questões de matematica -BB

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1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \). 
 
29. **Qual é o valor da integral \( \int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx \)?** 
 
 a) \( \pi \) 
 b) \( \pi \) 
 c) \( \pi/2 \) 
 d) \( 0 \) 
 
 **Resposta:** a) \( \pi \) 
 **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos \( \pi \). 
 
30. **Qual é o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)?** 
 
 a) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\pi}{4} \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 **Explicação:** Esta é a série de Basileia, cujo valor é \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 
31. **Qual é a solução da equação \( y'' - 4y' + 4y = 0 \)?** 
 
 a) \( y = (C_1 + C_2 x)e^{2x} \) 
 b) \( y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x} \) 
 c) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 d) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 
 **Resposta:** a) \( y = (C_1 + C_2 x)e^{2x} \) 
 **Explicação:** A solução da equação diferencial é obtida a partir da equação característica 
\( (r-2)^2 = 0 \). 
 
32. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx \)?** 
 
 a) 1 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) 0 
 d) \( \frac{\pi}{4} \) 
 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \), e \( \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 \). 
 
33. **Qual é o valor de \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \) para a função \( f(x) = \ln(x) \)?** 
 
 a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2} \) 
 c) \( \frac{1}{x} \) 
 d) \( -\frac{1}{x} \) 
 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 **Explicação:** A segunda derivada de \( \ln(x) \) é \( -\frac{1}{x^2} \). 
 
34. **Qual é o valor de \( \text{Res} \left( \frac{1}{(z-1)^2}, z=1 \right) \)?** 
 
 a) 1 
 b) 0 
 c) -1 
 d) 2 
 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** O resíduo para um polo de ordem 2 é calculado como o coeficiente de \( 
\frac{1}{(z-1)^2} \), que é 1. 
 
35. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x^2}}{x} \, dx \)?** 
 
 a) Não converge 
 b) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 c) \( \frac{\pi}{2} \) 
 d) \( \sqrt{\pi} \) 
 
 **Resposta:** a) Não converge 
 **Explicação:** Esta integral não converge devido ao comportamento da função \( 
\frac{1}{x} \) quando \( x \to 0 \). 
 
36. **Qual é o valor da integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \)?** 
 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( \frac{\pi}{3} \) 
 d) 1 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** A integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \) é calculada como \( \tan^{-
1}(x) \), resultando em \( \frac{\pi}{4} \). 
 
37. **Qual é a solução da equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \)?** 
 
 a) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 c) \( y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x) \) 
 d) \( y = C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) \)