Aula_2_-_Princpio_dos_Trabalhos_Virtuais_ (1)

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Mecânica das Estruturas II
Aula 02: Princípio dos Trabalhos 
Virtuais
Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Departamento de Engenharias - Angicos
Bacharelado em Engenharia Civil
Docente: Bianca Alencar Vieira
E-mail: bianca.vieira@ufersa.edu.br
Introdução ao PTV
Os métodos de análise de estruturas têm como metodologia a 
superposição de casos básicos.
• Método das forças: os casos básicos são soluções estaticamente 
determinadas (isostáticas); 
• No método dos deslocamentos: os casos básicos são soluções 
cinematicamente determinadas (configurações deformadas 
conhecidas).
Energia de deformação e Princípio da 
Conservação da Energia
Energia de deformação interna
Quando cargas são aplicadas a um corpo deformável, elas 
deformam o material. Contanto que nenhuma energia seja perdida 
sob forma de calor, o trabalho externo realizado pelas cargas será 
convertido em trabalho interno denominado energia de 
deformação interna, sendo o trabalho o produto vetorial da força 
em questão pelo deslocamento. 
Elemento infinitesimal de volume submetido a uma deformação normal na 
direção x
Energia de deforma-
ção por unidade de 
volume armazenada 
nesse elemento
Energia de deformação e Princípio da 
Conservação da Energia
Material com 
comportamento 
linear
Energia de deformação por unidade de volume generalizada:
• No caso de grelha, o efeito de torção também deve ser considerado:
• No caso de uma barra de um pórtico plano, tem-se a seguinte expressão:
Energia de deformação e Princípio da 
Conservação da Energia
A energia de deformação interna total é obtida pela integração da energia U0 
ao longo de todo o volume da estrutura. Para pórticos planos, tem-se:
𝒰 = න
𝑉
𝑈0 . 𝑑𝑉 =
1
2
න
𝑉
𝜎𝑥
𝑎 . 𝜀𝑥
𝑎. 𝑑𝑉 +
1
2
න
𝑉
𝜎𝑥
𝑓
. 𝜀𝑥
𝑓
. 𝑑𝑉 +
1
2
න
𝑉
𝜏𝑥
𝑐 . 𝛾𝑐 . 𝑑𝑉
Energia de deformação e Princípio da 
Conservação da Energia
Para modelo matemático com estrutura reticulada, a energia de 
deformação pode ser escrita por unidade de comprimento de barra: 
𝒰 = න
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎
1
2
න
𝐴
𝜎𝑥
𝑎 . 𝜀𝑥
𝑎. 𝑑𝐴 +
1
2
න
𝐴
𝜎𝑥
𝑓
. 𝜀𝑥
𝑓
. 𝑑𝐴 +
1
2
න
𝐴
𝜏𝑥
𝑐 . 𝛾𝑐 . 𝑑𝐴 . 𝑑𝑥
𝒰 = න
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎
න
𝐴
𝒰𝑎 . 𝑑𝐴 + න
𝐴
𝒰
𝑓
. 𝑑𝐴 + න
𝐴
𝒰𝑐 . 𝑑𝐴 . 𝑑𝑥
Energia de deformação e Princípio da 
Conservação da Energia
De resistência dos materiais:
Grelhas
Em que: 
• N é o esforço normal na seção transversal e du é o deslocamento axial relativo interno 
• M é o momento fletor na seção transversal e dθ é a rotação relativa interna por flexão
• Q é o esforço cortante na seção transversal e dh é o deslocamento transversal relativo 
interno
• T é o momento torçor na seção transversal e 𝑑𝜑 é a rotação relativa interna por torção 
Deduções: Capítulo 5 (MARTHA, L. F. Análise de estruturas: 
Conceitos e Métodos básicos. Ed. Campus, 2010).
Energia de deformação e Princípio da 
Conservação da Energia
De resistência dos materiais:
Deduções: Capítulo 5 (MARTHA, L. F. Análise de estruturas: 
Conceitos e Métodos básicos. Ed. Campus, 2010).
Energia de deformação e Princípio da 
Conservação da Energia
• Deslocamento axial relativo interno • Rotação relativa interna por flexão
• Deslocamento transversal relativo interno • Rotação relativa interna por torção
𝒰 = න
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑑𝒰𝑎 + න
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑑𝒰𝑓 + න
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑑𝒰𝑐
Energia de deformação elástica total armazenada na estrutura:
𝒰 = න
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎
1
2
𝑁. 𝑑𝑢 + න
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎
1
2
𝑀. 𝑑𝜃 + න
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎
1
2
𝑄. 𝑑ℎ
Energia de deformação e Princípio da 
Conservação da Energia
Premissas básicas do Princípio da Conservação da Energia:
• O carregamento é aplicado lentamente, de tal forma que não provoca vibrações 
na estrutura (não existe energia cinética).
• O único tipo de energia armazenada pela estrutura é a energia de deformação 
elástica, não existindo perda de energia na forma de calor, ruído etc.
• A energia de deformação por efeito cortante é desprezada, pois é muito menor do 
que a energia de deformação por flexão para barras usuais (com comprimento 
bem maior do que a altura da seção transversal).
• A estrutura tem um comportamento linear-elástico, isto é, o material da estrutura 
trabalha em um regime elástico e linear (não existe plastificação em nenhum 
ponto) e os deslocamentos da estrutura são pequenos o suficiente para se 
escreverem as equações de equilíbrio na configuração indeformada da estrutura. 
Energia de deformação e Princípio da 
Conservação da Energia
Princípio da conservação de energia:
sendo:
WE o trabalho realizado pelas forças externas quando a estrutura se deforma; e
𝒰 a energia de deformação interna. 
Energia de deformação e Princípio da 
Conservação da Energia
Exemplo de aplicação do Princípio da Conservação da Energia
Determinar o deslocamento no ponto central da viga simplesmente apoiada 
abaixo, submetida a uma força vertical P1 aplicada no meio do vão.
 
Energia de deformação e Princípio da 
Conservação da Energia
Considerando um comportamento linear para a estrutura, o trabalho total 
das forças externas para esse exemplo é:
Energia de deformação e Princípio da 
Conservação da Energia
Nesse exemplo, tem-se apenas energia de deformação por momento fletor, 
assim:
Igualando o trabalho externo à energia de deformação interna, chega-se a:
Energia de deformação e Princípio da 
Conservação da Energia
Finalmente, o deslocamento vertical do ponto central é dado por:
Energia de deformação e Princípio da 
Conservação da Energia
Princípio dos Trabalhos Virtuais
O princípio da conservação de energia é bastante intuitivo, mas tem uma 
aplicação muito limitada para o cálculo de deslocamentos em estruturas.
 
Basicamente esse princípio só permite calcular deslocamentos para o caso 
de solicitação de uma força concentrada, e o deslocamento calculado 
tem de ser no ponto de aplicação e na direção da força. Analogamente, 
também é possível calcular a rotação na direção de um momento 
concentrado aplicado.
Princípio dos Trabalhos Virtuais
Esse princípio pode ter seu enfoque modificado de forma a eliminar essas 
limitações. Para enunciar o princípio, algumas definições são necessárias:
• (FA, σA) → sistema de forças A, com campo de forças externas (FA) e 
tensões internas (σA ) em equilíbrio entre si;
• (DB, εB) → configuração deformada B, com campo de deslocamentos 
externos (DB) e deformações internas (εB) compatíveis entre si.
A generalização feita em relação ao princípio de conservação de energia é 
que, agora, não existe qualquer ligação entre o sistema de forças e a 
configuração deformada, a não ser que atuam em uma mesma estrutura.
Princípio dos Trabalhos Virtuais
O balanço entre o trabalho externo e a energia de deformação interna 
combinando esses dois sistemas independentes resulta no princípio dos 
trabalhos virtuais (PTV):
Princípio dos Trabalhos Virtuais
Para o caso de estruturas reticulares, a energia de deformação interna virtual 
também pode ser expressa em termos de esforços internos e deslocamentos 
relativos internos:
Princípio dos Trabalhos Virtuais
No caso de pórticos planos, a energia de deformação interna virtual pode ser 
desmembrada em parcelas que consideram os efeitos axial, de flexão e 
cortante:
Princípio dos Trabalhos Virtuais
• Esse princípio pode ser utilizado para impor condições de 
compatibilidade a uma configuração deformada (D, d) qualquer. Basta 
que se escolha arbitrariamente um sistema de forças (F, f) denominado 
virtual, do qual se saiba que satisfaz as condições de equilíbrio. Essa 
versão do PTV é chamada de princípio das forças virtuais.
• De maneira análoga, o PTV pode ser utilizado para impor condições de 
equilíbrio a um sistema de forças (F, f) qualquer. Basta que se escolha 
arbitrariamente uma configuração deformada (D, d), denominada virtual, 
da qual se saiba que satisfaz as condições de compatibilidade.Essa 
versão do PTV é chamada de princípio dos deslocamentos virtuais.
Princípio das Forças Virtuais
O princípio das forças virtuais (PFV) é uma das principais ferramentas 
para a determinação de deslocamentos em estruturas. Esse princípio diz que:
Dada uma configuração deformada real (D, ε) – ou (D, d) – e um sistema de 
forças ( ത𝐹, തσ ) – ou ( ത𝐹, ҧf ) – arbitrário (virtual) em equilíbrio, a igualdade
WE= ത𝒰 estabelece uma condição de compatibilidade para a configuração 
deformada real.
Princípio das Forças Virtuais
• O PFV utiliza um sistema auxiliar (sistema virtual) completamente 
independente do sistema real, sendo este a estrutura da qual se quer 
calcular um deslocamento ou rotação (ou estabelecer uma condição de 
compatibilidade). 
• O sistema virtual trabalha com a mesma estrutura, mas com cargas 
diferentes. 
– As cargas do sistema virtual são compostas de uma força (ou momento), 
escolhida arbitrariamente na direção do deslocamento (ou rotação) que se 
deseja calcular e de suas correspondentes reações de apoio. 
– As cargas do sistema virtual não existem na realidade (por isso, são ditas 
virtuais) e são meras abstrações para cálculo.
Princípio das Forças Virtuais
Exemplo de aplicação do Princípio das Forças Virtuais
Considere a viga simplesmente apoiada na figura abaixo com uma força concentrada 
P1 no centro (sistema real). Deseja-se determinar o valor do deslocamento D2 em um 
ponto qualquer definido por uma distância a ao apoio da esquerda. 
Princípio das Forças Virtuais
1° Passo: Definir o sistema virtual
2° Passo: Determinar reações de apoio 
3° Passo: Determinar as equações do diagrama de esforços internos e desenha-los.
4° Passo: Aplicar o PFV
5° Passo: Determinar o deslocamento real no ponto.
sendo dθ a rotação relativa interna do sistema real. 
Princípio das Forças Virtuais
Aplicação do PFV para o cálculo de deslocamentos em estruturas que 
trabalham à flexão resulta no cálculo de uma integral que combina 
diagramas de momentos fletores nos sistemas real e virtual.
➢ Para facilitar os cálculos existem tabelas de integração com valores das 
integrais ׬ 𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 para barra com rigidez à flexão EI constante ao longo 
do seu comprimento.
Princípio das Forças Virtuais
Princípio das Forças Virtuais
Expressão geral do PFV para o cálculo de um deslocamento genérico de um ponto 
de um pórtico plano: 
Princípio das Forças Virtuais
Expressão geral do PFV para o cálculo de um deslocamento genérico de um ponto 
de um pórtico plano: 
Princípio das Forças Virtuais
Expressão geral do PFV para o cálculo de um deslocamento genérico de um ponto 
de uma grelha: 
Princípio das Forças Virtuais
Cargas virtuais utilizadas para calcular deslocamentos e rotações em vínculos 
eliminados de estruturas hiperestáticas
Princípio das Forças Virtuais
Exercício: Considere o pórtico plano da figura abaixo. Calcule o deslocamento 
horizontal do apoio da direita provocado pelas forças linearmente distribuída e 
concentrada horizontal indicadas. O material adotado é um aço com módulo de 
elasticidade E = 2,05x108 kN/m². Para as colunas, é adotada a seção transversal CS 
200x52.3, com área Ac = 6,7x10–3 m2 e momento de inércia Ic = 4,8x10–5 m4. A seção 
transversal da viga é a VS 300x43.0, com área Av = 5,5x10–3 m2 e momento de inércia 
Iv = 8,8x10 –5 m4.
Princípio das Forças Virtuais
Exercício: Sistema real
Princípio das Forças Virtuais
Exercício: Sistema real
DMF (kNm) DEC (kN)
DEN (kN)
Princípio das Forças Virtuais
Exercício: Sistema virtual
DMF (kNm)
Dúvidas?
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	Slide 2: Introdução ao PTV
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	Slide 6
	Slide 7: Energia de deformação e Princípio da Conservação da Energia
	Slide 8: Energia de deformação e Princípio da Conservação da Energia
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