EXERCICIOS TOPICOS A VANÇADO EM ENGENH

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Engenharia econômica
Autor 
João Carlos Barreto 
Apresentação
A necessidade por melhores resultados tem feito as empresas, cada vez mais, buscarem
alternativas para a redução de custo ou o aumento de receita. Para isso, são analisados os
processos de produção, logística e vendas, entre tantas outras atividades. Contudo, apenas a
questão operacional pode não ser suficiente para se alcançar o objetivo proposto, o que torna
fundamental outro aspecto muitas vezes esquecido por boa parte das empresas: o uso
adequado dos recursos financeiros.
A aplicação do dinheiro, seja em uma fábrica ou em qualquer outro ambiente dentro da empresa,
passa por uma análise financeira a fim de se identificar a melhor decisão em fluxo de caixa e
investimento, entre outras opções disponíveis. Sob o ponto de vista de uma fábrica, é nesse
momento que se apresenta a importância da engenharia econômica nos negócios, sendo capaz
de definir a abertura ou o fechamento de uma fábrica, o investimento em uma nova máquina ou a
ampliação de uma linha de produção etc.
Assim, se é possível afirmar que as empresas são grupos de trabalho (áreas) interligados por um
objetivo comum, é possível também afirmar que a engenharia de produção, a administração e
qualquer outra área estão associadas à matemática financeira, fazendo com o que os gestores
tenham ainda mais necessidade de conhecer as diversas opções para se analisar cenários
operacionais e também financeiros.
O entendimento sobre risco e retorno1
Com a decadência da economia inglesa, até então a mais importante do mundo, os Estados
Unidos da América apresentaram forte crescimento da última década do século XIX até o final
dos anos 1920, quando o país adquiriu o status de maior economia do mundo. Não à toa, a
moeda americana passou a ser a mais utilizada anos depois, sendo a referência do mercado
internacional até os dias atuais.
O rápido crescimento do produto nacional americano, aliado à sua extensão territorial, gerou a
necessidade de uma eficiente infraestrutura de transporte no país. Aproveitou-se, logicamente, a
experiência em transporte ferroviário desenvolvida na antiga metrópole.
Com isso, houve a necessidade de análise de investimento mais adequada para os diversos
projetos e objetivos que se apresentavam. Assim, os primeiros trabalhos sobre engenharia
econômica foram elaborados nos Estados Unidos no final do século XIX, voltados para a análise
de viabilidade econômica de projetos ferroviários.
Desde então, os projetos de investimento realizados tanto por pessoas jurídicas como por
pessoas físicas passaram a utilizar os conceitos fundamentais de engenharia econômica.
Segundo Nakano (1967), a engenharia econômica procura conciliar a eficiência tecnológica –
objeto de estudo da engenharia – com a eficiência econômica, objeto de estudo da economia.
Resumidamente, de acordo com a teoria econômica, investir é abrir mão de um consumo no
presente por um consumo maior no futuro. Esse conceito envolve a utilização de recursos em
épocas diferentes. Pode haver, ainda, séries com recebimentos parciais ou pagamentos
parcelados, resultando na consideração de recursos em várias datas.
Os conceitos de engenharia econômica são importantes na decisão de viabilidade de projetos de
investimento. Para tanto, são utilizadas técnicas de matemática financeira, que usam taxas de
juros, de desconto e fatores de capitalização, necessários para comparar o valor do dinheiro
aplicado e/ou recebido em uma determinada data com os recebimentos e os pagamentos
observados em diversos períodos.
A engenharia fornece o instrumental matemático básico para trabalhar, enquanto a economia
proporciona o ferramental necessário para tratar do futuro da forma menos arriscada. Assim,
conseguimos avaliar os projetos de investimento da maneira mais eficiente possível.
Introdução
Um sistema monetário sempre remete à moeda, a qual traduz a riqueza (acumulação) de uma
pessoa ou de uma empresa. É resultado das políticas impostas pelo governo que rege cada país
e da volatilidade do mercado. Assim, para a acumulação das riquezas, há uma série de
investimentos acompanhados das incertezas e dos riscos envolvidos.
Considerando a diversidade de opções e a variabilidade de cada investimento, é fundamental
uma série de definições para o próprio risco e o retorno pretendido, sendo necessários o
entendimento das teorias existentes e a sua aplicação. Diante de um cenário em constante
mudança, arriscar é inerente às atividades das empresas e das pessoas, causando impacto
positivo ou negativo ao longo do tempo. Então, não basta saber os métodos disponíveis, é
necessário saber aplicá-los no momento oportuno, e isso passa pela interpretação adequada
dos cenários apresentados.
Videoaula - Risco e retorno
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Em 1808, houve no Brasil o denominado Acordo dos Portos, um tratado envolvendo Portugal e
Inglaterra, o que permitiu ao Brasil ter relações comerciais com outros países, saindo da
tradicional exclusividade portuguesa, talvez o passo fundamental para o desenvolvimento
econômico brasileiro. Nessa época, o país também virou comprador e começou a adquirir itens
como produtos têxteis e maquinários.
Essa compra e venda envolvia um sistema monetário, que evoluiu ao longo dos anos, mas pode
ser separado em três fases:
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Fase 1: as relações comerciais eram realizadas pelos recursos naturais de cada país. Nesse momento, o escambo era
algo comum na tratativa de compra e venda de mercadorias entre os países.
Fase 2: as relações comerciais se expandem e há uma compra e venda das necessidades de cada país, não apenas de
recursos naturais. Pode ou não haver um sistema monetário (moeda) envolvido.
Fase 3: as relações comerciais consideram fatores como imperfeição do mercado local, oportunidade de negócio,
atuação governamental etc., gerando para as empresas multinacionais novas parcerias e aquisições. Há um sistema
monetário internacional definido.
Assim, o ouro e as moedas passaram, ao longo do tempo, a ser um investimento adotado por
empresas e pessoas que buscam maior rendimento ao seu patrimônio. Com o tempo, outros
investimentos surgiram e, com eles, o risco inerente.
As relações comerciais eram realizadas pelos recursos naturais de cada país. Nesse momento, o
escambo era algo comum na tratativa de compra e venda de mercadorias entre os países.
Fase 1
As relações comerciais se expandem e há uma compra e venda das necessidades de cada país,
não apenas de recursos naturais. Pode ou não haver um sistema monetário (moeda) envolvido.
Fase 2
As relações comerciais consideram fatores como imperfeição do mercado local, oportunidade de
negócio, atuação governamental etc., gerando para as empresas multinacionais novas parcerias
e aquisições. Há um sistema monetário internacional definido.
Fase 3
- Gerenciar riscos é iterativo e auxilia as organizações no estabelecimento de estratégias, no alcance de objetivos e na
tomada de decisões fundamentadas.
- Gerenciar riscos é parte da governança e liderança, e é fundamental para a maneira como a organização é gerenciada
em todos os níveis. Isto contribui para a melhoria dos sistemas de gestão.
- Gerenciar riscos é parte de todas as atividades associadas com uma organização e inclui interação com as partes
interessadas.
- Gerenciar riscos considera os contextos externo e interno da organização, incluindo o comportamento humano e os
fatores culturais (ABNT, 2018, p. 5).
Segundo a norma, gerenciar riscos trata de um conjunto de ações baseadas em princípios que
podem ou não estar dentro das empresas, mas que colaboram para o aumento da eficiência e
eficácia, demonstrando como o risco é inerente à atividade de uma empresa e como ele pode
contribuir em ganho ou perda ao longo do tempo.
Figura 1 – Análise de risco e retorno.
Fonte: elaborado pelo autor (2021).Esse cenário apresenta a correlação positiva entre o aumento do risco e o aumento da
necessidade de análise de retorno. No ambiente financeiro, é comum isso acontecer com os
investimentos mais agressivos, que podem gerar maiores rendimentos ao patrimônio.
Diante do contexto apresentado, as grandes e médias empresas costumam praticar a gerência
de riscos, o que pode proporcionar, ao longo do tempo, maior proteção ao investimento,
reduzindo ou até eliminando incertezas que as demais empresas (MPEs) podem não perceber.
No sistema financeiro, os bancos atuam como intermediadores financeiros, portanto, realizam operações de
empréstimos e depósitos. Quando emprestam dinheiro, os bancos correm o risco de não receberem o retorno da outra
parte envolvida. Sendo assim, para que o prejuízo não seja de grande escala, eles definem taxas de juros. Ao atrelar a
taxa de juros ao empréstimo, o banco passa a viver segundo a afirmação de que quanto maior o risco, maior o ganho
(ARAI, 2015, p. 58).
Matemática financeira e sua importância1.1
A matemática financeira é um conjunto de técnicas destinadas a estudar o valor do dinheiro no
tempo. Podemos observar facilmente que, com R$ 100,00 que temos hoje, compramos menos
bens do que comprávamos um ano atrás, e é bem provável que a mesma situação aconteça
daqui a um ano. Portanto, não é possível comparar o dinheiro de hoje com o do ano anterior, nem
com o do ano seguinte.
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Figura 2 – Matemática financeira.
Fonte: sesame / istock.com
Essa observação é importante tanto para pessoas físicas quanto jurídicas, no sentido de
organizar a vida financeira e descobrir que é possível liberar recursos para investir.
Esse processo é chamado de planejamento financeiro e ajuda a responder às seguintes perguntas:
De onde vem e para onde vai o dinheiro?
Por que investir?
Deve-se manter as aplicações ou pagar dívidas assumidas no passado?
Como selecionar os objetivos?
Quais são as opções de investimentos?
Cabe lembrar que investimentos são aplicações de recursos que geram renda ou retorno ao
detentor deles. Por exemplo, a compra de um imóvel que será utilizado como moradia não deve
ser considerada um investimento, uma vez que não gera renda. Pelo contrário, é um bem que
gera gastos, como manutenção, impostos, limpeza etc. Investimento é aquele imóvel adquirido
para ser alugado, pois, nesse caso, está cobrindo os custos de manutenção e agregando renda
ao aplicador dos recursos. Da mesma forma, um automóvel não é um investimento e sim um
produto de consumo, uma vez que seu valor se deprecia e envolve a necessidade de gastos
futuros de manutenção, não gerando retorno financeiro ao comprador.
Vamos imaginar uma situação bastante simples, relacionada ao nosso cotidiano: um amigo pede
um empréstimo de R$ 1.000,00 para você hoje, prometendo devolver igual quantia daqui a um
ano. O que você acha?
Algumas dúvidas podem surgir, como:
Será que ele vai pagar?
O poder de compra dos R$ 1.000,00 daqui a um ano será o mesmo?
Se eu aplicar os R$ 1.000,00 hoje na caderneta de poupança, qual seria o rendimento?
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Cabe observar, nessa situação, três fatores que influenciam o valor do dinheiro no tempo:
a. Risco de crédito – relacionado à capacidade de pagamento desse empréstimo daqui a um ano pelo seu amigo.
b. Inflação – aumento generalizado e persistente dos preços dos bens e dos serviços na economia, alterando o poder de compra
do dinheiro.
c. Taxa real de juros – em função dos fatores anteriores, é normal que você cobre um valor adicional para se precaver do risco
de crédito e da inflação. Esse valor é chamado de juro, que deve incluir a reposição do poder de compra do dinheiro e mais
um prêmio pelo risco de crédito. A taxa real de juros é justamente um percentual equivalente a esse prêmio que deve ser
acrescentado à recomposição do valor perdido pela inflação. No nosso exemplo, a recomposição poderá ser obtida pelo
rendimento da caderneta de poupança ou pela variação de índices de inflação (IPCA).
Diante desse cenário, o empréstimo pode ou não ser realizado, dependendo do tipo de análise e
de outras variáveis que não existem em uma operação formal, mas que podem acontecer quando
há um relacionamento interpessoal. Independentemente da decisão, trata-se de uma operação
financeira.
Toda operação financeira envolve um fluxo de recursos no tempo, denominado fluxo de caixa.
Essa operação financeira pode ser uma aplicação de recursos com a finalidade de se obter um
rendimento futuro ou uma captação de recursos que deverão ser devolvidos (recursos de
terceiros: empréstimos, fornecedores etc.) ou remunerados adequadamente (recursos próprios)
no futuro.
Assim, os objetivos da matemática financeira são:
transformar fluxos de caixa em diversos períodos em outro equivalente, com aplicação das taxas de juros de cada
período, considerando o valor do dinheiro no tempo; e
possibilitar a análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa para uma mesma operação.
Será que ele vai pagar?
O poder de compra dos R$ 1.000,00 daqui a um ano será o mesmo?
Se eu aplicar os R$ 1.000,00 hoje na caderneta de poupança, qual seria o rendimento?
Fluxo de caixa1.2
Fluxo de caixa é a movimentação de recursos originada de uma operação financeira, ou seja, as
entradas e saídas de recursos do caixa de uma pessoa física ou jurídica, ao longo do seu prazo
de duração. Toda operação financeira pode ser representada pelo seu fluxo de caixa.
Figura 3 – Fluxo de caixa
Fonte: elaborado pelo autor 
0 = momento do início do projeto. Nesse caso, uma entrada em caixa (empréstimo
bancário – recursos de terceiros – ou aporte de capital dos acionistas – recursos
próprios). No caso de uma saída de caixa, estaria representado por uma seta para
baixo (um investimento ou uma aplicação de recursos). 
↑ = entradas (sinal +): receitas. 
↓ = saídas (sinal -): despesas. 
+ e - = os sinais indicam movimentos opostos, importantes na utilização da
calculadora financeira HP 12C ou do Excel, que deverá reconhecer um fluxo de caixa,
isto é, uma movimentação de recursos que envolve entradas e saídas de dinheiro.
A calculadora financeira HP 12C acumula informações na função financeira que, a partir de certa
quantidade, atrapalham os cálculos. Nesse caso, após a utilização de uma série de cálculos,
recomendamos sempre a utilização da função limpeza da memória financeira, como segue:
Pressionar a função amarela f.
Pressionar a tecla FIN (função branca x><y).
Dessa forma, limpamos os dados dos registros financeiros.
A calculadora financeira HP 12C realiza cálculos com duas até nove casas decimais. Para efeito
de maior precisão, recomendamos a utilização de nove decimais. Para o estabelecimento desse
número, procedemos da seguinte maneira:
Pressionar a função amarela f.
Escolher o número de casas desejado no teclado numérico.
Assim, o número de casas decimais aparecerá no visor, após a vírgula.
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A calculadora financeira HP 12C é adaptada às convenções norte-americanas e, portanto, o
ponto separa os números inteiros das casas decimais. A vírgula é utilizada para separar os
milhares nos números inteiros. Para inverter essas funções (ponto e vírgula) e adaptá-las às
convenções brasileiras, realizamos a seguinte operação:
Com a máquina desligada, pressionamos a tecla ponto.
Em seguida, ligamos a máquina na tecla ON e soltamos a tecla ponto.
Aparecerá no visor 0,0000..., e as funções (ponto e vírgula) foram invertidas, de acordo com as convenções brasileiras.
n = períodos de tempo: ano, semestres, trimestres, meses e dias. No mercado financeiro, é utilizado o
ano comercial com 360 dias e não o ano-calendário com 365 dias. Assim, um ano comercial é composto
por 2 semestres de 180 dias, 4 trimestres de 90 dias e 12 meses de 30 dias cada.
Posição END – Na calculadora HP 12C, essa posição é acionadamediante o seguinte
procedimento:
Função azul – tecla g.
Tecla END – correspondente à tecla branca de número 8. Note que a palavra END está escrita em azul na parte inferior
da tecla.
Os valores que ocorrem ao longo dos intervalos dos períodos são representados nos finais dos
respectivos períodos. São, portanto, séries denominadas postecipadas. Graficamente, essa
posição pode ser assim demonstrada:
Figura 4 – Demonstração das funções financeiras – exemplo 1.
Fonte: Assaf Neto (2012). 
Apresenta as funções financeiras.
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Posição BEGIN – Na calculadora HP 12C, essa posição é acionada mediante o seguinte
procedimento:
Função azul – tecla g.
Tecla BEG – correspondente à tecla branca de número 7. Note que a palavra BEG está escrita em azul na parte inferior
da tecla.
Os valores que ocorrem ao longo do intervalo dos períodos podem ser representados nos inícios
dos respectivos períodos. Nesse caso, as séries são denominadas antecipadas.
PV: present value: valor presente – principal – capital – investimento inicial.
FV: future value: valor futuro – montante – valor de resgate.
PMT: prestações, pagamentos ou parcelas intermediárias de valores iguais.
i: taxa de juros, sempre utilizada nas fórmulas sob a forma de número decimal.
Capitalização dos valores = quando o PV é levado ao futuro com uma determinada taxa de juros
para ser comparado com o FV. Nesse caso, o valor presente está sendo capitalizado.
Desconto de valores = quando o FV é trazido ao presente com uma determinada taxa de juros
para ser comparado com o PV. Nesse caso, o valor futuro está sendo descontado.
Videoaula - Os juros
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Juro1.3
O juro (J) é a diferença entre o dinheiro emprestado ou aplicado no presente e o cobrado ou
obtido no futuro. Portanto:
J = FV – PV
A taxa de juros (i) refere-se ao percentual ou aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros
para cada centésima parte do capital. Portanto:
J = PV × i
É importante observar que a taxa de juros (i) e o número de períodos do fluxo de caixa (n) devem
estar sempre na mesma base, ou seja, taxa mensal para períodos mensais, taxa anual para
períodos anuais etc.
São utilizados dois regimes de juros em matemática financeira:
a) Juros simples
Juros do período calculados sobre o capital inicial aplicado (principal). Esse regime é pouco
utilizado no mercado financeiro brasileiro, sendo atualmente considerado apenas em operações
de desconto de duplicatas.
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Os juros acumulados ao longo dos períodos não rendem, apesar de ficarem retidos pela
instituição financeira. O crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é linear, ou seja, comporta-
se de acordo com uma progressão aritmética.
No conceito de juros simples, a taxa de juros é calculada sempre sobre o capital inicial, ou o
principal, ou ainda o valor presente (PV), durante todo o período de capitalização da operação
financeira, mediante a utilização da seguinte fórmula:
J = PV × i × n
Em que
PV: valor presente (principal);
J: juros acumulados até o final de n períodos de capitalização;
i: taxa de juros empregada por período de capitalização; e
n: número de períodos capitalizados.
O valor obtido após o término do período de capitalização é chamado de montante, ou valor
futuro (FV), calculado da seguinte forma:
FV = PV + J
Combinando as duas fórmulas anteriores, temos a equação geral dos juros simples:
FV = PV × (1 + i × n)
Exemplo: qual o montante equivalente a R$ 1.000,00, capitalizados a 8% ao ano, durante quatro
anos?
Solução 1: extrai-se do enunciado diretamente que:
PV = 1.000;
i = 8% ao ano ou 0,08; e
n = 4 anos.
Note-se que a taxa de juros (i) e o período de capitalização (n) estão na mesma base, isto é, em
anos.
Logo, podemos iniciar os cálculos usando as duas primeiras fórmulas e, assim, teremos:
J = PV × i × n 
J = 1.000 × 0,08 × 4 = 320
e
FV = PV + J 
FV = 1.000 + 320 = 1.320
Resposta 1: o montante é de R$ 1.320,00.
Solução 2: usando, agora, a equação geral, temos:
FV = PV × (1+ i × n) 
FV = 1.000 × (1+ 0,08 × 4) 
FV = 1.000 × (1,32) 
FV = 1.320
Resposta 2: o montante é de R$ 1.320,00.
Solução alternativa: os exercícios de juros simples podem ser resolvidos com o auxílio da
calculadora financeira HP 12C. Contudo, não recomendamos o uso dela nesses casos, uma vez
que são necessárias mais etapas do que as realizadas pela solução matemática normal,
mediante o uso das fórmulas. Vejamos o exercício anterior resolvido com o auxílio da HP 12C:
1.000 CHS PV – muda o valor atual para negativo e armazena em PV.
8 – devemos entrar com a taxa em percentual ao ano.
Pressionamos i.
4 ENTER – devemos entrar com o tempo em dias.
360 × - (4 × 360).
Pressionamos n.
f INT – f é a função amarela, e INT está grafado em amarelo acima da tecla i (função branca). Com esse comando, a
calculadora apresentará, no visor, o valor dos juros: 320.
Para obtermos a resposta da questão, lembramos que:
FV = PV + J 
FV = 1.000 + 320 = 1.320
Resposta: o montante é de R$ 1.320,00.
Para melhor entendimento, mostramos a forma de cálculo dos juros simples considerando
algumas informações preestabelecidas. Observe que o juro (J), destacado na terceira coluna, é
sempre calculado sobre o capital inicial em todos os períodos considerados.
Tabela 1 – Cálculo de juros simples (em R$).
Ano Saldo inicial Juros do ano Saldo final
0 1.000,00
1 1.000,00 80,00 1.080,00
2 1.000,00 80,00 1.160,00
3 1.000,00 80,00 1.240,00
4 1.000,00 80,00 1.320,00
Fonte: Assaf Neto (2012). 
Apresenta o comportamento do juro simples.
O pagamento dos juros pode ocorrer anualmente ou, como é mais comum, no final do prazo de
capitalização. Nesse caso, o fluxo de caixa é o seguinte:
Figura 5 – Exemplo de fluxo de caixa.
Fonte: Assaf Neto (2012). 
Apresenta um fluxo de caixa.
Graficamente, podemos observar que o juro calculado pelo sistema de juros simples apresenta
um comportamento linear, conforme demonstrado a seguir:
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Figura 6 – Juros simples – comportamento
linear.
Fonte: Assaf Neto (2012). 
Apresenta o comportamento do juro simples.
É preciso ainda destacar as taxas proporcionais, assim denominadas porque os valores formam
uma proporção direta ao tempo e são reduzidos à mesma unidade, ou seja, proporcionalidade.
Sendo i a taxa de juro relativa a um período e i a taxa proporcional que queremos determinar,
relativa à fração 1/k do período, temos:
k
Exemplo: supondo que um problema envolva o cálculo de uma taxa (i) anual para um período (n)
mensal, calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.
Solução: lembrando que, no cálculo, deve ser considerado o ano comercial com 12 meses de 30
dias cada, temos:
i = 30% a.a.
k = 12 meses = fração do ano.
Portanto, aplicando diretamente a fórmula, temos:
i = ��⁄�� 
i = 2,5%
mês
mês
Resposta: a taxa proporcional a 30% ao ano é de 2,5% a. m.
Exercício resolvido
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Uma fábrica tomou um empréstimo de R$ 4.200,00 junto a uma instituição financeira no modelo
regime de juros simples, calculados com base no ano comercial e 28% a. a. Se a fábrica se
mantiver durante 16 dias com o valor, quais os juros cobrados?
Esse exercício pode ser resolvido de duas formas:
Solução 1: extraindo-se os dados a seguir do enunciado, temos:
PV = 4.200.
i = 28% ao ano.
n = 16 dias.
Note que a taxa de juros está em ano e o período de capitalização está em dias. Devemos, então,
transformar a taxa de juros de anual em diária, utilizando a relação das taxas proporcionais, da
seguinte forma:
Ou seja, lembrando que o problema se refere ao ano comercial:
i = 0,07778% ao dia.k
Agora sim podemos usar a fórmula do cálculo dos juros simples:
J = PV × i × n
Substituindo os valores numéricos na equação e lembrandoque a taxa de juros deve ser
considerada em números decimais, ou seja, 0,07778% dividido por 100 é igual a 0,0007778,
temos:
J = 4.200 × 0,0007778 × 16 
J = 4.200 × 0,0124448 
J = 52,27
Resposta: os juros cobrados pelo banco foram de R$ 52,27.
Solução 2: usando as informações do enunciado, temos:
PV = 4.200;
i = 28% ao ano = 0,07778% ao dia; e
n = 16 dias.
Considerando a fórmula: FV = PV × (1 + i × n), vamos substituir os dados do problema:
FV = 4.200 × (1 + 0,0007778 × 16) 
FV = 4.200 × (1 + 0,0124448) 
FV = 4.200 × 1,0124448 
FV = 4.252,27
Como FV = PV + J, temos que: J = FV – PV.
Portanto: J = 4.252,27 – 4.200,00 = 52,27.
Resposta: os juros cobrados pelo banco foram de R$ 52,27.
b) Juros compostos
São os juros do período calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período. Com
exceção do desconto bancário, todas as demais operações financeiras no mercado nacional
utilizam esse regime.
Os juros acumulados ao longo dos períodos, quando retidos pela instituição financeira, são
capitalizados e também rendem juros. O crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é
exponencial, ou seja, comporta-se de acordo com uma progressão geométrica.
No conceito de juros compostos, o juro é calculado no final de cada período e é incorporado ao
principal ou capital, passando assim a também render juros no próximo período. A partir da
fórmula de juros simples, podemos deduzir a seguinte fórmula para os compostos:
FV = PV × (1 + i)
Note que, para o primeiro período, o juro simples é igual ao juro composto.
n
Exemplo: qual o montante equivalente a R$ 1.000,00, capitalizados a 8% ao ano, agora no
conceito de juros compostos, durante quatro anos?
Solução: considerando que:
V = 1.000;
i = 8% ao ano ou 0,08; e
n = 4 anos.
Substituímos os valores na fórmula:
FV = PV × (1 + i)n
Temos:
FV = 1.000 × (1 + 0,08) 
FV = 1.000 × (1,3605) 
FV = 1.360,50
4
Resposta: o montante é igual a R$ 1.360,50.
O valor destacado, de 1,3605, é denominado fator de capitalização.
Observe que o montante calculado sob o regime de juros compostos é superior ao calculado sob
o regime de juros simples, uma vez que o juro de cada período é adicionado ao principal anterior
e capitalizado para compor o próximo principal.
Resolvemos a questão usando a solução matemática mediante a utilização da fórmula.
Poderíamos contar com o auxílio da calculadora financeira HP 12C e, por intermédio do
acionamento das teclas com função branca, localizadas na sua parte superior esquerda,
obteríamos a resposta de forma mais rápida.
Tabela 2 – Cálculo de juros compostos.
Ano Saldo inicial Juros do ano Saldo final
0 R$ 1.000,00
1 R$ 1.000,00 R$ 80,00 R$ 1.080,00
2 R$ 1.080,00 R$ 86,40 R$ 1.166,40
3 R$ 1.166,40 R$ 93,31 R$ 1.259,71
4 R$ 1.259,71 R$ 100,78 R$ 1.360,49
Fonte: Assaf Neto (2012). 
Apresenta o comportamento do juro composto.
Note que os juros, em cada período, equivalem a 8% do saldo devedor no início do mesmo
período. Dessa forma, o gráfico dos juros compostos apresenta um crescimento exponencial e
não linear como o comportamento dos juros simples.
Fórmulas de juros compostos
Da fórmula geral dos juros compostos, podemos extrair outras para o cálculo de cada uma das
variáveis consideradas:
Figura 7 – Fórmula – juros compostos.
Fonte: Assaf Neto (2012). 
Apresenta a fórmula do juro composto.
É importante notar que, de acordo com as propriedades da potenciação, a raiz n de um número
qualquer é igual a esse número elevado a 1/n. Essa operação, junto com os cálculos envolvendo
logaritmos, é facilmente executada na calculadora financeira HP 12C e no Excel. Além disso, a
calculadora HP 12C permite o cálculo de maneira ainda mais simples, utilizando a parte superior
esquerda de seu teclado, conforme mostrado a seguir.
Vamos usar, neste tópico, apenas as funções brancas. Observe que existem funções amarelas e
azuis, que usaremos mais adiante.
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Figura 8 – Funções HP 12C.
Fonte: elaborado pelo autor (2021). 
Apresenta a calculadora HP 12C.
Assim, o exemplo utilizado anteriormente pode ser resolvido de maneira mais simples:
Qual o montante equivalente a R$ 1.000,00, capitalizados a 8% ao ano, agora no conceito de juros
compostos, durante quatro anos?
Solução: considerando que:
PV = 1.000;
i = 8% ao ano ou 0,08; e
n = 4 anos.
Imputamos os dados na calculadora na seguinte ordem:
4 armazenamos na tecla n;
8 na tecla i;
1.000 – antes devemos trocar seu sinal apertando a tecla CHS;
e depois armazenamos na tecla PV; e
em seguida, acionamos a tecla FV para obter o resultado direto no visor:
https://objetos.institutophorte.com.br/PDF_generator/img/08.png
N i PV FV CHS
4 8 – 1.000 1.360,49
O resultado aparece positivo, uma vez que trocamos o sinal do PV e, assim, a calculadora
reconhece que se trata de um fluxo de caixa (entrada e saída).
Resposta: o montante é igual a R$ 1.360,50.
Exemplos das demais fórmulas:
a) Determinar o principal necessário para produzir um montante de R$ 1.000,00 no final de dois
anos, a uma taxa de 1,25% a. m., no regime de juros compostos.
Solução: o enunciado pede a determinação do PV (principal), sabendo que:
FV = 1.000;
i = 1,25% ao mês; e
n = 2 anos = 24 meses (mesma base da taxa i).
Portanto, usando a fórmula do PV, temos:
Logo:
Com o auxílio da calculadora HP 12C, armazenamos os dados na seguinte ordem sugerida:
1.000 CHS FV (não se esquecer de trocar o sinal).
1,25 i.
24 n.
Acionamos a tecla PV = 742,20 (aparece no visor). Note que a ordem de armazenamento não é
relevante.
n i PV FV
24 1,25 742,20 – 1.000,00
Resposta: o valor do principal solicitado na questão é de R$ 742,20.
b) Qual a taxa de juros mensal que faz um principal de R$ 1.000,00 se transformar num montante
de R$ 1.150,00, ao final de 10 meses, no regime de juros compostos?
Solução: nessa questão, é solicitada a taxa de juros i em termos mensais, sabendo que:
PV = 1.000;
FV = 1.150; e
n = 10 meses.
Portanto, utilizando a fórmula da taxa de juros i:
i = (FV/PV) – 1
Temos:
i = (1.150/1000) – 1 
i = (1.15) – 1 
i = 1,014074 – 1 
i = 0,014074
1/n
1/10
0,1
Transformando o resultado em percentual:
i = 0,014074 × 100 
i = 1,4074% ao mês
Na calculadora HP 12C, sugere-se o armazenamento na seguinte ordem:
1.150 CHS FV.
1.000 PV.
10 n.
Mudamos o sinal do FV, mas poderíamos mudar o do PV. O importante é que um dos dois valores
seja negativo para a calculadora identificar um fluxo de caixa.
Em seguida, acionamos a tecla i, e o seguinte valor aparece no visor: 1,4074.
Novamente, salientamos que a ordem de entrada dos dados na calculadora não é relevante,
como segue:
n I PV FV
10 1,4074% ao mês 1.000,00 -1.150,00
Resposta: a taxa de juros solicitada é de 1,4074% ao mês.
c) Se efetuarmos uma aplicação no mercado financeiro, em quantos anos o capital dobra se
conseguirmos uma taxa de 6% ao ano, no regime de juros compostos?
Solução: o objetivo, agora, é descobrir o número de períodos n necessários para dobrar um capital
qualquer a uma taxa de 6% ao ano. Assim, devemos estabelecer um capital inicial hipotético de
R$ 100,00, fácil de trabalhar, e determinamos que:
PV = 100;
FV = 200; e
i = 6% ao ano.
Dessa forma, podemos usar a fórmula do número de períodos n, como segue:
Logo:
O logaritmo, tanto do numerador quanto do denominador, deve estar na mesma base. Se
usarmos o logaritmo na base 10, teremos os seguintes valores:
A calculadora HP 12C utiliza logaritmo neperiano, isto é, na base “e”, em que o número irracional
“e” é igual a aproximadamente 2,718.... Portanto, os valores são:
Nos dois casos, o número de períodos n é igual a praticamente 12 anos.
Ao utilizar diretamente a calculadora HP 12C, sugerimos a seguinte ordem de entrada para
armazenamento dos dados:
100 CHS PV.
200 FV.
6 i.
Ao acionar a tecla n, aparecerá no visor o número de períodos n = 12 anos, que é justamente o
tempo em que um capital inicial dobra a uma taxa de 6% ao ano.
É importanteratificar que a ordem de entrada dos dados para armazenamento na calculadora HP
12C é irrelevante:
n i PV FV
12 anos 6,00 100,00 -200,00
Resposta: o número de períodos n que dobra qualquer volume de recursos aplicados a taxa de 6% ao
ano é de 12 anos.
No regime de juros compostos, o número de períodos n deve estar na mesma base da taxa de
juros i. Portanto, surgem as taxas equivalentes, aquelas que, aplicadas ao mesmo capital nos
mesmos períodos, devem produzir o mesmo montante.
Logo, a taxa composta anual é igual à taxa semestral elevada ao quadrado, igual à taxa
quadrimestral elevada à quarta potência e assim por diante, conforme mostramos a seguir:
(1 + i ) = ( 1 + i ) = (1 + i ) = (1 + i ) = (1 + i )
Da mesma forma, quando temos a taxa equivalente para um período maior e queremos a de um
período menor, extraímos a raiz quadrada, a raiz quarta e assim por diante.
a s
2
t
4
m
12
d
360
Exemplo 1: em uma determinada questão que considera o regime de juros compostos, pode
surgir o seguinte problema: qual a taxa anual equivalente à de 1% ao mês?
Solução: temos a taxa para um período menor e queremos a taxa equivalente para um período
maior, no sistema de juros compostos. Assim, resolvemos da seguinte maneira:
(1 + i ) = (1 + i )a m 12
Logo:
(1 + i ) = (1 + 0,01) 
i = (1,01) – 1 
i = 1,126825 – 1 
i = 0,126825
a
12
a
12
a
a
Transformando o valor encontrado em porcentagem, temos:
i = 0,126825 × 100 
i = 12,6825% ao ano
a
a
Resposta: a taxa mensal de 1% equivale, em termos de juros compostos, a 12,6825% ao ano.
Exemplo 2: em outra questão na qual é utilizado o sistema de juros compostos, pode agora surgir
a seguinte dúvida: qual a taxa mensal equivalente à de 10% a. a.?
Solução: nesse caso, temos a taxa para um período maior e queremos a taxa equivalente, pelo
sistema de juros compostos, àquela para um período menor.
Devemos usar a operação matemática inversa à potenciação, como segue:
(1 + i ) = (1 + i )
Lembrando que, pela propriedade da radiciação, a raiz 12 de um número, ou uma expressão,
como é o caso, é igual a essa expressão elevada a 1/12.
m a
1/12
Logo:
(1 + i ) = (1 + 0,10) 
(1 + i ) = (1,10) 
(1 + i ) = 1,007974 
i = 1,007974 – 1 
i = 0,007974
Transformado em porcentagem:
i = 0,007974 × 100 
i = 0,7974% ao mês
m
0,083333
m
0,083333
m
m
m
m
m
Resposta: a taxa mensal equivalente a 10% ao ano, no sistema de juros compostos, é de 0,7974% ao
mês.
Exercício resolvido
Um investidor possui R$ 300.000,00 para aplicar no mercado financeiro. O gerente do banco dele
propõe a aquisição de um CDB (Certificado de Depósito Bancário) que rende, por 24 meses, a
taxa de 42% ao ano. Determine os juros e o montante dessa aplicação.
Solução: as informações contidas no enunciado são as seguintes:
PV = 300.000;
n = 24 meses; e
i = 42% ao ano.
A primeira operação a ser feita é colocar o período de capitalização n (em meses) na mesma
base da taxa de juros i (ao ano). Nesse caso, podemos agir da seguinte forma:
a) transformamos o período de capitalização n em anos:
n = 24 meses = 2 anos (maneira mais fácil); e
b) transformamos a taxa de juros i em taxa mensal, extraindo sua raiz 12, como segue:
(1 + i ) = (1 + i ) 
(1 + i ) = (1 + 0,42) 
(1 + i ) = (1 ,42) 
(1 + i ) = 1,02965254 
i = 1,02965254 – 1 
i = 0,02965254
m a
1/12
m
0,083333
m
0,083333
m
m
m
O resultado em porcentagem é igual a:
i = 0,02965254 × 100 
i = 2,965254% ao mês
Substituindo, agora, os dados na fórmula:
FV = PV × (1 + i)
m
m
n
Temos:
a)
FV = 300.000 × (1 + 0,42) 
FV = 300.000 × (1,42) 
FV = 300.000 × 2,0164 
FV = 604.920
2
2
b)
FV = 300.000 × (1 + 0,02965254) 
FV = 300.000 × (1 ,02965254) 
FV = 300.000 × 2,0164 
FV = 604.920
24
24
Para o cálculo dos juros, lembramos que:
J = FV – PV
Portanto:
J = 604.920 – 300.000 
J = 304.920
Resposta: o juro dessa operação financeira é de R$ 304.920,00, e o montante a ser recebido pelo
investidor no final do prazo é de R$ 604.920,00.
Outras taxas1.4
O mercado financeiro utiliza várias denominações de taxas, a saber:
Figura 9 – Mercado financeiro.
Fonte: primeimages / istock.com
a) Taxa efetiva – quando a unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos
períodos de capitalização.
Exemplo: taxa de 10% ao ano, capitalizada anualmente. Ou ainda, taxa de 8% ao semestre, capitalizada
semestralmente.
Nesse caso, é comum, no mercado financeiro, dizer apenas que a taxa efetiva da operação é de
10% ao ano ou de 8% ao semestre.
b) Taxa nominal – quando a unidade de tempo é anual e não coincide com a unidade de tempo
dos períodos de capitalização.
Nesse caso, a taxa nominal tem uma taxa efetiva implícita, obtida por meio de taxas
proporcionais (juros simples).
Exemplo: a antiga caderneta de poupança rende no Brasil a taxa nominal de 6% ao ano, capitalizados
mensalmente. Para determinar a taxa efetiva da caderneta de poupança, devemos fazer o seguinte
cálculo (taxas proporcionais – juros simples):
i = 6 / 12 = 0,5% ao mêsmês
Colocando a taxa mensal no formato de juros compostos, temos:
i = (1 + 0,005) = 1,0617
Diminuindo 1 e multiplicando por 100 para retornar ao percentual, temos:
efetiva
12
https://objetos.institutophorte.com.br/PDF_generator/img/09.jpg
i = 6,17% ao anoefetiva
Portanto, a taxa efetiva implícita da caderneta de poupança é de 6,17% ao ano.
c) Taxa real – é a taxa de juros descontada a inflação do período a que se refere.
Exemplo: vamos supor que a taxa de juros (média) da economia em 2020 foi de 11% ao ano. Essa é a
taxa aparente, uma vez que em 2020 a inflação média foi de 6,5%. Deve-se, então, descontar a inflação
da taxa aparente para se obter a taxa real, no formato de juros compostos, assim:
(1 + i ) = (1 + i ) / (1 + i )real aparente inflação
Assim, temos:
(1 + i ) = (1 + 0,11) / (1 + 0,065) = 1,11 / 1,065 = 1,0423
O resultado, recolocado sob a forma percentual (diminuindo 1 e multiplicando por 100), dá a taxa
real de juros da economia em 2020, que foi de 4,23%.
real
d) Taxa líquida de juros – é a taxa bruta de juros descontada do Imposto de Renda (IR) incidente
sobre a operação financeira, calculada da seguinte forma:
Exemplo: um banco está negociando seu CDB (Certificado de Depósito Bancário) à taxa prefixada
bruta de 2,1% a.m. O Imposto de Renda (IR) é de 20% calculado sobre o rendimento nominal da
operação financeira e pago pelo cliente no resgate. Qual a taxa líquida de juros praticada por esse
banco?
Solução: temos que:
i = 2,1% ao mês 
IR = 20% = 0,20
Portanto:
bruta
i = 2,1 × (1 – 0,20) = 2,1 × 0,80 i = 1,68% ao mêslíquida líquida
Resposta: a taxa líquida de juros oferecida por esse banco para a aplicação em seu CDB é de 1,68% ao
mês.
É normal que uma quantia em dinheiro devida em uma data futura seja representada por um
título de crédito (comprovante da dívida) emitido pelo devedor em favor do credor.
O título de crédito, portanto, tem uma data de vencimento, mas o devedor pode resgatá-lo
antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto. O desconto é uma
das mais comuns aplicações da regra de juro.
Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória, a
duplicata e a letra de câmbio. O título que será descontado possui as seguintes características:
Valor nominal (VN) –valor futuro, valor de face ou valor de resgate – é o valor indicado no título a ser pago no dia do
vencimento.
Valor atual (VA) – valor presente – é o valor líquido pago (ou recebido) antes do vencimento, já considerado o
desconto, ou seja:
VA = VN – desconto
Tempo (n) – prazo – é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento.
d = VN – VA
Assim, desconto (d) é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor
nominal e o valor atual:
d = VN – VA
Para a prática de desconto de títulos, existem dois tipos de operações:
Desconto1.5
a) Desconto comercial – considera como capital o valornominal.
Também chamado de desconto bancário ou calculado por fora, é o desconto equivalente aos
juros simples produzidos pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e a
uma determinada taxa fixada.
Considerando:
d = valor do desconto comercial;
VN = valor nominal do título;
VA = valor atual comercial;
n = tempo que falta para o vencimento; e
i = taxa de desconto.
O desconto comercial é dado pela seguinte fórmula:
d = VN × i × n
O valor atual bancário é dado por:
VA = VN × (1 – i × n)
Exemplo: um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias
para o vencimento, determine:
o valor do desconto comercial; e
o valor atual comercial.
Solução: o enunciado da questão fornece os seguintes dados:
VN = 60.000,00;
i = 2,1% a. m.; e
n = 45 dias.
Usando a fórmula do desconto comercial:
d = VN × i × n
Temos:
d = 60.000 × 0,021 × 1,5 (um mês e meio) 
d = 1.890
Portanto, o desconto comercial é de R$ 1.890,00.
Note que a taxa i e o número de períodos n devem estar na mesma base. No nosso exemplo,
transformamos n, que estava em dias, para mês, mesma base da taxa i. No ano comercial, cada
mês tem 30 dias, daí a transformação para um mês e meio.
Poderíamos, também, manter n = 45 dias e transformar a taxa i ao mês em taxa por dia. Como no
desconto comercial é considerado o sistema de juros simples, temos:
E chegamos ao mesmo resultado:
d = VN × i × n 
d = 60.000 × 0,0007 × 45 
d = 1.890
Lembrando que a fórmula do valor atual comercial é:
VA = VN – d
Temos:
VA = 60.000 – 1.890 
VA = 58.110
Resposta: o valor do desconto comercial do título é de R$ 1.890,00, e o valor atual do título é de R$
58.110,00.
b) Desconto racional – considera como capital o valor atual. Também chamado de desconto
calculado por dentro, é o desconto equivalente aos juros simples produzidos pelo valor atual do
título durante o tempo correspondente e a uma determinada taxa fixada.
O desconto racional (d) é igual:
d = VN – VA
Exemplo: considerando as mesmas características do título no exemplo citado, para desconto
comercial, ou seja, valor nominal de R$ 60.000,00, a ser descontado à taxa de 2,1% ao mês,
faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:
o valor atual racional; e
o valor do desconto racional.
Solução: vamos aos dados:
VN = R$ 60.000,00;
i = 2,1% a. m. = 0,021 a.m.; e
n = 45 dias = 1,5 mês.
Considerando a fórmula do valor atual racional:
Temos:
Portanto, o valor atual racional do título é de R$ 58.167,72.
Para o cálculo do desconto racional, usamos:
d = VN – VA
Assim, temos:
d = 60.000 – 58.167,72 
d = 1.832,28
Resposta: o valor atual racional é de R$ 58.167,72, e o valor do desconto racional é de R$ 1.832,28.
Observe que o valor atual racional é superior ao valor atual comercial e, em consequência, o
desconto racional é menor, favorecendo o cliente detentor do título que deseja descontá-lo.
Algumas instituições, quando querem fidelizar grandes clientes, adotam o desconto racional,
menos vantajoso para elas.
Recapitulando a unidade 1
Um dos aspectos mais importantes e percebidos pelas empresas e pela população em geral é a
taxa de juro. Entretanto, muitas vezes, por desconhecimento, as pessoas não se atentam aos
juros compostos, ou seja, juros sobre juros, o que pode aumentar consideravelmente o montante
devido. Essa análise faz parte do risco associado às operações financeiras, caracterizadas pela
correlação entre maior risco e maior retorno. Por isso, ao analisar os diversos cenários de
investimentos, as empresas fazem uso da matemática financeira, entendendo as taxas e os
possíveis descontos com o objetivo de melhorar a gestão do seu fluxo de caixa.
Videoaula - O coeficiente do financiamento
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Coeficiente de financiamento2
O que não se mede não se controla. O que não se controla não tem relevância ou é pouco
importante. Se não é importante, é irrelevante sua participação em prazo, recurso e custo.
Quando é efetuada uma compra à prestação ou qualquer tipo de operação de financiamento, é
utilizado um fator financeiro constante, denominado coeficiente, que ao ser multiplicado pelo
valor presente do financiamento, fornece o valor das prestações. Portanto:
Valor do financiamento × coeficiente financeiro = valor das prestações
O coeficiente financeiro é o inverso do fator de valor presente (financiamento) e é muito utilizado
nas operações de CDC (crédito direto ao consumidor), de arrendamento mercantil (leasing), de
financiamento de veículos e de eletrodomésticos.
A construção das tabelas de coeficientes de financiamento é realizada mediante a utilização da
calculadora financeira HP 12C, a partir da fixação de um valor mínimo de financiamento (R$ 1,00),
de uma determinada taxa de juros e de um prazo definido da operação.
Assim, supondo que desejamos cobrar uma taxa de juros de 4% ao mês para uma operação de
10 meses, o coeficiente financeiro que poderá ser aplicado a qualquer valor financiado será de:
1 CHS PV – trocamos o sinal da unidade e armazenamos na tecla PV.
4 i – armazenamos a taxa de juros na tecla i.
10 n – armazenamos o prazo da operação na tecla n.
Pressionamos a tecla PMT = 0,123291 (o coeficiente aparece no visor).
Geralmente, os coeficientes de financiamento são calculados com seis casas decimais. Logo, se
um cliente solicitar R$ 15.000,00 por 10 meses, à taxa de 4% ao mês, o valor da prestação será
de:
PMT = 15.000 × 0,123291 = R$ 1.849,36
Se outro cliente solicitar R$ 40.000,00 por mesmo prazo e mesma taxa, teremos:
PMT = 40.000 × 0,123291 = R$ 4.931,64
Note que, em ambos os casos, os clientes estão pagando 4% ao mês. Além disso, essa tabela
pode ser montada para vários períodos (n), e poderá ser prevista uma taxa de juros diferente de
um período para outro.
Exercício resolvido
O número que, multiplicado pelo valor financiado, resulta no valor da prestação chama-se fator
ou coeficiente de financiamento. Construa uma tabela de coeficientes para o período de três
meses, considerando uma taxa de 5% ao mês e prestações postecipadas.
Solução: vamos utilizar a calculadora financeira HP 12C. Como as prestações são postecipadas,
manteremos a tecla END (função azul – g) acionada.
Assim, no primeiro mês, temos o cálculo:
1 CHS PV.
1 n.
5 i.
Pressionamos PMT = 1,05.
Segundo mês – cálculo:
1 CHS PV.
2 n.
5 i.
Pressionamos PMT = 0,537805.
Terceiro mês – cálculo:
1 CHS PV.
3 n.
5 i.
Pressionamos PMT = 0,367209.
Resposta: com os valores calculados anteriormente, podemos construir a tabela de coeficientes de
financiamentos que podem ser utilizados em valores a serem cobrados em até três prestações, com uma
taxa de 5% ao mês, como segue:
Tabela 3 – Coeficientes de financiamentos
Período (n) Coeficiente
1 1,05
2 0,537805
3 0,367209
Perpetuidades3
Existem algumas situações no mercado financeiro em que se apresentam séries perpétuas de
recebimentos ou pagamentos. São séries ou anuidades infinitas, ou seja, os fluxos de caixa são
perpétuos. Por exemplo:
a) Aquisição de uma empresa – o comprador de uma empresa não pretende vendê-la em um
prazo determinado. Pelo contrário, como empreendedor, sua disposição é mantê-la por toda a
vida e deixá-la para seus sucessores.
b) Formação de poupança previdenciária – o aplicador forma uma poupança para manter seu
padrão financeiro após a aposentadoria. Pretende, com isso, receber um fluxo de rendimento por
toda sua vida.
Essas séries são chamadas de perpetuidades, e a fórmula de cálculo é a seguinte:
Exemplo: suponha que a empresa Leão do Norte S. A. precisa emitir ações preferenciais a um
preço de R$ 100,00 por ação, objetivando completar o montante de recursos necessários à
implantação do seu programa de investimentos.
Uma emissão de ações preferenciais, já realizada por outra empresa do setor muito semelhante,
obteve o preçode R$ 40,00 por ação, mediante uma oferta de dividendos trimestrais de R$ 1,00
por ação.
Qual é o dividendo que a Leão do Norte deveria oferecer se suas ações preferenciais fossem
emitidas nesse momento?
Solução: a emissão que já ocorreu possui um valor presente de R$ 40,00 e um fluxo de caixa
trimestral (pagamento de dividendos) de R$ 1,00 para sempre. Como é uma perpetuidade, temos
a taxa de juros dessa operação financeira de:
Colocando o resultado obtido em porcentagem, temos:
i = 0,025 × 100 
i = 2,5% a.t.
Para ser competitiva, a nova emissão da Leão do Norte também deverá oferecer um rendimento
trimestral de 2,5%. Portanto, para que o valor presente seja R$ 100,00, os dividendos precisam
ser iguais a:
Resposta: a Leão do Norte deverá oferecer um dividendo equivalente a R$ 2,50 por trimestre.
No exemplo, assumimos a hipótese de que os dividendos a serem distribuídos pelas empresas
serão constantes perpetuamente. Na prática, observamos que eles tendem a acompanhar o
crescimento dos lucros das companhias. Portanto, devem apresentar uma determinada taxa de
crescimento no longo prazo.
Assim, a fórmula a ser utilizada passa a ser a seguinte:
Em que k é a taxa de crescimento constante esperada para os dividendos a serem distribuídos
no futuro.
A fórmula é válida e pode ser utilizada desde que a taxa de desconto dos pagamentos seja
superior à taxa de crescimento esperada dos pagamentos, isto é:
i > k
No exemplo da empresa Leão do Norte, se for previsto um crescimento trimestral de 0,5% no
dividendo a ser distribuído no futuro, o valor a ser pago passaria a ser de:
Resposta: se ocorrer um crescimento trimestral de 0,5% no dividendo, a Leão do Norte deverá oferecer
um valor equivalente a R$ 2,00 por trimestre aos novos acionistas.
Videoaula - SAC e Price
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Existem três tipos especiais de sistemas de financiamento destinados a incentivar a aquisição de
determinados bens, especialmente aqueles de valor unitário muito elevado e que, de outra forma,
só poderiam ser adquiridos por uma pequena parcela da população. Esses sistemas são
conhecidos como:
a) Sistema de amortização americano
Sistemas de financiamento3.1
Figura 10 – Gestão de financiamentos.
Fonte: wutwhanfoto / istock.com
Principais tipos de sistemas de financiamento3.1.1
https://player.vimeo.com/video/661242421
https://objetos.institutophorte.com.br/PDF_generator/img/10.jpg
Por esse sistema, o devedor de um empréstimo paga os juros periodicamente, e o valor do
principal emprestado é resgatado apenas no final do prazo estipulado para a operação.
Chamando de PV o valor emprestado à taxa i, os juros pagos em cada período (J) são iguais e
calculados como:
J = PV × i
Terminado o prazo, no último pagamento, o devedor, além dos juros, paga o capital emprestado
(PV).
Exemplo: uma empresa realizou o empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de 10% a. m., pelo prazo
de quatro meses. Qual será o desembolso mensal que o devedor terá, caso tenha efetuado o
empréstimo pelo sistema americano, com juros pagos mensalmente?
Solução: o desembolso mensal que o devedor terá será equivalente aos juros de cada período,
calculado pela seguinte fórmula:
J = PV × i
Assim:
J = 100.000 × 0,10 = R$ 10.000,00
Resposta: a quantia de R$ 10.000,00 será paga nos primeiros três meses e, no quarto mês, o desembolso
será de R$ 110.000,00, sendo R$ 10.000,00 referentes aos juros e R$ 100.000,00 para saldar o principal
da dívida.
b) Sistema de amortização francês ou tabela Price (TP)
Por esse sistema, o devedor paga o total do empréstimo em prestações iguais e sucessivas,
incluindo, em cada uma, uma parcela de amortização parcial do principal devido e uma referente
aos juros sobre o saldo devedor.
Esse sistema foi muito empregado no Brasil, especialmente até a década de 1990, para a
aquisição de imóveis pelo Sistema Financeiro da Habitação.
O número de prestações varia em cada contrato. Supondo o empréstimo PV, à taxa i, para ser
pago em n prestações, as características principais do sistema Price são:
pagamento em parcelas constantes; e
cálculo da parcela pela expressão da série anual uniforme a seguir:
Ou com a utilização da calculadora HP 12C.
Exemplo: uma fábrica, precisando renovar seu parque fabril, pegou um empréstimo no valor de
R$ 200.000,00 com uma taxa de 10% a. m., com o sistema Price como o escolhido. Assim, como
ficariam estabelecidos o pagamento mensal e o demonstrativo da dívida?
Solução: o pagamento mensal pode ser calculado mais facilmente na HP 12C, da seguinte forma:
200.000 CHS PV.
10 i.
4 n.
Pressionando PMT = 63.094,16 (aparece no visor).
Resposta: sabendo do valor dos pagamentos, sempre iguais, é possível montar o demonstrativo da
dívida, envolvendo os montantes pagos de juros e de amortização do principal, além do saldo devedor
por período:
Tabela 4 – Demonstrativo da dívida a ser paga e do saldo devedor (em reais)
N Pagamentos Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - 200.000,00
1 63.094,16 20.000,00 43.094,16 156.905,84
2 63.094,16 15.690,58 47.403,58 109.502,26
N Pagamentos Juros Amortização Saldo devedor
3 63.094,16 10.905,23 52.143,93 57.358,33
4 63.094,16 5.735,83 57.358,33 -
Observe que há uma correlação entre a redução dos juros e o aumento da amortização, pois há
um cálculo baseado no saldo devedor, que diminui ao longo do tempo e, consequentemente, ao
somar as amortizações e os juros, totaliza os pagamentos.
c) Sistema de amortização constante (SAC)
Pelo fato de a amortização do empréstimo (PV) ser constante, a série de pagamentos não é
uniforme e, portanto, o procedimento adotado é o seguinte:
a. Calculam-se inicialmente as amortizações, por intermédio da seguinte fórmula: 
b. Calcula-se o saldo devedor em todos os anos, mediante a expressão: SD = PV - Amort
c. Por último, os juros são calculados sobre o saldo devedor, como segue: J = PV × i
Exemplo: considerando, mais uma vez, o empréstimo de R$ 200.000,00, à taxa de 10% a. m. por
quatro meses, agora devendo ser pago no sistema SAC, é necessário fazer um demonstrativo do
estado da dívida nesse período.
Solução: iniciando pelo cálculo da amortização, que é constante, temos:
Resposta: sabendo o valor a ser amortizado mensalmente, montamos o demonstrativo da dívida a ser
paga, envolvendo o valor de cada parcela, os juros e o saldo devedor por período:
Tabela 5 – Demonstrativo da dívida a ser paga e do salvo devedor (em reais)
N Pagamento Juros Amortização Saldo devedorN Pagamento Juros Amortização Saldo devedor
0 - - 200.000,00
1 70.000,00 20.000,00 50.000,00 150.000,00
2 65.000,00 15.000,00 50.000,00 100.000,00
3 60.000,00 10.000,00 50.000,00 50.000,00
4 55.000,00 5.000,00 50.000,00 -
Nesse sistema, há uma correlação entre juros menores e pagamentos menores ao longo do
tempo, mesmo com a amortização fixa, uma vez que o cálculo está baseado no saldo devedor,
este sendo reduzido a cada período. Ao compararmos Price e SAC, é possível perceber que os
pagamentos ficaram assim:
Price – Pagamento total: R$ 252.376,64; e
SAC – Pagamento total: R$ 250.000,00.
A diferença entre os dois é o juro no período.
A instalação de indústrias de grande porte, especialmente na área de infraestrutura, além de
exigir um elevado montante de recursos financeiros, apresenta um retorno lento, de longo prazo.
Dessa forma, algumas instituições financeiras possuem linhas de financiamento destinadas a
incentivar essas modalidades de projetos de investimentos, como o BNDES (Banco Nacional de
Desenvolvimento Econômico e Social). Além de taxas de juros diferenciadas, essas instituições
fornecem recursos para os projetos com carência.
Carência é o acordo entre o tomador do empréstimo e o financiador, estipulando que, durante
determinado período de tempo, apenas os juros sejam cobrados, sem pagamento de
amortização. Quando se atinge o fim da carência, o empréstimo é quitado por meiode algum
método predeterminado.
Há dois tipos de carência utilizados:
1. pagamento de juros sobre o valor principal; e
2. não há pagamento durante o período.
Sistemas de amortização com carência3.1.2
Exemplo: utilizando o sistema de amortização francês – tabela Price para os casos 1 e 2, vamos
supor o financiamento do valor de um investimento de R$ 10.000,00, pelo prazo total de 10 anos,
com dois anos de carência, a juros de 10% a. a. 
Elabore um demonstrativo da situação da dívida nos dois casos, para o período de 10 anos.
Solução caso 1: considerando os dados obtidos no enunciado, como segue:
PV = 10.000;
n = 10;
Carência = 2; e
i = 10% ao ano.
Nos dois primeiros anos, há apenas pagamento de juros do principal, como segue:
J = PV× i 
J = 10.000× 0,10 
J = R$ 1.000,00
Os juros de R$ 1.000,00 comporão também o valor da parcela a ser paga no terceiro ano
(primeiro período com amortização do principal).
Pelo sistema Price, o valor de cada parcela é fixo e calculado da seguinte maneira:
10.000 CHS PV.
10 i.
8 n.
Note que o prazo do empréstimo é de 10 anos, mas, nos dois primeiros, haverá apenas o
pagamento dos juros. Assim, calculamos as parcelas a partir do terceiro ano e, portanto, para
oito anos:
Pressionamos PMT = 1.874,44 (aparece no visor).
Resposta caso 1: com o valor do juro a ser pago nos dois anos de carência e as prestações iguais a
serem pagas no restante do período, montamos a tabela 6 com o demonstrativo da dívida:
Tabela 6 – Demonstrativo da dívida – caso 1.
Tabela Price (em $000)
(A)
Parcela
(B)
Pagto.
(C)
Juros
(D)
Amortização
(E)
Acumulado
(F)
Saldo
Tabela Price (em $000)
(A)
Parcela
(B)
Pagto.
(C)
Juros
(D)
Amortização
(E)
Acumulado
(F)
Saldo
1 R$1.000,00 R$1.000,00 R$0,00 R$0,00 R$10.000,00
2 R$1.000,00 R$1.000,00 R$0,00 R$0,00 R$10.000,00
3 R$1.874,44 R$1.000,00 R$874,44 R$874,44 R$9.125,56
4 R$1.874,44 R$912,56 R$961,88 R$1.836,32 R$8.163,68
5 R$1.874,44 R$816,37 R$1.058,07 R$2.894,40 R$7.105,60
6 R$1.874,44 R$710,56 R$1.163,88 R$4.058,28 R$5.941,72
7 R$1.874,44 R$594,17 R$1.1280,27 R$5.338,54 R$4.661,46
8 R$1.874,44 R$466,15 R$1.408,29 R$6.746,84 R$3.253,16
9 R$1.874,44 R$325,32 R$1.549,12 R$8.295,96 R$1.704,04
10 R$1.874,44 R$170,40 R$1.704,04 R$10.000,00 R$0,00
Totais R$16.995,52 R$6.995,52 R$10.000,00
Fonte: Assaf Neto (2012).
Note que a empresa começa a amortizar o principal do empréstimo somente a partir do terceiro
ano, de forma crescente, à medida que o projeto de investimento for apresentando retorno cada
vez maior.
Solução caso 2: como há ausência de pagamentos de juros nos dois primeiros anos, esses valores
são incorporados ao principal, da seguinte maneira:
V = PV × (1 + i) 
FV = 10.000 × (1 + 0,10) 
2
2
FV = 10.000 × 1,21 
FV = R$ 12.100,00
Esse valor passa a ser o saldo devedor inicial da operação no terceiro ano.
Portanto, o cálculo referente à prestação prevista pelo sistema Price é efetuado a partir do
terceiro ano, como segue:
12.100 CHS PV.
8 n.
10 i.
Pressionando a tecla PMT = 2.268,07 (aparece no visor).
Resposta caso 2: sabendo o valor dos pagamentos, que serão sempre iguais a partir do terceiro ano,
podemos montar uma tabela com o demonstrativo da dívida, envolvendo os montantes pagos de juros e
de amortização do principal, além do saldo devedor por período, como segue:
Tabela 7 – Demonstrativo da dívida – caso 2.
Tabela Price (em $000)
(A)
Parcela
(B)
Pagto.
(C)
Juros
(D)
Amortização
(E)
Acumulado
(F)
Saldo
1 R$0,00 R$0,00 R$0,00 R$0,00 R$11.000,00
2 R$0,00 R$0,00 R$0,00 R$0,00 R$12.100,00
3 R$2.268,07 R$1.210,00 R$1.058,07 R$1.058,07 R$11.041,93
4 R$2.268,07 R$1.104,19 R$1.163,88 R$2.221,95 R$9.878,05
5 R$2.268,07 R$987,80 R$1.280,27 R$3.502,22 R$8.597,78
6 R$2.268,07 R$859,78 R$1.408,29 R$4.910,51 R$7.189,49
7 R$2.268,07 R$718,95 R$1.549,12 R$6.459,64 R$5.640,36
8 R$2.268,07 R$564,04 R$1.704,04 R$8.163,68 R$3.936,32
9 R$2.268,07 R$393,63 R$1.874,44 R$10.038,12 R$2.061,88
10 R$2.268,07 R$206,19 R$2.061,88 R$12.100,00 R$0,00
Tabela Price (em $000)
(A)
Parcela
(B)
Pagto.
(C)
Juros
(D)
Amortização
(E)
Acumulado
(F)
Saldo
Totais R$18.144,58 R$6.044,58 R$12.100,00
Fonte: Assaf Neto (2012).
Nesse caso, o benefício inicial é ainda maior, permitindo a melhor maturação dos investimentos
realizados.
Vimos anteriormente o conceito de fluxo de caixa como a representação de uma série de
pagamentos ou de recebimentos que devem ocorrer em determinado período de tempo. Essa
movimentação financeira, contudo, acontece das mais diversas formas e tipos, como:
a) Quanto ao número de prestações:
finitas: quando ocorrem durante um período predeterminado de tempo; e
infinitas: chamadas perpetuidades.
b) Quanto à periodicidade dos pagamentos:
periódicas: quando os pagamentos ocorrem em intervalos constantes; e
não periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos acontecem em intervalos irregulares de tempo.
c) Quanto ao valor das prestações:
uniformes: quando as prestações ou anuidades são iguais; e
não uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos.
d) Quanto ao prazo de pagamentos:
postecipadas: quando as anuidades se iniciam após o final do primeiro período; e
antecipadas: quando o primeiro pagamento ocorre na entrada, no início da série.
e) Quanto ao primeiro pagamento:
diferidas: ou com carência, quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento do
financiamento e a de pagamento da primeira prestação; e
Série de pagamentos: fluxo de caixa3.2
não diferidas: quando não existir prazo superior a um período entre o início da operação e o primeiro pagamento ou
recebimento.
A calculadora HP 12C também facilita os cálculos envolvidos nessa situação. Contudo, quando
nos deparamos com séries uniformes, podemos obter a solução utilizando também algumas
fórmulas destinadas a facilitar o manuseio de calculadoras normais e científicas.
Assim, podemos usar fórmulas para:
a. PMT = pagamento periódico igual:
b. FV = valor futuro:
c. Séries com carência:
Em que: 
m: carência em número de períodos.
A análise de vários fluxos de caixa é comum nas tomadas de decisões financeiras para definir o
melhor plano de empréstimo, as linhas de financiamentos mais atraentes, as propostas de
refinanciamento e reescalonamento de dívidas etc.
Definição de equivalência: dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes quando produzem
idênticos valores presentes (PV) em uma mesma data, a uma determinada taxa de juros.
Na prática, a maioria dos investimentos de pessoas físicas e jurídicas envolve muitos fluxos de
caixa ao longo do tempo, ou seja, uma série de fluxos de caixa ou fluxos de caixa múltiplos.
Equivalência financeira de fluxos de caixa3.2.1
Exemplo: suponha que você deseja comprar um computador em dois anos, depositando hoje,
numa aplicação que paga 8% a. a. de juros compostos, o valor de R$ 1.200,00, mais R$ 1.400,00
daqui a um ano. Quanto você deverá gastar no computador no final do segundo ano?
Solução: essa questão deve ser respondida em duas etapas:
Primeira etapa: considerando a fórmula dos juros compostos:
FV = PV × (1 + i)
Dados:
PV = 1.200.
n = 2 anos.
i = 8% a. a.
Temos:
FV = 1.200 × (1 + 0,08) 
FV = 1.200 × 1,1664 
FV = 1.399,68
n
1
1
2
1
1
Segunda etapa:
Dados:
PV = 1.400.
n = 1 ano.
i = 8% a.a.
Temos:
FV = 1.400 × (1 + 0,08) 
FV = 1.512,00
Portanto, o total a ser gasto no final do segundo ano é igual à soma dos dois montantes
calculados:
FV + FV = 1.399,68 + 1.512,00 = 2.911,68
2
2
2
1 2
Resposta: o valor a ser gasto com a compra do computador daqui a dois anos será de R$ 2.911,68.
Exercício resolvido
Uma empresa tem uma dívida de R$ 60.000,00 a ser paga daqui a 7 meses e outra de R$
80.000,00 para daqui a 15 meses. Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de juros compostos de 10%
a. a., para fazer frente a elas?
Solução: a questão será respondida em duas etapas:
Primeira etapa – considerando a fórmula dos juros compostos:
FV= PV × (1 + i)
Como a pergunta refere-se ao valor aplicado hoje, portanto, o capital inicial ou, ainda, o valor
presente da aplicação, podemos isolar o PV na equação anterior, a saber:
n
As informações do enunciado sobre a primeira etapa são as seguintes:
FV = 60.000;
n = 7 meses; e
i = 10 % ao ano.
Como os dois períodos considerados estão em meses, vamos transformar a taxa de juros de ano
em meses, para poder trabalhar na mesma base.
1
Assim:
(1 + i ) = (1 + i ) 
(1 + i ) = (1 + 0,10) 
(1 + i ) = (1,10) 
(1 + i ) = 1,00797414 
i = 1,00797414 – 1 
i = 0,00797414
Resultado que, transformado em porcentagem, é:
m a
1/12
m
0,08333
m
0,08333
m
m
m
i = 0,00797414 × 100 i = 0,797414% ao mêsm m
Agora, podemos substituir as informações do problema na fórmula do PV, como segue:
Segunda etapa – as informações do enunciado para essa etapa são:
FV = 80.000;
n = 15 meses; e
i = 0,797414% ao mês.
2
Da mesma forma, substituindo as informações da etapa na fórmula do PV, teremos:
Portanto, o valor a ser aplicado pela empresa com o objetivo de fazer frente ao pagamento de
suas dívidas é de:
PV + PV = 56.755,17 + 71.014,83 PV + PV = 127.7701 2 1 2
Resposta: a quantia total de recursos que a empresa deverá aplicar hoje para fazer frente ao pagamento
de suas dívidas é de R$ 127.770,00.
Recapitulando a unidade 2
Um dos processos mais comuns em parcelas de financiamento está no coeficiente, muito
utilizado nos mais variados segmentos de negócios. Esse número gerado é baseado em uma
tabela previamente definida considerando o juro e o prazo predeterminado, fazendo com que os
valores da prestação sejam calculados. Por outro lado, muitas vezes se faz necessário gerar um
desconto, processo esse ocasionado por um pagamento antecipado, mais uma vez considerando
o valor do dinheiro no tempo. Por fim, é importante conhecer os principais sistemas de
financiamento utilizados, como o Price e o SAC, métodos com características diferentes, mas que
possuem na amortização da dívida e nos juros pagos os pilares do cálculo, tornando a dívida
zerada ao fim do período estabelecido. A necessidade de se conhecer esses métodos está
diretamente relacionada à gestão do fluxo de caixa de uma empresa, pois há pagamentos e
recebimentos acontecendo o tempo todo e, com isso, é preciso tomar decisões baseadas em
análise dos resultados.
Videoaula - Análise e métodos de investimento
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Entendendo a análise de investimento4
O processo de identificação, análise e seleção de alternativas de investimento de recursos é
chamado de orçamento de capital, envolvendo um conjunto de projetos que deverão apresentar
um retorno econômico compatível com as metas fixadas pela administração no longo prazo. O
objetivo da administração de uma companhia é criar valor para a empresa e, dessa forma,
aumentar a riqueza de seus acionistas.
É importante ratificar que os projetos de investimentos envolvem uma movimentação financeira
de entradas e saídas de recursos do caixa, durante períodos futuros. Assim, ao montar um
projeto desse tipo, estamos trabalhando com recursos em épocas diferentes, o que
denominamos de valor do dinheiro no tempo (saída de recursos no presente e a estimativa de
recebimentos líquidos (receitas – despesas) no futuro).
Devemos, então, trazer os valores do futuro a uma determinada taxa de desconto, a fim de poder
comparar esses valores com o investimento realizado hoje. Somente procedendo dessa forma
podemos saber se vale a pena ou não realizar o projeto, isto é, se ele possui viabilidade
econômica.
As etapas necessárias à elaboração de um projeto de investimento são as seguintes:
Figura 11 – Gestão de investimentos.
Fonte: Olivier Le Moal / istock.com
a) Projeção dos fluxos de caixa
A característica fundamental dessa etapa é determinar a capacidade de geração de fluxos de
caixa no futuro e não apenas apresentar lucro no conceito estritamente contábil. O cuidado nas
projeções é primordial.
É fundamental considerar as informações históricas oficiais e os dados contábeis auditados
para utilizar premissas futuras confiáveis e estimar com segurança as receitas e os gastos
(custos e despesas) provenientes do projeto.
https://objetos.institutophorte.com.br/PDF_generator/img/11.jpg
Quanto mais próximos da realidade estiverem os dados históricos, mais consistentes serão os
valores estimados.
O último exercício, isto é, o mais próximo das projeções tende a ser aquele que mais contribui
com o processo de estimativa, uma vez que tende a ser o mais provável de se repetir nos
próximos anos.
b) Avaliação dos fluxos de caixa
O ambiente macroeconômico e as informações microeconômicas que envolvem os negócios da
empresa devem ser minuciosamente avaliados, com o objetivo de se evitar surpresas durante a
implantação do projeto. São considerados componentes do fluxo de caixa livre, que representa a
geração da caixa da empresa que estará disponível para os acionistas.
O fluxo de caixa livre é igual ao lucro líquido da empresa ajustado pelas receitas que não
representam entrada de caixa, por exemplo, aquelas provenientes de vendas a prazo que serão
recebidas após a apuração do lucro, e pelas despesas que não representam saídas de caixa,
como a depreciação e a amortização dos ativos imobilizados de uma companhia.
Os investimentos necessários à manutenção do negócio da empresa ao longo do tempo também
devem ser considerados no fluxo de caixa livre.
c) Cálculo da taxa de desconto
Uma tarefa delicada é a determinação de uma taxa de desconto adequada para trazer os valores
esperados no futuro e compará-los com o investimento total realizado.
As formas mais comuns de determinação da taxa de desconto são:
considerar o custo de oportunidade, que é a melhor remuneração que seria obtida no uso alternativo dos recursos;
determinar uma taxa mínima de atratividade (TMA), que pode ser a taxa Selic, a taxa CDI, a variação da inflação
medida pelo IGP-M ou outro índice oficial de inflação, o ROE (return on equity – retorno sobre o patrimônio líquido)
da companhia etc.;
Vale lembrar que o ROE estabelece a eficiência com que a administração trabalha com os
recursos colocados pelos acionistas na empresa e é dado pela seguinte fórmula:
Quanto à análise de sensibilidade, a projeção e a análise do fluxo de caixa do investimento são
elaboradas a partir da estimativa de valores mais prováveis. Contudo, quando se trabalha com o
futuro, com o maior cuidado possível, a incerteza sempre estará presente. Além disso, temos em
finanças, como regra geral, que uma rentabilidade mais alta implica, logicamente, assumir riscos
maiores.
Esses fatores de incerteza são denominados de riscos do projeto e podem ser agrupados em
algumas modalidades:
1. Risco econômico – dimensionamento de oferta e de demanda, variações de preços dos produtos e das matérias-primas,
investimentos imprevistos, crescimento da renda nacional etc.
2. Risco financeiro – falta de capacidade de pagamento, insuficiência de capital, variações bruscas da taxa de juros e/ou da taxa
cambial, grau de inadimplência, nível de endividamento, grau de financiamento a clientes e de fornecedores, qualidade e
concentração das vendas etc.
3. Risco operacional ou risco do negócio – adequação do processo produtivo, qualidade da matéria-prima, tecnologia utilizada,
capacidade de gerenciamento, potencial de crescimento do setor de atuação da empresa, market share, processo de
distribuição dos produtos etc.
4. Risco político – fatores políticos e institucionais adversos, mudança de legislação, política econômica, política monetária
(taxas de juros) e política cambial (taxa de câmbio e restrições às importações), alterações de alíquotas de impostos, taxas
etc.
calcular o custo médio ponderado de capital (CMPC) (WACC – weighted average cost of capital), que é uma médiado
custo do capital de terceiros e do custo do capital próprio, ponderada pelo grau de utilização de cada uma dessas fontes
de recursos na companhia; e
escolher a melhor alternativa de investimento mediante o uso de técnicas de orçamento de capital, que são o payback, o
payback descontado, o valor presente líquido (VPL) e a taxa interna de retorno (TIR).
O mais simples de todos é o método do payback, razão pela qual é o mais utilizado em todo o
mundo, especialmente pelas pequenas e médias empresas.
Os demais métodos trabalham com o fluxo de caixa do projeto descontado a uma determinada
taxa e são recomendados para investimentos de maior porte. Para grandes projetos, o VPL é o
mais recomendado, pois é o mais defensável academicamente. Já os profissionais da área
financeira preferem trabalhar com o da TIR, que envolve a taxa de retorno e não a quantidade de
recursos que excede o investimento.
Dimensionamento de oferta e de demanda, variações de preços dos produtos e das matérias-
primas, investimentos imprevistos, crescimento da renda nacional etc.
Risco econômico
Existem várias técnicas para se avaliar investimentos em condições de risco, e algumas delas
possibilitam a obtenção de distribuição de probabilidades das variáveis envolvidas nas
projeções. Todavia, para se avaliar investimentos em condições de incerteza, o método mais
utilizado, e mais simples, é a análise de sensibilidade.
O objetivo desse instrumento de análise é observar o quão sensíveis são os resultados obtidos
pela aplicação das técnicas de orçamento de capital à variação de parâmetros de entrada, como
vida útil de equipamentos, custos, receitas, quantidade vendida, preços, investimentos, taxa de
desconto etc. Dessa forma, são estabelecidas hipóteses para esses parâmetros de entrada,
dentro dos intervalos: provável, otimista e pessimista.
A elaboração de gráficos que demonstrem o comportamento desses parâmetros melhora a
qualidade da análise e ajuda a estabelecer níveis mínimos e máximos de oscilação deles, como:
menor preço do produto para que o projeto seja viável;
quantidade mínima que deve ser produzida para que o investimento ainda seja rentável; e
custo máximo da matéria-prima para viabilizar a receita etc.
Assim, a análise de sensibilidade é um instrumento muito valioso no sentido de dimensionar
dentro de parâmetros eficientes as principais variáveis de risco e, além disso, ajustar o projeto e
Falta de capacidade de pagamento, insuficiência de capital, variações bruscas da taxa de juros
e/ou da taxa cambial, grau de inadimplência, nível de endividamento, grau de financiamento a
clientes e de fornecedores, qualidade e concentração das vendas etc.
Risco financeiro
Adequação do processo produtivo, qualidade da matéria-prima, tecnologia utilizada, capacidade
de gerenciamento, potencial de crescimento do setor de atuação da empresa, market share,
processo de distribuição dos produtos etc.
Risco operacional ou risco do negócio
Fatores políticos e institucionais adversos, mudança de legislação, política econômica, política
monetária (taxas de juros) e política cambial (taxa de câmbio e restrições às importações),
alterações de alíquotas de impostos, taxas etc.
Risco político
corrigir seu rumo, à medida que o tempo vai decorrendo.
Uma série de opções está disponível para se avaliar um investimento, desde os métodos mais
simples até os mais complexos, muitas vezes aplicados apenas em mercado financeiro, mas que
são possíveis em outros segmentos de mercado. Assim, conhecer as alternativas pode significar
retorno aos acionistas, ou seja, ganho à empresa.
Para melhor estudar os métodos de análise e avaliação de investimentos, devemos partir
inicialmente da existência de um ou mais projetos de investimentos. Em seguida, deverá ser
realizado um trabalho de projeção do fluxo de caixa gerado por esse projeto, decorrente da
obtenção de receitas e das necessidades de gastos (custos e despesas) para sua
implementação.
Vamos supor o seguinte caso: a Metalúrgica Santista S. A. está avaliando a possibilidade de
realizar um investimento, que consiste na aquisição de uma nova máquina, com as seguintes
características:
preço de aquisição: R$ 145.000,00;
custo de instalação: R$ 5.000,00;
economias anuais com mão de obra: R$ 80.000,00;
depreciação da nova máquina: 10 anos; e
taxa de desconto – custo de capital: 18% a. a.
Métodos de análise de investimentos4.1
Projeto de investimento e projeções4.1.1
Preço de aquisição: R$ 145.000,00;
Custo de instalação: R$ 5.000,00;
Economias anuais com mão de obra: R$ 80.000,00;
Depreciação da nova máquina: 10 anos; e
Taxa de desconto – custo de capital: 18% a. a.
Com esses dados em mãos, o gerente financeiro da empresa preparou o fluxo de caixa livre do
projeto, considerando ainda que o lucro da empresa está sujeito à incidência de Imposto de
Renda (IR) e Contribuição Social (CS) no total de 34%.
Tabela 8 – Fluxo de caixa livre (R$).
Discriminação Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5
Economia de caixa 80.000,00 80.000,00 80.000,00 80.000,00 80.000,00
(-) Depreciação 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00
Lucro antes dos impostos 65.000,00 65.000,00 65.000,00 65.000,00 65.000,00
(-) IR e CS 22.100,00 22.100,00 22.100,00 22.100,00 22.100,00
Lucro líquido 42.900,00 42.900,00 42.900,00 42.900,00 42.900,00
(+) Depreciação 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00
Investimento 150.000,00
Fluxo de caixa livre -150.000,00 57.900,00 57.900,00 57.900,00 57.900,00 57.900,00
Fonte: Assaf Neto (2012).
Observe que o investimento da companhia é igual ao preço da máquina mais o seu custo de
instalação, totalizando R$ 150.000,00. Segundo o gerente financeiro da empresa, esse
investimento produzirá um fluxo de caixa (recebimentos – pagamentos) constante de R$
57.900,00, nos próximos cinco anos.
É importante destacar que a depreciação é uma despesa para efeito de apuração do lucro
tributável, uma vez que é um benefício fiscal, mas não representa saída de caixa. Essa é a razão
pela qual ela reduz o lucro antes dos impostos e retorna ao caixa, aumentando o fluxo de caixa
livre.
Assim, vamos utilizar as diversas técnicas de avaliação de investimentos para determinar se o
projeto da Metalúrgica Santista S.A. é viável economicamente ou não.
Pelo método de análise de investimentos denominado de payback, é calculado o prazo de retorno
do investimento, em número de períodos considerados no fluxo de caixa, mediante a fórmula:
Payback4.1.2
A fórmula somente pode ser utilizada quando consideramos o fluxo de caixa como série
uniforme. Caso contrário, é necessário diminuir o benefício obtido pelo projeto em cada período
do valor total do investimento para determinar em quanto tempo deverá ocorrer seu retorno.
Essa técnica é muito utilizada no meio empresarial local e internacional, uma vez que o cálculo é
muito simples e rápido.
Exemplo: qual o prazo de retorno do investimento em análise pelo método do payback? O projeto
de investimento deve ser aceito ou rejeitado pela companhia?
Solução: lembrando que:
investimento inicial = R$ 150.000,00 (preço e custo de instalação da máquina); e
fluxo de caixa = R$ 57.900,00 (projetado para os próximos cinco anos).
Substituímos os valores na fórmula do payback:
Temos o seguinte resultado:
Isto é, o retorno do investimento realizado ocorrerá em 2,59 anos.
O custo de capital da empresa é de 18% ao ano. Portanto, o prazo de retorno esperado pela
companhia em seus projetos é o inverso da taxa de desconto (custo de capital), calculado da
seguinte forma:
Ou seja:
Resposta: o período de retorno do projeto, medido pelo payback, é de 2,59 anos. Como o projeto possui
um prazo inferior ao prazo de retorno médio esperado pela empresa, que é de 5,56 anos, a
implementação do projeto é viável e deve ser aceita.
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