Calculo Diferencial e Aplicacoes MATA

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1 
 
UNIVERSIDADE ZAMBEZE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS 
Licenciatura em Engenharia Agropecuária (Produção Vegetal e Animal) 
Matemática Aplicada 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
Uma linha recta tem a propriedade de ter o mesmo declive em todos os pontos. Para qualquer outro 
gráfico, no entanto, o declive pode variar de ponto a ponto. Assim, o declive do gráfico de ( )y f x 
no ponto x é também uma função de x . Em qualquer ponto x em que o gráfico tem um declive finito, 
dizemos que f é diferenciável e chamamos o declive, a derivada de f . Os principais conceitos sobre 
derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes 
por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de recta tangente a uma curva no plano. 
 
A Definição de Derivada num ponto 
A derivada de uma função )(xf em um ponto ax  representada por )(/ af é definida por qualquer 
uma das seguintes equivalentes expressões de limite do quociente de Newton 





 
 h
afhaf
h
)()(
lim
0
 ou 







 x
afxaf
x
)()(
lim
0
 ou 







 ax
afxf
ax
)()(
lim se existir. 
 
Exemplo: 
Usando a definição calcule a derivada da função 32)( 2  xxxf no ponto 𝑎 = 2. 
 
 
Solução 
Pela definição de derivadas 




 
 h
afhaf
h
)()(
lim
0
 onde 𝑎 = 2 teremos: 
 





 

 h
fhf
f
h
)2()2(
lim)2(
0
/ = 




 
 h
hh
h
]344[]3)2(2)2[(
lim
2
0
 
 = 




 
 h
hhh
h
5]32444[
lim
2
0
 = 




 
 h
hh
h
5]56[
lim
2
0
 
 = 




 
 h
hh
h
6[
lim
2
0
 = 6)6(lim
0


h
h
. 
 
 
 
2 
Definição geral de Derivada (Derivada de uma função num ponto arbitrário) 
A derivada de uma função )(xfy  em qualquer ponto x do seu domínio é outra função representada 
por / /( ), , ou
df
f x y
dx
 definida pelo limite 





 

 h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)(
0
/ se existir. 
Se 
/ ( )f x existe, dizemos que f é diferenciável no ponto x . O processo de calcular a derivada f  de 
uma dada função f é chamado diferenciação. Muitas vezes, o gráfico de f  pode ser esboçado 
directamente a partir de f , visualizando declives, um procedimento chamado diferenciação gráfica. 
 
Exemplo 1: 
Para a função discutida no primeiro exemplo, sua derivada geral ou em um ponto arbitrário pode ser 
obtida da seguinte forma: 





 

 h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)(
0
/ = 







 
 h
xxhxhx
h
]32[]3)(2)[(
lim
22
0
 
= 




 
 h
xxhxhxhx
h
)32(]3222[
lim
222
0
 
= 




 
 h
hxhh
h
22
lim
2
0
 =  22lim
0


xh
h
 = 22 x 
 
Exemplo 2: 
As figuras a seguir mostram gráficos de funções 2( )f x x , 
1
( )g x
x
 e ( )k x x ; e suas derivadas. 
 
 
 
3 
 
 
 
Algumas Terminologias Importantes 
1. O processo de encontrar a derivada )(/ xf é chamado diferenciação de )(xf . 
2. Uma função )(xf é considerada diferenciável em um ponto ax  se o limite )(/ af existir. 
3. Uma função é dita diferenciável em um intervalo aberto se for diferenciável em cada ponto do 
intervalo. 
4. A diferenciação de uma função )(xf pelos primeiros princípios simplesmente significa a 
diferenciação da função usando a definição de derivada. Em outras palavras, significa encontrar 
 




 
 h
xfhxf
h
)()(
lim
0
, se existir. 
 
Regras de Diferenciação 
Sejam 𝑓 e g duas funções definidas num intervalo aberto ( , )a b e que 
 
dx
xfd )(
 ou )(/ xf e 
 
dx
xgd )(
 ou 
)(/ xg existam em cada ponto 𝑥 do intervalo ( , )a b , então 
 
 
4 
1. Função constante 
Se ( )f x k , onde k é uma constante, então 0)(/ xf . 
Prova 
Pela definição de diferenciação: 0lim
)()(
lim)(
00
/ 




 





 

 h
kk
h
xfhxf
xf
hh
. 
 
Exemplo: Calcule a derivada da função 5)( xf . 
 
Solução 
 Pela definição de derivada: 0
055
lim
)()(
lim)(
00
/ 




 





 

 hhh
xfhxf
xf
hh
 
ou 
Aplicando a fórmula de função contsante: 0)(5)( /  xfxf . 
 
2. Multiplicação com constante 
Se ( ) ( )F x kf x , então )()( // xkfxF  . 
Prova 
Pela definição de diferenciação, 
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim ( )
h h
kf x h kf x f x h f x
F x k kf x
h h 
      
      
   
. 
 
Exemplo: Calcule a derivada da função xxf 5)(  . 
 
Solução 
 Pela definição de derivada: 
0 0 0 0
( ) ( ) 5( ) 5
( ) lim lim 5lim 5lim 5 1 5
h h h h
f x h f x x h x x h x h
f x
h h h h   
            
              
       
. 
ou 
Aplicando a fórmula de multiplicação com contsante: 
    555)(5)( ///  xxxfxxf . 
 
3. Soma de duas funções 
Se )()()( xgxfxF  , então )()()( /// xgxfxF  . 
Prova 
Pela definição de diferenciação, 
 
5 





 





 

 h
xgxfhxghxf
h
xFhxF
xF
hh
)]()([)]()([
lim
)()(
lim)(
00
/ 





 

 h
xghxgxfhxf
h
)]()([)]()([
lim
0
 
)()(
)()()()(
lim //
0
xgxf
h
xghxg
h
xfhxf
h











 





 


. 
 
4. Diferença de duas funções 
Se )()()( xgxfxF  , então )()()( /// xgxfxF  . 
Prova 
Pela definição de diferenciação, 





 





 

 h
xgxfhxghxf
h
xFhxF
xF
hh
)]()([)]()([
lim
)()(
lim)(
00
/ 





 

 h
xghxgxfhxf
h
)]()([)]()([
lim
0
 
)()(
)()()()(
lim //
0
xgxf
h
xghxg
h
xfhxf
h











 





 


. 
 
Exemplo: Calcule a derivada da função 235)( 2  xxxf . 
 
Solução 
 Pela definição de derivada: 
 





 





 

 h
xxhxhx
h
xfhxf
xf
hh
2352)(3)(5
lim
)()(
lim)(
22
00
/ 
2 2 2 2
0 0
5 10 5 3 3 2 5 3 2 10 5 3
lim lim
h h
x hx h x h x x hx h h
h h 
            
    
   
 
 
 
0 0
10 5 3
lim lim 10 5 3 10 3
h h
h x h
x h x
h 
  
      
 
 
ou 
Aplicando a fórmula de soma e diferença de duas funções: 
          31035235)(235)( //2///2/2  xxxxxxfxxxf 
 
5. Produto de duas funções 
Se )()()( xgxfxF  , então )()()()()(
/// xgxfxgxfxF  . 
 
6 
Prova 
Pela definição de diferenciação, 





 





 

 h
xgxfhxghxf
h
xFhxF
xF
hh
)]()([)]()([
lim
)()(
lim)(
00
/ 





 

 h
xghxgxfhxgxfhxf
h
)]()()[()()]()([
lim
0
 











 





 

 h
xghxg
xfhxg
h
xfhxf
h
)()(
)()(
)()(
lim
0
 
)()()()( // xgxfxgxf  . 
 
Exemplo: Calcule a derivada da função )32)(2()(  xxxf . 
 
Solução 
 Pela definição de derivada: 





 





 

 h
xxhxhx
h
xfhxf
xf
hh
)32)(2()3)(2)(2(
lim
)()(
lim)(
00
/ 
 




 
 h
xxhxhx
h
)32)(2()322)(2(
lim
0
 





 

 h
xxxhxhhhxxhxx
h
6432644322322
lim
222
0
 
 
 
2
0 0 0
2 1 42 4
lim lim lim 2 1 4 4 1
h h h
h h xh h hx
h x x
h h  
    
       
   
 
ou 
Aplicando a fórmula de produto de duas funções: 
)2(232)32)(2()32()2()()32)(2()( /
//  xxxxxxxfxxxf 
 14)4232  xxx 
 
6. Quociente de duas funções 
Se 
)(
)(
)(
xg
xf
xF  , então 
)(
)()()()(
)(
2
//
/
xg
xgxfxgxf
xF

 . 
Prova 
Pela definição de diferenciação, 




















 

 )(
)(
)(
)(1
lim
)()(
lim)(
00
/
xg
xf
hxg
hxf
hh
xFhxF
xF
hh
 
 
7 















 )()(
)()()()(1
lim
0 hxgxg
hxgxfxghxf
hh
 









 )()(
)]()()[()()]()([
lim
0 xghxhg
xghxgxfxgxfhxf
h
 















 )()(
)()(
)()(
)()(
lim0 xghxg
h
xghxg
xfxg
h
xfhxf
h
 
)(
)()()()(
2
//
xg
xgxfxgxf 
 . 
 
Exemplo: Calcule a derivada da função
32
2
)(



x
x
xf . 
 
Solução 
 Pela definição de derivada: 
0 0 0
2 2 2 2
( ) ( ) 2( ) 3 2 3 2 2 3 2 3
( ) lim lim lim
h h h
x h x x h x
f x h f x x h x x h x
f x
h h h  
            
                          
     
     
 
     
        
  0 0
2 2 3 2 2 2 3
2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 3
lim lim
2 2 3 2 3h h
x h x x x h
x h x x h x x x h
h h x h x 
       
                
     
 
 
 
   







 32322
644322643232
lim
22
0 xhxh
hxxhxxxhhxxx
h
 
        





















 32322
7
lim
32322
7
lim
32322
43
lim
000 xhxxhxh
h
xhxh
hh
hhh
 
     9124
7
32
7
3232
7
22 





xxxxx
. 
ou 
Aplicando a fórmula de quociente de duas funções: 
      
 
 
 
/ /
/
2 2
2 2 3 2 2 3 2 3 2 22
( ) ( )
2 3 2 3 2 3
x x x x x xx
f x f x
x x x
       
   
  
 
   
2 2 2
2 3 2 4 7 7
4 12 92 3 2 3
x x
x xx x
  
  
  
. 
 
8 
7. Função polinomial com expoente positivo 
Se 
nxxf )( , onde n é um número inteiro positivo, então 1/ )(  nnxxf . 
Prova 
Pela definição de diferenciação, 





 





 

 h
xhx
h
xfhxf
xf
nn
hh
)(
lim
)()(
lim)(
00
/
 
mas pelo princípio de binómio: 
nnnnnnrrn
n
r
r
nn bnabba
nnn
ba
nn
bnaabaCba 



  133221 ...
!3
)2)(1(
!2
)1(
)(
 implica que nnnnnnn hxnhxh
nnn
xh
nn
nhxxhx 



  133221 ...
!3
)2)(1(
!2
)1(
)( e 
logo ...
2
)1(
...
!2
)1(
)( 221221 









  nnnnnnnn xh
nn
nhxxxh
nn
nhxxxhx 
que implica 




















 


 h
xh
nn
nhx
h
xhx
xf
nn
h
nn
h
...
2
)1(
lim
)(
lim)(
221
00
/
 
121
0
...
2
)1(
lim 









 nnn
h
nxhx
nn
nx 
 
Exemplo: Calcule a derivada da função
3)( xxf  . 
 
Solução 
 Pela definição de derivada: 





 





 

 h
xhx
h
xhx
xf
h
nn
h
33
00
/ )(lim
)(
lim)( 
Pelo princípio de binómio 332213
!3
)2)(1(
!2
)1(
)( 



 nnnn xh
nnn
xh
nn
nhxxhx 
32233332321333 33
6
)23)(13(3
2
)13(3
)( hxhhxxxhxhnhxxhx 



  , por 
isso, 
3223322333 3333)( hxhhxxhxhhxxxhx  e finalmente, 





 





 





 

 h
hhxxh
h
hxhhx
h
xhx
xf
hhh
)33(
lim
33
lim
)(
lim)(
22
0
322
0
33
0
/
 
  222
0
333lim xhhxx
h


. 
ou 
 
9 
Aplicando a fórmula de função polinomial com expoente positivo: 
213/3 33)()( xxxfxxf   . 
 
8. Função polinomial com expoente negativo 
Se 
nxxf )( , onde n é um número inteiro negativo, então )1(/ )(  nnxxf . 
Prova 
Aplica-se a regra de quociente 
n
n
x
x
xq
xp
xF
1
)(
)(
)(   onde 1)( xp e nxxq )( . Assim 
obtém-se 
)21(
2
1
2
//
2
//
/ 10
)(
))(1()1(
)(
)()()()(
)( nn
n
nn
n
nn
nx
x
nxx
x
xx
xq
xqxpxqxp
xf 







 . 
)1(1   nn nxnx . 
 
Exemplo: Calcule a derivada da função
3)(  xxf . 
 
Solução 
3
3 1)(
x
xxf   
Pela regra de derivação de quociente: 
)(
)()()()(
)(
2
//
/
xq
xqxpxqxp
xf

 onde 1)( xp e 
3)( xxq  
 
  4
462
6
2
6
13
23
/33/
2
//
/ 333
331)1(
)(
)()()()(
)(
x
xxx
x
x
x
x
x
xx
xq
xqxpxqxp
xf 





 

ou 
Aplicando a fórmula de função polinomial com expoente negativo: 
4
4)13(3 333)(
x
xxxxf   
 
9. Função trigonométrica seno 
Se ( ) sen( )f x x , então ( ) cos( )f x x  . 
Prova 
Pela definição de diferenciação, /
0 0
( ) ( ) sen( ) sen( )
( ) lim lim
h h
f x h f x x h x
f x
h h 
      
    
   
 
Para simplificar o trabalho, usamos as seguintes identidades trigonométricas: 
 
10 
sen( ) sen( )cos( ) cos( )sen( )A B A B A B   e sen( ) sen( ) cos( ) cos( )sen( )A B A B A B   . 
Subtraindo as duas identidades obtém-se 
 sen( ) sen( ) sen( )cos( ) cos( )sen( ) (sen( )cos( ) cos( )sen( )A B A B A B A B A B A B       
2cos( )sen( )A B . 
Neste caso, sejam BAhx  e BAx  . Implica 
2
h
xA  e 
2
h
B  . Substituindo 
obtém-se 
/
0 0
sen( ) sen( ) 2cos( )sen( )
( ) lim lim
h h
x h x A B
f x
h h 
    
    
    0
1
lim 2cos sen
2 2h
h h
x
h
     
      
     
 
0
sen
2
lim 2cos
2h
h
h
x
h
   
   
       
   
  
  
0
sen
2
lim cos
2
2
h
h
h
x
h
   
   
       
   
  
  
)cos(x . 
 
10. Função trigonométrica cosseno 
Se )cos()( xxf  , então ( ) sen( )f x x  . 
Prova 
Pela definição de diferenciação, 




 





 

 h
xhx
h
xfhxf
xf
hh
)cos()cos(
lim
)()(
lim)(
00
/ 
Para simplificar o trabalho, usamos as seguintes identidades trigonométricas: 
cos( ) cos( )cos( ) sen( )sen( )A B A B A B   e cos( ) cos( )cos( ) sen( )sen( )A B A B A B   . 
Subtraindo as duas identidades obtém-se 
 cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) sen( )sen( ) cos( ) cos( ) sen( )sen( )A B A B A B A B A B A B       
2sen( )sen( )A B  . 
Neste caso, sejam BAhx  e BAx  . Implica 
2
h
xA  e 
2
h
B  . Substituindo 
obtém-se 
/
0 0
sen( ) sen( ) 2sen( )sen( )
( ) lim lim
h h
x h x A B
f x
h h 
     
    
    0
1
lim 2sen sen
2 2h
h h
x
h
     
       
     
 
0
sen
2
lim 2sen
2h
h
h
x
h
   
   
        
   
  
  
0
sen
2
lim sen
2
2
h
h
h
x
h
   
   
        
   
  
  
sen( )x  . 
 
 
 
11 
11. Função trigonométrica Tangente 
Se ( ) tg( )f x x , então )(sec
)(cos
1
)(1)( 2
2
2/ x
x
xtgxf  . 
Prova 
Primeiro define-se o tangente em função de seno e cosseno. Isto é, 
sen( )
( ) tg( )
cos( )
x
f x x
x
  , e 
aplica-se a regra de quociente para diferenciação, 
   
 
  2 2
2 2 2
sen( ) cos( ) sen( ) cos( ) cos( )cos( ) sen( ) sen( ) cos ( ) sen ( )
( )
cos ( ) cos ( )cos( )
x x x x x x x x x x
f x
x xx
    
   
2 2 2
2 2
2 2 2
cos ( ) sen ( ) sen ( ) 1
1 1 tg ( ) sec ( )
cos ( ) cos ( ) cos ( )
x x x
x x
x x x

       . 
 
12. Função trigonométrica cotangente 
Se )cot()( xxf  , então   )(csc
)(
1
)(cot1)( 2
2
2/ x
xsen
xxf  . 
Prova 
Primeiro define-se o cotangente em função de seno e cosseno. Isto é, 
cos( )
( ) cot( )
sen( )
x
f x x
x
  , 
e aplica-se a regra de quociente para diferenciação, 
   
 
  2 2
2 2 2
cos( ) sen( ) cos( ) sen( ) sen( )sen( ) cos( ) cos( ) sen ( ) cos ( )
( )
sen ( ) sen ( )sen( )
x x x x x x x x x x
f x
x xx
     
   
2 2 2
2 2
2 2 2
sen ( ) cos ( ) cos ( ) 1
1 1 cot ( ) csc ( )
sen ( ) sen ( ) sen ( )
x x x
x x
x x x
                    
 
. 
 
13. Função Composta 
Se y é uma função composta definida por ))(()( xgfxy  e se as derivadas )(
/ xg e )(/ gf 
existirem, então 
/y também existe e é dado pelo produto, 
dx
dg
dg
df
dx
dy
 
 Prova 
Sejam x a variação em x , g a variação em g e f a variação em f . Pela definição de 
diferenciação, 








 x
xgfxxgf
dx
dy
y
x
))(())((
lim
0
/ 
Se )()( xgxxgg  , então gxghxg  )()( e logo 
 
12 









 x
xgfgxgf
dx
dy
y
x
))(())((
lim
0
/ = 







 x
f
x 0
lim 
onde )()( gfggff  . Assim, 






























 x
g
g
f
x
f
dx
dy
y
xx 00
/ limlim 
Porque )(xg é considerado diferenciável, só, é contínua, e logo, 0x implica 0g . 
Neste caso, podemos aplicar a regra de produto no termo 










 x
g
g
f
x 0
lim e obter 
dx
dg
dg
df
x
g
g
f
x
g
g
f
dx
dy
y
xgx




























 000
/ limlimlim . 
 
Nota: A regra de diferenciação de funções compostas também pode ser aplicada a funções 
compostas envolvendo mais de duas funções. Por exemplo, se a função envolver três funções, 
     ( ) ( )f x u v w x u v w x  , a regra pode ser definida como seguinte: 
df du dv dw
dx dv dw dx
   
 
Exemplo 
Diferencie a função  sen cos( )y x x . 
 
Solução 
Esta é uma função composta do formato ))(())(( xgfxgfy   onde ( ) cos( )g x x x e
( ) sen( )f g g . 
 ( ) = sen( ) cos( )
df df
f g g g
dg dg
   e 
   ( ) = cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) sen( )
dg d
g x x x x x x x x x x
dx dx
      , que pela regra de 
diferenciação composta resulta: 
    = cos( ) cos( ) sen( ) cos cos( ) cos( ) sen( )
dy df dg
y g x x x x x x x x
dx dg dx
       . 
 
14. Função Logarítmica 
Se xy blog é uma função logarítmica cuja base b é diferente de base natural e , para 
diferenciar, primeiro converte-se a função y para base logarítmica natural e , usando a 
identidade, 
 
13 
bxx ebe logloglog   
b
x
xb
ln
ln
log  a qual aplica-se a diferenciação. A função logaritica 
é sempre composta. Isto é, 
Se )ln(xy  , temos 1)()( /  xgxxg e 
g
gfggf
1
)()ln()( /  
Por isso, 
xggdx
dg
dg
df
dx
dy
y
11
1
1/  . 
 
Exemplo 1: 
Diferencie a função xy 4log . 
 
Solução 
Converte a função y para logarítmo natural (de base e ), através do método de troca de bases, 
isto é, )ln(
)2ln(2
1
)2ln(2
)ln(
)4ln(
)ln(
log4 x
xx
xy  . 
Onde a partir de )ln(x , temos 1)()( /  xgxxg e 
g
gfggf
1
)()ln()( /  , que pela 
regra de diferenciação composta resulta em, 
 /
1 1 1 1 1 1 1 1
ln( ) 1
2ln(2) 2ln(2) 2ln(2) 2ln(2) 2ln(2)
dy d df dg
y x
dx dx dg dx g g x
       
              
      
 
1
2 ln(2)x
 
 
Exemplo 2: 
Diferencie a função )5(log 215  xy 
 
Solução 
Converte a função y para logarítmo natural de base e , através do método de troca de bases, 
isto é, )5ln(
)15ln(
1
)15ln(
)5ln(
)5(log 2
2
2
15 

 x
x
xy . 
Onde a partir de )5ln( 2 x , temos xxgxxg 2)(5)( /2  e 
g
gfggf
1
)()ln()( / 
, que pela regra de diferenciação composta resulta em, 
/ 21 1 1 1 1 2ln( 5) 2
ln(15) ln(15) ln(15) ln(15)
dy d df dg x
y x x
dx dx dg dx g g
     
              
     
 
2
2
( 5) ln(15)
x
x


 
 
14 
 Exemplo 3: 
Use a regra de diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função
2sen( )
3
x x
y
x


. 
Solução 
Para calcular a derivada da função y , primeiro é preciso aplicar lagarítmo natural a todos 
membros, e quebrar a função em seus componentes seguindo proprieades de funções 
lagarítmicas, como segue: 
     
2
2sen( )ln( ) ln ln ln sen( ) ln 3
3
x x
y x x x
x
 
     
 
 
Depois derivar todos lados em relação a x , que pela regra de diferenciação composta obtém-se 
       2ln( ) ln ln sen( ) ln 3
d d
y x x x
dx dx
    
 
 
     2
1
ln ln sen( ) ln 3
dy d d d
x x x
y dx dx dx dx
             
     22
1 1 1 1
sen( ) 3
sen( ) 3
dy
x x x
y dx x x x
         

 
2
1 2 cos( ) 1 2 cos( ) 1
sen( ) 3 sen( ) 3
dy x x dy x
y
y dx x x x dx x x x
 
        
  
 
2sen( ) 2 cos( ) 1
3 sen( ) 3
dy x x x
dx x x x x
 
    
  
 
sen( )
2sen( ) cos( )
3 3
dy x x x
x x x
dx x x
 
    
  
. 
 
15. Função Inversa 
Suponha que a função )(xf seja contínua, bijectiva, diferenciável e tenha a sua inversa no 
intervalo aberto ),( ba . Se )(1 xfu  é a função inversa de )(xf no intervalo aberto ),( ba , 
então a derivada da sua inversa é 
i. 
du
dxdx
du 1
 
ii. 
  )(
1
)(
1
)()(
/1/
/1
ufxff
xf 


 
Prova 
A partir da expressão da função inversa  )(1 xffx  , aplicando a diferenciação todos lados 
obtém-se 
 
15 
    )(1 xff
dx
d
x
dx
d  aplicando a regra de diferenciação composta para o segundo membro 
da expressão, 
Sejam  )()()( 11 xf
dx
d
dx
dg
xfxg   e  )()( gf
dg
d
dg
dw
gfw  . Assim teremos 
    )(1 xff
dx
d
x
dx
d 
     
  )(
1
)()()(11
1
11
xff
dx
d
xf
dx
d
xf
dx
d
gf
dg
d
dx
dg
dg
dw

  
     )(
1
)(
1
)(
1
/1/
1 ufxffxff
dx
d



. 
 
Exemplo: 
Calcule a derivada da função inversa de 
3)( xxf  . 
 
Solução 
Considerando a funcão
3)( xxf  . A sua inversa é    311 )()( xfxxffx  
 3 313 )(xfx  
3
1
31 )( xxxf   . 
A derivada da função )(xf é     23 3)( xx
dx
d
xf
dx
d
 
Finalmente, a derivada da inversa )(1 xf  é 
 
 
3
2
3
22
3
1
1/
3
1
1 3
3
1
1
3
1
3
1
)(
1
)(


 

















 x
xx
xff
x
dx
d
xf
dx
d
. 
 
16. Função exponencial 
Uma função exponencial é uma função da forma 0,)(  aaxf x . Se 0a e 1a , 
xaxf )( é uma função contínua. O domínio da função é o conjunto de todos números reais 
 :fD x R x      enquanto o contradomínio é o conjunto  : 0fCD y R y   . 
(i) Se 1a , f é função estritamente crescente. 
(ii) Se 10  a , f é função estritamente decrescente. 
 
16 
 
A derivada da função exponencial 
xaxf )( é dada pela expressão  // )ln()()( xaxfxf  . 
Prova 
A partir da função 
xaxf )( , aplica-se logarítmo natural a todos lados obtendo 
       axxfaxf x ln)(lnln)(ln  e depois derivar todos lados da funcão resultante usando 
regra de diferenciação composta 
         
dx
dx
axfxf
dx
d
dx
dx
axf
dx
d
xf
ax
dx
d
xf
dx
d
)ln()()()ln()(
)(
1
ln)(ln  
// ))(ln()()( xaxfxf  . 
 
Exemplo 1: 
Diferencie a função 
xexf )( . 
 
Solução 
Aplicar logarítmo natural a todos lados, 
          xxfexxfexf x  )(lnln)(lnln)(ln 
Derivar todos lados da funcão resultante usando regra de diferenciação composta 
         .)()()(1)(
)(
1
)(ln / xexfxfxf
dx
d
xf
dx
d
xf
x
dx
d
xf
dx
d
 
 
Exemplo 2: 
Diferencie a função 
3
10)( xxf  . 
 
Solução 
Aplicar logarítmo natural a todos lados, 
       10ln)(ln10ln)(ln 33 xxfxf x  
Derivar todos lados da funcão resultante usando regra de diferenciação composta 
           )10ln()(3)()10ln()(
)(
1
)10ln()(ln 233 xfxxf
dx
d
x
dx
d
xf
dx
d
xf
x
dx
d
xf
dx
d
 
)10ln(103)(
32/ xxxf  . 
 
17. Derivadas de ordem superior 
A derivada 
dx
df
 da função )(xf é uma função de .x 
 
17 
(i) Se 2)( xxf  , a derivada num ponto arbitrário x é uma função 
dx
df
 que é 
xxgxf 2)()(/  . 
(ii) Se )()( xsenxf  , a derivada num ponto arbitrário x é uma função 
dx
df
 que é 
)cos()()(/ xxgxf  . 
(iii) Se 
xxf 2)(  , a derivada num ponto arbitrário x é uma função 
dx
df
 que é 
)2ln(2)()(/ xxgxf  
 
Analisando os três casos acima, vê-se que as derivadas são funções de x . Mas, alguem pode 
querer saber se as derivadas serão também funções diferenciáveis. Assim, em cada caso, pode-
se querer saber se o limite 




 
 h
xfhxf
h
)()(
lim
//
0
 existe. Se existir, então será a derivada da 
derivada )(/ xf representada por )(// xf ou 
2
2
dx
fd
 chamada segunda derivada da função )(xf . 
A partir da segunda derivada para cima são chamadas derivadas de ordem superior. 
 
No geral, derivadas de segundaordem ou mais são representadas pelas seguintes notações: 
2
2
//
dx
fd
y  , 
3
3
///
dx
fd
y  , … , 
1
1



n
n
n
dx
fd
y 
Para as três funções dadas acima, as suas segunda derivadas são: 
(i) Para 2)( xxf  , a segunda derivada é     22)()( /////  xxfxf 
(ii) Para )()( xsenxf  , a segunda derivada é    ( ) ( ) cos( ) sen( )f x f x x x      , e 
(iii) Para
xxf 2)(  , a segunda derivada é      2///// )2ln(2)2ln(2)()( xxxfxf  
 
Analisando os resultados encontrados acima, é óbvio que é possível encontrar a terceira, a 
quarta e mais derivadas de ordem superior através da fórmula geral 
,3,2,
)()(
lim)(
)()1(
0
)( 




 



k
h
xfhxf
dx
fd
xf
kk
hk
k
k
, dado que os limites existem. 
onde  //
2
2
// )(xf
dx
df
dx
d
dx
fd
f 





 ,  ///
2
2
3
3
/// )(xf
dx
fd
dx
d
dx
fd
f 





 e no geral 
 /)1(
1
1
)( )(xf
dx
fd
dx
d
f n
n
n
n 








 , para 𝑛 = 2, 3, 4, ⋯ . 
 
18 
 
18. Diferenciação Implícita 
Até este ponto, lidamos com funções explícitas como 
2x , sen( )x , cos( )x , ln( )x , 
xe , cosh( )x 
etc. Muitas vezes, nas aplicações, duas variáveis podem estar relacionadas por uma equação tal 
como: 1622  yx ou xyyx 433  ou ainda sen( ) cos(3 ) sen(2 )x y y y  e várias outras. 
Nesses casos, nem sempre é prático ou desejável resolver uma variável explicitamente em 
termos da outra para calcular as derivadas. Em vez disso, pode-se implicitamente assumir que 
y é alguma função de x e diferenciar cada termo da equação em relação a x . Depois resolver 
para 
/y ou 
dx
dy
, observando quaisquer condições sob as quais a derivada pode ou não existir. 
Este processo é chamado diferenciação implícita. 
 
Exemplo: 
Encontre /
dy
y
dx
 se 16
22  yx . 
 
Solução 
Assumindo que y é considerado como uma função de x , diferenciamos cada termo da equação 
dada em relação a x . Isto é, 
     2 2 2 216 16 2 2 0 2 2
d d d dy dy
x y x y x y y x
dx dx dx dx dx
           
2
2
dy x x
dx y y
     dado que 0y  . 
 
Aplicações de Derivadas 
1. Cálculo de Equações de Rectas tangente e normal (Interpretação Geométrica) 
Dois problemas fundamentais são considerados no cálculo. O problema dos declives que se 
preocupa em encontrar o declive (a recta tangente) de uma determinada curva em um determinado 
ponto da curva. O outro problema é de áreas que se preocupa em encontrar a área de uma região 
plana delimitada por curvas e linhas rectas. A solução do problema dos declives é objecto de cálculo 
diferencial. 
 
Recta Tangente 
Esta secção trata do problema de encontrar uma linha recta L tangente a uma curva C no ponto 
P . Nesta fase não vamos lidar com os tipos gerais de curvas, mas apenas com aquelas curvas que 
são gráficos de funções contínuas. 
 
19 
 
Geometricamente, a recta tangente à uma curva ( )y f x em um determinado ponto ax  é a 
recta que intersecta a curva ( )y f x no ponto ax  e tem o mesmo declive instantâneo que a 
curva no ponto. 
 
Na figura acima, a recta L representa uma recta tangente à curva ( )y f x no ponto ax  . 
 
Encontrar a recta tangente para um ponto em um gráfico curvo é desafiador e requer o uso de cálculo; 
especificamente, usaremos a derivada para encontrar o declive da curva. Desta forma, o valor da 
derivada )(/ af de uma função )(xf em um ponto específico ax  será o declive )(/ afm  da 
tangente à curva C no ponto ( , ( ))P a f a da curva C . 
 
Assim, o declive m da curva ( )y f x num ponto específico x a é definido como 
0
( ) ( )
lim
x
f a x f a
m
x 
   
   
 
Se ( )f x é continua e diferencialvel no ponto ax  . 
 
Depois de encontrar o declive m (usando a derivada mostrada acima), podemos encontrar a equação 
da recta tangenge (ou simplesmente tangente) à curva ( )y f x com declive m passando pelo ponto 
( , ( ))P a f a , usando a definição da equacão da recta num ponto dado ( , )P x y e declive m , dada pela 
expressão 
   0 0 ( ) ( )y y m x x y f a f a x a       
 
Exemplo: 
a) Encontre a equação da recta tangente à curva 2y x no ponto  1,1 . 
b) Encontre a equação da recta tangente à curva y x no ponto 0x  . 
 
20 
Solução 
a) A função 2y x é contínua e diferenciável no ponto 1x  . Só, usando a derivada obtemos 
o declive 
    
2 2
0 0 0
1 1 1 1 1( ) ( )
lim lim lim
x x x
x x xf a x f a
m
x x x     
          
              
 
 
 
2 2
0 0 0 0
21 2 ( ) 1 ( ) 2
lim lim lim lim 2
x x x x
x xx x x x
x
x x x       
             
         
       
 
 
0
lim 2 0 2 2
x
x
 
      . 
 
Finalmente, a equação da recta tangente à curva 
2y x no ponto  1,1 com declive 2m  será 
  3( ) 1 2( 1) 2 2 1 2 1y f a m x a y x y x y x              . 
 
 
b) A função y x é contínua mas não é diferenciável no ponto 0x  . Não é diferenciável no 
ponto 0x  porque 
3 3 3
0 0 0
( ) ( ) 0 0
lim lim lim
x x x
f a x f a x x
m
x x x     
          
             
 
 
   
 
1
1 23
1
3 3
2
0 0 0 0 0
3
1
lim lim lim lim lim
x x x x x
xx
x x
x x
x
 
         
   
                                    
 
32 20 3
1 1 1
lim
0( ) 0x x 
 
     
   
. Por isso o declive não existe no ponto 0x  . E concluímos 
que a curva y x não tem recta tangente na origem. 
 
21 
 
 
Recta Normal 
Se uma curva C tem uma recta tangente L no ponto P , então a recta N passando pelo ponto P e 
perpendicular a L é chamada recta normal à curva C em P . Se L é horizontal, então N é vertical; 
se L é vertical, então N é horizontal. Se L não for horizontal nem vertical, então, como dado a seguir, 
o declive de N é a recíproca negativa do declive de L ; isto é, 
1 1 1
declive da rec
Declive da rect
ta tangente
a normal
( )m f a

   

 . 
 
Para encontrar a equação da recta normal N (ou simplesmente a normal) à curva ( )y f x com declive 
1
m
 passando pelo ponto ( , ( ))P a f a , também usamos a definição da equacão da recta num ponto 
dado ( , )P x y mas com declive 
1
m
 , dada pela expressão 
   0 0
1 1
( )
( )
y y x x y f a x a
m f a
        

 
 
Exemplo 
a) Encontre a equação da recta normal à curva 
2y x no ponto  1,1 . 
b) Encontre as equações da recta tangente e normal para a curva y x no ponto  4, 2 . 
 
Solução 
a) A função 
2y x é contínua e diferenciável no ponto 1x  . A partir do exemplo (a) anterior 
temos o declive (1) 2m f   . Por isso, o declive da equação da recta normal é 
1 1
2m
   . 
Finalmente, a equação da recta normal à curva 
2y x no ponto  1,1 será 
 
22 
   20 0
1 1 1 1 1 3
1 1 1
2 2 2 2 2
y y x x y x y x y x
m
                  . 
 
 
b) Encontre as equações da recta tangente e normal para a curva y x no ponto  4, 2 . 
A função y x é contínua e diferenciável no ponto 4x  . Só, usando a derivada obtemos o 
declive da recta tangente 
0 0 0
( ) ( ) 4 4 4 2
lim lim lim
x x x
f a x f a x x
m
x x x     
            
             
 
   0 0 0
4 2 4 2 4 4
lim lim lim
4 2 4 2 4 2x x x
x x x x
x x x x x x     
                                                         
0
1 1 1 1 1
lim
2 2 44 2 4 0 2 4 2x x 
  
      
       
. 
a equação da recta normal à curva y x no ponto  4, 2 é 
 
1 1
( ) 4 ( 4) 1 2 1 4 4 0
4 4 4
x
y f a m x a y x y x y x y                  . 
 
 O declive da recta normal é 
1 1 1 4
41 1 1
4 4
m
        , e 
A equação da recta normal à curva y x no ponto  4, 2 é 
   0 0
1
4 4 4 4 16 2 4 18y y x x y x y x y x
m
                  . 
 
23 
 
 
 
2. Análise e Esboco de Gráficos 
Primeira derivada 
A primeira derivada ajuda a analisar intervalos onde o gráfico cresce, decresce e achar os pontos 
mínimo e máximo. 
(i) O intervalo onde a primeira derivada é positiva ( ) 0f x  , o gráfico é crescente. 
(ii) O intervalo onde a primeira derivada é negativa ( ) 0f x  , o gráfico é decrescente. 
(iii) O ponto onde o gráfico muda de positivo para negativo chama-se ponto máximo 
relativo (encontrado através de ( ) 0f x  , chamado ponto estacionário ou crítico). 
(iv) O ponto onde o gráfico muda de negativo para positivo chama-se ponto mínimo relativo 
(encontrado através de ( ) 0f x  , chamado ponto estacionário ou crítico). 
 
Segunda derivada 
A segunda derivada ajuda a analisar o tipo de concavidade e achar os pontos de inflexão. 
(i) Intervalo onde a segunda derivada é positiva ( ) 0f x  , a concavidade do gráfico está 
virada para cima. 
(ii) Intervalo onde a segunda derivada é negativa ( ) 0f x  , a concavidade do gráfico está 
virada para baixo. 
(iii) O ponto onde o gráfico muda de concavidade (encontrado através de ( ) 0f x  ) 
chama-se ponto de inflexão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
Análise Geral 
 
 
- Gráfico crescente, 
- 0/ f . 
- Concavidade virada para 
 Baixo, 0// f . 
- Gráfico crescente, 
- 0/ f . 
- Concavidade virada 
 para cima, 0// f . 
- Gráfico decrescente, 
- 0/ f . 
- Concavidade virada 
 para cima, 0// f . 
- Gráfico decrescente, 
- 0/ f . 
- Concavidade virada para 
 Baixo, 0// f . 
 
Exemplo: 
Esboce o gráfico da função 
3 22 3 36 2y x x x    no intervalo 5 5x   . 
 
Solução 
 Primeira derivada 
          636662363223632 22///2/3/23/  xxxxxxxxxxy
Se 020)3)(2(060
2/  xxxxxy ou 203  xx ou
.3x 
 
 Primeira derivada 
          1266 ///2/2////  xxxxxyy 
Se
2
1
120120//  xxxy . 
 
 
 
 
 
- 𝑀 é ponto máximo, 
- Primeira derivada muda 
 de 0/ f para 0/ f . 
 
- 𝑚 é ponto mínimo, 
- Primeira derivada muda 
 de 0/ f para 0/ f . 
- 𝐼 é ponto de inflexão, 
- Gráfico muda de 
 Concavidade. 
- 𝑀 é ponto máximo, 
- 𝑚 é ponto mínimo, 
- 𝐼 é ponto de inflexão. 
 
25 
A seguir está dada a tabela de análise 
x )(xf )(/ xf )(// xf 
5 143 24  
2 46 0  
2
1 
2
33
 
4
25
 0 
3 79 0  
5 3 14  
A partir da tabela pode-se fazer as seguintes análises: 
 Em relação a primeira derivada 
 
 
 Em relação a segunda derivada 
 
O gráfico será 
 
 
26 
3. Regra de L’Hopital 
Regra de L’Hopital é usada para calcular limites de funções do tipo 
)(
)(
xg
xf
, quando 
   lim ( ) ( ) 0, lim ( ) ( ) 0
x a x a
f x f a e g x g a
 
    resultando em indeterminação de forma 
0
0
; ou quando    lim ( ) ( ) , lim ( ) ( )
x a x a
f x f a e g x g a
 
      resultando em indeterminação 
de forma 


, onde fazemos a aplicação de derivadas. 
 
Quando resulta em indeterminação de forma 
0
0
 
Sejam f e g duas funções que satisfazem as condições: 
 f e g são contínuas no intervalo fechado ],[ ba , 
 f e g são diferenciáveis no intervalo aberto ),( ba , 
    lim ( ) ( ) 0, lim ( ) ( ) 0
x a x a
f x f a g x g a
 
    , e 
 0)(/ xg para todo x a , 
 Então, 
/ /
/ /
( ) ( ) ( )
lim lim
( ) ( ) ( )x c x c
f x f x f a
g x g x g a 
  
   
   
 se o segundo limite existir. 
 
Prova 
Suponha que 
/ /
/ /
( ) ( )
lim
( ) ( )x a
f x f a
g x g a
 
 
 
 que implica 
/
/
( ) ( )
lim
( )
( ) ( )( )
lim
x a
x a
f x f a
f a x a
g x g ag a
x a


 
  

 
  
 
( ) ( )
lim
( ) ( )x a
f x f a x a
x a g x g a
    
    
    
( ) ( )
lim
( ) ( )x a
f x f a
g x g a
 
  
 







 )(
)(
lim
xg
xf
cx
 porque 
( ) ( ) 0f a g a  . 
Isto indica que 
/ /
/ /
( ) ( )
lim
( ) ( )x a
f x f a
g x g a
 
 
 
 
/
/
( ) ( )
lim
( ) ( )x a
f x f a
g x g a
 
 
 
. 
 
Exemplo: 
Calcule a derivada das funções: 
a) 
0
sen( )
lim
x
x
x
 
 
 
 b) 







 2
4
lim
2
2 x
x
x
 c) 




 
 20
1
lim
x
xe x
x
 
 
 
27 
Solução 
a) Neste exemplo todas funções ( ) sen( )f x x e xxg )( satisfazem todas condições da regra 
de L’Hopital, e 0)0()0(  gf resultando em indeterminação de forma 
0
0
. 
Assim aplicando a regra de L’Hopital obtém-se 
 
 
/
/
0 0 0
sen( )sen( ) cos( )
lim lim lim 1
1x x x
xx x
x x  
    
      
     
. 
 
b) Neste exemplo todas funções 4)( 2  xxf e 2)(  xxg satisfazem todas condições da 
regra de L’Hopital, e 0)2()2(  gf resultando em indeterminação de forma 
0
0
. 
Assim aplicando a regra de L’Hopital obtém-se 
 
 
 
4
1
2
lim
2
4
lim
2
4
lim
2/
/2
2
2
2


























x
x
x
x
x
xxx
. 
 
c) Neste exemplo todas funções 1)(  xexf x e 2)( xxg  satisfazem todas condições da 
regra de L’Hopital, e 0)0()0(  gf resultando em indeterminação de forma 
0
0
. 
Assim aplicando a regra de L’Hopital obtém-se 
 
 
     
  0
0
2
1
lim
1
lim
1
lim
1
lim
0/2
///
0/2
/
020





 








 








 





 
 x
e
x
xe
x
xe
x
xe x
x
x
x
x
x
x
x
 
Neste caso, temos 0)0(/ f e 0)0(/ g que ainda resultando em indeterminação de forma 
0
0
. Por isso, devemos continuar a aplicar a regra de L’Hopital para a devivada 
)(
)(
/
/
xg
xf
. 
Assim teremos 
 
 
   
 
.
2
1
2
lim
2
1
lim
2
1
lim
2
1
lim
0/
//
0/
/
00














 








 





 

x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
e
x
e
 
 
Quando resulta em indeterminação de forma 


 
Sejam f e g duas funções que satisfazem as condições: 
 f e g são contínuas no intervalo fechado ],[ ba , 
 f e g são diferenciáveis no intervalo aberto ),( ba , 
    lim ( ) ( ) , lim ( ) ( )
x a x a
f x f a g x g a
 
      , e 
 
28 
 0)(/ xg para todo x a , 
Então, 
/ /
/ /
( ) ( ) ( )
lim lim
( ) ( ) ( )x c x c
f x f x f a
g x g x g a 
  
   
   
 se o segundo limite existir. 
 
Exemplo: 
Calcule a derivada da função 




 
 x
e x
x 3
)2ln(
lim . 
 
Solução 
Neste exemplo todas funções )2ln()(  xexf e xxg 3)(  satisfazem todas condições da 
regra de L’Hopital, e  )()( gf resultando em indeterminação de forma 


. 
Assim aplicando a regra de L’Hopital obtém-se 
 
    






































 





 
 23
lim
3
2
lim
3
)2ln(
lim
3
)2ln(
lim
/
/
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x e
ee
e
x
e
x
e
. 
Neste caso, temos )(/f e )(/g que ainda resultando em indeterminação de 
forma 


. Por isso, devemos continuar a aplicar a regra de L’Hopital para a devivada 
)(
)(
/
/
xg
xf
. Assim teremos
 
 
 
3
1
1lim
3
1
lim
3
1
2
lim
3
1
/
/















  x
x
x
xx
x
x e
e
e
e
. 
 
Outros tipos de formas indeterminadas 
A regra de L'Hopital também é usada para calcular vários outros limites de formas indeterminadas 
diferentes de 
0
0
 ou 


. Neste caso, todas as outras formas indeterminadas são resolvidas primeiro 
transformando-as na forma indeterminada 
0
0
 ou 


, usando qualquer método que for mais 
conveniente.Alguns tipos de outras indeterminações são dadas na tabela seguir: 
Tipo de forma de 
Indeterminação 
Exemplo 
 
0
1 1
lim
sen( )x x x
 
 
 
 
 
29 
00 






x
x
x ln
1
0
lim 
)(0   
0
lim tg( ) ln( )
x
x x

 
0 






x
x
x
1
lim 
1  x
x
x
1
0
1lim 

 
 
Modos de Resolução 
a) 
0
1 1
lim
sen( )x x x
 
 
 
 b) 






x
x
x ln
1
0
lim c)  
0
lim tg( ) ln( )
x
x x

 d) 






x
x
x
1
lim 
e)  
1
0
lim 1 x
x
x

 
 
a) A função 
0
1 1
lim
sen( )x x x
 
 
 
, no ponto  0x
0
1 1
lim
sen( )x x x
 
   
 
. Por isso, 
para resolver a expressão primeiro precisamos converter em forma que vai satisfazer as 
condições da regra de L’Hopital. Assim, achando m.m.c a função 
1 1
sen( )x x
 pode ser 
convertida na forma 
sen( )
sen( )
x x
x x

 que no ponto 0x tem a forma indeterminada 
0
0
. Agora 
aplicando a regra de L’Hopital teremos 
 
 
   
 
/ / /
/ /
0 0 0 0
sen( ) sen( )sen( ) 1 cos( ) 0
lim lim lim lim
sen( ) sen( ) cos( ) 0sen( ) sen( )x x x x
x x x xx x x
x x x x xx x x x
      
        
         
         
Neste caso, temos 0)0(/ f e 0)0(/ g que ainda está resultando em indeterminação de 
forma 


. Por isso, devemos continuar a aplicar a regra de L’Hopital para a devivada 
)(
)(
/
/
xg
xf
. Assim teremos 
 
 
   
   
/ / /
/ / /
0 0 0
1 cos( ) 1 cos( ) sen( )
lim lim lim
2cos( ) sen( )sen( ) cos( ) sen( ) cos( )x x x
x x x
x x xx x x x x x
    
      
      
         
 
0
0
2
  . 
 
30 
b) A função 






x
x
x ln
1
0
lim no ponto  0x 0ln
1
0
0lim 






x
x
x . Para resolver esta expressão 
vamos expressar a função xx ln
1
 em forma de função exponencial na base e pelo uso da 
propriedade 
)ln(aea  . Isto é, eeex x
x
x 






1ln
1
ln
ln
1
, 
Finalmente teremos   eex
x
x
x






  0
ln
1
0
limlim . 
 
c) A função  
0
lim tg( ) ln( )
x
x x

 no ponto  0x  
0
lim tg( ) ln( ) 0 ( )
x
x x

   . Para 
resolver esta expressão primeiro vamos expressar a função tg( )x em relação a seno e 
cosseno, 
sen( )
tg( )
cos( )
x
x
x
 , e para satisfazer as condições da regra de L’Hopital vamos 
reorganizar a expressão mas sem altera-la. isto é, 
 
0 0 0
1 ln( ) ln( )
lim tg( ) ln( ) lim 1 lim
1 1cos( )
sen( ) sen( )
x x x
x x
x x
x
x x
    
    
       
        
     
 pelo uso de algumas 
propriedades como 
a
a
1
1
 . Agora aplicando a regra de L’Hopital teremos 
 
/
/
0 0 0 0
1
ln( )ln( ) 1
lim lim lim lim
1 1 cos( ) cos( )1
sen( ) sen( ) sen( ) sen( ) sen( )sen( )
x x x x
xx x
x x x
x x x x xx
      
 
     
 
     
 
       
 
                         
 
0
sen( ) sen( )
lim
cos( )x
x x
x x
 
  
 
 
0
sen( )
lim tg( ) (0) 1 0
x
x
x
x
 
      
 
. 
 
d) A função 






x
x
x
1
lim no ponto x 0
1
lim 






x
x
x . Para resolver esta expressão 
vamos expressar a função em forma de função exponencial na base 𝑒 pelo uso da 
propriedade )ln(aea  . Isto é, x
xx
x eex
x lnln1
1









. Finalmente teremos, 
.limlim
ln
lim
ln1




















x
x
x
x
x
x
x
x
eex Agora a parte 








 x
x
x
)ln(
lim da função satisfaz todas 
condições da regra de L’Hopital e aplicando esta regra teremos 
 
31 
 
 
0
1
lim
1
1
lim
)ln(
lim
/
/




























 x
x
x
x
xxx
. 
Finalmente, substituindo esta parte na função obtém-se, 
 1limlim 0
ln
lim
ln1











 







eeex x
x
x
x
x
x
x
x
. 
 
4. Problemas de Taxas Relativas 
Nesta parte calculamos as derivadas em relação a tempo 𝑡 que nos permite achar a velocidade. 
Neste processo, métodos seguintes mostram como derivar em relação a tempo 𝑡: 
Derivada de 𝑥 é 
dt
dx
, Derivada de 𝑦2 é 
dt
dy
y2 , Derivada de 𝑟3 é 
dt
dr
r 23 , Derivada de 𝑡2 é 
t
dt
dt
t 22  
𝑉 significa volume; 
dt
dV
é a taxa de variação de volume. 
𝑟 significa raio; 
dt
dr
é a taxa de variação de raio. 
dt
dx
é a taxa de variação de 𝑥; 
dt
dy
é a taxa de variação de 𝑦. 
Volume da esfera 
3
3
4
rV  e 
dt
dr
r
dt
dV 24 
Área de superfície da esfera 
24 rA  e 
dt
dr
r
dt
dA
8 
Área do círculo 
2rA  e 
dt
dr
r
dt
dA
2 
Circunferência de um círculo 
rC  e 
dt
dr
dt
dC
2 
Volume do Cilíndro 
hrV 2 → 𝑟 não é variável em um cilindro. Isto é, o seu valor sempre é o mesmo. 
Volume do Cone 
 
32 
hrV 2
3
1
 → Devido a triângulos semelhantes, a razão do raio à altura sempre é o mesmo. 
Substitua 𝑟 ou ℎ, dependendo problema. 
 
Exemplo 1: 
Uma certa quantidade de água é deitada em um cilindro com raio 5cm à uma taxa de 10cm3/s. 
Quão rápido a altura da água varia quando a altura do cilindro é 6cm? 
 
Solução 
 Do problema temos hhVrhrV  25)5(,5, 22  
 A fórmula de volume do cilindro é hrV 2
3
1
 . Do problema, o raio é 
constante e apenas a altura que varia. Então, 
  ./
5
2
25
10
251025 3 scm
dt
dh
dt
dh
h
dt
d
dt
dV

  
Resposta: A altura da água aumenta à uma taxa de 30,127 /cm s . 
 
Exemplo 2: 
Um certo pintor, com objectivo de pintar a sua casa decide colocar uma escada de 17m 
encostando a parede da casa. Para encontrar a melhor posicão, ele afasta a base da escada da 
parede à 50 scm / . 
a) Quão rápido a escada encostada à parede está deslizando para baixo quando a base da 
escada está a 8m da parede? 
 
Solução 
Do problema temos: ,8mx  comprimento da escada m17 e 
50 / 0,5 /
dx
cm s m s
dt
  . Pelo teorema de Pitágoras, a partir da figura 
dada, 
222 17 yx que quando .158  yx 
Derivando a equação teremos
        022017 22222 
dt
dy
y
dt
dx
xy
dt
d
x
dt
d
dt
d
yx
dt
d
 
dt
dx
y
x
dt
dy
dt
dx
x
dt
dy
y  22
8 4
0,5 /
15 15
m s     . 
 Resposta: A escada encostada à parede está deslizando a uma velocidade de 0,267 /m s . 
 
Figura do 
problema 
 
Figura do 
problema 
 
 
33 
Exemplo 3: 
Uma pedra é atirada em um poço com água calma e onde as ondas se movem em círculo. Se o 
raio da onda circular aumenta a uma taxa de 8 cm/s, encontre a taxa de aumento da sua área no 
instante em que o raio é de 6cm. 
 
Solução 
Quando a pedra é atirada no poço contendo água calma, as ondas geradas pela pedra movem-
se em forma circular. Assim, devemos calcular a taxa de aumento da área das ondas circulares 
formadas no instante em que o raio é 6r cm . A área de um círculo é dada pela fórmula 
2A r onde r é o raio do círculo. 
 
Através do método de diferenciação composta, a taxa de variação da área em função do tempo 
é dada por 
dt
dr
dr
dA
dt
dA
 . Do problema, já temos a taxa de variação do raio em função do tempo, 
scm
dt
dr
/8 . Por isso, a taxa de aumento da área no instante em que o raio é 6r cm é
   2 266
6 6 6 6
8 8 8 8 2 8 2 6 96 /
rr
r r r r
dA dA dr dA dA d
r r cm s
dr dr dt dr dr dr
   

   
   
             
   
Resposta: A taxa de aumento na área das ondas circulares formadas no instante em que o raio 
é 6cm é de 296 /cm s . 
 
5. Problemas de Optimização 
Para resolver problemas de optimização é preciso seguir alguns dos procedimentos a seguir 
dados dependendo do tipo de casos a resolver. 
 Desenhe a figura queilustra o problema. 
 Formule e escreva a equação baseada em problema dado e escreva a equação daquilo 
que precisa maximizar ou minimizar. 
 Introduza a equação do problema na equação que precisa maximizar ou minimizar. 
 Derive a equação resultante e iguale a zero. 
 Calcule a informação restante. 
 
Exemplo 1: 
Uma caixa aberta de volume máximo será produzida de um pedaço quadrado de um material 
de 18cm num lado, cortando quadrados iguais dos cantos e virando para cima os lados. 
a) Quanto deve-se cortar dos cantos? 
b) Qual é o volume máximo da caixa? 
 
34 
Solução 
a) A figura ilustrativa do problema é 
 
A equação é xxxxxxxxV 8118324724)218( 23232  que derivando 
obtém-se 
        27128136381188118 222323  xxxxx
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
xxx
dx
d
dx
dV
Igualando a derivada a zero, 30)9)(3(027120 2  xxxxx
dx
dV
 ou 
.9x 
Analisando os dois valores de 𝑥, vê-se que se cortar 9cm faz o volume mínimo porque o 
lado ficará mais pequeno. Por isso, deve-se cortar 3cm que fará o volume máximo. 
 
b) O volume máximo será: .432123)3218(3)218(
3222 cmxxV  
 
Exemplo 2: 
Um certo agrónomo planifica cercar seu pasto de forma retangular adjacente a um rio. O 
agrónomo tem 84km do espaço incluindo o pasto. 
a) Que dimensões devem ser usadas de forma que a área abrangida seja máxima? 
b) Qual será a área máxima? 
 
Solução 
Do problema temos o espaço total = perímetro = 84km. 
a) A figura ilustrativa do problema é 
 
A partir da figura yxxyxyP 2842842  . 
 
35 
A partir da figura 
2284)284( yyyyyxA  
Derivando a área obtém-se       .484284284 22 yy
dy
d
y
dy
d
yy
dy
d
dy
dA
 
Igualando a derivada a zero, .21
4
84
84404840 


 yyy
dy
dA
 
Assim, 4221284284  yx . 
Resposta: Para que a área abrangida seja máxima, as dimensões usadas devem ser 
kmx 42 e kmy 21 . 
 
b) A área máxima será de 28822142 kmyxA  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
UNIVERSIDADE ZAMBEZE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS 
Licenciatura em Engenharia Agropecuária (Produção Vegetal e Animal) 
Matemática Aplicada 
Ficha 4 de Exercícios 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
1. Define a derivada 
dx
df
da função )(xf num ponto arbitrário x e use a definição para encontrar 
a derivada da função 1
2
)( 
x
xf no ponto 1x . 
 
2. Na base da relação entre continuidade e diferenciabilidade de funções, 
(i) Prove que se a função )(xf é diferenciável no ponto ax  então )(xf é contínua no ponto 
ax  . 
(ii) Será que o inverso da expressão em (i) é correcto? Justifique com um exemplo concreto. 
(iii) Se 3)( xxf  , demonstre que )(xf não é diferenciável no ponto 0 embora seja contínua 
nesse ponto. 
 
3. Diferencie xxg )( pela definição geral de derivadas de funções. 
 
4. Diferencie pela definição geral de derivadas a função exponencial xy a onde 𝑎 é uma 
constante positiva. O que é especial em função exponencial xy a onde e é constante de Euler? 
 
5. Encontre derivadas das funções que seguem: 
a) baxxf )( b) xxxf )( c) 
x
xf
23
1
)(

 
d) xxxf 43)(
1   e) 
x
xf
1
)(  f) 
1
( )
1
x
f x
x



 
g) 
8 7 65 8 9
( )
9 13 16
x x x
f x     h) 5 94( )f x x x  i) ( ) ln( ) 1f x x x   
j) 
5 7 9( ) 11f x x x x      k) ( ) 2 3 4
x x xf x e   l) 
3 4 34
1 1
( )
2 2
f x
x x
  
m)    
2 4
2( ) 1 1f x x x    n) 
5
4
3
4 1
( )
5
x
f x
x
  o) 
3 5 7( )f x x x x 
 
37 
6. Encontre as derivadas de seguintes funções: 
a) 
 
15
2
34



x
x
y b) 
32 )6( xy  c) 
23 )41(  xy 
b) 
2
)3)(1(



x
xx
y e) 
22 )32(4  xxy f) )25)(1(
2
1 2 xxy  
g) 
21
21
43
2





xx
xx
y h) 
)3)(12(
1


xx
y i)   11 3)12(   xy 
j) 
4
3
1
2








 x
x
y k) 
8 6 4 2
8 6 4 2
y
x x x x
    l) sen( ) cos( ) tg( )y x x x   
m) 5 94y x x  n) 5log ln( ) log ( )y x x x   o) 3arcsen( ) 2arctg( )y x x  
p) 
3 2 3y x x x x  q) 4cot( ) 8arccos( )y x x  r) 3arccot( ) 2cot( )y x x  
s) 
7
5 9 4 5
ln(4)
x
x xy      t) 
33 4 5
5 79 8 11 9
5
8
x x x
y
x x x x


 

  
 u) 
35 7 8 9
3
56 4
x x x
y
x x x
 
  
 
7. Use a regra de produto e de quociente onde for apropriado para calcular as derivadas das 
seguintes funções: 
a) ln( )y x x b) 5 xy x e c) sen( )cos( )y x x 
d) 
22xy x e) arcsen( )y x x f) ln( )arc tg( )y x x 
g) arccos( )y x x h) 2 arccot( )y x x i) 2 sen( )xy x e x 
j) 
tg( )
x
y
x
 k) 
2
ln( )
x
y
x
 l) 
3
2
x
x
y  
m) 
3
xe
y
x
 n) 
1 sen( )
1 cos( )
x
y
x



 o) 
1
1
x
x
e
y
e



 
p) 
tg( )
arctg( )
x
y
x
 q) 
arcsen( )
arctg( )
x x
y
x
 r) 
2sen( )
sen( ) cos( )
x
y
x x


 
s) 
sen( ) cos( )
sen( ) cos( )
x x
y
x x



 t) 
2
ln( )
1
x x
y
x


 u) 
2 ln( )
1 arctg( )
x x
y
x


 
v) 
sen( )
cos( )
x x
y
x
 w) 
sen( )cos( )
sen( ) cos( )
x x
y
x x


 x) 
 
2
2
1
2
x
y
x



 
 
8. Aplique a regra de diferenciação composta para derivar as seguintes funções 
a)  
4
3 27 1y x x x   b)  ln 2 4y x  c)  2seny x 
d) 21 2y x x   e) cos( )3 xy  f) 1 xy e  
 
38 
g)  cos 2 3y x  h)   ln seny x i) 
2
2
cos ( )
cos( )
x
y
x
 
j)  arcsen ln( )y x k)  arc tg 1xy e  l)  3 ln sen( )y x 
m) 2 2sen ( )y x n)  ln ln(ln( ))y x o)  2ln ( ) ln ln( )y x x  
p) 4 2ln ( 1)y x  q) 2 21y x x  r) 2 1xy e x  
s)  ln arcsen(2 )y x t) 2 35sen ( ) 2cos( )y x x  u)  2arctg sen( )y x 
v) 
1
1
x
y
x



 w) 
1 cos( )
1 sen( )
x
y
x



 x) 
xey x 
y)  ln( )
x
y x z)  
cos( )
sen( )
x
y x  )    
xx xxy x x  
 
9. Use a regra logarítmica de diferenciação para encontrar a derivada das funções 
a) 
2
2
6
2 1
x
y
x


 b) 
2 sen( )
3
x x
y
x


 c) 
2 21
1
x x
y
x



 d) 
2
6 18
6 1
x
y
x x


 
 
 
10. Calcule a primeira, segunda e terceira derivadas das seguintes funções 
a) 1 2y x  b) sen( )y x c) 3xy e 
d) y x e) 
2
2
x
y  f) ln( )y x 
g) 3xy  h) cos( )y x i) 6 4 35 2y x x x x    
j) ln(1 2 )y x  k) 
6(1 )y x  l) 
11
3
y
x
 
m) 3 xy x e n) 
1
1
y
x


 o) 5logy x 
p) arctg( )y x q) 
4 ln( )y x x r) 2ln ( )y x 
s) 2 2sen( )y x x t) 4 2xy x e u) sen( )xy e x 
v) 
2 cos( )xy x x w) 
3cos ( )y x x) 
2 1
2
x
y
x



 
y) arcsen( )y x z) 
4 sen(3 )xy e x 
 
11. Prove a regra geral de diferenciação de potências  r
d
x
dx
 onde 
1
r
n
 e n é um número inteiro 
positivo. 
 
 
39 
12. Com base no resuldado do número (11), se 
1)(  xxf , onde 0x , determine a n-ésima 
ordem derivada 
n
n
dx
fd
. 
 
13. Demnostre que se f é diferenciável num ponto x e 0f  , então   ( )
2 ( )
d f x
x
dx f x

 . 
 
14. Use a regra de raiz quadrada (do número 13) para encontrar a derivada de 2( ) 1f x x  . 
 
15. Demonstre que 
3y x é diferenciável a cada número real x e encontre sua derivada. 
 
16. Encontre as equações da recta tangente e normal à cada uma das curvas dadas a seguir no ponto 
indicado. 
a) 3 1y x  ,  1, 2 b) 
2
x
y  , ,
2
a
a
 
 
 
 c)
22 5y x  ,  2,3 
b) 
26y x x   , 2x   e) 
3 8y x  , 2x   f)
2
1
1
y
x


,  0, 2 
g) 1y x  , 2x  h) 
1
y
x
 , 9x  i) 
2
2
x
y
x


, 2x  
j) 25y x  , 1x  k) 
2y x , 0x x l) 
1
y
x
 , 
1
,a
a
 
 
 
 
k) 
2
3 4
y
x


,  1, 2 n) 
1
1
x
y
x



, 2x  
 
17. Será que os gráficos das seguintes funçõesf têm recta tangente nos pontos indicados? Se sim, 
qual é a recta tangente? 
a) ( )f x x no ponto 0x  b)  
4
3( ) 1f x x  no ponto 1x  
c)  
3
5( ) 2f x x  no ponto 2x   d) 
2( ) 1f x x  no ponto 1x  
e) 
, 0
( )
, 0
x se x
f x
x se x
 
 
 
 no ponto 0x  
 
18. Dada a função 
21
)(
x
x
xf

 , demonstre como a variável dependente y varia em respeito a 
variável independente x no intervalo 33  x . Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥). 
 
40 
19. Esboce os gráficos das funções seguintes: 
a) 210)(
3  xxxgy intervalo 44  x . 
b) 
24 94)( xxxfy  no intervalo 22  x . 
c) |4|)(
2xxfy  no intervalo 33  x . 
d) 
2
3 1
( )
1
x
y f x
x

 

 no interval 5 5x   . 
 
20. Dada duas funçoes: senh( )
2
x xe e
x

 e 
2
)cosh(
xx ee
x

 
a) Demonstre que 2 2cosh ( ) senh ( ) 1x x  . 
b) Demonstre que  
/
senh( ) cosh( )x x e  
/
cosh( ) senh( )x x 
c) Determine 1senh ( )x 
d) Use a regra de derivação inversa para encontrar a derivada de 1senh ( )x . 
 
21. Use a regra de L’Hopital para encontrar soluções das seguintes funções: 
a) 
30
tg( ) sen( )
lim
x
x x
x
 
 
 
 b) 
20
1
lim
x
x
e x
x
  
 
 
 c) 
ln( 2)
lim
3
x
x
e
x
 
 
 
 
d) 
0
1 1
lim
sen( )x x x
 
 
 
 e) 
1
ln( )
0
lim x
x
x

 
 
 
 
 f)  
0
lim tg( ) ln( )
x
x x

 
g) 
1
lim x
x
x

 
 
 
 h) 
2
2
2
lim
cos ( )x
x
x


 
 
 
 i) 
0
3
lim 1 sen
x
x x
  
   
  
 
j) 
0
3
lim
tg(4 )x
x
x
 
 
 
 k) 
22
ln(2 3)
lim
4x
x
x
 
 
 
 l) 
0
sen( )
lim
sen( )x
ax
bx
 
 
 
 
m) 
1
arccos( )
lim
1x
x
x
 
 
 
 n) 
1
1
lim
1 ln( )x
x
x x
 
 
 
 o) 
2
40
2 2cos( )
lim
x
x x
x
  
 
 
 
p) 
0
10
lim
x x
x
e
x
 
 
 
 q) 
20
1 cos( )
lim
ln(1 )x
x
x
 
 
 
 r) 
1
3
21 3
1
lim
1
x
x
x

 
 
  
 
s)  1lim 2tg ( )
x
x 

 t) 
0
1 1
lim
axx x xe
 
 
 
 u)  
0
lim x
x
x

 
v)  
0
lim sec( ) cot( )
x
x x

 w) 
1
10
sen ( )
lim
tg ( )x
x
x


 
 
 
 x)  
1
0
lim 1 tg( ) x
x
x

 
 
 
 
 
 
41 
22. Encontre a derivada implicita /y ou 
dx
dy
 de funções seguintes se: 
a) 1622  yx b) xyyx 433  c) 2 1xy x y   
d) 2 3x xy y  e) 3 5 2x y xy  f) 2 3 5 2x y xy x y   
g) h) 2 24( 1) 4x y   h) 
2
1
x y x
x y y

 

 i) 8x x y xy   
j) sen( ) cos(3 ) sen(2 )x y y y  
 
23. Encontre as equações da recta tangente e normal das funções que seguem 
a) xxxf 103)( 2  no ponto 4x b) 32)(
3  xxxf no ponto 2x 
 
24. Determine a equação de interseção do declive da recta tangente ao gráfico da função 
23 74)( xxxf  no ponto correspondente a 3x  . 
 
25. Demonstre que qualquer função diferenciável f (isto é, 
/f existe), também é contínua. 
 
26. Demonstre que nem todas funçoes contínuas são diferenciáveis. Dê um exemplo e use-o para 
explicar. 
 
27. Encontre os pontos para os quais a recta tangente para a parábola 
2y ax bx c   é horizontal. 
 
28. Uma determinada quantidade de água é deitada em um cilindro com raio 5cm à uma taxa de 10
scm /3 . Quão rápido a altura da água está variando quando a altura é 6 cm ? 
 
29. Uma determinada pessoa ao encher o balão esférico observou que o seu raio está aumentando 
à uma taxa de scm /4 . Quão rápido a área da superfície do balão está variando quando o raio é 
3 cm ? 
 
30. Suponha que a água está vazando de um cone anteriormente cheio, com diámetro de 10cm e 
altura de 9cm, à uma taxa de 7 scm /
3
. O quanto rápido a altura da água está variando quando 
a altura é 6 cm ? 
 
31. Um pintor, com objectivo de pintar a sua casa decide colocar uma escada de 17 m encostando 
à parede da casa. Para encontrar a melhor posicão, ele afasta a base da escada da parede à uma 
taxa de 50 scm / . 
 
42 
a) O quanto rápido a escada encostada a parede está deslizando quando a base da escada está 
a 8 m da parede? 
b) O quanto rápido a área do triângulo formado está variando neste instante? 
c) O quanto rápido o ângulo entre a parte inferior da escada e o chão está variando neste 
instante? 
 
32. Uma certa pessoa de 2 m de altura caminha directamente de um poste de iluminação que tem 
4 m de altura. Nesta caminhada, a pessoa vai-se afastando da luz à um rítmo constante de 50
scm / . 
a) A que taxa, em metros por segundo, o comprimento da sombra está variar? 
b) A que taxa, em metros por segundo, a ponta da sombra está variar? 
 
33. Uma caixa aberta de volume máximo será produzida de um pedaço quadrado de um material 
de 18 cm num lado, cortando quadrados iguais dos cantos e virando para cima os lados. 
a) Quanto deve-se cortar dos cantos? 
b) Qual é o volume máximo da caixa? 
 
34. Um certo agrónomo planifica vedar seu pasto de forma retangular adjacente a um rio. O 
agrónomo tem 84 km do espaço que inclui o pasto. 
a) Que dimensões devem ser usadas de forma que a área abrangida seja máxima? 
b) Qual será a área máxima? 
 
35. Um agricultor planifica vedar dois pastos retangulares iguais adjacentes a um rio. Se o 
agricultor tem 120 km de espaço para os pastos. 
a) Que dimensões devem ser usadas para a área abrangida ser máxima? 
b) Qual será a área máxima? 
 
36. Uma caixa, aberta no topo, tem lados verticais, um fundo quadrado e um volume de 500 scm /3 
a) Que dimensões vão dar área mínima da superfície? 
b) Qual é a área da superfície? 
 
37. Um retângulo é delimitado pelo eixo x e o semicírculo 
218y x  . Que comprimento e 
largura este retângulo deve ter para que sua área seja máxima? 
 
 
43 
38. Quando um objeto é largado de uma subida, a distância que percorre em segundos, assumindo 
que a resistência de ar é desprezível, é determinada pela equação 
2( ) 4,905s t t onde ( )s t está 
em metros e t em segundos. 
a) Calcule a distância que o objecto percorreu 5 segundos depois de ser largado? 
b) Calcule a velocidade do objecto 5 segundos depois de ser largado. 
c) Calcule a aceleração do objecto depois de estar caindo por 5 segundos. 
 
39. Um cormeciante descobre que o número de artigos vendidos alguns dias depois de anunciar 
uma promoção de novos produtos é melhor descrito por 
3 2( ) 2 3 2N t t t t   onde t está em 
dias. 
a) Encontre (1)N  , (2)N  e (4)N  . 
b) Encontre (1)N  , (2)N  e (4)N  . 
c) Interprete o significado dos resultados em (a) e (b). 
 
40. A função 
2000
( )
4 75
t
p t
t


 modela a população p de elefantes em uma área t meses depois. 
a) Encontre (0,5)p , (1)p , (5)p e (30)p . 
b) Encontre (0,5)p , (1)p , (5)p e (30)p . 
c) Interprete o significado dos resultados em (a) e (b). O que está acontecendo a esta 
população de elefantes a longo prazo? 
 
41. Seja ( )f x uma função com propriedade ( ) ( ) ( )f u v f u f v  para todos valores de u e v , e 
tal que 1)0()0( /  ff . Demonstre que )()(/ xfxf  para todos valores de x . 
 
42. Encontre os pontos na curva xxy  3
3
1
 onde a recta tangente é paralela a recta xy 3 . 
 
43. A função 𝑓, definida para todos números reais, é tal que (1) 2f  , (2) 8f  e 
2( ) ( ) 2f u v f u kuv v    para todos valores de u e v , onde k é uma constante. Encontre 
)(/ xf para algum valor arbitrário de x . 
 
44. Seja f uma função diferenciável (isto é, 
/f existe) e que define a função *f pela equação 









 x
xxfxxf
f
x
)()(
lim*
0
. Determine a relação entre *f e 
/f . 
FIM