Resistência dos Materiais

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MEC0404 - MECANICA DOS SOLIDOS
Docente: Everton Carneiro da Silva
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS –Tensão e 
Deformação: Carregamento axial
Resistência dos Materiais –Tensão e Deformação
• Em projetos de estruturas e máquinas deve-se considerar não somente a análise de
tensões evolvidas, além disso, as deformações impostas, não permitindo que se
tornem tão grandes a ponto de impedirem que as estruturas ou máquinas
desempenhem a função para a qual são destinadas.
• Considerando as estruturas de máquinas como deformáveis, nos permitem
determinar forças e reações que são estaticamente indeterminadas.
• Este capítulo é dedicado ao estudo das deformações causadas por cargas axiais.
Definições:
𝛿 = deformação total ou elongação
𝜀 = deformação específica ou simplismente deformação
𝜎 = tensão normal
 Introdução
𝜎 =
𝑃
𝐴
= Tensão
 Deformação
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
𝜀 =
𝛿
𝐿
= Deformação
𝜎 =
2𝑃
2𝐴
=
𝑃
𝐴
𝜀 =
𝛿
𝐿
𝜎 =
2𝑃
2𝐴
=
𝑃
𝐴
𝜀 =
2𝛿
2𝐿
=
𝛿
𝐿
 Diagrama Tensão-Deformação – Máquina de Ensaio de Tração
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
 Diagrama Tensão-Deformação (Material Dúctil)
No caso do alumínio e de vários outros materiais dúcteis, não
existe o patamar de escoamento. As tensões continuam
aumentando, porém de forma não linear. Convencionou-se
tomar a Tensão de Escoamento o ponto onde a deformação
permanente atinge: 𝛆𝐏 = 𝟎, 𝟐%
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
 Diagrama Tensão-Deformação (Material Frágil)
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
Distingue-se um material dúctil de um frágil pelo Alongamento Percentual que os
dúcteis apresentam, maior que 5%.
Para o aço estrutural, é comum uma Redução Percentual de Área (RPA) da ordem de
60 e 70%.
𝐴𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =
𝐿 − 𝐿0
𝐿0
× 100
𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 Á𝑟𝑒𝑎 =
𝐴0 − 𝐴
𝐴0
× 100
 Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade
• Até o Limite de Proporcionalidade
𝜎 = 𝐸𝜀
𝐸 = 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑜𝑢 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑌𝑜𝑢𝑛𝑔
• Observamos que todos os materiais
representados no diagrama ao lado têm o
mesmo Módulo de Elasticidade, ou seja, sua
rigidez é a mesma, dentro da região elástica.
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
 Deformação Sob Carga Axial
Muitos cientistas utilizam as tensões e as deformações específicas verdadeiras nos seu estudos:
𝜀v = ∑∆𝜀 = ∑
∆𝐿
𝐿
ou
𝜀v = 𝐿0
𝐿 𝑑𝐿
𝐿
= ln
𝐿
𝐿0
e
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
• Da Lei de Hooke: 𝜎 = 𝐸𝜀 𝜀 =
𝜎
𝐸
=
𝑃
𝐴𝐸
• Da definição de deformação:
𝜀 =
𝛿
𝐿
→ 𝛿 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
• Se temos variação nas cargas, área da
seção ou propriedade do material:
𝛿 = 
𝑖
𝑃𝑖𝐿𝑖
𝐴𝑖𝐸𝑖
𝜎v =
𝑃
𝐴v
O engenheiro, tem a responsabilidade de determiner se
uma determinada carga leva à tensões e deformações
aceitáveis, usando dados fáceis de avaliar. Usará então,
o diagrama tensão-deformação obtido através dos
valores da Área e do comprimento do corpo de provas.
 Comportamento Elástico e Plástico do Material
• Se a deformação desaparece quando a carga é
removida, o material deformou elasticamente.
• A maior tensão onde isto ocorre é chamada de Limite de
Elasticidade.
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
• Quando a deformação não retorna a zero a remoção da
carga, o material deformou plasticamente. Para que
haja deformação plástica, o material precisa atingir a
Tensão de Escoamento.
 Fadiga
• O diagrama ao lado mostra a relação entre a
tensão de falha por fadiga e o número de ciclos
de aplicação da mesma.
• Um membro pode falhar por fadiga, sob uma
tensão significativamente inferior a sua Tensão
Última, se submetido a vários ciclos de aplicação
da carga.
• Quando a tensão é reduzida para um nível abaixo
do Limite de Endurança, não ocorre a falha por
fadiga.
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
 Exemplo 2.1
Determine a deformação da barra de aço da figura,
sob ação das cargas indicadas (𝐸 = 200 GPa).
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
 Exemplo 2.1
SOLUÇÃO
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
𝛿 = 
𝑖
𝑃𝑖𝐿𝑖
𝐴𝑖𝐸𝑖
=
1
𝐸
𝑃1𝐿1
𝐴1
+
𝑃2𝐿2
𝐴2
+
𝑃3𝐿3
𝐴3
• Calculando a deformação total:
𝛿 =
1
200 × 109
400 × 103 × 0,3
600 × 10−6
+
(−100 × 103) × 0,3
600 × 10−6
+
200 × 103 × 0,4
200 × 10−6
𝛿 = 2,75 mm
𝑃1 = 400 kN
𝑃2 = −100 kN
𝑃3 = 200 kN
 Sistemas Estaticamente Indeterminados
• Também chamados de sistemas hiperestáticos, são aqueles
onde o número de equações da estática aplicáveis ao
problema é menor que o número de incógnitas a resolver.
• Para a sua solução, lança-se mão de equações auxiliares,
conseguidas a partir das condições de deslocamento.
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
 Sistemas Estaticamente Indeterminados
• Também chamados de sistemas hiperestáticos, são aqueles
onde o número de equações da estática aplicáveis ao
problema é menor que o número de incógnitas a resolver.
• Para a sua solução, lança-se mão de equações auxiliares,
conseguidas a partir das condições de deslocamento.
• Um dos métodos de solução é o método da superposição, que
consiste em considerar uma das reações como
superabundante.
• Isto é, as deformações devidas às cargas externas e devido à
reação superabundante são calculadas separadamente e
depois superpostas.
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
𝛿 = 𝛿𝐿 + 𝛿𝑅 = 0
 Exemplo 2.4
• Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 para a barra de aço e o
carregamento mostrado na figura.
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
 Exemplo 2.4
• Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 para a barra de aço e o
carregamento mostrado na figura.
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
∑V = 0 → RA + RB = 900 kN
SOLUÇÃO:
𝛿AD + 𝛿DC + 𝛿CK + 𝛿KB = 0
FKB = −RB FCK = −RB + 600 = FDC FAD = −RB + 900
𝐹𝐴𝐷 × 𝐿𝐴𝐷
𝐸𝐴𝐷 × 𝐴𝐴𝐷
+
𝐹𝐷𝐶 × 𝐿𝐷𝐶
𝐸𝐷𝐶 × 𝐴𝐷𝐶
+
𝐹𝐶𝐾 × 𝐿𝐶𝐾
𝐸𝐶𝐾 × 𝐴𝐶𝐾
+
𝐹𝐾𝐵 × 𝐿𝐾𝐵
𝐸𝐾𝐵 × 𝐴𝐾𝐵
= 0
(−RB + 900) × 0,15
250 × 10−6
+
(−RB + 600) × 0,15
250 × 10−6
+
(−RB + 600) × 0,15
400 × 10−6
+
(−RB) × 0,15
400 × 10−6
= 0
RB= 577 kN
e
RA = 323 kN
 Exemplo 2.4(Método da Superposição)
• Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 para a barra de aço e o
carregamento mostrado na figura.
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
 Exemplo 2.4(Método da Superposição)
• Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 para a barra de aço e o
carregamento mostrado na figura.
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
• Considere a reação em B como superabundante,
libere a barra desde suporte e calcule as
deformações causadas pelas cargas externas
aplicadas.
• Calcule as deformações causadas pela reação
superabundante em B.
• O sistema requer que haja compatibilidade entre as
deformações causadas pelas cargas externas e pela
reação, ou seja, sua soma é nula neste caso.
SOLUÇÃO:
 Exemplo 2.4(Método da Superposição)
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
SOLUÇÃO:
𝑃1 = 0
𝐴1 = 𝐴2 = 400 × 10
−6 m2
𝐿1 = 𝐿2 = 𝐿3 = 𝐿4 = 150 mm
• Deformação total devida às cargas externas:
• Deformação total devida à reação:
𝑃2 = 𝑃3 = 600 × 10
3 N 𝑃4 = 900 × 10
3 N
𝐴3 = 𝐴4 = 250 × 10
−6 m2
𝛿𝐿 = 
𝑖
𝑃𝑖𝐿𝑖
𝐴𝑖𝐸𝑖
=
1,125 × 109
𝐸
𝑃1 = 𝑃2 = −𝑅𝐵
𝐴1 = 400 × 10
−6 m2 𝐴2 = 250 × 10
−6 m2
𝐿1 = 𝐿2 = 0,300 m
𝛿𝑅 = 
𝑖
𝑃𝑖𝐿𝑖
𝐴𝑖𝐸𝑖
=
1,95 × 103 𝑅𝐵
𝐸
 Exemplo 2.4(Método da Superposição)
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
SOLUÇÃO:
𝛿 = 𝛿𝐿 + 𝛿𝑅 = 0
• Compatibilidade das deformações:
• Cálculo da reação em A:
𝛿 =
1,125 × 109
𝐸
−
1,95 × 103 𝑅𝐵
𝐸
= 0
∑𝐹𝑦 = 0 = 𝑅𝐴 − 300 kN − 600 kN + 577 kN
𝑅𝐵 = 577 × 10
3 N = 577 kN
𝑅𝐴 = 323 kN
RA= 323 kN
RB = 577 kN
 Tensões Devido a Variação de Temperatura
• Uma variação de temperatura resulta em uma variação
no comprimento da barra ou 𝑑𝑖𝑙𝑎𝑡𝑎çã𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎. Se a
barra está livrepara deformar, nenhuma tensão é
induzida à mesma. Porém, se ela é impedida de
deformar pelos suportes, surge uma tensão, chamada
de tensão térmica.
• A deformação térmica e a deformação causada pela
reação superabundante precisam ser compatíveis:
𝛿𝑇 = 𝛼 ∆𝑇 𝐿
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
𝛿𝑃 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
𝛼 = coeficiente de dilatação térmica
𝛿 = 𝛿𝑇 + 𝛿𝑃 = 0 𝛿 = 𝛿𝑇 + 𝛿𝑃 = 0
𝛼 ∆𝑇 𝐿 +
𝑃𝐿
𝐴𝐸
= 0
𝑃 = −𝐴𝐸𝛼 ∆𝑇
𝜎 =
𝑃
𝐴
= −𝐸𝛼 ∆𝑇
 Coeficiente de Poisson
• Para uma barra sujeita a uma carga axial, temos:
• A elongação na direção do eixo 𝑥 é acompanhada de
uma contração nas outras direções. Assumindo que o
material é isotrópico.
• O coeficiente de Poisson é definido como:
Resistência dos Materiais – Tensão e Deformação
𝜀𝑥 =
𝜎𝑥
𝐸
𝜎𝑦 = 𝜎𝑧 = 0
𝜈 =
deformação transversal
deforamção axial
= −
𝜀𝑦
𝜀𝑥
= −
𝜀𝑧
𝜀𝑥
𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 ≠ 0