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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Unidade II
5 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NORMAIS E CISALHANTES
5.1 Introdução
Figura 155
Anteriormente analisou-se o efeito da aplicação de forças sobre uma peça ou estrutura, considerando 
a estática das leis de Newton. Apenas com conhecimento dos efeitos da aplicação dessas leis, o engenheiro 
não será capaz de projetar uma peça para que ela funcione sem apresentar falha.
Um projeto de engenharia deve avaliar a relação entre as forças aplicadas a uma peça, a geometria 
e o material a ser utilizado. A realização de um projeto que atenda aos quesitos de segurança e à 
funcionalidade, como de carros, aviões, pontes, edifícios e equipamentos, deve levar em consideração 
sua resistência, rigidez e estabilidade.
É necessário o conhecimento das forças internas e deformações que agem no interior do corpo 
como um entendimento das características mecânicas do material usado para fazer a peça ou estrutura.
Tensão é o resultado da ação de cargas externas sobre uma unidade de área da seção analisada na 
estrutura submetida a solicitações mecânicas.
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Unidade II
Força
Tensão
Área
=
A tensão pode ser de dois tipos: cisalhante e normal.
Te
ns
ão
 c
isa
lh
an
te
Tensão normal
Figura 156 – Tensões agindo em uma peça
Tensão cisalhante (τ): é provocada por torção e cisalhamento, além de atuar na direção tangencial 
à área da seção transversal.
Tensão normal (Σ): é ocasionada por tração, compressão e flexão que ocorrem na direção normal 
(perpendicular) à área da seção transversal.
5.2 Tensão normal
Matematicamente, quando uma força normal “F”, que atua na peça, origina nela uma tensão normal 
“Σ” (sigma), que é determinada através da relação entre a intensidade da carga aplicada “F” e a área da 
seção transversal da peça “A”, temos:
Equação: 
F
A
σ =
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 157 – Tensão normal
A unidade de medida no SI é:
• F: Newton (N).
• A: metros quadrados (m2).
• Σ: N/m2 (Pa).
Na prática, o pascal torna-se uma medida pequena para tensão; então, usam-se múltiplos desta 
unidade (MPa, GPa).
Exemplo 1
Uma barra de seção circular com 70 mm de diâmetro é tracionada por uma carga 100 kN. Determine 
a tensão normal atuante na barra:
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Unidade II
100 kN
Figura 158
3
2 2
2
F 100.10 N
d 80mm 0,08m
.d .0,08
A 0,005m
4 4
=
= =
π π= = =
3
6
2
F 100.10 N
20.10 20MPa
A 0,005 m
σ = = = =
 
5.3 Deformação na tensão normal
Quando uma força é aplicada a um corpo, tende a mudar a forma e o tamanho dele. Tais alterações 
são denominadas deformação (ε).
Matematicamente se expressa a deformação como a relação entre a variação do comprimento da 
peça (∆L) e comprimento inicial da peça (Lo):
Equação: 
L L Lo
Lo Lo
∆ −ε = =
Figura 159 – Deformação
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A deformação é adimensional, porém algumas literaturas apresentam a unidade como comprimento/
comprimento (por exemplo, mm/mm).
Exemplo 1
Uma carga de 25 kN é aplicada a um fio metálico com 500 mm de comprimento e diâmetro de 10 
mm, provocando um alongamento de 0,20 mm. Determine a deformação deste fio:
Figura 160
Resolução:
Dados:
L0 = 500 mm
∆L = 0,20 mm
Note que o alongamento é a variação de comprimento do fio, não a deformação. Uma maneira de 
diferenciar as informações é por meio da unidade; lembre-se que a deformação é adimensional.
L 0,20
0,0004
Lo 500
∆ε = = =
 
Como visto, a aplicação de força em um corpo provoca nele tensão e deformação. Pode-se então 
relacionar a tensão e a deformação através de um gráfico conhecido como diagrama tensão x deformação.
5.4 Cisalhamento
Anteriormente, estudou-se o efeito das forças normais na peça ou estrutura. No entanto, forças 
paralelas podem agir na seção transversal, provocando tensões de cisalhamento.
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Unidade II
Figura 161 – Forças agindo em uma peça
Figura 162 – Tensão cisalhante agindo em uma peça
A tensão de cisalhamento age sobre rebites, pinos e parafusos, que unem as diversas partes das 
máquinas e estruturas. O esforço de cisalhamento tende a separar as moléculas por deslizamento de 
uma face sobre outra ou entre dois planos contínuos.
 Lembrete
Assim como a tensão normal, a tensão de cisalhamento atua na área da 
seção transversal da peça.
5.5 Tensão de cisalhamento
A ação da carga cortante sobre a área da seção transversal da peça causa nessa área uma tensão 
de cisalhamento, que é definida pela relação entre a intensidade da carga aplicada e a área da seção 
transversal da peça sujeita a cisalhamento.
Equação: 
V
A
τ =
Onde
τ é a tensão de cisalhamento (Pa).
V é a força cortante (N).
A é a área da seção transversal (m2).
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O cisalhamento causado por ação direta de uma carga é chamado de cisalhamento simples e, 
geralmente, ocorre em acoplamentos simples feitos com parafusos, soldas ou pinos.
Figura 163 – Cisalhamento simples
No cisalhamento simples, o valor da cortante V é igual à força F.
Já no cisalhamento duplo, existem duas superfícies de cisalhamento que devem ser consideradas, 
sendo que o valor da cortante V é metade da força F, ou seja:
V F
A 2.A
τ = =
Figura 164 – Cisalhamento duplo
 Observação
Quando houver mais de um elemento (parafuso ou rebite), utiliza-se:
V
n.A
τ =
onde n é o número de parafusos ou rebites.
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Unidade II
Exemplo 1
Determine a tensão de cisalhamento que ocorre no parafuso de aço SAE 1020 e diâmetro 10 cm, 
quando a força aplicada às chapas for de 100 kN:
Figura 165
Resolução:
V
A
τ =
2 2
2.d .0,1A 0,0078m
4 4
π π= = =
3
6100.10 12,73.10
0,0078
τ = =
τ = 12,82 MPa
 
Exemplo 2
Uma guilhotina para cortes de chapas tem mesa com 1,5 m de largura de corte e 500 kN de 
capacidade. Determine a espessura máxima de corte em chapas de aço (τ= 220 MPa):
Figura 166
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Resolução:
V
A
τ =
3
6
3
6
900.10
220.10
1,5.e
900.10
e
1,5.220.10
=
=
e = 2,72 . 103 m = 2,72 mm
 
 Saiba mais
A norma ABNT NBR 8309:2006 especifica o método para determinação 
da resistência ao cisalhamento de rebites, barras e arames para recalque a 
frio, fabricados de alumínio e suas ligas. Para visualizar os detalhes, leia: 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR ISO 8309: Alumínio 
e suas ligas – Rebites, barras e arames para recalque a frio – Determinação 
da resistência ao cisalhamento. Rio de Janeiro, 2006.
Exemplo 3
Determine a tensão de cisalhamento do conjunto mostrado na figura quando a carga for de 6 kN 
(referente ao parafuso sextavado M12).
4
3
5
2
1
Q
Figura 167
Resolução:
O parafuso tende a ser cisalhado nas seções AA e BB, ou seja, trata-se de cisalhamento duplo, então:
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V F
A 2A
τ = =
Parafuso sextavado M12
d = 12 mm = 0,012 m
2 2
4 2.d .0,012A 1,13.10 m
4 4
−π π= = =
3
6
4
6.10
26,54.10
2.1,13.10
τ = =
τ = 26,54 MPa
 
Exemplo 4
O conjunto da figura é composto de quatro parafusos. Determine a tensão de cisalhamento em cada 
um deles. Dados: F= 50 kN; dparafuso = 20 mm.
Figura 168
Resolução:
Neste exemplo temos quatro parafusos em cisalhamento simples, então:
V V
A 4.A
τ = =
2 2
4 2.d .0,020A 3,14.10 m
4 4
−π π= = =
3
6
4
50.1039,80.10
4.3,14.10−
τ = =
τ = 39,80 MPa
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
 Exemplo 5
O conjunto da figura é composto de seis parafusos. Determine a tensão de cisalhamento em cada 
um deles. dparafuso= 20 mm.
Figura 169
Resolução:
Neste exemplo temos seis parafusos em cisalhamento composto, então:
F F F
2A 6.2.A 12A
τ = = =
2 2
4 2.d .0,020A 3,14.10 m
4 4
−π π= = =
3
6
4
100.10
26,54.10
12.3,14.10−
τ = =
26,54MPaτ =
 
Exemplo 6
A barra rígida mostrada a seguir é suportada por uma haste de aço AB, que tem diâmetro de 25 mm. 
Os pinos de 20 mm de diâmetro em A e B estão submetidos a um cisalhamento simples. Se a tensão de 
cisalhamento de ruptura de cada pino for τrup = 600 MPa, determine a carga P que pode ser aplicada à 
barra. Considere o fator de segurança 2,0 para aplicação.
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Unidade II
Figura 170
Resolução:
Primeiro será determinada a força na barra AB.
Figura 171
Mc =∑ 0
AB
AB
AB
F .2 P.1,25 0
1,25.P
F
2
F 0,625P
− + =
=
=
adm
600
CS 2
ττ = =
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τadm = 300 MPa
2 2
4 2.d .0,025A 4,9.10 m
4 4
−π π= = =
adm
V
A
τ =
6
4
6 4
0,625P
300.10
4,9.10
300.10 .4,9.10
P
0,625
−
−
=
=
P = 235,2 kN
 
Exemplo 7
A um eixo que tem 30 mm de diâmetro pretende-se fixar uma polia por meio de um pino, conforme 
mostrado na figura. Considerando que o momento de torção (torque) no eixo é de 500 kN.cm, determine 
o diâmetro do pino (D). τadm= 350 kN/cm
2.
Figura 172
O primeiro passo é determinar o valor da força cortante.
M
M Fxd F
d
= → =
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500
F 100kN
5
= =
V
A
τ =
3
.3
2
100.10
350.10
A
A 0,28cm
=
=
2.d 4.A
A d
4
π= → =
π
4.0,28
d =
π
d ≅ 0,6 cm = 6 mm
Exemplo 8
Dimensione os parafusos para construir a junta excêntrica representada na figura; τadm=105 MPa.
Figura 173
Resolução:
Inicialmente, deve-se encontrar as forças aplicadas em cada parafuso.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Tais cargas aplicadas são compostas de dois componentes: divisão força de 60 kN nos quatro 
parafusos (15 kN em cada) e momento gerado por ela.
Figura 174
Chamando a força causada pelo momento de Fm, e fazendo somatória de momentos no 
centro, tem-se:
∑M0 = 0
4.Fm.0,1 60.0,5 0
60.0,5
Fm
4.0,1
Fm 75kN
− =
=
=
Nos parafusos 2, as forças são contrárias, enquanto no parafuso 4 estão no mesmo sentido.
Figura 175
130
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Unidade II
Nos parafusos 1 e 3, a força aplicada é aquela resultante das forças de 15 kN e 75 kN. Portanto, 
calculando a força total, tem-se:
2 2F1 F3 Fr Fx Fy= = = +
2 2F1 F3 15 75= = +
F1 = F3 = 76,5 kN
Ao fazer a análise, percebe-se que a força no parafuso 2 (90 kN) é a maior. Como todos os parafusos 
devem ter o mesmo diâmetro, ela será usada no cálculo da tensão de cisalhamento.
V
A
τ =
3
.6
4 2
90.10
105.10
A
A 8,57.10 m−
=
=
2.d 4.A
A d
4
π= → =
π
44.8,57.10
d
−
=
π
d ≅ 33 . 10-2 m = 33 mm 
 
5.6 Deformações no cisalhamento
Considere uma peça em que todas as forças atuantes dão origem somente a tensões de cisalhamento 
(τ). Ao receber a ação da carga cortante, o ponto A desloca-se para a posição A’, e o ponto B para a 
posição B’, gerando o ângulo denominado distorção (γ).
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 176 – Deformações cisalhantes em um corpo
A distorção é medida em radianos (portanto, adimensional) e determinada através da relação entre 
a tensão de cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade transversal do material.
Equação: 
G
τγ =
Onde:
γ é o ângulo de deformação;
τ é a tensão cisalhante;
G é o módulo de elasticidade transversal do material.
Exemplo 1
Um bloco é solicitado por uma força F = 300 kN. Calcule:
a) a tensão cisalhante;
b) o deslocamento do ponto A, considerando-se que a face inferior não se move.
Dados: E = 90 GPa; ν = 0,25.
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Unidade II
Figura 177
Resolução:
a) Cálculo da tensão de cisalhamento.
V
A
τ =
A = b . h = 0,2 . 0,05 = 0,01 m2
3
6300.10 30.10
0,01
τ = =
τ = 30 MPa
b) Deslocamento do ponto A.
Figura 178
tg
70
∆γ ≅ γ =
∆ = 70 . γ
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Cálculo do módulo de elasticidade
( ) ( )
9E 90.10
G
2. 1 2. 1 ,025
= =
+ ν +
G = 36 GPa
6
9
30.10
G 36.10
τγ = =
γ = 8,33 . 10-4rad
Portanto,
∆ = 70 . γ
∆ = 70 . 8,33 . 10-4
∆ = 5,83 . 10-2 m = 58,33 mm
6 RELAÇÃO TENSÃO X DEFORMAÇÃO
6.1 Introdução
Figura 179
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Unidade II
Para projetar adequadamente um componente estrutural ou mecânico, o engenheiro deve entender 
e trabalhar respeitando as características e as limitações do material usado no objeto. Materiais como 
aço, alumínio, plástico e madeira respondem de maneira diferente a cargas e tensões aplicadas. A fim 
de determinar a resistência e as características dos elementos, são exigidos ensaios laboratoriais. De 
acordo com Philpot (2013), um dos mais simples e eficientes modos para se obter informações úteis aos 
projetos de engenharia sobre um material é denominado ensaio de tração.
Ele consiste em aplicar uma força variável em um corpo de prova cujas dimensões são padronizadas pela 
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Em se tratando de chapas, pode ser cilíndrico ou chato.
Figura 180 – Corpos de prova para ensaio de tração
O corpo de prova é colocado em uma máquina de tração, que vai aumentando o valor da carga 
aplicada ao corpo de prova até seu rompimento.
Garra 
superior
Garra inferior
Comprimento 
útil
F FA
Lo
Bordas de 
lâmina
Extensômetro
Figura 181 – Esquematização de um ensaio de tração
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Atualmente, as máquinas de tração são equipadas com sensores e conectadas a computadores. No 
início do ensaio de tração, o operador insere os dados de comprimento inicial (Lo) e a área do corpo de 
prova (A). Os sensores (extensômetros) medem a variação do comprimento inicial, enquanto as células 
de carga mensuram a variação da força. Esses dados são enviados ao computador, que calcula a tensão 
(força/área) e a deformação (variação do comprimento/comprimento inicial); a partir daí, cria-se o 
diagrama tensão x deformação.
Figura 182 – Principais pontos do diagrama tensão x deformação
No diagrama tensão x deformação, pode-se observar alguns pontos importantes:
• Tensão de proporcionalidade: representa o valor máximo da tensão; abaixo deste, o material 
retorna ao estado inicial.
• Tensão limite de resistência: corresponde à máxima tensão atingida no ensaio de tração.
• Tensão de ruptura: equivale à ruptura do corpo de prova.
• Deformação elástica: refere-se ao trecho da curva tensão x deformação, compreendido entre a 
origem e o limite de proporcionalidade.
• Deformação plástica: trata-se do espaço constante entre o limite de proporcionalidade e a ruptura 
do material.
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Unidade II
 Saiba mais
O ensaio de tração segue normas técnicas determinadas pela 
ABNT, especificamente a contida em ISO 6892, que estipula o método 
de ensaio de tração de materiais metálicos e define as propriedades 
mecânicas que podem ser determinadas à temperaturaambiente. 
Para mais informações, leia: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS 
TÉCNICAS. NBR ISO 6892: Materiais metálicos – Ensaio de Tração. Parte 1: 
Método de ensaio à temperatura ambiente. Rio de Janeiro, 2013.
Os materiais, durante o ensaio de tração, podem ser frágeis e dúcteis devido às suas propriedades e 
diagramas tensão x deformação semelhante.
• Materiais frágeis: apresentam pouca ou nenhuma deformação na região plástica, por exemplo: 
concreto, vidro, giz, ferro fundido, cerâmica. Eles demonstram grande limite de resistência, 
principalmente quando submetidos à compressão. Suas grandes desvantagens são: não absorvem 
impacto, por possuírem baixa ductilidade, e ocorrem de fraturas repentinas.
• Material dúctil: têm grandes deformações plásticas antes da ruptura, por exemplo: latão, 
alumínio e aço. Apesar de sua resistência ser menor que a dos materiais frágeis, sua capacidade 
de deformação o torna mais maleável, fazendo com que a sua ruptura não seja tão brusca.
Tensão
Frágil
Dúctil
Deformação
Figura 183 – Diagrama tensão x deformação – Materiais dúcteis e frágeis
6.2 Lei de Hooke
A disciplina Resistência dos Materiais abrange a parte inicial do diagrama tensão x deformação, ou 
seja, a peça ou estrutura projetada não deve ultrapassar o limite de escoamento do material. Para efeito 
de projeto, se a peça iniciar o escoamento plástico por segurança, ela deve ser retirada de uso.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Na região inicial do diagrama, a relação entre tensão e deformação é linear, sendo a tensão 
diretamente proporcional à deformação.
Tem-se pela equação: Σ = E . ε
E representa o módulo de elasticidade do material ou módulo de Yong. O módulo de elasticidade é 
uma propriedade do material, cuja característica vem da força de atração entre os átomos. A tabela a 
seguir apresenta o módulo de elasticidade de alguns materiais selecionados.
 Observação
A lei de Hooke somente pode ser usada na região elástica, ou seja, antes 
do limite de escoamento do material.
Tabela 5 – Propriedade dos materiais
Materiais Limite escoamento (MPa) Módulo de elasticidade (GPa)
Aço estrutural ASTM-A36 247 200
Alumínio – Liga 2014-T4 290 73
Latão – C23000 124 115
Bronze – C76100 331 105
Titânio (6Al,4%V) 727 114
Exemplo 1
Uma carga de 250 kN é aplicada a uma barra com 70 cm de comprimento e diâmetro de 10 cm, 
provocando um alongamento de 0,20 mm. Determine o módulo de elasticidade do material:
Figura 184
138
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o:
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 -
 2
8/
09
/1
7
Unidade II
Resolução:
Dados:
3
2 2
2
F 250.10 N
Lo 80cm 800mm
L 0,20mm
d 10cm 0,1m
.d .0,1
A 0,0078m
4 4
=
= =
∆ =
= =
π π= = =
Utilizando as equações apresentadas neste capítulo:
F
A
σ =
L L Lo
Lo Lo
∆ −ε = =
Σ = E . ε
Para o cálculo do módulo de elasticidade, será utilizada a lei de Hooke, portanto deve-se determinar 
a tensão e a deformação da barra.
3
6
2
F 250.10 N
32,05.10 32,05MPa
A 0,0078 m
σ = = ≅ ≅
L 0,20
0,00025
Lo 800
∆ε = = =
6
932,05.10E. E 128.10 Pa 128GPA
0,0025
σσ = ε → = = ≅ ≅
ε
Exemplo 2
Uma barra de alumínio possui seção transversal retangular com 45 cm de base e 170 cm de altura, e seu 
comprimento é de 2 m. A carga axial aplicada nela é de 900 kN. Determine seu alongamento. EAl = 70 GPa.
139
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 185
Resolução:
F = 900 kN = 900 . 103N
LO = 2 m
A = b . h = 0,45 . 1,8 = 0,81 m2
E = 70 GPa = 70 . 109Pa
Utilizando a lei de Hooke, tem-se:
Σ = E . ε
Substituindo as equações de tensão e deformação,
F L
E.
A Lo
∆= , isolando o alongamento ∆L tem-se:
3
5
9
F.Lo 900.10
L 1,587.10 m 0,0158mm
E.A 70.10 .0,81
−∆ = = ≅ ≅
 
140
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7
Unidade II
Exemplo 3
Determine o deslocamento da barra de aço A submetida às forças dadas (Eaço= 220 GPa).
Figura 186
Resolução:
Diagrama de força normal.
Figura 187
O deslocamento será calculado para três regiões, e o deslocamento total será a soma:
A1 = A2 = 600 mm
2 = 6 . 10-3m2
A3 = 200 mm
2 = 2 . 10-3m2
Lo1 = Lo2 = 400 mm = 0,4 mm
Lo3 = 500 mm = 0,5 m
F.Lo
L
E.A
∆ =
3
1 6 3
F.Lo 330.10 .0,4
L 0,100m
E.A 220.10 .6.10−
∆ = = =
141
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
3
2 6 3
F.Lo 70.10 .0,4
L 0,021m
E.A 220.10 .6.10−
−∆ = = = −
3
3 6 3
F.Lo 180.10 .0,5
L 0,204m
E.A 220.10 .2.10−
∆ = = =
∆Ltotal = ∆L1 + ∆L2 + ∆L3 = 0,100 - 0,021 + 0,204
∆Ltotal = 0,283 m = 283 mm 
6.3 Tensão admissível
No projeto de uma peça ou estrutura, o engenheiro deve garantir que a carga limite do material não 
seja atingida, ou seja, tal objeto deverá suportar, em condições normais de utilização, um carregamento 
menor que esse limite.
O carregamento menor é chamado de admissível, de projeto ou trabalho. Ao usar a carga admissível, 
somente uma parte da capacidade do material está sendo aplicada, a outra é reservada para garantir ao 
produto condições seguras de utilização.
Σesc
Σadm
Deformação
Trabalho
Segurança
Tensão
Figura 188 – Tensão admissível
Para materiais dúcteis, a tensão admissível é determinada pela relação entre a tensão de escoamento 
do material (Σe) e o coeficiente de segurança (CS). Em materiais frágeis, utiliza-se a tensão de ruptura 
em vez da tensão de escoamento.
e
admMaterial ductil CS
σ→ σ =
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Unidade II
r
admMaterial frágil CS
σ→ σ =
A escolha do coeficiente de segurança adequado para diferentes aplicações requer uma análise 
cuidadosa. Sua determinação é feita com base nas normas de cálculo, muitas vezes pelo próprio 
projetista, baseado em experiências e de acordo com seu critério. Os principais fatores que devem ser 
levados em consideração são:
• material a ser utilizado;
• tipos de carregamento;
• ambiente de utilização;
• grau de importância da estrutura projetada.
Este último item deve ser sempre classificado como essencial para o aumento na segurança. Quanto 
maior o risco à vida humana, maior deve ser o conhecimento da peça ou estrutura projetada.
Exemplo 1
A barra circular mostrada tem seções de aço, latão e alumínio. São aplicadas cargas axiais nas partes 
transversais A, B, C e D. Se as tensões normais são 250 MPa no aço, 100 MPa no latão e 170 MPa no 
alumínio, determine os diâmetros para cada uma das seções. Considere o fator de segurança (CS) igual 
a 2 para aplicação.
Figura 189
Resolução:
Diagrama de força normal.
Figura 190
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Alumínio: 
6
adm
170.10
85MPa
2
σ = =
Latão: 
6
adm
100.10
50MPa
2
σ = =
Aço: 
6
adm
250.10
125MPa
2
σ = =
2
adm
adm adm adm
F F d F 4.F
A d
A 4 .
πσ = → = = = → =
σ σ π σ
3
alum alum6
4.370.10
d d 0,0744m 74,4mm
.85.10
= → = =
π
3
lat lat6
4.130.10
d d 0,0573m 57,3 mm
.50.10
= → = =
π
3
aço aço6
4.280.10
d d 0,0534m 53,4mm
.125.10
= → = =
π
 
6.4 Tensão x Deformação de Cisalhamento
Para determinar as propriedades dos materiais sujeitos ao cisalhamento, é feito um ensaio de 
cisalhamento. Este ensaio apresenta as mesmas características do ensaio de tração, assim determina-se 
o diagrama tensão x deformação de cisalhamento.
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Unidade II
γp γ
τp
τ
Deformação
Região 
elástica
Tensão
G
Figura 191 – Diagrama tensão x deformação de cisalhamento
 Lembrete
Da mesma maneira que se determina o módulo de elasticidade 
longitudinal (E) no ensaio de tração, estabelece-se o módulo de elasticidade 
transversal (G). 
Na região elástica, a relação entre tensão de cisalhamento e deformação de cisalhamento é linear:tg
τα =
γ
G
τ=
γ
A relação entre o módulo de elasticidade longitudinal (E) e o módulo de elasticidade transversal (G) 
é dada por:
E = 2 . G(1 + υ)
( )
E
G
2. 1
=
+ υ
Onde:
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
ν é conhecido como coeficiente de Poisson. Desta forma, se o valor de um dos módulos for conhecido, 
o outro pode ser estimado. A tabela a seguir apresenta os módulos para alguns materiais.
Tabela 6 – Propriedade dos materiais
Material
Módulo de elasticidade 
longitudinal
E (GPa)
Módulo de elasticidade 
transversal
G (GPa)
Coeficiente de 
Poisson
ν
Aço 207 73 0,30
Latão 97 370 0,34
Alumínio 69 25 0,33
Cobre 110 46 0,34
Chumbo 13,5 5,6 0,44
Estanho 44,3 17 0,33
 Resumo
Nesta unidade foram demonstrados os conceitos de tensão e 
deformação, destacando a geometria e as propriedades dos materiais, 
iniciando assim o dimensionamento de peças e estruturas, sujeitas a cargas 
que geram tensões normais de tração e compressão e cisalhamento.
Foi estudado um dos principais ensaios para determinar as propriedades 
de um material, o ensaio de tração, e então apresentamos as características 
de materiais dúcteis e frágeis. 
Através da tensão admissível, mostrou-se a importância de se trabalhor 
com um coeficiente de segurança adequada para cada cituação, sempre 
respeitando a norma ABNT.
 Exercícios
Questão 1. (Enade 2014, adaptada) Um vaso de pressão de uma linha hidráulica para pressão de 4,0 
N/mm², conforme ilustra a figura, tem seu bocal de inspeção com diâmetro interno de 200 mm fixada 
por oito parafusos de cabeça sextavada M10 x 40 com porca. Considere que tanto a tampa quanto o 
espelho de fixação são confeccionados em aço e que a espessura total da junta (espelho + tampa) é de 
28 mm. Sabe-se que o parafuso é feito de um material cujo limite de escoamento é 540 MPa.
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Unidade II
Figura 192
Na situação descrita, qual o coeficiente de segurança dos parafusos?
A) 2,00.
B) 1,35.
C) 5,40.
D) 2,70.
E) 1,00.
Resposta correta: alternativa D.
Análise das alternativas
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: parece ser um número aleatório colocado como alternativa.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: esse valor ocorre caso o valor da tensão no parafuso seja o dobro.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: esse valor ocorre caso a tensão que atua no parafuso seja a metade.
D) Alternativa correta.
Justificativa: o problema informa que a pressão interna (p) é 4,0 n/mm2, que a tampa possui um 
diâmetro (d) de 200 mm e que o número de parafusos que prende a tampa ao tanque é oito.
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7
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Com estes dados é possível obter a força de solicitação (F) que irá atuar em cada parafuso, que é 
a força desenvolvida pela pressão na área da tampa (At) dividida pelo número de parafusos (n), isto é:
p At
F
n
⋅=
 → 
2d
p
4F
n
π ⋅⋅
=
( )2
2
200mmN
4,0
4mmF
8
π ⋅
⋅
=
F = 5 . π . 103N
Sabe-se que a tensão em cada para fuso é:
 
( )
3
2
F
200MPa
A .
5 . .1
10mm
4
0 Nσ = = =
π
π
O coeficiente de segurança (FS) é obtido pelo quociente entre a tensão de escoamento (σe) e a 
tensão que aparece nas seções dos parafusos (σ).
 
e 540MPaFS 2,7
200MPa
σ= = =
σ
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: um fator de segurança igual à unidade indica que a tensão nas seções dos parafusos é 
igual à de escoamento do material.
Questão 2. (Enade 2011, adaptada) Um acoplamento rígido tipo flange, conforme mostrado na 
figura, será usado para acoplar um motor elétrico de 135 kW e 900 rpm a um redutor de engrenagens 
do sistema de tração de uma esteira de transporte de calcário moído. Cada um dos flanges é fixado à 
respectiva ponta de eixo por meio de chaveta e o acoplamento é realizado utilizando-se oito parafusos 
igualmente espaçados, distribuídos segundo um círculo de diâmetro d = 300 mm, conforme mostrado 
na figura a seguir.
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Unidade II
Chaveta
Parafuso
d = 300 mm
Figura 193 
Nesta configuração, qual é a força cisalhante agindo sobre cada parafuso?
A) 30,0 kN
π
.
B) 3,75 kN
π
.
C) 15,0 kN
π
.
D) 7,50 kN
π
.
E) 1,85 kN
π
.
Resolução desta questão na plataforma.