aula e exercicio BA

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5. Qual é o valor da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)? 
A) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
B) \(\frac{\pi}{6}\) 
C) \(\frac{\pi^2}{4}\) 
D) 1 
 
Resposta: A) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
Explicação: A série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) é conhecida como a série de Basileia e 
seu valor é \(\frac{\pi^2}{6}\). 
 
6. Qual é o valor de \( \frac{\partial^2}{\partial x^2} (e^{xy}) \) onde \(y\) é constante? 
A) \(e^{xy}\) 
B) \(y^2 e^{xy}\) 
C) \(y e^{xy}\) 
D) \(e^{xy} + x y e^{xy}\) 
 
Resposta: B) \(y^2 e^{xy}\) 
Explicação: Primeiramente, \(\frac{\partial}{\partial x} (e^{xy}) = y e^{xy}\). Aplicando 
novamente a derivada parcial, obtemos \( \frac{\partial}{\partial x} (y e^{xy}) = y^2 e^{xy}\). 
 
7. Qual é a forma padrão da equação de uma cônica com centro na origem e eixo maior na 
direção x? 
A) \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 
B) \(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\) 
C) \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 
D) \(\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1\) 
 
Resposta: A) \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 
Explicação: A forma padrão de uma elipse com eixo maior na direção x é \(\frac{x^2}{a^2} + 
\frac{y^2}{b^2} = 1\), onde \(a > b\). 
 
8. Qual é o valor de \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx\)? 
A) \(\frac{e - 1}{2}\) 
B) \(\frac{e}{2} - \frac{1}{2}\) 
C) \(\frac{e^2 - 1}{4}\) 
D) \(\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}\) 
 
Resposta: A) \(\frac{e - 1}{2}\) 
Explicação: Usando a substituição \(u = x^2\), temos \(du = 2x \, dx\), então \(x \, dx = 
\frac{1}{2} du\). Assim, \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u \, du = \frac{e 
- 1}{2}\). 
 
9. Qual é a fórmula para o cálculo do volume de uma esfera? 
A) \(\frac{4}{3} \pi r^2\) 
B) \(\frac{4}{3} \pi r^3\) 
C) \(\frac{4}{3} \pi r^2 \cdot h\) 
D) \(\frac{4}{3} \pi r^4\) 
 
Resposta: B) \(\frac{4}{3} \pi r^3\) 
Explicação: O volume \(V\) de uma esfera é dado por \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\), onde \(r\) é o 
raio da esfera. 
 
10. Qual é o valor de \( \log_2 (16) \)? 
A) 2 
B) 4 
C) 8 
D) 16 
 
Resposta: B) 4 
Explicação: \(16\) pode ser escrito como \(2^4\), então \(\log_2 (16) = \log_2 (2^4) = 4\). 
 
11. Qual é a solução para a equação \(x^2 + 4x + 4 = 0\)? 
A) \(x = -2\) 
B) \(x = 2\) 
C) \(x = -4\) 
D) \(x = 0\) 
 
Resposta: A) \(x = -2\) 
Explicação: A equação \(x^2 + 4x + 4 = 0\) pode ser fatorada como \((x + 2)^2 = 0\), então \(x = 
-2\). 
 
12. O que é uma matriz ortogonal? 
A) Uma matriz quadrada cuja inversa é igual à sua transposta 
B) Uma matriz diagonal 
C) Uma matriz que tem determinante igual a 1 
D) Uma matriz cujos elementos são todos zero 
 
Resposta: A) Uma matriz quadrada cuja inversa é igual à sua transposta 
Explicação: Uma matriz ortogonal \(Q\) satisfaz \(Q^T Q = Q Q^T = I\), onde \(Q^T\) é a 
transposta de \(Q\) e \(I\) é a matriz identidade. 
 
13. Qual é o valor de \(\sin(45^\circ)\)? 
A) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) 
B) \(\frac{1}{2}\) 
C) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 
D) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) 
 
Resposta: A) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) 
Explicação: \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) é uma das identidades trigonométricas 
padrão. 
 
14. Qual é a fórmula para a soma dos primeiros \(n\) termos 
 
 de uma progressão aritmética? 
A) \(S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)\) 
B) \(S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n - 1)d)\)