matematica avançada 11

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- **Resposta:** (A) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \) 
 - **Explicação:** Esta é a série de Taylor para a função exponencial, onde cada termo é \( 
\frac{x^n}{n!} \). 
 
6. **Calcule o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \).** 
 - (A) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - (B) \( \frac{\pi}{4} \) 
 - (C) \( \frac{3\pi}{4} \) 
 - (D) \( \pi \) 
 - **Resposta:** (A) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - **Explicação:** Utilizando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), a integral se 
torna \(\int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2}\). 
 
7. **Qual é a raiz quadrada da matriz \(\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}\)?** 
 - (A) \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) 
 - (B) \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) 
 - (C) \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) 
 - (D) \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\) 
 - **Resposta:** (A) \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) 
 - **Explicação:** A matriz \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) é a raiz quadrada 
da matriz original, pois \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 4 & 
0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}\). 
 
8. **Qual é a solução da equação \( x^2 + 4x + 4 = 0 \)?** 
 - (A) \( x = -2 \) 
 - (B) \( x = 2 \) 
 - (C) \( x = -1 \) 
 - (D) \( x = 0 \) 
 - **Resposta:** (A) \( x = -2 \) 
 - **Explicação:** A equação é um quadrado perfeito: \((x + 2)^2 = 0\), então a solução é \(x = 
-2\). 
 
9. **Qual é o valor da derivada de \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) em \( x = 1 \)?** 
 - (A) 0 
 - (B) 1 
 - (C) -1 
 - (D) 2 
 - **Resposta:** (B) 1 
 - **Explicação:** A derivada de \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) é \( f'(x) = 3x^2 - 3 \). Substituindo \( x 
= 1 \), temos \( f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0\). 
 
10. **Determine a solução da equação \( \sin(x) = 0.5 \) no intervalo \([0, 2\pi]\).** 
 - (A) \( x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \) 
 - (B) \( x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \) 
 - (C) \( x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \) 
 - (D) \( x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \) 
 - **Resposta:** (A) \( x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \) 
 - **Explicação:** \(\sin(x) = 0.5\) ocorre em \( x = \frac{\pi}{6} \) e \( x = \frac{5\pi}{6} \) no 
intervalo dado. 
 
11. **Encontre a solução da equação \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).** 
 - (A) \( x = 1, -3 \) - (B) \( x = -1, 3 \) 
 - (C) \( x = 1, 3 \) 
 - (D) \( x = -1, -3 \) 
 - **Resposta:** (C) \( x = 1, 3 \) 
 - **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x - 1)(x + 3) = 0\), então as raízes são 
\( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 
12. **Qual é a fórmula para o cálculo da área de um círculo?** 
 - (A) \( \pi r^2 \) 
 - (B) \( 2 \pi r \) 
 - (C) \( \pi d \) 
 - (D) \( \frac{\pi d^2}{2} \) 
 - **Resposta:** (A) \( \pi r^2 \) 
 - **Explicação:** A fórmula para a área de um círculo é \( \pi r^2 \), onde \( r \) é o raio do 
círculo. 
 
13. **Qual é a solução da equação \( e^x = 5 \)?** 
 - (A) \( x = \ln(5) \) 
 - (B) \( x = 5 \ln(e) \) 
 - (C) \( x = e^5 \) 
 - (D) \( x = \ln(1/5) \) 
 - **Resposta:** (A) \( x = \ln(5) \) 
 - **Explicação:** Aplicando o logaritmo natural nos dois lados, obtemos \( x = \ln(5) \). 
 
14. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \)?** 
 - (A) 0 
 - (B) 1 
 - (C) \(\infty\) 
 - (D) Não existe 
 - **Resposta:** (A) 0 
 - **Explicação:** À medida que \( x \) tende ao infinito, \(\frac{1}{x}\) tende a 0. 
 
15. **Determine o valor de \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \).** 
 - (A) 1 
 - (B) 0 
 - (C) \(\ln(e)\) 
 - (D) \(\ln(e) - \ln(1)\) 
 - **Resposta:** (A) 1 
 - **Explicação:** A integral \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx\) é \(\ln(x) \Big|_{1}^{e} = \ln(e) - 
\ln(1) = 1 - 0 = 1\). 
 
16. **Qual é a fórmula para o cálculo do determinante de uma matriz \(2 \times 2\)?** 
 - (A) \( ad - bc \) 
 - (B) \( ab - cd \) 
 - (C) \( a + d - b - c \)