 10,0 
▪ No segundo mês J2 = 110 x 0,1 = 11,0 
▪ No terceiro mês J3 = 121 x 0,1 = 12,1 
 
3.2 – Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF): 
 
▪ VF = VP + J ou VF = VP ( 1 + i x n ) , para a aplicação de juros simples; 
▪ VF = VP x ( 1 + i )n , para a aplicação de juros compostos. 
 
Para o mesmo exemplo anterior, podemos calcular o valor futuro (para juros 
compostos) utilizando a seguinte fórmula: VFn = VPn + Jn. Assim: 
 
▪ Mês 1: VF1= VP1+ J1 = VP1 + i x VP1 = 100 + 10 = 110,0 
▪ MÊS 2: VF2= VP2+ J2 = VP2 + i x VP2 = 110 + 11 = 121,0 
▪ MÊS 3: VF3= VP3+ J3 = VP3 + i x VP3 = 121 + 12,1 = 133,1 
 
Seria o mesmo que calcular pela fórmula genérica do VF, descrita acima: 
 
▪ VFn = VP x (1 + i)n = 100 x (1 + 0,1)3 = 100 x 1,331 = 133,1. 
 
3.3 – Série de Pagamentos: 
 
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Em uma operação que envolva capital, o mesmo pode ser desembolsado ou 
recebido de uma só vez (cash) ou em prestações, chamadas séries de 
pagamentos ou recebimentos. Estas séries podem ser: 
 
3.3.1 – Séries Postecipadas (sem entrada): Neste caso as chamadas 
séries de termos postecipados serão analisadas quando os pagamentos ou 
recebimentos ocorrem no fim do período, sendo o número destes igual ao 
número de períodos Neste tipo de pagamento, podemos calcular: 
 
 3.3.1.1 – Fator de ValorAtual: Dados a prestação, o prazo e a taxa 
de financiamento, podemos determinar o valor presente do financiamento ou o 
principal, usando a seguinte fórmula matemática: 
 
P = R x ( 1 + i )n - 1 , onde R = prestações; 
 ( 1+ i )n x i 
 
 3.3.1.2 – Fator de Recuperação de Capital: Dados o valor presente, 
o prazo e a taxa, podemos determinar as prestações, usando a seguinte 
fórmula matemática: 
 
R = P x ( 1 + i )n x i 
 ( 1 + i )n – 1 
 
 3.3.1.3 – Fator de Acumulação de Capital: Dados a prestação, o 
prazo e a taxa, podemos determinar o valor futuro do capital financiado, usando 
a seguinte fórmula matemática: 
 
S = R x ( 1 + i )n – 1 , onde S = valor futuro; 
 i 
 
 3.3.1.4 – Fator de Formação de Capital: Dados o valor futuro, o 
prazo e a taxa, podemos determinar as prestações, usando a seguinte fórmula 
matemática: 
 
 i 
 
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R = S x -------------------------- 
 ( 1 + i )n - 1 
 
 
3.3.2 – Séries Antecipadas (com entrada): Neste caso as chamadas 
séries de termos antecipados serão analisadas quando os pagamentos ou 
recebimentos ocorrem no início do período, sendo o número destes maior que 
o número de períodos. Assim podemos calcular: 
 
3.3.2.1 – Fator de Valor Atual: Dados a prestação, o prazo e a taxa 
de financiamento, podemos determinar o valor presente do financiamento ou o 
principal, usando a seguinte fórmula matemática: 
 
P = R x ( 1 + i ) x ( 1 + i )n - 1 , onde R = prestações; 
 ( 1+ i )n x i 
 
3.3.2.2 – Fator de Recuperação de Capital: Dados o valor presente, o 
prazo e a taxa, podemos determinar as prestações, usando a seguinte fórmula 
matemática: 
 
R = P x ___( 1 + i )n x i_______ 
 ( 1 + i ) x [ ( 1 + i )n – 1] 
 
3.3.2.3 – Fator de Acumulação de Capital: Dados a prestação, o 
prazo e a taxa, podemos determinar o valor futuro do capital financiado, usando 
a seguinte fórmula matemática: 
 
S = R x ( 1 + i ) x ( 1 + i )n – 1 , onde S = valor futuro; 
 i 
 
3.3.2.4 – Fator de Formação de Capital: Dados o valor futuro, o prazo 
e a taxa, podemos determinar as prestações, usando a seguinte fórmula 
matemática: 
 
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 i 
R = S x ---------------------------------- 
 ( 1 + i ) x [ ( 1 + i )n – 1] 
 
 
 
3.4 – Sistemas de Amortizações: 
Os sistemas mais conhecidos e utilizados no Brasil são: Sistema Price ou 
Francês de Amortização, Sistema de Amortização Constante e Sistema de 
Amortização Misto (Price + SAC). 
 
 3.4.1- Sistema Price: Tradicionalmente conhecido como “Sistema 
Francês de Amortização” ou “Sistema de Prestações Constantes”, é o sistema 
mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral (crédito 
direto ao consumidor – CDC). 
Neste caso, as prestações são periódicas, consecutivas e constantes, 
adotando-se o conceito postecipado. Cada prestação é composta de: 
▪ Parcela de Juros; 
▪ Parcela Principal (amortização). 
Os juros são sempre calculados em função do saldo devedor, que decrescem 
na medida dos pagamentos das prestações, assim sendo os juros também são 
decrescentes e conseqüentemente as amortizações do principal crescentes. 
Este método permite responder perguntas, que passam desapercebidas pelos 
consumidores, do tipo: 
▪ Quanto ainda devo? 
▪ Quanto da dívida já foi amortizado? 
 
Usando as fórmulas matemáticas: 
▪ Valor da Prestação 
 R = P x ( 1 + i )n x i 
 ( 1 + i )n – 1 
 
▪ Saldo Devedor no Tempo “t” 
 
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 SD t = R x ( 1 + i )n - t - 1 
 ( 1 + i )n – t x i 
 
 
 
▪ Juros no Tempo “t” 
 J t = i x R x ( 1 + i ) 
n – t + 1 – 1 
 ( 1 + i ) n –t + 1 x i 
▪ Amortização no Tempo “t” 
 A t = ( R – i x SD 0 ) x ( 1 + i ) 
t – 1 ou 
 
 A t = R – J t 
 
▪ Exemplo: Para um produto com valor a vista de R$ 10.000,00 (dez mil 
reais), a ser pago em 6 (seis) parcelas, com juros de 2% (dois por cento) 
ao mês, o valor da parcela fixa, de acordo com os princípios das séries 
uniformes de pagamento (termos postecipados), será assim calculado: 
 
R = 10.000 x (1 + 0,02) 6 x 0,02 = 10.000 x 0,178526 = 1.785,26 
 (1 + 0,02) 6 – 1 
 
MÊS PRESTAÇÕES JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEV. 
0 10.000,00 
1 1.785,26 200,00 1.585,26 8.414,74 
2 1.785,26 168,29 1.616,97 6.797,77 
3 1.785,26 135,96 1.649,30 5.148,47 
4 1.785,26 102,97 1.682,29 3.466,18 
5 1.785,26 69,32 1.715,93 1.750,25 
6 1.785,26 35,00 1.750,26 0,00 
 
 
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Usando a HP-12C: 
 
Calculando a parcela fixa: 
 
 F CLX 
 
10.000 PV 
 
 2 i 
 
 6 n 
 
 PMT -1.785,26 
 
Calculando os demais componentes da tabela: 
Mês 1 
 
1 n 
 
f AMORT -200,00 (juros) 
 
X<>y -1.585,26 (amort) 
 
RCL PV 8.414,74 (saldo dev.) 
 
 
Mês 2 
 
1 n 
 
f AMORT -168,29 (juros) 
 
X<>y -1.616,97 (amort) 
 
RCL PV 6.797,77 (saldo dev.) 
 
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E assim sucessivamente, sempre com incremento de “1” na variável “n”, até que 
o saldo devedor seja zero no mês 6. 
 
 3.4.2 – Sistema de Amortização Constante: As cotas de amortização são 
constantes e as prestações se reduzemao longo do prazo de financiamento. Os 
termos da tabela são assim calculados: 
 
▪ Amortização 
 AMORT = Pv 
 n 
 
▪ Saldo Devedor no Tempo “t” 
 SD t = Pv – t x AMORT 
 
▪ Juros no Tempo “t” 
 J t = i x [ Pv – ( t – 1 ) x AMORT] 
 
▪ Prestação no Tempo “t” 
 PMT t = AMORT + i x [ Pv – ( t – 1 ) x AMORT] 
 ou 
 PMT t = AMORT + J t 
 
 
▪ No mesmo exercício anterior, calculado pelo sistema constante, teríamos: 
 
MÊS PRESTAÇÕES JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEV. 
0 10.000,00 
1 1.866,67 200,00 1.666,67 8.333,33 
2 1.833,33 166,66 1.666,67 6.666,66 
3 1.800,00 133,33 1.666,67 4.999,99 
 
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4 1.766,67 100,00 1.666,67 3.333,32 
5 1.733,33 66,67 1.666,66 1.666,66 
6 1.699,99 33,33 1.666,66 0,00 
 
 3.5 – Descontos de Títulos – Título Único: 
 
A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se 
conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de 
resgate) e se quer determinar o seu valor atual. O desconto deve ser entendido 
como a diferença entre o valor de resgate de um título e o seu valor presente 
na data da operação, ou seja: D = VF - VP, em que D representa o valor 
monetário do desconto, VF o seu valor futuro (valor assumido pelo título na 
data do seu vencimento) e VP o valor creditado ou pago ao seu titular. Assim 
como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma 
taxa e a determinado período de tempo. 
De maneira análoga aos juros, os descontos são também classificados em 
simples e composto, envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples 
e exponencial no caso do desconto composto. O desconto é dividido em: 
 
3.5.1 - DESCONTO RACIONAL (por dentro): Desconto racional simples 
é aquele aplicado no valor atual do título n períodos antes do vencimento, ou 
seja, é o mesmo que juro simples. Não será dada muita importância a menos 
de comparação, pois raramente tem sido aplicado no Brasil. 
 
Dr = VF – VP, onde Dr = Desconto Racional; 
 
Como VP = VF /(1+i●n), temos: 
 
Dr = VF – VF / (1 + i●n) = VF.( 1 – ( 1 / (1 + i●n )) = VF. ( 1+i●n – 1)/(1+i●n), 
logo: 
 
 
 
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 3.5.2 - DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO (por fora): Desconto 
comercial simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o 
montante ou valor futuro. É utilizado no Brasil de maneira ampla e 
generalizado, principalmente nas chamadas operações de “desconto de 
duplicatas” realizadas pelos bancos, sendo, por essa razão, também conhecido 
por desconto bancário ou comercial. É obtido multiplicando-se o valor de 
resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu 
vencimento, ou seja: 
 
D = VF.d.n 
 
Onde d representa a taxa de desconto e n o prazo. E para se obter o valor 
descontado utilizamos a seguinte expressão: 
 
VD = VF – D, ou: VD = VF – VF ● d ● n, ou: 
 
 
Exemplo: (CRESPO, 2002) Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à 
taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: 
a) O valor do desconto comercial; 
b) O valor descontado. 
 Solução: 
 
D = VF ● d ● n = 6.000 ● (0,021 ÷ 30) ● 45 = 6.000 ● 0,0007 ● 45 = R$ 190,00 
 
VD = VF – D = 6.000 – 189 = R$ 5.811,00 
 
ou 
 
VD = VF ● ( 1 – d ● n ) = 6.000 ● ( 1 – 0,0007 ● 45 ) = 6.000 ● ( 1 – 0,0315 ) = 
6.000 ● 0,9685 
 
VD = R$ 5.811,00 
 
 
 
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 3.5.3 - DESCONTO SIMPLES SÉRIES DE TÍTULOS DE MESMO VALOR: 
Neste caso poderíamos descontar cada título separado e, posteriormente, 
somarmos os descontos, obtendo o desconto total. Assim: 
Dt = D1 + D2 + D3 + ...... + DN, sendo: 
 
- N = o número de títulos de mesmo valor a serem descontados; 
- VF = Valor de cada título; 
 
- VDt = valor descontado total dos títulos = N x VF – Dt; 
 
Supondo-se cinco títulos de mesmo valor de face ( VF = R$ 1.000,00), 
vencíveis a cada trinta dias (1 mês), a uma taxa de desconto de 3% a.m, o 
valor do desconto global, a partir do cálculo de cada título é assim calculado: 
 
D = VF.d.n, 
 
D1 = 1.000,00 x 0,03 x 1 = 30,00 
 
D2 = 1.000,00 x 0,03 x 2 = 60,00 
 
D3 = 1.000,00 x 0,03 x 3 = 90,00 
 
D4 = 1.000,00 x 0,03 x 4 = 120,00 
 
D5 = 1.000,00 x 0,03 x 5 = 150,00; 
 
Assim: Dt = 30,00 + 60,00 + 90,00 + 120,00 + 150,00 = 450,00; 
 
Ou: Dt = D1 + D2 + D3 + D4 + D5 
 
Dt =1.000 x 0,03 x 1 + 1.000 x 0,03 x 2 + 1.000 x 0,03 x 3 + 1.000 x 0,03 x 4 + 
1.000 x 0,03 x 5 
 
Colocando a expressão (1.000 x 0,03) em evidência, temos: 
 
Dt= (1.000, x 0,03) x (1+ 2 + 3 + 4 + 5) 
 
Utilizando a soma dos termos de uma progressão aritmética (PA): 
 
 , onde: 
 
- t1 = prazo de vencimento do primeiro título; 
- tn = prazo de vencimento do último título; 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
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 -19 - 
 
- N = número de títulos; 
 
Assim: 
 
Dt = (1.000 ● 0,03) ● (1+5) ● 5 / 2 = 1.000 ● 0,03 ● 15 = 450,00 
 
O valor descontado total, ou valor líquido, creditado na conta do cliente seria: 
 
VDt = VF ● N – Dt = 1.000 ● 5 - 450 = R$ 4.550,00 
 
Logo teremos a seguinte expressão matemática: 
 
 
 
Sendo que a expressão (t1 + tn)/2 representa o prazo médio dos títulos 
descontados. 
 
Exemplo: Cinco duplicatas, no valor de $40.000,00 cada uma, com 
vencimentos para 90, 120, 150, 180 e 210 dias, são apresentadas para 
desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3% 
a.m, calcular o valor do desconto e o valor descontado. 
 
t1 = 90 dias = 3 meses → tn = t1 + N – 1 = 3 + 5 – 1 = 7 
 
Dt = 40.000 ● 5 ● 0,03 ● (3 + 7)/2 = 40.000 ● 5 ● 0,03 ● 5 = R$ 30.000,00 
 
VDt = VF ● N – Dt = 40.000 ● 5 – 30.000 = 200.000 – 30.000 = R$ 170.000,00 
 
 
4. NOÇÕES DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
 
4.1 – Métodos de Avaliação de Investimentos 
O primeiro passo da análise de um investimento é avaliar qual é o objetivo da 
empresa que deseja investir seu capital. No passado não muito distante, este 
objetivo era bastante imediatista:Lucro no final do exercício. Atualmente 
podemos considerá-lo ultrapassado, já que as empresas, com a aplicação de 
técnicas de Planejamento Estratégico, passaram a trabalhar com objetivos de 
médio e longo prazo, que pode representar mais investimentos no início de um 
novo negócio e maximização de ganhos num período futuro. 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
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 -20 - 
 
Para avaliarmos antecipadamente o desempenho e a viabilidade econômica – 
financeira de determinado investimento, podemos fazer uso dos métodos de 
avaliação mais comumente aplicados. 
 
 4.1.1 – Método do Pay – Back: 
Trata-se do método mais simples de avaliação do tempo de retorno de um 
investimento. Em linhas gerais, significa o prazo de recuperação do 
investimento, não se observando o custo do capital como fator decisivo para o 
investimento em questão. Por exemplo: 
 
ANOS FLUXO ANUAL FLUXO ACUMULADO 
0 -1000 -1000 
1 250 -750 
2 250 -500 
3 250 -250 
4 250 0 
5 250 250 
 
 
 
 
 
Podemos concluir: 
 
➢ O investimento estará recuperado no final do 4º ano; 
➢ Trata-se de um método simples, apresentando resultado que pode ser 
interpretado facilmente; 
➢ Pode ser entendido como uma medida de risco do investimento, ou seja, 
quanto maior for o prazo de retorno, maior será o risco do investidor; 
➢ Pode ser considerado como uma medida de liquidez do investimento, ou 
seja, quanto menor for o prazo de retorno, maior será a liquidez associada; 
➢ O valor do dinheiro no tempo é ignorado; 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
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 -21 - 
 
➢ Não avalia o nível de rentabilidade do investimento, servindo apenas o 
prazo de recuperação do mesmo; 
 
O aprimoramento deste método, levando-se em conta a incidência da taxa 
mínima de atratividade ou o custo do capital, denomina-se Pay – Back 
Descontado. Tomando o exemplo anterior, supondo um custo de capital da 
ordem de 10 % ao ano, teremos: 
 
ANOS FLUXO 
ORIGINAL 
FLUXO AJUSTADO A 
VALOR PRESENTE 
FLUXO ACUMULADO 
A VALOR PRESENTE 
0 -1000 -1000 -1000 
1 250 227 -773 
2 250 207 -566 
3 250 188 -378 
4 250 171 -207 
5 250 155 -52 
 
Novas conclusões são obtidas: 
➢ O investimento não será recuperado no prazo estipulado, a menos que o 
custo do capital seja reduzido; 
➢ É uma base para a avaliação bem mais consistente, quando comparada ao 
resultado obtido pelo método do “Pay – Back” simples; 
➢ O valor presente calculado através da HP-12C: 
 
 Parcela 1 Parcela 2 
 
 f CLX f CLX 
 
250 FV 250 FV 
 
 10 i 10 i 
 
 1 n 2 n 
 
 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 -22 - 
 
 PV -227,27 PV -207,00 
 
Para determinarmos o tempo médio de retorno desta proposta de investimento 
usamos a seguinte fórmula: 
PBD = n + ( |Fan| / ( FAn+1 + |FAn| ) ) 
Onde: 
▪ PBD = Prazo Médio de Retorno 
▪ n = Ano do último acumulado negativo 
▪ FA n = Valor do fluxo acumulado no ano n (último fluxo negativo) 
▪ FA n+1 = Valor do fluxo acumulado no ano n+1 (primeiro fluxo positivo) 
No exemplo anterior não teríamos retorno dentro do prazo de avaliação, 
portanto proporemos um outro exemplo, composto de três opções de projeto e 
a mesma taxa mínima de atratividade (TMA = 10%), para a melhor aplicação 
deste método: 
ANO PROJETO “A” PROJETO “B” PROJETO “C” 
0 (42.000) (50.000) (20.000) 
1 9.000 20.000 9.000 
2 9.000 10.000 5.000 
3 10.000 11.000 6.000 
4 15.000 16.000 5.000 
5 16.000 15.500 4.000 
▪ Os cálculos para cada projeto serão assim efetuados: 
 
PROJETO A 
 
 FLUXO VALOR FLUXO 
N A PRESENTE ACUMULADO 
0 (42.000) (42.000) 
1 9.000 8.182 (33.818) 
2 9.000 7.438 (26.380) 
3 10.000 7.513 (18.867) 
4 15.000 10.245 (8.622) 
5 16.000 9.935 1.313 
 
 
PROJETO B 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 -23 - 
 
 
 FLUXO VALOR FLUXO 
N B PRESENTE ACUMULADO 
0 (50.000) (50.000) 
1 20.000 18.182 (31.818) 
2 10.000 8.264 (23.554) 
3 11.000 8.264 (15.289) 
4 16.000 10.928 (4.361) 
5 15.500 9.624 5.263 
 
 
PROJETO C 
 
 FLUXO VALOR FLUXO 
N C PRESENTE ACUMULADO 
0 (20.000) (20.000) 
1 9.000 8.182 (11.818) 
2 5.000 4.132 (7.686) 
3 6.000 4.508 (3.178) 
4 4.000 2.732 (446) 
5 4.000 2.484 2.038 
 
▪ O prazo médio de cada projeto seria: 
 
 PROJETOS 
 A B C 
N 4 4 4 
FA n (8.622) (4.361) (446) 
FA n+1 1.313 5.263 2.038 
PBD 4,87 4,45 4,18 
▪ O melhor projeto seria o projeto “C”, pois possui o menor prazo médio de 
retorno. 
 
4.1.2 – Valor Atual Líquido do Fluxo de Caixa: 
Neste método, calculamos o valor atual líquido do fluxo de caixa, na data zero, 
fazendo uso da taxa mínima de atratividade, sendo esta a taxa alternativa que 
um investidor possui no mercado, supostamente sem risco. Portando o 
investimento escolhido deve proporcionar um retorno superior ao que seria 
obtido nesta aplicação sem risco. 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 -24 - 
 
Para um Valor Atual Líquido positivo o investimento poderá ser atrativo, se nulo 
torna-se indiferente o seu aproveitamento. Por outro lado se o VPL for negativo 
fica caracterizado que o empreendimento é inviável. 
No exemplo anterior, nas colunas do fluxo acumulado dos três projetos (A,B,C), 
todos os VPL são positivos, mostrando que os projetos podem ser atrativos. 
Neste caso a escolha recai sobre o projeto de maior VPL, ou seja, o projeto “B” 
é a melhor opção. 
Note que este método (VPL) apresenta um resultado diferente do método 
anterior (PBD). A escolha final depende de uma melhor avaliação, através de 
outros métodos, como veremos a seguir. 
 
VPL = Σ VP – Investimento Inicial = Último VP Acumulado 
 
4.1.3 – Valor Uniforme Líquido (VUL): 
Também conhecido como Método do Valor Presente Líquido Anualizado 
(VPLA), trata-se de uma variação do VPL. Neste caso transformamos o fluxo 
de caixa em uma série uniforme de pagamentos postecipados. 
 
VUL = VPL x ( 1 + i ) nx i 
 ( 1 + i ) n - 1 
Para os mesmos projetos anteriormente citados, os Valores Uniformes Líquidos 
seriam: 
 
▪ VUL A = 1313 x ( 1,10 ) 5 x 0,10 = 346,37 
 (1,10 ) 5 - 1 
▪ VUL B = 5263 x ( 1,10 ) 5 x 0,10 = 1.388,37 
 (1,10 ) 5 - 1 
▪ VUL C = 2038 x ( 1,10 ) 5 x 0,10 = 537,61, o melhor projeto é o “B”. 
 (1,10 ) 5 - 1 
 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
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 -25 - 
 
4.1.4 -Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR): 
É a taxa média que torna nulo o valor atual do fluxo de caixa, quando cada um 
de seus componentes é descontado. 
O projeto se torna viável quando a taxa interna de retorno for maior que a taxa 
mínima de atratividade. 
Este cálculo sendo executado manualmente é feito por tentativa e acerto de 
forma iterativa, estimando-se a taxa que em função dos resultados deve ser 
novamente estimada. Por exemplo: 
 
 200 200 200 200 200 200 
 
 
 
 1.000 
Período Investimento Retornos 
0 1.000 / ( 1+ i ) 0 
1 200 / ( 1 + i ) 1 
2 200 / ( 1 + i ) 2 
3 200 / (1 + i ) 3 
4 200 / ( 1 + i ) 4 
5 200 / ( 1 + i ) 5 
6 200 / ( 1 + i ) 6 
Total ??????? ??????? 
 
Matematicamente teríamos: 
VPL = -1.000 + (200 / (1 + i) 1) + (200 / (1 + i) 2) + ………+ (200 / (1 + i) 6) = 0 
▪ Usando uma calculadora financeira HP-12C, obtemos i = 5,472 %. 
 
F CLX 
 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
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 -26 - 
 
1000 CHS g CFo 
 
200 g CFj 
 
200 g CFj 
 
200 g CFj 
 
200 g CFj 
 
200 g CFj 
 
200 g CFj 
 
 f IRR 5,472 
 
 
 
▪ Ou usando menos entradas de dados na HP-12C: 
 
F CLX 
 
1000 CHS g Cfo 
 
200 g CFj 
 
6 g Nj 
 
 f IRR 5,472 
 
Estamos, portanto, tomando valores futuros fixos e trazendo-os a data zero, 
descapitalizando estes valores a uma taxa “i”. Quanto maior for o “i”, necessário 
para tornar o VPL igual a zero, maiores terão sido os retornos no futuro 
(valores futuros), provando assim que melhor terá sido o negócio. 
Não devemos esquecer a importância da comparação com a taxa mínima de 
atratividade do mercado (TMA), pois o projeto só será considerado viável se a 
TIR for maior que a taxa oferecida pelo mercado (TMA), para uma aplicação 
supostamente sem risco ou de riscos mínimos. 
 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 -27 - 
 
4.1.5 – Projeto Combinado: 
Quando trabalhamos com hipóteses de projetos que se caracterizam por 
investimentos iniciais diferentes, podemos ter projetos distintos sendo 
apontados como melhores soluções, ao mesmo tempo. Neste caso não 
saberíamos qual das opções apontadas seria a melhor. 
Os métodos do VPL e VUL consideram, implicitamente, as diferenças nos 
investimentos iniciais, o mesmo não acontecendo com a TIR, que alem deste 
fato não considera o valor temporal do dinheiro. Estas particularidades 
provocam o sentido dúbio da escolha, tornando-se necessário checar as 
distorções dos resultados. 
Faremos um exemplo completo, aplicando toda a metodologia discutida até o 
momento, onde, para três opções distintas de investimentos (projetos A, B, C – 
anteriormente citados), se faz necessária a aplicação de uma metodologia 
complementar chamada “Projeto Combinado”. 
 
ANO PROJETO “A” PROJETO “B” PROJETO “C” 
0 (42.000) (50.000) (20.000) 
1 9.000 20.000 9.000 
2 9.000 10.000 5.000 
3 10.000 11.000 6.000 
4 15.000 16.000 4.000 
5 16.000 15.500 4.000 
 
 PROJETOS 
 A B C 
N 4 4 4 
FA n (8.622) (4.361) (446) 
FA n+1 1.313 5.263 2.038 
PBD 4,87 4,45 4,18 
 
➢ O método do Pay-Back Descontado aponta para o projeto “C” como a 
melhor opção; 
➢ Os métodos do VPL e VUL apontam para o projeto “B”, como a 
melhor opção; 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
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 -28 - 
 
➢ Se calcularmos a TIR de cada projeto teremos: 
 
 FLUXO FLUXO FLUXO 
N A B C 
0 (42.000) (50.000) (20.000) 
1 9.000 20.000 9.000 
2 9.000 10.000 5.000 
3 10.000 11.000 6.000 
4 15.000 16.000 4.000 
5 16.000 15.500 4.000 
TIR 11,09% 14,16% 14,58% 
 
➢ O método da TIR demonstra que os três projetos, se comparados à taxa 
mínima de atratividade (TMA = 10% - vide página 19), são viáveis, pois 
todos apresentam a TIR maior que a TMA proposta. Porem é necessário 
que se escolha o melhor resultado entre os encontrados, o que aponta 
para o projeto de maior TIR, ou seja, o projeto “C”; 
➢ Em função das divergências de resultados e das demais considerações 
anteriormente propostas, faremos uso do Projeto Combinado, aplicado 
aos projetos escolhidos pelos métodos anteriores (B e C); 
➢ Fixamos o projeto de menor investimento inicial entre os escolhidos, o 
projeto “C”, e criamos um novo projeto (Projeto TMA) com investimento 
inicial igual à diferença entre os investimentos dos projetos escolhidos 
(50.000 – 20.000 = 30.000) e taxa igual à taxa mínima de atratividade; 
➢ As parcelas de retorno nos 5 (cinco) anos seguintes serão calculadas 
como uma prestação de uma série uniforme de pagamentos 
postecipados, ou seja: 
 
 f CLX 
 
30.000 PV 
 
 10 I 
 
 5 N 
 
 
 PMT (7.913,92) 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
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 -29 - 
 
 
 
➢ Assim o cálculo será executado conforme a tabela a seguir, onde 
cada parcela do projeto combinado será a soma da parcela do 
projeto “C” com a do projeto TMA, para cada respectivo período, ou 
seja: 
 
N PROJETO PROJETO PROJETO 
 C TMA COMBINADO 
0 (20.000,00) (30.000,00) (50.000,00) 
1 9.000,00 7.913,92 16.913,92 
2 5.000,00 7.913,92 12.913,92 
3 6.000,00 7.913,92 13.913,92 
4 4.000,00 7.913,92 11.913,92 
5 4.000,00 7.913,92 11.913,92 
TIR 14,58% 10,00% 11,68% 
 
➢ Como a nova TIR encontrada é menorque a do projeto “B”, o projeto 
“B” permanece como o escolhido. 
 
4.1.6 – Projeto Incremental (Intersecção de Fischer): 
Sempre que a maior TIR calculada for referente ao projeto de menor 
investimento inicial, podemos adotar outra metodologia onde criaremos uma 
nova opção de investimento, que deverá ser combinada com o projeto de 
menor investimento (projeto “C”), dando como resultado o segundo projeto 
apontado como opção de investimento em outros métodos. Assim teremos: 
 
 
N PROJETO PROJETO PROJETO 
 C INCREMENTAL B 
0 (20.000,00) (30.000,00) (50.000,00) 
1 9.000,00 11.000,00 20.000 
2 5.000,00 5.000,00 10.000 
3 6.000,00 5.000,00 11.000 
4 4.000,00 12.000,00 16.000 
5 4.000,00 11.500,00 15.500 
TIR 14,58% 13,93% 14,16% 
 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 -30 - 
 
 
Se optássemos pela opção “C”, com maior TIR, teríamos que aplicar a 
diferença num investimento que rendesse no mínimo 13,93%, para que ele se 
equivalesse ao investimento “B”. Como supomos que a empresa tem como 
outra opção a TMA de 10%, para aplicar a diferença de investimentos, 
verificamos que este retorno é inferior ao desejado. Portanto a escolha 
novamente recai sobre o projeto “B”. 
 
 
 
 VPL 
 
 
 
 
 
 
 
 C 
 
 B 
 
 
 
 
 
 0 13,9 14,1 14,3 14,5 14,7 TIR 
 
 
 
 
 
 
➢ No ponto de intersecção VPL i = 0, pois pelo método incremental 
 
 
 
 VPLB – VPLC = VPL i, e neste ponto VPLB = VPLC. 
 
 
 
➢ Onde VPL i = Valor Presente Líquido do Projeto Incremental. 
 
 
4.1.7 – Projetos com Horizontes Diferentes: 
INTERSECÇÃO 
DE FISCHER 
TIR = 13,9% 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 -31 - 
 
Todos os projetos estudados até o momento, possuem o mesmo tempo de 
duração, os mesmos horizontes de planejamento. No entanto, podemos ter 
tempos de duração diferentes para cada projeto, o que exige a determinação 
de horizontes idênticos e, posteriormente, a análise de viabilidade. 
A identidade de horizontes é alcançada com o cálculo do mínimo múltiplo 
comum entre os tempos distintos dos projetos em questão. Vejamos o exemplo 
a seguir: 
N PROJETO PROJETO 
 A B 
0 (12.000,00) (20.000,00) 
1 5.600,00 6.900,00 
2 5.600,00 6.900,00 
3 5.600,00 6.900,00 
4 - 6.900,00 
VALOR RESIDUAL 3.000,00 4.000,00 
 
 
M.M.C = 4 x 3 = 12 Anos 
(Novo tempo de análise) 
 
 
 
 
 
Assim teremos a nova configuração: 
 
 
 
 
N PROJETO PROJETO "A" PROJETO PROJETO "B" 
 "A" ACUMULADO "B" ACUMULADO 
0 (12.000) (12.000) (20.000) (20.000) 
1 5.600 5.600 6.900 6.900 
2 5.600 5.600 6.900 6.900 
3 5.600+3.000+(12.000) (3.400) 6.900 6.900 
4 5.600 5.600 6.900+4.000+(20.000) (9.100) 
5 5.600 5.600 6.900 6.900 
6 5.600+3.000+(12.000) (3.400) 6.900 6.900 
7 5.600 5.600 6.900 6.900 
 
IPOG – Matemática Financeira 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 -32 - 
 
8 5.600 5.600 6.900+4.000+(20.000) (9.100) 
9 5.600+3.000+(12.000) (3.400) 6.900 6.900 
10 5.600 5.600 6.900 6.900 
11 5.600 5.600 6.900 6.900 
12 5.600+3.000 8.600 6.900+4.000 10.900 
 
 
Analisando os projetos, segundos os fundamentos da análise de investimentos, 
à taxa de 10% a.a, obtemos os seguintes resultados: 
 
N PROJETO "A" VPLA VPLA PROJETO "B" VPLB VPLB 
 ACUMULADO ACUMULADO ACUMULADO ACUMULADO 
0 (12.000) (12.000) (20.000) (20.000) 
1 5.600 5.091 (6.909) 6.900 6.273 (13.727) 
2 5.600 4.628 (2.281) 6.900 5.702 (8.025) 
3 (3.400) (2.554) (4.835) 6.900 5.184 (2.841) 
4 5.600 3.825 (1.011) (9.100) (6.215) (9.056) 
5 5.600 3.477 2.467 6.900 4.284 (4.772) 
6 (3.400) (1.919) 547 6.900 3.895 (877) 
7 5.600 2.874 3.421 6.900 3.541 2.664 
8 5.600 2.612 6.033 (9.100) (4.245) (1.581) 
9 (3.400) (1.442) 4.592 6.900 2.926 1.345 
10 5.600 2.159 6.751 6.900 2.660 4.005 
11 5.600 1.963 8.713 6.900 2.418 6.424 
12 8.600 2.740 11.454 10.900 3.473 9.897 
TIRA 27,43% TIRB 19,49% 
 
 
 
 
 
Bibliografia Básica 
 
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada: método 
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