errando e aprendendo VI

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**Resposta: a) \( y = \frac{1}{x + C} \)** 
 **Explicação:** A solução é obtida separando as variáveis e integrando. 
 
6. **Encontre o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx \).** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \( \pi \) 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \), então \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = 
[-\cos(x)]_{0}^{\pi} = 2 \). 
 
7. **Qual é o valor de \( \frac{d^2}{dx^2} (e^{2x}) \)?** 
 a) \( 2 e^{2x} \) 
 b) \( 4 e^{2x} \) 
 c) \( e^{2x} \) 
 d) \( 2 e^{x} \) 
 **Resposta: b) \( 4 e^{2x} \)** 
 **Explicação:** A primeira derivada é \( 2 e^{2x} \) e a segunda derivada é \( 4 e^{2x} \). 
 
8. **Qual é o valor da integral indefinida \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \)?** 
 a) \( \ln|\ln(x)| + C \) 
 b) \( \ln|x| + C \) 
 c) \( \ln|x \ln(x)| + C \) 
 d) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) 
 **Resposta: a) \( \ln|\ln(x)| + C \)** 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = \ln(x) \), a integral se transforma em \( \int 
\frac{1}{u} \, du \), que é \( \ln|u| + C \), ou seja, \( \ln|\ln(x)| + C \). 
 
9. **Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} \).** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) \( \infty \)** 
 **Explicação:** A função exponencial cresce mais rapidamente que qualquer polinômio, 
então o limite é \( \infty \). 
 
10. **Qual é a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \)?** 
 a) \( y = (C_1 + C_2 x) e^{2x} \) 
 b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 c) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 d) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \) 
 **Resposta: a) \( y = (C_1 + C_2 x) e^{2x} \)** 
 **Explicação:** A equação diferencial é de coeficientes constantes com raízes duplas, então 
a solução geral é da forma \( (C_1 + C_2 x) e^{2x} \). 
 
11. **Qual é o valor da integral \( \int_{0}^{1} x^3 e^x \, dx \)?** 
 a) \( 1 - 2e \) 
 b) \( e - 2e \) 
 c) \( 2e - 3 \) 
 d) \( e - 1 \) 
 **Resposta: d) \( e - 1 \)** 
 **Explicação:** Usando a integração por partes, a integral é calculada como \( e - 1 \). 
 
12. **Qual é a fórmula para a soma da série aritmética \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)?** 
 a) \( \frac{n}{2} [a + l] \) 
 b) \( \frac{n}{2} [a + (n-1)d] \) 
 c) \( \frac{n}{2} [a + d] \) 
 d) \( n(a + l) \) 
 **Resposta: b) \( \frac{n}{2} [a + (n-1)d] \)** 
 **Explicação:** A fórmula correta para a soma de uma série aritmética é \( S_n = \frac{n}{2} 
[2a + (n-1)d] \). 
 
13. **Determine o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} \sin(t^2) \, dt \right) \).** 
 a) \( \sin(x^2) \) 
 b) \( x \sin(x^2) \) 
 c) \( \cos(x^2) \) 
 d) \( \sin(x) \) 
 **Resposta: a) \( \sin(x^2) \)** 
 **Explicação:** Usando o teorema fundamental do cálculo, a derivada é \( \sin(x^2) \). 
 
14. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{2} (2x^3 - 3x^2 + x) \, dx \)?** 
 a) -1 
 b) 0 
 c) 1 
 d) 2 
 **Resposta: a) -1** 
 **Explicação:** A integral é calculada como \( \left[ \frac{2x^4}{4} - \frac{3x^3}{3} + 
\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = -1 \). 
 
15. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} 
 
 \frac{\tan(x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** Este é um limite fundamental, e o valor é 1. 
 
16. **Qual é o valor da integral de \( \int e^{-2x} \, dx \)?** 
 a) \( -\frac{1}{2} e^{-2x} \) 
 b) \( \frac{1}{2} e^{-2x} \) 
 c) \( -e^{-2x} \)