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Trabalho, Energia e Conservação da Energia
Docente: Ma. Fabriciany Lourenço Moreira
Outline
Trabalho de uma Força Constante
Trabalho de uma Força Variável 
Teorema do Trabalho-Energia Cinética
Potência
Forças Conservativas e Não Conservativas
Energia Potencial
Conservação da Energia Mecânica
Introdução
Estudamos a Mecânica Newtoniana utilizando o conceito de Força, aceleração, velocidade, posição, resolvendo um grande número de situações.
Porém em situações que temos forças que variam com a posição (molas, superfícies inclinadas não planas...), a resolução através da aceleração pode se tornar mais complexa.
Podemos resolver com mais simplicidade através do conceito Trabalho-Energia.
Aqui trataremos de Energia mecânica, começando com a definição de Trabalho.
Trabalho
INTERPRETAÇÃO:
É o modo da força pela projeção do deslocamento em direção à força.
. 
Trabalho de uma força ( constante
É o deslocamento vezes a projeção da força na direção do deslocamento.
Trabalho
Trabalho de uma força ( constante
Em particular:
Se e forem paralelos (= 0) 
Se e forem anti-paralelos (= ) 
Se e forem perpendiculares (= ) 0
 
 O sinal depende do 
Trabalho
Trabalho de uma força ( constante
Unidade: S.I
 newton (N)
 metro (M)
 joule (J)
 depende do referencial.
Se o referencial for inercial, a força não depende do referencial, mas o deslocamento depende.
Trabalho
Trabalho em problemas unidimensionais:
Quando o movimento é retilíneo, se a força for constante, basta calcular a projeção
Fo F . 
da força na direção do deslocamento.
Neste caso, fica simples calcular o trabalho como função do deslocamento:
W Fo . S
Trabalho
Gráfico de F(x):
W Fo . S
W = Área sob o gráfico de F(x).
Definição geral de trabalho (Em uma dimensão)
W
Trabalho
Trabalho de uma força variável
Ponto de equilíbrio
Lei de Hooke
Se X for positivo a força é negativa, ou seja, se deslocando para a esquerda.
Se X for negativo a força é positiva, ou seja, se deslocando para a direita.
Força elástica
X =
Trabalho
W = Área sob o gráfico de F(x)
F(xi)
F(xf)
Trapézio
Trabalho
F(xi)
F(x
Note que Wmola não pode ser escrito como 
Trabalho de uma força variável
Se (se afasta do equilíbrio = mola se opõe)
Se (se aproxima do equilíbrio = mola ajuda)
Se Xi = 0, 
Se Xf = 0, 
Trabalho
F(xi)
Área sob o gráfico F(x).
Caso geral
X
Xi
Xf
F1
F2
W1
W2
W1 F1 . 
W W1 + W2
W2 F2 . 
Trabalho
F(xi)
Área sob o gráfico F(x).
Caso geral
 , 
X2
Xi
Xf
F1
F2
W2
WN
Wj Fj . 
W 
F3
FN
X1
X3
W3
W1
Trabalho
Área sob o gráfico F(x).
Caso geral
No limite em que temos e a área dos retângulos somados tende à área verdadeira:
Notação:
Trabalho
F(xi)
, onde 
Quando força não é constante, temos que calcular o trabalho infinitesimal que é realizado a cada deslocamento infinitesimal:
O trabalho total será a soma de todos os trabalhos infinitesimal, ou seja:
 .
.
.
Y
Trabalho
F(xi)
Por outro lado,
 
 +dy
Integrais de Linha
Considerações sobre o trabalho
O trabalho realizado por uma força é um escalar.
Somente a componente da força na direção do deslocamento realiza trabalho.
O trabalho é sempre calculado em um deslocamento (não faz sentido falar em trabalho de um ponto).
O trabalho está associado a uma força (o trabalho total realizado sobre uma partícula está associado a força resultante que atua sobre ela).
Quanto maior o deslocamento, maior o trabalho realizado por uma força.
Teorema Trabalho-Energia Cinética
F(xi)
Se uma partícula se move ao longo do eixo x , sob a ação de uma força resultante (Fres) nessa mesma direção:
Teorema Trabalho-Energia Cinética
F(xi)
Regra da Cadeia
Teorema Trabalho-Energia Cinética
F(xi)
A variação da Energia Cinética de uma partícula é igual ao Trabalho da resultante das forças que atuam sobre essa partícula.
A quantidade de Energia Cinética da partícula:
Teorema Trabalho-Energia Cinética
F(xi)
Note que:
Se Wres 0 a velocidade do objeto aumenta
Se Wres 0 a velocidade do objeto diminui
Se Wres = 0 a velocidade inalterada
Potência
F(xi)
A definição de trabalho não faz referência ao tempo.
Mas pode ser interessante saber se quanto tempo levamos para realizar um trabalho – Potência.
Potência Média: 
Potência Instantânea: , dw é a quantidade infinitesimal de trabalho realizada no intervalo dt.
Potência
F(xi)
Quando a P for constante no tempo: P = 
Unidade: S.I. 
Potência
Para a força resultante:
Wr = Ec
Forças Conservativas
São aquelas que realizam um trabalho nulo ao longo de um caminho fechado.
Se o W realizado por uma força não depende do caminho.
Força Elástica
Força Gravitacional
Forças Conservativas
X=0
Força Elástica
Forças Conservativas
Força Gravitacional
Força de Atrito (NÃO É CONSERVATIVA)
Energia Potencial
A variação da energia potencial U associada a uma força conservativa é definida como o negativo do trabalho realizado por esta força:
 ou 
Em uma dimensão:
 ou 
Energia Potencial
Observe que U(X) é a primitiva de –F(X), ou seja:
Se conhecermos a função energia potencial U(X), podemos obter a força:
(Note: O valor de U(Xi) não afeta a força)
Conservação de Energia
• A energia existe sob várias formas – mecânica, elétrica, térmica, química e luminosa e pode se converter de uma a outra.
• Sempre que houver uma diminuição de energia sob uma dada forma, haverá o aparecimento dessa mesma quantidade de energia em outra forma, de modo que a energia total do universo ou do sistema isolado se conserve.
Conservação de Energia
Quando várias forças atuam sobre uma partícula, o trabalho Wr da força resultante é a soma dos trabalhos das n forças:
Trabalho da i-ésima força.
Conservação de Energia
Se todas as forças que realizam trabalho ( forem conservativas, então poderemos escrever:
Definindo uma energia potencial:
, temos 
Por outro lado, temos o teorema Trabalho-Energia Cinética: 
Conservação de Energia
Assim, se as forças que realizam trabalho forem conservativas,
Somos levados então a definir:
Princípio de conservação da Energia Mecânica:
Se todas as forças que realizam trabalho forem conservativas, a energia mecânica do sistema se conserva: 
Obrigada!
Livros-texto: 
"Fundamentos de Física", Vol. 1, D. Halliday, R. Resnick, J. Walker
"Curso de Física Básica", Vol. 1, H. M. Nussenzveig
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