Exercicios_Resolvidos

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Celton Ribeiro Barbosa Prof. Gislan Silveira Santos
Apostila de Exercícios Resolvidos de Cálculo
Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia
Programa de Educação Tutorial - PET Tutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha
© 2014 Celton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan Silveira Santos & Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
Programa de Educação Tutorial - PET Tutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Câmara Brasileira do Livro, BA, Brasil
Barbosa, Celton Ribeiro; Santos, Gislan Silveira. Apostila de Exercícios Resolvidos de Cálculo. / Cel- ton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan Silveira Santos. – Vitória da Conquista-BA: Instituto Federal de Edu- cação Ciência e Tecnologia da Bahia. Ltda., 2014.
Bibliografia.
ISBN XXXX-XXXX-XX.
1. Matemática. 2. Cálculo 1.
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
2
SUMÁRIO
1
1 Limites e Continuidade
2
2 Derivadas
22
CAPÍTULO 1
LIMITES E CONTINUIDADE
2
O ponto P (2, ln 2) pertencente à curva y = ln x.
Se Q é o ponto (x, ln x), use sua calculadora para determinar o coefi- ciente angular da reta secante PQ, com precisão de seis casas decimais, para os seguintes valores de x:
(i) 1, 5
1, 9
1, 99
(iv) 1, 999
(v) 2, 5
2, 1
2, 01
2, 001
Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto P (2, ln 2).
Use a inclinação obtida na parte (b) para achar uma equação da reta tangente à curva em P (2, ln 2).
Faça uma figura utilizando duas dessas retas secantes e a reta tan- gente.
Resolução:
A equação da reta é dada por:
(y − y0) = m(x − x0) onde	m - coeficiente angular da reta.
(x0, y0) - ponto onde se deseja encontrar a reta.
Limites e Continuidade
y0 = ln2 e x0 = 2
m = y − ln2	lnx − ln2	ln(x/2)
x − 2 =	x − 2	=	x − 2
(i) x = 1, 5
m =
ln(1, 5/2)
1, 5 − 2
ln(1, 9/2)
= 0, 575364
(ii) x = 1, 9
m =
1, 9 − 2
= 0, 512933
Os demais itens ficam a cargo do leitor.
	x	m
	1,5	0,575364
	1,9	0,512933
	1,99	0,501254
	1,999	0,500125
	2,5	0,446287
	2,1	0,487902
	2,01	0,498754
	2,001	0,499875
(a)lim	1
t →0
1	1
+ |t | −	|t |
(b) Os valores se aproximão de 0,5. (c)
y − ln2 = 0, 5(x − 2)
y = 0, 5x + ln2 − 1
2. Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem através das suas propriedades.
.s	s	.
Resolução:
|t | =
 
t	,	se t > 0
−t	,	se t < 0
Para t > 0:
lim	1 +	−
t →0	t
.r	r .
1	1
t
 1 +	+	
r	r 
1	1
· r
1 + t +
t	r t
1	1
t
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
3
Limites e Continuidade
t →0
1 + 1	1
t − t
1
1 + t +
= lim r	r 
1
t
t →0
1
1 + t +
1	1
= lim r 	 r = 0
t
Para t < 0:
t →0
.r 	
1
lim	1 +	−
r	.
1
−t	−t
r	r 	
 1 	1
1 +	+
· r
1
−t	r−t
1	1
+ −t +	−t
t →0
1	1
1 +	−
−t	−t
= lim r	r	
1
1	1
+ −t +	−t
t →0
1
1
1 + −t +
1
−t
= lim r 	 r 	= 0
Como os limites laterais são iguais a resposta é 0. (b)(1/¸x) − 1
1 − x
Resolução:
lim
x→1
1 − ¸x
¸x
1 − x
lim
x→1
= lim
x→1
 (1 −	
¸
¸
x) 1 +	x
¸ ·	¸
(1 − x) x 1 +	x
(1 − x)
x→1
(1 − x) x(1 +	x)	x(1 +	x)
1(1 +	1)
1	1
¸	¸	= lim ¸	¸	= ¸	¸	=
1
2
3. Esboce os gráficos da função abaixo e , use-o para determinar os valores de a para os quais lim f (x) exista:
x→a

 1 + x	,	se x < −1
x2
(a) f (x) =	,	se − 1 ≤ x < 1
 2 − x	,	se x ≥ 1
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
4
Limites e Continuidade
Resolução:
Figura 1.1: Gráfico de f(x)
4. Prove que o lim |x| não existe.
x→0 x
Dicas:
Os limite só existe se os limites laterais forem iguais.
 
|x| =
x	,	se x > 0
−x	,	se x < 0
5. Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade v é
m0
m = ¸1
− v /c
2	2
, em que m0 é a massa da partícula em repouso e c, a
−
velocidade da luz. O que acontece se v → c ?
Resolução
 m
0	
1 − v2/c2
lim ¸	=
x→c−
 m
0 
¸1 − 1
= ∞
6. Considere a função f definida por:
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
5
Limites e Continuidade
f (x) =
 
,	se x é racional
,	se x é irracional
x→a
Para todo a ∈ R, lim f (x) não existe. Por quê?
x→a
Resolução:
Suponha que a ∈ Q, então f (a) = 0, logo lim f (x) = 0
Por outro lado, a ∋ Q, então f (a) = 0, logo lim f (x) = 1
x→a
x→a
Como a ∈ R , então ∋ lim f (x), pois os limites laterais dessa função são
diferentes.
7. Calcule, se possível, os seguintes limites:
¸x + 1 − ¸1 − x
(g) lim
3x
x→0 3
(l) lim x − 1
x→1 x2 − 1
 9 − t 
(o) lim
t →9 3 − ¸t
(t) lim
x→2
x4 − 16
8 − x
3
x→7
(w) lim 2 −	x − 3
¸ 	
x2 − 49
Resolução:
(a)
lim
x→0
¸	¸	¸	¸ 	
 x + 1 −	1 − x	x + 1 +	1 − x
3x
· ¸
x + 1 + ¸1 − x
 (x + 1) − (1 − x)	
lim	¸	¸
x→0 3x( x + 1 +	1 − x)
lim	 	2x	 	2
x→0 3x(¸ x + 1 + ¸ 	 = 3(¸x + 1 + ¸ 	
¸	¸ 1 − x)	1 − x)
lim
x→0
=
x + 1 −	1 − x	 	2		2	1
3x	3 · (1 + 1) = 6 = 3
(b)
lim
2
= lim
x→1
x3 − 1	(x − 1)(x2 + x + 1)
x→1 x − 1	(x − 1)(x + 1)
lim
x→1
=	=
x2 + x + 1	12 + 1 + 1	3
x + 1	1 + 1	2
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
6
Limites e Continuidade
(c)
t →9 3 − ¸t
¸ 
 9 − t 3 +	t
lim	·
3 + ¸t
t →9
9 − t
lim (9 − t )(3 + ¸t ) = 3 + ¸9 = 6
(d)
x4 − 16
lim	3 = lim
(x2 + 4)(x2 − 4)
2
x→2 8 − x	x→2 (x − 2)(−x − 2x − 4)
lim
(x2 + 4)(x + 2)(x − 2)
2
x→2 (x − 2)(−x − 2x − 4)
lim
2
= −
(x2 + 4)(x + 2)	8
x→2 (−x − 2x − 4)	3
(e)
x→7
¸		¸ 	
lim 2 −	x − 3 · 2 + ¸x − 3
x2 − 49
2 +	x − 3
lim
x→7 (x + 7)(x − 7)(2 +	x − 3)	(x + 7)(x − 7)(2 +	x − 3)
4 − x + 3 ¸ 	 =	−(x − 7) ¸ 	
x→7
−1¸
(x + 7)(2 +	x − 3)
lim =	= −
1
56
8. Calcule, se existirem, os limites abaixo:
¸	¸ 
x→a ¸x2 − a2
 x −	a
(a) lim	com a > 0
x→a
¸	¸	¸ 	
 x −	a +	x − a
(b) lim
¸x2 − a2
com a > 0
(c) lim
2
 ¸1	m	¸
2
 m
 	+ x + x	−	1 + x − x	
x
x→0
Resolução
(a)
x→a
x2 − a2
x→a
¸	¸	¸	¸ 
x −	a	 	x −	a	
lim ¸	= lim ¸
(x − a)(x + a)
¸ ¸x − ¸a	· ¸x + ¸a x − a¸x + a ¸x + ¸a
¸ 		 x − a
 	x − a ·	¸x + a · (¸x ¸ 
+	a)	
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
7
Limites e Continuidade
 	¸x − a
¸
0
= ¸	¸ 	
x + a · (¸x + ¸a)	2 a ·	2a
= 0
(b)
lim
x→a
¸	¸	¸ 	
 a +	x − a
x −¸
x2 − a2
x→a
¸x − ¸a + ¸x − a
lim	¸
¸x − a	x + a
lim
x→a
¸
x − a · ¸x + a
x→a
¸	¸	¸ 	
 	x −	a	x − a
+ lim ¸
x − a · ¸x + a
x→a
=
1	1
lim ¸
x + a	¸2a
(c)
lim
x→0
 m
 ¸		¸ 	
1 + x2 + x	−	1 + x2 − x
 m
x
m = 1
lim
x→0
 ¸1
2
 	 ¸
2
 
 	+ x + x −	1 + x − x 
x
= 2
m = 2
lim
x→0
 ¸1
2
 2	¸1
2
 m
 	+ x + x	−	+ x − x	
2
= lim
x→0
¸ 	
2 / x(2 1 + x2)
/ x
= 4
x→0
.
.
.
Resolvendo mais limites para outros valores de m é possível observar o seguinte padrão: 2m
9. Mostre que o lim x2 · cos(20πx) = 0.
2	2
−1 ≤ cos(2πx) ≤ 1
−x ≤ x cos(2πx) ≤ x
2
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
8
Limites e Continuidade
x→0
Pelo teorema do confronto:
lim −x2 = 0 , lim x2 = 0
x→0	x→0
lim x2 cos(2πx) = 0
10. Calcule, pelo Teorema do Confronto, lim (¸x + 1 − ¸x).
x→+∞
Resolução:
 		 	¸	¸ 
x→+∞
¸x + 1 + ¸x
lim (¸x + 1 − ¸x) · ( x + 1 +	x = lim
x→+∞
 	1
¸
x + 1 + ¸x
¸x + 1 > ¸x	⇒	¸x + 1 + ¸x > 2¸x
 	1
lim ¸
x→+∞
¸
x + 1 +	x
<
x→+∞
 	1 0 < lim ¸
¸
x + 1 +	x
<
 1 2¸x
 1 
2¸x
x→∞	x→∞
1
lim 0 = lim	¸
2 x
= 0
Logo
lim (¸x + 1 − ¸x) = 0
x
→+∞
11. A função sinal, denotada por sgn, está definida por

sgn(x) = 	0
 −1 ,	se x < 0
,	se x = 0 1 ,	se x > 0
Dica:
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
9
Limites e Continuidade
Figura 1.2: Gráfico da função sinal
x2 − 1
12. Considere a função f (x) = |x − 1|
Dica:
Figura 1.3: Gráfico da função f (x).
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
10
Limites e Continuidade
13. Seja g (x) =
x2 + x − 6
|x − 2|
.
+
x→2	x→1−
(a) Determine lim g (x) e lim g (x).
x→1
Existe lim g (x) ?
Esboce o gráfico de g. Dica:
Figura 1.4: Gráfico da função g (x).
14. Seja
h(x) =


x2
 8 − x	,
x	,	se x < 0
,	se 0 < x ≤ 2 se x > 2
(a) Calcule, se existirem, os limites.
x→0+	x→0−	x→0
i. lim h(x)	ii. lim h(x)	iii. lim h(x)
vi. lim h(x)
iv. lim h(x)
x→2−
v. lim h(x)
x→2+
x→2
(b) Esboce o gráfico da função h.
Dica:
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
11
Limites e Continuidade
Figura 1.5: Gráfico da função h(x).
Determine os limites.
 x − 5lim
x→4 (x − 4)2
Resolução:
lim x − 5	(Esse termo tende a -1) 
x→4 (x − 4)2	(Esse termo tende a 0)
y = (x − 4)2
y →0 y
lim −1 = −∞
(b) lim
cos(x)
x→0 x · sen (x)
Resolução:
lim
cos(x)	(Esse termo tende a 1)
x→0 x · sen (x)	(Esse termo tende a 0 )
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
12
Limites e Continuidade
y = x · sen x
1
y →0 y
lim	= ∞
16. Calcule os limites:
(a) lim
x→+∞
1 + 2 + 3 + ... + x
x2
(b) lim
x→+∞
12 + 22 + . . . + x2
x
3
k=1
Sugestão: Para (a) .x k
=
2
k=1
x(x + 1) e para (b) .x k2
=
x(x + 1)(2x + 1).
6
(a) lim
x→+∞
Resolução:
.x
k
k=1 
x2
lim
x→+∞
x(x + 1)
lim
x→+∞
1 +
2x2
1
x
2
(b) lim
x→+∞
.x
k2
k=1	
x3
lim
x→+∞
x(x + 1)(2x + 1)
6x3
2x3 + 3x2 + x
6x3
lim
x→+∞
lim
x→+∞
x
2 +	+
3	3 
6
x2	1
=
3
17. Calcule os seguintes limites no infinito:
¸3 x3 + 2x − 1
(a) lim	¸
x→+∞
x2 + x + 1
3
Resolução:
q 	
3
 1	1 
x2	x2
x (1 +	−	)
lim	q
x→+∞
2
x
1	1 
x2
x (1 +	+	)
q 	
1 +	−
 1	1 
x2	x2
lim q
x→+∞
x
1	1 
x
2
(1 +	+	)
= 1
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
13
Limites e Continuidade
(b) lim
x→+∞
¸x4 + 2
x3
Resolução:
q 	
lim
x→+∞
6
 1	2 
x2	x6
x (	+	)
x3
lim
x→+∞
q 	
x3	1	2 
x2	x6
(	+	)
x3
= 0
x9 + 1
(c) lim
x→−∞ x
9	6	4
+ x + x + 1
lim
x→−∞
 
9	1 
x9
x (1 +	)
9
1	1	1 
x3	x5	x9
x (1 +	+	+	)
= 1
18. Numa cidade, uma determinada notícia foi propagada de tal maneira que o número de pessoas que tomaram conhecimento é dado por:
N (t )
1768
1 + 33e−10t
em que t representa o número de dias após ocorrer a notícia. Pergunta- se:
Quantas pessoas souberam a notícia de imediato?
Determine lim N (t ) e explique o seu resultado.
t →∞
Dicas: o tempo tende a 0 no quesito (a)
Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salgada contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 25l/min.
Mostre que a concentração de sal depois de t minutos (gramas por litro) é
30t
C (t ) = 200 + t
(b) O que acontece com a concentração quando t → ∞
Resolução:
30 g · 25t · / l
l/	=
(a)	=
750t	30t
 	(5000 + 25t )l	5000 + 25t	200 + t	
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
14
Limites e Continuidade
t →∞ 200
(b) lim 30t =
30 / t
200
t
(	+ 1) / t
= lim
t →∞
30
200
t
(	+ 1)
= 30g /l
onde t é o tempo.
20. Encontre as assíntonas horizontal e vertical e esboce o gráfico da seguinte função:
x2	x2
(a) f (x) = x2 − 1 = (x + 1)(x − 1)
Resolução:
Tire o limite da função f (x) tendendo as raízes para encontrar as assín- tonas verticais :
2
lim	=
x2	x2
x→−1 x − 1	(x + 1)(x − 1)
1
x→−1 1 − x2
= lim	 1 = ∞
x2
2
1
x→−1 x − 1	x→−1 1 − x2
lim	= lim	 1 = ∞
Tire o limite da função f (x) tendendo a infinito para encontrar as assín- tonas horizontais:
x→∞
x2
1
x→∞ 1 − x2
lim	= lim	 1 = 1
x2 − 1
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
15
Limites e Continuidade
Figura 1.6: Gráfico da função f (x).
21. Investigue a continuidade da função seguinte:
(a) f (x) =
Resolução:
(
x
, x /= 0
|x|
−1, x = 0
|x| =
 
x, x ≥ 0
−x, x < 0
lim
x
x→0 |x|
x→0+ x
lim x = 1
x
x→0− −x
lim	= −1
A função é descontínua, pois os limites laterais são diferentes.
22. O potencial φ de uma distribuição de carga num ponto do eixo dos x é
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
16
Limites e Continuidade
dado por:


φ(x) = 
 2πσ
 ¸ 	
 
x2 + a2 − x	,
se x ≥ 0
se x < 0
 ¸ 	
 
 2πσ	x2 + a2 + x	,
x→0+
com a > 0 e σ > 0. φ é contínua em 0? Justifique.
Resolução:
√ 	
lim 2πσ(	x2 + a2 − x) = 2πσa
x→0
√ 	
lim 2πσ(	x2 + a2 + x) = 2πσa
x→0+
Como os limites laterais são iguais a função é contínua em 0;
23. Dizemos que uma função f é contínua em um ponto a se, e somente se,
lim f (a + h) = f (a)
h→0
Use esse fato para demonstrar que as funções sen (x) e cos(x) são contí- nuas.
Resolução:
lim sen (x + a) = sen a
Calcule:
lim sen 3x
x→0	x
Resolução:
lim 3 sen 3x
x→0	3x
u = 3x
lim
u→0
3 sen u
u
= 3
25. Calcular o valor de lim tan x + x
x→0	x
sen x
lim
x→0
cos x + x
x
= lim
sen x
x→0 x cos x
+ 1
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
17
Limites e Continuidade
lim
x→0
· lim
sen x	1
x	x→0 cos x
+ 1
lim
x→0
tan x + x x
= 2
26. Determine: lim
1 − cos2 x
x→0 1 − cos x
Resolução:
lim	·
1 − cos2 x 1 + cos x
x→0 1 − cos x	1 + cos x
lim
x→0
(1 − cos2 x)(1 + cos x)
2
(1 − cos x)
x→0
lim 1 + cos x = 2
27. Sabendo que lim
x→0
Resolução:
sen x
x
= 1, calcule lim
x→
π
4
cos x − sen x
cos 2x
cos 2x = cos(x + x) = cos x cos x − sen x sen x
cos 2x = cos2 x − sen 2x
π
4
2	2
π
4
 cos x − sen x 	 	cos x − sen x	
lim	= lim
x→ cos x − sen x	x→ (cos x − sen x)(cos x + sen x)
lim
x→
π
4
1
=
¸2
cos x + sen x	2
Calcule os limites:
lim sen 3x
x→0	2x
(b) lim 1 − cos x
 x	
x→0 ¸
x→0
¸ 	
 1 + sen x −	1 − sen x
(c) lim
x
Resolução:
(a) lim sen 3x
x→0	2x
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
18
Limites e Continuidade
u
u = 3x	x = 3
lim sen u
u→0
2u 3
3
lim
2 u→0
u
=
sen u	3
2
(b) lim 1 − cos x
x→0	x
lim
x→0
·	= lim
1 − cos x 1 + cos x	1 − cos2 x
x	1 + cos x	x→0 x(1 + cos x)
sen 2x + cos2 x = 1	⇒
sen 2x = 1 − cos2 x
lim
x→0
sen x
x
x→0
· lim sen x · lim
x→0 1 + cos x
1	1
= 1 · 0 · 2 = 0
x→0
¸1 + sen x − ¸1 − sen x
(c) lim
x
lim
x→0
x
·
¸	¸	¸
¸
1 + sen x −	1 − sen x	1 + sen x +	1 
− sen x
¸1 + sen x + ¸1 − sen x
 1 + sen x − (1 − sen x) 	 lim	¸	¸
x→0 x( 1 + sen x +	1 − sen x)
x→0 x(
 	2 sen x 	
lim	¸
1 + sen x + ¸1 − sen x)
2 · lim
x→0
 sen x
x
x→0 x(
· lim	¸
1
¸
1 + sen x +	1 − sen x)
 
1
2
= 2 · 1 ·	= 1
29. Calcule os limites:
 	3 x
(a) lim 1 − x
x→∞
(c) lim
x→∞
(b) lim 1 − x
4 5x
x→∞
(d) lim
x→∞
 	 x
x + 1
x − 1
 	 2x+3
x + 5
x
Resolução:
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
19
Limites e Continuidade
x→∞
 	3 x
(a) lim 1 − x
x→∞
 	1 x
Limite fundamental:	lim 1 + x	= e
1 − 3	1
x = 1 + y
⇒
−3	1
x = y
x = −3y
y →∞
 
lim 1 + y
1 −3y
 	 
y →∞
= lim 1 + y
1 y −3
x→∞
 	3 x
1
lim 1 − x	= e3
x→∞
 
(b) lim 1 − x
4 5x
1 − 4	1
x = 1 + y
⇒
−4	1
x = y
x = −4y
 
lim 1 −
x→∞
4
−4y
 −20y
 	 
= lim 1 +
y →∞
1 y −20
y
= e−20
(c) lim
x→∞
 	 x
x + 1
x − 1
x + 1
x − 1
= 1 +
1
y
/ x + 1 =/ x − 1 +
x − 1
y
2y = x − 1
x = 2y + 1
 / 2y+ / 2 2y +1
/ 2y
=
 	 2y +1
y + 1
y
=	1 +
 
1
y
 2y
 
· 1 +
1
y
 
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
20
Limites e Continuidade
y →∞
 	 	1 y 2
lim 1 + y
y →∞
 	1 y
y
· lim 1 +	= e2
(d) lim
x→∞
 	 2x+3
x + 5
x
x + 5
x
= 1 +
1
y
x
/ x + 5 =/ x + y
5y = x
 	 10y +3
/ 5y+ / 5
/ 5y
 
= 1 + y
1 10y +3
x→∞
lim 1 +
 
1 10y +3
y
x→∞
= lim 1 +
y
x→∞
· lim 1 +
 	 	1 y 10 	 	1 3
y
10
= e
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
21
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
1. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 que é paralela à reta 8x − y + 3 = 0.
Resolução:
8x − y + 3 = 0
y = 8x + 3
y	= 2x2 + 3
y ′
= 4x = 8
x	= 2
y (2) = 11
y − 11 = 8(x − 2)
y − 11 = 8x − 16
y	= 8x − 5
2. Usando a definição, determine a função primeira derivada e as derivadas nos pontos indicados:
f (x) = x2 − 1, f ′(0)	e	f ′(1)
22
Derivadas
Resolução:
lim
h→0
(h + x)2 − 1 − x2 + 1
h
h→0
2	2	2
/ h + 2 / hx+ / x − / 1− / x + / 1
/ h
=	lim
=	lim h + 2x = 2x
h→0
f ′(0) = 0	;	f ′(1) = 2
3. Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 10m/s, a sua altura (em metros) deposis de t segundos é dada por y = 10t − 4, 9t 2. Encontre a velocidade quando t = 2.
Resolução:
y (t ) = 10t − 4.9t 2
v(t ) = lim
h→0
v(t ) = y ′(t )
10(h + t ) − 4, 9(h + t )2 − 10t + 4, 9t 2
h
v(t ) = lim
h→0
10h + 10t − 4, 9(h2 + 2ht + t 2) − 10t + 4, 9t 2
h
h→0
 / h(10 − 4, 9h − 9, 8t )
v(t ) = lim	= 10 − 9, 8t
/ h
v(2) = −9, 6m/s
4. Determine se existir ou não f ′(0).

1
x
 x2 sen	, se	x /= 0
f (x) =  0
, se	x = 0
Resolução:
x→0
x − 0
x→0
 f (x) − f (0)
f ′(0) = lim	= lim x sen (1/x) = 0
Logo o limite existe.
Seja f (x) = ¸3 x.
Se a /= 0, usando a definição de derivada no ponto, encontre f ′(a).
Mostre que f ′(0) não existe.
Mostre que y = ¸3 x tem uma reta tangente vertical em (0, 0).
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
23
Derivadas
Resolução:
(a)
f ′(a) =
h→0
 f (a + h) − f (a)
lim
=	lim
h→0
h
¸3 (a + h) − ¸3 a
h
=	lim
h→0
 		a(3¸		+ h) −	
¸3
h
√3
2¸3
a	(a + h) +	(a 
¸3
+ h)a +	a 
2
3
· √
2
3
¸
3
¸
(a + h) +	(a + h)a +	a
2
=	lim
q 	
(a + h)3 − ¸a3
3	3
h→0 h(
√3
¸3
¸3
2	2
(a + h) +	(a + h)a +	a )
=	lim
h→0
3
3
¸
3
 	/ a+ / h− / a	
√	¸ 	
2	2
/ h(	(a + h) +	(a + h)a +	a )
=
h→0
1
lim √
3
2
¸3
¸3
(a + h) +	(a + h)a +	a
2
h→0
=	lim ¸3
2	2	2
1	1
3
¸3	¸3	= ¸
a +	a +	a	3 a
2
f ′(0) = 1/0, que é indeterminação.
A função é contínua em x = 0 e a f ′(0) = +∞. Por isso, existe a reta tangente vertical nesse ponto.
6. Mostre que a função f (x) = |x −6| não é diferenciavel em 6. Encontre uma
fórmula para f ′ e esboce seu gráfico.
Resolução:
Lembre-se:
|x| =
 
x	,	x > 0
−x	,	x < 0
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
24
Derivadas
Para x > 6
f ′(a) = lim
h→0
h+ / a− / 6− / a+ / 6
h
= 1
Para x < 6
f ′(a) = lim
h→0
−h− / a+ / 6+ / a− / 6
h
= −1
Os limites laterais são diferentes, logo não existe derivada no ponto 6.
f (x) =
 
−1 ,	x < 6
1	,	x > 6
Figura 2.1: Gráfico da função f (x).
7. Em que ponto da curva y = x2 + 8 a inclinação da tangente é 16? Escreva a equação dessa reta tangente.
Resolução:
f ′(a) = 16
lim
h→0
f (x) = x2 + 8
(h + a)2 + 8 − a2 − 8
h
h→0
2	2	2
/ h + 2 / ha+ / a + / 8− / a − / 8
/ h
h→0
=	lim
=	lim h + 2a = 2a
f ′(a) = 2a = 16,
a = 8,
y = 82 + 8 = 72
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
25
Derivadas
Ponto (8,72)
Encontrando a reta tangente:
y − 72 = 16(x − 8)
y = 16x − 56
8. Se f (x) = 2x2−x3, encontre f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x)	e	f (4). Trace f , f ′, f ′′ e f ′′′ em uma única tela. Os gráficos são consistentes com as interpretações geométricas destas derivadas?
Resolução:
f ′(x)	= 4x − 3x2
f ′′(x)	= 4 − 6x f ′′′(x) = 6
f (4)
= 0
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
26
Derivadas
Figura 2.2: Gráfico das funções f (x), f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x).
9. Lembre-se de que uma função f [e chamada par se f (−x) = f (x) para todo x em seu domínio e, ímpar se f (−x) = − f (x) para cada um destes x. Demonstre cada uma das afirmativas a seguir:
A derivada de uma função par é uma função ímpar.
A derivada de uma função ímpar é uma função par.
Resolução:
(a) Escolhendo a função cos(x) :
lim cos(h + x) − cos x
h→0
h
lim cos h cos x − sen x sen h − cos x
h→0
h
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
27
Derivadas
lim
cos x(cos h − 1)
h
h→0
− sen x
− lim
h→0
sen x sen h
h
Uma função ímpar
(b) Escolhendo a função sen (x) :
h→0
 sen (h + x) − sen x
lim
h
 sen h cos x + sen x cos h − sen x
lim
h
h→0
h→0
lim cos x
+ lim sen x
sen h	(cos h − 1)
h	h→0	h
cos x	uma função par
10. Encontre a derivada de cada uma das funções.
(a) f (x)	=
3
2x
5
¸
3
2
+ 2x( x ) − ¸x
t 3 − 3t
2
(t − 2t )
t 5 − 5t
(c) f (x)
(b) f (x) =
=
x2 sen (x) − ln(x) cos(x)
Resolução:
(a) f (x) =
3
2x
5
¸
3
2
+ 2x( x ) − ¸x
3
2
−1	3/5
f (x) =	x	+ 2x · x	− 2x
−1/2
3
2
f (x) =	x	+ 2x	− 2x
−1	8/5	−1/2
′(
−3
2
16
5
−2	3/5
f x) =	x	+	x · x	+ x
−3/2
=	+
−3	16
2x2	5
5
¸
3
1
x + ¸3 x2
t 3 − 3t
2
(b) f (x) = t 5 − 5t (t − 2t )
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
28
Derivadas
Utilizando a regra do quociente:
′
f (t ) =
(t 5 − 5t )(5t 4 − 8t 3 − 9t 2 + 12t ) − (t 5 − 2t 4 − 3t 3 + 6t 2)(5t 4 − 5)
′
f (t ) =
(t 5 − 5t )2
2t 8 + 6t 7 − 18t 6 − 20t 5 + 30t 4 + 30t 3 − 30t 2
(t 5 − 5t )2
(c) f (x) = x2 sen (x) − ln(x) cos(x)
Utilizando a regra do produto:
 1
x
f ′(x) = 2x sen x + x2 cos x −	cos x + ln x · − sen x
 
f ′(x) = sen x(2x + ln x) + cos x(x2 − 1/x)
11. Suponha que a curva y = x4 + ax3 + bx2 + cx + d tenha uma reta tangente quando x = 0 com equação y = 2x + 1 e, uma reta tangente quando x = 1 com equação y = 2 − 3x. Encontre os valores de a, b, c e d .
Resolução:
f ′(0) = 2;
f ′(1) = −3
f ′(x) = 4x3 + 3ax2 + 2bx + c f ′(0) = c = 2
f ′(1) = 3a + 2b = −9
f (0) = d = 1
f (1) = a + b = −5
= −9
= −5
a = 1;	b = −6
 
3a + 2b a + b
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
29
Derivadas
12. Se f (x) = ex · g (x), em que g (0) = 2 e g ′(0) = 5. É correto dizer que f ′(0) é: (a)7	(b)2	(c)5	(d) 10
Resolução:
f ′(x) = exg (x) + exg ′(x);	f ′(0) = e0g (0) + e0g ′(0)
f ′(0) = 2 + 5 = 7
Resposta: letra (a)
13. Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P (2) = 5,P ′(2) = 3 e
P ′′(2) = 2.
Resolução:
P (x)	=	ax2 + bx + c
P ′(x)	= 2ax + b
P ′′(x) = 2a
P (2)
P ′(2)
P ′′(2)
a
= 4a + 2b + c = 5
= 4a + b = 3
= 2a = 2
= 1
4 + b = 3 ⇒ b = −1
4 − 2 + c = 5 ⇒ c = 3
14. Encontre as derivadas das funções dadas.
(a) f (x) = (3x5 − 1)10(2 − x4)	(c) f (θ)	= 2 cos2(θ) sen (θ)
(d ) f (x) = ln( sen 2(x))
(b) f (s)	= ln(e5s−3)
Resolução:
(a) f (x) = (3x5 − 1)10(2 − x4)
Obs. Utiliza-se a regra da cadeia e a do produto.
10(3x5 − 1)9(15x4)(2 − x4) + (3x5 − 1)10 · −4x3
(b) f (s) = ln(e5s−3)
5e5s−3
e5s−3 = 5
(c) f (θ) = 2 cos2(θ) sen (θ)
2
f ′(θ) = −4 cos(θ) sen (θ) sen (θ) + 2 cos (θ) cos(
θ)
2	3
= −4 cos(θ) sen (θ) + 2 cos (θ)
(d) f (x) = ln( sen 2(x))
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
30
Derivadas
(b) y	=
Resolução:
1	2 cos x
sen 2(x) · 2 sen (x) cos(x) = sen x = 2 cot x
15. Usando a regra da cadeia, determine y ′, sendo:
(a) y	= (3x + 5)50	(c) y	= sec2[(x3 − 6)3]
(d) y	=
1	1
(x3 + 3x2 − 6x + 4)	x(x + 1)
(a) y	= (3x + 5)50
y ′	= 50(3x + 5)49 · 3 = 150(3x + 5)49
(b) y	=
1
x3 + 3x2 − 6x + 4
= (x3 + 3x2 − 6x + 4)−1
y ′
3	2	2	2
= −(x + 3x − 6x + 4)− · (3x + 6x − 6) =
 −(3x3 + 6x − 6) 
(x3 + 3x2 − 6x + 4)2
(c) Derivada tabelada:
d sec x
dx
= sec x · tan x
2 sec[(x3 − 6)3] · sec[(x3 − 6)3] · tan[(x3 − 6)3] · 3(x3 − 6)2 · 3x2
y	= sec2[(x3 − 6)3]
y ′	=
y ′	=
18x2 sec2[(x3 − 6)3] tan[(x3 − 6)3](x3 − 6)2
(d) y	=
1
x(x + 1)
= [x(x + 1)]−1
′
−2
y	= −[x(x + 1)]	· [(x + 1) + x]
=
−(2x + 1)
[x(x + 1)]2
16. Seja f uma função derivável e g (x) = ex f (3x + 1). Cacule g ′(0) se f (1) = 2 e f ′(1) = 3.
g (x) = ex f (3x + 1)
g ′(x) = ex f (3x + 1) + ex f ′(3x + 1) · 3
g ′(0) = e0 f (1) + e0 f ′(1) · 3 = 2 + 9 = 11
A curva y = 1/(1 + x2) é chamada bruxa de Maria Agnesi.
Encontre uma equação da reta tangente e uma equação da reta norma
1
2
para essa curva no ponto (−1, ).
(b)Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e das retas tangentes e normal no mesmo plano.
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
31
Derivadas
Resolução:
y	= (1 + x2)−1
y ′
 −2x	
= −(1 + x2)−2 · 2x =
(1 + x2)2
1
2
Encontrando a reta tangente no ponto (−1, )
′(
f −1) =
=
 −2 · −1		1
(1 + (−1)2)2	2
y −
y −
1
2
1
2
=	(x − (
−1))
1
2
=	x +
1	1
2	2
1
2
y	=	x + 1
Encontrando a reta normal no ponto (
1
2
−1, )
1	−1
y − 2 = f ′(−1)(x + 1)
1
1
3
y − 2	= −2(x + 1)
y − 2	= −2x − 2
y	= −2x − 2
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
32
Derivadas
Figura 2.3: Gráfico da curva bruxa Maria Agnesi e das retas tangente e normal
1
2
no ponto (−1, ).
18. Calcule a derivada de:
(a) y	=	¸3 3x − 1
(b) z(x) = ln(x2 − 6)
Resolução:
(a) y = ¸3 3x − 1 = (3x − 1)1/3
1
/ 3
−2
3
=	(3x − 1)	· / 3
y ′
y ′
=
1
√3 (3x	1)2
−
(b) z(x) = ln(x2 − 6)
z′(x) =
1
· 2x =
2x
x2 − 6	x2 − 6
Calcule as derivadas das funções:
y = 5x−1
y = log5(x2)
(c) y = ln
x
 	 
x + 1
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
33
Derivadas
Resolução:
Dica:
a
d (log x)
dx
=
1
x ln a
(a) y = 5(x−1)
ln y	=
ln 5(x−1)
y
′
y ′
y ′
ln y	= (x − 1) ln 5 1
· y	= ln 5
=	y ln 5
= 5(x−1) · ln 5
(b) y = log5(x2)
y ′ =
1
x2 ln 5
· 2x =
2
x ln 5
(c) y = ln
 
x
x + 1
 
= ln x − ln(x + 1)
1
′
y =	−
1	1
=
x	x + 1	x2 + x
20. Calcule y ′ se:
√ 	
(a)y =	1 − tan2(x)
(b)y = x cot(2x) (c)y = tan(sec(x2))
Resolução:
Derivadas tabeladas:
2
= sec x;
d (tan x)	d (sec x)
dx	dx
= sec x · tan x
2
√
(a)y =	1 − tan2(x) = (1 − tan x)
1
2
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
34
Derivadas
y ′
1
/ 2
2 )−
1
2
2
= −	(1 − tan x	· [/ 2 tan x · sec x]
y ′
=
2
−tan x · sec x
¸1 − tan2 x
(b)y = x cot(2x)
d 99
y ′ = cot(2x) − 2 cossec2(2x) (c)y = tan(sec(x2))
y ′ = sec2[sec(x2)] · sec(x2) · tan(x2) · 2x
21. Encontre:	( sen x)
dx99
Resolução:
d dx
sen x
= cos x
d 2
dx2 sen x	= − sen x
d 3
dx3 sen x	= −cos x
d 4
dx4 sen x	=	sen x
d 5
dx5 sen x	= cos x
99	4
3 24
d 99
d 3
dx99 ( sen x) =	dx3 ( sen x)
= −cos x
22. Encontre constantesA e B de forma que a função y = A sen x + B cos x
satisfaça a equação diferencial y ′′ + y ′ − 2y = sen x.
Resolução:
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
35
Derivadas
y ′
y ′′
=	A cos x − B sen x
= −A sen x − B cos x
−A sen x − B cos x + A cos x − B sen x − 2A sen x − 2B cos x = sen x
(−3A − B ) sen x + (A − 3B ) cos x = 1 sen x + 0 cos x
 
10
−3A − B	= 1
A − 3B	= 0
A = −3 ;	B =
−1
10
∂y
∂x
2	2
23. Ache	por derivação implicita de x + y = 16
Resolução:
2x + 2y · y ′	= 0
2y · y ′	= −2x y ′
=
− / 2x
/ 2y
−x y
y ′
=
24. Ache uma equação da reta tangente à curva 16x4 + y 4 = 32 no ponto (1, 2).
Resolução:
Derivando a curva:
64x3 + 4y 3 · y	= 0
3
4y 3 y ′	= −64x y ′
=
−64x 
3
4y 3
= −
16x
3
y 3
y ′(1, 2) = −2
Equação da reta tangente:
y − 2 = −2(x − 1)
y − 2 = −2x + 2
y	= −2x + 4
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
36
Derivadas
25. Ache uma equação da reta normal à curva x2 + xy + y 2 −3y = 10 no ponto
(2, 3).
Resolução:
2x + y + xy ′ + 2yy ′ − 3y ′	= 0
(x + 2y − 3)y ′	= −2x − y
y ′
=
 −2x − y x + 2y − 3
y ′(2, 3) =
−7
5
Equação da reta normal:
1
t − t0 = − y ′ (x − x0)
5
t − 3 =	7 (x − 2)
5	10
t − 3 =	7 x − 7
t	=
−5 x −11
7	7
26. Use a derivação logarítmica para encontrar as derivadas das seguintes funções:
(a) y	= (2x + 1)5(x4 − 3)6
(b) y	=
Resolução:
r
x − 1
x4 + 1
x
y	=	x
y	=
xcos x
(a)y = (2x + 1)5(x4 − 3)6
ln y	= ln[(2x + 1)5(x4 − 3)6]
ln y	= ln(2x + 1)5 + ln(x4 − 3)6 ln y	= 5 ln(2x + 1) + 6 ln(x4 − 3)
y · y ′	=
1	10	24x3
2x + 1 + x4 − 3
y ′
= [(2x + 1)5(x4 − 3)6] ·
 
10
+
24x3 
4
2x + 1	x − 3
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
37
Derivadas
r 	
x − 1
4
x + 1
(b)y =
ln y	= ln
. 
x − 1
x4 + 1
 1/2.
=	2 ln
1	 x − 1 
x4 + 1
1 
4
=	2 ln(x − 1) − ln(x + 1)
 
1
y · y ′	=
1	4x3
2(x − 1) − 2(x4 + 1)
y ′
=
 
r
x − 1	1	4x3
x4 + 1 · 2(x − 1) − 2(x4 + 1)
 
(c)y = xx
y	=
y
′
xx
ln y	= ln xx
ln y	=	x ln x
1
· y	= ln x + x ·
1
x
y ′
y ′
=	y · [ln x + 1]
=
xx · [ln x + 1]
(d)y = xcos x
ln y	= ln(xcos x ) ln y	= cos x · ln x
1
y · y	= − sen x · ln x +
cos x
x
y ′
=
hcos x
xcos x 	
x
− sen x · ln x
i
27. Seja f (x) = a
+ b cos(2x) + c cos(4x), onde a, b, c ∈ R
 π
2)
. Sabendo que f (	=
1, f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f (3)(0) = 0 e que f pode ser escrita na forma
f (x) = sen n (x), n ∈ N, determine a, b, c e n.
Resolução:
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
38
Derivadas
f (x)
f ′(x)
f ′′(x)
f (3)(x)
=	a + b cos(2x) + c cos(4x)
= −b2 sen (2x) − 4c sen (4x)
= −4b cos(2x) − 16c cos(4x)
= 8b sen (2x) + 64c sen (4x)
= −4b − 16c = 0
=	a + b = c = 0
f ′′(0)
f (0)
f (π/2)
=	a − b + c = 1
Resolvendo o sistema acima:
3
8
a =	;
−1
2
b =	;
c =
1
8
3	1	1
f (x) =	8 − 2 cos(2x) + 8 cos(4x)
2	2
3	1	1
=	8 − 2 (cos x − sen x) + 8 cos(4x)
2
3	4	1
=	8 − 8 (1 − 2 sen x) + 8 cos(4x)
2
1	1
= − 8 + sen x + 8 cos(4x)
1
8	8
1 cos 4x	=	[cos(2x) cos(2x) − sen (2x) sen (2x)]
1
2	2
=	8 [cos (2x) − sen (2x)]
1
2
=	8 (1 − 2 sen (2x))
1	1
2 sen 2(2x)
2
f (x) = − 8 + sen (x) + 8 − 8
2
2	2
sen x − 8 sen (2x)
=
sen 2(2x) = ( sen x cos x + sen x cos x)
2
= (2 sen x cos x)
2
2	2
= 4 sen x cos x
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
39
Derivadas
2
8
2	2	2
f (x) =	sen x − (4 sen x cos x)
2	2	2
=	sen x − sen x cos x
2	2
=	sen x(− / 1+ / 1 + sen x)
2	2	4
=	sen x · sen x = sen x
 
x − 1
2
 
n = 4
28. Determine a equação da reta tangente e da reta normal à curva y = arcsin no ponto onde a curva intersecta o eixo dos x.
Resolução:
dx
 d	1	
Valor tabelado :	arcsin x = ¸
1 − x2
Encontrando o ponto onde a curva intersecta o eixo dos x:
arcsin
x − 1
2
 	 
= 0
= 0	⇒	x = 1
x − 1
2
Ponto : (1,0)
1
y ′ = s
1 −
 	 2
x − 1
·
1
2
′
y =
2
1
2
Reta tangente:
1
y − 0 = 2 (x − 1)
1	1
y = 2 x − 2
Reta normal:
1
y − 0 = − 1/2 (x − 1)
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
40
Derivadas
y = −2(x − 1)
y = −2x + 2
APOSTILA
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
41
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
42
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1994.
STEWART, J. Cálculo. Vol. 1. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
GUIDORIZZI, H. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
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