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- D) \( \pi \) 
 - **Resposta: A) \( \frac{\pi^2}{6} \)** 
 - **Explicação:** A soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) é conhecida como a 
série de Basileia e seu valor é \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 
38. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx \)?** 
 - A) 1 
 - B) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - C) 2 
 - D) \( \frac{\pi}{4} \) 
 - **Resposta: A) 1** 
 - **Explicação:** A integral de \( \sin x \) é \( -\cos x \). Avaliando de 0 a \( \frac{\pi}{2} \), 
temos \( -\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + \cos 0 = 0 + 1 = 1 \). 
 
39. **Qual é a fórmula para a raiz quadrada de um número complexo em forma polar?** 
 - A) \( \sqrt{r} e^{i \theta / 2} \) 
 - B) \( \sqrt{r} e^{-i \theta / 2} \) 
 - C) \( \sqrt{r} e^{i \theta} \) 
 - D) \( \frac{\sqrt{r}}{e^{i \theta}} \) 
 - **Resposta: A) \( \sqrt{r} e^{i \theta / 2} \)** 
 - **Explicação:** A raiz quadrada de um número complexo na forma polar \( r e^{i \theta} \) 
é \( \sqrt{r} e^{i \theta / 2} \). 
 
40. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) \(\infty\) 
 - D) Não existe 
 - **Resposta: A) 0** 
 - **Explicação:** À medida que \( x \) tende ao infinito, \( \frac{1}{x} \) tende a 0. 
 
Essas perguntas abrangem uma ampla gama de tópicos em matemática e devem ajudar a 
testar e reforçar o conhecimento fundamental. Se precisar de mais alguma coisa, estou aqui 
para ajudar! 
Claro! Vou gerar 100 problemas de cálculo 1, cada um com 4 opções de múltipla escolha, 
incluindo a resposta correta e uma breve explicação. Vamos começar: 
 
1. Calcule a integral de \( \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx \): 
 a) \( x^3 - x^2 + x + C \) 
 b) \( x^3 - x^2 + \frac{x^2}{2} + C \) 
 c) \( x^3 - x^2 + x + C \) 
 d) \( \frac{3x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + x + C \) 
 **Resposta: a) \( x^3 - x^2 + x + C \)** 
 Explicação: Integrando termo a termo, obtemos \( x^3 - x^2 + x + C \). 
 
2. Determine a derivada de \( f(x) = e^x \cdot \sin(x) \): 
 a) \( e^x \cdot (\sin(x) + \cos(x)) \) 
 b) \( e^x \cdot \cos(x) \) 
 c) \( e^x \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) \) 
 d) \( e^x \cdot (\sin(x) - \cos(x)) \) 
 **Resposta: a) \( e^x \cdot (\sin(x) + \cos(x)) \)** 
 Explicação: Aplicando a regra do produto, a derivada é \( e^x \cdot (\sin(x) + \cos(x)) \). 
 
3. Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} (4x^3 - x^2) \, dx \): 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{5}{12} \) 
 d) \( \frac{7}{12} \) 
 **Resposta: c) \( \frac{5}{12} \)** 
 Explicação: A integral é calculada como \( \left[ x^4 - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \), que resulta 
em \( \frac{5}{12} \). 
 
4. Qual é a série de Taylor para \( \cos(x) \) ao redor de \( x = 0 \) até o termo \( x^4 \)? 
 a) \( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} \) 
 b) \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \) 
 c) \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} \) 
 d) \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{6} \) 
 **Resposta: b) \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \)** 
 Explicação: A série de Taylor é \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \). 
 
5. Determine a integral de \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \): 
 a) \( \arctan(x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \) 
 c) \( \arctan(x) \cdot x + C \) 
 d) \( \frac{1}{x + 1} + C \) 
 **Resposta: a) \( \arctan(x) + C \)** 
 Explicação: A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é \( \arctan(x) + C \). 
 
6. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)? 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \cdot \ln(x) \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)** 
 Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada é \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
7. Determine a integral de \( \int e^{2x} \, dx \): 
 a) \( \frac{e^{2x}}{2} + C \) 
 b) \( \frac{e^{2x}}{4} + C \) 
 c) \( e^{2x} + C \) 
 d) \( \frac{e^{2x}}{3} + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{e^{2x}}{2} + C \)** 
 Explicação: Integrando \( e^{2x} \) resulta em \( \frac{e^{2x}}{2} + C \).