Questões resolvidas
Calcule a integral: \[\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}}.\]
Encontre a derivada de \( f(x) = e^{\ln(x)} \).
Determine o limite \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}.
Calcule a integral \(\int e^x \sin(x) \, dx\).
Encontre a derivada de f(x) = \arctan(x^2 + 1).
Determine o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\).
Calcule a integral \int \frac{1}{x^2 \ln(x)} \, dx.
Encontre o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2}\).
Determine a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\).
Calcule a integral \int \frac{e^x}{x} \, dx.
Encontre a derivada de \(f(x) = x \ln(x) \cdot e^x\).
Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).
Resolva a equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4y = 0\).
Encontre o valor de \( x \) na equação \( e^x + e^{-x} = 4 \).
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89. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}\).
**Resposta:** \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\).
**Explicação:** Use substituição trigonométrica.
90. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = e^{\ln(x)}\).
**Resposta:** \(f'(x) = 1\).
**Explicação:** Note que \(e^{\ln(x)} = x\).
91. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}\).
**Resposta:** 0.
**Explicação:** O termo exponencial \(e^x\) cresce mais rápido que \(x^2\).
92. **Problema:** Calcule a integral \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{e^{-x} (\sin(x) - \cos(x))}{2} + C\).
**Explicação:** Use integração por partes duas vezes.
93. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \arctan(x^2 + 1)\).
**Resposta:** \(f'(x) = \frac{2x}{1 + (x^2 + 1)^2}\).
**Explicação:** Use a regra da cadeia.
94. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\).
**Resposta:** 3.
**Explicação:** Fatorize o numerador e simplifique.
95. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 \ln(x)} \, dx\).
**Resposta:** \(-\frac{\ln|\ln(x)|}{x} + C\).
**Explicação:** Use substituição \(u = \ln(x)\).
96. **Problema:** Encontre o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2}\).
**Resposta:** \(\infty\).
**Explicação:** O termo exponencial \(e^x\) cresce mais rápido que qualquer polinômio.
97. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \ln(x) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\).
**Explicação:** Use integração por partes.
98. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{e^{-x}}{x} \, dx\).
**Resposta:** Não tem uma antiderivada expressável em termos de funções elementares.
**Explicação:** Esta integral não pode ser expressa em termos de funções elementares.
99. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = x \ln(x) \cdot e^x\).
**Resposta:** \(f'(x) = \ln(x) \cdot e^x + \left( \frac{1}{x} + 1 \right) \cdot x \cdot e^x\).
**Explicação:** Use a regra do produto e a regra da cadeia.
100. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\).
**Resposta:** 1.
**Explicação:** Use a regra de L'Hôpital.
Claro! Aqui estão 100 problemas matemáticos avançados, cada um com a solução e a
explicação. Vou começar agora e continuar até atingir o total de 100.
1. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4y = 0
\).
**Solução:** A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{2x} \).
**Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes
constantes. A equação característica é \( r^2 - 4r + 4 = 0 \), que tem uma raiz dupla \( r = 2 \).
Portanto, a solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{2x} \).
2. **Problema:** Resolva a equação \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \).
**Solução:** \( \frac{8}{3} \).
**Explicação:** A integral é \( \int_0^1 (x+1)^2 \, dx \). Expandindo, obtemos \( \int_0^1
(x^2 + 2x + 1) \, dx \), que é \( \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 =
\frac{8}{3} \).
3. **Problema:** Encontre o valor de \( x \) na equação \( e^x + e^{-x} = 4 \).Mais conteúdos dessa disciplina
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