Geometria Sagrada e Harmonia

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Lucio
Sello
 
 
 
 
Para R.A.Schwaller de Lubicz e Lucie Lamy 
Direção editorial da Série: Ángel Lucía 
e Juan María Martínez 
Coordenação editorial da Série: Carlos 
Ponce e Juan Ramón Azaola 
Direção técnica da Série: 
Eduardo Peñalba 
Coordenação técnica da Série: 
Rolando Dias 
Edição: Luis G. Martin. Íñigo Castro e Lourdes 
Lucía 
Fotografias e documentação gráfica: José María Sáenz Almeida, Marta Carranza, Juan 
García Costoso e Nano Canas 
Diagramas: Melvyn 
Bernstein, A.I.A. 
Subscrições: 
Francisco Perales 
Texto: Robert 
Lawlor 
Versão Castelhana: Maria 
José Garcia Ripoll 
Versão Brasileira: 
GVS 
Este livro é uma compilação de um conjunto de seminários realizados em Nova York pela Associação Lindisfarne de 
Crestone. Colorado. 
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Publicado de acordo com Thames and Hudson. Londres. 
Título Original: Sacred Geometry 
© Thames and Hudson Ltd.. Londres, 1982 
© Da tradução: Maria José Garcia Ripoll 
© Da versão catelhana: Editorial Debate S.A. - O'Donnell, 19 - 28009 
© Desta edição: Edições del Prado, 1996 - Cea Bermúdez 39-6° - 28003 MADRID - Espanha 
I.S.B.N.: 84-7838-784-6 Depósito 
Legal: M. 39523-1996 
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Sumário 
INTRODUÇÃO 4 
Capa 
I A prática da geometria 6 
II A geometria sagrada: metáfora da ordem universal 16 
III o ato primeiro: a divisão da unidade 23 
Caderno de prática 1: o quadrado cortado pela sua 
diagonal; 2 25 
Caderno de práticas 2: a 3 e a "Vesica Piscis" 32 
Caderno de práti cas 3: a 5 36 
IV A alternância 38 
Caderno de práticas 4: a alternância 40 
V A proporção e a "secção áurea" 44 
Caderno de práticas 5: a proporção áurea 48 
VI A expansão gnomônica e a criação de espirais 65 
Caderno de práticas 6: as espirais gnomônicas 67 
VII A quadratura do círculo 74 
Caderno de práticas 7: quadrando o círculo 74 
VIII A mediação: a geometria se torna música 80 
Caderno de práticas 8: geometria e música 83 
IX Anthropos 90 
X Gênese dos volumes cósmicos 96 
Caderno de práticas 9: os sólidos platônicos 98 
Bibliografia 110 
Agradecimentos 111 
 
Esquema de dispersão dos raios X 
no berilo, que indica como a 
disposição dos intervalos ao redor 
do nódulo central se assemelha 
muito à disposição dos 
harmônicos parciais, 
relativamente ao tom 
fundamental. 
 
 
No sul da índia, as mulheres 
desenham com pó de giz estes 
desenhos geométricos 
denominados kolams, a cada 
manhã à porta de sua casa, para 
invocar o espírito da ordem e da 
harmonia e atraí-lo para seu lar. 
Introdução 
Atualmente, estamos presenciando no campo das ciências uma tendência geral para o 
abandono da presuposição de que a natureza fundamental da matéria pode ser estudada a partir 
do ponto de vista da substância (partículas, quantum), em favor do conceito segundo o qual a 
natureza fundamental do mundo material só pode ser conhecida através do estudo da organização 
subjacente de suas formas ou ondas. 
Tanto os nossos órgãos de percepção, como o mundo dos fenômenos que percebemos 
parecem compreender-se melhor como sistemas de esquemas puros, ou como estruturas 
geométricas de forma e proporção. Daí que, quando muitas das culturas antigas optaram por 
examinar a realidade através das metáforas da geometria e da música (a música enquanto estudo 
das leis das proporções da freqüência dos sons) encontravam-se muito próximas das posições da 
nossa ciência contemporânea. 
O professor Amstutz, do Instituto de Mineralogia da Universidade de Heidelberg afirmou 
recentemente: 
As ondas entrelaçadas da matéria estão separadas por intervalos que correspondem aos calados de 
uma harpa ou de uma guitarra, com seqüências análogas a acordes harmônicos a partir de um tom 
básico. A ciência da harmonia musical é, segundo estes termos, praticamente idêntica à ciência da 
simetria dos cristais. 
O enfoque da moderna teoria dos campos de forças e da mecânica das ondas corresponde à 
antiga visão geométrica-harmônica da ordem universal como configuração de esquemas de ondas 
entrelaçadas. Bertrand Russel, que vislumbrou o profundo valor da base musical e geométrica do 
que hoje conhecemos como matemáticas pitagóricas e teoria numérica, também sustentava essa 
opinião em sua Análise da matéria: "O que percebemos como diferentes qualidades de matéria 
— dizia — são na realidade diferenças na sua periodicidade." 
Na biologia, o papel fundamental da geometria e da proporção torna-se ainda mais evidente 
se considerarmos que minuto a minuto, ano após ano e eon depois de eon, cada átomo de cada 
molécula, tanto das substâncias vivas, como das inorgânicas, está mudando e é substituído por 
outro. Cada um de nós, daqui a cinco ou sete anos, terá um corpo totalmente novo, do primeiro 
ao último átomo. Perante mudança tão constante, onde podemos encontrar o fundamento de tudo 
aquilo que parece ser constante e estável? Biologicamente, podemos recorrer a nossas idéias 
sobre os códigos genéticos como veículos de reprodução e continuidade, mas esta codificação 
não reside nos átomos concretos (isto é, no carbono, hidrogênio, oxigênio e nitrogênio) que 
compõem a substância dos genes, o DNA; estes também estão sujeitos a uma contínua mudança e 
substituição. Portanto, o veículo da continuidade não é apenas a composição molecular do DNA, 
mas também sua forma helicoidal. Esta forma é responsável pelo poder reprodutor do DNA. A 
hélice, que é um tipo especial do grupo das espirais regulares, é o resultado de uma série de 
proporções geométricas fixas, como veremos detalhadamente mais adiante. Pode entender-se que 
tais proporções existem a priori, sem nenhum equivalente material, como relações geométricas 
abstratas. A arquitetura da existência corporal é determinada por um mundo invisível e imaterial 
de formas puras e geométricas. 
A biologia moderna reconhece cada vez mais a importância da forma e a concatenação entre 
as poucas substâncias que compõem o corpo molecular dos organismos vivos. As plantas, por 
exemplo, podem levar a cabo o processo da fotossíntese graças somente ao fato do carbono, o 
hidrogênio, o nitrogênio e o magnésio das moléculas da clorofila estarem dispostos num 
complexo desenho simétrico de doze arestas, parecido com uma margarida. Ao que parece, estes 
mesmos componentes numa disposição diferente 
4 
 
 
não podem transformar a energia das radiações de luz em substância viva. No pensamento 
mitológico, o doze aparece com freqüência como número da mãe universal da vida, e assim este 
símbolo de doze partes é necessário inclusive ao nível das moléculas. 
A especialização das células no tecido corporal é determinado em parte pela posição especial 
de cada célula em relação às demais da sua zona, assim como por uma imagem informativa da 
totalidade a que pertence. Esta consciência especial ao nível molecular poderia ser considerada 
como a geometria inata da vida. 
Todos os nossos órgãos sensoriais funcionam em resposta às diferenças geométricas ou 
proporcionais — e nãoquantitativas — inerentes aos estímulos que recebem. Por exemplo, 
quando aspiramos o perfume de uma rosa, não estamos respondendo às substâncias químicas de 
seu perfume, mas antes, à geometria de sua construção molecular. Isto é, qualquer substância 
química combinada segundo a mesma geometria que a da rosa terá o mesmo perfume agradável 
que o dela. De forma similar, não ouvimos simples diferenças quantitativas na freqüência das 
ondas sonoras, mas antes as diferenças proporcionais e logarítmicas entre freqüências, sendo a 
expansão logarítmica a base das espirais geométricas. 
Nosso sentido da vida difere de nosso sentido do tato apenas porque os nervos da retina não 
estão sintonizados na mesma ordem de freqüências dos nervos que percorrem nossa pele. Se 
nossas sensibilidades tácteis respondessem às mesmas freqüências que os nossos olhos, todos os 
objetos materiais se perceberiam como projeções etéreas de luzes e sombras. Nossas diferentes 
faculdades perceptivas, tais como a visão, o ouvido, o tato e o olfato, são pois o resultado de 
diferentes reduções proporcionadas de um vasto espectro de freqüências vibratórias. Podemos 
entender essas relações proporcionais como uma espécie de geometria da percepção. 
Com nossa organização corporal em cinco ou mais níveis perceptivos diferentes, parece haver 
pouco em comum entre o espaço visual, o espaço auditivo e o espaço táctil e, provavelmente, 
existe ainda menos conexão entre estes espaços fisiológicos e a métrica pura e abstrata do espaço 
geométrico, para não falar dos diferentes níveis de consciência do espaço psicológico. No 
entanto, todos estes modos de existência espacial convergem no binômio mente/corpo humanos. 
A consciência humana possui a capacidade única de perceber a transparência entre as relações 
absolutas e permanentes, contidas nas formas insubstanciais de uma ordem geométrica, e as 
formas transitórias e mutáveis de nosso mundo real. O conteúdo de nossa experiência procede de 
uma arquitetura geométrica imaterial e abstrata que é composta de ondas harmônicas de energia, 
nós de relações e formas melódicas que brotam do reino eterno da proporção geométrica. 
Do mundo aparente, ao subatômico, 
todas as formas não são outra coisa 
senão envolturas para os desenhos, 
intervalos e relações geométricas. 
 
 
Aqui encontramos uma simetria de doze eixos como doadora de vida, 
ou matriz que transforma a luz no espectro básico da substância 
orgânica. Isto se reproduz simbolicamente na rosácea, que transforma 
a luz num espectro de cores. 
5 
 
 
 
6 
I. A prática da geometria 
"O que é Deus? É longitude, largura, altura e profundidade" 
São Bernardo de Claraval, De la consideración 
"Geometria" significa "medida da terra". No Antigo Egito, do qual a Grécia herdou este 
estudo, o Nilo transbordava nas suas margens cada ano, alagando a terra e traçando a metódica 
linha das parcelas e zonas de cultivos. Esta inundação anual simbolizava para os egípcios o 
retomo cíclico do primigênio caos aquoso, e quando as águas se retiravam, começava a tarefa 
de redefinir e restabelecer as lindes. Este trabalho se chamava geometria e era considerado 
como o restabelecimento do princípio da ordem e da lei sobre a terra. A cada ano, cada zona 
medida era um pouco diferente. A ordem humana era mutável e isto se refletia no ordenamento 
da terra. O astrônomo do templo poderia dizer que certas configurações celestes tinham 
mudado e que. portanto, a orientação ou o posicionamento de um templo deveria ajustar-se a 
isto. Assim, o traçado das parcelas sobre a terra tinha, para os egípcios, uma dimensão tanto 
metafísica, como física e social. Esta atividade de "medir a terra" tornou-se a base de uma 
ciência das leis naturais, tais como se encarnam nas formas arquetípicas do círculo, do 
quadrado e do triângulo. 
A geometria é o estudo da ordem espacial mediante a medição das relações entre as 
formas. A geometria e a aritmética, com a astronomia, a ciência da ordem temporal 
através da observação dos movimentos cíclicos, constituíam as principais disciplinas 
intelectuais da educação clássica. O quarto elemento deste importante programa em 
quatro partes, o quadrivium, era o estudo da harmonia e da música. As leis das 
harmonias simples eram consideradas leis universais que definiam a relação e o 
intercâmbio entre os movimentos temporais e acontecimentos celestes por um lado, e a 
ordem espacial e o desenvolvimento sobre a terra, por outro lado. 
O objetivo implícito desta educação era permitir que a mente se tornasse um canal, 
através do qual a "terra" (o nível da forma manifestada) poderia receber o abstrato, a 
vida cósmica dos céus. A prática da geometria era uma aproximação à maneira como o 
universo se ordena e se sustenta. Os diagramas geométricos podem ser contemplados 
como momentos de imobilidade que revelam uma contínua e intemporal ação universal, 
geralmente oculta à nossa percepção sensorial. Desta forma, uma atividade matemática 
aparentemente tão comum pode tornar-se numa disciplina para o desenvolvimento da 
intuição intelecutual e espiritual. 
Platão considerava a geometria e os números como a mais concisa e essencial, e portanto 
ideal, das linguagens filosóficas. Mas não é senão em virtude de seu funcionamento num certo 
"nível" de realidade que a geometria e os números podem se tornar veículo para a contemplação 
filosófica. A filosofia grega definia esta noção de "níveis" — tão útil no nosso pensamento — 
distinguindo o "tipo" do "arquétipo". Segundo as indicações que podemos ver nos relevos 
murais egípcios, alocados em três registros — o superior, o médio e o inferior — pode 
definir-se um terceiro nível "ectipo", situado entre o "arquétipo" e o "tipo". 
Para verificar como funciona cada um deles, tomemos como exemplo algo tangível, 
como a brida de um cavalo. Esta brida pode ter um determinado número de formas, 
materiais, tamanhos, cores, aplicações, e todas elas são bridas. A brida assim 
considerada é um tipo: existe, é diversificada e variável. Mas em outro nível, subsiste a 
idéia ou a forma da brida, o modelo de todas as bridas. Esta idéia não é manifestada, 
pura ou formal, e este é o ectipo. Acima deste ainda está o nível arquétipo, que é o do 
princípio ou poder-atividade, isto é, um processo que a forma ectípica e o exemplo do 
tipo de bria apenas representam. O arquétipo tem a ver com os processos universais ou 
modelos dinâmicos que podem ser considerados independentemente de qualquer 
estrutura ou forma material. O pensamento moderno tem difícil acesso ao conceito de 
arquétipo, porque as línguas européias requerem que os verbos ou a ação se associem a 
substantivos. Assim, não dispomos de formas lingüísticas aptas a imaginar um processo 
ou uma atividade que não tenha um veículo material. As culturas antigas simbolizavam 
esses processos 
A geometria como prática contemplativa é personificada por uma 
elegante e refinada dama, pois as funções geométricas, enquanto 
atividade mental intuitiva, sintetizadora e criativa, mas também 
exata, associa-se ao princípio feminino. Mas quando estas leis 
geométricas vêm a ser aplicadas na tecnologia da vida diária, são 
representadas como princípio masculino e racional: a geometria 
contemplativa se transforma em geometria prática. 
 
A Aritmética também é personificada por uma mulher, mas não tão 
ilustre e nobre em seus adereços como a Geometria, o que indica 
talvez simbolicamente que a geometria era considerada um nível 
superior de conhecimento. Em suas pernas (que simbolizam a 
função generativa) aparecem duas progressões geométricas. A 
primeira série, 1,2,4,8, desce pela perna esquerda, associando os 
números pares com o lado feminino, passivo, do corpo, A segunda 
série, 1,3,9,27 desce pela perna direita, associando os números 
ímpares com o lado masculino e ativo; uma associação que remonta 
a Pitágoras, que denominou os números ímpares como masculinos C08 pares, femininos. Os gregos chamaram estas duas séries de 
Lambda, e Platão na sua obra Timeo as utiliza para descrever a alma 
do mundo (veja-se a página 83). A esquerda da mulher, está sentado 
Pitágoras utilizando um ábaco para seus cálculos. Neste sistema, a 
notação dos números continua dependendo de sua disposição 
espacial. Boécio está sentado à direita, utilizando a numeração 
algébrica para um moderno sistema de cálculo em que a notação 
numérica se transformou num sistema abstrato, separado e 
independente de sua origem geométrica. 
(Em baixo) Atribui-se a Pitágoras ter sido o primeiro a 
estabelecer a relação entre os quocientes numéricos e as 
freqüências do som. Aqui, ele aparece experimentando 
sons de sinos, vasilhas com água, cordas esticadas e 
flautas de diferentes tamanhos; seu homólogo hebreu, 
Jubal, utiliza martelos de pesos diferentes sobre uma 
bigorna. Todas as proporções numéricas para determinar 
os sons correlatos a uma escala musical fazem parte ou 
são múltiplos dos números das progressões da tabela da 
Lambda. 
 
 
Os antigos astrônomos designavam o 
movimento e a posição dos corpos celestes 
mediante a notação angular. As diferentes 
posições angulares do sol, da lua, dos planetas 
e das estrelas estavam relacionadas com as 
mudanças cíclicas do mundo natural, tal como 
as fases da lua, das estações, das marés, o 
crescimento das plantas, a fertilidade humana e 
animal, etc. Era o ângulo o que especificava as 
influências das configurações celestes nos 
acontecimentos da Terra. (Neste sentido, 
podemos advertir a raiz comum das palavras 
ângulo e anjo). Atualmente a recente ciência 
da heliobiologia verifica que a posição angular 
da lua e dos planetas afeta às radiações 
eletromagnéticas e cósmicas que têm um 
impacto na Terra, e, conseqüentemente as 
flutuações nesses campos afetam a muitos 
processos biológicos. 
 
Na trigonometria antiga, um ângulo 
representava uma relação entre dois 
números inteiros. Neste exemplo, o 
ângulo da esquerda é uma 
expressão do quociente entre 3 e 4, 
e com este sistema espacial podem 
se relacionar facilmente as 
coordenadas com as freqüências de 
som, tais como a quarta musical 
(Veja-se a página 85) 
processos puros e eternos como deuses, isto é, poderes ou linhas de ação, através das quais o 
espírito se concretizava em energia e matéria. A brida se relaciona, pois, com a atividade 
arquetípica mediante a função de alavanca: o princípio de que as energias são controladas, 
especificadas e modificadas mediante os efeitos da angulação. 
Assim, verificamos com freqüência que o ângulo — fundamentalmente uma relação entre dois 
números — teria sido utilizado no simbolismo antigo para designar um grupo de relações fixas 
que controlam sistemas complexos ou modelos interativos. Desta forma, os arquétipos ou deuses 
representavam funções dinâmicas que vinculavam entre si os mundos superiores da interação e o 
processo permanente, com o mundo real dos objetos concretos. Verificamos, por exemplo, que 
um ângulo de 60° tem propriedades estruturais e energéticas muito diferentes das de um ângulo 
de 90° ou de 45°. Da mesma forma, a ótica geométrica revela que cada substância reflete a luz de 
forma característica, em seu próprio ângulo individual, e é este ângulo que nos mostra nossa 
definição mais precisa da substância. Além disto, os ângulos dos padrões de união entre as 
moléculas determinam em grande parte as qualidades das substâncias. 
No caso antes visto da brida, esta relação ou jogo angular se manifesta na relação entre o bocal 
do freio e a mandíbula do cavalo, ambos controlados pela relação angular entre o antebraço e o 
bíceps do cavaleiro. Partindo do nível do arquétipo ou idéia ativa, o princípio retirado do 
exemplo da brida pode ser aplicado metaforicamente a muitos campos da experiência humana. 
Por exemplo, quando São Paulo descreve o processo de autodisciplina, mediante o qual uma 
intencionalidade superior procura controlar a natureza "animal" inferior, diz que a partir do 
momento em que alguém é capaz de pôr freio à boca, já pode dominar o resto da natureza. Mas 
enquanto a nível arquetípico esta imagem pode ser metafísica e poeticamente expansiva, também 
encontra sua representação geométrica exata no ângulo. É o ângulo exato do braço em relação 
com o ângulo da brida o que controla a energia do cavalo. 
Funcionando, portanto, a nível arquetípico, a geometria e os números descrevem energias 
fundamentais e casuais em sua dança entretecida e eterna É este modo de ver que subjaz sob a 
expressão de sistemas cosmológicos e configurações geométricas. Por exemplo, o mais 
reverenciado de todos os diagramas tântricos, o Sri Yantra, representa todas as funções 
necessárias ativas no universo, mediante nove triângulos entrelaçados. Desaparecer num 
diagrama geométrico desta índole é entrar numa espécie de contemplação filosófica. 
Para Platão, a realidade consistia em essências puras ou idéias arquetípicas, das quais os 
fenômenos que percebemos são apenas pálidos reflexos (a palavra grega "idéia" traduz-se 
8 
 
 
 
 
também como "forma"). Estas idéias não podem ser percebidas pelos sentidos, mas 
apenas pela razão pura. A geometria era a linguagem que recomendava Platão como o modelo 
mais claro para descrever esse reino metafísico. 
"Acaso não sabeis que (os geômetras) utilizam as formas visíveis e falam delas, embora não se 
trate delas, mas destas coisas de que são um reflexo, e estudam o quadrado em si e a diagonal em si, 
e não a imagem deles que desenham? E assim sucessivamente em todos os casos... O que realmente 
procuram é poder vislumbrar estas realidades que apenas podem ser contempladas pela mente." 
 
PLATÃO, A República, VII. 
O platônico Thomas Taylor considera nosso conhecimento da geometria como 
inato em nós próprios, adquirido antes de nascer, quando nossas almas estavam em 
contato com o reino do ser ideal. 
"Todas as formas matemáticas têm uma primeira permanência na alma; de tal modo que antes 
do sensível, ela contém números com sua dinâmica própria; figuras vitais antes das aparentes; razões 
harmônicas antes de coisas harmonizadas e círculos invisíveis antes dos corpos que se movem em 
círculos." 
THOMAS TAYLOR. 
Platão o demonstra em Ménon, onde faz com que um jovem servente sem 
instrução resolva intuitivamente o problema geométrico de duplicar o quadrado. 
O Sri Yantra se desenha a partir 
de nove triângulos, quatro com a 
ponta para baixo e cinco com a 
ponta para cima, formando assim 
42 (6 X 7) fragmentos 
triangulares ao redor de um 
triângulo central. Provavelmente, 
não exista nenhuma outra série de 
triângulos entrelaçados com uma 
integração perfeita. 
9 
 
Para o espírito humano, confinado num universo em movimento, na confusão de um perpétuo 
fluxo de acontecimentos, circunstâncias e desconcerto interno, procurar a verdade sempre 
significou procurar o imutável, chame-se a isto idéias, formas, arquétipos, números ou deuses. 
Entrar num templo construído em sua totalidade conforme as proporções geométricas invariáveis 
é entrar no reino da verdade eterna. Diz Thomas Taylor: "A geometria permite ao seu devoto, 
como uma ponte, franquear a obscuridade da natureza material, como se fosse um mar obscuro, 
para as regiões luminosas da realidade perfeita." Contudo, não se trata em absoluto de um 
acontecimento automático que ocorra apenas pegando um livro de geometria. Como diz Platão, o 
logo da alma deve ser gradualmente reavivado pelo esforço: 
"Que prazer me dais. os que pareceis preocupados porque eu vos imponha estudos pouco práticos. 
Não é próprio unicamente dos espíritos medíocres, pois todos os homens têm dificuldades para se persuadir 
de que é através destes estudos, utilizados como instrumentos, como se purifica o olho da alma. e como se 
propicia que um novo fogo arda nesse órgão que estava obscurecido e como extinguido pelas sombras de 
outras ciências,um órgão mais importante de conservar do que dez mil olhos, pois é o único com o qual 
podemos contemplar a verdade." 
A República, VII 
(citada por Teón de Esmirna — século II — em sua 
obra Matemáticas úteis para entender Platão) 
A geometria trata da forma pura. e a geometria filosófica reconstrói o desenvolvimento de 
cada forma a partir de outra anterior. E uma maneira de tornar visível o mistério criativo 
essencial. A passagem da criação à procriação, da idéia pura, formal e não manifestada para o 
"aqui em baixo", o mundo que surge desse ato original divino pode ser tratado mediante a 
geometria, e ser experimentado através da prática da geometria; este é o propósito dos ''Cadernos 
práticos" deste livro. 
Inseparável deste processo é o conceito do número e, como veremos, para os pitagóricos, o 
número e a forma a nível ideal eram um só. Porém neste contexto, o número deve ser entendido 
de maneira especial. Quando Pitágoras dizia: "Tudo está ordenado ao redor do número", não 
pensava nos números cm sentido enumerativo ordinário. Além da simples quantidade, a nível 
ideal os números estão impregnados por uma qualidade, de tal maneira que a "dualidade", a 
"trindade" ou a "tétrada". por exemplo, não são simples compostos de 2. 3. 4. ou 6 unidades, mas 
sim um todo ou uma unidade em si mesmas, cada uma delas com suas correspondentes 
propriedades. O "dois", por exemplo, considera-se uma essência original da qual procede e em 
que se fundamenta na sua realidade o poder da dualidade. 
R.A. Schwaller de Lubicz propõe uma analogia mediante a qual se pode entender este sentido 
universal e arquetípico do número. Uma esfera giratória é-nos apresentada com a noção de um 
eixo. Imaginemos este eixo como uma linha ideal ou imaginária que atravessa a esfera. Não 
possui existência objetiva, e contudo não podemos 
No século XII, a arquitetura da 
ordem cistercense obtém sua 
beleza visual mediante 
desenhos que se ajustam ao 
sistema proporcional da 
harmonia musical. Muitas das 
abadias daquele período eram 
conchas acústicas que 
transformavam um coro 
humano em música celestial. 
São Bernardo de Claraval, que 
inspirou esta arquitetura, disse a 
respeito da sua concepção: 
"Não deve haver decoração, 
apenas proporção." 
10 
 
 
Aqui se mostra Cristo utilizando um 
compasso para reconstituir a criação 
do universo a partir do caos 
primordial. Este ícone se pode 
entender também como uma imagem 
da auto-criação individual, pois aqui, 
como em muitas representações 
medievais de Cristo, o simbolismo 
tântrico é evidente. Cristo segura o 
compasso com a mão sobre o centro 
vital chamado a chakra do coração, e 
partindo deste centro organiza o 
tumulto das energias vitais contidas 
nos chakras inferiores, indicadas no 
corpo mediante os centros no umbigo 
c nos órgãos genitais. A geometria é 
simbolizada aqui por sua vez no 
sentido individual e universal e 
enquanto instrumento, mediante o 
qual o reino arquetípico superior 
transmite ordem c harmonia ao 
mundo vital e ao energético. 
senão estar convencidos da sua realidade; e para determinar qualquer coisa relacionada 
com a esfera, tal como sua inclinação ou sua velocidade de rotação, devemos nos 
referir a este eixo imaginário. O número em seu sentido enumerativo corresponde às 
medidas e movimentos da superfície exterior da esfera, enquanto o aspecto universal do 
número é análogo ao princípio imóvel, não manifesto nem funcional de seu eixo. 
Levemos agora nossa analogia ao plano bidimensional. Considerando um círculo e 
um quadrado e dando o valor 1 ao diâmetro do círculo e também ao lado do quadrado, 
então a diagonal do quadrado sempre será (e esta é uma lei invariável) um número 
"incomensurável" ou "irracional". Dizemos que este número pode se prolongar num 
número infinito de decimais sem nunca atingir uma resolução. No caso da diagonal do 
quadrado, esse decimal é 1,1442..., e se denomina raiz quadrada de dois ou 2 . Com o 
círculo, se dermos o valor de 1 a seu diâmetro, a circunferência será sempre do tipo 
incomensurável, 3,1316...que conhecemos como o símbolo grego π , pi. 
O princípio continua o mesmo no caso inverso: se damos o valor fixo e racional 
11 
 
12 
1 à diagonal do quadrado e à circunferência do círculo, então o lado do quadrado e 
o raio do círculo tornam-se do tipo incomensurável ou "irracional: 1 / 2 e l / π . 
É exatamente neste ponto onde se separam as matemáticas quantificadas e a 
geometria, porque numericamente nunca poderemos conhecer exatamente a diagonal do 
quadrado ou a circunferência do círculo. Claro, podemos arredondar depois de um dado 
número de decimais e tratar estes números como qualquer outro número, contudo nunca 
poderemos reduzi-los a uma quantidade. Em geometria, contudo, a diagonal e a 
circunferência, consideradas no contexto da relação formal (a diagonal relativamente 
ao lado, a circunferência relativamente ao diâmetro) são realidades perfeitamente 
identificáveis e evidentes em si mesmas: 1: 2 e 1 : π , O número se considera como 
uma relação formal, e este tipo de relação numérica se denomina função. A raiz 
quadrada de 2 é o número funcional do quadrado, e pi é o número funcional do círculo. 
A geometria filosófica —e por conseguinte a arte e a arquitetura sacras— têm muito a 
ver com essas funções "irracionais", pela simples razão de que demonstram 
graficamente um nível de experiência que é universal e invariável. 
As funções irracionais (que consideraremos mais exatamente como supra-racionais) 
são a chave que abre a porta de uma realidade superior do número. Demonstram que o 
número é acima de tudo uma relação: quaisquer que sejam as quantidades que se 
apliquem ao lado e ao diâmetro, a relação continuará sendo invariável, já que na 
essência, este aspecto funcional do número não é grande, nem pequeno, nem infinito ou 
finito: é universal. Assim, no conceito de número há um poder definido, finito e 
particularizante, e também um poder sintetizador universal. A um, poderia se denominar 
o aspecto exotérico ou exterior do número; e ao outro, o aspecto funcional, esotérico ou 
interno. 
Vejamos os quatro primeiros números primários por esta ótica. 
O número UM pode se supor que defina uma quantidade: por exemplo, uma maçã. 
Mas em outro sentido, representa perfeitamente o princípio da unidade absoluta, e como 
tal foi freqüentemente utilizado, como o símbolo que representa Deus. Enquanto 
manifestação formal, num sentido pode representar um ponto — foi-lhe dado o nome 
de número "pontual", o hindu ou semente do mandala (símbolo gráfico do universo) 
hindu — e, em outro sentido, pode representar o círculo perfeito. 
DOIS é uma quantidade, mas, simbolicamente, representa, como já temos visto, o 
princípio da dualidade, o poder da multiplicidade. Ao mesmo tempo, tem seu sentido 
formal na representação de uma linha, na medida em que dois pontos definem uma 
linha. 
TRÊS é uma quantidade, mas como princípio, representa a trindade, um conceito 
vital que veremos mais adiante. Seu sentido formal é o do triângulo, que é formado por 
três pontos. Com o três, dá-se uma transição qualitativa dos elementos abstratos do 
ponto e da linha ao estado tangível e mensurável denominado superfície. Na Índia, o 
triângulo era chamado a Mãe, pois é a membrana ou canal de nascimento através do 
qual todos os poderes transcendentes da unidade e sua divisão inicial numa polaridade 
devem passar para entrar no reino manifesto da superfície. O triângulo atua como mãe 
da forma. 
Mas três é apenas um princípio da criação, que forma a passagem entre os reinos 
transcendente e manifesto, enquanto o QUATRO representa pelo menos "a primeira 
coisa nascida", o mundo da natureza, porque é o produto do processo procriador, isto é, 
a multiplicação 2 x 2 = 4. Como forma, quatro é o quadrado e representa a 
materializaçâo. 
A universalidade do número pode ser vista em outro contexto mais físico. Sabemospela física moderna que desde a gravidade até ao eletromagnetismo, passando pela luz, 
o calor e inclusive o que acreditamos ser matéria sólida em si, a totalidade do universo 
perceptível é composta por vibrações, percebidas por nós como fenômenos de ondas. As 
ondas são padrões puros temporais, isto é, configurações dinâmicas compostas de 
amplitude, intervalo e freqüência, e apenas podem ser definidas e entendidas por nós 
através do número. Assim, todo o nosso universo é redutível ao número. Todo o corpo 
vivo vibra 
Este desenho caligráfico zen 
japonês representa 
harmoniosamente a "criação". 
mediante a simples progressão da 
unidade do círculo, passando pelo 
triângulo, até à forma manifesta 
do quadrado. 
fisicamente, toda a matéria elementar ou unanimada vibra molecular ou atomicamente, e todo o 
corpo vibrante emite um som. O estudo do som, tal como o intuíram os antigos, proporciona uma 
chave explicativa para a compreensão do universo. 
Temos observado já que os antigos conferiam grande importância ao estudo da harmonia 
musica], relacionado com o estudo das matemáticas e da geometria. A origem desta tradição está 
geralmente associada a Pitágoras (560-490 a.C.) e sua escola, mas Pitágoras pode ser considerado 
como uma janela através da qual podemos vislumbrar a qualidade do mundo intelectual de uma 
tradição mais antiga: a do Próximo c a do Extremo Oriente. Nesta linha de pensamento, o som de 
uma oitava (uma oitava é. por exemplo, dois dós subseqüentes na escala musical) era o momento 
mais significativo de toda a contemplação. Representava o princípio e a meta da criação. O que 
acontece quando fazemos soar a oitava perfeita? Dá-se uma coincidência imediata e simultânea 
que tem lugar em vários níveis do ser. Sem nenhuma intervenção do pensamento, nem de 
conceitos, nem de imagens, reconhecemos imediatamente a recorrência do tom inicial na forma 
da oitava. E a mesma nota, mas diferente: é a consecução do círculo, uma espiral desde uma 
semente a outra semente nova. Este reconhecimento intemporal e instantâneo (mais preciso do 
que qualquer reconhecimento visual) é universal entre os seres humanos. 
Mas também aconteceu outra coisa. O guitarrista toca uma corda. Em seguida, solta esta 
corda deixando o dedo exatamente em seu ponto médio. Toca a metade da corda. A freqüência 
das vibrações produzidas é dupla em relação à dada pela corda inteira, e o tom se eleva de uma 
oitava. A amplitude da corda foi dividida em dois e o número de vibrações por segundo se 
multiplicou por dois; 1/2 criou o seu reflexo oposto. 2/1. Assim, neste momento, um 
acontecimento abstrato e matemático está vinculado exatamente a uma percepção física e 
sensorial; nossa resposta direta e intuitiva a esse fenômeno sonoro (a oitava) coincide com sua 
definição concreta e medida. 
Daí que experimentemos nesta percepção auditiva uma interrelação entre o interior e o 
exterior, e podemos generalizar a resposta para evocar a possibilidade de uma fusão entre os 
reinos intuitivo e material, os reinos da arte e da ciência, do tempo e do espaço. Pode dar-se outro 
destes momentos no mundo criado, mas os pitagóricos não o conheciam, tampouco nós. É o 
espírito essencial da percepção da harmonia, e para os pitagóricos era o único momento 
sobrenatural verdadeiro: uma experiência tangível da simultaneidade dos opostos. Considerava-
se como a verdadeira magia, um autêntico mistério omnipresente. 
Era graças à geometria que os pitagóricos se mantinham em equilíbrio nesta transição 
13 
 
única em que a vibração ouvida se toma visual; e sua geometria, conforme veremos, explora as 
relações da harmonia musical. Embora interrelacionados em sua função, nossos dois principais 
sentidos intelectuais, a visão e o ouvido, utilizam nossa inteligência em duas formas 
completamente distintas. Por exemplo, com nossa inteligência ótica, para formar um pensamento, 
compomos uma imagem em nossa mente. Por outro lado, o ouvido utiliza a mente numa resposta 
imediata e sem imagem, cuja ação é expansiva e evoca uma resposta dos centros emotivos. 
Atualmente, esta faculdade emotiva e sensível ao som costuma associar-se a experiências 
subjetivas, emocionais, estéticas ou espirituais. Tendemos a esquecer que também intervém 
quando a razão percebe relações invariáveis. Portanto, quando centramos nossa experiência 
sensorial em nossa capacidade auditiva, podemos dar-nos conta de que é possível ouvirmos uma 
cor ou um movimento. Esta capacidade intelectual é muito diferente da "visual", analítica e 
seqüencial que normalmente utilizamos. E esta capacidade intelectual, associada ao hemisfério 
direito do cérebro, a que reconhece padrões no espaço, ou conjuntos de qualquer tipo. Pode 
perceber simultaneamente os opostos e captar funções que perante a faculdade analítica parecem 
irracionais. E de fato 0 complemento perfeito da capacidade visual e analítica do hemisfério 
esquerdo, já que absorve ordens espaciais e simultâneas, enquanto a faculdade racional 
"esquerda" é mais adequada para captar a organização temporal e seqüencial. O aspecto esotérico 
e funcional do número, por exemplo, se apreenderia através da faculdade do "hemisfério direito", 
enquanto o aspecto exotérico e enumerativo do número é apreendido pelo "esquerdo". 
Esta qualidade intelectual inata assemelha-se muito ao que os gregos denominavam a razão 
pura, o que na índia denominavam o "coração-mente". Os antigos egípcios tinham para isto um 
lindo nome: a "inteligência do coração", e atingir esta qualidade de entendimento era a meta 
implícita da vida. A prática da geometria, embora faça uso também da faculdade analítica, utiliza 
e cultiva este aspecto auditivo e intuitivo da mente. Por exemplo, alguém experimenta o fato do 
crescimento geométrico através da imagem do quadrado cuja diagonal forma o lado de um 
segundo quadrado. Trata-se de uma certeza sem razão aparente, captada pela mente a partir da 
experiência real de executar o desenho. A lógica está contida nas linhas do papel, que não se 
podem desenhar de outra forma. 
Como geômetras. equipados apenas com compassos e réguas, entramos no mundo 
bidimensional da representação da forma. Estabelece-se um vínculo entre os reinos do 
pensamento mais concretos (a forma e a medida) e os mais abstratos. Na busca das relações 
invariáveis que governam e interrelacionam as formas, pomo-nos em ressonância com a ordem 
universal. Ao reproduzir a gênese destas formas, tentamos conhecer os princípios da evolução. E 
desta maneira, ao elevar nossos próprios padrões de pensamento a estes níveis arquetípicos, 
propiciamos às forças destes níveis a penetração na nossa mente e no nosso pensamento. Nossa 
intuição se anima, e talvez, como diz Platão, o olho da alma possa ser purificado e de novo aceso, 
"pois só através dele podemos contemplar a verdade". 
"Os números são as fontes da forma e da energia no mundo. São 
dinâmicos e ativos, inclusive entre eles... quase humanos em sua 
capacidade de influência mútua." (Téon de Esmirna). Os números, 
segundo a visão Pitagórica, podem ser andróginos ou sexuados, 
procriadores ou gerados, ativos ou passivos, heterogêneos ou 
promíscuos, generosos ou avaros, indefinidos ou individualizados. Têm 
suas atrações, suas repulsas, suas famílias, seus amigos; fazem 
contratos de casamento. São de fato os verdadeiros elementos da 
natureza. As ferramentas da geometria e o número representam os 
meios com os quais se atinge o conhecimento do espaço e do tempo, 
tanto exterior, como interior. Estes instrumentos, então utilizados por 
arquitetos e filósofos, se tornaram hoje, a partir da "idade da razão" em 
ferramentas do engenheiro. 
14 
 
Um dos pressupostos fundamentais das filosofias tradicionais reside, ao que parece, no 
propósito de que as faculdades intelectuais do homem seja o de acelerar nossa própria evolução 
superando as limitações do determinismo biológico que constrangem todos os outrosorganismos 
vivos. Os métodos como a yoga, a meditação, a concentração, as artes, o artesanato, são técnicas 
psico-físicas para aproximar-se desta meta fundamental. A prática da geometria sagrada é uma 
destas técnicas essenciais de auto-realização. 
Cada um dos diagramas dos quadrados pequenos representa um sistema ou técnica diferente de pensamento 
para a compreensão do mundo e suas estruturas. A primeira tarefa do aspirante espiritual que encara os 
variados caminhos contemplativos é harmonizar as cinco constituintes universais que compõe seu corpo 
(terra, ar, fogo, água e prana). Seu conhecimento claro dos mundos exterior e interior depende do acordo 
harmonioso que estabeleça entre estes estados elementares em seu próprio corpo e estes mesmos elementos 
na natureza. Cada cosmograma geométrico é concebido para assisti-lo nas suas tentativas de liberação através 
da harmonização. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
II. A geometria sagrada: metáfora 
da ordem universal 
Seja produto da cultura oriental ou da ocidental, o mandala circular ou diagrama sagrado é 
uma imagem familiar c omnipresente através de toda a história da Arte. A Índia, o Tibet, o 
islamismo e a Europa medieval produziram-no em abundância e grande parte das culturas tribais 
também o utilizaram, seja em forma de pinturas, de edifícios, ou em danças. Tais diagramas 
costumam estar baseados na divisão do círculo em quartos, e todas as partes c elementos 
implicados estão inter-relacionados com um desenho unificado. As mais das vezes, são de certa 
forma cosmológicos, isto é, representam num símbolo o que se considera como estrutura 
essencial do universo; por exemplo, as quatro direções espaciais, os quatro elementos, as quatro 
estações, por vezes os doze signos do zodíaco, diferentes divindades e com freqüência o próprio 
homem. Mas o mais notável e constante desta forma de diagrama é o que expressa a noção de 
cosmos, isto é, a realidade concebida como um todo organizado e unificado. 
A antiga geometria não repousa em axiomas ou presunções apriorísticas. Contrariamente 
aos euclidianos e à geometria mais recente, o ponto de partida do antigo pensamento geométrico 
não é uma rede de definições ou de abstrações intelectuais, mas uma meditação sobre uma 
unidade metafísica, seguida de uma tentativa por simbolizar visualmente e contemplar a ordem 
pura e formal que surge desta incompreensível unicidade. E o enfoque do ponto de partida da 
atividade geométrica o que separa radicalmente o que podemos denominar de geometria sagrada, 
da mundana ou secular. A geometria antiga começa com o um, enquanto as matemáticas e a 
geometria modernas começam com o zero. 
Uma das aplicações mais surpreendentes da mandala surge na arquitetura das cúpulas, tanto as islâmicas, como 
as cristãs. O quadrado representa a terra, abarcada num quádruplo abraço pela abóboda circular do céu e. 
portanto, submetida à roda do tempo em constante movimento. Quando o incessante movimento do universo, 
representado pelo círculo, dá passagem à ordem compreensível, surge o quadrado. O quadrado pressupõe por isto 
o círculo e é resultado deste. A relação entre forma e movimento, espaço e tempo, é evocada na mandala. 
 
Aqui a mandala da unidade está inscrita na mão de uma divindade japonesa 
budista, que esboça um gesto ritual. A mandala é a divisão do círculo da 
unidade nas formas compreensíveis do quadrado, do hexágono. do 
octógono, etc. e estas formas são consideradas como os primeiros 
pensamentos de Deus, que surgem da unidade circular. Mas para que os 
pensamentos se convertam em atividades e atos, necessitam uma vontade ou 
força de intenção, que está simbolizada pela mão. As posições das mãos 
podem ser sistematizadas para formar um meio de comunicação (mudra), 
em que o gesto reflete as diferentes forças mediante as quais as disposições 
da mente criativa adquirem forma manifesta. 
 
 
Gostaríamos aqui de examinar com mais pormenor estes dois inícios simbólicos, o um e o 
zero. porque constituem um exemplo excepcional de como os conceitos matemáticos são os 
protótipos da dinâmica do pensamento, da estruturação e da ação. 
Consideremos primeiro o zero. que é uma idéia relativamente recente na história do 
pensamento, e ainda assim está tão arraigada em todos nós. que mal podemos pensar sem ela As 
origens deste símbolo remontam a antes do século VIII da nossa era. momento em que tem-se 
notícia de seu primeiro aparecimento escrito num texto matemático da Índia. E interessante notar 
que, durante o século imediatamente anterior àquela época. tinha começado a se desenvolver na 
Índia uma linha muito particular de pensamento, que Encontrou sua expressão tanto no 
hinduísmo (através de Sankara), como no budismo através de Narayana). Esta escola punha 
exclusivamente a ênfase no objetivo de atingir a transcendência pessoal e escapar do karma 
mediante a renúncia ao mundo natural, inclusive até extremos como a mortificação do corpo 
físico. O propósito desta busca altamente ascética era atingir um vazio totalmente impessoal, a 
cessassão total do movimento no interior da consciência. Uma descrição deste estado atribuída a 
Buda é "um estado de ausência desinteressada, incognoscívcl, imperecível". Este simples aspecto 
ou possibilidade de experiência meditativa considerava-se o objetivo final do universo criado, 
assim como a meta de todo o desenvolvimento espiritual individual. Retrospectivamente, agora 
é por muitos considerado como um período obscuro no interior da longa e rica herança espiritual 
da Índia, um declive depois da tradição anterior que proclamava um significado espiritual tanto 
na expressão manifesta de Deus. como na não manifesta, e cujas práticas tântricas e vogues eram 
encaminhadas pata a intensificação da relação e da harmonização entre a matéria e o espírito. Foi 
neste momento que o conceito de zero adquiriu nova tangibilidade e uma nova presença. Como 
conseqüência 
 
 
 
 
 
As formas geométricas primárias 
são consideradas cristalizações dos 
pensamentos criadores de Deus, e 
a mão humana, ao manipular e 
construir estas formas, aprenderá a 
adquirir por si mesma as 
principais posturas da linguagem 
gestual. 
17 
 
disto, adquiriu um nome e um símbolo específico, tanto na metafísica, como nas 
matemáticas. Nestas, chegou a ser considerado como um número mais, como símbolo 
com o qual se pode operar e calcular. O nome que foi dado a este conceito em sânscrito 
foi sunya, que significa vazio. 
Alguns historiadores das matemáticas argumentam que não se pode comprovar que a 
noção de zero seja exclusivamente hindu, sustentando que antes da Índia, na Babilônia, 
na Grécia e na civilização maia, se utilizava por vezes um símbolo para representar uma 
coluna vazia. Por exemplo, num número como o 203, a coluna vazia corresponde ao zero. 
Na Babilônia, o espaço vazio teria sido designado através de duas marcas como estas: / / ; 
na Grécia, por um pequeno 0 com uma perninha, e os maias utilizavam uma espécie de 
símbolo em forma de ovo. Mas, marcar uma coluna vazia é apenas um procedimento de 
notação, enquanto, ao contrário, nas matemáticas hindus, o zero era tratado como uma 
entidade tangível, como um número. Os matemáticos hindus escreviam coisas como 
(a x 0) 0 = a. Aristóteles e outros mestres gregos tinham se referido ao conceito do zero 
filosoficamente, mas as matemáticas gregas, fundadas como estavam nos ensinamentos 
pitagóricos dos egípcios, resistiram à incorporação do zero em seu sistema. 
Os árabes, que atuaram desde o século IX até ao XIV como transmissores do saber e 
da cultura das antigas civilizações decadentes do Oriente Distante e de Egito, levaram este 
conhecimento ao nascente fermento da Europa ocidental. Durante aqueles séculos, 
recolheram o conceito dozero, junto com outros nove símbolos numéricos que tinham 
se desenvolvido na Índia. A orientação menos mística e mais prática da mentalidade 
árabe viu nestes símbolos um mecanismo prático para facilitar o cálculo e registrar 
números elevados, especialmente os números que contêm uma coluna vazia, tais como 
1505. 
Os números romanos, que foram usados ao longo da Idade Média, mantiveram uma 
notação semelhante à da numeração egípcia, pois ambas estavam baseadas em 
agrupamentos que não necessitavam do zero para indicar uma coluna vazia: 
egípcia 
romana MDV = 1.505 
Cada unidade superior, as dezenas, as centenas, os milhares, etc. tinha um símbolo 
diferente, formando assim um sistema decimal sem zeros. 
O grande matemático árabe do século VIII, Al Jwarizmi, introduziu os números 
hindus, incluindo o zero, no mundo islâmico. Depois, passaram outros quatrocentos 
anos antes de que as obras de Al.Gorisma (cujo nome deu origem ao termo "algoritmo") 
fossem introduzidas na Europa através dos assentamentos árabes na Península Ibérica. 
Suas obras foram traduzidas para o latim cerca do século XII. Gradualmente, este 
sistema numérico "arábico" se introduziu na Europa medieval e começou a fomentar 
mudanças radicais na ciência e no pensamento ocidentais. 
Algumas das ordens monásticas resistiram à adoção deste sistema de notação decimal 
com o zero, proclamando sobretudo que o zero era uma invenção do diabo. Entre as que 
rechaçaram o número zero estava o ordem de Cister, cuja filosofia mística e gnóstica 
serviu de inspiração e fundamento para a construção das catedrais góticas, os templos 
cósmicos da Era de Peixes. Mas os mercadores adotaram os números árabes e o zero 
porque dava-lhes grande facilidade mecânica para o cálculo de suas operações e para o 
registro das quantidades. Foi, portanto, através do impulso comercial que o zero se 
arraigou. 
As conseqüências foram enormes. Em primeiro lugar, no interior da estrutura da 
própria aritmética, a base do cálculo da soma tinha que ser modificada. Anteriormente, 
a adição de um número a outro sempre produzia uma soma maior do que qualquer dos 
números originais. Isto ficou naturalmente anulado a partir da utilização do zero. Outras 
leis aritméticas também ficaram alteradas, de tal maneira que, atualmente, podemos 
realizar operações, tais como: 
18 
 
Aqui a lógica se rompe por completo. O ilógico do símbolo foi aceito pela 
comodidade que oferecia para as operações quantitativas. No entanto esta ruptura da 
lógica simples e natural da aritmética permitiu que ocupasse seu lugar uma lógica mental 
mais complexa, e se introduzisse nas matemáticas toda uma gama de entidades 
numéricas e simbólicas, das quais algumas não estão respaldadas por qualquer conceito 
verificável, nem por qualquer forma geométrica. Surgidas a partir do século XVI, estas 
entidades incluem os números relativos (por exemplo, quantidades negativas tais como 
— 3), os números decimais infinitos, os números algébricos irracionais, tais como a 
raiz cúbica de 10, os números exponenciais irracionais (tais como o e, a base dos 
logaritmos que não satisfaz nenhuma equação algébrica), os números imaginários, tais 
como a raiz quadrada de — 1, os números complexos (a soma de um número real e de 
um número imaginário) e os números literais (as letras que representam fórmulas 
matemáticas). A invenção do zero permitiu que os números representassem idéias que 
não têm forma. Isto assinala uma mudança na definição da palavra "idéia", que na 
Antiguidade era sinônimo de "forma" e leva implicitamente à geometria. 
A orientação teológica da mentalidade hindu não permitiu que se colocasse o zero no 
início das séries. O zero foi colocado depois do 9. Não foi senão em finais do século XVI 
na Europa, o alvorecer da "idade da razão", quando o zero foi colocado na frente do 1, 
permitindo assim o conceito dos números negativos. 
O zero não só se tornou indispensável no sistema matemático em que repousa nossa 
ciência e nossa tecnologia, como também, implicitamente, se transferiu para a nossa 
filosofia e teologia, para a nossa maneira de ver a natureza, para nossas atitudes perante 
nossas próprias naturezas e ao meio ambiente. Vimos como na Índia a adoção do zero se 
associou a uma doutrina que negava a realidade do mundo material. O nome sânscrito 
do zero, sunya, que significava "vazio", tornou-se "cifra'' em latim, que tem o 
significado de nulo ou nada. Ocioso dizer que "nada" é um conceito diferente do de 
"vazio". Também naquela época, na Índia, a palavra sânscrita maya assumiu um novo 
significado. Originalmente, significava "o poder de dividir" ou "a mente que divide", 
mas naquele momento começou a significar "ilusão", ou o aspecto material do universo 
como ilusão. Podemos ver a outra face deste nihilismo espiritual no materialismo 
ocidental após a revolução industrial, quando o aspecto espiritual da realidade chegou a 
ser considerado ilusório. 
A mentalidade racionalista ocidental negou o antigo e venerado conceito espiritual 
da unidade, já que com a adoção do zero, a unidade perde sua primeira posição e 
tornate meramente uma quantidade entre outras quantidades. O advento do zero nos 
permite considerar qualquer coisa que esteja por baixo das séries de números 
quantitativos como nulo ou insignificante, enquanto qualquer coisa que esteja além da 
gama quantitativamente compreensível se torna numa extrapolação, oculta sob a palavra 
Deus e considerada religiosa ou supersticiosa. Daí que o zero proporcione um marco 
para o pensamento ocidental para o desenvolvimento do ateísmo e da negação do 
espiritual. 
Do ponto de vista do mundo natural, o zero não existe: é uma entidade 
completamente mental. Mas o impacto deste símbolo foi tão grande que impulsionou a 
física supostamente empírica do século XIX a adotar uma teoria atômica segundo a 
qual a matéria é composta de diminutos blocos de construção, pequenas esferas flutuando 
num vazio como um zero. O zero continuou orientando a visão do mundo decimonônico, 
mediante a idéia de que existe uma separação entre o quantitativo e o não quantitativo; 
o grau extremo desta idéia era de que tudo o que é não-quantilativo é não-existente, isto 
19 
20 
é, zero. A física nuclear do século XX já não concebe o átomo como uma partícula separada que 
atrai ou repele, pois estabelece um campo ou matriz de campos de energia, cujas partículas e 
desenho estão interconectadas e em perpétua transformação. Partículas que não se distinguem do 
processo; matéria que não se distingue dos acontecimentos. Como no firmamento, o que antes se 
pensava ser um vazio negro com corpos flutuando no seu interior, agora sabe-se que está pleno 
de substância-energia. Entre um corpo estelar e as regiões que o rodeiam há um campo contínuo 
do qual o corpo estelar é apenas uma densificação. Ao mesmo tempo em que nos afasta da visão 
do mundo do século XIX, tanto microscópica, como macroscópica, a ciência atual nos mostra 
uma contínua flutuação e alternância entre a matéria e a energia, confirmando-nos que no mundo 
natural não existe o zero. 
A noção de zero também teve efeito nas nossas conceituações psicológicas. Idéias como a 
finalidade da morte e o medo de enfrentá-la, a separação do céu e da terra, toda a gama de 
filosofias existenciais baseadas no desespero e no absurdo de um mundo que desemboca no não-
ser, todas elas muito devem à noção de zero. Víamo-nos a nós próprios como indivíduos 
separados, que se moviam num espaço que era diferente de nós próprios. Mas estes conceitos 
também estão perdendo sua influência. Agora, sabemos que existimos em grupos, determinados 
por diferentes níveis de afinidades energéticas, repelindo, mudando e absorvendo mediante sutis 
comunicações energéticas interrelacionadas. E nosso ser se prolonga fora de si mesmo mediante 
diferentes campos de energia para conectar-secom outros campos mais vastos. Tivemos que 
aprender que não existe nenhum lugar onde possamos nos desfazer das coisas que acabamos de 
utilizar, que a descarga do nosso lavabo não nos conduz a zero: não existe fábrica, tubagem ou 
vazadouro algum no solo que nos conduza a qualquer parte. Tudo permanece aqui, conosco. Os 
ciclos de crescimento, utilização e desgaste continuam interrompidos. Não existe a garrafa de 
usar e jogar fora. 
Com o zero, temos no início das matemáticas modernas um conceito numérico que 
filosoficamente é enganoso e que cria uma separação entre nosso sistema de símbolos numéricos 
e a estrutura do mundo natural. Por outro lado, com a noção de unidade que governava as antigas 
matemáticas, não existe esta dicotomia. 
A noção de unidade continua, literalmente, impensável; simplesmente porque para que 
qualquer coisa seja, exista, deve, como verdadeira afirmação positiva de si mesma, negar aquilo 
que não é. O frio só é frio porque é a negação do calor. Para que uma coisa seja, seu oposto 
também deve ser. Dá-se então no começo do mundo criado a contingência da divisão da unidade 
em dois. Com o dois começam os números. Esta mesma lei governa nossa compreensão, já que 
para poder compreender qualquer estado objetivo, devemos reconhecer e negar seu oposto. Diz 
R.A. Schwaller de Lubicz: 
"'O número um só é definível através do número dois: é a multiplicidade que revela a unidade... A 
inteligência das coisas só existe através do que poderíamos chamar um fracionamento original e a 
comparação destas frações entre si, o qual não é mais do que uma enumeração dos aspectos da 
unidade." 
Assim, por mais impensável que possa ser a unidade, tanto a razão como a experiência 
espiritual obrigam o pensador tradicional a situá-la no início. Tudo o que existe em seu problema 
matemático ou em seu universo é uma fração do uno desconhecido, e apenas graças à 
possibilidade de se poder relacionar proporcionalmente umas e outras são conhecíveis estas 
partes. Diz Sri Aurobindo: 
"Na origem das coisas, deparamos com uma massa infinita que contém finitos inexplicados; um 
indivisível pleno de divisões sem fim, uma imutabilidade onde pululam as mutações e diferenciações, um 
paradoxo cósmico está no início de todas as coisas. Este paradoxo apenas pode ser explicado como o um; 
mas trata-se de uma unicidade infinita que pode conter as centenas, os milhares, os milhões, os bilhões.... 
Isto não significa que o um seja plural, ou que possa ser limitado ou descrito como uma soma de muitos. 
Pelo contrário, pode conter 
o infinito porque excede toda limitação ou descrição mediante a multiplicidade, e excede mesmo assim 
toda limitação mediante uma unicidade finita, conceitual" 
(A Vida Divina) 
A unidade é um conceito filosófico e uma experiência mística que pode ser expressa 
matematicamente. A mentalidade ocidental, contudo, renunciou à disciplina de reconhecer um 
mistério supra-racional, incognoscível, como seu princípio primeiro. Mas ao abandonar este 
respeito a uma unidade simples incognoscível, nossas matemáticas e nossa ciência 
desenvolveram um sistema que exige hipóteses complexas e inter-relacionadas, entidades 
imaginárias tais como as mencionadas acima, e quantidades desconhecidas x que devem ser 
manipuladas, quantificadas ou igualadas, como no pensamento algébrico. Assim, o desconhecido 
aparece não apenas uma vez, mas em cada momento, e apenas se pode manejar procurando 
soluções quantitativas. 
Nosso pensamento atual se baseia na seguinte seqüência numérica e lógica: 
— 5, — 4, — 3, — 2, — 1, 1, 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 
Com o zero ao centro, há uma expansão quantitativa: 1,2,3..., e nosso sentido do equilíbrio 
exige que haja — 1, — 2, — 3... do outro lado, o que dá uma série de abstrações não existentes 
(quantidades negativas) que requerem uma lógica absurda. O sistema tem um ponto de ruptura, o 
zero, que desconecta o contínuo e dissocia os números positivos da série negativa que o 
equilibra. 
Na progressão numérica do antigo Egito, que começava por um em vez do zero, todos os 
elementos são naturais e reais: 
1/5, 1/4, 13, 1/2, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 
Todos os elementos surgem da unidade central de acordo com a lei da inversão e da 
reciprocidade. Os egípcios baseavam suas matemáticas neste série de números simples e naturais, 
e realizavam com ela sofisticadas operações, para as quais hoje necessitamos complexas 
operações algébricas e trigonométricas. E podemos verificar a demonstração natural desta série 
nas leis físicas do som. A batida sobre uma corda, ao dividi-la em dois, produz uma freqüência 
dupla de vibrações. Assim, esta série expressa a lei essencial da harmonia. 
Grande parte da física pós-Einstein parece ter esta crença como base, já que a inversão 
desempenha um papel primordial na teoria da relatividade, no princípio da dúvida e em conceitos 
tais como os buracos negros. A idéia de um intercâmbio contínuo entre a matéria e a energia 
também requer esta sistematização. 
Conceitos metafísicos tais como a imortalidade da alma, o renascimento e a reencarnação 
também se apreendem mais plenamente mediante a noção da reciprocidade. Para os egípcios, o 
mundo inferior, para onde se dirigiam as almas depois da morte, se chamava o "mundo 
invertido", o Dwat. A progressão de elementos inversos (recíprocos) constitui a base mental para 
a noção de perpétuo intercâmbio através da inversão. 
A idéia da unidade, incognoscível como início, foi a base de muitos sistemas filosóficos e 
mitológicos. Embora Sankar, com o Budismo vigente durante certo período, estabelecesse o 
vazio como presença fundamental, a corrente principal do hinduísmo sempre repousou sobre a 
noção do um, do divino, que se dividia dentro de si mesmo para formar seu oposto, criando-se a 
si próprio, o universo manifesto. Dentro do olhar divino sobre si mesmo, três de suas própria 
qualidades se tornaram distintas: Sat (ser imóvel). Chit (consciência-força) e Ananda (êxtase). A 
unidade original, representada por um círculo, se reafirma no conceito da "real idéia", o 
pensamento de Deus, que os hindus chamavam bindu ou semente, o que nós denominamos como 
ponto geométrico. O ponto, segundo os Comentários do Shiva Sutra Vimarshini, constitui o 
limite entre o manifesto e o não manifesto, entre o espacial e o não espacial. O bindu corresponde 
à "idéia de semente-som" dos tantras. O divino se transforma em vibração sonora (nada), 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A progressão natural dos números 
inteiros, em conjunto com sua 
progressão inversa, é um modelo 
para a formação do tipo mais 
comum de folha. 
21 
 
A música é regida pelas leis 
fundamentais da reciprocidade; as 
mudanças de freqüência c de 
tamanho de ondas são recíprocas. Os 
tons ascendentes ou descendentes, da 
mesma forma que os quocientes 
aritméticos recíprocos, se aplicam ao 
comprimento das cordas. "Maior" ou 
"menor" são modos tonais 
recíprocos. Tai como assinala Ernest 
McClain em The Myth of Invariance, 
Platão concebeu a alma do mundo 
como sendo composta por quocientes 
recíprocos idênticos aos que na 
mitologia hindu criam o musical 
"tambor de Siva", o vibrante 
instrumento da criação. (Veja-se a 
página 81). 
Note-se que tanto este símbolo egípcio 
da "boca", quanto o percurso de uma 
corda em vibração têm uma forma 
"vesical" achatada. 
 
e prolifera no universo, que não é diferente de si mesmo, dando forma ou expressão verbal a esta 
"auto-idéia". Ramakrishna resumiu a sagrada escritura dizendo: "O universo não é senão o divino 
pronunciando seu nome para si mesmo." 
O universo surge assim da palavra. Esta palavra transcendental não é senão uma vibração 
(uma materialização) do pensamento divino que dá lugar ao fracionamento da unidade que é 
criação sua. A palavra (saabda em sânscrito, o logos dos cristãos e dos gnósticos), cuja natureza 
é pura vibração, representa a natureza essencial de tudoquanto existe. As ondas vibratórias 
concêntricas se expandem para fora a partir de inúmeros centros, e suas sobreposições (esquemas 
de interferência) formam nós de energia concentrada que se tornam nos corpos ígneos rotativos 
do firmamento. A "real idéia", o Purusha, 0 ponto inaudível e invisível do som-idéia, permanece 
fixo e imutável. Seus nomes, contudo, podem ser investigados através da geometria e dos 
números. Este som emitido, essa enunciação da idéia de Deus. é o que os pitagóricos 
denominariam a música das esferas. 
No antigo Egito, o campo primordial da vibração (denominado nada na índia) chama-se Nun. 
o oceano primário. A substância cósmica da criação é a imagem indiferenciada do Todo. Imerso 
neste oceano primário está Aton, o criador, que deve em primeiro lugar distinguir-se de si 
mesmo, do Nun, com o fim de dar início à criação. Aton é masculino e análogo ao Chit 
(consciência-força) do mito hindu. Aton é representado em estado de êxtase, totalmente absorto. 
Algumas versões do mito dizem que Aton é masturbatório. Sua auto-contemplação estática 
provoca sua ejaculação e esta atinge sua garganta fazendo-o tossir e expulsar sua semente pela 
boca. Tossiu e esculpiu Shu e Tefnut, os quais, com ele, formam a primeira tríade dos nove 
grandes Neteru, ou princípios da criação. 
Fixemo-nos na relação entre este mito da criação e a notação matemática egípcia, em que as 
frações são representantadas mediante o desenho de uma boca como numerador e marcas de 
unidade para denominador, imaginando a idéia dos poderes da semente emitidos pela boca de 
Aton, o mundo criativo = 1/3. O sinal hieroglífico é o mesmo signo utilizado para 
escrever o nome do ser supremo, Ra (que, como criador, é conhecido como Aton-Ra). A semente 
projetada de Aton entra na vibração primária de Nun e a coagula nas formas do universo, 
exatamente como o esperma coagula a substância albuminosa do óvulo (estas e outras 
correlações funcionais com os mitos egípcios foram desenvolvidas por Lucie Lamy em Mistérios 
Egípcios). 
Hoje em dia, a teoria dos campos da astrofísica moderna concebe o universo como um campo 
vibratório, integral e incompreensivelmente vasto de plasma ionizado, pré-gasoso, uma imagem 
não muito diferente do Nun ou oceano cósmico do mito egípcio, 
 
 
ou do Prakriti da cosmologia hindu. No interior deste campo gravitacional, as 
influências se desencadeiam, criando uma densificação em configurações nodais. O 
desequilíbrio e a turbulência causados pelos centros de massa galáctica recém formada 
por efeito da contração libertam ondas compostas, que causam mudanças violentas e 
abruptas na pressão e na densidade de todo o plasma cósmico. Estas mudanças são 
conhecidas como "estampidos sônicos*'; sônicos porque,com efeito, a propagação de 
qualquer som é simplesmente a rápida mudança oscilatória de pressão-densidade em 
qualquer meio. Estes choques sônicos ondulantes criam um torvelinho em toda a nuvem 
galáctica e, nas regiões interiores formadas por este torvelinho, nascem as estrelas. Isto 
confirma claramente a antiga imagem da criação universal mediante ondas de som ou 
da palavra de Deus; a ciência reafirma que as estrelas e galáxias visíveis são 
configurações de explosões em espiral, réplicas residuais de ondas de choque 
estacionárias provocadas pela atroadora voz do universo. 
Assim, o modelo científico mais moderno da criação assemelha-se à imagem 
apresentada pela mitologia antiga, e ambas reconhecem uma absoluta singularidade ou 
unidade no seu início. Em termos de ortodoxia das antigas matemáticas, os símbolos das 
matemáticas deveria refletir as realidades que descrevem. Com o zero e com o exército de 
signos meramente mentais e estatísticos que o seguiram, estamos muito longe de ter um 
sistema de símbolos matemáticos que corresponda à ordem pura e geométrica do espaço 
vivo. 
III. O ato primeiro: a 
divisão da unidade 
Quem utilize figuras geométricas para descrever o início da criação deve tentar 
mostrar como uma unidade absoluta pode tornar-se multiplicidade e diversidade. A 
geometria tenta recuperar da infinita informidade, o movimento ordenado, conferindo-lhe 
uma série de formas interrelacionadas, e ao recriar este misterioso passo do um para o 
dois, torna-o simbolicamente visível. 
Tanto do ponto de vista metafísico como natural, é falso dizer que para obter o dois 
tomam-se dois uns juntos. Bastar observar a forma em que uma célula viva se torna duas. 
O um é por definição singular, é unidade, e portanto, inclui tudo. Não pode haver dois 
uns. A unidade, enquanto símbolo perfeito de Deus, se divide a si mesma a partir de 
dentro, criando assim o dois: o "eu" e o "me" de Deus, por assim dizer: o criador 
unidade e a multiplicidade criada. 
A unidade cria dividindo-se a si mesma, e isto se pode simbolizar geometricamente 
de várias formas diferentes, segundo se representa graficamente a unidade original. A 
unidade se pode representar apropriadamente como um círculo, mas a verdadeira 
incomensurabilidade do círculo indica que esta figura pertence a um nível de símbolos 
que está além do razoável e da medida. A unidade pode ser concebida como o quadrado 
que, em sua simetria perfeita, também representa o todo e se presta à medida 
compreensível. Na filosofia geométrica, o círculo é o símbolo da unidade não manifesta, 
enquanto o quadrado representa a unidade serena, por assim dizer, prestes a se 
manifestar. O quadrado representa as quatro orientações primárias, o norte, o sul, o leste 
e o oeste, que tornam compreensível o espaço, e é formado por dois pares de elementos 
perfeitamente iguais e contudo opostos, cumprindo assim graficamente a descrição da 
natureza universal que encontramos no taoismo e em outras filosofias antigas. 
23 
 
 
 
 
O quadrado é o resultado de um entrecruzamento. 
As quatro orientações estavam relacionadas com os quatro 
elementos da criação: a trará, o ar, o fogo e a água. 
24 
Por definição, o quadrado consiste em quatro linhas retas iguais que se unem em 
ângulo reto. Mas outra definição mais importante é a de que o quadrado é o fato de que 
qualquer número multiplicado por si mesmo é um quadrado. A multiplicação é 
simbolizada por uma cruz e este símbolo gráfico é em si mesmo uma definição justa da 
multiplicação. Se cruzamos uma vertical com uma horizontal, dando a essas linhas-
movimentos unidades de longitude iguais, digamos por exemplo 4, verificamos que esta 
cruz gera uma superfície quadrada: uma entidade tangível e mensurável assume 
existência como resultado desta cruz. A cruz pode se transferir simbolicamente para a cruz 
entre contrários de qualquer tipo, tais como a cruz entre um macho e uma fêmea que dá 
origem a um novo indivíduo, ou a cruz entre a obscuridade e a luz, que dá origem às 
formas visíveis e tangíveis, ou ainda a cruz entre a matéria e o espírito, que origina a 
própria vida. Portanto, a cruz é uma ação-princípio que o quadrado representa 
perfeitamente. 
A palavra natureza significa "o nascido", e todo o nascimento para a natureza requer 
aquele cruzamento de contrários. Portanto, o quadrado vem a representar a terra e, como 
tal, simboliza a experiência consciente da existência finita, daquilo que nasceu para a 
natureza. Isto nos conduz ao problema de saber se os lados do quadrado são curvos ou 
retos: se a realidade do universo em sua totalidade é uma curvatura infinita, um 
movimento infinito, há mesmo assim uma consciência que é capaz de apressar 
temporariamente, tanto conceitual como perceptivamente, segmentos do contínuo 
universal. Esta consciência objetiva pode ser vista como uma velocidade reduzida da 
consciência universal, e tem por instrumento o córtex cerebral do homem. Os hindus 
denominavam tapas a este poder de isolamento e de detenção do devenir universal em 
perpétuo movimento. O filósofo grego Heráclito comparou-o a uma paralisia da visão 
tal como se experimenta quando alguémé picado por um escorpião. Chamava a 
objetivação de "ferrão do escorpião". 
 
 
Os filósofos budistas e hindus se preocupavam de que a consciência humana se 
deixasse fascinar ou absorver por esta percepção segmentada da realidade. Para utilizar 
uma analogia budista familiar, o tempo é como um colar de contas quadradas de objetos, 
momentos ou acontecimentos tangíveis, e deixar-se absorver por esta sucessão de 
estruturas limitadas é maya ou ilusão, enquanto apenas o fio interior do colar, o contínuo 
inimaginável, é realidade. 
Pitágoras, por sua vez, ensinava que a experiência da vida num corpo finito e 
limitado tinha o propósito específico de descobrir e manifestar a existência sobrenatural 
do finito. A pessoa então deve se concentrar também no próprio finito, para descobrir 
como este finito poderia conter intrinsecamente o poder de expressar o infinito. Isto não 
significa concentrar-se sobre os efeitos finitos e materiais, mas sim sobre os princípios 
abstratos revelados no mundo finito, e nas causas que criam e sustentam esta 
encarnação. Daí que as matemáticas pitagóricas se limitassem aos números inteiros, isto 
é, estados definíveis e deteníveis, e que procurassem expressões universais no interior 
do marco mensurável e geométrico do quadrado, símbolo profundo da perfeição finita. 
O "Caderno de práticas" que se segue é a primeira das nove seções assim 
denominadas neste volume, pensadas para permitir ao leitor percorrer passo a passo as 
principais figuras e conceitos da geometria sagrada. Sugerimos que o leitor tome um 
compasso e de uma régua e trabalhe por si mesmo, seguindo as instruções que 
aparecem junto às figuras dos "cadernos de prática". E aconselhável também utilizar 
papel quadriculado para os desenhos; desta forma, a comprovação de certas relações 
poderá ser feita simplesmente contando os quadrados. 
Cadernos de prática 1 
O quadrado cortado pela sua diagonal; 2 
 
6 
 
Figura 1.2. Tomando como centro o ponto B e como raio 
o segmento BA, traçar um arco que corte em G a 
continuação do segmento BE. Tomando por centros os 
pontos A e G e como raios o segmento AB, traçar dois 
arcos que se cruzam em F. Traçar o quadrado ABGF. 
 
25 
Figura 1.4 Repita-se o processo da figura 1.3. A partir do 
centro J, traçar um arco igual ao lado do quadrado dois. 
Prolongar os lados AJ e HJ até sua interseção como o arco 
de círculo em K e M. Traçar o quadrado três, MKHA. De 
maneira análoga, construir os quadrados quatro, cinco, etc. 
A relação entre o lado e a diagonal de cada 
quadrado, e a de cada quadrado com o seguinte 
quadrado maior, é idêntica à relação entre o quadrado 
um e o quadrado dois. Isto pode se formular assim: 
 
 
Este tipo de progressão se chama "progressão 
geométrica", na qual o numerador, multiplicado pelo 
denominador da segunda relação, é igual à multiplicação 
do numerador da segunda relação pelo denominador da 
primeira relação. Esta lei de multiplicação cruzada entre 
séries de numeradores e denominadores continua sendo 
exata quaisquer que sejam os quocientes da progressão, 
sejam sucessivos ou não. 
Figura 1.3. Dentro do quadrado ABGF, traçar a 
diagonal AG. Utilizando o mesmo método da figura 
1.1., traçar uma linha perpendicular a AG em G. Com B 
como centro e BA como raio, traçar um arco de círculo 
para determinar os pontos H e J. Utilizando o mesmo 
método da figura 1.2, completar o quadrado AGHJ. 
O lado do quadrado AGHJ (quadrado número dois) 
é exatamente igual à diagonal do quadrado ABGF (o 
primeiro quadrado). 
A superfície do quadrado dois é exatamente o dobro da 
do primeiro quadrado. (Isto é intuitivamente evidente, já 
que o quadrado maior contém quatro triângulos idênticos, 
enquanto o primeiro quadrado contém apenas dois). 
O lado do quadrado se chama a sua raiz ( ). O 
lado do primeiro quadrado (quadrado um) é 1 , e o do 
quadrado dois é 2 . 
A diagonal do quadrado dois é igual a 2, 
exatamente duas vezes o lado do primeiro quadrado. 
Esta relação pode ser escrita como segue: 
 
Estas relações parecem ser um paradoxo da lógica, 
mas se o leitor estudar a figura, verificará que são 
geometricamente corretas. Inclusive, ainda que aumente 
o tamanho dos quadrados, a relação entre a sua raiz e sua 
diagonal continuam sendo identidades proporcionais. 
26 
 
Figura 1.5. Esta representa uma variante da progressão 
geométrica anterior, mas desenvolvida da maior para a 
menor. Partindo do quadrado ABCD, traçar as diagonais 
DB e AC. Com B e C como centros e com o raio EB 
igual à metade da diagonal, traçar dois arcos que se 
cruzam em F. Traçar a linha EF, que corta os lados do 
quadrado I em G. Com B e F como centro e o raio GF, 
traçar dois arcos que se cruzam em H. Traçar o quadrado 
BHFG (quadrado dois). Repetir o processo, construindo 
quadrados que diminuam progressivamente em 
proporção geométrica, 2. 4, 8, 16, 32, etc. 
Em ambos os exemplos, o quadrado e sua 
diagonal expressam a criação do dois a partir da 
unidade (quadrado inicial) e a conseqüente 
proliferação do número em seqüência geométrica. 
O quadrado dividido por sua diagonal constitui um 
modelo arquetípico das proporções geométricas e das 
progressões deste tipo, isto é 1 : 2 :: 2 : 2. em que 
cada termo ( ou razão) é multiplicado por um valor 
constante com o fim de obter-se o termo seguinte da 
proporção. Um aumento ou relação fixa e proporcional 
pode ser o modelo gerador de outras progressões 
geométricas, expandindo-se até ao infinito, por exemplo: 
l : 3 : : 3 : 3 . o u 1 : 3 : : 3 : 9 : : 9 : 2 7 . . . (veja-se a 
página 35). Esta demonstração geométrica da relação 
entre a proporção e a progressão lembra-nos o axioma 
alquímico, segundo o qual tudo o que pertence à criação 
é formado a partir de um componente fixo e imutável 
(proporção), assim como de um componente volátil -
mutável (progressão). 
A relação entre o fixo e o volátil (entre proporção e 
progressão) é uma chave de solução para a geometria 
sagrada: tudo o que é manifesto, seja no mundo físico, 
seja no mundo das imagens e dos conceitos mentais, 
pertence ao incessante fluxo das progressões em 
constante mudança; é apenas o reino não manifesto dos 
princípios o que é imutável. Nossa ciência incorre em 
erro ao tentar atribuir leis e definições fixas e imutáveis 
para o mundo mutável das aparências. A história da 
ciência nos mostra, descartando ou revisando 
constantemente, um modelo do mundo após outro. 
Devido à característica perturbadora de instabilidade do 
saber científico, não apenas nossos físicos, como 
também nossos filósofos, artistas e a sociedade em geral, 
tornaram-se relativistas. Mas os princípios geradores são 
imutáveis e permanecem, e nossa contemporânea recusa 
daqueles princípios surge simplesmente porque temos 
procurado o permanente no mundo empírico, em lugar 
de procurar na sua verdadeira morada, que é o 
metafísico. 
 
27 
Comentário ao 
"Caderno 
de Práticas 1" 
Na figura 1.3. presenciamos a divisão da unidade mediante o traçado da diagonal do 
quadrado. O lado do quadrado original, chamado sua "'raiz", recebe o valor de 1, pois é 
a unidade primeira ou original. A superfície deste quadrado também é 1, pois 1 x 1 = 1. O 
simples fato de traçar a diagonal põe em jogo o 2, não porque o quadrado tenha sido 
dividido em dois. mas porque aparece o quadrado 2, pois a diagonal do quadrado 1 é a 
raiz do quadrado 2. e o quadrado 2 é exatamente o dobro em superfície do quadrado 1. 
O leitor se perguntará, justificadamente, por que, uma vez obtido o símbolo do 
quadrado, devemos ainda considerar o quadrado construído sobre a sua diagonal e, 
neste caso. para que considerar a diagonal? Aqui, devemos definir a relação de causa e 
efeito, tal como se verifica na geometria contemplativa. Uma vez traçado o quadrado 
com seus quatro ângulos, tem-se implicitamente todo o necessário para traçar as linhas 
diagonais do quadrado. Além disto,esta linha diagonal (como qualquer linha reta) é 
implicitamente o lado ou a raiz de um quadrado. Em outras palavras, somos obrigados a 
refletir sobre ou a tornar explícito tudo o que está implícito em qualquer figura 
geométrica. Uma forma é um sistema geométrico e, como todo o sistema, biológico, 
químico ou outros, deve ser considerado como um contínuo em expansão, cujos 
componentes mantêm relações de causa e efeito. Apenas no mundo mental, arbitrário, se 
pode separar a causa do efeito, mas no mundo natural, são inseparáveis: uma causa não 
é tal, a não ser que tenha um efeito. Seguindo esta lógica, veremos também que a 
superfície do quadrado existe apenas dentro de uma relação contínua com um volume 
cúbico, do qual forma uma das seis faces. Na geometria contemplativa, a tentativa é 
sempre seguir o movimento completo desde o mundo puramente abstrato, 
bidemensional, isto é, plano, da linha, até explicitar no mundo real o volume 
tridimensional. 
Voltando ao nosso quadrado, revelam-se dois paradoxos no ato de sua divisão pela 
diagonal. O primeiro reside na estranha coincidência das duas funções, raiz e diagonal, no 
momento geométrico da raiz quadrada de 2. A mesma unidade linear é ao mesmo tempo a 
raiz e a diagonal, o paradoxo da igualdade e da diferença. Esta simultaneidade de função 
produz três relações, ao que parece contraditórias, mas geometricamente exatas: 
 
28 
O segundo paradoxo reside no fato de a metade (o quadrado repartido pela diagonal) 
produzir o dobro, como na geração do tom musical e no mistério do crescimento 
biológico por divisão celular. 
A raiz quadrada de 2 é uma função irracional e um relação universalmente aplicável. 
Como o mundo natural está submetido a mudanças, esta raiz, ao ser invariável, é por 
definição sobrenatural ou supra-racional, ou seja, é um símbolo do reino arquetípico. Os 
pitagóricos, ao que parece, se referiram aos números incomensuráveis como 
''indizíveis". Podemos estar certos de que não foi por segredo nem por pueril 
religiosidade que chegaram a defini-los assim. Ao contrário, foi a perspicaz discreção de 
um intelecto consciente e desejoso de preservar a relação entre o número e as realidades 
cósmicas. 
A figura 1.4 mostra como a criação do 2 conduz a uma proliferação infinita, 
mediante a progressão geométrica a:b::b:c etc, ou expressa numericamente, 1 :2::2:4::4: 
8:: 16:: 32 : 64 etc. Não interessa quantas vezes voltem as relações numéricas, a 
proporção a : b : . b : c permanece invariável. Esta progressão pode se estender tanto 
para a diminuição, quanto para o aumento numérico obtido mediante a bissecção do 
quadrado, conjuntamente com a expansão numérica obtida mediante as propriedades da 
diagonal do quadrado. A raiz quadrada de 2 representa assim o poder de multiplicidade 
que pode se estender tanto para uma extensão sem limites, como para uma finitude 
extremamente pequena. Esta figura representa perfeitamente o modelo de crescimento 
por cisão celular dos organismos vivos. Não apenas o número, como também a forma, 
proliferam a partir da divisão da unidade. 
 
Nesta análise geométrica do Partenón, feita 
por Tons Brunés, na sua obra "Os segredos 
da antiga geometria", podemos ver que a 
arquitetura deste edifício é regida pela 
relação entre o lado e a diagonal de uma 
série de quadrados. Cada um dos quadrados 
está em relação com o quadrado maior que 
o contém, na proporção de 1 para 1,25; 
portanto, todo o sistema proporcional está 
baseado na relação funcional 2 a 1e a 
1,25 (ó 5/4). 
Quando falamos de raízes de quadrados ou de raízes de cubos, estamos utilizando uma 
designação muito antiga que associa esta função matemática com a raiz vegetal. Tanto a raiz de 
uma planta, como a raiz matemática são causais: a primeira no interior da terra e a segunda no 
interior do quadrado. O crescimento visível da planta, sua proliferação para a especificidade, 
depende da raiz para sua estabilidade e nutrição. A raiz da planta alimenta porque é capaz de 
romper (dividir) os densos componentes minerais fixos do solo em compostos que a planta pode 
transformar em seu próprio alimento. No sentido vital, a raiz geométrica é uma expressão 
arquetípica da função assimiliativa, geradora e transformadora que é a raiz. Como a raiz vegetal, 
a raiz de 2 contém o poder da natureza que destrói para avançar (divide o quadrado inicial) e 
também contém o poder que instantaneamente transforma o 1 em 2. A planta cresce 
progressivamente, partindo de uma ruptura prévia, mas não há nenhuma teoria racional que possa 
explicar 
 
 
A relação 1 : 2 é fundamental 
neste desenho de mosaico 
islâmico, assim como na forma e 
proporções da abelha. 
 
 
29 
 
 
A semelhança morfológica entre o relâmpago e a raiz de 
uma planta também é funcionalmente exata. Atualmente, a 
ciência especula sobre o fato de que nos inícios da evolução 
da Terra, tremendas tempestades de raios na atmosfera 
pudessem ter proporcionado a energia da luz ultravioleta, 
que transformou o metano, o hidrogênio, o nitrogênio e os 
gases carbônicos nas protomoléculas dos compostos 
orgânicos. Estas moléculas foram depositadas pelas chuvas 
torrenciais nos oceanos primordiais dos quais surgiu a vida. 
Uma vez mais. as funções de "raiz" são o princípio 
transformador que sustenta a propensão inspiradora que 
denominamos "vida". 
A raiz cresce mediante a constante 
divisão de sua forma quadrada. As 
células da raiz são uma poderosa 
metáfora do princípio de integração 
e de transformação. A contemplação 
geométrica se baseia na idéia de 
que as formas naturais devem ser 
entendidas como símbolos 
reveladores dos princípios 
arquetípicos metafísicos que guiam 
e controlam a evolução universal. A 
raiz contém um incrível poder de 
crescimento; sabe-se que as raízes 
podem penetrar a mais de trinta 
metros sob a areia do deserto para 
alcançar a água. Uma simples 
moita, pode ter mais de um bilhão 
de raízes que, unidas em extensão 
poderiam atingir 560 quilômetros. 
As raízes competem 
agressivamente na sua busca pela 
água, pelo ar e pelos minerais. 
Devem segregar constantemente 
ácidos para dissolver os minerais 
que proporcionam alimento e 
proteção à planta. A raiz é um 
símbolo da lei do sacrifício na 
natureza, pois como no caso da 
mãe, não se esforça em benefício 
próprio, mas para sustentar a planta 
em seu movimento em direção à 
luz. 
30 
como uma flor ou um rebento possa surgir de um débil e fino talo, como o desenvolvimento de 
um quadrado a partir de outro. E um poder transformador existente a priori na raiz original. 
O princípio da raiz se exprime em nossos corpos na função intestinal, que é uma 
transformação da substância alimentar em energia. Expressa-se também nas circunvoluções do 
cérebro, que se assemelha ao intestino pelo fato de que transforma a matéria prima mental, 
amorfa, em razão e entendimento. O poder fálico ou procriador está implícito na raiz, e a função 
sexual, da mesma forma que a função digestiva, atua para nos manter vivos no mundo físico. 
Podemos observar na antiga prática agrária de erguer monolitos de pedra, raízes fálicas e 
minerais da terra, a função de atrair para baixo a atmosfera cósmica fértil. Por outro lado, o raio é 
a raiz do céu, pois transforma o carbono e o nitrogênio em compostos assimiláveis pelas plantas. 
Se dividimos a altura total do corpo humano nas proporções harmônicas da raiz quadrada de 
2, considerando como unidade a altura total, localizamos os centros vitais que correspondem 
àquilo que os japoneses chamam hara (ventre), um sutil centro físico, justamente abaixo do 
umbigo. A figura medirá 2 — V 2 a partir da planta dos pés até ao umbigo, e V 2 — 1 do umbigo 
até ao alto da cabeça. Na prática zen, este centro está associado a uma técnica de meditação para 
o enraizamento, que implica numa intensificação dos poderes do autocontrole físico e auto 
transmutação. Os ensinamentos tântricosna Índia, por sua vez, procuram elevar esta serpente ou 
raiz para que proporcione sua energia aos centros glandulares superiores transformadores. A 
tradição chinesa se expressa através de Lao-Tsé, que afirmou: (parafraseando-o): 
"Não temas o envelhecimento do corpo, já que é assim como o corpo procura a raiz. Procurar as 
raízes é voltar à fonte, e voltar à fonte é procurar o próprio destino. Procurar o próprio destino é 
nobreza e a nobreza está plena de valor, e valorosos são os que procuram realizar a meta espiritual 
além de todas as formas. Assim, procurar a raiz é perseguir essa meta." 
A raiz quadrada de dois é a função geométrica que representa a metáfora universal da raiz, e 
a raiz representa o princípio de transformação. Este momento de transformação está em todas as 
partes diante de nós, nas raízes das plantas que transformam o mineral em vegetal, nas folhas que 
transformam a luz do sol no suporte do tecido vivo, na rocha e na pedra desgastadas e 
transformadas em gases moleculares e líquidos, o líquido se transformando em gás, o gás em 
matéria sólida, a luz em calor, o calor em movimento mecânico; na germinação de uma semente. 
Os moluscos transformam o fósforo e o sódio em suas conchas calcáreas; a assimilação do 
alimento sustenta a criação da experiência mental e espiritual. Tudo está em estado de digestão, 
assimilação, transmutação. Esta transformação prossegue tanto em cada momento que passa, 
* Sobre o desenvolvimento da teoria da transmutação de energia inferior em elementos dos sistemas vivos, veja-se: Biological 
Transmutations, de Louis Kervan, Swan Books, 1976. 
 
Na passagem de uma célula para duas, há um ciclo de mudança em oito fases com 
sete intervalos, análogos à oitava musical, ou ao espectro da luz. O sete simboliza 
estes ciclos; o mês lunar, exemplo perfeito de fases graduais no interior de um 
processo contínuo, é dominado pelo sete e seus múltiplos. O sete se relaciona 
mais com o processo do que com a forma, razão porque não existe uma forma 
simples e natural de desenhar um heptágono a partir de um círculo. 
O esquema funcional do sistema nervoso humano também é baseado no sete. 
A partir da parte inferior do diagrama, temos: 1 - reflexo intrasegmentário: 
resposta limitada ao segmento estimulado. 2 - reflexo intersegmentário: impulso 
transmitido por neurônios associativos aos segmentos vizinhos, causando uma 
resposta muscular coordenada. 3 -controle equilibrador: reações automáticas 
equilibrantes. 4 - controle sinergético: controle automático coordenador de ações 
musculares. 5 -reflexos auditivo (a) e visual (b): respostas automáticas ao ruído 
repentino ou aos raios de luz. 6 - Controle automático associado a ações 
musculares complexas. 7 - controle voluntário e inibidor: escolha de respostas 
baseadas na memória de experiências passadas. 
como ao longo dos ciclos evolutivos. A transformação é a condição ubíqua dos mundos e de sua 
evolução de mineral a planta e de planta a animal, reino que surge de outro reino, volume que se 
forma com o prolongamento dos vetores convergentes de um volume precedente (veja-se página 
72). Há periodicidade, ritmo, oscilação, configuração, freqüência, tudo isto é mensurável em 
unidades de tempo e de espaço. Esta é a gênese dos aparecimentos sequenciais, mas o próprio 
momento da transformação de um estado para outro, de uma qualidade de ser em outra, de uma 
forma ou nível de consciência em outro, sempre é um salto, uma aceleração incompreensível, 
como se estivesse fora do tempo, como quando uma célula se divide em duas. Se considerarmos 
a vida ou a evolução como apenas a inteligência seqüencial, com apenas a faculdade racional de 
medir, a realidade da gênese sempre nos escapará. Este momento transformador é o único que 
existe realmente; os mundos dos fenômenos são um reflexo transitório. São o passado e o futuro 
desta eternidade sempre presente, a única eternidade possível sem duração que é o momento 
presente. 
Resumindo o que observamos no "Caderno de práticas 1", consideremos filosoficamente que 
o quadrado 1 representa o princípio da unidade, ou esta qualidade da unidade absoluta que é 
representada na finitude do quadrado como uma unidade, um indivíduo, um todo ou um sistema. 
O quadrado 2 pode se estender para representar a dualidade e a faculdade de proliferação que é a 
multiplicidade. Quando o um se transforma em 2, temos automaticamente o potencial de uma 
multiplicidade infinita mediante a progressão, conforme já verificamos. Assim, a polaridade 
extrema do universo, a unidade e a multiplicidade, é perfeitamente representada e pode observar-
se na simples figura do quadrado e na sua diagonal. 
Ampliemos agora este enfoque dos simples e incomensuráveis poderes da raiz como 
metáforas geométricas do momento supra-racional da transformação, incluindo não apenas a raiz 
quadrada de dois, mas também a raiz quadrada de 3 e de 5, tal como se vem fazendo em todas as 
tradições conhecidas da geometria sagrada. 
Pode se considerar que a transformação se leva a efeito mediante três processos gerais: o 
gerador, simbolizado pela raiz quadrada de 2; o formativo, simbolizado pela raiz quadrada de 3; 
e o regenerativo, simbolizado pela raiz quadrada de 5 e sua função corresponde ao phi, , o 
número áureo (que veremos no capítulo V). 
A raiz quadrada de 3 aparece em duas configurações geométricas importantes, e cada uma 
delas demonstra de maneira diferente seu caráter formativo. A primeira, conhecida como a 
Vesica Piscis (literalmente, uma bexiga que ao encher-se de ar adquire a forma de peixe) era o 
diagrama central da geometria sagrada no misticismo cristão da Idade Média. Constrói-se 
desenhando dois círculos que têm o centro respectivamente num ponto da circunferência do 
outro. A segunda configuração que aparece 3 é a do cubo cortado pela sua diagonal. 
31 
 
 
 
 
Uma das formas de considerar a "Vesica Piscis" é uma representação 
do reino intermédio que faz parte tanto do princípio imutável, como 
do mutável, do eterno e do efêmero. A consciência humana funciona 
como mediadora, equilibrando os dois pólos complementares da 
consciência. 
Caderno de práticas 2 
A 3 e a "Vesica Piscis" 
 
Um cubo cujas arestas são iguais a 1; um plano retangular passa 
diagonalmente através do cubo. Os lados ED e FB = 1 e EF e DF 
= 2 . Portanto, a diagonal do plano e do cubo EA é igual a 3 . 
visualmente com a figura representada sobre estas linhas). 
Traçar a diagonal CA. Traçar uma perpendicular a CA a partir 
do ponto C (seguindo o método da figura 1.1). Tomando C 
como centro e como raio o segmento CD equivalente a 1, traçar 
um arco que corte esta linha perpendicular a CA no ponto E. 
(Note-se que esta operação também é ilustrada pelo arco 
descontínuo sobre a face EGCD do cubo representado acima). 
Da mesma forma que a divisão da unidade simbolizada 
pelo quadrado bidimensional projeta a função 2 , a divisão da 
unidade simbolizada pelo cubo (que representa o volume 
tridimensional) projeta a função 3 . 
Figura 2.2. A construção da "Vesica Piscis''. Traçar um círculo 
de qualquer raio de centro A. Escolhendo qualquer ponto B da 
circunferência deste círculo, traçar outro círculo de raio igual. 
Ao ser projetado o círculo inicial (unidade) num perfeito 
reflexo de si mesmo, se forma uma zona de sobreposição das 
duas circunferências, definida pelos dois centros (pontos A e 
B). Esta zona e esta forma se conhecem como a "Vesica 
Piscis". 
 
 
 
Figura 2.1. Traçar o quadrado ABCD (mostra-se aqui com 
uma inclinação de 30° para compará-lo 
Figura 2.3. Prova geométrica da proporção V 3 no 
interior da "Vesica Piscis". 
Traçar o grande eixo CD e o pequeno eixo AB. Traçar CA, AD, 
DB e BC. Traçando arcos com o raio determinado a partir dos 
centros A ou B, desenhamos a "Vesica" prolongando-os até aos 
pontos C e D, comprovando assim que as linhas AB, BC, CA, BD 
e AD são iguais entre si e iguais ao raio comumaos dois círculos. 
Temos então dois triângulos eqüiláteros iguais no interior da 
"Vesica Piscis". Prolongar as linhas CA e CB até sua interseção 
com os círculos A e B nos pontos G e F. As linhas CG e CF são 
diâmetros dos dois círculos e representam portanto duas vezes a 
longitude de qualquer dos lados dos triângulos ABC e ADB. 
Traçar FG passando pelo ponto D. 
Através do mesmo método, podemos provar que FD e GD 
também são iguais aos lados dos triângulos ABC e ABD. 
S e A B = 1 , DG= 1, CG = 2, e, segundo o 
Teorema de Pitágoras, (a2+ b 2 = c2), o eixo maior CD = 
(CG2— DG2) = 3 . 
Figura 2.4. Construção geométrica do retângul o 3 . A partir 
do ponto O, ou centro da "Vesica Piscis", traçar um terceiro 
círculo com o raio 1 e um eixo horizontal que bissecciona os 
três círculos e corta o terceiro círculo em E e F. A partir dos 
pontos E e F como centros, traçar arcos de círculo sem 
modificar a posição do compasso, 
cortando o novo círculo nos pontos H, I , J e K. Traçar o retângulo 
de raiz 3 HIJK em que se inscreve a "Vesica". 
 
 
 
Figura 2.5. Construção do hexágono a partir da "Vesica Piscis". Com 
a "Vesica" configurada por ABCD, traçar um arco a partir do centro 
C com o raio original 1 = CB, que corta o segundo círculo em E. 
Repetir com D como centro, cortando o círculo em G. Repetir a 
mesma operação a partir do centro E ou G, cortando o círculo em F. 
Traçar o hexágono BCEFGD. 
 
Há poucas figuras que encerrem tanto significado como a "Vesica Piscis". Keith Critchlow 
explorou esta forma em profundidade e com grande sensibilidade em seu livro Time Stands Still, e 
mediante o estudo da geometria da catedral de Chartres em seu lindo filme "Reflections"; assim, 
aqui exploraremos apenas algumas de suas interpretações simbólicas. 
Os círculos sobrepostos — excelente representação de uma célula ou de qualquer unidade no 
processo de se tornar dual — formam uma zona central em forma de peixe que é uma das fontes 
de referência a Cristo, mediante o símbolo do peixe. Enquanto função universal, Cristo é 
simbolicamente esta região que une o céu e a terra, o superior e o inferior, o criador e a criação. 
Este peixe é também a designação simbólica da Era de Peixes e, por conseguinte, a "Vesica" é a 
figura geométrica dominante neste período de evolução 
Comentário 
ao "Caderno 
de Práticas 2 " 
33 
 
 
 
 
As variações sobre o símbolo do signo zodiacal de Peixes são relacionados com a "Vesica". 
Sucessão dos polígonos que surgem da excisão da unidade. Ao se dividir a unidade 
representada pelo círculo, seu centro se transforma em dualidade dos pontos A e B. 
A linha AB se estende naturalmente para formar o triângulo eqüilátero (assim, todas 
as coisas, sendo duais por natureza, são 3 por princípio). Ao estender-se para 
formar o triângulo eqüilátero define os lados do quadrado (4), do pentágono (5), do 
hexágono (6), do octógono (8), do decágono (10) e do dodecágono (12). 
Para construir esta figura, traçar os círculos originais que formam a "Vesica 
Piscis" e, em seguida, desenhar os círculos adicionais tal como apresenta o 
desenho. Os diferentes pontos de interseção projetados definirão os vértices dos 
diferentes polígonos (linhas a cor). As linhas tracejadas a preto indicam outros 
pontos de concordância e permitem definir mais vértices. As linhas a cor indicam a 
posição do pentágono, pois este não surge de uma conexão óbvia entre os pontos 
(Veja-se o "Caderno de Práticas, figura 3.2). 
Esta representação do crescimento sugere inclusive uma árvore. A "Vesica 
Piscis" pode representar a semente. Mediante sua germinação, surgem as linhas - a 
cor - (a raiz) e os polígonos (o gérmen que dá origem aos ramos). A 3 contida na 
"Vesica Piscis" é o poder formativo que dá origem ao "mundo" poligonal. 
Cristo no interior da "Vesica Piscis". 
 
 
cósmica e humana, e é a principal fonte temática em que se inspiram no Ocidente os 
templos cósmicos dessa era: as catedrais góticas. 
Como centro da "Vesica", Cristo transmite a idéia do princípio "cristão" universal, 
não substancial, entrando no mundo manifesto da dualidade c da forma. A Era de Peixes 
se caracterizou por ser a da encarnação formal do espírito na forma, aprofundando assim 
a materialização do espírito: o mundo se faz carne. Assim, a raiz quadrada de 3 está 
relacionada com o processo formativo e este vínculo se clarifica mais ao observar a 
relação da "Vesica" e da raiz quadrada de 3 com o hexágono. que é a simetria da ordem 
para a medida da terra, a medida do tempo (através dos 360° do "Grande Círculo" dos 
céus) e também a formação básica dos cristais minerais, em particular a cadeia de 
elementos do carbono, que permite a formação de todas as substâncias orgânicas. Se 
consideramos este princípio de formação de um ponto de vista estritamente geométrico, 
veremos que enquanto 2 divide a superfície do quadrado, a 3 divide o volume - 
forma do cubo e devemos recordar que tudo quanto existe no universo criado é um 
volume. A formação de todo o volume requer estruturalmente a triangulação, já que a 
trindade é a base criativa de toda forma. O cubo c o símbolo mais elementar do mundo 
manifesto e formal (o do volume). 
A "Vesica Piscis" é também geradora da forma, já que pode dizer-se que todos os 
polígonos regulares obtêm-se a partir de uma sucessão de construções sobre a "Vesica". 
As raízes de 2 e de 5 também se podem derivar deste cosmograma da "Vesica" já que 
não há simbolização sintética da unidade que não evoque todos os princípios básicos (veja-
se página 37). Como diz o Alcorão: "Não há deus que não seja todos os deuses". Mas a 
"Vesica" enfatiza a 3 com a rica textura da contemplação que evoca este símbolo. 
 
 
A relação entre o eixo menor e o eixo maior da 
"Vesica Piscis" em crescimento progressivo 
demonstra visualmente uma progressão 
geométrica: 
Planta da capela de St. Mary de Glastonbury, baseada no sistema de 3 . 
Desenho de Keith Crichlow. em Glatonbury, a Study in Patterns 
(Investigação da organização do Saber Perdido, Londres) 
Caderno de Práticas 3 
A 5 
Figura 3.1. Formação do retângulo V 5 a partir do 
retângulo 1 : 2. Partindo do duplo quadrado ABCD, 
dividido por EF: a partir do centro G e com o raio 
GA, traçar um arco semicircular que corte o 
prolongamento da linha EF em H e K. H K = 5 . 
MLKH é um retângulo 5 . 
 
Figura 3.2. A 5 e o pentágono. Traçar um círculo, 
com seu semicírculo inscrito num retângulo 
correspondente a um duplo quadrado, conforme 
mostra a figura. Prolongar a linha divisória do duplo 
quadrado para completar os dois eixos cardinais XX 'e 
YY' do círculo. A partir do centro A e com o raio 
AY(= 5
2
), traçar um arco até B. A partir do centro Y e 
com raio YB, traçar um arco que corte o círculo em C 
e D. A partir dos centros C e D e sem modificar o 
compasso traçar outros dois arcos cortando o círculo 
nos pontos E e F. Traçar o pentágono YDFEC. 
Estas demonstrações geométricas revelam a 
relação da 5 tanto com o número 5 (enquanto 
quadrado de 5 ), como com a simetria quíntupla do 
pentágono. 
O aspecto das três raízes sagradas pode se resumir neste 
simples diagrama. Estas três relações-raízes são tudo o 
que é necessário para a formação dos cinco sólidos 
regulares ("platônicos") que são a base de todas as formas 
volumétricas. Também o 2, o 3 e o 5 são os únicos 
números necessários para a divisão da oitava em escalas 
musicais. Podemos aceitar, portanto, estas raízes como 
uma trindade de princípios geradores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao que parece, as propriedades divisórias e transformadoras da raiz devem ser 
consideradas por sua vez propriedade de união e de sintetização, já que tais princípios 
devem demonstrar as mais das vezes os dois pólos de uma oposição. A raiz quadrada 
de 5 atravessa dois mundos, indicados pelo quadrado superior e pelo inferior; o mundo 
do espírito eo mundo do corpo. E todas as formas de relacioná-los ou os princípios 
mediadores entre estes extremos cósmicos serão considerados como "princípio 
crístico". A V 5 é a proporção que dá passagem à família de relações denominada a 
"proporção áurea". Esta gera uma série de símbolos que eram utilizados pelos filósofos 
platônicos como fundamento do ideal divino, ou amor universal. É através da "secção 
áurea" que podemos contemplar o fato de que o Criador plantou uma semente 
regeneradora que elevará os reinos mortais da dualidade e da confusão para a imagem 
original de Deus. 
Examinaremos brevemente a "secção áurea" e suas ramificações. Mas observemos 
primeiro o princípio que rege as progressões resultantes das sagradas raízes de 2, 3 e 5. 
 
 
Os dois elementos principais da geometria sagrada, o círculo e o quadrado, no ato de se 
dividirem, dão origem às três raízes sagradas. As raízes se consideram poderes geradores, ou 
princípios dinâmicos, mediante os quais as formas aparecem e se transformam em outras 
formas. 
37 
O quadrado duplo dividido por uma simples diagonal forma dois 
triângulos retângulos, cada um deles de base 1 e altura 2. Para 
encontrar o valor geométrico da diagonal, aplicamos a fórmula 
Pitagórica a2 + b2 = c2. Neste caso, a = 1, b = 2, logo, 12 + 22 = c2 
ou 1 + 4 = 5, de tal forma que a diagonal = 5 e a semi-diagonal 
de um quadrado simples = 5
2
 
Comentário 
ao Caderno 
de Práticas 3 
Derivação do triângulo sagrado 
3,4,5 mediante o cruzamento de três 
semi-diagonais 5
2
que mostra 
também sua prova geométrica. Este 
diagrama demonstra a relação na 
geometria sagrada entre o processo 
e a estrutura. As raízes irracionais, 
tais como 5 , são símbolos de 
processos arquetípicos puros 
(geração, fusão, transformação etc), 
enquanto as relações fixas entre 
números inteiros são as estruturas 
que surgem para simbolizar estes 
princípios do processo. Nesta 
figura, o cruzamento de duas linhas 
irracionais ( 5
2
) produz o triângulo 
"pitagórico" 3,4,5, a figura sobre a 
qual repousa a racionalidade de 
nosso pensamento matemático. 
IV. A alternância 
Já tivemos oportunidade de enfatizar a qualidade fixa e invariável das relações 
incomensuráveis entre a raiz e a unidade, tal como aparecem nas figuras geométricas. Trata-se de 
algo similar ao papel estabilizador que desempenha a função raiz no crescimento de uma planta. 
Mas a raiz é também a que gera a mudança no contínuo das fases irreversíveis e em perpétuo 
movimento que fazem parte da vida orgânica. 
Dado que os antigos pensavam como geômetras, para eles não havia separação entre a 
geometria e a ciência natural, a cosmologia ou a teologia. A conformidade das matemáticas com 
as leis naturais da geometria conduzia diretamente a uma das principais premissas filosóficas do 
pensamento antigo, a da alternância. Neste capítulo, examinaremos como os antigos métodos de 
cálculo revelam e se fundamentam nesta lei universal. 
As antigas matemáticas não tinham sistema decimal mediante o qual se pudesse indicar a 
equivalência numérica da incomensurável raiz quadrada de 2 (1,4142135...). Isto representava 
uma grande limitação num sistema de notação; a idéia de um número irracional como este era 
para um antigo geômetra uma lógica absurda. Para ele, a essência do número era um estado: 
tangível, fixo, mensurável. Ratio, a raiz latina de "razão", também significa "medida"; um 
número irracional era uma contradição inaceitável. 
Os dois tipos de números, racional e irracional, representavam dois estados do ser 
completamente diferentes. Os números inteiros correspondiam à manifestação e eram os termos 
que se deviam utilizar no cálculo. Cada aspecto do mundo dos fenômenos se via como um 
momento fixo, instantâneo, causado pela interação de componentes complementares, um 
momento captado entre a luz e a obscuridade, entre a vida e a morte, entre o dia e a noite, entre a 
formação, a desintegração e a reforma. Uma formação obtida se representava na antiga geometria 
mediante o "triângulo de Diofante", que é um triângulo retângulo com os três lados iguais a 
números inteiros, como 3, 4, 5. Este último chama-se tradicionalmente o "triângulo sagrado", 
entendendo-se por "sagrado" o fixo ou permanente, simbolicamente relacionado com os ossos 
sagrados da coluna vertebral, que por estarem ligados entre si, permitem a postura sentada e 
estável. 
Por outro lado, as raízes irracionais simbolizam o processo constante e criativo de ativar e 
reativar a energia. Esta incomensurável força gestante emana da incompreensível unidade. 
Aquilo que é compreensível não é mais do que a limitação momentânea deste uno, este ser 
indefinível e num momento definível: "logo, necessariamente, tudo o que é definível surge de um 
todo indefinível". 
Desenho de uma página do 
Evangelho de Lindisfarne 
(ano 700), cujas proporções se 
baseiam no triângulo 3,4,5. 
 
Mus a veneração que impregnava o pensamento dos antigos matemáticos não excluía a 
utilização destes princípios no cálculo. Em numerosos textos matemáticos pré-euclidianos expõe-
se um método que permite expressar estas propriedades da raiz como uma série de relações entre 
números inteiros. Estas relações aparecem de tal maneira que são alternadamente maiores ou 
menores do que o incomensurável valor da raiz. Além do esquema altemante. estas relações 
sucessivas se aproximam cada vez mais do valor da raiz a cada alternância. Expressas desta 
maneira, as raízes conservam sua qualidade dinâmica ou de "processo", ao mesmo tempo em que 
revelam o princípio da alternância. 
Teon de Ermirna, filósofo e matemático platônico do século II, expos em seu livro 
Matemáticas Úteis para Entender Platão uma demonstração do que denominamos números 
laterais e diagonais. Referiremos aqui a argumentação completa de Teon relativamente a este 
assunto, que pela primeira leitura, pode parecer um verdadeiro quebra-cabeças sem sentido. Mas 
seguindo o procedimento numérico e geométrico, a confusão desaparece, ao mesmo tempo em 
que a técnica do cálculo se tornará clara, assim como suas implicações filosóficas. 
Teon inicia esta demonstração tomando por unidade um quadrado, cujo lado e diagonal 
assume como iguais ao valor 1. Esta descrição indica um significado esotérico, já que um 
quadrado com um lado e uma diagonal iguais a 1 é um absurdo para a nossa mentalidade. 
Contudo, concorda com a fidelidade mística que os antigos professavam no sentido da unidade, 
pois para eles. todos os aspectos ou diferenciações, fossem o princípio do lado do quadrado ou 
sua diagonal, eram como um só e iguais a 1 quando estivessem contidos na unidade original. 
Veremos — quando tratarmos das espirais que outras progressões numéricas também começam 
necessariamente com este duplo 1; sua utilidade se tornará aparente, se por alguns momentos 
seguirmos Teon e a utilizarmos. 
Vejamos então a demonstração de Teon. a que se seguirá o mesmo conceito, expresso 
geometricamente. 
Da mesma forma que os números possuem em potencial relações com triângulos, tetrágonos. 
pentágonos e outras figuras, também descobrimos que as relações entre os números laterais e os 
diagonais se expressam cm números que correspondem às proporções generativas, porque aqueles são 
os números que harmonizam as figuras. Portanto, dado que a unidade é o princípio de todas as figuras, 
segundo a proporção suprema generativa (isto é. a proporção de 1 para 2), assim da mesma forma a 
relação entre a diagonal e o lado se encontra dentro da unidade. Suponhamos, por exemplo, duas 
unidade, uma das quais é o lado e outra a diagonal, já que é necessário que a unidade — o princípio de 
tudo — esteja em princípio tanto na diagonal como no lado. Associemos a diagonal ao lado. e ã 
diagonal dois lados, pois o que o lado pode fazer duas vezes a diagonal pode fazê-lo uma vez. 
Isto significa simplesmente que o dobro do quadrado do lado é igual ao quadrado da 
diagonal.Teon prossegue da seguinte maneira: 
A partir deste momento, a diagonal se toma maior que o lado. já que no primeiro lado e na 
primeira diagonal, o quadrado da unidade-diagonal terá uma unidade menos do que o duplo quadrado da 
unidade-lado, dado que as unidades respondem ã mesma igualdade, mas uma tem uma unidade menos do 
que o dobro da unidade. Associemos agora a diagonal ao quadrado, isto é. a unidade da unidade, e o lado 
terá o valor de duas unidades: mas se associamos dois lados à diagonal, isto é. duas unidades à unidade, a 
diagonal terá o valor de três unidade. O quadrado construído no lado 2 é 4, e o quadrado da diagonal é 9, 
que é uma unidade maior do que o dobro do quadrado de dois. 
Da mesma forma, associemos ao lado 2 a diagonal 3. O lado é agora 5. Se à diagonal 3 
associarmos dois lados, isto c, duas vezes 2. teremos então 7 unidades. O quadrado construído sobre o 
lado 5 é 25 c o construído sobre a diagonal 7 é 49. que é uma unidade menos do que 0 dobro do quadrado 
de 25. Mais uma vez. se ao lado 5 se associa a diagonal 7. obtém-se 12 unidades, e se à diagonal 7 se 
associam duas vezes o lado 5, obtêm-se 17 unidades, cujo quadrado é 289. que é uma unidade maior do 
que o dobro do quadrado de 12 (288), e se prosseguirmos desta maneira, as proporções se alternam; os 
quadrados construídos sobre a diagonal serão por vezes menores e por vezes maiores cm uma unidade do 
que o dobro do quadrado construído sobre o lado. pelo que estas diagonais e estes lados sempre serão 
definíveis. 
39 
Caderno de práticas 4 
A Alternância 
EXPLICAÇÃO DE DEMONSTRAÇÃO DE TÉON 
Iniciemos esta demonstração com uma relação teórica 
entre um quadrado e sua diagonal, a unidade (a unidade 
original) com o lado e a diagonal, definidos ambos como 1. 
Prosseguimos gerando relações teóricas com a diagonal 
segundo o esquema (dado por Téon) de somar a diagonal e o 
lado do quadrado 1 para obter o lado do quadrado 2 e 
acrescentando o dobro do lado do primeiro quadrado à 
diagonal do quadrado 1 para obter a diagonal do quadrado 2. 
O passo inicial e o prosseguimento podem parecer absurdos 
neste ponto, mas admitamo-los por um momento e veremos 
como funciona geometricamente: 
 
 
 
 
 
Acrescentar o valor da diagonal 
do quadrado 1 ao lado do 
quadrado 1 para obter o lado do 
quadrado 2: 1 + 1 = 2 
 
 
Acrescentar o dobro do lado do 
quadrado 1 à diagonal do 1 para 
obter a diagonal do quadrado 2, 
isto é: 1 +2 = 3 
 
Acrescentar depois o valor da diagonal do quadrado 
2 ao lado do quadrado 2 para 
obter o lado do quadrado 3:2 + 
3 = 5 
QUADRADO A-3 
diag. = 7 
lado = 5 
Acrescentar então o dobro do 
lado do quadrado 2 à diagonal 
do quadrado 2 para obter a 
diagonal do quadrado 3 : 3 + 
( 2 x 2 ) = 7. 
 
 
A relação entre o lado e a diagonal dos quadrados teóricos 
muda d e 1 : 1 a 3 : 2 e a 7 : 5 . O quadrado 4 
terá uma diagonal de 7 + (2 X 5) = 17 e um lado de 5 + 7 = 12. 
Para continuar esta geração, mantemos a mesma regra de 
acrescentar o valor do lado do quadrado ao valor da diagonal, o 
que nos dá o valor do lado do quadrado seguinte maior, e 
depois acrescentar o dobro do valor do lado ao valor da 
diagonal para obter o valor da diagonal do quadrado seguinte 
maior: 
 
As relações entre a raiz e o lado, 2 : 3 , 5 : 7 , 1 2 : 1 7 , 29 : 
41 etc, dão coeficientes que à quinta expansão produziram 
uma equivalência decimal muito próxima da 2 que 
atualmente utilizamos (41/29 = 1,414286...). Estes 
coeficientes oscilam primeiro por cima, por baixo e de novo 
por cima, aproximando-se cada vez mais do estado irracional 
perfeito. Isto exprime claramente, além da alternância 
rítmica, o conceito de um momento para a perfeição, assim 
como os aspectos manifestos do crescimento se acercando 
cada vez mais ao poder causativo da raiz. O poder de 
excisão contém em si mesmo o poder do retorno à causa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
QUADRADO 
A-l 
diag. = 1 
lado = 1 
 
 
 
 
QUADRADO 
A-2 
diag. = 3 
lado ■ 2 
 
 quadrado 
número dobro número do núm. 
lateral quadrado quadrado diagonal diagonal diferença 
1 1 2 1 1 2-1 
2 4 8 3 9 8+1 
5 25 50 7 49 50-1 
12 144 288 17 289 288+1 
29 841 1.682 41 1.681 1.682-1 
 
Esta progressão pode continuar indefinidamente, e a 
tabela anterior verifica a misteriosa afirmação de Teon, 
segundo a qual o quadrado da diagonal sempre será o dobro 
do quadrado do lado, mas alternativamente maior ou menor 
em uma unidade. 
Figuras 4.1 e 4.2. A progressão numérica teórica da 
proporção entre o lado e a diagonal se compara ao 
desenvolvimento geométrico para mostrar graficamente 
como a seqüência de números inteiros se aproxima 
rapidamente da função irracional y 2. Partindo da unidade 
do quadrado com A como centro e AA' como raio, traçar 
um arco que corte o eixo X em B. Com Y como centro e o 
raio YB, traçar um semicírculo que corte o eixo Y em B'. 
Com B como centro e o raio BB', traçar um arco que corte 
o eixo X no ponto C' para determinar o quadrado 3 e seu 
gerador seguindo o eixo X. Repetir para traçar os 
quadrados 4, 5... 
A raiz do quadrado 1 se torna o gerador do 2; a raiz do 
quadrado 2 se torna o gerador do 5; a raiz do quadrado 5 se 
torna o gerador do 12. 
 
41 
Comentário ao 
Caderno 
de Práticas 4 
 
 
Se fizermos um diagrama do esquema 
de progressão de Teon, que alterne por 
cima e por baixo de um centro 
irracional, mas aproximando-se cada 
vez mais deste centro, obteremos um 
esquema geral de ondas convergentes. A 
análise por computador mostra que estas 
relações, após muitas alternâncias, 
atingem grande aproximação à raiz 
irracional e, em seguida, se afastam 
gradualmente. Temos assim uma 
configuração geral em forma de 
convergência-divergência. Para indicar 
as três dimensões, também se pode 
desenhar uma curva, que nos dá a 
imagem de uma espiral com seu reflexo 
simétrico, a imagem taoista do 
movimento dos grandes ciclos do tempo. 
A figura 4.2, baseada na demonstração de Teon, foi retirada de O Templo do Homem, de R. A. 
Schwaller de Lubicz, e apresenta um esquema de crescimento mediante a raiz de 2, através do qual 
funciona tudo o que é natural. O que se revela aqui é uma demonstração precisa, mediante a raiz de 
2, do princípio de alternância, uma alternância tanto na potência — a pulsação energética e causai 
da raiz supra-racional — e também na oscilação formal dos quadrados produzidos por aquela 
potência. 
Se observarmos de novo a tábua de relações entre raiz e lado, 3 para 2, 7 para 5, 17 para 12, 41 
para 29, vemos que se obtêm coeficientes que à quinta ou sexta expansão produziram uma 
proporção igual em precisão à raiz quadrada de 2 que atualmente utilizamos, e que o iniciar a 
progressão com o lado e a diagonal iguais era funcionalmente correto. Cada coeficiente oscila 
primeiro acima e depois abaixo, aproximando-se cada vez mais do estado irracional perfeito. Este é 
um elemento básico contido naquilo que denominamos como "matemáticas de Diofante", as quais 
estabelecem progressões numéricas que podem ser vistas como representações de sistemas 
vibratórios, pois uma corda que vibra também se desloca para cima e para baixo de um só abstrato 
ou ponto imóvel não expressável. Podemos concebê-lo mais poeticamente como um modelo da 
pulsação da vida cósmica. 
O princípio de alternância foi uma fonte de conhecimento metafísico e físico em muitas 
grandes culturas do passado. Hoje em dia, estamos mais familiarizados com o tema na filosofia 
taoista, graças à difusão do estudo do budismo zen, que lhe deve muito o princípio do I Ching. 
À demonstração Pitagórica se pode acrescentar a esplêndida idéia de R. A. Schwaller de Lubicz 
do gérmen. Quando a raiz, com seu poder de multiplicidade, crescimento e proliferação, se projeta 
fora da unidade, forma em relação com o 2, um segmento suplementar que geometricamente tem 
um comportamentosimilar ao gérmen de uma planta. Referimo-nos ao princípio da raiz que contém 
um propriedade denominada pelos botânicos como "geotropismo positivo"; dito de outra maneira, o 
poder de descer, envolver e transmutar de baixo para cima. O gérmen representa assim a 
propriedade de "geotropismo negativo", ou aquele que causa o crescimento para cima e para fora, 
isto é, de ascensão completa que culmina na nova semente. Trata-se, pois, de duas direções opostas, 
dois pólos do mesmo poder. Se se planta uma semente em posição contrária, a raiz começará 
imediatamente a dirigir-se para baixo, enquanto o gérmen que contém o talo girará para crescer 
para cima. Um mestre taoista diria relativamente a isto que tudo o que é vida, e o universo inteiro, 
progride mediante a alternância. A realidade de toda progressão ou evolução é uma alternância e 
uma oscilação rítmicas. Toda a coisa alterna com seu oposto. Em tudo o que concerne ao 
movimento natural e cósmico, a única inevitabilidade é a alternância. 
 
 
 
O princípio de alternâncias se exprime geometricamente no antigo 
símbolo taoista do yin e do yang. A forma deste símbolo surge de dois 
círculos iguais no interior do círculo maior, sendo o diâmetro de cada 
círculo pequeno exatamente 1/2 do grande. A relação entre o diâmetro e 
a circunferência de qualquer círculo é π ;C/D= π . 
À primeira vista, o símbolo sugere que a divisão da unidade (que 
aqui é o círculo maior em que se inscrevem os outros) se transforma em 
duas partes iguais. Esta divisão tem por resultado um equilíbrio estático, 
sem possibilidade de crescimento. E a divisão assimétrica, conforme já 
demonstramos na relação 1: 2 , a que cria a proporção e, portanto, a 
progressão na forma que denominamos crescimento. Mais adiante, na 
quadratura do círculo, descobriremos o princípio assimétrico contido 
neste símbolo. Mas é importante notar neste contexto que a 
circunferência dos círculos menores é igual a D/2 x π = π D/2. A soma 
das circunferências dos dois círculos interiores é igual à circunferência 
do círculo maior (2 x π D/2 = π D). As figuras mostram a continuação 
desta divisão inicial, que são a divisão em 4 e em 8. Este processo de 
dividir os círculos em dois pode prosseguir indefinidamente; em 
qualquer momento, a soma das circunferências dos círculos menores 
continuará igual ao círculo grande original. Este processo pode se 
prolongar até ao ponto em que a linha ondulante e o diâmetro se tornem 
indistintas entre si, ilustrando assim o paradoxo de que o diâmetro se 
torna igual à circunferência do mesmo círculo. Como na demonstração 
de Teon, este antigo diagrama mostra que na sua origem e no seu fim, 
toda a diferenciação tende a fundir-se ao aproximar-se da unidade. 
 
 
 
Os números que surgem do triângulo "pitagórico" 3,4,5 
produzem formosas simetrias nas formas naturais. Esta série 
começa com uma expressão natural do triângulo eqüilátero e 
conclui com uma série de simetrias em que se inspiram as plantas 
de edifícios na arquitetura renascentista. 
 
A dicotomia universal se exprime em toda a semente que germina. 
A semente se divide imediatamente em raiz e germe. Há uma 
alternância de função, pois o germe proporciona o alimento até a 
raiz começar a funcionar e logo o germe se transforma nas 
primeiras folhas, deixando para trás a casca da semente e a raiz se 
encarrega por sua vez do trabalho de nutrição. Esta função 
alternante raiz/germe é simbolizada geometricamente no "Caderno 
de práticas 4" (figura 4.2), em que a raiz de um quadrado é igual 
ao germe do quadrado seguinte e assim sucessivamente em cada 
quadrado. 
Esta figura ilustra uma comparação que, como todas as 
comparações em filosofia geométrica, é do tipo proporcional 
triplo: a:b: :b:c. Neste caso, a raiz/germe geométrica está 
relacionada com o princípio universal raiz/germe da mesma 
forma em que este princípio está relacionado com a expressão 
botânica de raiz e gérmen. Estamos explorando geometricamente 
um pensamento analógico e proporcional, mais do que seguindo 
uma lógica equacionai rígida. 
 
 
 
Uma proporção descontínua de 
quatro termos pode se . representar 
graficamente mediante triângulos 
semelhantes, colocados no 
cruzamento de um eixo horizontal 
com outro diagonal. Para ilustrar a 
proporção 
A : B :: E F, ou 
16 : 24 : 12 : 18 = 2/3, 
traçar um segmento linear E = 12 e 
a linha A = 16 na mesma horizontal, 
cujos extremos se tocam em O. 
Elevar a perpendicular B a partir do 
extremo da linha A, para estabelecer 
uma relação proporcional qualquer 
com 16, neste caso, B = 24. O 
quociente A : B = 2/3. Traçar uma 
diagonal desde o extremo superior 
de B passando por O. Esta 
diagonal sempre interceptará a 
perpendicular projetada a partir do 
extremo de E, de tal forma que o 
segmento F terá a mesma relação 
com E, como B com A, verificando 
assim geometricamente que quando 
se têm três termos de uma proporção 
de quatro termos, sempre é possível 
encontrar o quarto termo. 
 
 
44 
V. A proporção e a "secção áurea " 
O objetivo de muitos dos ensinamentos esotéricos tradicionais era voltar a aproximar 
a mente ao sentido da unidade mediante uma sucessão de relações proporcionais. Uma 
proporção é formada por quocientes, e um quociente é uma comparação entre tamanhos, 
quantidades, qualidades ou idéias diferentes e se exprime pela fórmula a : b. O quociente 
constitui pois a medida de uma diferença; diferença a que pelo menos uma de nossas 
faculdades sensoriais pode responder. O mundo percebido compõem-se assim de 
intrincados padrões inter-relacionados, que Gregory Bateson denomina "diferenças que 
constituem uma diferença". Desta forma, não apenas a relação a : b é uma noção 
fundamental para toda a atividade de percepção, como também assinala um dos 
processos fundamentais da inteligência, na medida em que simboliza uma comparação 
entre duas coisas, e é portanto a base elementar do entendimento conceitual. 
Mas uma proporção é algo mais complexo, pois é uma relação de equivalência entre 
dois quocientes, isto é, onde um elemento está para o segundo elemento, como um 
terceiro está para o quarto: a está para b como c está para d; ou a : b : : c : d. 
Representa um nível de inteligência mais sutil e profundo do que a resposta direta à 
simples diferença que é o quociente, e se conhecia no pensamento grego como 
analogia. 
Quando pensamos em quatro elementos, ou seja, em dois quocientes diferentes, 
situamos nosso pensamento no nível da manifestação do mundo natural, já que quatro é 
o número-símbolo que indica o mundo finito, racional, mensurável, da forma procriada. 
Assim, a : b : : c : d é uma fórmula geral de quatro elementos relacionados entre si. 
Isto mesmo se pode exprimir numericamente como 2 : 4 :: 3 : 6. Os pitagóricos 
denominavam este processo de pensamento como uma proporção descontínua de quatro 
termos. 
Se em seguida nos limitarmos a três termos, isto é, se nos elevarmos de um nível, 
para o reino dos princípios ou atividades (qualidade do três), vemos que a determinação 
se torna mais exata com a redução do número de elementos implicados. Assim, um 
elemento está para um segundo elemento como um segundo elemento está para o 
terceiro: a : b : : b : c. Aqui, os extremos estão unidos mediante um termo médio, b. Os 
gregos chamavam a esta proporção contínua de três termos, e isto indica uma mudança 
decisiva na simbolização dos processos perceptivos e conceituais. Nicômano e outros 
filósofos gregos estimavam que era a única que se podia considerar estritamente 
análoga. E o próprio observador (b) quem forma a equivalência ou identidade entre as 
diferenças observadas (a e c). O perceptor já não permanece fora da atividade 
comparativa como no modo de quatro termos, descontínuo ou disjuntivo, que representa 
a diferença percebida como quocientes ou distinções isoladas. 
Talvez aqui seja útil um exemplo. Nossa experiência do mundo sedeve a que nossos 
órgãos da percepção são sensíveis às variações nos modelos de freqüência de ondas que 
rodeiam e impregnam nosso campo de consciência. Se distinguimos uma vasilha 
vermelha de um casaco verde é apenas porque nossos nervos óticos enviam ao cérebro 
um modelo de ondas que corresponde ao modelo de freqüências que emanam da 
vasilha e do casaco. O próprio receptor é portanto o vínculo indispensável para o 
registro desta variações dos modelos exteriores de freqüência, ao interpretá-los e 
distingui-los como objetos tais como uma vasilha e um casaco. 
Muitos filósofos falam em atingir um estado de consciência em que uma pessoa está 
constantemente consciente desta integração e sintonização entre o campo vibratório 
aparente exterior e o campo interior da percepção. Este modo de consciência perceptiva, 
que consideramos comparável à proporção contínua tripartida, é o que Sri Aurobindo 
denominou "conhecimento por identidade" e considerou como uma etapa importante no 
processo do desenvolvimento espiritual: ao mesmo tempo em que reconhecemos uma 
fonte 
 
exterior de experiência, também reconhecemos que está num contínuo fluxo de relações 
com nossas faculdades internas de percepção e cognição, e é esta relação, e não o 
objeto exterior em si, o que estamos experimentando. O mundo objetivo é portanto 
interdependente em relação à totalidade da condição física, mental e psicológica do 
indivíduo que o percebe e, por conseguinte, se verá alterado pelas mudanças na sua 
condição interna. E possível tornar-se consciente de que extraímos o objeto externo da 
totalidade de nosso espaço interior, fundindo assim a contemplação de si mesmo e do 
mundo. 
Existe então uma proporção tripartida que se aproxime tanto do sentido da unidade 
que possamos nos acercar ao pensamento proporcional? A resposta a esta pergunta é não; 
isto porque há apenas uma divisão proporcional que é possível com dois termos. Esta, 
dá-se quando o termo menor está para o termo maior da mesma forma que o termo 
maior está para o menor mais o maior. Escreve-se assim: a : b : : b : (a + b). O termo 
maior (a + b) deve ser um todo ou unidade composta da soma dos outros dois termos. 
Historicamente, esta proporção geométrica única de dois termos recebeu o nome de 
"proporção áurea" e se designa mediante a vigésima primeira letra do alfabeto grego, o 
"phi" ( ), embora fosse conhecida em culturas muito anteriores à grega. 
Há duas formas substancialmente diferentes de considerar esta proporção 
geométrica primária em relação à unidade. A primeira dá-se quando o termo maior — 
neste caso, (a + b)— é maior do que 1.0 segundo caso dá-se quando o termo maior (a + 
b) é igual à unidade (na fórmula, a : b : : b : 1). Cada uma delas revela uma importante 
característica do . 
O que estamos seguindo neste capítulo é essencialmente uma descrição teórica de 
todos os tipos possíveis de proporções geométricas. Isolamos primeiro duas séries 
principais de proporções geométricas, a de quatro e a de três termos. Dentro da 
proporção contínua de três- termos, definimos uma sub-série especial em que o terceiro 
termo é igual ao primeiro termo mais o segundo, a : b : : b : (a + b), de tal modo que 
na realidade apenas há dois termos, a e b, na proporção de três termos. Esta denomina-
se , a "proporção áurea". O fato de que seja uma proporção de três termos construída 
com dois termos é a sua primeira característica e é paralela ao primeiro mistério da 
Santíssima Trindade: três que são dois. 
Na primeira figura, duas linhas de igual tamanho, foram divididas de forma a que a 
: b : : b : (a + b) ou b/a = . O primeiro caso mostra uma proporção na qual a linha 
inteira é maior do que a unidade. A unidade se define como o segmento b com o 
segmento a, um prolongamento deste, unido a ele, que conforma a linha completa a + 
b. No pensamento proporcional não há quantidades fixas, apenas relações fixas. O valor 
quantitativo pode mudar, mas a configuração relacionai continua sendo a mesma. Aqui 
definimos b = 1 para nos assegurarmos de que o todo seja maior que a unidade e seja 
também uma expansão relacionai da unidade. 
Para representar geometricamente 
uma proporção contínua de três 
termos, podemos utilizar o Teorema 
de Tales, que afirma que qualquer 
ângulo inscrito num círculo é um 
ângulo reto. 
 
Traçar a linha xy e a partir de seu 
centro O; traçar um semicírculo cujo 
diâmetro seja xv. Elevar uma linha 
qualquer HM perpendicular a xy que 
termine na circunferência. Unir os 
pontos Mx e os pontos My para 
formar o triângulo retângulo xMy. 
Teremos então: 
 
Pela lei dos triângulos semelhantes, 
verificamos que a perpendicular HM é 
o termo médio geométrico entre a 
linha xH e a linha Hy. Portanto, os 
segmentos das três linhas serão a 
representação geométrica de uma 
proporção contínua de três termos do 
tipo 
 a : b : : b : c. 
 
 
 
 
Qualquer que seja o ponto do 
diâmetro a partir do qual se eleva esta 
perpendicular, sempre será o termo 
médio geométrico entre os dois 
segmentos do diâmetro. 
 
 
 
 
Existem numerosos exemplos deste tipo de proporção, em que o terceiro termo (a + b) é 
maior que um, tanto na progressão , como na proporção fundamental 2 : 
 
Estes dois exemplos são retirados de famílias de proporções geométricas de três termos em 
que o terceiro termo é uma expansão relacionai da unidade e, portanto, é maior do que a unidade. 
46 
A linha constitui Primeiro caso: o todo Segundo caso: o todo 
um todo, uma unidade. é maior do que um. é igual a um. 
Na segunda figura, damos o valor da unidade não a uma parte, mas ao todo, de 
maneira que suas divisões devem ser menores do que 1. Ao fazer isto, encontraremos a 
segunda e especial característica do 0 : é a única partição geométrica da unidade. Este 
procedimento de mudança do valor é típico de numerosos problemas expostos nos 
textos matemáticos mais antigos que se conhecem, tanto do Egito, quanto da Babilônia 
e era uma técnica básica do antigo procedimento matemático. Neste caso: 
 
Esta fórmula algébrica é inteiramente demonstrada geometricamente no "Caderno de 
Práticas 5". Aqui temos a raiz de a sendo igual à raiz de b2, de tal maneira que a relação 
entre a e b é a mesma que entre a raiz e o quadrado. Isto requer que o terceiro termo da 
proporção geométrica a + b = 1 seja neste caso um quadrado mais sua raiz = 1. é a 
única divisão que cumpre esta característica: 1/ + 1/ 2 = 1. Isto completa a metáfora 
metemática da Trindade: "três que são dois, que são um". É a redução final do 
pensamento proporcional de uma singularidade causai. 
Se utilizarmos uma vez mais a proporção como modelo da atividade perceptiva 
baseada no reconhecimento das diferenças, teremos nesta proporção áurea única 
"dentro" da unidade um caso em que a diferença percebida (a que experimentamos 
como objeto), mais o perceptor deste objeto, são simbolizados como contidos no 
reconhecimento ininterrupto de uma unidade que abarca o todo, a : b : : b : \, Este 
estado de percepção corresponde ao objetivo da meditação dinâmica. 
A "proporção áurea"é uma razão constante derivada de uma relação geométrica que, 
da mesma forma que o π e outras constantes deste tipo é irracional em termos numéricos. 
Devido a isto, evitamos apresentar inicialmente a proporção áurea como uma quantidade 
numérica, =1,6180339..., ou = ( 5 + l ) / 2 , mas preferimos demonstrar que é 
antes de tudo uma proporção, não um número, um proporção sobre a qual se funda a 
experiência do conhecimento 
Em certo sentido, a proporção áurea pode considerar-se supra-racional ou 
transcendente. Na verdade, o primeiro produto da unidade, a única dualidade criativa 
possível no interior da unidade. Poderia dizer-se que é a relação mais íntima que pode ter 
a existência proporcional — o universo — com a unidade, a divisão primeira ou 
primária do uno. Por este motivo, os antigos a chamavam "áurea", a divisãoperfeita, e 
os cristãos relacionaram este símbolo proporcional com o filho de Deus. 
Poderíamos perguntar agora, por que não pode a unidade simplesmente se dividir em 
duas partes iguais? Por que não ter uma proporção de um termo, tal como a : a? A 
resposta é que, simplesmente, com a igualdade não existe diferença, e sem diferença não 
há universo perceptivo pois, como dizem os Upanishad, "saibamos ou não, todas as 
coisas recebem sua existência daquele que as percebe". Na formulação estática da 
equação, 
 
uma parte anula a outra. É necessária uma divisão assimétrica para criar a dinâmica da 
progressão e extensão a partir da unidade. Portanto, a proporção é a divisão perfeita da 
unidade: é criativa e ainda assim todo o universo proporcional que dela resulta continua 
relacionado com ela e está literalmente contido nela, pois nenhum termo da divisão 
original se separa de uma relação direta com a divisão inicial da unidade. É a diferença 
essencial entre a divisão da unidade pela raiz quadrada de 2 e sua divisão por , sendo 
ambas proporções geométricas. Conforme mostra a geometria da primeira, mediante a 
criação de 2 , vemo-nos imediatamente projetados fora do quadrado original (veja-se o 
"Caderno de Práticas 1"). Isto marca o início de uma progressão e proliferação infinitas e 
em constante expansão, que nos afasta cada vez mais da unidade original. Não há forma 
possível de obter mediante a 2 uma divisão geométrica interna da unidade. A divisão 
por 0, por sua vez, proporciona um modelo de evolução cujo objetivo é a imagem da 
perfeição da unidade original 
 
Para analisar estas duas progressões, devemos recordar algumas idéias básicas 
recorrendo à gramática da nossa linguagem geométrica. Um número ao quadrado, como o 
0:. representa o primeiro plano da manifestação, o da idealização ou imagem em que 
uma noção se torna compreensível pela primeira vez. Um número ao cubo, como 0\ 
representa esta mesma noção, idéia ou imagem em sua forma manifesta, física e 
volumétrica. Os inversos destes símbolos (1/ 2 e 1/ 3) são os mesmos princípios 
contidos na unidade, isto é. são frações ou partes internas do um, que representam os 
estágios pre-conceituais destes níveis de manifestação. Recordemos também que um é o 
símbolo de Deus. A divisão áurea é a única proporção contínua que produz uma 
progressão na qual os termos que representam o universo exterior ( 2 e 3) são o 
reflexo exato, contínuo e proporcional da progressão interna (1/ 2 e 1/ 3): o sonho 
criativo de Deus. A progressão 2 , pelo contrário, é estritamente um poder procriador, 
que funciona generativamente apenas no plano exterior. 
Contrastemos de novo as qualidades destas duas progressões geométricas, e 2 , 
enquanto modelos de evolução — sendo a progressão uma analogia adequada do 
processo evolutivo — e vejamos agora a fase de evolução que vai do princípio 
metafísico e proporcional ao mundo físico. A progressão áurea mostra a possibilidade, 
não de uma evolução quantitativa, estatística (como no modelo da 2 , a que se conforma a 
adaptação daviniana), mas sim de uma evolução guiada desde dentro, uma exaltação 
das qualidades iniciais da idealização divina que passa diretamente do abstrato para o 
concreto ou visível, na qual o mundo manifesto é uma imagem do divino, uma réplica 
do filho de Deus (unidade). A proporção áurea representa a evidência proporcional 
indiscutível da possibilidade de uma evolução consciente, assim como de uma evolução 
da consciência. 
São João escreveu sobre o momento criador ou excisão original: "No princípio era o 
Verbo (ou em grego, logos que significa uma proporção de três termos) ...e o Verbo 
estava em Deus (a expressão "em Deus" pode ser entendida também "com Deus") ...e 
Deus era o Verbo." Observando detidamente as implicações geométricas das proporção 
áurea: 
No princípio era o Verbo 
E o Verbo estava em Deus 
E Deus era o Verbo. 
47 
Caderno de práticas 5 
A proporção Áurea 
Iniciemos nossa busca de uma divisão geométrica 
que requeira apenas dois termos utilizando duas idéias 
geométricas que já nos são familiares: o triângulo 
retângulo inscrito num semicírculo (Teorema de Tales) 
e a 2 ("Caderno de Práticas 1") que, neste caso, será o 
raio daquele semicírculo. Tal como se mostrou na 
página 45, podemos utilizar a 2 como raio para obter 
uma divisão dos segmentos da linha a, b, c, numa 
proporção geométrica de três termos. 
Figura 5.1a. Partindo do quadrado ABCD, projetar as 
divisões internas da superfície, mediante arcos de 
círculo até a base linear do quadrado. A partir desta 
linha de base, derivaremos relações proporcionais. Do 
centro C e do raio CA, projetamos a linha base EG. 
Traçamos a linha CD de maneira semelhante, o que 
nos dá a linha DF. Conforme o teorema geométrico, 
segundo o qual todo o ângulo inscrito num 
semicírculo (diâmetro EG) é um ângulo reto, unimos 
AE e AG e teremos três triângulos semelhantes: 
O passo lógico seguinte seria provar com a diagonal 
como raio do semi-círculo que circunscreve o 
quadrado. Constrói-se da seguinte forma: 
 
Figura 5.1b. Podemos ver que a divisão mediante a 
diagonal na figura 5.1a dá um valor de b que é o 
dobro da relação desejada: temos 
Rodar a semi-diagonal AX do quadrado ABCE 
para marcar E e F no prolongamento da linha da 
base. Segundo Tales: 
Considerando estes valores de forma puramente 
algébrica, 
Desta forma, é evidente que temos a única divisão 
possível de uma unidade ou um todo numa proporção 
 
 
 
 
geométrica de três termos que utilize apenas dois termos: 
um termo extremo = a e um termo médio = b. Esta 
proporção se denominava "a divisão nos termos extremo 
e médio" e é a que os gregos denominaram ("phi"). 
Para expressar esta proporção como uma divisão 
do 1 ou unidade, tomemos b = 1. 
 
Substituindo b por 1, teremos a2+a = 1. Isto 
significa que tanto a2 como a são frações de 1 e 
portanto devem se escrever na sua forma inversa: 
 
Figura 5.1c. Como demonstra a nossa equação, a 2 + 
a responde à definição da divisão da unidade em 
extremo e médio. Podemos portanto substituir o 
símbolo grego pela expressão: 
 
Observemos agora esta mesma idéia em forma de 
áreas geométricas tangíveis (aqui será útil o papel 
quadriculado). Se b = 1, então o quadrado original é 
igual à unidade. A partir do centro D, traçar o arco 
EG. Tendo por centro C, traçar o arco FH. 
 
 
Validamos assim geometricamente a única divisão 
da unidade nos termos extremo e médio das áreas 
geométricas: DFJG = ABCD = 1. 
Figura 5.1d. Acrescentando os retângulos DCHG e 
CFJH formaremos o retângulo composto DFJG, 
cujos lados são 1/ e 1 +1/ , e a área 1. Portanto, 
49 
 
 
 
Traçar o segmento GJ paralelo a DC, definindo o 
retângulo DCHG e o quadrado CFJH. 
 
Assim, o retângulo áureo JBFH obtém-se a partir do 
duplo quadrado mediante seu retângulo 5 . 
Figuras 5.3a. e 5.3b. A relação de com a 5 e o 
pentágono. Partindo do quadrado ABFE, construir HK 
= V5. Com E e F como centros e o raio FN, traçar os 
arcos HN e KN. Com E e F como centros e o raio FB, 
traçar os arcos que interceptam os arcos HN e KN ou 
O e P, respectivamente. 
 
 
Esta demonstração é inspirada em outra semelhante 
de André Vanden Broeck em Philosophical Geometry. 
Figura 5.2. Geometricamente, a proporção áurea 0 
está inseparavelmente relacionada com a função V 5 e 
ao pentágono, do qual tratamos no "Caderno de 
Práticas 3". Será útil seguir a geometria que põe em 
relevo esta relação. Este é o método para gerar a 
proporção áurea a partir da V5 e do retângulo 1 : 2: 
Traçar um duplo quadrado e prolongar a linha divisória 
EF. Tomando como centro G e a semi-diagonal GA como 
raio. traçar um arco cuja intesecção com EF é H. 
Com o compasso, pode se comprovar que os 
pontos O, N e P mais os dois pontos E e F da base do 
quadrado, constituem cinco pontos eqüidistantes. Unir 
F, E, O, N e P para formar um pentágono.Esta construção revela uma importante relação 
pentagonal: o lado do pentágono em relação à sua 
diagonal é tal que: ( 5 +1 )/2, ou 1:0, a "Secção 
áurea". 
Figura 5.4a. e 5.4b. Estas duas figuras não são 
essenciais para entender 0, mas os leitores mais 
entusiastas vão considerá-las úteis. 
Figura 5.4a. Traçar um círculo e dois eixos em forma de 
cruz. Sem modificar a abertura do compasso e 
considerando como centro o ponto S, traçar um arco que 
corte a circunferência nos pontos 1 e 2. Unir estes pontos 
para determinar a metade do raio do círculo em 3. A partir 
do ponto 3, continuar a construção como se indicou no 
"Caderno de Práticas 3", figura 3.3. Quando o raio é igual 
à unidade, o lado do pentágono inscrito, segundo o 
Teorema de Pitágoras, é igual a V(l + l/ 2) = 1,17557. 
OT2= 1 —0,34549 = 0,65451 
OT= 0,65451 = 0,80901 = 
2
 
Portanto, a altura do pentágono AT = 1,809. 
Provamos, através da demonstração 5.3a, que a 
relação entre o lado do pentágono e sua diagonal é 
1: . No caso em que o raio é 1 e o lado é 1,17557 
(figura 5.4a), a diagonal = 1,17557 = 1,90211. 
Com um raio = 1 ou um diâmetro = 2, a diagonal 
EB = (l + 2) = 1,90211 e altura AT = 1,809. 
A diagonal do pentágono é o meio geométrico entre 
o diâmetro do círculo que o circunscreve e a altura do 
pentágono. 
 
 
Figura 5.4b Traçar a diagonal EB e o segmento AT. 
Para determinar numericamente a altura do 
pentágono, temos o triângulo retângulo OTC, com a 
base TC = 1/2 X 1,17557, que é a metade do lado do 
pentágono = 0,587785, e a hipotenusa do triângulo 
OTC = OC = l, o raio do círculo. Segundo Pitágoras, 
O quociente 18/19 tem interesse, pois é uma das 
relações utilizadas para definir o semi-tom em música 
e também é a relação que determina o ano lunar e solar 
no céu dos eclipses. Os antigos egípcios baseavam seu 
cânone de altura do homem neste quociente, contando 
18 unidades até as sobrancelhas e 19 até o alto da 
cabeça. 
51 
 
 
Figura 5.5 Quando o lado do pentágono é a unidade. 
Um excelente exercício consiste em computar estes 
mesmos segmentos de linha, mas partindo do lado 
AB= 1,17557. 
Neste "Caderno de Práticas", tentou-se levar o 
leitor a experimentar a rede de relações moduladas que 
existem em torno da "divisão áurea", 0. Junto com as 
demonstrações geométricas, demos as formas modernas 
algébricas e decimais. Nossa pretensão não é deslocar 
as nossas atuais técnicas modernas, substituindo-as 
pelo antigo método geométrico, mas sim, situar de 
outra forma as fases de nossas linguagem numérica no 
mundo visual e espacial do qual procede. 
A 5 e seu retângulo de duplo quadrado geram 
ou revelam inevitavelmente uma série de 
proporções associadas com o número áureo ou 
a seção áurea. 
 
 
 
Atribui-se a Johannes Kepler, que formulou as leis do movimento dos planetas, a seguinte citação: 
"A geometria tem dois grandes tesouros: um é o Teorema de Pitágoras, e o outro é a divisão de uma 
linha na proporção do meio e dos extremos, isto é, , o número áureo. O primeiro pode se comparar 
a uma medida de ouro; o segundo é uma pedra preciosa." 
Importantes considerações filosóficas, naturais e estéticas surgiram em torno desta 
proporção, desde que a humanidade começou a refletir sobre as formas geométricas de seu 
mundo. Está presente na arte sacra do Egito, da índia, da China, do Islamismo e de outras 
civilizações tradicionais. Domina a arte e a arquitetura gregas; mantém-se, ainda que oculta, nos 
monumentos góticos da Idade Média e ressurge para sua consagração durante o Renascimento. 
Embora impregne muitos aspectos da natureza, nos quais encontram sua inspiração muitos 
artistas, seria errôneo dizer que se pode descobrir o número áureo em qualquer parte da natureza. 
Mas pode se dizer que onde quer que exista uma intensificação da função, ou uma especial beleza 
e harmonia de formas, ali se encontrará o número áureo. É algo que nos lembra a afinidade do 
mundo criado com a perfeição de sua fonte e de sua potencial evolução futura. 
Comentário ao 
Caderno 
de Práticas 5 
 
 
Devido à distorção da perspectiva, inevitável numa 
fotografia, apenas podemos indicar aproximadamente 
algumas das proporções "phi" básicas. Mas este edifício 
é baseado na sua totalidade nas relações e 2 . 
53 
As seções áureas contidas no pentagrama determinam, 
segundo se mostra aqui, as proporções desta antiga 
máscara de Hermes. 
TÚMULO DE PETOSIRIS 
Este túmulo egípcio do período tolemaico foi descoberto 
em 1919, em escavações dirigidas por Gustave Lefebvre, 
que publicou suas descobertas em 1924. Está situado 
próximo à cidade de Hermópolis, a cidade de Tot, numa 
necrópole próxima ao cemitério subterrâneo dos íbis 
sagrados, o animal sagrado de Tot. Foi construído cerca do 
ano 300 a.C. para Petosiris e sua família, incluindo seu pai, 
seu padrasto, seus irmãos, sua mulher e seus filhos. Todos 
os homens da família ostentavam os títulos de "Principal 
entre os Cinco" e "Mestre do Assento", que são os títulos 
dos altos sacerdotes de Tot de Hermópolis. 
O nome Petosiris significa "dom de Osíris". O 
construtor deste túmulo foi evidentemente um homem 
excepcional, pois meio século depois de sua morte, foi 
elevado à qualidade de sábio semidivino, como Imhotep e 
Amenhotep, e sua tumba constituiu um lugar de 
peregrinação. 
Baixo-relevo pintado do muro leste da capela do túmulo. O 
sacerdote derrama óleos sagrados sobre a múmia do defunto. 
54 
 
 
Análise geométrica, tomando a base EC do 
triângulo como unidade. A construção do 
quadrado KLCE e a semidiagonal PK verifica 
que tanto AC como CG = . 
 
 
Análise geométrica com a altura do retângulo 
horizontal BC igual à unidade. Traça-se um arco de 
círculo desde C, com raio CB, até Q, e outro a partir 
do centro A e com raio AQ, que determina FJ como 
divisão áurea do retângulo horizontal. Segundo o 
Teorema de Pitágoras: 
quociente do lado (1) de um pentágono e sua diagonal. 
Comparando um sistema de proporções com outro, 
verificamos que 
Esta análise mostra que o mestre Petosiris tinha 
um completo e muito sofisticado conhecimento da 
proporção áurea, revelada simplesmente num jogo de 
relações geométricas resultantes de dois retângulos que 
coincidem em parte. A proporção do número áureo 
representa filosoficamente o assentamento ou base dos 
mundos criados, daí talvez o título de "Mestre do 
Assento". As práticas de inumação na tradição 
faraônica levavam-se a efeito não com a mera intenção 
de proporcionar um receptáculo ao corpo físico do 
morto, mas também com o objetivo de construir um 
lugar onde conservar o conhecimento metafísico que a 
pessoa tinha dominado durante sua vida. As 
proporções do assento de Petosiris, tal como se mostra 
neste túmulo, refletem esta intenção. 
 
 
 
É importante mencionar antes de mais que 0 representa uma coincidência entre os 
processos da soma e da multiplicação. A soma é o processo mais comum de crescimento, 
seja das células do nosso corpo, da riqueza, do conhecimento ou da experiência; é um 
desenvolvimento deliberado e em expansão lógica. A multiplicação é, na realidade, uma 
forma especial de soma, uma forma acelerada ( 4 x 4 nada mais é do que 4 + 4+4 + 4). 
Mas nessa aceleração intervém um extraordinário momento de transformação: o que era 
uma acumulação linear torna-se de repente num quadrado, uma superfície, um plano. 
Houve um salto no crescimento. Nas plantas, o simples crescimento aditivo que ela 
experimenta se revela no surgimento da flor ou do fruto, ou numa semente que incha 
gradualmente ao absorver a umidade, e que germina. Nos estudos, nossa acumulação 
aditiva de conhecimentos ou dados floresce de repente numa compreensão autêntica. 
Pode-se observar este momento com clareza no processo de formação de um cristal. Vai-
se acrescentando gradualmente um sal mineral a uma pequena vasilha de água durante 
vários dias. A água dissolveo sal, mas ao mesmo tempo, o ar vai lentamente fazendo 
evaporar a água. Quando se atinge o ponto de saturação, e é surpreendente observar ao 
microscópio, a denominada "tintura mestra" se congela subitamente numa forma 
geometrizada do sal como cristal. Quando um momento como este se dá no contexto do 
desenvolvimento espiritual, chama-se redenção ou iluminação. 
Há três circunstâncias significativas nas quais os antigos estudiosos deste princípio 
encontraram esta coincidência simultânea do processo aditivo e do multiplicativo. Cada 
uma delas dá o sentido de uma combinação entre o crescimento material e supra-
material. São o quadrado (que vimos no "Caderno 1"), a harmonia musical ("Caderno 
8") e a proporção . 
O cubo de "phi", , 3 é um volume que se obtém somando e multiplicando 
simultaneamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nautilus pompilius 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
 
 
A expressão volumétrica de 0, 05 torna-se nova unidade, pois aqui o princípio 
abstrato de 0 adquire expressão como unidade ao nível físico do volume, o cubo. Numa 
antiga inscrição egípcia, Tot diz: 
Sou Um que se transforma em Dois polaridade 
Sou Dois que se transforma em Quatro superfície, 22 = 4 
Sou Quatro que se transforma em Oito volume, 23 = 8 
E no fim disto tudo, sou Um. 
A progressão se realiza então como se fôssemos continuar considerando o um como 
carente de definição, até ao momento em que se torna numa unidade tangível e 
manifesta, o cubo; como acabamos de ver, 3 = 1. E se o poder transformador da 
redenção é inerente à cruz material, a cruz da soma, +, então o momento da ressurreição 
surge quando este princípio permite que a cruz se vire, + X, e dá-se um crescimento 
exponencial, um salto incompreensível e não seqüencial a outro nível do ser. 
Veremos no capítulo seguinte as formas de crescimento exponencial, exemplificado 
nas espirais logarítmicas baseadas nas raízes de 2, 3 e 5. A espiral áurea, na qual o 
crescimento geométrico dos raios é igual a , encontra-se na natureza na formosa 
concha do Nautilus pompilius, que o dançarino Siva do mito hindu segura numa das mãos 
como um dos instrumentos com os quais inicia a criação. Para os pitagóricos, contudo, 
esta forma encarna a dinâmica da geração rítmica do cosmos, e através de seu harmônico 
princípio representa o amor universal. A espiral logarítmica acaba por ser sobreposição 
ao feto do homem e dos animais, e está presente no esquema de crescimento de muitas 
plantas. A 
 
2 3 2
1
 + = 1 x 
1 x + 1
 + = = x x = x 
distribuição das sementes de girassol, por exemplo, é regida pela espiral logarítmica do 
número áureo. Além disto, o girassol possui 55 espirais orientadas no sentido horário, 
sobrepostas a 34 ou 89 espirais em sentido anti-horário. Reconhecemos estes números 
como parte da série Fibonacci, que é gerada por . 
 
A série de números denominada "Fibonacci" é uma progressão aditiva especial na 
qual os dois termos iniciais se somam para formar o segundo termo (série A). Por 
exemplo: 
Distribuição das sementes num 
cacto que, como no caso do 
girassol, se ajusta exatamente 
à espiral áurea. 
 
 
A série Fibonacci é tal que dois termos sucessivos tendem a se relacionar entre si na 
proporção de 1: , e qualquer dos três termos sucessivos é igual a 1: : 2..., etc. 
Tomemos por exemplo o décimo e o undécimo termos da série A: 
 
 
 
Embora a "Fibonacci", a série aditiva mais comum, comece com 1,1,2 (note-se a 
similitude com a série de Teon, que vimos no capítulo IV), é possível iniciar uma série 
aditiva com dois números ascendentes quaisquer, por exemplo, a série B, 1, 3, 7 etc. Em 
toda a série deste tipo, os quocientes sucessivos tendem a , e é interessante observar que 
a relação entre os termos correspondentes das duas séries A e B tende a 5 . Por 
exemplo, com o duodécimo termo da série A e da série B, 
 
 
Na série C, a progressão aditiva que começa com 1, 5, 6, 11 tem a desconcertante 
característica de que os próprios números inteiros tendem a ser exatamente a metade da 
expressão decimal da proporção áurea. Por exemplo, o duodécimo termo da série C = 
309, e 308 X 2 = 618; enquanto 1/ = 0,6180337... 
A série D mostra como a série áurea é o modelo de progressão do princípio 
logarítmico em que há uma relação entre uma série aditiva ("expoentes") e uma série 
multiplicativa ("termos"), de tal forma que simplesmente somando os expoentes se pode 
determinar a correspondente multiplicação dos termos. Por exemplo: 
 
A multiplicação dos números, ou neste caso dos termos decimais, é igual à adição dos 
expoentes. 
A série Fibonacci, que deve seu nome ao matemático italiano do século XIII que a 
revelou, aparece com freqüência em fenômenos naturais e um certo número de estudos 
documentam sua persistente ocorrência. Ela rege, por exemplo, as leis que entram em 
 
Os dois principais esquemas de 
ramificação, um que demonstra a 
progressão geométrica de 2 ( 2 ), e o 
outro, a séria Fibonacci ( ). 
A distribuição das folhas em torno de 
um ramo central é dirigida pela série 
Fibonacci: 3 folhas em cinco voltas, 5 
folhas em 8 voltas. 
58 
jogo nas múltiplas reverberações da luz nos espelhos, assim como as leis rítmicas do 
aumento e da perda na radiação da energia. A série Fibonacci define perfeitamente o 
esquema de reprodução dos coelhos, símbolo de fecundidade, e a proporção entre 
machos e fêmeas nas colméias de abelhas. Filotaxia é o termo botânico que descreve a 
disposição das folhas no ramo de uma planta. Se desenharmos uma linha helicoidal que 
passe pela base de cada folha, até chegar à primeira base, que está verticalmente em cima 
do ponto de partida, sendo P o número de voltas da hélice e Q o número de folhas pelas 
quais passa, então P/Q é uma fração característica do esquema de distribuição das folhas 
da planta. Tanto o numerador, como o denominador desta fração tendem a pertencer à 
série Fibonacci A. Naturalmente, o interesse de um botânico por esta distribuição não é 
primordialmente matemático. Sua atenção se centra no fato de que todos os membros 
desta série de frações se encontram entre 1/2 e 1/3, criando a situação em que as folhas 
sucessivas estão separadas entre si pelo menos por um terço da circunferência do caule, 
assegurando assim um máximo de luz e de ar à folha que está imediatamente abaixo. 
As ramificações constituem outro dos principais modelos funcionais de crescimento 
natural regido pela série Fibonacci ou 0. E em vista da sua presença no pentágono, a 
secção áurea pode se encontrar em todas as flores que têm cinco pétalas ou qualquer 
múltiplo de cinco; a família das margaridas, por exemplo, sempre terá um número de 
pétalas pertencente à série Fibonacci. A família das rosas é uma das que se baseiam no 
cinco, assim como as flores das plantas que dão frutos comestíveis. Assim, o cinco 
assinala aos homens os frutos que lhe são apropriados. O cinco é dominante na estrutura 
das formas vivas, enquanto o 6 e o 8 são mais característicos da geometria das 
estruturas minerais e inanimadas. As plantas que possuem uma estrutura sextupla, como a 
tulipa, a açucena e a papoula, são muitas vezes venenosas ou então medicinais para o 
homem. A medicina tradicional considerava que as plantas de sete pétalas eram 
venenosas. Entre elas estão a do tomate e outras plantas da família da beladona ou da 
dulcamara (erva-moura). Por outro lado, as flores muito exóticas, tais como orquídea, 
azaléia ou outras, são regidas pela simetria pentagonal. O pentágono, como símbolo da 
vida, particularmente da vida humana, era a base de muitas rosáceas góticas. 
 
 
 
 
O cinco como inflorescência ou 
quintessência da vida. 
O homem como pentágono. 
Os cânones da figura humana, sejam os de Leonardo da Vinci, sejam os de 
Alberto Durero, se ajustam ao antigo símbolo biométrico do corpo dividido 
em dois pelos órgãos sexuais ou em pelo umbigo. 
 
É contudo no corpo humanoonde podemos descobrir o significado metafísico do 0, tal como o 
exprime o aforismo de Heráclito: "O homem é a medida de todas as coisas".Segundo as diferentes 
tradições que propõem um cânone humano, isto é, uma definição das proporções médias e ideais 
do corpo, o umbigo divide o corpo de acordo com a secção áurea. Se considerarmos que a altura 
total é 1, dos pés até ao umbigo, e segundo os cânones egípcio, grego e japonês, o corpo é igual a 
1/ , sendo a porção entre o umbigo e o alto da cabeça igual a 1/ 2. O corpo é dividido em duas 
partes iguais pela região dos órgãos genitais. Isto denota a relação entre a sexualidade e a função 
dual, a divisão em dois. Ao nascer, porém, é o umbigo a linha que divide a criança em duas partes 
exatamente iguais, e ao longo do crescimento o umbigo se transfere para o ponto de divisão "phi". 
Assim, a posição do umbigo ao longo do crescimento humano está relacionada com a idéia de um 
movimento desde uma posição dual e sexuada na natureza, para um relação proporcional com a 
unidade mediante a propriedade dinâmica e assimétrica de . 
O estudo da biometria humana revela um matiz nesta proporção. Na mulher, o umbigo está 
normalmente um pouco mais acima do corte exato da secção áurea, enquanto que no homem está 
um pouco mais abaixo. Além disto, durante o processo de crescimento, tanto nos homens, como 
nas mulheres, o posicionamento do umbigo fica por vezes acima e por vezes abaixo da divisão 
do corpo. Esta mudança se inicia na puberdade e volta a dar-se entre os 17 e os 30 anos. Esta 
oscilação para cima e para baixo de um ponto irracional de perfeição formativa é um princípio que 
encontramos também como base das matemáticas antigas: como no método de Diofante, em que 
os quocientes entre números inteiros se aproximam progressivamente das sagradas ou 
incomensuráveis funções da raiz. 
A presença da série Fibonacci na 
relação entre o comprimento dos 
ossos do dedo, a mão e o braço 
humanos é outro exemplo das 
numerosas relações que se dão no 
corpo humano. 
59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Osírion é um grande templo egípcio subterrâneo que é 
uma alegoria arquitetônica do processo de transformação 
mediante a morte e o renascimento, tal como o descreve 
o mito de Osíris. O simbolismo de Osíris tem a ver com 
o renascimento cíclico e a transformação, tanto a nível 
individual, como universal, e o Osírion foi concebido 
para representar a própria tumba de Osíris. Pode ser que 
este templo funcionasse ou não como templo iniciático, 
mas sua arquitetura é simbólica em cada detalhe: a 
mecânica da reencarnação, referências à morte e à 
ressurreição físicas, a morte como uma fase da 
consciência do aspirante, o nascimento de uma nova, ou 
a morte e a dissolução do universo e seu retorno. 
O Osírion foi descoberto em Abidos, em 1901, por 
Flinders Petrie, e as escavações terminaram em 1927. 
Acredita-se que é o "cenotáfio"(túmulo vazio) de Séti I, 
que governou o Egito de 1312 a 1298 a.C. O templo 
inteiro tinha um telhado e por cima foi colocado um 
enorme monte de terra, para que parecesse uma tumba 
subterrânea. Ao redor do templo soterrado, foram 
escavados grandes buracos e plantada a árvore sagrada 
de Osíris. Esta reprodução do sarcófago mostra o 
símbolo da tumba de Osíris com as árvores do 
renascimento brotando. 
60 
 
 
O OSÍRION 
 
 
A planta do Osírion mostra uma zona central bastante curiosa, 
com dez grossas colunas quadradas (a cheio, no desenho 
acima) que sustentam o teto. Esta plataforma, com escadarias 
que a ela conduzem em ambos os extremos, é na realidade 
uma ilha, pois está rodeada por uma nave escavada até ao nível 
exato que permitia enchê-la de água subterrânea. A ilha, com 
suas escadas em cada lado assemelha-se exatamente ao 
símbolo egípcio da colina ou monte primordial, que segundo o 
mito representa o primeiro lugar da criação que se eleva das 
águas primitivas, o Nun não manifesto e informe. Osíris 
também representa o princípio da semente enterrada no solo 
que germina ao absorver a umidade da terra. 
Há três pontos de sepultura nesta tumba simbólica,duas 
depressões na plataforma central (provavelmente uma para o 
sarcófago e outra para os "canopes", vasilhas colocadas nas 
tumbas egípcias destinadas a conter as vísceras dos defuntos) 
e uma ampla câmara mortuária selada, em forma de sarcófago, 
no extremo oeste. Esta última contém, nos muros e teto, relevos 
com motivos astronômicos para dotar a tumba de influências 
celestes. Ao redor e no exterior do vestíbulo central, há 
dezessete pequenas câmaras. Especula-se que estas câmaras 
talvez fossem destinadas aos neófitos que eram submetidos ao 
rito iniciático de descer às profundezas aquosas e emergir pela 
ilha central, que simbolizava o mistério do renascimento, tanto 
a nível universal, como cósmico e individual (supondo, claro, 
que houvesse ar para respirar na tumba). De qualquer forma, e 
o mais importante, a geometria 
do templo apóia esta teoria, pois se conforma às proporções 
da secção áurea e da 5 , o símbolo do renascimento e da 
regeneração, assim como da 2 , símbolo do poder procriador 
e autogerador de vida. A ênfase no tema do pentágono 
simboliza acertadamente a crença de que o rei, após sua 
morte, se transforma numa estrela (a estrela sempre era 
representada no Egito com cinco pontas). (As análises 
geométricas tanto do Osírion como do túmulo de Petosiris 
foram gentilmente cedidas por Lucie Lamy). 
61 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos resumir algumas das idéias evocadas por esta importantíssima relação proporcional 
da seguinte maneira: como diziam os antigos, "o universo é Deus se contemplando a si mesmo". 
A criação não pode existir sem percepção e a percepção é relação: "Ser é relacionar-se". Os 
modelos arquetípicos da relação podem ser observados nas leis da proporção contidas nos 
números puros e nas formas geométricas. A proporção áurea é a "idéia-forma" transcendente que 
deve existir a priori e eternamente, antes de qualquer outra progressão que se desenvolva no 
tempo e no espaço. 
Este desenho é uma alegoria geométrica ao conceito da Santíssima 
Trindade, os três que são um. 1 = Deus Pai; 1/ = O Espírito Santo (a 
função vinculativa, ou prana); 1/ 2 = o Filho (o quadrado ou potencial 
de manifestação, o arquétipo supremo). 
Estes termos formam uma proporção de três termos: 
21/ 1/
::
1/ 1
 
Assim, os termos extremos estão em idêntica relação entre si: Pai e 
Filho unidos pelo Espírito Santo. 1/ 2 representa a divina manifestação. 
1/
3
 é o indivíduo universal encarnado, Cristo. O cruzamento ou 
sobreposição de 1/ com 1/ 2 produz 1/
3
 a encarnação do homem 
divino. 
O
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
Esta ilustração descreve a criação e 
a evolução (os seis dias da 
criação), mediante a combinação 
de 2 :1, que são as proporções de 
toda a página, e de 1 : , que é a 
secção que representa a criação em 
seis etapas. O Pai, o Filho e o 
Espírito Santo presidem a criação 
como princípio do três que é um. 
Na literatura sacra, a criação e a 
evolução se contemplam sempre 
através da imagem da trindade e 
das duas proporções geradoras. 
O crescimento do corpo humano descreve uma relação entre duas propriedades geradoras: a 
da 2 , resultante de dividir em dois e logo de dobrar, indicada pela localização dos órgãos sexuais 
no ponto médio do corpo, e que denota o princípio procreador, quantitativamente reprodutor; e a 
de 0, indicada pelo umbigo, significativa da propriedade relacionadora que integra as partes entre 
elas e no todo abarcador de todas as coisas, assim como o ponto umbilical vincula a criança com a 
sua origem, a mãe universo. Desta forma, 0 se transforma no símbolo geométrico da idéia de 
Cristo, que une a consciência individual com a totalidade ideal na qual tem origem e à regressará 
necessariamente. 
Eu sou o que une 
Eusou o umbigo dourado do universo. 
Quem isso conhecer, conhece o Upanishad. 
(Upanishad significa "máxima aproximação"). 
64 
 
 
VI. A expansão gnomônica 
e a criação de espirais 
"Há certas coisas", dizia Aristóteles, "que não sofrem alteração nenhuma, salvo em 
magnitude, quando crescem..." Estava se referindo ao fenômeno que os matemáticos gregos 
denominavam gnomon e ao tipo de crescimento baseado nele, conhecido como expansão 
gnomônica. Heron da Alexandria definiu-o assim: "Um gnomon é qualquer figura que 
acrescentada a uma figura original, produz uma figura semelhante à original." A contemplação 
desta figura permite compreender uma das formas de crescimento mais comuns na natureza: o 
acrescentamento ou aumento acumulativo, em que a antiga forma está contida na nova. É a forma 
em que os tecidos mais permanentes do corpo animal, tais como os ossos, dentes, armações e 
conchas se desenvolvem, em contraste com os tecidos macios, que são substituíveis ou 
perecíveis. 
Esta forma conhecida de crescimento foi com freqüência apresentada arquitetonicamente 
como tema de desenho de um edifício. O templo hindu é um excelente exemplo. Começava-se o 
chão colocando quatro ladrilhos juntos, cada um de trinta centímetros quadrados, formando assim 
o quadrado de 2 e, depois, ampliando esta plataforma ao quadrado de 3 e assim sucessivamente. 
Cada expansão seqüencial era considerada como uma expansão do altar do sacrifício, na medida 
em que o templo inteiro recapitulava sua essência-semente, o altar, ou quadrado original. Assim, 
o próprio edifício expressava o significado de "sacrifício", que implica uma redução ao sagrado. 
Tanto em planta, como em volume, o típico templo hindu segue o tipo de crescimento gnomônico 
que as conchas denotam muito claramente, em que os resíduos da etapas anteriores do 
crescimento permanecem nitidamente indicados como parte da estrutura e do desenho das etapas 
posteriores. 
A expansão gnomônica descrita 
em diferentes figuras 
geométricas, mediante pontos de 
unidades formando o quadro, o 
retângulo e o triângulo. 
 
 
 
Este método de representação do gnomon mostra sua relação 
com a fórmula Pitagórica a2 + b2 = c2. Aqui, aparece o 
crescimento gnomônico de um quadrado de superfície 4, até ao 
quadrado de superfície 5, em que o gnomon do quadrado maior, 
5, é igual a 1/4 do quadrado inicial, 4. 
A planta do típico templo hindu é uma simples expansão gnomônica 
concêntrica que parte de um quadrado inicial. Dado que a mandala 
reflete a ordem celeste, cada quadrado contém o nome de uma 
divindade. 
O gnomon, enquanto aumentos sucessivos 
no crescimento, define a passagem através 
do tempo. No templo hindu, esta expansão é 
uma extensão do quadrado inicial, que é o 
altar do sacrifício, do continente do fogo 
cósmico simbólico. Assim, o tempo é 
descrito como o fogo da vida, espandindo-
se inexoravelmente, projetando para fora e 
voltando a consumir as formas contidas 
potencialmente no altar da semente inicial. 
Esta mandala gnomônica da planta do 
edifício é utilizado também como o 
elemento guia que determina a elevação do 
templo. 
O crescimento e os números derivados da expansão gnomônica têm implicações 
interessantes. Uma característica matemática é que todas as figuras que crescem por expansão 
gnomônica criam intersecções, sobre as quais podem se desenhar espirais. Estas formas, tal como 
o demonstrou Jill Purce de modo excelente em A Espiral Mística, estão em toda parte na 
natureza: os troncos em espiral de enormes eucaliptos, os chifres dos carneiros e das renas, os 
ossos do nosso esqueleto, as conchas dos moluscos, em particular a do Nautilus pompilius, que 
descreve uma espiral derivada da secção áurea. Podem ser observadas espirais nas florezinhas do 
girassol, na silhueta de uma folha cordiforme; no encrespamento do pelo, numa cobra enrascada 
ou na tromba do elefante, no cordão umbilical ou no ouvido interno. 
Todas estas espirais são o resultado do processo de crescimento gnomônico, do qual o 
quadrado e seu gnomon pode ser considerado a forma arquetípica. 
Estes diagramas de D'Arcy Thompson, retirados de sua obra On 
Growth and Form, mostram que se podem traçar espirais a partir do 
crescimento gnomônico de triângulos e hexágonos. 
 
 
 
Caderno de práticas 6 
Espirais gnomônicas 
As demonstrações seguintes dão uma noção do antigo 
método matemático para gerar quocientes de números 
inteiros que se aproximem o mais possível de funções 
incomensuráveis. Este método é atribuído ao matemático 
grego Diofante, mas provavelmente faz parte de um 
conhecimento matemático muito mais antigo. Podemos 
encontrar nestas demonstrações a integração do crescimento 
gnomônico, as importantes progressões aditivas de 
números, a progressão dos retângulos sagrados e os 
quocientes numéricos que se aproximam das raízes sagradas 
de 2, 3, e 5. Todas estas operações geométricas compõem a 
base de formação das curvas espirais que servem de modelo 
a numerosos aspectos do movimento universal, desde a 
partícula, à galáxia. 
Começamos pelas progressões aditivas (que já vimos 
em relação a 0, na página 57). Podemos observar como esta 
mesma série numérica pode também conceber-se como uma 
progressão de retângulos que se expandem em formação 
espiral. Nosso método consistirá em comparar as relações 
entre as progressões que surgem das duas relações criativas 
essenciais, 1 : 2 e 1 : 3. Para fazê-lo, consideraremos uma 
série como uma sucessão de numeradores e a outra como 
uma sucessão de denominadores. Começaremos com a 
formação de uma espiral baseada em 5 : 
 
Há duas características destas progressões de 
frações que devem ser assinaladas. 
Em primeiro lugar, conforme cresce a série, mais a 
relação entre o numerador e o denominador se aproxima da 
raiz incomensurável de 5, isto é, 2,2360679... 
Por exemplo, a fração de nossa série 29/13 = 2,230... é 
uma aproximação ligeiramente menor que 5 . Mas a fração 
seguinte, 47/21 = 2,23809... é uma aproximação 
ligeiramente maior que o valor real de 5 . A fração 
seguinte, 76/34 = 2,235..., é de novo menor do que a raiz 
incomensurável, mas muito mais próxima que o quociente 
anterior; 123/53 = 2,23636 é ligeiramente maior, mas se 
aproxima muito mais do quociente desejado. O esquema 
volta a ser uma oscilação entre maior e menor, que se 
aproxima cada vez mais da raiz supra-racional. 
A segunda característica é que podemos conceber estas 
relações numéricas sucessivas como formas espaciais, isto 
é, quadrados e retângulos. Para transformar esta série numa 
configuração espacial, consideramos simplesmente 1 como 
o lado de uma área quadrada, e acrescentamos uma sucessão 
de quadrados à nossa figura existente, sendo o lado de cada 
novo quadrado igual à expansão precedente da cifra inicial: 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc. 
O retângulo original 1 : 2 já é formado por 1 + 1; assim, 
o comprimento 2 se torna no lado de um quadrado que se 
acrescenta ao retângulo original e dá 3. Este 3 se transforma 
no lado de um novo quadrado que se acrescenta ao 
precedente retângulo 3 : 2, e dá a nova relação, 3 : 5. 
A relação entre dois números sucessivos desta série 
tende a se aproximar de "phi". A função logarítmica de 
(veja-se a página 56) permite-nos encontrar, tomando três 
números sucessivos desta série, a unidade 02 por exemplo, 
já que 1 + = 2, exatamente o mesmo que a soma de 8 e 
13=21, e a relação 13:8 pode ser considerada como um 
valor que se aproxima do "phi", enquanto 21 : 8 é o valor de 
2. 
Tomemos agora nossa série de numeradores e vamos 
transformá-los numa configuração espacial considerando a 
relação 1 : 3 como um retângulo, e procedendo como 
anteriormente com a adição de um quadrado. O primeiro 
quadrado que tenha um lado de 3, acrescido aos retângulos 
originais da relação 3 : 4. O segundo quadrado terá 4 como 
lado, que ao ser acrescentado ao três dará7, formando 
assim a segunda relação 4 : 7. Continuando assim, 
formaremos a série de números 
1,3, 4, 7, 11, 18,29,76, 123, 199, etc. 
Esta outra seqüência de números é diferente da 
atribuída a Fibonacci, mas aqui também a relação entre 
termos sucessivos tende para e cada um deles é formado 
pela adição dos dois termos precedentes. 
Podemos agora reunir estas duas séries, cada uma das 
quais tende para como relação entre cada um de seus 
termos sucessivos, definindo entre ambas 5 . A espiral é 
formada por esta união. 
Utilizando este método, podemos desenvolver o 
traçado de três espirais cujas curvaturas expressam estas 
leis geométricas e proporcionais. 
 
 
 
Figura 6.1. A espiral 5 , a partir dos quocientes 1 : 2 e 1 
:3. 
Para a espiral 2 , partimos de novo das duas relações 
criativas 1 : 2 e 1 : 3 para dar início a algumas progressões 
que vão formar os numeradores e os denominadores de uma 
série de frações: 
 
Aqui, encontramos duas variações a partir da formação 
5 descrita acima. Neste exemplo, nenhuma progressão 
começa com o número 1 repetido, e temos aqui, em vez da 
série aditiva simples, a adição dos lados de dois quadrados 
de cada vez. 
O crescimento se obtém com a adição de dois 
quadrados semelhantes que têm por lado o lado maior do 
retângulo precedente. Assim, ao retângulo original 1 : 2, 
acrescentar dois quadrados de lado 2 para obter-se um lado 
de 1 + 2 + 2 = 5; em seguida, ao retângulo 2 : 5, acrescentar 
dois quadrados de lado 5; obtém-se 2 + 5 + 5 = 12, etc. 
Ao retângulo 1 : 3 original acrescentamos dois 
quadrados de lado 3, o que faz 1 + 3 + 3 = 7, e a este 7, 
acrescentamos dois quadrados de lado 7, ou seja, 3 + 7 + 
7=17, etc. A série 1, 2, 5, 12, 29... etc, representa os lados 
dos quadrados cujas diagonais são respectivamente 1, 3, 7, 
17, 41... etc. O quociente destas duas séries, que partem da 
unidade ("sendo a unidade", segundo Teon, "virtualmente o 
lado e a diagonal"), se aproxima cada vez mais de 2 . 
 
 
 
 
 
Figura 6.2 A espiral 2 , que parte dos quocientes 1 : 2 e 
1:3, mas com a adição sucessiva de dois quadrados. 
Com apenas algumas modificações do procedimento 
geral, podemos agora construir a progressão e a espiral 
relacionada com a 3 .As variações neste caso consistem 
em que a relação 1 : 3 começa com 1, 1, 3... (em vez de 1, 
3...) e proporciona os denominados em vez dos 
numeradores como nas outras duas espirais. Para a 
espiral 5 , acrescentávamos sucessivamente um quadrado, 
e para a espiral 2 acrescentávamos sucessivamente dois 
quadrados, enquanto neste caso acrescentaremos primeiro 
dois quadrados e em seguida um quadrado. 
Partindo da origem 1 : 2, acrescentamos dois quadrados 
de lado 2 para totalizar 1 +2 + 2 = 5, e a seguir um só 
quadrado de lado 5 para fazer 2+5 = 7 etc, e prosseguimos 
esta alternância acrescentando dois quadrados e em seguida 
um. 
A figura original 1 : 3 constrói-se exatamente da mesma 
forma e produz a série enumerada acima. 
Como no caso das duas primeiras raízes, é a 
sobreposição dos numeradores e dos denominadores o que 
produz as relações que constituem a 3 . Devido à adição 
"sincopada" de dois e em seguida de um quadrado, é 
impossível nesta construção desenhar ao mesmo tempo a 
espiral interna e a externa. A 3 , sendo o princípio 
formativo, atua apenas como a espiral que contém ou 
externa. 
69 
Figura 6.3. Estas demonstrações da construção de espirais 
foram em parte extraídas de O templo do Homem, de R.A. 
Schwaller de Lubicz. 
O propósito profundo deste desenvolvimento da espiral 
de números em torno das raízes supra-racionais se 
fundamenta no fato de que dispomos de um modelo 
relativamente à forma em que uma causa indefinível (raiz) 
pode se expressar num jogo de números e formas definíveis. 
A espiral continua sendo a nossa imagem mais profunda do 
movimento do tempo e portanto é central na nossa visão da 
evolução. A passagem seguinte de O Problema do 
renascimento, de Sri Aurobindo, verbaliza precisamente o 
que acabamos de experimentar sobre a lei universal através 
da linguagem da geometria: 
O que temos ao nosso redor é um constante processo de 
desligamento em seu aspecto universal; os termos passados 
estão aí, contidos nele, realizados, sobrepostos, mas em 
geral e em forma diferente continuam repetidos como 
suporte e fundo; os termos presentes estão aí não como um 
recurso improdutivo, mas como uma gestação ativa, plena 
de tudo aquilo que ainda está por se desprender no espírito: 
não uma recorrência decimal irracional, repetindo para 
sempre inutilmente suas cifras, mas como uma série em 
expansão dos poderes do infinito. 
É, com toda segurança, a vontade das coisas que avança, 
grande, deliberada, sem pressa e sem pausa, através dos 
séculos, sejam quais forem, para informar cada vez mais as 
suas próprias figuras com a sua própria infinita realidade. 
 
 
 
Observando a disposição das sementes desta planta, podemos entender, 
tendo presentes as anteriores demonstrações da formação de espirais, o 
antigo aforismo tântrico: "A forma é a envoltura da pulsação". 
A espiral logarítmica é tão rica em harmonias geométricas e algébricas que os geômetras 
tradicionais a denominaram spira mirabilis, a espiral milagrosa. Enquanto o raio da espiral 
aumenta em progressão geométrica, o ângulo radial aumenta em progressão aritmética. São duas 
progressões numéricas que produzem todos os quocientes sobre os quais se constroem as escalas 
musicais. Podemos desta forma encontrar nestas espirais de figuras gnomônicas uma relação 
próxima entre as leis temporais do som e das leis proporcionais do espaço. 
O crescimento do cérebro humano parece ter-se efetuado por expansão gnomônica. O mesmo 
bulbo (o cérebro interno ou posterior) que dominava durante a fase réptil da evolução continua 
presente em nós. Acima deste, está o cérebro médio, a zona límbica que era o aparelho mental 
dominante durante a evolução mamífera; e por fim, apareceu o córtex cerebral no homem 
superior. 
A expansão gnomônica na natureza forma desenhos visíveis das sucessivas etapas do 
crescimento. Isto está relacionado de forma interessante com nossa noção de tempo. Geralmente, 
concebemos o tempo ou como um fugaz movimento direcional de um passado que se dissolve em 
direção a um futuro imaginário, passando por um presente imperceptível, ou então, misticamente, 
como uma plenitude eterna que abarca tudo. O princípio gnomônico traz uma terceira descrição 
do tempo. O tempo como a expansão de um crescimento após outro, uma evolução, poderíamos 
dizer, pertencente às energias conscientes que transcendem suas formas e substâncias transitórias. 
Segundo a sabedoria chinesa, "o corpo inteiro da consciência espiritual progride sem pausa; o 
corpo inteiro da substância material sofre uma decadência sem interrupção." Neste modelo, o 
tempo passado continua presente enquanto forma, e a formação cresce mediante as pulsações da 
expansão gnomônica rítmica. Se retiramos a capa ou compartimento recém segregado pela 
concha do nautilis, na realidade estamos regressando no tempo de sua vida. As formas 
desenvolvidas logaritmicamente sempre comportam este elemento de retenção do tempo passado 
e, portanto, simbolizam a evolução, não da substância, mas da consciência. 
Comentário do 
Caderno 
de Práticas 6 
 
 
O esquema gnomônico como base 
do desenvolvimento do cérebro 
através da evolução. 
Antigos problemas 
matemáticos chineses, baseados 
no princípio gnomônico. 
71 
 
 
 
No tempo gnomônico, todas as fases existem em capas que estão sempre presentes, como a 
estrutura em anos-luz do espaço galáctico que nos permite, quando contemplamos de noite um 
céu estrelado, vislumbrar o passado dos corpos celestes distantes, enquanto as capas de luz que 
estão além da luz visível são as ondas de energia futura que alcançarão a terra e influirão sobre 
ela. Todos os aspectos do mundo material,incluídos nossos próprios corpos, estão portanto em 
tempo passado, existindo numa capa gnomônica residual que já foi rebaixada pelas fluentes 
energias cósmicas. É uma idéia algo perturbadora, mas que não difere muito da noção de tempo 
que nossos ancestrais tinham. Diz o Atharva Veda: 
O homem e a forma estão no Resíduo. O mundo é o Resíduo. Indra e Agni estão no Resíduo O 
universo está no Resíduo. O Céu e a Terra, toda a Existência está no Resíduo. A água, o oceano, a lua e o 
vento estão no Resíduo. 
Na iconografia egípcia, o quadrado e seu gnomon aparecem no trono de Osíris sobre o qual 
se senta o rei. O rei entronizado, como representante do eterno poder solar sobre a terra, se 
associa assim adequadamente com o elemento fixo, o quadrado com seu gnomon, aquele que é 
constante através do crescimento e da mudança. Mas este trono é também o trono de Osíris — a 
divindade que representa o esquema cíclico da mudança na natureza — em seu reino ultra-
terreno da potencialidade. Neste sentido, o trono é o suporte fixo em que devem descansar os 
fluxos dos ciclos osirianos. 
O trono em que Osíris está sentado é claramente representado por um 
quadrado de 4, transformando-se num quadrado de 5, mediante o princípio 
da 5 , na qual se baseiam todas as proporções de . Surge, portanto, como 
sede do mundo da transformação através da morte e do renascimento, 
representado por Osíris. 
 
 
Esta figura representa também a passagem do 4 ao 5, isto é, do reino elementar ou mineral, 
associado com o número 4, ao reino da vida, associado ao número 5, pois a natureza começa a 
criar figuras pentagonais apenas com o advento da vida. A unidade original dentro dos quatro 
quadrados do 22 se projeta para fora para formar o gnomon, a quinta parte, que é igual em sua 
superfície a cada um dos outros quatro quadrados. 
O rei vivo não é apenas o representante terreno do eterno poder solar, mas também é Horus, o 
filho de Osíris, que recebe a essência-força de seu pai e a devolve ao mundo. A relação entre pai 
e filho ou entre o rei morto e o rei vivo era muito importante na sociedade tradicional, e pode ser 
vista como a pulsação de retenção gnomônica do passado no presente e no futuro. Se o poder a 
influência do rei morto, o pai, estão relacionados com 
72 
 
 
o quadrado original, e as energias e atividades do rei vivo com sua expansão gnomônica, teremos 
a imagem de uma ordem social baseada na relação entre o indivíduo e sua comunidade ancestral. 
A surpreendente continuidade da antiga cultura egípcia ao longo de três milênios demonstra uma 
contínua inovação na qual nada da experiência essencial do passado se perdia. 
O quadrado e seu gnomon servem pois como imagem arquetípica de certos tipos de 
crescimento na natureza, e como imagem do tempo e da evolução em si mesma. Esta figura é 
valiosa para nos ajudar a ver além da superfície das coisas e poder identificar sua configuração 
subjacente, função que tem sua própria dinâmica e seu próprio mecanismo. 
Mediante um enfoque filosófico da geometria, tentamos contemplar as características da 
forma enquanto portadoras de significado em si mesmas. Por exemplo, há uma mensagem 
teolológica contida na própria espiral, pois esta se move em direções sucessivamente opostas em 
direção à expansão final, tanto do infinitamente expandido, como do infinitamente contraído. A 
espiral se aproxima constantemente destes dois aspectos incompreensíveis da realidade 
derradeira, e portanto simboliza um universo que avança em direção à perfeita singularidade de 
onde surgiu. Assim, os braços em forma de espiral de nossa galáxia constituem uma imagem da 
continuidade entre polaridades fundamentais: o infinito e o finito, o macrocosmos e o 
microcosmos. 
 
 
O templo egípcio de Luxor utiliza na sua arquitetura o princípio gnomônico, como no templo 
hindu, mas de maneira bastante diferente. Aqui, as fases de construção do templo, que são 
regidas pelas diferentes proporções de do quadrado inicial do santuário interior, coincidem 
com as fases de crescimento do corpo humano, simbolizado por toda a planta do templo. 
 
73 
VII. A quadratura do círculo 
Aqui são apresentados diferentes diagramas que aparecem na literatura dedicada à geometria 
sagrada, relacionados todos eles com a singular idéia que se conhece como a "quadratura do 
círculo". Trata-se de uma prática cujo objetivo é construir, sem mais instrumentos do que um 
comum compasso e uma régua, um quadrado que seja virtualmente igual em seu perímetro à 
circunferência de um círculo dado, ou que seja virtualmente igual em área, à área de um círculo 
dado. Posto que o círculo é uma figura incomensurável baseada no n, não é possível desenhar um 
quadrado que o iguale, senão aproximadamente. Contudo, a quadratura do círculo é de grande 
importância para o geômetra-cosmólogo, pois para ele o círculo representa o espírito-espaço puro 
e não manifesto, enquanto o quadrado representa o mundo manifesto e compreensível. Quando se 
atinge uma igualdade quase completa entre o círculo e o quadrado, o infinito é capaz de expressar 
suas dimensões ou qualidades através do finito. 
Caderno de práticas 7 
Quadrando o círculo 
Nas páginas seguintes, convidamos o leitor a seguir uma 
forma de quadrar o círculo, que contém muitas chaves 
simbólicas para a contemplação da criação universal. 
Comecemos por traçar um círculo, reconhecendo-o como a 
metáfora geométrica de um espaço homogêneo e não 
diferenciado. Como em nossos outros diagramas, esta 
unidade-espaço deve dividir-se numa dualidade para poder 
criar. Comecemos portanto por dividir a unidade-círculo em 
duas metades, divisão que se dá dentro da unidade inicial. 
Figura 7.1. Traçar um círculo de centro O e raio OA = 1. 
Traçar os diâmetros AA' e BB' em ângulo reto. Com 
seu centro no diâmetro BB', traçar dois círculos, cada um 
deles com um raio que seja a metade do raio do círculo 
original. A partir do ponto A, traçar um arco NM tangente às 
circunferências dos círculos interiores. Repetir a partir do 
ponto A'. Construir o quadrado ACB'O a partir do raio OA 
do círculo original. 
Tal como mostra o arco da semi-diagonal deste 
quadrado, o raio AE do arco NEM é , e os arcos NEM e 
NDM dividem os raios AO e AO' na secção áurea de 1/ e 
1/ 2. 
Ao dividir desta maneira o círculo unitário em dois, 
surge um curioso paradoxo, no qual se baseia o símbolo 
tradicional do yin-yang. As duas 
 
 
 
circunferências dos círculos interiores somadas são iguais à 
do círculo maior, mas a área contida nos dois é apenas a 
metade da do círculo original. O 1 se tornou em 2. Tanto a 
mitologia hindu, como a alquimia medieval européia nos 
apresentam a mesma metáfora para contemplar este mistério 
de uma unidade homogênea que se torna uma dualidade 
polarizada: quando se deixa repousar o leite homogeneizado 
ou muito batido a uma temperatura moderada, entrará em 
fermentação ácida que coagulará o leite, formando os 
glóbulos de gordura da coalhada, que flutuam no soro 
aquoso. Temos então a separação entre duas formas surgidas 
de uma fonte comum que se repelem mutuamente. 
Mitologicamente, este processo natural é simbolizado como 
Caim e Abel, como Set e Horus, Indra e os assírios, etc; a 
interação universal e antagônica que forma a vida: é o yin e 
o yang. 
Quando formamos geometricamente o continente dos 
dois círculos traçando um arco a partir de cada extremo do 
diâmetro vertical tangente aos dois círculos, terminando 
ambos os arcos no diâmetro horizontal, vemos que estes 
dois arcos cortam o raio vertical OA (considerado como 1 
ou a unidade) na secção áurea de 1/ e 1/ 2. O número 
áureo como divisão primeira da unidade é aqui análogo ao 
provocador invisível, o poder universal contrator ou 
coagulante. Também é evidente que o raio deste arco é igual 
a 1 + 1/ , ou seja, . 
A "vesica" que encerra a dualidade primeira 
(semelhante à "vesica piscis" do "Caderno de práticas 2",mas de proporções diferentes) encontra-se onde quer que 
seja no Egito como símbolo de Rá, a força solar doadora de 
vida, o mundo da emanação, a boca que pronuncia os 
nomes dos deuses, as frações. A boca de Rá também 
assemelha-se ao movimento descrito por uma corda que 
vibra (veja-se a página 22). 
Figura 7.2 O arco de Rá, que é tangente aos dois círculos 
interiores, corta o círculo exterior ou unidade no ponto exato 
que determina o lado de um pentágono regular inscrito no 
círculo exterior, medido desde o extremo superior do 
diâmetro vertical até J, à esquerda, e até F, no extremo 
inferior do diâmetro vertical, e traçando um arco tangente à 
curva mais próxima dos círculos gêmeos, podemos obter o 
comprimento exato de um terceiro lado do mesmo 
pentágono inscrito, que toca o círculo exterior à esquerda 
em H e à direita em G. Em seguida, unindo simplesmente os 
dois pontos superiores do pentágono a cada extremo da 
base, formamos um pentágono perfeito inscrito no círculo. 
Assim, ao mesmo tempo que a excisão original ou 
contração em dois, temos o plano do retorno; o pentágono, o 
símbolo da vida, com sua simetria quíntupla que aparece 
apenas nos organismos vivos. É a figura atribuída aos 
aspectos físicos e vitais do homem, que por meio dos cinco 
sentidos percebe o mundo natural e desta maneira assume 
existência. O pentagrama da estrela formado pelas diagonais 
do pentágono simboliza a humanidade transformada ou 
aperfeiçoada, pois todos os segmentos do pentagrama da 
estrela derivam da secção áurea (veja-se a página 52). 
Desta forma, a divisão inicial, que dá simultaneamente 
as proporções de uma simetria quíntupla, leva em si uma 
mensagem teolológica que é da vida enquanto força 
elevatória, e retorna até à luz, como vemos nas plantas que 
ao crescer giram em direção à fonte de energia luminosa 
que incorporam. Esta elevação se dá geometricamente no 
momento em que se inicia a criação, quando o 1 se torna 2. 
Uma vez invocado este princípio em nossa metáfora 
geométrica da criação, podemos proceder com a quadratura 
simbólica. 
 
 
 
Esta quadratura do círculo medieval mediante 
o pentágono se utiliza para simbolizar a 
harmonização da intuição (indicada pelo 
pentágono) e da razão (indicada pelo 
quadrado), ou a idéia de que o infinito (o 
círculo) comunica com a inteligência humana 
através das leis da harmonia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.3. Inscrever o círculo inicial 
num quadrado. Em seguida, traçar um círculo a partir do 
mesmo centro do círculo original e cujo raio seja a distância 
até à ponta da "vesica". Este círculo será igual em 
circunferência ao perímetro do quadrado tangente ao círculo 
inicial. 
Sabemos que o quadrado que circunscreve o círculo 
original de raio 1 tem um lado de 2. Logo, o perímetro deste 
quadrado é 8 e, portanto, é aproximadamente igual à 
circunferência do círculo maior, ou seja, 7,993. 
Obtemos assim o valor de n que segundo se acredita, foi 
utilizado pelos antigos egípcios para a construção da Grande 
Pirâmide: 
enquanto o verdadeiro K é 3,1415926... 
Um n quase exato, utilizando o número áureo é 2 X 6/5 
= 3,1416404... O quociente 5 : 6 ou 1 : 1,2, por certo, é a 
função que relaciona π com π , e 1,2 é igual à relação entre 
12 e 10. Doze é o número de círculos do tempo cósmico, é o 
número da realização, tanto que o quociente de 6 por 5 
relaciona o hexágono com o pentágono. 
Voltando à nossa figura, utilizando o lado da quarta 
parte do quadrado (que é idêntico ao raio do primeiro 
círculo) como unidade, podemos determinar estes valores: 
Figura 7.4. Esta figura se baseia no seguinte: 
O raio do círculo que circunscreve a boca de Rá, 
segundo Pitágoras: 
 
 
 
 
 
Figura 7.5. O objetivo seguinte é construir um quadrado 
cuja área seja igual à do círculo original. Para inscrever 
três pentágonos, marcar o ponto correspondente no 
círculo e, em seguida, traçar a bissetriz dos segmentos 
resultantes. Isto nos dá os pontos de partida dos três 
novos pentágonos, de tal forma que o número total de 
vértices é 20. Isto pode simbolizar para nós a simetria 
quíntupla da quinta-essência, o florescimento do princípio 
da vida em seu retorno à luz, que se expressa em termos 
de simetria quádrupla, nos elementos da natureza: a terra, 
o ar, o fogo e a água. 
 
 
Figuras 7.6, 7.7 e 7.7a. Se partimos do ponto A, em que o 
primeiro pentágono toca o eixo vertical, e traçamos uma 
linha reta que passe pelo segundo e o quinto vértice dos 
pentágonos, e em seguida prolongamos estas linhas até aos 
eixos vertical e horizontal (PQ), este será o primeiro lado 
de um quadrado. Sigamos este traçado para formar as 
linhas QR, RS e SR Utilizando os métodos geométricos de 
cálculo do pentágono e sua diagonal do "Caderno de 
Práticas 5", podemos determinar os valores dados nas 
figuras 7.7 e 7.7a, e comprovar assim que este novo 
Y 
quadrado será aproximadamente igual em área à superfície 
do círculo inicial. A metade da diagonal do quadrado, OP = 
1,26006, e lado do quadrado 
PQRS = 1,26006 x 2 = 1,7819938. 
Esta é uma quadratura extraída de um desenho da Idade 
Média e não é matematicamente muito exata, mas 
simbolicamente é de grande simplicidade e beleza. Os 
números dados mostraram que o lado é de 1,7819938, 
enquanto um quadrado mais perfeito seria de 1,7724397, o 
que leva a uma diferença de 0,0095548, ou um n igual a 
3,17. 
 
 
 
A circunvalação ao redor da Kaaba (cubo) 
em Meca é um ritual simbólico relacionado 
com o conceito da quadratura do círculo. 
 
Figura 7.8. Combinando os desenhos, reparamos que a 
"vesica", ou boca de Rá, formada pelo quadrado inicial 
abstrato, não toca, mas sim emite o segundo quadrado 
manifesto (o da superfície). Aqui temos num diagrama a 
relação geométrica clássica entre o círculo e o quadrado, 
entre o mundo espiritual e o material. Na seção seguinte, 
trataremos esta mesma relação em volume, entre a esfera e o 
cubo. 
 
 
 
VIII. A mediação: a geometria 
se torna música 
Estudamos a divisão da unidade tanto através da idéia da função raiz (a raiz geradora de 2 e a 
raiz regeneradora de 5), como da idéia das proporções de três e quatro termos que delas resultam. 
Nesta seção, veremos conjuntamente a idéia de proporção e da raiz, de tal maneira que sua 
relação possa ser entendida plenamente e, ao mesmo tempo, mostraremos como esta geometria 
resultante se torna a base da harmonia musical. Esperamos que isto traga luz sobre a afirmação de 
Goethe: "A geometria é uma música imóvel". 
A melhor aproximação a estes objetivos reside naquilo que se considera a pedra de toque das 
antigas matemáticas filosóficas, a ciência da mediação, que é a simples observação das funções 
dos termos médios. Utilizando nossa explicação das proporções de três e quatro termos (página 
44) como ponto de partida, prestemos atenção acima de tudo à advertência de Platão, segundo a 
qual as comparações baseadas em quatro elementos, isto é, em "proporções descontínuas de 
quatro termos", são do tipo que ele denomina "saber particular", que é de caráter vulnerável, 
aberto à disputa e à arbitrariedade. Em oposição a este, está o "saber essencial", que não é uma 
simples acumulação de dados factuais ou conceituais pertencentes a objetos ou fenômenos, mas 
que consiste numa consciência de conceitos metafísicos, mediante os quais a mente alcança sua 
capacidade de compreensão. As leis que regem a criação de coisas são as mesmas leis que 
permitem sua compreensão, e o saber essencial é um entendimento destas leis. Tal conhecimento 
se pode atingir, segundo Platão, através do estudo da mediação, que é a união de dois termos 
extremos por um simples termo médio. Vimos o exemplo das proporções compostas de três 
termos, a : b : : b : c, o que chamamos proporção geométrica e que os gregos chamavam logos. 
Mas esse exemplo simples não é a única proporçãode três termos, e a ciência da mediação 
explora todos os sistemas proporcionais possíveis entre três termos, não apenas através de uma 
relação proporcional direta, mas também através do jogo da diferença. 
Pode-se definir uma proporção de mediação como um grupo de três números desiguais tais 
que entre duas de suas diferenças a relação é a mesma que a de um destes números entre si 
mesmo ou entre um dos outros dois números. 
Este estranho "koan" matemático contém a fórmula das três principais médias: a aritmética, a 
geométrica e a harmônica. 
Vejamos passo a passo a definição das três médias. Uma proporção média é formada por um 
grupo de três números quaisquer, sendo a maior do que b e b maior do que c (a>b>c), de tal 
maneira que "...duas de suas diferenças", isto é: 
a — b (esta é uma diferença) 
e b — c (esta é a segunda diferença) 
"... a relação, isto é 
a — b : b — c 
"...é a mesma que a de um destes números em relação a si mesmo" (caso 1): 
a — b : b — c :: a : a, b : b, c : c 
"...ou a mesma que a de um destes números em relação a um dos outros dois": 
(caso 2) a — b : b — c : : a : b ou 
(caso 3) a — b : b — c: : a : c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 80 
No caso 1, se resolvemos o termo médio b, a expressão se transforma em b = (a + c)/2, que é 
a fórmula geral de uma proporção aritmética. 3, 5, 7 é uma progressão aritmética com uma média 
aritmética b = 5. 
No caso 2, se resolvemos o termo médio b, a expressão se transforma em b2 = ac ou b = ac , 
que é a fórmula geral de uma proporção geométrica. 4, 8, 16 é uma progressão geométrica cujo 
termo médio b = 8. 
No caso 3, o termo médio é b = 2ac/(a + c) e esta é a fórmula geral da proporção harmônica. 
2, 3, 6 é uma progressão harmônica com o termo médio b = 3. 
Esta definição da mediação dá-nos então a fórmula geral de todas as nossas operações 
matemáticas básicas. A proporção aritmética contém a lei da soma e da sua inversa, a subtração, 
e descreve a relação que produz a série natural dos números cardinais 1, 2, 3, 4, 5, 6... etc. A 
proporção geométrica contém a lei da multiplicação e sua inversa, a divisão, e descreve a relação 
que produz qualquer série de progressões geométricas. Conforme dissemos, a soma e a 
multiplicação são símbolos matemáticos de modelos de crescimento. A média harmônica deriva 
de uma combinação dos dois primeiros; é formada por uma multiplicação de dois extremos 
quaisquer (a, c), seguida da divisão deste produto pela sua média ou média aritmética (a + c)/2. 
Por exemplo se tomamos dois extremos, 6 e 12, o produto de 6 por 12 = 72; a média aritmética 
entre 6 e 12 é 9 e 72 + 9 = 8; logo, 6, 8, 12 é uma proporção harmônica. 
Aritmética: 
Geométrica: 
Harmônica 
 
Cada proporção tem um número de características que lhe são próprias. Por exemplo, a 
proporção aritmética mostra igual diferença, mas um quociente diferente. Assim, na proporção 
aritmética 3, 5, 7, 
7 — 5 = 5 — 3, mas 7/5 não é igual a 5/3. 
Uma proporção geométrica, por sua vez, se caracteriza por ter o mesmo quociente, mas 
desigual diferença. Assim, na proporção geométrica 2, 4, 8, 
4/2 = 8/4, mas 4 — 2 não é igual a 8 — 4. 
O traço mais importante e misterioso da proporção harmônica é o fato de que o inversa de 
toda progressão harmônica é uma progressão geométrica. Assim, 2, 3, 4, 5 é uma progressão 
aritmética ascendente, enquanto a série inversa 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 é uma progressão harmônica 
descendente. Na música, é a inserção das médias harmônica e aritmética entre os dois extremos 
em forma de quocientes duplos — que representam a oitava dupla — a que nos dá a progressão 
conhecida como a proporção "musical", isto é, 1, 4/3, 3/2, 2. Por outras palavras, as médias 
aritmética e harmônica entre os duplos quocientes geométricos são quocientes numéricos que 
correspondem aos intervalos tonais da quarta perfeita e da quinta perfeita, as consonâncias 
básicas em quase todas as escalas musicais. 
A estrutura proporcional básica que contém os axiomas para nossas operações matemáticas 
primárias é também a estrutura proporcional básica das leis musicais. Investiguemos mais a 
fundo o papel destas três proporções como as formas arquetípicas do pensamento para a 
totalidade do universo da música. 
A progressão 1, 4/3, 3/2, 2 representa as freqüências do tom fundamental, da quarta, da 
quinta e da oitava. Procuramos em seguida as proporções aritméticas e harmônicas entre os 
comprimentos de corda 1 e 1/2, que representam a divisão pela metade da corda 
 
 
 
81 
 
A oitava musical baseia-se em um tom cuja freqüência vibratória está 
exatamente relacionada com outro tom na proporção de 2:1. No 
violão, por exemplo, se pulsamos a primeira corda inteira, EX, 
tocaremos um tom fundamental chamado E (Mi) na notação musical. 
Para facilitar os cálculos, daremos a este som o valor 6, que designará 
suas vibrações por segundo (na realidade, 82,5). Se depois apoiamos 
o dedo no traste E' (Mi) e tocamos a longitude de corda E'X, sua 
freqüência vibratória será o dobro que a de EX. Assim obtemos o 
valor numérico de 12, que forma a relação 2:1 com 6. 0 tom E'X =12 
chama-se oitava de E (Mi). O som da oitava tem a estranha 
característica de ser da mesma qualidade que o tom fundamental, ao 
ponto de que parece fundir-se com ele, mas é de um registro muito 
mais agudo. A experiência de ouvir a oitava contém o mistério da 
simultaneidade entre a igualdade e a diferença. Esta qualidade de 
perceber ao mesmo tempo a igualdade e a diferença faz parte do 
equilíbrio espiritual que a geometria sagrada 
pretende cultivar: aquele que precisamente discerne e ao mesmo 
tempo integra harmoniosamente. 
Da mesma forma, se apoiamos o dedo no traste do violão 
marcado B(Si) e , tocamos a longitude da corda BX, o tom terá a 
relação de 3:2 com a fundamental EX, ou tal e como mostramos, 9:6. 
Este tom B(Si) é um belo som consoante e chama-se a quinta musical 
porque é o quinto tom numa série natural de divisões da corda EX, a 
escala maior diatônica com E como Do e B como Sol. Há uma escala 
de oito intervalos tonais naturais entre E e E', por isso o nome 
"oitava". Se apoiamos o dedo no traste assinalado como A(La) e 
fazemos soar a corda AX, soará outra nota consoante chamada quarta, 
e sua freqüência se dará de acordo com a relação de 4:3 com a 
fundamental, ou como aqui se indica, de 8:6. 
batida, com a que se aumenta a freqüência em uma oitava. Isto nos dá a progressão 1, 3/4, 2/3, 
1/2, posto que a média harmônica entre 1 e 1/2 = 2/3, a quinta musical, e a média aritmética entre 
1 e 1/2 = 3/4, a quarta musical. Comparando estas progressões, verificamos uma inversão de 
quocientes e um cruzamento das posições funcionais entre as médias aritmética e harmônica. 
O mistério da harmonia musical que se desenvolve a partir de uma inversão simultânea 
também implica a simultaneidade da soma e da multiplicação A oitava do tom fundamental se 
obtém mediante a soma dos intervalos: em comprimento de corda, a quinta mais a quarta 
equivale à oitava, e também a multiplicação da freqüência de vibração da quarta pela da quinta é 
igual à oitava (4/3 X 3/2 = 2). O efeito combinado da adição e da multiplicação produz o 
logarítmo em matemática, e conforme vimos, a proporção áurea é o arquétipo desta forma de 
crescimento. 
A tabela anterior expressa o mistério explícito da lei do som, que consiste em que os números 
considerados como relações de freqüência numa escala ascendente são iguais aos comprimentos 
de corda na escala descendente. A lei da harmonia musical, vista da perspectiva da proporção de 
mediação, se torna em símbolo da lei da ordem natural, o "tao" dos mundos criados, em que a 
interação de movimentos opostos mas simultâneos cria por sua vez o som e a forma. 
Podemos agora começar a visualizar este princípio numérico e harmônico em plano 
geométrico. 
A média geométrica se encontra na fórmula b2 = ac. 
A médiaharmônica corresponde à fórmula b (a + c) = 2ac, isto é, o produto da soma dos 
extremos, multiplicado pela média, é igual a duas vezes o produto dos extremos, ou 
 
A proporção geométrica chama-se a proporção perfeita porque é uma relação proporcional 
direta, uma igualdade na proporção ligada por um termo médio. As médias aritmética e 
harmônica conseguem esta perfeição mediante o intercâmbio das diferenças num jogo de 
alternâncias e inversão. 
Esta tabela mostra a inversão e o cruzamento simultâneos dos termos 
médios aritméticos e harmônicos na proporção musical, considerados 
do ponto de vista da vibração e do comprimento da corda. 
82 
 
 
Caderno de práticas 8 
Geometria e música 
Tratemos agora de verificar em progressões numéricas o 
que acabamos de expressar em palavras. Tomando primeiro 
a série geométrica, alinhamos duas séries geométricas (de 
quociente 2), uma que começa pelo primeiro número ímpar 
(masculino) que segue a unidade, o 3, e a outra que começa 
pelo primeiro número par (feminino), o 2. 1 : 2 simboliza 
numericamente a oitava, a média espacial em que a primeira 
divisão por 3 (que dá a quinta 2/3) simboliza a função-
semente proporcionadora da forma, que registra e especifica 
as divisões proporcionais fixas dentro do oceano primário 
do som indiferenciado, a oitava. 
3 6 12 24 48 
2 4 8 16 32 
Na sua obra Timeo, Platão demonstra que a 
multiplicação de 2 por 3 nos dá todos os números do 
sistema de afinação de Pitágoras, mediante multiplicações 
sucessivas por quintas (3.2). E como platônicos, recordamos 
que o 2 simboliza o poder de multiplicidade, a oitava, o 
receptáculo feminino mutável, enquanto que o 3 masculino 
simboliza o que proporciona o modelo, especificador, 
fixador e imutável, cuja tabela de multiplicação produz a 
totalidade da música. Esta era a "música das esferas", as 
harmonias musicais tocadas entre estes dois primeiros 
símbolos masculino e feminino. 
 
Este diagrama de Giorgi mostra as duas progressões de 2 e de 3, tal 
como as apresenta Platão em sua obra Timeo. associadas com a 
proporção musical 6,8,8,12. Utiliza a proporção musical como base 
dos números que geram uma sucessão musical de oitavas, quartas e 
quintas, construindo assim um sistema harmônico que podia ser 
utilizado como modelo na arquitetura, na pintura e em outras artes. 
Façamos agora com que estas duas séries geométricas 
se interpenetrem, de tal forma que as progressões 
geométricas atuem como uma espécie de copulação: 
Harmônica 
Podemos ver aqui que qualquer sucessão de três 
números intercalados traz alternativamente uma proporção 
aritmética e uma proporção harmônica: 2, 3, 4 é aritmética; 
3, 4, 6 é harmônica; 4, 6, 8 é aritmética; 6, 8, 12 é 
harmônica, etc. Assim, a fusão entre o número masculino, 
gerado geometricamente, e o número feminino, também 
gerado geometricamente, nos proporciona duas 
possibilidades proporcionais alternativas. 
Tomemos agora o mesmo que vimos em estrutura linear 
e vejamos em estrutura formal, mediante a tabela de 
Lambda: 
É uma disposição triangular de números, onde se 
entrecruzam a progressão geométrica do 2 (horizontal) e a 
progressão do 3 (diagonal). Todos os números verticais 
sucessivos formam entre si o quociente 2 : 3, que vem a ser 
o mesmo que multiplicar um termo por 3/2, para obter o 
número seguinte. Esta multiplicação sucessiva por 3/2, a 
quinta musical, é o método utilizado pelos pitagóricos para 
gerar a escala musical. As origens da série de números que 
aparece nas páginas 82 e 83 tornam-se agora evidentes. 
O caráter generativo da tabela de Lambda se enfatiza na 
gravura em madeira de 1503 (página 7), mediante sua 
reprodução nas pernas da mulher. Examinando a tabela, 
podemos ver que cada quadrado de quatro números, por 
exemplo, 2, 4, 6, 3, contém em seu interior duas progressões 
aritméticas (isto é, 2, 3, 4 e 2, 4, 6), que compõem os três 
lados superiores do quadrado e 
Aritmética Harmônica 
 
83 
Aritmética 
 
 
uma diagonal. Vemos na mesma figura as progressões 
harmônicas 2, 3, 6 e 3, 4, 6 que formam três lados de um 
quadrado, dois deles que coincidem com a primeira 
proporção e o outro que forma o quarto lado do quadrado e 
a outra diagonal. Temos, portanto nesta tabela de Lambda, 
que nos foi transmitida por Nicômano de Gerasa, uma 
interpenetração destas duas proporções que 
produz o quadrado, que como vimos é o símbolo dos reinos 
finitos, cognoscíveis e manifestos. Estes são os números e 
as proporções musicais com as quais, segundo Platão, 
estava ajustada a "alma do mundo". 
Outro exercício geométrico mostra a relação entre as 
funções da raiz e os princípios da mediação, que criam o 
mundo da harmonia na música. 
 
Figura 8.1 Utilizando o quadrado como unidade, sendo seu 
lado e sua área iguais a 1, observaremos mediante a prova 
geométrica ou mediante a trigonometria, que cruzando a 2 
com a 5/2 , e levantando simplesmente uma perpendicular 
desde o ponto de interseção até ao lado (1), dividimos a 
unidade em 1/3 e 2/3, e utilizando a unidade como termo 
maior, temos uma proporção aritmética de termos: 1/3,2/3, 1. 
1 - Aritmética 
Figura 8.2 Utilizando de novo o quadrado como unidade e 
por meio de um arco desde o canto inferior esquerdo, 
projetemos o comprimento do lado 1 até sua interseção com a 
diagonal 2 . Traçar depois um arco desde o canto superior 
direito até ao lado superior do quadrado. Voltamos a ter um 
ponto no lado superior, através do qual podemos dividir o 
quadrado, mas esta divisão cria uma proporção harmônica de 
três termos ( 2 -l),(2- 2 ), 1. 
 
( 2 - 1), (2 - 2 ), 1 - Harmônica 
Figura 8.3 A última divisão do lado do quadrado 1 se 
realiza com a 5/2 . Efetua-se traçando um arco desde o 
ponto de interseção entre o meio do lado e a semi-
diagonal, e um arco de raio igual à metade do lado, até o 
lado superior do quadrado. Isto divide nossa unidade em 
proporção geométrica, 1/ 2; 1/ ; 1. 
 
 
 
Media 
aritmética 
Media 
harmônica 
Media 
geométrica 
Este é o análogos ou proporção geométrica tal 
como se expressa na divisão em termos extremo e 
médio, mas no interior da mesma unidade inicial. 
As três médias foram construídas com a condição de que 
o 1 é o maior dos três termos. Esta série era considerada 
como uma configuração das proporções transcedentais 
(supra-racionais), pois todas elas são conteúdos 
incomensuráveis na unidade inicial. 
(Recordemos que a própria música antiga é construída 
sobre relações de números inteiros unicamente, mas o 
princípio da estrutura musical pertence às divisões supra-
racionais da unidade.) As três médias compreendem a 
trindade das trindades, três expressões proporcionais únicas 
de três termos cada uma. Expressam mediante as raízes 
sagradas de 2 e de 5 a divisão harmônica essencial tanto do 
tempo (música), como do espaço (geometria), e foram muitas 
vezes utilizadas nas culturas tradicionais como base da 
arquitetura, da arte, da ciência, da mitologia e da filosofia. 
Figura 8.4. Apresenta-se aqui uma forma de desenhar um 
vaso de belas proporções, ou vasilha em forma de taça. 
utilizando somente a divisão harmônica para estabelecer suas 
curvas e medidas. Podemos conjecturar dizendo que esta é a 
essência geométrica do Santo Graal. 
Dado um quadrado ABCD de lado 1, traçar suas 
diagonais AC e BD. Com o raio BD e do centro B traçar o 
arco DC para formar BG = 2 . Com raio CG e do centro C 
traçar o arco GF. Com raio AF e do centro A traçar o arco 
FB para completar a metade da silhueta do "grial". Repetir 
no lado oposto para completar a figura. 
 
Devido talvez ao fato de que o estudo das leis da mediação nos permite vislumbrar a relação 
fundamental entre a música e a geometria, Platão diz em sua obra Septima carta que é mais 
venerável do que o estudo de qualquer outro conhecimento. Talvez por esta mesma razão, osegípcios tenham construído as duas grandes pirâmides de Gizé, uma delas baseada em 
1, , — o único triângulo cujos lados estão em progressão geométrica — e a outra com seus 
lados baseados na progressão aritmética 3,4,5. Em nossos dias, Simene Weil fala-nos da 
importância deste estudo como base filosófica do misticismo cristão. 
Na obra de Hans Jenny, é onde podemos começar a ver a relação entre forma e som no 
mundo físico. As experiências de Jenny demonstraram que as freqüências de som tendem a 
ordenar as partículas soltas em suspensão, ou a organizar emulsões em dispersão hidrodinâmica 
segundo esquemas ordenados, formais e periódicos. Por outras palavras, o som é um instrumento 
mediante o qual os esquemas de freqüência temporal podem se tornar esquemas formais 
espaciais e geométricos. 
Maior Mediano Pequeno 
 
 
Sistema planetário baseado na proporção musical 6,8,9,12 da 
média aritmética e da média harmônica entre os quocientes 
geométricos 6 e 12, junto com os demais tons da escala diatônica 
(maior) Pitagórica. 
O cânone da figura humana de Alberto Durero é totalmente 
composto por proporções derivadas das três únicas divisões da 
unidade nas proporções aritmética, harmônica e geométrica. 
 
As freqüências sonoras nesta experiência fazem com que as 
partículas soltas se organizem em esquemas geométricos. 
 
(Direita) Os esquemas de interferência na freqüência dos 
efeitos eletrônicos geram simetrias geométricas. A figura de 
sete pontas surge do círculo e a ele retorna. 
Imagem das vibrações do "som da semente", o Om. 
 
87 
 
 
Este desenho combina duas figuras importantes: o triângulo 
3, 4, 5 e o médio áureo, produzindo as proporções musicais. 
Embora indiquemos os diferentes passos para construir o 
diagrama, não o recomendamos aos geômetras principiantes. 
Baseia-se num desenho de A Proporção Divina de H.E. 
Huntley. Construir um círculo de centro L e raio LA e traçar 
o diâmetro AC. Traçar uma linha perpendicular a AC que 
passe por A. Desenhar um arco de centro A e de raio AC até 
F. Traçar uma linha de F passando pelo centro L que corte o 
círculo em H. Traçar uma linha perpendicular a FH de A que 
corte o círculo em D. Repetir com CB perpendicular a FH. 
Traçar o retângulo ABCD. (ABCD é um retângulo 1:2, como 
demonstra que LA = 1/2AF. O triângulo LJC é similar ao 
triângulo LAF.JL - 1/2 JC. BA = 1/2 BC) Construir o 
triângulo 3, 4, 5 traçando uma linha de F tangente ao círculo 
em D e propagando-a até cortar o diâmetro AC em E. A 
prova do triângulo 3,4,5 faz-se mediante o método egípcio 
da adição dos ângulos: AFM e DFM são ambos ângulos 1:2. 
No Antigo Egito, o sentido do ouvido - isto é, a resposta direta 
às leis proporcionais do som e da forma - era considerado como 
a base epistemológica da filosofia e da ciência. Isto evoca o 
harpista cego, cuja sabedoria proverbial não procede do mundo 
visual da aparência, mas de uma visão interna da lei metafísica. 
Várias ciências estão hoje verificando a antiga visão cosmogônica de uma criação que vibra 
mediante a palavra criadora ou som cósmico. Alain Daniélou assinala que nesta absorção do 
misterioso intercâmbio entre vibrações e formas se basearam as grandes culturas espirituais do 
passado: 
Desde os átomos até ao universo, cada um dos movimentos cósmicos possui um tempo, um 
ritmo, uma periodicidade, e pode se comparar então à vibração, e portanto, a um som que expressa sua 
natureza. Nem todas as vibrações são perceptíveis aos nossos ouvidos, mas as relações entre as vibrações 
podem ser comparadas às relações entre freqüências audíveis. Todos os átomos podem considerar-se 
como formas de uma energia que se expressa a um ritmo, e todas as substâncias são caracterizadas por 
uma relação particular de ritmos que se pode representar mediante uma relação de sons. E graças a esta 
similitude entre, por um lado, as relações dos sons, e por outra parte, as formas e as substâncias da 
natureza, que se tornam possíveis a linguagem e a música. 
Os sons puros, os sons imateriais que constituem a natureza profunda das coisas e que Kabir 
denomina "sua música inaudível", podem ser percebidas mediante instrumentos mais sutis do que os 
nossos ouvidos. Atingir sua percepção constitui uma das metas da prática destas curiosas disciplinas 
fisio-mentais, denominadas yoga." 
(Traité de musicologie comparée) 
E Sir John Woodroffe, baseando-se em suas traduções de textos hindus, diz: 
O nome natural de um ser é o som produzido pela ação concordante das forças móveis que o 
constituem. Por isto costuma se dizer que aquele que pronuncia mental ou fisicamente o nome natural de 
um ser dá a vida ao ser que leva este nome. 
(Garland of Letters) 
89 
 
IX. Anthropos 
A cosmologia geométrica que estudamos faz parte de uma doutrina mística da 
criação conhecida como "antropocósmica", uma doutrina que é fundamental na tradição 
esotérica da filosofia desde os tempos mais remotos, e que tem sido atualizada em 
nossa época por Rudolf Steiner, R.A. Schwaller de Lubicz e outros. O princípio básico 
desta teoria é que o homem não é um simples componente deste universo, mas sim o 
produto final recapitulador da evolução e a potencial semente original a partir da qual 
germinou o universo. Podemos utilizar a analogia da semente e da árvore: a árvore do 
universo é a realização do potencial da semente, que é o homem cósmico. Utilizamos 
aqui a palavra homem em relação à raiz sânscrita manas, que significa "mente", ou a 
consciência que pode refletir sobre si mesma. 
A mesma imagem de identidade entre a semente e a árvore, ou entre o homem 
cósmico e o homem transitório na árvore da evolução, aparece no livro do Gênesis. 
Para ampliá-la, utilizamos algumas idéias de As Cifras do Gênesis, do autor cabalista 
Cario Suarès, pondo-as em termos do pensamento antropocósmico. 
No capítulo 1 do Gênesis, Adão é colocado no jardim com todos os animais e 
plantas já criados. Adão é a recapitulação ou etapa final do processo evolutivo. Isto 
coincide com o paradigma do homem como possuidor e recapitulador de toda a 
evolução que o precedeu. 
No capítulo 2, Adão (concebido agora como a organização esquemática da 
totalidade do metabolismo cósmico) é o primeiro que nasce. Neste capítulo, que 
aparentemente contradiz o primeiro, Iavé-Deus cria todos os animais e os entrega a 
Adão e Adão é submetido à prova de ter que dar nomes a todos eles. Nesta prova, Adão 
reconhece cada espécie como um ramal de sua própria trajetória central. Pode dar-lhes 
nomes porque sabe que fazem parte dele. Adão é o tronco central da árvore evolutiva. 
As espécies animais são os ramos laterais, relativamente fixos e especializados, do 
agitado centro. 
A aparente contradição entre os capítulos 1 e 2 do Gênesis encontra seu paralelo na 
embriologia contemporânea, que também nos proporciona duas teorias contraditórias 
quanto ao desenvolvimento humano: a teoria da "recapitulação" e a teoria da 
"neotenia". A primeira, que corresponde ao capítulo 1 do Gênesis, é a teoria de que os 
animais repetem a etapa adulta de seus ancestrais durante o crescimento embrionário e 
pós-natal. Portanto, o embrião humano passa por todas as grandes fases evolutivas que 
o precederam: não apenas mamífero, réptil, peixe e vegetal, mas também, nas primeiras 
etapas da divisão celular, a de todos os sólidos geométricos regulares. A neotenia, no 
entanto, defende um ponto de vista praticamente oposto, que corresponde ao capítulo 2 
do Gênesis. Esta teoria se baseia no fato de que há mais de vinte características 
corporais importantes que são comuns ao homem e ao primata, mas no primata 
aparecem na etapa do embrião ou do jovem e portanto desaparecem ao crescer. 
Fisicamente, os humanos aparecem como primatas nascidos prematuramente, nos quais 
estes traços físicos foram detidos ou parados hormonalmente. 
Ao nomear as diferentes espécies, Adão reconhece, ou melhor, recorda seu próprio 
passado embrionário(recapitulação). Mas também se reconhece a si próprio como a 
semente ardente, o modelo primeiro de todo o processo orgânico da vida universal 
(neotenia). Adão, neste momento da criação, pode declarar: "Não vejo nada que não 
seja eu; não vejo nada que seja do todo como eu." Assim, Adão passa a prova. Vai além 
de sua identificação com as sucessivas fases — mineral, vegetal e animal — da 
evolução e, ao mesmo tempo, se identifica com o mais alto poder na organização da 
energia cósmica, a geometria não manifesta da semente-idéia. Mediante sua 
identificação com sua natureza original universal, Adão está pronto para encarnar-se 
em Adão Cádmion, a encarnação do homem cósmico ou divino. 
90 
 
A idéia do homem cósmico é tomada pela ciência 
contemporânea no conceito de halograma, que demonstra 
que cada fragmento de um todo contém os componentes 
da estrutura global do todo. Ao mesmo tempo, enquanto 
pormenor parcial daquele todo, este pedaço se expressa 
como indivíduo. Na ciência antiga, a aplicação metafórica 
da noção de antropocosmos era a base da filosofia 
astrológica, e pode se encontrar também na alquimia, 
como busca da pedra filosofal - "esta parte em que se pode 
encontrar o todo". Neste desenho renascentista, o corpo do 
homem é posto em relação com as importantes proporções 
das formas geométricas universais e dos quocientes 
numéricos. Aqui, vemos a correlação entre V 2 e o órgão 
procriador do homem. 
A tradição védica transmite a mesma visão antropocósmica de um ponto de vista mais 
metafísico. Diz-nos que Deus criou o universo movido pelo desejo de ver-se e de adorar-se a si 
mesmo. O ser deste Deus inconcebível pode considerar-se como uma expansão omniconsciente, 
omnicontinente, todo-poderoso, homogênea e infinita do espírito puro e sem forma. Seu desejo 
de ver-se a si mesmo criou (ou distinguiu de si mesmo) uma idéia de si mesmo, denominada no 
pensamento hindu a "real idéia". Esta divina percepção mental de si mesmo, a "palavra criadora" 
do pensamento judaico-cristão, este acontecimento em si mesmo é o homem cósmico. E este 
homem cósmico é o que o homem atual denomina o universo. 
O universo criado é visto então como uma placenta nutricial através da qual esta divina idéia 
de si mesmo se encarna ou personifica: uma gênese que se envolve em matéria para tornar-se 
perceptível e venerável. Esta posição é a oposta a nosso pensamento ordinário. A humanidade 
não é vista como o filho ou o produto da Mãe Terra, mas a terra é que é uma qualidade essencial 
contida no caráter do homem cósmico. 
A filosofia antropocósmica representa a evolução como um intercâmbio, uma inversão 
contínua entre o eterno homem cósmico e a humanidade em evolução. O ser universal 
involuciona até à densa forma-semente de si mesmo. Em princípio, isto está representado pelo 
reino mineral, a forma extrema da densificação inconsciente e fixa. Esta semente em involução 
provoca logo um movimento oposto de evolução. Segue-se então o reino vegetal, que se eleva em 
direção ao exterior; anima, libera e encarna as qualidades divinas que estavam encerradas ou 
envolvidas no mineral. 
Estas qualidades divinas se manifestavam e clarificavam como princípios funcionais ou 
etapas de crescimento no reino vegetal — isto é, raiz, tronco, folha, flor, fruto, semente — que 
podemos interpretar como símbolos-analogias de todo o processo universal do futuro. 
O reino animal aparece então como uma inversão do processo vegetal e podemos detectar 
aqui um ritmo de alternância entre a involução e a evolução que dá lugar à sucessão dos reinos. O 
animal volta a "involucionar" os princípios, atividade e funções vitais que a planta tinha 
"evolucionado" ou aberto, clarificado e sustentado. O animal consegue, através de sua involução, 
a faculdade de mobilidade individual que necessariamente precede à vontade individual. A 
involução pode ser considerada como a materialização do espírito, e a evolução como a 
espiritualização da matéria. 
Rudolf Steiner propõe uma imagem efetiva deste processo observando que o homem em seu 
corpo animal não é na realidade outra coisa senão uma planta virada ao contrário. A função 
respiratória da planta é a folha. Esta função se realiza aberta ao sol, ao extremo externo do 
princípio da ramificação. No Homem, a função respiratória é o pulmão: suas ramificações estão 
no interior. 
91 
 
Estas fotografias tiradas em 
microscópio eletrônico revelam a 
semelhança morfológica entre os 
processos de floração ou formação 
da folha e os aspectos sexuais do 
desenvolvimento animal. 
 
 
O mapa gnomônico de um templo 
hindu se sobrepõe ao diagrama de 
Purusha ou homem cósmico. Um 
antigo sutra da arquitetura hindu diz: 
"O universo está presente no templo 
por meio da proporção." 
92 
Prosseguindo a analogia, observamos que a flor, que é o órgão sexual da planta, cresce para 
cima e empurra a energia da planta para cima, para a luz, enquanto no homem e nos animais, os 
órgãos sexuais estão dirigidos para baixo e empurram as energias do corpo para baixo. A planta 
se enraiza na terra; no homem, a função característica da raiz se encontra nas circunvoluções do 
cérebro, que se enraiza do céu do pensamento e das energias mentais. O processo mental é um 
processo de digestão, assimilação e transmutação que funciona numa freqüência mais elevada do 
que a do processo intestinal e digestivo, embora os intestinos também formem circunvoluções. 
Desta forma, a sucessão dos reinos mineral, vegetal e animal no mundo físico se torna num 
símbolo do movimento constante de involução e evolução de um ser que se dividiu em 
qualidades complementares de espírito e da matéria. 
Dentro da lógica desta visão da evolução, o propósito do homem físico é transformar esta 
encarnação involucionada e animal num corpo de luz, da mesma forma que o fez a evolução da 
planta com relação ao involucionado reino mineral. Através da visão do homem como cosmos, o 
antropocosmos, a geometria sagrada transforma-se num cosmograma que descreve o drama deste 
nascimento divino. E no transcurso de todas as épocas de edificação de templos, a arquitetura 
sagrada baseada nesta geometria foi um livro aberto que revelava este eterno drama. 
Na índia, continua viva a Vastupurushamandala, a tradição do desenho dos templos baseada 
no homem cósmico. Também descobrimos que o modelo arquitetônico das grandes catedrais 
góticas era o Cristo-Homem universal na cruz da criação. No Egito, há um grande templo, cujo 
modelo é a figura humana. Trata-se do templo de Luxor, que reproduz o homem cósmico em sua 
arquitetura, bem como no desenho de seus baixo-relevos rituais, no processo do nascimento. O 
sutra arquitetônico hindu diz: "o universo está presente no templo por meio da proporção." 
Em nossa época, há uma convergência entre a nova ciência biológica baseada na cibernética 
e na teoria da informação e a doutrina mística do antropocosmos. Apenas podemos nos encontrar 
com o universo em evolução que está ao nosso redor e dentro de nós através do instrumento 
sensorial que habitamos. Portanto, nossos cérebros e corpos dão necessariamente forma a todas 
as nossas percepções, e estas por sua vez foram formadas pelas mesmas energias visíveis e 
invisíveis que formaram tudo o que se pode perceber Corpo, mente e universo devem formar uma 
identidade formativa e paralela. "Homem, conhece-te a ti mesmo", era o princípio da ciência 
antiga, como também começa a ser o princípio da ciência moderna. Citando o físico Robert 
Dicke: 
"A ordem correta das idéias talvez não seja 'Eis aqui o universo: que será o homem?' mas sim, 
'Eis aqui o homem: o que será o universo?" 
(Citado em Gravitation, Ch. W. Misner, K.S.Thorne, J.A.Wheller) 
O corpo humano contém em suas proporções todas as medidas e funções geométricas e 
geodésicas importantes. O antigo code egípcio, que era uma medida proporcionada de espaço-
tempo (1/1.000 da distância que percorre a terra emsua rotação à altura do equador num segundo 
de tempo), o pé, a braça, o antigo equivalente egípcio ao metro, todas estas medidas são 
proporcionais ao tamanho ou aos movimentos da Terra. A relação de é dada pelo umbigo. Nas 
proporções ideais do homem, o comprimento do braço em relação à altura total equivale à 
relação entre a corda e arco de um arco de 60°. A altura da parte superior do corpo (desde a 
articulação da cintura) tem a mesma relação com a altura total que o volume da esfera com o 
volume do cubo que a circunscreve (1 : 1,90983). Também a altura da parte superior do corpo 
está em relação com a altura do arco pubiano equivalente a π /3 : 1 ou 1,047 : 1. Assim, as 
proporções do homem ideal estão no centro de um círculo de relações cósmicas invariáveis. 
A relação entre o cubo e a esfera nele 
inscrita. 
 
 
 
Mediante a identificação com as proporções universais essenciais expressas nesta forma 
humana ideal, o indivíduo pode contemplar o vínculo entre sua própria fisiologia e a cosmologia 
universal e, portanto, conceber uma relação com sua própria natureza universal. Neste conjunto 
de proporções universais, dentro do corpo do homem ideal, se baseia, em muitas civilizações, o 
cânone que rege a métrica do canto e da poesia, dos movimentos da dança e das proporções do 
artesanato, da arte e da arquitetura. 
O homem e a cruz como premissas da 
planta de uma catedral. Segundo a 
filosofia da arquitetura do templo, este 
deve representar a imagem do homem 
paradigmático, o supremo arquétipo 
do qual emana tudo o que é natural. 
A catedral gótica de Amiens, uma 
simbolização do homem universal ou 
cósmico, do qual Cristo foi uma 
encarnação. 
93 
 
 
 
No Egito, o rei era a representação terrena do princípio 
antropocósmico, e serviu de modelo para a construção do templo de 
Luxor. (Veja-se a página 73). 
 
Tanto no Renascimento, como na antiga arte egípcia, existia um 
cânone de proporções que servia para estabelecer as proporções 
do corpo humano. Ambos os exemplos utilizam o cânone de 18 
(ou 9) quadrados, desde os pés até à fronte. (Veja-se a página 
86). 
 
 
As relações geométricas e geodésicas invariáveis se 
expressam na biométrica humana. 
A = envergadura dos braços = a braça (quatro 
 côvados) 
B = o antebraço = o côvado 
C = a parte superior do corpo 
D = a parte inferior do corpo 
E = o arco pubiano 
F = o umbigo ou divisão por 
G = o hara ou divisão por 2 = 0,586 
Este centro vital se denomina "a vagem da 
semente" no sistema tântrico. 
 
As posturas da dança clássica hindu (Bharat Natyam) 
descrevem relações angulares geométricas, desde o eixo do 
centro de gravidade do corpo, logo abaixo do umbigo. Estas 
posturas, ao mesmo tempo em que definem ângulos 
fundamentais, são frequentemente consideradas também 
como alusões a diferentes divindades, e são destinadas 
a transmitir seus poderes característicos. 
 
 
X. Gênese dos volumes cósmicos 
A perspectiva do volume oferece outra metáfora para o ato criador, original e contínuo da 
materialização do espírito e da criação da forma. O antiquíssimo mito da criação procedente de 
Heliópolis, no Egito, nos oferece um exemplo deste tipo de enfoque. Nun, o "oceano cósmico", 
representa o espírito-espaço puro, indiferenciado, sem limite nem forma. É prévio a qualquer 
extensão, especificidade ou deus. É pura potencialidade. Mediante a semente ou vontade do 
criador, que está implícita neste Nun, o espaço indiferenciado é impelido a contrair-se ou 
coagular-se num volume. Assim, Aton, o criador, cria-se primeiro a si mesmo ou se distingue de 
si mesmo, do indefinível Nun, adquirindo um volume, com o fim de poder iniciar a criação. 
Que forma pode ter então este primeiro volume? Quais são realmente as formas volumétricas 
mais essenciais? Há cinco volumes que são considerados como os mais essenciais por ser os 
únicos que têm todas as suas arestas e todos os seus ângulos internos iguais. São o tetraedro, o 
octaedro, o cubo, o dodecaedro e o icosaedro; e são as expressões em volume do triângulo, do 
quadrado e do pentágono: 3, 4 e 5. Todos os demais volumes regulares são apenas troncos destes 
cinco. Estes cinco sólidos recebem o nome de "platônicos", porque presumimos que Platão tenha 
apresentado estas formas no Timeo, o diálogo em que esboça uma cosmologia mediante a 
metáfora da geometria plana e a dos sólidos. Neste diálogo, que é um dos mais profundamente 
"pitagóricos" de sua obra, estabelece que os quatro elementos básicos do mundo são a terra, o ar, 
o fogo e a água, e que estes elementos estão relacionados cada um deles com uma das figuras 
sólidas. A tradição associa o cubo com a terra, o tetraedro com o fogo, o octaedro com o ar e o 
icosaedro com a água. Platão menciona certa "quinta composição" utilizada pelo criador durante 
a formação do universo. Assim, o dodecaedro viria a estar associado a este quinto elemento, o 
éter (prana). Segundo Platão, o criador do universo criou a ordem a partir do caos primordial 
destes elementos por meio das formas e números essenciais. O ordenamento segundo número e 
forma num plano superior que culminou na disposição desejada dos cinco elementos no universo 
físico. As formas e números essenciais atuam então como interconexão entre o reino superior e o 
inferior. Têm em si mesmos, e através de sua anologia com os elementos, o poder de dar forma 
ao mundo material. 
Conforme indica Gordon Plummer em seu livro The Mathematics of the Cosmic Mind, a 
tradição hindu associa o icosaedro ao Purusha, que é a semente-imagem de Brahma, o próprio 
criador supremo, e como tal, esta imagem é o mapa ou plano do universo. O Purusha é análogo 
ao homem cósmico, o antropocosmos da tradição esotérica ocidental. O icosaedro é a escolha 
óbvia desta primeira forma, pois todos os demais volumes surgem naturalmente dele. 
 
 
 
(Página anterior) Os cinco poliedros regulares ou sólidos 
platônicos eram conhecidos e utilizados muito antes da época 
de Platão. Keith Critchlow, em seu livro Time Stands Still, 
apresenta uma prova eloquente de que eram conhecidos pelos 
povos neolíticos da Grã-Bretanha pelo menos 1000 anos antes 
de Platão. Baseia-se na existência de certo número de pedras 
esféricas conservadas no Ashmolean Museum de Oxford. Pelo 
seu tamanho, cabem na mão; são talhadas numa versão esférica 
em formas geométricas exatas de cubo, tetraedro, octaedro, 
icosaedro e dodecaedro; há ainda vários outros sólidos 
compostos semi-regulares tais como o cubo-octaedro e o 
icosidodecaedro. Critchlow afirma: "O que temos são objetos 
que indicam claramente um grau de domínio das matemáticas 
que até à data qualquer arqueólogo ou historiador matemático 
tinha 
negado ao homem neolítico." Formula conjecturas sobre a 
possível relação entre estes objetos e a construção dos grandes 
círculos de pedra astronômicos da mesma época da Grã-
Bretanha: "O estudo dos céus é, afinal, uma atividade esférica, 
que requer uma compreensão das coordenadas esféricas. Se os 
habitantes neolíticos da Escócia construíram o Maes Howe 
antes de terem sido construídas as pirâmides pelos antigos 
egípcios, por que não teriam estudado as leias das coordenadas 
tridimensionais? Não será coincidência que Platão, com 
Ptolomeu, Kepler e Al-Kindi, tenha atribuído um significado 
cósmico a estas figuras?" 
Por sua parte, Lucie Lamy traz no seu livro sobre o 
sistema de medidas egípcio a prova do conhecimento dos 
cinco sólidos por parte dos egípcios do Antigo Império. 
 
Os cinco sólidos regulares 
"platônicos". 
Caderno de práticas 9 
Os sólidos platônicos 
 
Figura 9.1. Geração simultânea dos sólidos platônicos no 
interior do Icosaedro. Traçar um círculo de raio OA e inscrever 
o hexágono (figura 2.5) de lado OA = 1. Traçar o diâmetro 
vertical AB. Marcar cada vértice do hexágono com os números 
1 a 6, traçar as três diagonais 1-4, 2-5, 3-6. A partir do ponto 
médio C como centroe com raio CA, traçar um arco que 
intercepte o raio O-2 no ponto 11. A linha CA = 5/ 2 dividirá o 
raio O-2 na proporção 1 e 1/ 2. Traçar o círculo de raio O-11 
e marcar seus pontos de interseção com os raios do hexágono, 
designado-os com os números 7 a 12. 
 
Figura 9.2 Os pontos 7, 8 e 9 formam uma das 20 faces do 
icosaedro. Esta face, como as outras 19, é um triângulo 
eqüilátero, mostrado aqui em sua proporção real, pois é paralelo 
ao plano do desenho. As faces 7,8,9; 7,8,; 8,9,4; 9,7,6 e 
6,7,1;1,7,2; 2,8,3; 3,8,4; 4,9,5 e 5,9,6 completam as 10 faces 
diretamente visíveis. Os pontos 10, 11, 12 indicam o outro 
plano visto em sua proporção real. Está situado diretamente do 
lado oposto a 7,8,9, mas oculto à vista, da mesma forma que os 
outros 8 planos indicados pelas linhas descontínuas. 
Podemos ver que o icosaedro adquire forma 
através de , a "semente divina". 
99 
 
Figura 9.3 No interior de uma esfera de raio idêntico ao da 
figura anterior, indicar o icosaedro apenas mediante seus 
doze pontos. Traçar todas as conexões entre os 12 vértices, 
omitindo todas as linhas de diâmetro (as linhas que passam 
pelo centro da esfera). Veremos que a partir de cada ponto 
um máximo de 5 "raios" podem conectar com os pontos 
opostos. 
Por exemplo, do ponto 4, traçar os segmentos 4-10, 4-6, 
4-7, 4-2 e 4-11. (De fato estes 5 pontos opostos definirão 
um plano pentagonal exato: 10-6-7-2-11, centrado sobre o 
diâmetro que passa pelo ponto 4). Repetir com os pontos 
5,6,1,2 e 3, valendo-se da referência da figura 9.2. A partir 
do ponto 8, traçar os "raios" 8-12, 8-5, 8-6, 8-1 e 8-11. 
Repetir com os pontos 9, 7, 11, 12 e 10. 
Toda esta série de "raios" se cruzarão por grupos de 3 
raios em 20 pontos de interseção. Estes 20 pontos são os 
vértices que definem um dodecaedro "suspenso" no interior 
do icosaedro, que é maior. Das doze faces, mostram-se as 
seis 9visíveis, para maior clareza. 
 
 
A geração do dodecaedro se dá espontaneamente, como 
resultado do cruzamento natural de todos os raios internos do 
icosaedro. Estas duas figuras são o inversa uma da outra: 
ambas são compostas de 30 arestas, mas enquanto o icosaedro 
tem 20 faces e 12 vértices, o dodecaedro tem 12 faces e 20 
vértices. 
Figuras 9.4 e 9.5. O traçado do dodecaedro dá origem 
automaticamente ao cubo, definidos pelos 8 vértices do 
dodecaedro, coincidindo suas arestas com uma diagonal de 
cada face. São visíveis a face superior 1,2,3,4 e duas faces 
laterais: 3,4,5,6 e 1,4,5,7. As diagonais das faces deste cubo 
formam um tetraedro entrelaçado ou em forma de estrela. O 
tetraedro estrelado consiste em dois tetraedros com as pontas 
em direções opostas e entrelaçados entre si. 
O volume compreendido no interior dos dois 
tetraedros entrelaçados define um octaedro, 
completando-se assim o grupo composto pelos poliedros 
regulares. Aqui se mostra como o cubo contém perfeitamente o 
tetraedro estrelado. Tanto o octaedro, como o cubo, o 
tetraedro estrelado e o icosaedro, aparecem na perspectiva 
bidimensional como um hexágono. Apenas o dodecaedro 
não está contido na silhueta do hexágono. 
 
 
 
 
Não só a projeção dos raios internos do icosaedro forma as 
arestas do dodecaedro, como também os raios projetados do 
dodecaedro, por sua vez, produzem as arestas do icosaedro. 
Esta projeção alternada de uma forma para outra é indicada 
aqui apenas graficamente, mas é geometricamente um fato. 
Repassemos agora teoricamente o que acabamos de 
experimentar geometricamente. Se unimos todos os vértices 
internos do icosaedro traçando três linhas a partir de cada um 
deles, e que conectem com as do lado oposto, e em seguida a 
partir dos dois vértices superiores traçamos quatro linhas até 
os opostos; e fazemos convergir estas linhas para o centro, 
com isto formamos as arestas de um dodecaedro (vejam-se as 
figuras 9.1 e 9.2). É uma geração que se dá por si mesma, 
mediante o cruzamento dos raios internos do icosaedro. Uma 
vez que tenhamos estabelecido o dodecaedro, podemos, 
unindo simplesmente seis de seus pontos e o centro, formar 
um cubo. Utilizando simplesmente as diagonais do cubo, 
podemos formar o tetraedro estrelado ou tetraedros 
entrelaçados. As intersecções do tetraedro estrelado com o 
cubo nos dão os pontos exatos para formar um octaedro 
inscrito 
nele. Em seguida, no interior do octaedro, voltando a utilizar 
as linhas formadas pelos raios internos do icosaedro, junto 
com os pontos do octaedro, aparece um segundo icosaedro. 
Percorremos o ciclo completo, passando por cinco etapas, 
semente a semente. Trata-se portanto de uma progressão 
infinita. 
Dando ao cubo a dimensão 1, então o lado do icosaedro 
exterior será igual a "phi" e o comprimento dos lados do 
dodecaedro será 1/ . Os tetraedros entrelaçados terão um 
lado de 2 . O octaedro terá o lado de 1 2 , e o lado do 
segundo icosaedro interior, menor, será de 1/ 2: uma 
surpreendente constelação de harmonias. O Pai (Purusha) foi 
concebido da mesma maneira. 
A única chave explicativa necessária para iniciar esta 
figura é o método para encontrar os vértices do primeiro 
icosaedro. Isto nos dá o raio de um círculo e sua divisão 
por . 
 
Os hindus consideravam Purusha como o imanifesto e intocado pela criação, da mesma forma 
que na figura o icosaedro é intocado pelas demais formas. O dodecaedro se considerava, por sua 
vez, como Prakriti, o poder feminino da criação e a manifestação, a Mãe Universal, a quinta-
essência do universo natural. Este dodecaedro toca todas as formas da criação desde o interior de 
seu silencioso e contemplativo companheiro. Os tetraedros entrelaçados eram considerados como 
o yin e o yang, pois o tetraedro é o volume da trindade e, portanto, é um símbolo primário de uma 
função acompanhada pela sua recíproca. O resultado desta interação harmônica de opostos 
confere ao cubo, símbolo da existência material, os quatro estado da matéria, a terra, o ar, o fogo 
e a água. Tanto o cubo como os tetraedros entrelaçados tocam o dodecaedro. No coração deste 
tetraedro está o octaedro, e como o cubo é uma formação de suas extremidades, o octaedro 
simboliza a cristalização, a perfeição estática da matéria. É o diamante, o coração do sólido 
cósmico, a lente transformada e clarificada da luz, a dupla pirâmide. A progressão externa, que se 
estende em direção a domínios mais e mais vastos, define a mesma progressão, a mesma gênese: 
o icosaedro, o Purusha, que gera o dodecaedro, o Prakriti, e dentro do Prakriti, todo o jogo da 
existência manifesta. Toda esta coagulação se inicia com a semente segregada que contrai o 
círculo, o infinito, o espírito indiferenciado, para formar o icosaedro. A semente é "phi", o fogo 
do espírito. 
Os princípios transcendentais, o icosaedro e o dodecaedro, Purusha e Prakriti, a dualidade 
primária, têm ambos proporções "phi". Mas quando alcançamos o nível do mundo natural das 
dualidades opostas, o yin e o yang, e o cubo da matéria e sua cristalização no octaedro, é a raiz 
quadrada de 2 que entra em ação. A raiz quadrada de 2 é o meio através do qual 0 atua na 
natureza. E do octaedro, o estado purificado da matéria, sua cristalização na gema mineral, 
renasce o icosaedro com sua dimensão "phi", 1/ 2. Esta proporção 1/ 2 =0,382... é a função 
geométrica associada com Cristo (veja-se página 63). Sendo um quadrado, representa uma forma 
manifestada, o Filho; e sendo o lado do icosaedro interior, é a encarnação ou a imagem exata do 
icosaedro inicial gerador, o Pai, Purusha, o antropocosmos. 
Comentário 
ao Caderno 
de práticas 9 
 
 
103 
Dois cubos de sal-gema. 
Sistema monoclítico do gesso. 
 
Sistema hexagonal do berilo. 
 
Sistema triagonal do quartzo. 
Sistema tetragonal da idocrásio. 
Clorita em quartzo. 
O mundo mineral expressa volumes 
geométricos puros com grande clareza, 
mas é importante recordar que estes 
sólidos não existem na natureza. Em 
sua formaperfeita, apenas existem no 
plano metafísico, enquanto concepção 
pura e criativa, e apenas podem ser 
representados, para serem captados pela 
mente através da geometria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Purusha e Prakriti formam a eterna 
dicotomia criadora na mitologia 
hindu. Purusha é o homem 
antropocósmico, paradigmático, 
ou semente que projeta Prakriti, o 
eterno encanto feminino, com o 
objetivo de fazer com que sua 
matriz conceba sua própria 
encarnação no mundo da forma. 
 
(Página seguinte) Nesta demonstração, os poliedros regulares 
são determinados por nove círculos concêntricos cuja 
disposição proporciona toda a informação necessária para a 
construção destas formas. Cada volume está em relação 
harmônica simples com os demais, e são as mesmas funções 
transcendentes 2 , e , as que compõem este modelo de 
relações. Da mesma forma que na figura anterior, todos os 
volumes aparecem simultaneamente. Mas neste caso, se um dos 
círculos concêntricos for suprimido, então o esquema não pode 
produzir os demais volumes. Esta é uma imagem da grande 
idéia budista sobre a origem interdependente dos princípios 
arquetípicos da criação. 
A versão de Kepler do sistema solar consistia em sólidos platônicos 
uns dentro dos outros, relacionando os raios das esferas concêntricas 
que intervinham com as órbitas dos planetas. 
Estes volumes-forma simbólicos reconstituem simbolicamente nossa história cósmica, e 
representam perfeitamente os grandes movimentos cujos significados transmitem. O jogo 
consiste na constante troca entre o icosaedro como o masculino Purusha, e o dodecaedro, como o 
feminino Prakriti. O icosaedro é uma estrutura de 12 vértices e 20 faces. E uma estrutura de 
triângulos, sendo o 3 o número "masculino", dinâmico. O andrógino dodecaedro, enquanto 
doador de vida, tem 12 faces e 20 vértices e é uma estrutura baseada no 5, o número da vida (3 
masculino mais 2 feminino). A estrela nascida no interior de seu pentágono é a configuração do 
homem cósmico, o aperfeiçoador da vida, a proporção áurea. 
Estes mesmos cinco volumes regulares se desenham classicamente de forma que estejam 
contidos no interior de nove círculos concêntricos, tocando cada sólido a esfera que circunscreve 
o seguinte sólido nele inscrito. Este desenho produzirá muitas relações importantes e provém da 
disciplina denominada corpo transparente, que consiste em contemplar as formas, construídas 
em material transparente, colocadas umas dentro de outras. Esta instrução foi transmitida a 
muitos dos grandes homens do Renascimento, entre eles, Leonardo, Brunelleschi e Fiorgi, pelo 
frei Luca Paccioli. 
106 
 
 
 
 
Existe a teoria de que na metafísica hindu, cada um dos corpos era o símbolo de uma das 
capas invisíveis e sutis que — segundo se acreditava — envolviam o corpo físico do homem e 
atuavam sobre ele. A tradição associa: 
o pequeno icosaedro central com a perfeição final do corpo em sua 
manifestação física; 
o octaedro com o corpo físico ou nutricional (sede da mente instintiva); 
o tetraedro com o corpo etéreo ou energético (sede da faculdade mental 
intuitiva); 
o cubo com o corpo-mente da "razão pura"; 
o dodecaedro com o corpo conhecimento (sede do inato conhecimento por 
identidade); 
o icosaedro com o corpo êxtase (o da união meditativa). 
Como conclusão, podemos nos perguntar como a prática da geometria sagrada 
nos ajuda a confrontar questões profundas da existência: Qual é a natureza do espírito? Qual é a 
natureza da mente? Qual é a natureza do corpo? 
Minha prática individual da geometria me dá a resposta: o corpo é a expressão mais densa da 
mente; a mente consiste em todas as extensões sutis do corpo; e sob a totalidade deste mundo, 
desde o mais denso, até ao mais sutil, subjaz uma substância. Esta substância é o espírito, que foi 
cativado pela beleza da geometria. 
108 
 
Frei Luca Paccioli, o grande 
mestre renascentista da geometria 
sagrada. A concentração do 
estudante sobre os sólidos 
transparentes era uma disciplina 
que ajudava a ver as realidades 
metafísicas para além de toda a 
aparência. 
 
 
Estas fotos da refração são a visualização mais aproximada que a ciência pode dar sobre a natureza da substância 
atômica, que aparece como esquemas de luz-energia em forma geométrica. 
109 
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armónicos y otros textos relativos a la 
música. Pauling, Linus and Hayward, 
Roger, The 
Architecture of Moleeules, San 
Francisco, 
Londres, W.H. Freeman, 1964. 
Peet, Eric, The Rhind Mathematical 
Papyrus, Liverpool, Liverpool 
University 
Press, Londres, Hodder and Stoughton, 
1923; Reston (Va.), National Council of 
Teachers of Mathematics, 1979. 
Platón, Timeo. Purce, Jill, La espiral 
mística, Londres, 
Thames & Hudson, 1974, Nueva York, 
Thames & Hudson, 1980. Schwaller 
de Lubicz, R. A., Le Miracle 
égyptien, Paris, Flammarion, 1963., Le 
Roi de la théocratie pharaonique. Paris, 
Flammarion, 1961. —, El símbolo y 
lo simbólieo. , El templo del hombre. 
Schwenk, Theodore, Sensitive Chaos, 
Londres, Rudolf Steiner Press, 1965, 
Nueva York, Schocken, 1978. 
Smith, D. E., History of Mathematics, 
2 
vols., Nueva York, Dover, 1958. Suares, 
Cario, Las cifras del Génesis. Teón de 
Esmirna, Mateméticas útiles para 
entender a Platón. Thompson, D'Arcy, 
On Crowth and Eorm, 
Cambridge University Press, 1971. 
Toben, Bob, Space, Time and Beyond, 
Nueva York, Dutton, 1975. 
VandenBroeck, André, Philosophical 
Geometry, South Otselic, Nueva York, 
Sadhana Press, 1972. Vitruvio, Diez 
libros de arquitectura. Warusfel, 
André, Les Nombres et leurs mysteres, 
Paris, Seuil, 1961. Young, Arthur, The 
Geometry of Meaning, Nueva York, 
Delacorte Press, 
1976, Londres, Wildwood House, 1977. 
110 
Agradecimentos 
4. Foto Lane Eastman Kodak Co. 
4. Pintura sobre seda, Auroville, sul da 
Índia, século XX. 
5. Radiografia de um linguado. Foto 
Dr. Wolf Strache. 
5. Rosácea oeste com superposição de 
linhas, catedral de Chartes, França, 
por 1216. Foto Painton Cowen. 
7. G. Riesch, Margarita philosophica, 
Basiléia, 1583. 
7. G. Riesch, Margarita philosophica, 
Friburgo, 1503. 
7. F. Gaffurio, Theoriea musica, 
Milão, 1492. 
8. Photo Science Museum, Londres. 
9. Aguada sobre tela, Nepal, 1700. 
John Dugger & David 43. Medalla, 
Londres. 
10. Abadia de Silvacane, França, século 
XII. Foto F. Walch, Paris. 
11. O Criador, Bible Moralisée 
França, hacia 1250. Bodleian 
Library, Oxford. 
 
13. Pintura a pincel por Sengai, Japão, 
1830. Galeria Mitsu Art, Tokio. 
14. Science Museum, Londres. 
15. Yoga e seus Símbolos, tinta e 
aguada sobre papel, Rajastán, 
século XVIII. Ajit 
Mookerjee. 
16. Cúpula de capela da Condestable, 
catedral de Burgos, Espanha, 1482-94. 
Foto Mas. 
 
16. Mandala tanka, Tibet, 1800. 
John Dugger & David Medalla, 
Londres. 
17. Roda da Lei, estátua de bronce 
de Yakushi, Japão, século VII. Foto Toshio 
Watanabe. 17. Johann Neudorfer e filho 
(detalle), pintura de Nicolaas Neufchatel, 
1561. Alte Pinakothek, Munique. Foto 
Blauel, Muniqu. 
21. Desenho segundo Hans Keyser, 
Lehrbueh del Harmonik, Basiléia, 1950. 
22. Aguada é prata sobre papel, 60. 
Rajastán, século XVIII. Ajit 
Mookerjee. 
Foto Jeff Teasdale. 22. Símbolo 
egípcio da boca, detalhe 
de relevo em madeira que representa a 
Maat, a deusa da Verdade, da 
tumba de Seti 1, Egito, XIX 
dinastia. 
Museu Arqueológico, 
Florença. Foto Alinari/Anderson. 
22. Corda vibrante. Foto Science 
Museum, Londres. 24. O homem 
como o microcosmos dos 
quatro elementos, manuscrito 
astronômico, Prufening, Baviera, 
finais do século XII. 
Osterreichische 
Nationalbibliothek, Viena. 29. Desenho 
do Partenom com sua análise 
geométrico, segundo Tons Brunés, 
Seerets of Aneient Geometry, 1967. 
29. Azulejos decorativos do palácio 
Badi, Marrakech, Marrocos. Foto 
Roland Michaud. 
29. Abelha com superposição de linhas 
geométricas, desenho segundo 
Samuel Colman, Natures Harmonic 
Unit 1912. 
30. Foto Ewing Galloway (Aerofilms). 
 
34. Relevo em mármore, Saint-Sernin, 
Toulouse, França, finais do século XI. 
Foto Jean Roubier. 
35. Diagrama da capela de St Mary 
Glastonbury. Desenho de Keith 
Critchlow. 
38. Evangélio Lindisfarne inglês, 
ano 700, British Library, Londres. 43. 
Três variedades de diatomeas, British 
Museum, Londres (História Natural). 
43. Quatro plantas de edifícios do 
Renascimento: Brunelleschi, 
reconstrução teórica e planta de S. 
Maria degli Angeli, Florença; Serlio, 
do Quinto livro de Arquitetura; 
Barozzi da Vignola, planta do 
palácio Farnese, Caprarola; 
Bramante, planta de São Pedro de 
Roma. 
53. S. Maria Novella, Florencia. Foto 
Martin Hurlimann. 
Hermes (Medusa), mármore romano, 
réplica de um grego, século I a.C. 
Glyptothek, Munique. 
54. Desenho da múmia de Sisou, muro 
este da capela da tumba de 
Petosiris, Egito, ano 300 a.C. 
57. Foto F. Paturi. 
58. Asclepias Speciosa, retirado de K. 
Blossfeldt e E. Weber, Art Forms in 
Nature, 1932. 
59. Homem de Vitrúvio, desenho de 
Leonardo da Vinci hacia 1490. 
Academia, Veneza. Foto 
Soprintendenza alle Gallerie di 
Venezia. 
 
59. Canon da figura humana, desenho de 
Alberto Durero. 
60. Vestíbulo central, Abidos, cara oeste 
segundo The Cenotaph of Seti I at 
Abydos, de H. Frankfort, vol. 11, 
1933. 
60. Sarcófago da tumba de Osíris em 
Abidos, Museu Arquológico de 
Marselha. 
63. National Gallery, Londres. 
64. Santíssima Trindade, Lothian Bible, 
por 1220, Biblioteca Pierpont 
Morgan, Nova York (Ms. 791, f.4v). 
66. Templo de Vishnavata, Khajuraho, 
Índia, século XI. Foto Ellen Smart. 
66. Ilustração manuscrita sobre métodos 
de construção de templos, frente y 
costas de uma folha de palmeira, 
Índia. 
66. Planta do templo de 
Vaikunthaperumal, 
Kanchipuram, 
Índia, século VIII. 71. «Briza 
Maxima», ampliação x 15, segundo K. 
Blossfeldt e E. Weber, Art Forms in 
Nature, 1932. 
71. (margem) Desenho segundo Carl Sagan, 
The Dragons of Eden, 1977. 
72. Osíris entronizado, pintura de Lucie 
Lamy, século XX. 
73. Desenho segundo RA. Schwaller de 
Lubicz, El templo del homóre, 111, 
1957. 
76. Foto e desenho de um capitei de pedra 
talhada da catedral de Le Puy, 
França. 79. Foto Al Araby 
Magazine. 83. F. Giorgi, De 
harmonia mundi, 
1525. 86. G Valia, De expetendis et 
fugiendis 
rebus opus, 1519. 
86. A. Durero, Vier Bucher von 
mensehlicher Proportion, 1528. 
87. (acima, esq.) Foto Hans P. 
Widmer. 
87. (abaixo, esq.) Ajit Mookerjee. 
87. (direita) Foto J. C. Stuten. 
89. Relevo em pedra caliça da tumba de 
Paatenemheb, Saqqara, Egito, por 1330 
a.C. Rijksmuseum van Oudheden, 
Leiden. 
91. El hombre procreador, segundo V 
Scamozzi, L'idea deli'arehitettura uni 
versale, 1615. 
92. Meristema apical de trigo de 
Arawa na sua última etapa vegetativa e 
antera da flor de orzaga. 
Fotos tomadas com microscópio 
electrônico, de J. Troughton 
e L. A. Donaldson Prohing Plant 
Structure, 1972. 
92. Ilustração manuscrita de um antiguo 
manual de arquitetura, Índia. 
93. Estudo das proporções que compara 
uma basílica com o corpo humano. 
Desenho a pluma de F. di Giorgio 
(1439-1501/2), Italia, Biblioteca 
Nazionale, Florença 
(Códice Magliabechiano). 
93. Catedral de Amiens, gravado, 
século XIX. Foto Conway Library, 
Courtauld Institute of Art, 
Londres. 
94. Templo de Luxor, Egito. Foto Hirmer. 
94. Relação entre as proporções da 
planta do templo de Luxor, Egito y as 
da la figura humana. 
Desenho de R. A. Schwaller de Lubicz, 
O templo do homem, 1957. 94. Sao 
Cristóval e Cristo menino, desenho 
de D. Bramante (1446- 1516), Itália, 
Statens Museum for Kunst, 
Copenhague. 94. O escriba real de 
Hesire, relevo em 
madeira da tumba de Hesire, Saqqara, 
Egito, 111 dinastia, Museo Egípcio, 
El Cairo. 96. Série completa 
dos "sólidos 
platônicos" neolíticos da Escocia. 
Foto Graham Challifour. 
111 
104. Sistemas de cristais. Fotos
 106
. Museu Geológico, Londres. 
105. Escultura em pedra de um templo 
escavado numa cova, Badami
 108
. 
Village, Índia, século VI. Foto R. 
Lannoy. 
Harmonia do Universo, segundo 
Kepler, Mysterium Cosmographicum, 
1621. 
Frei Luca Paccioli e seu aluno, 
pintura de J. de Barbari (1440/50-
1516). 
Museu Capodimonte, Nápoles. Foto 
.Scala. 
109. Átamos dançantes. Foto Dr. Frwin 
Muller, Universidade do Estado de 
Pennsilvania. 
112 
 
 
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